平面向量、数系的扩充综合测评试题(含答案)

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平面向量测试题,高考经典试题,附详细答案

平面向量测试题，高考经典试题，附详细答案平面向量高考经典试题一、多项选择题1．（全国1文理）已知向量a?(?5,6)，b?(6,5)，则a与ba、垂直B.不垂直也不平行C.平行且方向相同D.平行且反向解．已知向量a?(?5,6)，b?(6,5)，a?b??30?30?0，则a与b垂直，选a。

2.（山东文5）已知载体a？（1，n），b？（？1，n），如果2A？B垂直于B，那么a？（）a．1b、二,c．2d、四,【答案】:c【分析】：2a?b=(3,n)，由2a?b与b垂直可得：（3，n）？（？1，n）？？3.氮气？0牛顿？？3，a？2.3、（广东文4理10）若向量a,b满足|a|?|b|?1，a,b的夹角为60°，则a?a?ab?=______；答：32；解析：a?a?a?b?1?1?1?12?32，4.（天津李10）设定两个向量a？（？？2，？2？cos2？）B呢？（m，m2？罪恶？），哪里M如果是一个实数，它是一个实数吗？那么呢？M的取值范围为a.[?6,1]b、 [4,8]c.(??,1]d、 [？1,6]【答案】a[分析]由一位？（？？2，？2？cos2？），B（m，m2？罪恶？），A.2B，你能得到吗2.200万？？公里？2.200万？？2.cos2？？M2英寸设定M？K进入方程式？排除k2m2？cos2？？M2分钟？(2?2k?2去m化简得??cos2sin?，再化简得?2?k2?k??214?2?2再令2??cos2sin??0?t代入上式得??k?2?k?2k?2?21(sin2??1)2?(16t2?18t?2)?0可得?(16t2?18t?2)?[0,4]解不等式得t?[?1,?]811因而?1解得?6?k?1.故选aK285.（山东李11）直角？在ABC中，CD是斜边AB上的高度，那么下面的公式不成立（a）ac?ac?ab（b）bc?ba?bc（c）ab?ac?cd（d）cd?22222(ac?ab)?(ba?bc)ab2[答]：C[分析]：AC？交流电？ab？交流电？（ac？ab）？0交流电？卑诗省？0，a 是正确的，B也是正确的。

平面向量测试题及答案

平面向量测试题•选择题1 .以下说法错误的是（）A .零向量与任一非零向量平行 C.平行向量方向相同B.零向量与单位向量的模不相等D.平行向量一定是共线向量2 .下列四式不能化简为AD 的是（）C . MB + AD — BM ;D . OC — OA + CD ;A . 6365b 均为单位向量，它们的夹角为60° ,那么|a+ 3b| =（A .7 B . 10 C . 135.已知ABCDEF 是正六边形，且 AB = a , AE = b ，贝U BC =( )(A ) 2(a b) (B ) |(b a) (C ) a + 舟b (D )舟(a b)6 .设 a , b 为不共线向量， AB = a +2 b , BC = — 4 a — b , CD =A . (AB + CD ) + BC ;B . (AD + MB ) + ( BC + CM ); 3 .已知a = (3, 4), b = (5, 12),a 与b 则夹角的余弦为（B . ,654.已知a—5a —3b，则下列关系式中正确的是(A) AD = BC (B) AD = 2 BC (C) AD =— BC (D) AD = — 2 BC7.设e i与e2是不共线的非零向量，且k e i + e?与© + k e?共线，则k的值是( )(A) 1 ( B) — 1 ( C) 1 ( D)任意不为零的实数8.在四边形ABCD中，AB = DC，且AC • BD = 0,则四边形ABCD是( )(A)矩形(B)菱形(C)直角梯形(D)等腰梯形9.已知M ( —2, 7)、N (10,—2),点P是线段MN上的点，且PN = —2PM，则P点的坐标为( )(A) (—14，16) ( B) (22,—11) (C) (6, 1) (D) (2, 4)10、已知 a =( 1, 2), b =(一2, 3),且ka + b 与 a —k b 垂直，则k =( )(A) 1 2 (B) 2 1 (C) . 2 3 (D) 3 2r r r11、若平面向量a (1,x)和b (2x 3, x)互相平行，其中x R则a b ( )A. 2或0;B. 2、、5 ;C. 2 或2、5 ;D. 2或10.12、下面给出的关系式中正确的个数是( )① 0 a 0 ② a b b a ③ a2 a 2④(a b)c a(b c)⑤ a b a b(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3.填空题13•若AB (3,4), A点的坐标为(一2,— 1),则E点的坐标为____________________ .14.已知 a (3, 4), b (2,3)，则 2|a| 3a b ___________ .15、已知向量a| 3,b (1,2)，且a b，则a的坐标是______________________ 。

平面向量测试题及含

平面向量测试题及答案平面向量测试题一. 选择题1．以下说法错误的选项是（）A．零向量与任一非零向量平行 B. 零向量与单位向量的模不相等C.平行向量方向同样D.平行向量一定是共线向量2．以下四式不可以化简为AD的是（）A．（AB＋CD）＋BC；B．（AD＋MB）＋（BC＋CM）；C．MB＋AD－BM；D．OC－OA＋CD；3．已知a =（3，4），b =（5，12），a与b则夹角的余弦为（）A．63B．65C．13D．13 6554．已知a、b均为单位向量 , 它们的夹角为 60°, 那么 | a+ 3b| = （）A．7B．10C．13D．45．已知 ABCDEF是正六边形，且AB＝a，AE＝b，则BC＝（）（B）12(ba) （C）a ＋12b（D）12(a b)（A）12(ab)6．设a，b为不共线向量，AB＝a+2b,BC＝－4a－b,CD＝－5a－3b , 则以下关系式中正确的选项是（）2（A ） AD ＝ BC（B ） AD ＝2 BC（C ） AD ＝－ BC （D ）AD＝－ 2 BC7．设 e 1与 e 2是不共线的非零向量，且k e 1＋ e 2与 e 1＋k e 2共线，则 k 的值是（）（A ） 1（B ）－1（C ） 1（D ）任意不为零的实数8．在四边形 ABCD 中， AB ＝ DC ，且 AC · BD ＝0，则四边形 ABCD 是（）（A ）矩形（B ）菱形（C ）直角梯形（D ）等腰梯形9．已知 M （－ 2，7）、N （10，－ 2），点 P 是线段 MN 上的点，且 PN ＝－2PM ，则P 点的坐标为（）（A ）（－ 14，16）（ B ）（22，－11）（C ）（6，1）（D ）（2，4）10．已知a ＝（1，2），b ＝（－2，3），且 k a +b 与a －k b垂直，则 k ＝（）（A ）1 2 （B ）2 1（C ）2 3 （D ） 32r r(2 x 3,x)相互平行，此中 x R . 则11、若平面向量 a (1, x) 和 br r）a b（A.2或 0； B.2 5；C. 2或 2 5 ； D.2或 10.312、下边给出的关系式中正确的个数是（）①0 a 0 ② a b b a ③a2a 2④(a b)ca(b c) ⑤ a b a b(A) 0(B) 1(C) 2(D) 3二.填空题13．若AB (3,4),Ａ点的坐标为（－２，－１），则Ｂ点的坐标为．14．已知a (3, 4), b (2,3)，则2 | a | 3a b．15 、已知向量a 3, b (1,2)，且a b，则 a 的坐标是_________________。

(word版)平面向量测试题(含答案)一,文档

必修4第二章平面向量教学质量检测.选择题〔5分×12=60分〕:1．以下说法错误的选项是〔〕A．零向量与任一非零向量平行 B.零向量与单位向量的模不相等C.平行向量方向相同D.平行向量一定是共线向量2．以下四式不能化简为AD的是〔〕A．〔AB＋CD〕＋BC； B．〔AD＋MB〕＋〔BC＋CM〕；C．MB＋AD－BM； D．OC－OA＋CD；3．a=〔3，4〕，b=〔5，12〕，a与b那么夹角的余弦为〔〕A．63B．65C．13D．13 6554．a、b均为单位向量,它们的夹角为60°,那么|a+3b|=〔〕A．7B．10C．13D．45．ABCDEF是正六边形，且AB＝a，AE＝b，那么BC＝〔〕〔A〕12(a b)〔B〕12(b a)〔C〕a＋12b〔D〕12(a b)6．设a，b为不共线向量，AB＝a+2b,BC＝－4a－b,CD＝－5a－3b,那么以下关系式中正确的选项是〔〕〔A〕AD＝BC〔B〕AD＝2BC〔C〕AD＝－BC〔D〕AD＝－2BC7．设e1与e2是不共线的非零向量，且k e1＋e2与e1＋k e2共线，那么k的值是〔〕〔A〕1〔B〕－1〔C〕1〔D〕任意不为零的实数8．在四边形ABCD中，AB＝DC，且AC·BD＝0，那么四边形ABCD是〔〕〔A〕矩形〔B〕菱形〔C〕直角梯形〔D〕等腰梯形9．M〔－2，7〕、N〔10，－2〕，点P是线段MN上的点，且PN＝－2PM，那么P点的坐标为〔〕〔A〕〔－14，16〕〔B〕〔22，－11〕〔C〕〔6，1〕〔D〕〔2，4〕10．a＝〔1，2〕，b＝〔－2，3〕，且k a+b与a－k b垂直，那么k＝〔〕〔A 〕1 2〔B 〕2 1〔C 〕23〔D 〕3 2r r(2x3,x)互相平行，其中rr 〕11、假设平面向量a (1,x)和bxR .那么ab 〔A.2或0；B.25；C.2或25；D.2或10.12、下面给出的关系式中正确的个数是〔〕①0a0②abba ③a 2a 2④(ab)ca(bc)⑤abab(A)0 (B)1(C)2(D)3.填空题(5分×5=25分):13．假设AB (3,4),Ａ点的坐标为〔－２，－１〕，那么Ｂ点的坐标为．14．a(3,4),b(2,3)，那么2|a|3ab ．15、向量 a 3,b (1,2)，且a b ，那么a 的坐标是_________________。

平面向量综合练习(含答案)

平面向量(1)如果a , b是两个单位向量，则下列结论中正确的是的值为(7) 在长江南岸渡口处，江水以12.5km/h的速度向东流，渡船的速度为25 km/h .渡船要垂直地渡过长江，则航向为_______________________ .(8) 三个力F1 , F2 , F3的大小相等，且它们的合力为0,则力F2与F3的夹角为______________ .(9) 用向量方法证明：三角形的中位线定理.UUU UJU UUUT (10)已知平面内三点A、B、C三点在一条直线上，OA ( 2, m), OB (n,1) , OC (5, 1),UUU 且OA UUUOB，求实数m , n的值.(A) a b (B) a b = 1 2 , 2(C) a b (D) aUJUT UJU (2)在四边形ABCD中，若AC AB uuurAD，则四边形ABCD的形状一定是()(A)平行四边形(B)菱形(C)矩形(D)正方形(3) 若平行四边形的3个顶点分别是(4,2),( 5,7),( 3,4),则第4个顶点的坐标不可能是()(4)(5) (A)( 12，5)(B) (-2 ，9)(C) (3，7)(D) (-4，-1)已知正方形ABCD的边长为1,UUUAB a ,UUT UUTBC b, AC c,则a b c等于(A) 0 (B) 3 (D) 2、2已知a3，b 4，且向量b不共线, 若向量a k b与向量a k b互相垂直，则实数k UUU(6)在平行四边形ABCD中，ABuuu UUU a , CB b ,O为AC与BD的交点，点M在BD 上, BM1UULT-OD，ULUU则向量BM用a，b表示为ULUU；AM用a，b表示为uuu(11)已知点o 、A 、B 不在同一条直线上，点P 为该平面上一点，且 0P(A)点P 在线段AB 上 (B)点P 在线段AB 的反向延长线上(C)点P 在线段AB 的延长线上(D)点P 不在直线AB 上uuu uuu uur(12)已知 D 、E 、F 分别是三角形ABC 的边长的边BC 、CA 、AB 的中点，且BC a , CA b ,AB c ,uuu 1 1uuu1 uuu 11uuu uuu uuu则①EF cb ，② BE a -b ，③ CF— a -b ，④ AD BE CF 0 中正确的等式2 222 2的个数为 ()(A ) 1(B ) 2(C ) 3(D) 4(13)已知向量a (1,5) ,b(3, 2)，则向量 a 在b 方向上的投影为uuuuuuuuuu(14)已知OA a ，OB b ，点M 关于点A 的对称点为S,点S 关于点B 的对称点为N,则向量MN 用a 、b 表示为______________________________ . (15)已知向量a (m 2, m 3), b (2m 1, m 2)，若向量a 与b 的夹角为直角，则实数m 的值为 ___________________ ；若向量a 与b 的夹角为钝角，则实数 m 的取值范围为 __________________求CA CB 的最小值及取得最小值时 cos ACB 的值.uuu uuu30A 0B，则()2LULT (16)已知OP uuu (2, 1) , OAuuu(1,7) , OB (5, 1)，点O 为坐标原点，点 C 是直线OP 上一点,UJU UULU UJU UJU (17)如图，点A「A2是线段AB的三等分点，求证：OA i OA OA OB (1)般地，如果点A1, A2，…A n 1是AB的n (n 3)等分点，请写出一个结论，使(1)为所写结论的一个特例•并证明你写的结论.(18)已知等边三角形ABC的边长为2, O A的半径为1, PQ为O A的任意一条直径,UUU UUIU UUU UUU(I)判断BP CQ AP CB的值是否会随点P的变化而变化，请说明理由;UUU UUU(n)求BP CQ的最大值.A参考答案或提示: （三）平面(1) D (2) A ( 3) C (4) D (5)(6)-a - b 6；5a - b ; ----6（7）北偏西30°(8) 1200(9)略(10)(1)由单位向量的定义即得 al b1，故选（D ）.uuur uuu uuruuur uuu uuuruuur uuur(2) 由于 AC AB AD ,AC AB AD ，即BC AD ，•线段BC 与线段AD等,••• ABCD 为平行四边形，选 (A).(3) 估画草图知符合条件的点有三个，这三个点构成的三角形三边的中点分别为已知的三点略解或提示: 平行且相于符合条件的三点分别位于第一象限、第二象限和第三象限，则排除（一象限只有一个点，且位于点（ 5, 7）的右侧，则该点的横坐标要大于由 B ）、（ D ）,而符合条件的点第 5，•排除（A ）,选（C ）. (4) 由于a be 2c •- a be 2c 2 2 , •••选(D ). (5) k b 与向量a k b 互相垂直，则（k b) (a k 2b 2, 依题意, 又OD (8)而a 2 a 2 9, b 2 uiur 1 uur••• BM -OD 而（3 uuuu uuu uuu • AMAB BM uuu 如图，渡船速度 OB 向量a (6) (7) 3 4 uuu i 1 uuu BD , • BM 2 5a - b6 uu u BD6 1 ujur 6(ADuuu AB) 1 iuu 6(B Cuuu AB) -a - b ； 6水流速度OA ，船实际垂直过江的速度uu u OA uur 12.5 , OB uuir 25 ,由于OADB 为平行四边形，贝V BD BD ，•在直角三角形 OBD 中，/ BOD = 30o ，•航向为北偏西过点 uuu O 作向量OA 、 uuiu uur OB 、OC ，使之分别与力F 1 , F 2 , F 3相等，由于 F 1 , F 2 ,F 3的合力为 0 ,则以OC 、 OB 为邻边的平行四边形的对角线 OD 与OA 的长度相等，又由于力 F !，F 2， F 3的大小相等, • OA OB OC ，则三角形OCD 和三角形OBD C均为正三角形，• COB120o ，即任意两个力的夹角均为 120o .OUULT (9) 解：由于DE uu u CEuuur CD ，而 uuuCE LUU 1 UUU •- DE -CB 2 1 uu u -CA 2 1 uuu 尹uuu CA) 1 UU U -CB , 2 1 uuu -AB 2 uu uCD 1 uur-CA 2C(10)由于O 、A 、B 三点在一条直线上，则uuur AC //uurAB ，而uuur AC uur uuu OC OA(7, 1m),UUU UUU UUUuuu uurAB OB OA (n 2, 1 m) • 7(1 m)( 1 m)( n 2) 0，又 OA OB ,2n m 0则 DE // AB ，且 DE 3 m 联立方程组解得 6 或 1 一 AB ，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边长的一半. 2 (11)B (12 )C (13) 3 (14) 2 b 2a 13 (15)4或2；35.5 2 11^,2)(16) 8,4 1717 (17 )答案不唯 uujr 如OA ULU ULTOAn 1uuu u OA 2 ULUL UU OA n 2uu OA uu OB 或UULT LULU OA OA 2 LUU ULT OAn 1 n 1 uur uuu (OA OB) uuu (18) (I) BP uu u CQ uu u AP uu uCB 略解或提示: (11)由于 uuu 2OP uuu 3OA uuu OB , uuu uuu • 2OP 2OAuu u OA uu u OBUUU ，即 2AP uur BA ,• AP UJ U 1 uur-BA , 2则点P 在线段AB 的反向延长线上, UUT (12)v EF (B). uuu 由于BE uu uBC 1 UU U CB2 uuu CE a，又a 2 uuu BC uuu b c 0 ,• E Fuuur • CF UU LT AD uu u BE uu u CF 1 uur CA 2 1a -b ，即②是正确的；同理 2 1 b ,即③是正确2 c) 即④是正确的.选( C ). a 在b 方向上的投影为 CO S丄b ,2uuu CF即①是错误的;1尹uuur ADb b _(14 ) 由于A 为SM 中点， B 为 UUU 1 OB - 2 uu uur uuu (OS ON)，两式相减得 OB uuuu • MN uur uuu uuuu2(OB OA), • MN 2b设a 与b 的夹角为，则向量 (13) SN 中点，• 2a.uu u OA1 UUT 1(ON uu uOA1 uuu 評Suuur OM), uuuuOM), 173 吊-uuuu 也可直接根据中位线定理MN uuu2AB 2b 2a .(15)若a 与b 的夹角为直角, 则 a b 0，即(m 2)(2m 1) (m 3)(m 2) 若向量a 与b 的夹角为钝角，则 a b 0，且a 与b 不共线，则(m 2)(2m 1) (m 3)(m 2) 0,且(m 2)( m 2) (m 3)(2m 1) 0, 4 解得- 3 55 11^5 或 — 2 2 11 (16)由于点 C 是直线OP 上一点，设点 C (2m, m) uur CA uuu (1 2m, 7 m) ,CB (5 2m,1 m), uu u CA uu u CB2 5(m 2) 8 , • m uuu uuu CA CB 的最小值为 8 ;而m 2时, uuu CA(3,5)， uuu CB (1, 1), cos uuu 2时, 4、万 uu uuuu 同理OA 2 uuir AA 1 uuu — AB , 3 UULT •- OA 1 uuu OA uur AA uuu OA 1 uuu AB3 uuuOAuuuir uuu uur uuur uuuir uuu uuu uuu 2OB OA m 2OB OA OB 2OA (17)解: 3 3 3 1 uuu 1(OB uuuOA) uuu OBuu 2OA uuu uuuOA OB ;uur uiuur 一般结论为 OA OA n 1uuuu OA uuiuuu OA L uur OA uuu OB UUU k UUU 证明：：AA , AB , •uuu OA k UJU OA uuuu AR uur OA k^ AB , nn k uu u OA uuu OA uuuui u 而OA n uuiuu AA n kuuuu • • OAk uuuuuuOAn kuuu OA 注：也可以将结论推广为 UJI T OAk uuu UUU uuu k uuuAB OA AB AB n uuu k uur OB ABn uuuu OA , uu u OA n uuu OB uuuuirOA n 1uuu (OA uu u OB uuu OB) k uuu -AB n证明类似，从略. uuu uuur uuu uuu (18) (I)由于 BP CQ AP CB uuu (AP uuu AB) uuur (AQ uuur ACuuu )A P uuu (AB uuurAC), uuur 而AQuuu AP ,uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuuUU U uuu u ur则BP CQ AP CB (AP AB)( AP AC) AP (AB AC) APAB A C1uuu U ULT uuu uuruuu 2 uuu AB AC AB AC cos ABC 2 , AP AP 2 uuu 二 BPuur CQ uuu uu AP CB uuu 2 AP uu AB uur AC 1,uu u BP uuur uuu CQ AP uuuCB 的值不会随点 P 的变化而变化; uuu uur uuu (n)由于 BP CQ AP mu CB uuu 1 , ••• BP uur CQ uuu uuu1 AP CB , uuu uuu :AP CBuuu uuuuuu uuu ••• AP CB uuu uuu AP CB2 (等号当且仅当 uu u uuu uuu AP CB cos AP,CB uuu AP 与CB 同向时成立)，• BP uu u CQ 的最大值为3.。

高中数学平面向量专项测试(含答案)

高中数学平面向量专项测试（含答案）一、单选题（本大题共14小题，共70.0分）1. 设x R ∈，向量()(),1,1,2a x b ==-，且a b ⊥，则()a = A. 5 B. 25 C. 10 D. 102. ABC 中，点P 满足(),AP t AB AC BP AP CP AP =+⋅=⋅，则ABC 一定是()A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 钝角三角形 3. 若则，那么下面关于的判断正确的是() A.B. C. D.4. 若O 是ABC 所在平面内一点，且满足|||2|OB OC OB OC OA -=+-，则ABC 的形状是()A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等边三角形 5. 已知向量(2,1)a =，(,2)b x =-，若//a b ，则a b +等于() A. (2,1)-- B. (2,1) C. (3,1)- D. (3,1)- 6. 已知||1a =，||2b =，且()a a b ⊥-，则向量a 与向量b 的夹角为()A. 6πB. 4πC. 3πD. 23π 7. 已知向量a ，b 满足||1a =，2b =，5a b -=，则2()a b -=A. 2B. 5C. 6D. 258. 已知向量(1,2)a =，(,4)b x =-，若//a b ，则a b ⋅等于() A. 10- B. 6- C. 0 D. 69. 已知O 为正ABC 内的一点，且满足(1)0OA OB OC λλ+++=，若OAB 的面积与OBC 的面积的比值为3，则λ的值为()A. 12B. 52C. 2D. 3 10. 已知下面四个命题：①0AB BA +=；②AB BC AC +=；③AB AC BC -=；④00.AB ⋅=其中正确的个数为()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个11. 已知向量(1,)a k =，(2,2)b =，且a b +与a 共线，那么k 的值为()A. 1B. 2C. 3D. 412. 已知菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=︒，则()BD CD ⋅=A. 232a -B. 234a -C. 234a D. 232a13. 如图，平行四边形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是AE 的中点，若AB a =，AD b =，则()AF =A. 1124a b -B. 1142a b + C. 1124a b +D. 14二、多选题（本大题共2小题，共10.0分）14. 已知(3,1)a =-，(1,2)b =-，则正确的有()A. 5a b ⋅=B. 与a 共线的单位向量是31010(,)1010-C. a 与b 的夹角为4πD. a 与b 平行15. 下列命题中正确的是()A. 若a b =，则32a b >B. BC BA DC AD --=C. 若向量,a b 是非零向量，则||||||a b a b a +=+⇔与b 方向相同D. 若//a b ，则存在唯一实数λ使得a b λ=三、单空题（本大题共8小题，共40.0分）16. 已知1e →，2e 是平面单位向量，且1212e e →⋅=，若平面向量b 满足121b e b e →⋅=⋅=，则||b =______. 17. 已知向量(2,1),(3,2),a b ==-若()(2),a b a b λ+⊥-则λ= ______.18. 在Rt OAB ∆中，90O ∠=︒，13OE OA =，23OF OB =，连接AF ，BE 相交于点M ，若OM OA OB λμ=+，则_____.λμ+=19. 已知向量a ，b ，||3a =，2a b ⋅=，则()a a b ⋅-=______ .20. 在边长为2正三角形ABC 中，D 为BC 边中点，则AD =______________21. 已知点(4,1)A ，(1,5)B ，则与向量AB 共线的单位向量为__________.22. 如图，11AB C ∆，122C B C ∆，233C B C ∆是三个边长为1的等边三角形，且有一条边在同一直线上，边33B C 上有2个不同的点1P ，2P ，则()212AB AP AP ⋅+=______.23. 已知1e ，2e 是平面单位向量，且，若平面向量b 满足121b e b e ⋅=⋅=，则||b =________.四、解答题（本大题共5小题，共60.0分） 24. 已知点(0,0)O ，(1,2)A ，(4,5)B 及OP OA t AB =+⋅，试问：(1)当t 为何值时，P 在x 轴上．(2)若OB OP ⊥，求t 的值25. 已知向量，，向量与夹角为，(1)求；(2)求在的方向上的投影.26. 已知||4a =，||3b =，()()23261.a b a b -⋅+= (1)求a 与b 的夹角θ；(2)求||a b +和||a b -27. 已知||4a =，||3b =，(23)(2)61.a b a b -⋅+=(1)求a 与b 的夹角θ；(2)求||a b +；答案和解析1.【答案】A解：因为a b ⊥ ，所以()1120x ⨯+⨯-=，解得2x =，因此22215a →=+=2.【答案】B【解析】试题分析：设D 是BC 中点，由()AP t AB AC =+可得点P 在三角形ABC 的中线AD 所在直线上．再由BP AP CP AP ⋅=⋅，可得AP BC ⊥，从而得到三角形ABC 的边BC 上的中线与高线重合，可得三角形ABC 是等腰三角形．()AP t AB AC =+，设D 是BC 中点，则2AB AC AD +=，2AP t AD ∴=⋅，故点P 在三角形ABC 的中线AD 所在直线上．BP AP CP AP ⋅=⋅，()0AP BP CP ∴⋅-=，即0AP BC ⋅=，即.AP BC ⊥即AP BC ⊥，故三角形ABC 的边BC 上的中线与高线重合，所以，三角形ABC 是等腰三角形，其中AB AC =，3.【答案】B4.【答案】B5.【答案】A解：根据题意，向量(2,1)a =，(,2)b x =-，若//a b ，则有12(2)x ⋅=⋅-，即4x =-，即(4,2)b =--，则(2,1)a b +=--，6.【答案】B解：()a a b ⊥-；()0a a b ⋅-=；11cos ,0a b ∴-<>=； 2cos ,2a b ∴<>=； ∴向量a 与b 的夹角为.4π 7.【答案】A解：向量a ，b 满足||1a =，||2b =，a b →→-=可得22221425a b a b a b a b →→→→→→→→-=+-⋅=+-⋅=，解得0a b ⋅=，所以2222448a b a b a b →→→→→→-=+-⋅=，所以2a b →→-=8.【答案】A 解：向量(1,2)a =，(,4)b x =-，//a b ，420x ∴--=， 2.x ∴=-则82810a b x ⋅=-=--=-，9.【答案】C解：(1)0OA OB OC λλ+++=，变为()0.OA OC OB OC λ+++=如图，D ，E 分别是对应边的中点，由平行四边形法则知()2,2OA OC OE OB OC OD λλ+=+=，故OE OD λ=-①，//DE AB ，在正三角形ABC 中， 1111133263OBC AOB ABC ABC BEC S S S S S ==⨯==，且OBC 与BEC 同底边BC ，故O 点到底边BC 的距离等于E 到底边BC 的距离的三分之一，2OE OD ∴=-，由①②得 2.λ=10.【答案】C解：对于①，AB 与BA 是互为相反向量，0AB BA ∴+=，正确；对于②，根据向量的三角形合成法则知AB BC AC +=，正确；对于③，根据向量的减法法则知AB AC CB -=，AB AC BC ∴-=错误；对于④，根据平面向量数量积的定义知00AB ⋅=正确．综上，正确的命题是①②④．11.【答案】A解：(1,)a k =，(2,2)b =，(3,2)a b k ∴+=+，又a b +与a 共线，1(2)30k k ∴⨯+-=，解得： 1.k =12.【答案】D 解：菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=︒， 22BA a ∴=，21cos602BA BC a a a ⋅=⋅⋅︒=， ()BD CD BA BC CD ∴⋅=+⋅， 2BA BA BC =+⋅， 23.2a = 13.【答案】C解：由已知E 是BC 的中点，F 是AE 的中点，则111222BE BC AD b ===，12AF AE =，因为12AE AB BE AB BC =+=+，BC AD b ==，则1122AE AB AD a b =+=+，所以11111.22224AF AE a b a b ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭14.【答案】AC解：A ：31(1)(2)5a b ⋅=⨯+-⨯-=，A ∴正确，B ：22||3(1)10a =+-=，∴与a 共线的单位向量为31010(,)1010-或31010(,)1010-，B ∴错误， C ：22||3(1)10a =+-=，22||1(2)5b =+-=，cos a ∴<，522||||105a b b a b ⋅>===⋅⋅， a <，[0,]b π>∈，a ∴<，4b π>=，C ∴正确，D ：3(2)(1)1⨯-≠-⨯，a ∴ 与b 不平行，D ∴错误，15.【答案】BC解：向量不能比较大小，所以A 不正确；BC BA DC BC CD AB BD AB AD --=++=+=，所以B 正确；若向量,a b 是非零向量，则||||||a b a b a +=+⇔与b 方向相同，所以C 正确；若//a b ，当0b ≠时，则存在唯一实数λ使得a b λ=，所以D 不正确.16.【答案】233解：1e →，2e 是平面单位向量，且1212e e →⋅=，1e →∴，2e 夹角为60︒，向量b 满足121b e b e →⋅=⋅=b ∴与1e →，2e 夹角相等，且为锐角，b ∴应该在1e ，2e 夹角的平分线上，即b <，1e b →>=<，230e >=︒，||1cos301b ⨯⨯︒=，23||3b ∴= 17.【答案】29解：向量(2,1)a =，(3,2)b =-，且2a b a b λ→→→→⎛⎫⎛⎫+⊥- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()1,3,243,22a b a b λλλ→→→→+=--=+-， 4366290λλλ--+-=-=，解得29λ=， 18.【答案】57解：如下图，因为13OE OA =，23OF OB =，所以32OM OA OB OA OF λμλμ→→→→→=+=+，3OM OA OB OE OB λμλμ→→→→→=+=+，又 A ，M ，F 和B ，M ，E 三点共线，所以31231λμλμ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得1747λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以5.7λμ+= 19.【答案】7解：向量a ，b ，||3a =，2a b ⋅=，则2()927.a a b a a b ⋅-=-⋅=-=20.解：边长为2的等边ABC ， ||2AB →∴=，2AC →=，,60AB AC →→=︒， ()12AD AB AC =+ 2222AB AC AB AB AC AC →→→→→→∴+=+⋅+ 4222cos604=+⨯⨯⨯︒+ 444=++12.= ()1 3.2AD AB AC =+= 21.【答案】34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭或34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭解：(4,1)A ，(1,5)B ，()3,4.AB ∴=-(5AB ∴=-=，∴与向量AB 共线的单位向量是()1343,4,.555ABAB ⎛⎫±=±-=±- ⎪⎝⎭ 22.【答案】9解：由图可知，2330B AC ∠=︒，又2260AC B ∠=︒，222AB B C ∴⊥，又2233//B C B C ，233AB B C ∴⊥，2330AB C B ∴⋅=；2122331332()[()()]AB AP AP AB AC C P AC C P ∴⋅+=⋅+++，2323323233AB AC AB mC B AB AC AB nC B =⋅+⋅+⋅+⋅，232AB AC =⋅，23cos30=⨯︒，9.=23.【答案】2解： 12,e e →→ 是平面单位向量，且121,2e e →→=-，则12,e e →→的夹角为120︒，因为平面向量 b → 满足121b e b e →→→→⋅=⋅= ，所以 b →与12,e e →→夹角相等，且为锐角，则b →应该在12,e e →→夹角的平分线上，即12,,60b e b e →→→→==︒，1cos 601b →⨯⨯︒= 则2b →=，24.【答案】解：由已知可得(1,2)OA =，(3,3)AB =，所以(13,23)OP OA t AB t t =+⋅=++，(1)当P 在x 轴上时，230t +=，解得23t =-； (2)若OB OP ⊥，则若0OB OP ⋅=，所以4(13)5(23)0t t +++=，即14270t +=，解得14.27t =- 25.【答案】解：(1)2(2)348a b →→⋅=⨯-+⨯=，a →==b →==cos 65a ba b θ→→→→⋅∴==⋅(2)b →在a →的方向上的投影为cos 6513b θ→==26.【答案】解：(1)(23)(2)61a b a b →→→→-⋅+=， 2244361a a b b →→→→∴-⋅-=，||4a →=，||3b →=，2244443cos 3361θ∴⨯-⨯⨯-⨯=， ∴解得1cos 2θ=-，120θ∴=︒ ；222(2)||216243cos120913a b a a b b →→→→→→+=+⋅+=+⨯⨯︒+=，||a b →→∴+=∴同理可得||a b →→-=27.【答案】解：(1)由(23)(2)61a b a b -⋅+=，得2244361a a b b -⋅-=，将||4a =，||3b =，代入，整理得6a b ⋅=-； 61(2)cos 432||||a b a b θ⋅-===-⨯，又0θπ，所以23πθ=，2222||243a b a a b b +=+⋅+=+。

2020高考数学专题复习《平面向量测试题》(含答案)

13 7 10 13 2 2 2 必修 4 第二章平面向量教学质量检测一.选择题（5 分×12=60 分）:1. 以下说法错误的是（）A ．零向量与任一非零向量平行 B.零向量与单位向量的模不相等C.平行向量方向相同 D.平行向量一定是共线向量2. 下列四式不能化简为AD 的是（）A. A C BB. ADBCMC. M A BM D ． O OA C3．已知a =（3，4）， b =（5，12）， a 与b 则夹角的余弦为（）A ． 63B ．6565 C ．13 D ．54. 已知 a 、b 均为单位向量,它们的夹角为 60°,那么|a + 3b | =（）A ．B ．C ．D ．4−→→−→→−→5. 已知 ABCDEF 是正六边形，且 AB ＝ a ， AE ＝ b ，则 BC ＝（）→ → → → → → → →（A ） 1 (a - b ) （B ） 1 (b - a ) （C ） a ＋ 1 b （D ） 1 (a + b )2222→→−→→→−→→→−→→→6. 设 a ， b 为不共线向量， AB ＝ a +2 b , BC ＝－4 a － b , CD ＝－5 a －3 b ,则下列关系式中正确的是（）−→−→ −→ −→ −→ −→ −→ −→（A ） AD ＝ BC （B ） AD ＝2 BC （C ） AD ＝－ BC （D ） AD ＝－2 BC→→→→→→7. 设e 1 与e 2 是不共线的非零向量，且 k e 1 ＋ e 2 与e 1 ＋k e 2 共线，则 k 的值是（）（A ） 1 （B ）－1 （C ） ± 1 （D ）任意不为零的实数−→−→−→−→8. 在四边形 ABCD 中， AB ＝ DC ，且 AC · BD ＝0，则四边形 ABCD 是（）（A ）矩形（B ）菱形（C ）直角梯形（D ）等腰梯形−→−→9. 已知 M （－2，7）、N （10，－2），点 P 是线段 MN 上的点，且 PN ＝－2 PM ，则 P 点的坐标为（）（A ）（－14，16）（B ）（22，－11）（C ）（6，1）（D ）（2，4）→→ → → → →10．已知 a ＝（1，2）， b ＝（－2，3），且 k a + b 与 a －k b 垂直，则 k ＝（）（A ） - 1 ± （B ） ± 1（C ） ± 3 （D ） 3 ± r r11、若平面向量a = (1, x ) 和b = (2x + 3, - x ) 互相平行，其中 x ∈ R .则 a - b = （）2A. -2 或 0；B. 2 ；C. 2 或 2 ；D. 2 或10 .12、下面给出的关系式中正确的个数是（）① 0 ⋅22a = 0 ②a ⋅b =b ⋅a ③a =a ④(a ⋅b)c =a(b ⋅c )⑤a ⋅b ≤a ⋅b(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3二.填空题(5分×5=25分):13．若AB = (3,4), Ａ点的坐标为（－２，－１），则Ｂ点的坐标为．14．已知a = (3, -4), b = (2, 3) ，则2 | a | -3a ⋅b =．15、已知向量a = 3,b = (1,2) ，且a ⊥b ，则a 的坐标是。

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2a－b· a＋2b 1 ＝2a2－2b2＋3a· b＝8－18＋9＝－1，故 cosθ＝＝－26，即向 |2a－b|· |a＋2b| 1 量 2a－b 与 a＋2b 的夹角的余弦值是－26，因此选 B. 8．D c＝(1，λ)，d＝(4,3)，若 λ>0，c· d＝4＋3λ＝0 无解， ∴c 不能与 d 垂直，A 不正确．若 λ>0，cos〈c，d〉＝ 4＋3λ c· d 1 ＝＝cos60° ＝2，无解．∴B 不正确． 2 |c||d| 5 1＋λ
高中数学阶段综合测评试题
测试范围：平面向量、数系的扩充与复数的引入 (时间：120 分钟满分：150 分) 温馨提示：1.第Ⅰ卷答案写在答题卡上，第Ⅱ卷书写在试卷上；交卷前请核对班级、姓名、考号.2.本场考试时间为 120 分钟，注意把握好答题时间.3.认真审题，仔细作答，永远不要以粗心为借口原谅自己．第Ⅰ卷(选择题，共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．(2013· 河南三市联考)在复平面内复数 1 1 ，对应的点分别为 A， 1＋i 1－i )
1 1 A.2，2 1 1 C.3，3
)
2 2 B.3，3 2 1 D.3，2
6．(2013· 威海质量监测)已知向量 a，b 满足|a|＝2，且向量 b 在向量 a 方向上的投影为 1，则 a· (a－b)的值为( A．4 C．2 B．3 D．1 )
π 7． (2013· 云南第一次统检)若平面向量 a 与平面向量 b 的夹角等于3， |a| ＝2，|b|＝3，则 2a－b 与 a＋2b 的夹角的余弦值等于( 1 A.26 1 C.12 1 B．－26 1 D．－12 )
8．(2013· 石家庄质量监测)已知向量 a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝a＋λb(λ∈ R)，向量 d 如图所示，则( )
4．复数 z1＝a＋2i， z2＝－2＋i，如果|z1|<|z2|，则实数 a 的取值范围是(
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A．－1<a<1 C．a>0
B．a>1 D．a<－1 或 a>1
→ 5．如图，△ABC 中，AD＝DB，AE＝EC，CD 与 BE 交于 F，设AB＝a， → → AC＝b，AF＝xa＋yb，
则(x，y)为(
4＋3λ c· d 3 若 λ<0，cos〈c，d〉＝＝＝cos30° ＝ 2 ，无解．∴C 不正 2 |c||d| 5 1＋λ 确． 3 当 λ＝4时，c∥d，D 正确． → → → → 9． A 由AB＝DC＝(1,1)，知四边形 ABCD 为平行四边形，且|AB|＝|CD |＝ 2， → → → BA BC BD 又＋＝ 3 ， → → → |BA| |BC| |BD| 知平行四边形 ABCD 为菱形，且 C＝120° ， 3 ∴S 四边形 ABCD＝ 2× 2× 2 ＝ 3.故选 A. → → 10．A 设 AC、BC 的中点分别为 M、N，则已知条件可化为(OA＋OC) → → → → → → ＋2(OB＋OC)＝0，即OM＋2ON＝0，所以OM＝－2ON，说明 M、O、N 共 2 21 1 线，即 O 为中位线 MN 上的三等分点，S△AOC＝3S△ANC＝3· S △ABC＝ S△ABC， 2 3 S△ABC 所以＝3. S△AOC
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解析：∠B＝60° ，则∠AOC＝120° ，当 P 在 A 点时，x＝1，y＝0，x＋y＝1 P 在 A，C 之间得 x>0，y>0 → → → OP＝xOA＋yOC平方得：x2＋y2－xy＝1
(x＋y)2－1＝3xy≤3×
x＋y2 3 ＝ (x＋y)2 4 2
即(x＋y)2≤4，x＋y≤2. 故 1≤x＋y≤2. 17．解：由(z1－2)(1＋i)＝1－i 得 z1－2＝ 1－i 1－i2 即 z1＝＋2 ＝＋2＝2－i. 1＋i 1＋i1－i 设 z2＝a＋2i(a∈R)，则 z1· z2＝(a＋2i)(2－i) ＝(2a＋2)＋(4－a)i. 又 z1· z2 是实数，∴4－a＝0，∴a＝4. ∴z2＝4＋2i. → → → → 1→ 1 1 18．解：∵BA＝OA－OB＝a－b，BM＝6BA＝6a－6b，
16．(2013· 石家庄一模)在△ABC 中，∠B＝60° ，O 为△ABC 的外心，P → → → 为劣弧 AC 上一动点，且OP＝xOA＋yOC(x，y∈R)，则 x＋y 的取值范围为 ________．
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10 分)已知复数 z1 满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数 z2 的虚部为 2，且 z1· z2 是实数，求 z2. → → → 1→ → 18． (12 分)如图，以向量OA＝a， OB＝b 为边作▱OADB， BM＝3BC， CN → → → 1→ ＝3CD，用 a、b 表示OM、ON、MN.
B，若点 C 为线段 AB 的中点，则点 C 对应的复数是( A．1 1 B.2 C．i 1 D.2i
1 2．(2013· 石家庄一模 )复数 z＝1－i ，则 z ＋z 对应的点所在的象限为 ( ) A．第一象限 C．第三象限 B．第二象限 D．第四象限
3．(2013· 贵阳适应性监测)已知向量 a，b，c 中任意两个都不共线，但 a＋b 与 c 共线，且 b＋c 与 a 共线，则向量 a＋b＋c＝( A．a C．c B．b D．0 ) )
→ → → 10．(2013· 大连双基测试)设 O 在△ABC 的内部，且有OA＋2OB＋3OC ＝0，则△ABC 的面积和△AOC 的面积之比为( A．3 C．2 5 B.3 3 D.2 )
11．如图，在平面斜坐标系中，∠xOy＝120° ，平面上任意一点 P 的斜 → 坐标是这样定义的：“若OP＝xe1＋ye2(其中 e1、e2 分别是与 x，y 轴同方向的单位向量)，则点 P 的斜坐标为(x，y)”．那么，在斜坐标系中，以 O 为圆心，2 为半径的圆的方程为( )
19．(12 分)(2013· 河南第二次调研)在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分 → → → → 别为 a，b，c，且满足( 2a－c)BA· BC＝cCB· CA. (1)求角 B 的大小； → → (2)若|BA－BC|＝ 6，求△ABC 的面积的最大值． → → 20．(12 分)平面直角坐标系 xOy 中，已知向量AB＝(6,1)，BC＝(x，y)， → → → CD＝(－2，－3)，且AD∥BC. (1)求 x 与 y 之间的关系式； → → (2)若AC⊥BD，求四边形 ABCD 的面积． 21．(12 分)已知点 M(1＋cos2x,1)，N(1， 3sin2x＋a)(x∈R，a∈R，a → → 是常数)，设 y＝OM· ON(O 为坐标原点)． (1)求 y 关于 x 的函数关系式 y＝f(x)，并求 f(x)的最小正周期； π π (2)若 x∈0，2时，f(x)的最大值为 4，求 a 的值，并求此时 f(x)在0，2
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11．D 据题意可知在斜坐标系中圆上的点 → P(x，y)满足|OP|＝|xe1＋ye2|＝2，即|xe1＋ye2|2＝x2＋y2＋2xye1· e2 ＝x2＋y2＋2xycos120° ＝4，整理可得 x2＋y2－xy＝4，即为所求圆的方程．故选 D. 12．C 1＋2λ → → 1－λ → → 设 AB 边的中点为 D，则OP＝ 3 · (OA＋OB )＋ 3 OC＝
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A．存在 λ>0，使得向量 c 与向量 d 垂直 B．存在 λ>0，使得向量 c 与向量 d 夹角为 60° C．存在 λ<0，使得向量 c 与向量 d 夹角为 30° D．存在 λ>0，使得向量 c 与向量 d 共线 → → 1 → 1 → 3 → 9．在四边形 ABCD 中，AB＝DC＝(1,1)， BA＋ BC＝ BD， →| →| →| |BA |BC |BD 则四边形 ABCD 的面积为( A. 3 C. 6 ) B．2 3 6 D. 2

上的最小值． 22 ． (12 分 ) 已知角 A ， B ， C 是△ ABC 的三个内角，若向量 m ＝
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5 A－B A－B 1－cosA＋B，cos ，n＝，cos ， 2 2 8
9 且 m· n＝8. (1)求 tanAtanB 的值； absinC (2)求 2 2 2的最大值． a ＋b －c
3
A．x2＋y2＝2 C．x2＋y2－xy＝2
B．x2＋y2＝4 D．x2＋y2－xy＝4
12．已知 A、B、C 是平面上不共线的三点，O 为△ABC 的外心，动点 → P 满足OP＝ → → → 1－λOA＋1－λOB＋1＋2λOC (λ∈R)，则 P 的轨迹一定过△ABC 的 3 ( ) A．内心 C．重心 B．垂心 D．AC 边的中点第Ⅱ卷(非选择题，共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在题中横线上) 1－ 3i 13．(2013· 厦门模拟)已知复数 z＝， z 是 z 的共轭复数，则 z 的 3＋i 模等于________． 14．(2013· 河南第二次调研)已知平面向量 α，β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α －2β)，则|2α＋β|的值是________． → → → → → 15．如图，在△ABC 中，AD⊥AB，BC＝ 3 BD，|AD|＝1，则AC· AD＝ ________.

3．D 依题意，设 a＋b＝m c，b＋c＝n a，则有(a＋b)－(b＋c)＝m c －n a，即 a－c＝m c－n a；又 a 与 c 不共线，于是有 m＝－1，n＝－1，a ＋b＝－c，a＋b＋c＝0，选 D. 4．A |z1|＝ a2＋4，|z2|＝ 5，∴ a2＋4< 5， ∴－1<a<1.故选 A. → 2→ → 5． C 延长 AF 交 BC 于 G，由题知 F 为△ABC 重心， AF＝3AG，又AG → 1 1 1 1 ＝2(a＋b)，所以AF＝3(a＋b)＝3a＋3b.