圆中的基本概念及定理(一) (含答案)
初中数学知识归纳圆的概念及性质
初中数学知识归纳圆的概念及性质圆是初中数学中的一个重要概念，它具有独特的性质和应用。
本文将对圆的概念及其性质进行归纳总结，以帮助读者更好地理解和掌握这一数学知识点。
一、圆的定义与基本概念圆是由平面上与一个确定点的距离相等的所有点组成的图形。
这个确定点称为圆心，距离称为半径。
圆可以用符号表示为O(A,r)，其中O为圆心，A为圆上的任意一点，r为半径。
二、圆的性质1. 圆的直径圆上的任意两点连线，经过圆心，则称为圆的直径。
直径的长度是半径的两倍，用符号表示为d=2r。
2. 圆的弦圆上的任意两点连线，不经过圆心，则称为圆的弦。
圆的直径是一条特殊的弦，它同时也是最长的弦。
3. 圆的弧圆上的部分曲线，是由两个弦之间的交点所夹的部分，称为圆的弧。
同一个圆上的两个弧可以互补称为对称弧。
4. 圆的周长圆的周长是圆上所有点与圆心的距离之和，也就是圆的一周的长度。
圆的周长公式为C=2πr，其中π取约等于3.14。
5. 圆的面积圆的面积是圆内部的所有点与圆心的距离之和，也就是圆所围成的区域的大小。
圆的面积公式为A=πr²。
6. 圆的切线与切点从圆外一点引一条直线与圆相交，该直线在圆上的切点和与圆相切的直线称为圆的切线。
7. 圆的切圆两个圆相切于一点，称为圆的切圆。
8. 圆的切线定理如果一条直线与一个圆相切，那么与这条直线相垂直的半径也是与这条直线相切的。
9. 圆的相交性质两个圆相交于两个点，这两个点到各自的圆心的距离相等，且此两点不在任一圆内部。
10. 弧长与弧度圆的弧长是指圆心角所对应的弧的长度。
弧度是表示弧长与半径之比，记作θ，弧度大小等于圆心角大小的弧长除以半径，即θ=弧长/半径。
11. 弧长公式圆的弧长公式为L=θr，其中L表示弧长，θ表示圆心角的大小（弧度制），r表示半径。
12. 扇形的面积公式扇形是由圆心角和半径所夹的弧围成的区域，扇形的面积公式为S=1/2θr²，其中S表示扇形的面积。
第一章 圆(讲义)(含答案)
第一章圆（讲义）➢知识点睛1.圆的基本概念及性质：在同一平面内，到定点的距离等于一个固定长度的所有的点构成的图形叫做圆。
这个定点叫做圆的圆心。
连接圆心和圆上的任意一点的线段叫做半径，字母表示为r。
通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，字母表示为d。
直径所在的直线是圆的对称轴。
2.圆的周长与面积:圆的一周长度称为圆的周长，圆的周长与它的直径长度之比称为圆周率，记为π。
因此圆的周长C=rπ=。
圆的内部区域面积称dπ2为圆的面积，圆的面积S=2πr。
3.两个大小不同的同心圆之间的部分称为圆环。
设大圆半径为R，小圆半径为r，则圆环面积S=()2222-=-。
R r R rπππ➢精讲精练经典例题1圆与扇形相关概念：（1）圆中心的一点叫做，一般用字母表示。
（2）连接圆心和圆上任意一点的线段，叫做，用字母表示。
（3）通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做，用字母表示。
直径长度是半径长度的倍。
（4）决定圆的大小；决定圆的位置；圆有条对称轴。
（5）图中涂色部分是一个。
圆上A、B两点之间的部分叫做。
顶点在圆心，两条半径组成的∠AOB，叫做。
（6）圆的周长式：；圆的面积公式：。
经典例题2（1）图中圆的周长是多少？圆的面积是多少？（单位：厘米，π取3.14）（2）下图的周长及面积分别是多少？(π取3.14，单位：米)经典例题3计算下图涂色部分的面积。
（π取3.14）经典例题4如图，有五个同心圆的半径分别是1、2、3、4、5，求图中阴影部分的面积。
（π取3.14）经典例题5如图是圆环的一半，面积是28.26平方厘米，那么图形的周长是多少？（π取3.14）【参考答案】经典例题1：（1）圆心，O（2）半径，r（3）直径，d ，2（4）半径，圆心，无数（5）扇形，弧AB ，圆心角（6）C =π2πd r ，S =2πr经典例题2：（1）周长：94.2cm ，面积：706.52cm（2）周长：40.56米，面积：105.12平方米经典例题3：84.78经典例题4：47.1经典例题5：24.84。
圆中的基本概念及定理(讲义及答案)
圆中的基本概念及定理（讲义）➢课前预习在小学的时候，我们知道“一中同长”表示的是圆，中心称为，固定的线段长称为，还知道半径为r 的圆的周长为，面积为．在七年级我们学习了圆的另外一种说法：平面上，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点形成的图形叫做圆．固定的端点O 称为圆心，线段OA 称为半径．一条弧AB 和经过这条弧的两条半径OA，OB 所组成的图形叫做扇形．顶点在圆心的角叫做圆心角．1➢知识点睛1.在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 所形成的图形叫做．其固定的端点O 叫做，线段OA 叫做．以点O 为圆心的圆，记作，读作“圆O”．2.圆中概念：弧：，弧包括和；弦：；圆周角：；圆心角：；弦心距：；等圆：；等弧：．3.圆的对称性：圆是轴对称图形，其对称轴是；圆是中心对称图形，其对称中心为．4.圆中基本定理：*（1）垂径定理：．推论：．（2）四组量关系定理：在中，如果、、、中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．（3）圆周角定理：．推论1：．推论2：，．推论3：．注：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，那么这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆．圆中处理问题的思路：①找圆心，连半径，转移边；②遇弦，作垂线，垂径定理配合勾股定理建等式；③遇直径，找直角，由直角，找直径；④由弧找角，由角看弧．2➢ 精讲精练1.如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD ⊥AB ，垂足为 M ，下列结论不一定成立的是（ ）︵ ︵A ．CM =DMB ． CB = B DC ．∠ACD =∠ADCD ．OM =MB第 1 题图第 2 题图2. 如图，⊙O 的弦 AB 垂直平分半径 OC ，若 AB = 的半径为．，则⊙O 3.工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是 10 mm ，测得钢珠顶端离零件表面的距离为 8 mm ，如图所示，则这个小圆孔的宽口 AB 的长度为mm ．第 3 题图第 4 题图4. 如图，圆拱桥桥拱的跨度 AB =12 m ，桥拱高 CD =4 m ，则拱桥的直径为．5.如图，在⊙O 中，直径 CD 垂直于弦 AB ，垂足为 E ，连接 OB ， CB ．已知⊙O 的半径为 2，AB = 2，则∠BCD =．6 36.如图，⊙O 的弦CD 与直径AB 相交，若∠BAD=50°，则∠ACD= ．第6 题图第7 题图7.一个圆形人工湖如图所示，弦AB 是湖上的一座桥，已知桥AB 长100 m，测得圆周角∠ACB=45°，则这个人工湖的直径AD 为．8.如图，在半径为3 的⊙O 中，直径AB 与弦CD 相交于点E，连接AC，BD，若AC=3，则∠D= ．9.如图，∠AOB=100°，点C 在⊙O 上，且点C 不与A，B 重合，则∠ACB 的度数为（）A．50°B．80°或50°C．130°D．50°或130°10.如图，点D 为边AC 上一点，点O 为边AB 上一点，AD=DO．以O 为圆心，OD 长为半径作半圆，交AC 于另一点E，交AB 于F，G 两点，连接EF．若∠BAC=22°，则∠EFG= ．11.如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O，如果它的一个外角∠DCE=64°，那么∠BOD 的度数为．12.如图，⊙O 的两条弦AB，CD 互相垂直，垂足为E，且AB=CD，已知CE=1，ED=3，则⊙O 的半径是．13.已知⊙O 的半径为13 cm，弦AB∥CD，AB=24 cm，CD=10 cm，则AB，CD 之间的距离为．2 【参考答案】 ➢ 课前预习圆心；半径；2πr ；πr 2➢ 知识点睛1. 圆；圆心；半径；⊙O ．2. 圆上任意两点间的部分叫做圆弧；优弧；劣弧；连接圆上任意两点的线段叫做弦；顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角； 顶点在圆心的角叫做圆心角； 圆心到弦的距离叫做弦心距； 能够重合的两个圆叫做等圆；在同圆或等圆中，能够相互重合的弧叫做等弧 3. 任意一条过圆心的直线；圆心．4. （1）垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧；平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．（2） 同圆或等圆，两个圆心角，两条弧，两条弦，两个弦心距．（3） 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半；同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 圆内接四边形对角互补．➢ 精讲精练1. D2. 23. 84. 13 m5. 30°6.40°7. 100 cm 8. 60° 9. D 10. 33° 11. 128° 12.13. 7 cm 或 17 cm5。
圆中的概念和性质
如图， BAC是圆周角.
圆周角定义的两个特征：①顶点在圆上②两边都与圆相交
练习：如图， APB是圆周角的是（）
圆周角定理：
圆周角定理：同弧所对的圆周角的度数等于圆心角的度数的一半.
等圆：半径相等（能够重合）的两个圆，叫做等圆.
注意：同圆或者等圆的半径相等.
同心圆的圆心相同，半径不同的圆.
弦：连接圆上任意两点的线段如图中的EF，CD，AB.
直径：经过圆心的弦，如图中的AB
弧：圆上任意两点间的部分，简称弧.如图，以AB为端点的弧记
为 读作“弧AB”.
优弧：大于半圆的弧，用三个字母表示，如图中
劣弧：小于半圆的弧，如图中 与
半圆：任意一条直径把固分成的两条弧，如圆中
等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧，如图中 =
例1.（1）下列说法正确的有_________________（填序号）．
①直径是弦； ②半圆是弧； ③长度相等的两条弧是等弧； ④所对圆心角相等的两条弧是等弧；
⑤半径相等的两个圆是等圆（圆心不同）； ⑥两个半圆是等弧．
A：1个 B：2个 C：3个 D：4个
例2.(1)如图所示，MN为⊙O的弦，∠MON = 70 ，则∠N的度数为（ ）
A：40
B：50
C：55
D：60
(2)如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB，CD的延长线交于点E，若AB = 2DE，∠E = 18 ，则 ∠C = ________，∠AOC = ________．
例3.如图，已知⊙O的直径AB⊥CD于点E，则下列结论不正确的是（ ）
A：CE = DE
B：AE = OE
C：弧BC = 弧BD
圆的性质及相关定理
圆的性质及相关定理圆是几何学中的一个基本概念，是由平面上所有距离等于定值的点构成的图形。
在这篇文章中，我们将探讨圆的性质及相关定理，帮助读者更好地理解和应用圆的知识。
一、圆的基本性质1. 圆心和半径：每个圆都有一个圆心和一个半径。
圆心是圆上所有点的中心位置，通常用字母O表示。
半径是从圆心到圆上的任意点的距离，通常用字母r表示。
2. 直径：直径是通过圆心的任意两点间的线段。
直径的长度等于半径的两倍。
3. 弧：圆上两点之间的弧是连接这两点的圆上的一部分。
圆上的弧可以根据其长度分为弧长和弧度。
4. 弦：弦是连接圆上任意两点的线段。
直径是最长的弦。
5. 弧度和角度：弧度是一个与圆的半径相关的度量单位，用符号rad表示。
角度是以度为单位的度量，用符号°表示。
二、圆的定理1. 切线定理：从圆外一点引一条切线，切线与半径的连线垂直。
2. 切线与弦定理：切线和弦的交点处的角等于从该点到弦的两个割线所夹的弧对应的角。
3. 弧中角定理：在同一个圆上，弧所对的圆心角相等，而弧所对的弦所夹的角则相等。
4. 圆心角定理：在同一个圆上，圆心角是其所对弧的两倍。
5. 弧长定理：同样大小的圆心角所对应的弧长相等。
6. 切割圆定理：如果有两个弧相交于圆心，它们所对的圆心角互补（和为180°）。
三、应用示例1. 计算圆的面积：圆的面积公式为A = πr²，其中A表示面积，π是一个近似值，约等于3.14，r为半径。
2. 计算圆的周长：圆的周长公式为C = 2πr，其中C表示周长，π是一个近似值，约等于3.14，r为半径。
3. 判断点是否在圆内：计算点到圆心的距离，如果小于半径，则点在圆内。
4. 判断两个圆是否相交：计算两个圆心之间的距离，如果小于两个半径之和，则两个圆相交。
总结：本文介绍了圆的基本性质和相关定理。
通过学习圆的性质，我们可以更好地理解和应用圆的知识，解决与圆相关的几何问题。
希望本文对读者有所帮助，并在几何学学习中起到指导作用。
数学九年级下册圆的知识点
数学九年级下册圆的知识点圆是数学几何中的一个重要概念，广泛应用于各个领域。
在九年级的数学学习中，我们将更加深入地学习圆的相关知识。
本文将围绕圆的定义、性质、公式和应用等方面展开详细介绍。
一、圆的定义在数学中，圆是由平面上到一个固定点距离相等的所有点组成的图形。
其中，距离固定点最远的点称为圆的半径，固定点称为圆心。
圆心与圆上任意一点之间的线段称为半径。
二、圆的性质1. 圆的半径相等性质：圆上任意两点间的线段都是半径，且长度相等。
2. 圆的直径性质：圆的直径是圆上任意两点的连线，且长度是半径的两倍。
3. 圆的弦性质：圆上的弦分为等弦和不等弦两种。
等弦对应的弦长相等，而不等弦对应的弦长不相等。
4. 圆的切线性质：过圆上一点可以作无数条切线，这些切线与以该点为顶点的两条切线相等，且相互垂直。
三、圆的公式1. 圆的周长公式：圆的周长称为圆周长，通常用C表示，公式为C = 2πr，其中r为圆的半径，π取近似值3.14。
2. 圆的面积公式：圆的面积称为圆面积，通常用A表示，公式为A = πr²，其中r为圆的半径，π取近似值3.14。
四、圆的应用1. 圆的运动学应用：在物理学中，圆的运动学应用非常广泛，例如机械运动中的回转运动、行星围绕太阳的椭圆轨道等。
2. 圆的建筑应用：在建筑学中，圆被广泛应用于设计和构建中，例如建筑物中的圆形窗户、圆形拱门等。
3. 圆的电子应用：在电子工程中，圆被广泛应用于电路板设计、天线设计等领域。
4. 圆的地理应用：在地理学中，圆被用于表示地球的形状，地球是近似于一个球体。
总结：在数学九年级下册中，我们系统学习了圆的定义、性质、公式和应用等知识点。
掌握了这些知识，我们能够更好地理解圆的特性，应用于各种实际问题中。
通过灵活运用圆的相关知识，我们可以提高解决问题的能力和思维能力，为今后的数学学习打下坚实的基础。
中考圆的复习资料(经典+全)
圆的知识点复习知识点1垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
题型1.在直径为1000mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，若油面宽AB＝800mm，则油的最大深度为 mm.2. 如图，在△ABC中，∠C是直角，AC=12，BC=16，以C为圆心，AC为半径的圆交斜边AB于D，求AD的长。
3. 如图，弦AB垂直于⊙O的直径CD，OA=5，AB=6，求BC长。
CBDA4. 如图所示，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD于M，CD=15cm，OM：OC=3：5，求弦AB的长。
知识点2 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。
弦心距：过圆心作弦的垂线，圆心与垂足之间的距离叫弦心距。
定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角度数相等，所对的弦相等。
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角度数相等，所对的弧相等。
题型1. 如果两条弦相等，那么（）A．这两条弦所对的弧相等 B．这两条弦所对的圆心角相等C．这两条弦的弦心距相等 D．以上答案都不对2.下列说法正确的是（）A．相等的圆心角所对的弧相等 B．在同圆中，等弧所对的圆心角相等C．相等的弦所对的圆心到弦的距离相等 D．圆心到弦的距离相等，则弦相等3.线段AB是弧AB 所对的弦，AB的垂直平分线CD分别交弧AB、AC于C、D，AD的垂直平分线EF分别交弧AB、AB于E、F，DB的垂直平分线GH分别交弧AB、AB于G、H，则下面结论不正确的是（）A．弧AC=弧CB B.弧EC=弧CG C.EF=FH D.弧AE=弧EC4. 弦心距是弦的一半时，弦与直径的比是________，弦所对的圆心角是_____.5. 如图，AB 为⊙O 直径，E 是BC 中点，OE 交BC 于点D ，BD=3，AB=10，则AC=_____.6. 如图，AB 和DE 是⊙O 的直径，弦AC ∥DE ，若弦BE=3，则弦CE=________．7. 如图，已知AB 、CD 为⊙O 的两条弦，弧AD =弧BC , 求证：AB =CD 。
第二十六讲 圆的相关概念及应用
【解】(1)连接 OA，OC，过 O 作 OH⊥AC 于点 H，如图 1，
∵∠ABC＝120°，∴∠AMC＝180°－∠ABC＝60°.
∴∠AOC＝2∠AMC＝120°.∴∠AOH＝12∠AOC＝60°.
∵AH＝12AC＝
3，∴OA＝
AH sin60
＝2.
故⊙O 的半径为 2.
.
课堂精讲
(2)证明：在 BM 上截取 BE＝BC，连接 CE，如图 2， ∵∠MBC＝60°，BE＝BC，∴△EBC 是等边三角形． ∴CE＝CB＝BE，∠BCE＝60°.∴∠BCD＋∠DCE＝60°. ∵∠ACM＝60°，∴∠ECM＋∠DCE＝60°.∴∠ECM＝∠BCD. ∵∠ABC＝120°，BM 平分∠ABC，∴∠ABM＝∠CBM＝60°. ∴∠CAM＝∠CBM＝60°，∠ACM＝∠ABM＝60°. ∴△ACM 是等边三角形． ∴AC＝CM.∴△ACB≌△MCE(SAS)．∴AB＝ME. ∵ME＋EB＝BM，∴AB＋BC＝BM.
知识回顾
2．与圆有关的概念
弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等． 连接圆上任意两点的线段叫__弦__；经过圆心的弦叫_直__径____，是圆
内最长的弦；圆上任意两点间的部分叫__圆__弧___，简称弧，圆的 任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫作 __半__圆___，大于半圆的弧叫作__优__弧___，小于半圆的弧叫作 __劣__弧___，能够完全重合的弧叫作__等__弧___；能够重合的两个圆叫 作_等__圆____；圆心相同的圆叫作___同__心__圆__．
3．推论 推论1：同弧或等弧所对的圆周角__相__等____． 推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是__直__角____.90°的圆周角所对的弦
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学生做题前请先回答以下问题
问题1：圆中相关的定理以及推论：
垂径定理：____________________________________________________；
推论：________________________________________________________；
总结：知二推三①___________________________________，
②_______________________，③______________________，
④_______________________，⑤______________________．
问题2：四组量关系定理：在_____________________中，如果_______________、______________、_______________、_______________中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
问题3：圆周角定理：_______________________________________；
推论1：______________________________________；
推论2：____________________________；________________________________．
推论3：______________________________________．
问题4：三点定圆定理：_____________________________________．
问题5：圆中处理问题的思路：
①_______________________________________；
②_______________________________________；
③_______________________________________；
④_______________________________________．
圆中的基本概念及定理(一)
一、单选题(共10道，每道10分)
1.如图，CD是⊙O直径，弦AB⊥CD，垂足为点F，连接BC，BD，则下列结论不一定正确的是( )
A. B.AF=BF
C.OF=CF
D.∠DBC=90°
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：圆周角定理
2.如图，在⊙O中，若点C是的中点，∠A=50°，则∠BOC=( )
A.40°
B.45°
C.50°
D.60°
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：圆心角、弧、弦的关系
3.如图，点A，B，C在⊙O上，∠ABO=32°，∠ACO=38°，则∠BOC的度数为( )
A.60°
B.70°
C.120°
D.140°
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：圆周角定理
4.如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的大小为( )
A.45°
B.50°
C.60°
D.75°
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：圆内接四边形的性质
5.如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，且AE=CD=8，，则⊙O 的半径为( )
A. B.5
C.4
D.3
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：圆周角定理
6.如图，直径为10的⊙A经过点C(0，5)和点O(0，0)，若B是y轴右侧⊙A上一点，则cos∠OBC的值为( )
A. B.
C. D.
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：锐角三角函数的定义
7.如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，若∠ABC=50°，则∠D的度数为( )
A.50°
B.45°
C.40°
D.30°
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：圆周角定理
8.如图，四边形ABCD是圆内接四边形，AB是⊙O的直径，若∠BAC=20°，则∠ADC的度数为( )
A.110°
B.100°
C.120°
D.90°
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：圆内接四边形的性质
9.如图，圆心角∠AOB=120°，P是上任一点（不与A，B重合），点C在AP的延长线上，则∠BPC的度数为( )
A.45°
B.60°
C.75°
D.85°
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：圆内接四边形的性质
10.如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长，交⊙O于点E，连接EC．若AB=8，CD=2，则EC的长为( )
A. B.8 C. D.
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：圆周角定理。