人教新版九年级上22.3实际问题与一元二次方程(2)

复习引入
1.直角三角形的面积公式是什么？ 直角三角形的面积公式是什么？ 直角三角形的面积公式是什么 一般三角形的面积公式是什么？ 一般三角形的面积公式是什么？ 2.正方形的面积公式是什么？ 正方形的面积公式是什么？ 正方形的面积公式是什么 长方形的面积公式又是什么？ 长方形的面积公式又是什么？ 3.梯形的面积公式是什么？ 梯形的面积公式是什么？ 梯形的面积公式是什么 4.菱形的面积公式是什么？ 菱形的面积公式是什么？ 菱形的面积公式是什么 5.平行四边形的面积公式是什么？ 平行四边形的面积公式是什么？ 平行四边形的面积公式是什么 6.圆的面积公式是什么？ 圆的面积公式是什么？ 圆的面积公式是什么
20 x( − x) = 30 即x2-10x+30=0 2
这里a=1,b=-10,c=30, 这里
2
∴ b2 − 4ac = (−10)2 − 4 × 1× 30 = −20 < 0
∴此方程无解. 此方程无解 长的铁丝不能折成面积为30cm2的 ∴用20cm长的铁丝不能折成面积为 长的铁丝不能折成面积为 矩形. 矩形
例2.某校为了美化校园 准备在一块长 米,宽 2.某校为了美化校园,准备在一块长 某校为了美化校园 准备在一块长32米 宽 20米的长方形场地上修筑若干条相同宽度的道 米的长方形场地上修筑若干条相同宽度的道 余下部分作草坪,使草坪的面积为 平方米. 路,余下部分作草坪 使草坪的面积为540平方米. 余下部分作草坪 使草坪的面积 540平方米 并请全校同学参与设计,现在有两位学生各设计 并请全校同学参与设计 现在有两位学生各设计 了一种方案(如图),根据两种设计方案各列出方 了一种方案(如图) 根据两种设计方案各列出方 求图中道路的宽分别是多少? 程,求图中道路的宽分别是多少 求图中道路的宽分别是多少
27cm
解法一:设正中央的矩形两边分别为 解法一 设正中央的矩形两边分别为9xcm,7xcm. 设正中央的矩形两边分别为 依题意得： 依题意得： 9 x × 7 x = 3 × 27 × 21 4
3 3 3 3 (不合题意, 舍去) , x2 = − 解得: 解得 x1 = 2 2
故上下边衬的宽度为: 故上下边衬的宽度为
(1)
(2)
解:(1)如图,设道路的宽为x米,则 :(1)如图,设道路的宽为 米 如图
(32 − 2 x)(20 − 2 x) = 540
化简得, 化简得,
x − 26 x + 25 = 0 ∴ x1 = 25 , x 2 = 1
2
(1)
其中的x=25超出了原矩形的宽,应舍去. 其中的 =25超出了原矩形的宽,应舍去. =25超出了原矩形的宽 (1)中道路的宽为1 ∴图(1)中道路的宽为1米.
33 27−9× 27−9x 2 = 54−27 3 ≈1.8 = 2 2 4
21−7× 33 2 = 42−21 3 ≈1.4 2 4
左右边衬的宽度为: 左右边衬的宽度为
21−7x = 2
解法二:设上下边衬的宽为 解法二 设上下边衬的宽为9xcm,左右边衬宽为 设上下边衬的宽为 左右边衬宽为 7xcm,依题意得 依题意得 3 (27 − 18 x)(21 − 14 x) = × 27 × 21 4 6±3 3 解方程得 x = 4
面积、 面积、体积问题
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复习：列方程解应用题有哪些步骤? 复习：列方程解应用题有哪些步骤?
对于这些步骤,应通过解各种类型的问题, 对于这些步骤,应通过解各种类型的问题, 才能深刻体会与真正掌握列方程解应用题. 才能深刻体会与真正掌握列方程解应用题. 上一节,我们学习了解决“平均增长( 上一节,我们学习了解决“平均增长(下 增长 率问题” 现在,我们要学习解决“面积、 降)率问题”,现在,我们要学习解决“面积、 体积问题” 体积问题”.
如图,设路宽为 米 如图,设路宽为x米, (32- ) 矩形草坪的长(横向) 矩形草坪的长(横向)为 (32-x)米 矩形草坪的宽(纵向) 矩形草坪的宽(纵向) (20-x)米 (20- ) 即 ( 32 − x )( 20 − x ) = 540. x 2 − 52 x + 100 = 0, x1 = 50, x2 = 2 化简得： 化简得：
练习: 练习:
用20cm长的铁丝能否折成面积为30cm2的矩形, 20cm长的铁丝能否折成面积为30cm 的矩形, 长的铁丝能否折成面积为 若能够,求它的长与宽;若不能,请说明理由. 若能够,求它的长与宽;若不能,请说明理由. 20 设这个矩形的长为xcm,则宽为 ( − x) cm, 解:设这个矩形的长为 设这个矩形的长为 则宽为
(2)
,
.
相等关系是:草坪长×草坪宽=540平方米 相等关系是:草坪长×草坪宽=540平方米 =540
其中的x=50超出了原矩形的长和宽,应舍去. 其中的 =50超出了原矩形的长和宽,应舍去. =50超出了原矩形的长和宽 所求道路的宽为2 答:所求道路的宽为2米.
练习： 练习：
1.如图是宽为 米,长为 米的矩形耕地 要修筑 如图是宽为20米 长为 米的矩形耕地,要修筑 长为32米的矩形耕地 如图是宽为 同样宽的三条道路(两条纵向 一条横向,且互相垂 两条纵向,一条横向 同样宽的三条道路 两条纵向 一条横向 且互相垂 把耕地分成六块大小相等的试验地,要使试验 直),把耕地分成六块大小相等的试验地 要使试验 把耕地分成六块大小相等的试验地 地的面积为570平方米 问:道路宽为多少米 平方米,问 道路宽为多少米 道路宽为多少米? 地的面积为 平方米 设道路宽为x米 则 解:设道路宽为 米， ( 32 − 2 x )( 20 − x ) = 570 2 化简得, 化简得 x − 36 x + 35 = 0
其中的x=50超出了原矩形的长和宽,应舍去. 其中的 =50超出了原矩形的长和宽,应舍去. =50超出了原矩形的长和宽 答:所求道路的宽为2米. 所求道路的宽为2
解法二： 解法二：
我们利用“图形经过移动, 我们利用“图形经过移动,它的面积大小 不会改变”的道理,把纵、横两条路移动一下, 不会改变”的道理,把纵、横两条路移动一下, 目的是求出路面的宽, 使列方程容易些 (目的是求出路面的宽,至于 实际施工,仍按原图的位置). 实际施工,仍按原图的位置).
？பைடு நூலகம்
而是从其中减去重叠部分, 而是从其中减去重叠部分,即应是 2 ( 32x + 20 x − x ) 平方米 所以正确的方程是： 所以正确的方程是：
32 × 20 − ( 32 x + 20 x − x 化简得, 化简得, x2 −52x +100 = 0, x1 = 2, x2 = 50
2
) = 540
(以下同学们自己完成 以下同学们自己完成) 以下同学们自己完成
方程的哪个根合 乎实际意义? 乎实际意义 为什么? 为什么
例1.学校为了美化校园环境,在一块长40米、宽 1.学校为了美化校园环境,在一块长40米 学校为了美化校园环境 40 20米的长方形空地上计划新建一块长 米的长方形空地上计划新建一块长9 20米的长方形空地上计划新建一块长9米、宽7米 的长方形花圃. 的长方形花圃. (1)若要在这块空地上设计一个长方形花圃 若要在这块空地上设计一个长方形花圃, (1)若要在这块空地上设计一个长方形花圃,使它 的面积比学校计划新建的长方形花圃的面积 平方米, 多1平方米,请你给出你认为合适的三种不同 的方案; 的方案; (2)在学校计划新建的长方形花圃周长不变的情 (2)在学校计划新建的长方形花圃周长不变的情 况下,长方形花圃的面积能否增加2平方米? 况下,长方形花圃的面积能否增加2平方米?如 果能,请求出长方形花圃的长和宽;如果不能, 果能,请求出长方形花圃的长和宽;如果不能, 请说明理由. 请说明理由.
解:(1)宽AB为x米,则BC为(24-3x)米, 为 米 为 24- ) 这时面积为 S=x(24-3x)=-3x2+24 (24- )= )=24x; (2)由条件-3x2+24 =45, 24x=45, 由条件化为: 化为:x2-8x+15=0 +15= 解得x 解得 1=5,x2=3.
14 24- ≤10得 ∵0＜24-3x≤10得 ≤x＜8 ＜ 3
1 方案1:长为 宽为7米 宽为 解:(1) 方案 长为 9 米,宽为 米; 7 方案2:长为 长为16米 宽为 宽为4米 方案 长为 米,宽为 米; 方案3:长=宽=8米; 方案 长 宽 米 注：本题方案有无数种 (2)在长方形花圃周长不变的情况下 长方形花圃面积 在长方形花圃周长不变的情况下,长方形花圃面积 在长方形花圃周长不变的情况下 不能增加2平方米 平方米. 不能增加 平方米 由题意得长方形长与宽的和为16米.设长方形花圃 由题意得长方形长与宽的和为16米.设长方形花圃 的长为x米 则宽为 则宽为(16-x)米. 的长为 米,则宽为 米 x(16-x)=63+2, x2-16x+65=0， ， ∴ b 2 − 4ac = ( −16) 2 − 4 × 1 × 65 = −4 < 0 此方程无解. ∴此方程无解 在周长不变的情况下,长方形花圃的面积不能增 ∴在周长不变的情况下 长方形花圃的面积不能增 平方米. 加2平方米 平方米
41 ∴ x1 = 3, x2 = − (舍去） . 2 小路的宽为3 答:小路的宽为3米.
( x − 3 )( 2 x + 41 ) = 0
例3.如图,有长为24米的篱笆,一面利用墙(墙的最 3.如图,有长为24米的篱笆,一面利用墙( 如图 24米的篱笆 大可用长度a为10米),围成中间隔有一道篱笆的长 大可用长度 为10米),围成中间隔有一道篱笆的长 方形花圃.设花圃的宽AB为 米 面积为S平方米 平方米. 方形花圃.设花圃的宽 为x米,面积为 平方米. (1)求 与 的函数关系式 的函数关系式; (1)求S与x的函数关系式; (2)如果要围成面积为45平方米的花圃 如果要围成面积为45平方米的花圃, 的 (2)如果要围成面积为45平方米的花圃,AB的 长是多少米？ 长是多少米？