【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学 1.1.2 余弦定理课后知能检测 新人教B版必修5
【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学 2.1.2 向量的加法课后知能检测 新人教B版必修4
【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 2.1.2 向量的加法课后知能检测 新人教B 版必修4一、选择题1．a 、b 为非零向量，且|a ＋b |＝|a |＋|b |，则( ) A ．a ∥b ，且a 与b 方向相同 B ．a 、b 是方向相反的向量 C ．a ＝－bD ．a 、b 无论什么关系均可【解析】 只有a ∥b ，且a 与b 方向相同时才有|a ＋b |＝|a |＋|b |成立．故A 项正确． 【答案】 A2．已知菱形的两邻边OA →＝a ，OB →＝b, 其对角线交点为D ，则OD →等于( ) A.12a ＋b B.12b ＋a C.12(a ＋b ) D ．a ＋b【解析】 作出图形，OA →＋OB →＝OC →＝a ＋b ， ∴OD →＝12(a ＋b )．【答案】 C3．(2013·阜阳高一检测)下列向量的运算结果为零向量的是( ) A.BC →＋AB → B.PM →＋MN →＋MP → C.BC →＋CA →＋AB →＋CD →D.MP →＋GM →＋PQ →＋QG →【解析】 A 项，BC →＋AB →＝AB →＋BC →＝AC →； B 项，PM →＋MN →＋MP →＝PM →＋MP →＋MN →＝MN →； C 项，BC →＋CA →＋AB →＋CD →＝(AB →＋BC →＋CA →)＋CD →＝0＋CD →＝CD →；D 项，MP →＋GM →＋PQ →＋QG →＝(GM →＋MP →)＋(PQ →＋QG →) ＝GP →＋PG →＝0. 【答案】 D4．(2013·济南高一检测)在平行四边形ABCD 中，若|BC →＋BA →|＝|BC →＋AB →|，则四边形ABCD 是( )A ．菱形B ．矩形C ．正方形D ．不确定【解析】 ∵|BC →＋BA →|＝|BD →|， |BC →＋AB →|＝|AB →＋BC →|＝|AC →|， ∴|BD →|＝|AC →|， ∴▱ABCD 是矩形． 【答案】 B5．(2013·嘉兴高一检测)已知P 为△ABC 所在平面内一点，当PA →＋PB →＝PC →成立时，点P 位于( )A ．△ABC 的AB 边上 B ．△ABC 的BC 边上 C ．△ABC 的内部D ．△ABC 的外部 【解析】 如图PA →＋PB →＝PC →，则P 在△ABC 的外部．【答案】 D 二、填空题6．化简(AB →＋MB →)＋BC →＋OM →＋BO →＋CA →＝__________.【解析】 (AB →＋MB →)＋BC →＋OM →＋BO →＋CA →＝AB →＋(BO →＋OM →)＋MB →＋(BC →＋CA →)＝AB →＋BM →＋MB →＋BA →＝AB →＋0＋BA →＝0.【答案】 07．在矩形ABCD 中，若AB ＝3，BC ＝2，则|AB →＋BC →|＝__________. 【解析】 因为AB →＋BC →＝AC →，又AC ＝AB 2＋BC 2＝32＋22＝13， ∴|AB →＋BC →|＝13. 【答案】138．当非零向量a ，b 满足________时，能使a ＋b 平分a 与b 的夹角．【解析】 以a ，b 为邻边构成的平行四边形为菱形时，a ＋b 平分a 与b 的夹角，此时|a |＝|b |.【答案】 |a |＝|b | 三、解答题9．已知|OA →|＝|a |＝3，|OB →|＝|b |＝3，∠AOB ＝60°，求|a ＋b |. 【解】 如图，∵|OA →|＝|OB →|＝3，∴四边形OACB 为菱形．连OC 、AB ，则OC ⊥AB ，设垂足为D . ∵∠AOB ＝60°， ∴AB ＝|OA →|＝3.∴在Rt △BDC 中，CD ＝332.∴|OC →|＝|a ＋b |＝332×2＝3 3.10．如图所示，在▱ABCD 的对角线BD 的延长线上取点E 、F ，使BE ＝DF ，求证：四边形AECF 是平行四边形．图2－1－18【证明】 AE →＝AB →＋BE →，FC →＝FD →＋DC →，又∵AB →＝DC →，BE →＝FD →. ∴AE →＝FC →. ∴AE 綊FC ，∴四边形AECF 是平行四边形．11．如图所示，中心为O 的正八边形A 1A 2…A 7A 8中，a i ＝A i A i ＋1(i ＝1,2，…，7)，b j ＝OA j→(j ＝1,2，…，8)，试化简a 2＋a 5＋b 2＋b 5＋b 7.图2－1－19【解】 因为OA 3→＋OA 7→＝0，所以a 2＋a 5＋b 2＋b 5＋b 7＝A 2A 3→＋A 5A 6→＋OA 2→＋OA 5→＋OA 7→＝(OA 2→＋A 2A 3→)＋(OA 5→＋A 5A 6→)＋OA 7→＝OA 6→＝b 6.。
【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学1.2.3导学的四则运算法则课后知能检测新人教b版选修2-2
【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 1.2.3 导学的四则运算法则课后知能检测新人教B版选修2-2一、选择题1．(2013·深圳高二检测)函数y＝cos (－x)的导数是( )A．cos x B．－cos xC．－sin x D．sin x【解析】y′＝－sin (－x)(－x)′＝－sin x.【答案】 C2．若f(x)＝1－x2sin x，则f(x)的导数是( )A.－2x sin x－－x2xsin2xB.－2x sin x＋－x2xsin2xC.－2x sin x＋－x2sin xD.－2x sin x－－x2sin x【解析】f′(x)＝－x2x－－x2xsin2x＝－2x sin x－－x2cos xsin2x.【答案】 A3．曲线y＝x3＋11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是( )A．－9 B．－3C．9 D．15【解析】∵y′＝3x2，∴y′|x＝1＝3，切线方程为y－12＝3(x－1)，即y＝3x＋9，令x＝0，得y＝9.【答案】 C4．某市在一次降雨过程中，降雨量y(mm)与时间t(min)的函数关系可近似地表示为y ＝f(t)＝10t，则在时刻t＝40 min的降雨强度为( )A ．20 mmB ．400 mm C.12mm/min D.14 mm/min 【解析】 f ′(t )＝1210t ·10＝510t ， ∴f ′(40)＝5400＝14. 【答案】 D 5．已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为( )A ．1B ．2C ．－1D ．－2【解析】 设切点P (x 0，y 0)，则y 0＝x 0＋1＝ln(x 0＋a )． 又由＝1x 0＋a＝1，解得x 0＋a ＝1， ∴y 0＝0，x 0＝－1，∴a ＝2.【答案】 B二、填空题6．(2013·广东高考)若曲线y ＝ax 2－ln x 在点(1，a )处的切线平行于x 轴，则a ＝________.【解析】 因为y ′＝2ax －1x，所以y ′|x ＝1＝2a －1.因为曲线在点(1，a )处的切线平行于x 轴，故其斜率为0，故2a －1＝0，a ＝12. 【答案】 127．已知函数f (x )＝f ′(π2)sin x ＋cos x ，则f ′(π4)＝________. 【解析】 ∵f ′(x )＝f ′(π2)cos x －sin x ， ∴f ′(π2)＝f ′(π2)cos π2－sin π2＝－1， ∴f ′(x )＝－cos x －sin x ，∴f ′(π4)＝－cos π4－sin π4＝－ 2. 【答案】 － 28．曲线y ＝e－2x ＋1在点(0,2)处的切线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形面积是________．【解析】 ∵y ′＝－2e －2x ，∴y ′|x ＝0＝－2，切线方程为y ＝－2x ＋2.∴所围成的三角形的三个顶点为(0,0)，(1,0)，(23，23)． ∴S ＝12×1×23＝13. 【答案】 13三、解答题9．已知函数f (x )＝ln(ax ＋1)＋1－x 1＋x，x ≥0，其中a ＞0，若f ′(1)＝0，求a 的值． 【解】 f ′(x )＝[ln(ax ＋1)]′＋(1－x 1＋x)′ ＝a ax ＋1＋－2＋x 2，∴f ′(1)＝aa ＋1－12＝0， ∴a ＝1. 因此实数a 的值为1.10．若函数f (x )＝e x x在x ＝c 处的导数值与函数值互为相反数，求c 的值． 【解】 由于f (x )＝e x x ，∴f (c )＝e c c， 又f ′(x )＝e x ·x －e x x 2＝e x x －x 2，∴f ′(c )＝e c c －c 2.依题意知f (c )＋f ′(c )＝0，∴e c c ＋e cc －c 2＝0，∴2c －1＝0得c ＝12. 11．设函数f (x )＝ax －b x，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．【解】 (1)由7x －4y －12＝0得y ＝74x －3. 当x ＝2时，y ＝12，∴f (2)＝2a －b 2＝12， ①又f ′(x )＝a ＋b x 2，∴f ′(2)＝a ＋b 4＝74. ② 由①②得⎩⎪⎨⎪⎧ 4a －b ＝1，4a ＋b ＝7，解之，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x. (2)证明：设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 知， 曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝(1＋3x 20)(x －x 0)， 即y －(x 0－3x 0)＝(1＋3x 20)(x －x 0)． 令x ＝0得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为(0，－6x 0)． 令y ＝x 得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12|－6x 0||2x 0|＝6. 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.。
【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学 1.1.1 函数的平均变化率课后知能检测 新人教B版选修2-2
【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 1.1.1 函数的平均变化率课后知能检测 新人教B 版选修2-2一、选择题1．已知函数y ＝f (x )＝x 2＋1，则在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为( ) A ．0.40 B ．0.41 C ．0.43D ．0.44【解析】 Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝2.12＋1－(22＋1) ＝0.41，故选B. 【答案】 B2．若已知函数f (x )＝2x 的图象上点P (1,2)及邻近点Q (1＋Δx,2＋Δy )，则ΔyΔx 的值为( )A ．4B ．4xC ．2＋ΔxD ．2【解析】Δy Δx ＝2 1＋Δx －2Δx＝2. 【答案】 D3．质点运动规律s ＝t 2＋3，则在时间3到3＋Δt 之间的平均速度等于( ) A ．6＋Δt B ．6＋Δt ＋9ΔtC ．3＋ΔtD ．9＋Δt【解析】 平均速度等于Δs Δt ＝ 3＋Δt 2＋3－ 32＋3Δt ＝6＋Δt .【答案】 A4．函数f (x )＝x 2在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为k 1，在x 0－Δx 到x 0之间的平均变化率为k 2，则k 1、k 2的大小关系是( )A ．k 1<k 2B ．k 1>k 2C ．k 1＝k 2D ．无法确定【解析】 ∵k 1＝Δy Δx ＝ x 0＋Δx 2－x 2Δx＝2x 0＋Δx ，k 2＝Δy Δx ＝ x 0 2－ x 0－Δx 2Δx ＝2x 0－Δx .又∵k 1－k 2＝2Δx ，∴k 1与k 2无法比较大小．故选D. 【答案】 D5．在x ＝1附近，取Δx ＝0.3，在四个函数①y ＝x ；②y ＝x 2；③y ＝x 3；④y ＝1x中，平均变化率最大的是( )A ．①B ．②C ．③D ．④【解析】 ∵①Δy Δx ＝Δx Δx ＝1；②Δy Δx ＝ 1＋Δx 2－12Δx ＝2＋Δx ＝2.3；③ Δy Δx ＝ 1＋Δx 3－13Δx＝3＋3Δx ＋Δx 2＝3.99； ④Δy Δx ＝11＋0.3－10.3＝－1013，所以平均变化率最大的是③.故选C. 【答案】 C 二、填空题6．已知函数y ＝x 3－2，当x ＝2时，Δy Δx ＝________.【解析】 Δy Δx ＝ 2＋Δx 3－2－23＋2Δx ＝(Δx )2＋6Δx ＋12.【答案】 (Δx )2＋6Δx ＋127．已知曲线y ＝x 2－1上两点A (3,2)，B (3＋Δx,2＋Δy )，当Δx ＝1时，割线AB 的斜率是________．【解析】 ∵Δx ＝1，∴k ＝ 3＋Δx 2－32Δx ＝6Δx ＋Δx2Δx ＝6＋Δx ＝7.【答案】 78．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋3，且y ＝f (x )在[2，a ]上的平均变化率94，则a ＝________.【解析】 Δy Δx ＝a 2－2a ＋3－ 22－2×2＋3a －2＝a ，由题意得Δy Δx ＝94，∴a ＝94.【答案】 94三、解答题9．求函数y ＝－x 2，y ＝2x ＋1，y ＝x 在x ＝1附近的平均变化率，当Δx 很小时，哪一点附近的平均变化率最大？【解】 y ＝－x 2在x ＝1附近的平均变化率为k 1＝－(2＋Δx )；y ＝2x ＋1在x ＝1附近的平均变化率为k 2＝2；y ＝x 在x ＝1附近的平均变化率为k 3＝Δx1＋Δx ＋1.当Δx 很小时，k 1＜0，k 2＜1，0＜k 3＜1，∴最大的是k 2，即y ＝2x ＋1在x ＝1附近的平均变化率最大．10．求f (x )＝x 3在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率，并计算当x 0＝1，Δx ＝12时平均变化率的值．【解】 当自变量从x 0变化到x 0＋Δx 时，函数的平均变化率为f x 0＋Δx －f x 0Δx＝ x 0＋Δx 3－x 30Δx＝3x 20＋3x 0Δx ＋(Δx )2.当x 0＝1，Δx ＝12时，平均变化率的值为3×12＋3×1×12＋(12)2＝194.11．2010年冬至2011年春，我国北部八省冬麦区遭受严重干旱，根据某市农业部门统计，该市小麦受旱面积如图1－1－2所示，据图回答：图1－1－2(1)2010年11月至2010年12月间，小麦受害面积变化大吗？ (2)哪个时间段内，小麦受害面积增幅最大？(3)从2010年11月到2011年2月，与从2011年1月到2011年2月间，试比较哪个时间段内，小麦受害面积增幅较大？【解】 (1)在2010年11月至2010年12月间，Δs 变化不大，即小麦受害面积变化不大．(2)由图形知，在2011年1月至2011年2月间，平均变化率ΔsΔt 较大，故小麦受害面积增幅最大．(3)在t ∈[2010.11,2011.2]时，平均变化率＝S B －S A3，在t ∈[2011.1,2011.2]时，平均变化率＝S B －S C1＝S B －S C ，显然S B －S C ＞S B －S A3，∴在2011年1月至2011年2月间，小麦受害面积增幅较大.。
(教师用书)2013-2014学年高中数学 1.1 归纳推理课后知能检测 北师大版选修2-2
【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 1.1 归纳推理课后知能检测 北师大版选修2-2一、选择题1．已知数列23，1,112，214，338，…，猜想该数列的第6项为( )A ．4516B ．4316C ．5316D ．5116【解析】 将各项均写成假分数的形式为23，11，32，94，278，…，即3－12－1，3020，3121，3222，3323，…，故猜想第6项为3424＝8116＝5116.【答案】 D2．观察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2 401，…，则72 011的末两位数字为( )A ．01B ．43C ．07D ．49【解析】∵75＝16 807,76＝117 649，由运算规律知末两位数字以4为周期重复出现，故72 011＝74×502＋3，故其末两位数字为43.【答案】 B3．(2013·某某高二检测)观察下列等式：13＋23＝(1＋2)2， 13＋23＋33＝(1＋2＋3)2,13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，…， 根据上述规律第n 个等式为( ) A ．13＋23＋33＋…＋n 3＝(1＋2＋3＋…＋n )2B ．13＋23＋…＋n 3＝[1＋2＋3＋…＋(n ＋1)]2C ．13＋23＋33＋…＋(n ＋1)3＝(1＋2＋3＋…＋n )2D ．13＋23＋33＋…＋(n ＋1)3＝[1＋2＋3＋…＋(n ＋1)]2【解析】 将各等式中的变化规律同n 对应起来可知选D. 【答案】 D4．有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律，拼成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是( )图1－1－6A ．26B ．31C ．32D ．36【解析】 设第n 个图案有a n 个菱形花纹的正六边形，则a 1＝6×1－0，a 2＝6×2－1，a 3＝6×3－2，故猜想a 6＝6×6－5＝31.【答案】 B5．把正偶数列{2n }的各项从小到大依次排成如下的三角形状数表，记M (r ，t )表示该表中第r 行的第t 个数，则表中的数2 014对应于( )2 4 6 8 10 12 14 16 18 20……A ．M (45,14)B ．M (45,27)C ．M (46,14)D ．M (46,27)【解析】 由题意2 014是数列{2n }中的第1 007项，而数阵中的前r 行共有1＋2＋3＋…＋r ＝r ·r ＋12，令r ·r ＋12≤1 007知r 最大值为44.当r ＝44时，前44行共有990项，故2 014位于第45行，第1 007－990＝27个数，即M (45,27)．【答案】 B 二、填空题6．如图1－1－7所示，由若干个点组成形如三角形的图形，每条边(包括两个端点)有n (n >1，n ∈N ＋)个点，每个图形总的点数记为a n ，则a 6＝______________，a n ＝______________.图1－1－7【解析】 依据图形特点可知当n ＝6时，三角形各边上各有6个点，因此a 6＝3×6－3＝15.由n ＝2,3,4,5,6时各图形的特点归纳得a n ＝3n －3(n ≥2，n ∈N ＋)． 【答案】 15 3n －3(n ≥2，n ∈N ＋)7．设n 为正整数，f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n ，计算得f (2)＝32，f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，观察上述结果，可推测一般的结论为________．【解析】 由题意f (21)＝32，f (22)>42，f (23)>52，f (24)>62，故一般的结论为f (2n)≥n ＋22.【答案】f (2n)≥n ＋228．(2013·某某高二检测)设函数f (x )＝xx ＋2(x ＞0)，观察：f 1(x )＝f (x )＝xx ＋2，f 2(x )＝f (f 1(x ))＝x3x ＋4， f 3(x )＝f (f 2(x ))＝x7x ＋8， f 4(x )＝f (f 3(x ))＝x15x ＋16，……根据以上事实，由归纳推理可得：当n ∈N *且n ≥2时，f n (x )＝f (f n －1(x ))＝________.【解析】 依题意，先求函数结果的分母中x 项系数所组成数列的通项公式，由1,3,7,15，…，可推知该数列的通项公式为a n ＝2n－1.又函数结果的分母中常数项依次为2,4,8,16，…，故其通项公式为b n ＝2n.所以当n ≥2时，f n (x )＝f (f n －1(x ))＝x2n－1x ＋2n.【答案】x2n－1x ＋2n三、解答题9．在△ABC 中，不等式1A ＋1B ＋1C ≥9π成立，在四边形ABCD 中，不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ≥162π成立，在五边形ABCDE 中，不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ＋1E ≥253π成立，猜想在n 边形A 1A 2…A n 中，其不等式为什么？【解】 不等式左边项数分别为3,4,5时，不等式右边的数依次为9π，162π，253π，其分子依次为32,42,52，分母依次为(3－2)π，(4－2)π，(5－2)π，故当不等式左边项数为n个时，归纳猜想右边应为n 2n －2π(n ≥3，n ∈N *)，故所求为1A 1＋1A 2＋…＋1A n≥n 2n －2π(n ≥3，n ∈N *)．10．已知：sin 230°＋sin 290°＋sin 2150°＝32，sin 25°＋sin 265°＋sin 2125°＝32.观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并证明之．【解】 一般性的命题为sin 2θ＋sin 2(60°＋θ)＋sin 2(120°＋θ)＝32.证明如下：sin 2θ＋sin 2(60°＋θ)＋sin 2(120°＋θ) ＝1－cos 2θ2＋1－cos 120°＋2θ2＋1－cos 240°＋2θ2＝32－12[cos 2θ＋cos(120°＋2θ)＋cos(240°＋2θ)] ＝32－12[2cos 60°cos(60°＋2θ)＋cos(180°＋60°＋2θ)] ＝32－12[cos(60°＋2θ)－cos(60°＋2θ)] ＝32. 11．设{a n }是集合{2t＋2s|0≤s <t ，且s ，t ∈Z}中所有的数从小到大排列成的数列，即a 1＝3，a 2＝5，a 3＝6，a 4＝9，a 5＝10，a 6＝12，……将数列{a n }各项按照上小下大，左小右大的原则写成如右的三角形数表：3 5 6 9 10 12 … … … … … … … … …(1)写出这个三角形数表的第四行、第五行； (2)求a 100.【解】 (1)由题意，a 1，对应的有序数对(s ，t )为(0,1)．a 2，a 3对应的有序数对(s ，t )分别为(0,2)，(1,2)；a 4，a 5，a 6对应的有序数对(s ，t )分别为(0,3)，(1,3)，(2,3)，故可归纳出第四行各项对应的有序数对依次为 (0,4)，(1,4)，(2,4)，(3,4)． 故第四行为17,18,20,24.第五行各项对应的有序数对(s ，t )依次为(0,5)，(1,5)，(2,5)，(3,5)，(4,5) 故第五行为33,34,36,40,48.(2)将三角形数表中各项对应的有序数对列成下面的数表．(0,1) (0,2) (1,2) (0,3) (1,3) (2,3) (0,4) (1,4) (2,4) (3,4) (0,5) (1,5) (2,5) (3,5) (4,5)可以归纳出行数与t 相等，且各行中的项数与t 相等， 故前t 行共有t t ＋12项，令t t ＋12≤100，得t ≤13， 当t ＝13时，t t ＋12＝91.故a 100位于第14行中第9个数． 故a 100对应的有序数对(s ，t )为(8,14)． 所以a 100＝28＋214.。
【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学1.3.2三角函数的图象与性质课后知能检测2苏教版必修4
【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 1.3.2 三角函数的图象与性质课后知能检测2 苏教版必修4一、填空题1．下列说法正确的有________．(填序号) ①y ＝tan x 是增函数；②y ＝tan x 在第一象限是增函数；③y ＝tan x 在每个区间(k π－π2，k π＋π2)(k ∈Z)上是增函数；④y ＝tan x 在某一区间上是减函数．【解析】 根据正切函数的单调性，可知③正确． 【答案】 ③2．(2013·南通高一检测)函数y ＝lg(3tan x －3)的定义域为________． 【解析】 由y ＝lg(3tan x －3)得3tan x －3＞0，即tan x ＞33， ∴k π＋π6＜x ＜k π＋π2，k ∈Z ，∴y ＝lg(3tan x －3)的定义域为(k π＋π6，k π＋π2)(k ∈Z)．【答案】 (k π＋π6，k π＋π2)(k ∈Z)3．函数y ＝tan(2x ＋π4)的单调递增区间是________．【解析】 由k π－π2＜2x ＋π4＜k π＋π2(k ∈Z)，得k π2－3π8＜x ＜k π2＋π8(k ∈Z)．【答案】 (k π2－3π8，k π2＋π8)(k ∈Z) 4．比较大小：tan π5________tan 13π10.【解析】 tan 13π10＝tan(π＋3π10)＝tan 3π10.∵y ＝tan x 在(0，π2)上是增函数且0＜π5＜3π10＜π2.∴tan π5＜tan 3π10，即tan π5＜tan 13π10.【答案】 ＜5．函数y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |在区间(π2，3π2)内的图象是图1－3－3中的________．图1－3－3【解析】 函数y ＝tan x ＋sin x －|tan x － sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧2tan x ，π2＜x ≤π，2sin x ，π＜x ＜32π.【答案】 (4)6．y ＝tan x2满足下列哪些条件________．(填序号)①在(0，π2)上单调递增；②为奇函数；③以π为最小正周期；④定义域为{x |x ≠π4＋k π2，k ∈Z}．【解析】 令x ∈(0，π2)，则x 2∈(0，π4)，所以y ＝tan x 2在(0，π2)上单调递增正确；tan(－x 2)＝－tan x 2，故y ＝tan x 2为奇函数；T ＝πω＝2π，所以③不正确；由x 2≠π2＋k π，k ∈Z 得，定义域为{x |x ≠π＋2k π，k ∈Z}，所以④不正确．【答案】 ①②7．函数y ＝3tan(2x ＋π3)的对称中心是________．【解析】 2x ＋π3＝k π2，k ∈Z ，∴x ＝k π4－π6，k ∈Z.【答案】 (k π4－π6，0)(k ∈Z) 8．已知函数y ＝tan ωx 在(－π2，π2)内是减函数，则ω的取值范围是________．【解析】 y ＝tan ωx 在(－π2，π2)是减函数，∴ω＜0且π|ω|≥π⇒－1≤ω＜0.【答案】 [－1,0) 二、解答题9．求下列函数的定义域． (1)y ＝3－tan x ；(2)y ＝tan x ＋lg(1－tan x )． 【解】 (1)由3－tan x ≥0， 得tan x ≤ 3.在(－π2，π2)内满足不等式的范围是(－π2，π3]．又y ＝tan x 的周期为π， 故原函数的定义域为(k π－π2，k π＋π3)，k ∈Z. (2)函数y ＝tan x ＋lg(1－tan x )有意义，等价于⎩⎪⎨⎪⎧tan x ≥0，1－tan x ＞0，所以0≤tan x＜1.由正切曲线可得k π≤x ＜k π＋π4，k ∈Z.故原函数的定义域为{x |k π≤x ＜k π＋π4，k∈Z}．10. 已知－π3≤x ≤π4，f (x )＝tan 2x ＋2tan x ＋2，求f (x )的最值及相应的x 值．【解】 ∵－π3≤x ≤π4，∴－3≤tan x ≤1，f (x )＝tan 2x ＋2tan x ＋2＝(tan x ＋1)2＋1，当tan x ＝－1，即x ＝－π4时，f (x )有最小值1，当tan x ＝1即x ＝π4时，f (x )有最大值5.11．判断下列函数的奇偶性．(1)f (x )＝tan x ＋1tan x；(2)f (x )＝lg|tan x |.【解】 (1)要使函数有意义，需满足：tan x ≠0，且tan x 有意义，即x ∈(k π－π2，k π)∪(k π，k π＋π2)，k ∈Z ，可知定义域关于原点对称．又对于定义域内的任意x ，都有f (－x )＝－tan x －1tan x＝－f (x )， ∴函数f (x )为奇函数． (2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ≠π2＋k πk ∈，|tan x |＞0得⎩⎪⎨⎪⎧x ≠π2＋k πk ∈，x ≠k πk ∈，∴函数f (x )的定义域为(－π2＋k π，k π)∪(k π，π2＋k π)，k ∈Z ，定义域关于原点对称．又对任意x ∈(－π2＋k π，k π)∪(k π，π2＋k π)，k ∈Z ，都有f (－x )＝lg|tan(－x )|＝lg|－tan x | ＝lg|tan x |＝f (x )， ∴函数f (x )是偶函数.。
【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学2.2.1直接证明课后知能检测苏教版选修2-2
【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 2.2.1 直接证明课后知能检测苏教版选修2-2一、填空题1．命题“函数f(x)＝x－xln x在区间(0，1)上是增函数”的证明过程“对函数f(x)＝x－xln x求导得f′(x)＝－ln x，当x∈(0，1)时，f′(x)＝－ln x＞0，故函数f(x)在区间(0，1)上是增函数”应用了________的证明方法．【答案】综合法2．欲证2－3＜6－7成立，只需证①(2－3)2＜(6－7)2；②(2－6)2＜(3－7)2；③(2＋7)2＜(3＋6)2；④(2－3－6)2＜(－7)2.则正确的序号是________．【解析】“2－3＜6－7”⇔“2＋7＜3＋6”且2＋7＞0，3＋6＞0，故只需证(2＋7)2＜(3＋6)2.【答案】③3．已知α，β为实数，给出下列三个论断：①αβ＞0；②|α＋β|＞5；③|α|＞22，|β|＞22，以其中的两个论断为条件，另一个论断为结论，写出你认为正确的命题是________．【解析】由①αβ＞0知α，β同号，∴由③知|α|＋|β|＝|α＋β|＞42＞5.【答案】①③⇒②图2－2－24．如图2－2－2，在直四棱柱A1B1C1D1—ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件________时，有A1C⊥B1D1(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形)．【解析】只要使BD⊥平面AA1C1C即可．【答案】 ABCD 为正方形(ABCD 为菱形或AC⊥BD 等)5．已知a ，b 是不相等的正数，x ＝a ＋b2，y ＝a ＋b ，则x ，y 的大小关系是x________y.【解析】 要比较x ，y 的大小．∵x＞0，y ＞0，只需比较x 2，y 2的大小，即a ＋b ＋2ab 2与a ＋b 的大小． ∵a ，b 为不相等的正数，∴2ab ＜a ＋b. ∴a ＋b ＋2ab 2＜a ＋b ， 则x 2＜y 2.∴x ＜y.【答案】 ＜6．已知x ＞0，y ＞0，且x 3＋y 4＝1，则xy 的最大值为________． 【解析】 ∵1＝x 3＋y 4≥2xy 12＝ xy 3. ∴xy ≤3，当且仅当x ＝32，y ＝2时等号成立． 【答案】 37．已知f(x)＝a （2x ＋1）－22x ＋1是奇函数，那么实数a 的值等于________． 【解析】 法一 函数的定义域为R ，函数为奇函数，当x ＝0时f(0)＝0，即2a －22＝0. ∴a ＝1.法二 由奇函数的定义f(－x)＝－f(x)恒成立．即a （2－x ＋1）－22－x ＋1＝－a （2x ＋1）－22x ＋1， 即a （1＋2x ）－21＋x 2x ＋1＝－a （2x ＋1）－22x ＋1恒成立． 即2a ＋a·2x ＋1＝2x ＋1＋2，∴a ＝1. 【答案】 1 8．已知△ABC 的两顶点A 、B 是双曲线x 29－y 216＝1的左右两个焦点，顶点C 在双曲线的右支上，则sin C sin A －sin B＝________． 【解析】 ∵A、B 是双曲线x 29－y 216＝1的左右两个焦点，C 在双曲线的右支上， ∴|AB|＝29＋16＝10，|CA|－|CB|＝6，由正弦定理，得sin C sin A －sin B ＝|AB||BC|－|AC|＝－53. 【答案】 －53二、解答题 9．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等差数列，且2cos 2B －8cos B ＋5＝0，求证：△ABC 为正三角形．【证明】 ∵2cos 2B －8cos B ＋5＝0，∴4cos 2B －8cos B ＋3＝0，∴cos B ＝12或cos B ＝32(舍去)，∴B ＝60°.∵a ，b ，c 等差，∴2b ＝a ＋c ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－（a ＋c 2）22ac ＝12，∴a ＝c.又∵B＝60°，∴△ABC 为正三角形．10．已知a ＞0，1b －1a ＞1，求证：1＋a ＞11－b .【证明】 由1b －1a ＞1，及a ＞0知b ＞0.要证明1＋a ＞11－b ， 只需证明1＋a ·1－b ＞1，即证1＋a －b －ab ＞1，只要证明a －b ＞ab ，即证a －b ab ＞1，也就是1b －1a ＞1， ∵1b －1a ＞1成立(已知)，故原不等式1＋a ＞11－b 成立．图2－2－311．如图2－2－3所示，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC ＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．(1)证明：CD⊥AE；(2)证明：PD⊥平面ABE.【证明】(1)在四棱锥P—ABCD中，因为PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，故PA⊥CD.∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC.又AE⊂平面PAC.所以CD⊥AE.(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA，∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.由(1)知，AE⊥CD，且PC∩CD＝C，所以AE⊥平面PCD.而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD，∴PD在底面ABCD内的射影是AD，∵AB⊥AD，∴AB⊥PD，又∵AB∩AE＝A，故PD⊥平面ABE.。
【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学 1.1.1 命题课时训练 新人教版选修2-
【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学命题课时训练新人教版选修2-1一、选择题1．下列语句是命题的是( )①三角形的内角和等于180°；②2>3；③偶数是自然数；④x＞2；⑤这座山真险啊！A．①②③B．①③④C．①②⑤D．②③⑤【解析】①②③是命题，④中x>2无法判断真假，⑤是感叹句，∴④⑤不是命题．【答案】 A2．(2013·某某高二检测)在空间，下列命题正确的是( )A．平行直线的平行投影重合B．平行于同一直线的两个平面平行C．垂直于同一平面的两个平面平行D．垂直于同一平面的两条直线平行【解析】A中平行投影可能平行，A为假命题．B、C中的两个平面可以平行或相交，为假命题．由线面垂直的性质，D为真命题．【答案】 D3．下列说法正确的是( )A．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”B．语句“当a＞4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”不是命题C．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题D．语句“当a＞4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”是假命题【解析】将命题“直角相等”写成“若p，则q”的形式为：若两个角都是直角，则这两个角相等，所以选项A是错误的；语句“当a＞4时，方程x2－4x＋a＝0有实根．”是陈述句而且可以判断真假，并且是假的，所以选项B是错误的；选项D是正确的；选项C 是错误的，应为“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”．【答案】 D4．(2013·黔东南州高二检测)下列四个命题中，真命题是( ) A．a＞b，c＞d⇒ac＞bdB．a＜b⇒a2＜b2C.1a＜1b⇒a＞bD．a＞b，c＜d⇒a－c＞b－d【解析】可以通过举反例的方法说明A、B、C为假命题．【答案】 D5．设有不同的直线m，n和不同的平面α，β.下列四个命题中，正确的是( ) A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥βC．若α⊥β，m⊂α，则m⊥βD．若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α【解析】若α∥β，m⊂β，n⊂β可知m∥α，n∥α，但m与n可以相交，所以A 不正确；B不正确；若α⊥β，则α中仍有不与β垂直的直线，C不正确；若α⊥β，则在α中可作与β垂直的直线n，又m⊥β，则m∥n，又m⊄α，所以m∥α，D正确．【答案】 D二、填空题6．指出下列命题的条件和结论．(1)当x＝2时，x2－3x＋2≠0.条件是：________，结论是：________.(2)平行四边形的对角线互相平分．条件是：________，结论是：________.【解析】(1)条件是“x＝2”，结论是“x2－3x＋2≠0”．(2)命题可改写为：若一个四边形为平行四边形，则它的对角线互相平分．条件是“四边形为平行四边形”，结论“对角线互相平分”．【答案】(1)x＝2 x2－3x＋2≠0(2)四边形为平行四边形对角线互相平分7．下列命题：①若xy＝1，则x，y互为倒数；②四条边相等的四边形是正方形；③平行四边形是梯形；④若ac2＞bc2，则a＞b.其中真命题的序号是________．【解析】②中四条边相等的四边形是菱形，不一定是正方形，③中平行四边形不是梯形，①、④正确．【答案】①④8．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A—BD—C，有如下四个结论：①AC⊥BD；②△ACD是等边三角形；③AB与平面BCD成45°的角．其中真命题的编号是________．(写出所有真命题的编号)【解析】如图所示，取BD的中点E，连AE、EC，取AC、AD的中点F、G，连结EF、FG、EG.∵AE⊥BD，EC⊥BD，∴∠AEC就是二面角A—BD—C的平面角．∴∠AEC＝90°.由BD⊥平面AEC，可知BD⊥AC，①正确；由△AEC≌△AED，可知AD＝AC＝CD，②正确；由AE⊥平面BCD知，∠ABE＝45°是AB与平面BCD所成的角，③正确．故①②③为真命题．【答案】①②③三、解答题9．判断下列语句是否是命题，若是，判断其真假，并说明理由．①函数y＝sin4x－cos4x的最小正周期是π；②若x＝4，则2x＋1<0 ；③一个等比数列的公比大于1时，该数列为递增数列；④求证：x∈R时，则方程x2－x＋2＝0无实根．【解】①②③是命题，④不是命题．命题①中，y＝sin4x－cos4x＝sin2x－cos2x＝－cos 2x，显然其最小正周期为π，是真命题．命题②中，当x＝4时，2x＋1>0，∴②是假命题．命题③中，若等比数列的首项a1＜0，公比q＞1时，该数列为递减数列，是假命题．④是一个祈使句，没有作出判断，不是命题．10．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．(1)当m >14时，方程mx 2－x ＋1＝0无实根； (2)平行于同一平面的两条直线平行．【解】 (1)命题可改写为：若m >14，则mx 2－x ＋1＝0无实根． ∵当m >14时，Δ＝1－4m <0，所以是真命题． (2)命题可改写为：若两直线平行于同一平面，则它们互相平行．∵平行于同一平面的两条直线可能平行、相交或异面，所以是假命题．11．命题“ax 2－2ax －3≤0恒成立”是真命题，某某数a 的取值X 围．【解】 由于ax 2－2ax －3≤0恒成立是真命题，(1)当a ＝0时，－3≤0成立．(2)当a ≠0时，应满足⎩⎪⎨⎪⎧ a ＜0Δ≤0，解之得－3≤a ＜0.由(1)(2)得a 的取值X 围为[－3,0].。
【课堂新坐标】(教师用书)高中数学 1.2.3 三角函数的诱导公式课后知能检测2 苏教版必修4
【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 1.2.3 三角函数的诱导公式课后知能检测2 苏教版必修4一、填空题1．sin 480°的值为________．【解析】 sin 480°＝sin(360°＋120°)＝sin 120°＝sin(90°＋30°)＝cos 30°＝32. 【答案】322．如果cos α＝15，且α是第四象限角，那么cos(α＋π2)＝________.【解析】 由已知得，sin α＝－1－152＝－265.所以cos(α＋π2)＝－sin α＝－(－265)＝265.【答案】2653．若sin(θ＋3π2)＞0，cos(π2－θ)＞0，则角θ的终边位于第________象限．【解析】 sin(θ＋3π2)＝－cos θ＞0，∴cos θ＜0，cos(π2－θ)＝sin θ＞0，∴θ为第二象限角．【答案】 二4．若f (sin x )＝3－cos 2x ，则f (cos 30°)＝________.【解析】 f (cos 30°)＝f (sin 60°)＝3－cos 120°＝3＋cos 60°＝72或f (cos 30°)＝f (sin 120°)＝3－cos 240°＝3－cos 120°＝72.【答案】 725．(2013·宁波高一检测)已知sin(α－π4)＝13，则cos(π4＋α)＝________.【解析】 ∵(π4＋α)－(α－π4)＝π2，∴cos(π4＋α)＝cos[π2＋(α－π4)]＝－sin(α－π4)＝－13.【答案】 －136．若角A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，则下列等式中一定成立的是________． ①cos(A ＋B )＝cos C ；②sin(A ＋B )＝－sin C ；③cos(A 2＋C )＝cos B ；④sin B ＋C 2＝cos A 2.【解析】 ∵A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋B ＝π－C ，∴cos(A ＋B )＝－cos C ，sin(A ＋B )＝sinC ，所以①②都不正确；同理B ＋C ＝π－A ，所以sinB ＋C2＝sin(π2－A 2)＝cos A2，所以④是正确的．【答案】 ④7．(2013·徐州高一检测)已知cos(π2＋φ)＝32，且|φ|＜π2，则tan φ＝________.【解析】 cos(π2＋φ)＝－sin φ＝32，sin φ＝－32，又∵|φ|＜π2，∴cos φ＝12，故tan φ＝－ 3.【答案】 － 38．已知cos α＝13，且－π2＜α＜0，则－α－ππ＋απ－α3π2－απ2＋α＝________.【解析】 原式＝－cos αα－tan α－cos α－sin α＝tan α，∵cos α＝13，－π2＜α＜0， ∴sin α＝－1－cos 2α＝－223，∴tan α＝sin αcos α＝－2 2.【答案】 －2 2 二、解答题9．已知cos(75°＋x )＝13，其中x 为第三象限角，求cos(105°－x )－2cos(x －15°)的值．【解】 由条件，得cos(105°－x )＝cos(180°－75°－x )＝－cos(75°＋x )＝－13，cos(x －15°)＝cos(－90°＋75°＋x )＝sin(75°＋x )． 又x 为第三象限角，cos(75°＋x )＞0， 所以x ＋75°为第四象限角． 所以sin(75°＋x )＝－223.于是原式＝－13－2×(－223)＝1.10．已知sin α是方程5x2－7x －6＝0的根，求α＋3π23π2－α2π－απ－απ2－απ2＋α的值．【解】 由于方程5x 2－7x －6＝0的两根为2和－35，所以sin α＝－35，再由sin 2α＋cos 2α＝1，得cos α＝±1－sin 2α＝±45，所以tan α＝±34，所以原式＝－cos α－cos α2α－tanαsin α－sin α＝tan α＝±34.11．已知角α的终边经过点P (45，－35)．(1)求sin α的值；(2)求π2－αα－πα＋ππ－α的值．【解】 (1)∵P (45，－35)，|OP |＝1，∴sin α＝－35.(2)π2－αα－πα＋ππ－α＝cos αtan α－sin α－cos α＝1cos α，由三角函数定义知cos α＝45，故所求式子的值为54.。
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【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 1.1.2 余弦定
理课后知能检测 新人教B 版必修5
一、选择题
1．在△ABC 中，已知a 2
＝b 2
＋bc ＋c 2
，则角A 为( ) A.π
3
B.π
6 C.
2π
3
D.
π3或2π3
【解析】 由a 2
＝b 2
＋bc ＋c 2
， 得b 2
＋c 2
－a 2
＝－bc ，
由余弦定理的推论得：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－1
2
，
∴∠A ＝2π
3.
【答案】 C
2．△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，CA ＝6，则AB →·BC →
的值为( ) A ．19 B ．14 C ．－18
D ．－19
【解析】 由余弦定理的推论知
cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝19
35
，
∴AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|·cos(π－B )＝7×5×(－19
35)＝－19.
【答案】 D
3．(2013·朝阳高二检测)在△ABC 中，若a cos B ＝b cos A ，则△ABC 的形状一定是( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形
D ．等腰三角形
【解析】 法一 由正弦定理有sin A cos B ＝sin B cos A ， ∴sin A cos B －cos A sin B ＝0，即sin(A －B )＝0. ∴∠A ＝∠B ，
∴△ABC 为等腰三角形．
法二 由余弦定理有a ·a 2＋c 2－b 22ac ＝b ·b 2＋c 2－a 2
2bc
，
∴a 2
＋c 2
－b 2
＝b 2
＋c 2
－a 2
， ∴a 2
－b 2
＝0，即a ＝b . ∴△ABC 为等腰三角形． 【答案】 D
4．在不等边三角形中，a 是最大的边，若a 2
<b 2
＋c 2
，则角A 的取值范围是
( )
A ．(π
2，π)
B ．(π4，π
2)
C ．(π3，π
2
)
D ．(0，π2
)
【解析】 因为a 是最大的边，所以∠A >π
3，
又∵a 2
<b 2
＋c 2
，
由余弦定理cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc >0，∴∠A <π
2
.
故π3<∠A <π
2. 【答案】 C
5．(2013·东营高二检测)如果将直角三角形三边增加同样的长度，则新三角形形状为( )
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．由增加长度决定
【解析】 设直角△ABC 三边为a ，b ，c 且满足a 2
＋b 2
＝c 2
，三边增加同样的长度m (m >0)，则c ＋m 为最长边，
则(a ＋m )2
＋(b ＋m )2
＝a 2
＋b 2
＋2(a ＋b )m ＋2m 2
， (c ＋m )2
＝c 2
＋2mc ＋m 2
. ∵a ＋b >c ，
∴(a ＋m )2
＋(b ＋m )2
>(c ＋m )2
， 由余弦定理： cos C ＝
a ＋m
2
＋b ＋m 2－c ＋m
2
a ＋m
b ＋m
>0，
∴最大角C 为锐角． 【答案】 A 二、填空题
6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若a ＝2，∠B ＝π
6，c ＝23，
则b ＝________.
【解析】 ∵a ＝2，∠B ＝π
6，c ＝23，
∴b ＝a 2
＋c 2
－2ac cos B ＝4＋12－2×2×23×
3
2
＝2. 【答案】 2
7．在△ABC 中，∠B ＝60°，b 2
＝ac ，则△ABC 的形状为________．
【解析】 由余弦定理得：cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ＝1
2
，
∴(a －c )2
＝0，∴a ＝c .
又∠B ＝60°，∴△ABC 为等边三角形． 【答案】 等边三角形
8．若三边分别为a ，a ＋1，a ＋2的三角形是钝角三角形，则a 的取值范围是________． 【解析】 由题意知a ＋2是三角形的最大边，则
⎩
⎪⎨⎪⎧
a
a ＋
a ＋a ＋
a 2
＋a ＋2
－a ＋
2
2a a ＋
<0
，
∴1<a <3. 【答案】 (1,3) 三、解答题 9．在△ABC 中，
(1)a ＝3，b ＝4，c ＝37，求最大角． (2)b ＝6，c ＝2，∠B ＝60°，求a . 【解】 (1)显然角C 最大，
∴cos C ＝a 2＋b 2－c 2
2ab
＝32
＋42
－372×3×4
＝－12，
∴∠C ＝120°.
(2)法一 由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得sin C ＝c sin B b ＝2sin 60°6＝36＝2
2
，
∴∠C ＝45°或∠C ＝135°. ∵b >c ，∴∠B >∠C ，
又∵∠B ＝60°，∴∠C ＝45°.
∵∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，∴∠A ＝180°－(60°＋45°)＝75°， ∴a 2
＝b 2
＋c 2
－2bc cos A ＝6＋4－46×cos 75°＝10－46×6－2
4
＝4＋23， ∴a ＝4＋23＝3＋1. 法二 ∵b 2
＝a 2
＋c 2
－2ac cos B ， ∴6＝a 2
＋4－4a cos 60°＝a 2
＋4－2a . ∴a 2
－2a －2＝0.
解得a ＝1＋3或a ＝1－3(不合题意，舍去)， ∴a ＝1＋ 3.
10．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a 、b 是方程x 2
－23x ＋2＝0的两个根，且2cos(A ＋B )＝1.求：
(1)角C 的度数； (2)AB 的长度．
【解】 (1)cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B ) ＝－1
2，又∠C ∈(0°，180°)，∴∠C ＝120°.
(2)由题知：⎩⎨
⎧
a ＋
b ＝23，ab ＝2，
∴AB 2
＝AC 2
＋BC 2
－2AC ·BC cos C
＝b 2
＋a 2
－2ab cos 120°＝a 2
＋b 2
＋ab ＝(a ＋b )2
－ab ＝(23)2
－2＝10， ∴AB ＝10.
11．a 、b 、c 分别是△ABC 中角A 、B 、C 的对边，且(sin B ＋sin C ＋sin A )(sin B ＋sin
C －sin A )＝185
sin B sin C ，边b 和c 是关于x 的方程x 2－9x ＋25cos A ＝0的两根(b >c )．
(1)求角A 的正弦值； (2)求边a ，b ，c ； (3)判断△ABC 的形状．
【解】 (1)∵(sin B ＋sin C ＋sin A )(sin B ＋sin C －sin A )＝18
5sin B ·sin C ，
结合正弦定理得
(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝185bc ，整理得b 2＋c 2－a 2
＝85
bc .
由余弦定理得：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝4
5
，
∴sin A ＝3
5
.
(2)由(1)知方程x 2
－9x ＋25cos A ＝0， 可化为x 2
－9x ＋20＝0， 解之得x ＝5或x ＝4. ∵b >c ，∴b ＝5，c ＝4.
由余弦定理知：a 2
＝b 2
＋c 2
－2bc cos A ，∴a ＝3. (3)由(1)(2)知，a 2
＋c 2
＝b 2
， ∴△ABC 为直角三角形.。