稳态误差单位阶跃响应1
稳态误差的计算_图文(精)
ess 与输入和开环传递函数有关。 显然， 假设开环传递函数 Gk (s) 的形式如下：
K Gk ( s ) s
2 ( s 1 ) ( s i k 2 k k s 1) 2 ( T s 1 ) ( T s j l 2 lTl s 1) j 1 l 1 i 1 n1 k 1 n2 m1 m2
R(s)
E ' (s) E (s) H (s)
E’(s) 1/H(s)
N(s)
C(s)
e(t)
E(s)
+
B(s)
式中： r(t)为给定输入； 图 典型反馈系统结构图 b(t)为系统主反馈信号。 H （ s ）是测量装置的传递函数（通常我们认为是理想的）， 故此时误差就是给定输入与测量装置的输出量之差。 误差的定义
s 0
当 0时，K v lim sKG0 ( s ) 0 ,
s 0
当 1时，K v lim KG0 ( s ) K , s 0 K 当 2时，K v lim G0 ( s) , s 0 s 结论：
0型系统稳态时不能跟踪斜坡输入
ess 1 ess K ess 0
单位阶跃函数输入时的稳态误差
1 当输入为 R ( s ) 时（单位阶跃函数） s sR(s) 1 1 1 ess lim s 0 1 G ( s) 1 lim Gk (s) 1 lim K G (s) 1 K p k s 0 0 s 0 s 式中：K p lim Gk ( s ) 称为位置误差系数； s 0 1 当 0时，K p lim KG0 ( s ) K , ess s 0 1 K K 当 1时，K p lim G0 ( s ) , ess 0 s 0 s K p 的大小反映了系统在阶跃输入下的稳态精度。 K p 越大，ess 越 小。所以说 K p 反映了系统跟踪阶跃输入的能力。
自动控制理论稳态误差
3
3.5 线性系统的稳定性分析
线性定常系统稳定的充分必要条件
jω
s平面
稳定区域 稳定区域
不稳定区域
σ
不稳定区域
临界稳定 /临界不稳定 不稳定
根在复平面的位置
4
上节课要点复习
3.5 线性系统的稳定性分析
劳斯(Routh)稳定判据
S控制系统稳定的必要条件是：控制系统特征方程式的 所有系数符号相同且不为零（不缺项）。
K
−
K
+1 t
(1 − e T )
K +1
ess
=1−
K K +1
=
1 K +1
开环、闭环传递函数？！！ 17
3.3 二阶系统的时域分析(例子)
二阶系统的单位阶跃响应
R(s)
E(s)
ω
2 n
Y (s)
R(s)
ω
2 n
Y (s)
s(s + 2ζωn )
s2
+
2ζω n s
+
ω
2 n
a)
b)
G(s)H (s) =
E(s)
K
Ts
Y (s)
R(s)
K Y(s)
Ts + K
a)
b)
Ⅰ型系统 K p = ∞
−Kt
y(t) = 1− e T
R(s)
E(s)
K
Y (s)
R(s)
K
Y (s)
Ts +1
Ts + K +1
K P = limG(s)H (s) s→0
ess
=1 1+ Kp
《自动控制原理》第三章 3-5 稳态误差计算
R(s) E(s)
k
C(s)
--
s(s 2)
（参考答案：
kt s
k 355.6, kt 0.094; k 44.4, kt 0.055;）
能源与动力学院 第三章 线性系统的时域分析法
26
二、系统的闭环特征方程为， s33 s22sk0
试确定使系统稳定的k值范围以及系统产生等幅振荡的 频率。
能源与动力学院 第三章 线性系统的时域分析法
21
渐进稳定：若线性控制系统在初始扰动的影响下， 其动态过程随时间的推移逐渐衰减并趋于零(原平衡 工作点)。 不稳定：若在初始扰动影响下，系统的动态过程随 时间的推移而发散。
临界稳定：若系统的响应随时间的推移而趋于常值 或等幅正弦振荡
能源与动力学院 第三章 线性系统的时域分析法
第三章 线性系统的时域分析法
25
一、系统结构如图
（1）当kt 0，k9 且r(t)1(t) ，求系统的调节时 t s
间 和超调量% (;n 3 , 1 /3 ,ts 3 .5 ,% 3 .9 2 % 3
（2）若要求阶跃响应的峰值时t间p 0.5 秒，单位斜
坡响应的稳态误差ess 0.1 ，求k，k t 。
N(s)
C(s)
G2 (s)
H (s)
输出端误差定义
E'n
(s)
Cn(s)
G2(s)
1G1(s)G2(s)H(s)
N(s)
输入端误差定义
En(s)
Cn(s)H(s)
G2(s)H(S) 1G1(s)G2(s)H(s)
N(s)
能源与动力学院 第三章 线性系统的时域分析法
15
4. 扰动作用下稳态误差…
一阶系统单位阶跃响应的稳态误差
一阶系统单位阶跃响应的稳态误差
在一阶系统的单位阶跃响应中，稳态误差是指输出信号与输入信号之间的差异。
根据控制工程中的定义，单位阶跃输入信号是指斜率为1的阶跃函数。
而稳态误差可以通过系统的传递函数和控制系统的特性来计算。
考虑一个一阶系统的传递函数为G(s)，其中s为复变量。
传递函数通常表示为：
G(s) = K / (Ts + 1)
其中K是系统的增益，T是系统的时间常数。
该传递函数表示了输入信号和输出信号之间的关系。
对于单位阶跃输入信号的稳态误差计算，我们可以使用斯蒂夫斯特恩稳态误差公式。
根据该公式，单位阶跃输入信号的稳态误差为：
ess = 1 / (1 + Kp)
其中Kp为开环系统的静态增益，定义为K乘以传递函数在零频率下的增益。
在一阶系统中，Kp就等于K。
因此稳态误差可以表示为：
ess = 1 / (1 + K)
以上是一阶系统单位阶跃响应的稳态误差的计算公式。
请注意，这是一个一般情况下的表达式，具体的数值计算需要根据系统的具体参数进行。
单位阶跃响应的动态指标
单位阶跃响应的动态指标单位阶跃响应是指系统对输入信号为单位阶跃函数而产生的响应。
单位阶跃函数是一种特殊的信号，它在t=0时从0突变到1，其数学表达式可以表示为u(t)=1(t>=0)。
单位阶跃响应在控制系统领域具有广泛的应用，可以用于分析系统动态特性和评估系统性能。
1.时间指标时间指标是用来描述单位阶跃响应的时间特性。
主要包括：上升时间Tr、峰值时间Tp、峰值超调量Mp、稳态误差、超调量Ts以及调节时间Ts。
上升时间Tr是指输出达到峰值的时间，通常定义为单位阶跃函数的输入信号从0到1所需的时间。
上升时间越短，说明系统响应速度越快。
峰值时间Tp是指输出响应的峰值出现的时间，通常指单位阶跃响应达到最大值的时间。
峰值超调量Mp是指单位阶跃响应的最大超调量，通常用百分比表示。
超调量Mp越小，说明系统的稳定性越好。
稳态误差是指单位阶跃响应达到稳定值后与期望值之间的偏差。
稳态误差越小，说明系统的跟踪性能越好。
超调量Ts是指单位阶跃响应达到最大值时，相对于单位阶跃信号的幅值比例差。
超调量越小，系统的稳定性和响应速度越好。
调节时间Ts是指单位阶跃响应从0到达接近稳态的时间，通常定义为响应曲线距离稳态值5%的时间。
2.频率指标频率指标用于描述单位阶跃响应的频率特性。
主要包括：截止频率ωc、相位裕量PM、增益裕量GM以及带宽。
截止频率ωc是指单位阶跃响应曲线的截止频率，也是系统的带宽。
带宽越大，表示系统对高频信号的响应越快。
相位裕量PM是指单位阶跃响应曲线相位曲线与水平轴之间的最小夹角，用来衡量系统的相位稳定性。
相位裕量越大，系统的相位稳定性越好。
增益裕量GM是指单位阶跃响应曲线增益曲线在截止频率处的衰减量。
增益裕量越大，系统的稳定性越好。
带宽是指单位阶跃响应的频率范围，通常定义为单位阶跃信号的幅频特性曲线上的-3dB点对应的频率范围。
以上是单位阶跃响应的主要动态指标。
这些指标可以帮助工程师分析系统的性能特性和优化系统的设计。
稳态误差的定义
+鬃 ? an- 1s + an = 0
(a0 > 0)
线性系统稳定的必要条件：
特征方程中各项系数为正。 线性系统稳定的充要条件： 劳斯表中第一列各值都为正。
劳斯表
sn
sn-1
D(s) = a0 sn + a1sn- 1 + 鬃 ? an- 1s + an = 0
a0 a1 a2 a3 1 a0 a4 c23 = a1 a1 a5 1 a1 a5 c24 = c13 c13 c33 1 c13 c33 c25 = c14 c14 c34 c2,n- 1 a4 a5
§3－5 线性系统的稳定性分析
一、稳定性的概念
稳定性定义
系统稳定的定义 特点 系统自身的固有特性，与初始条件及外作用无关。
二、线性系统稳定的充要条件
线性系统稳定的数学表示 (t) Φ（ s）
lim k ( t ) 0
t
k(t)
1
线性系统稳定的充要条件
闭环传递函数： F ( s) =
辅助方程F(s)=0系数
F(s)=s4－3s2－4=0
s 2 －1.5 s1 －16.7
4
0
F’(s)=4s －6s=0
辅助方程F ’(s)=0系数 s 0 3
－4
方程中出现大小相等方向相反的根的个数为4个。
10
D( s) = s6 + s5 - 2s 4 - 3s3 - 7s 2 - 4s - 4 = 0
t
稳态分量
二、稳态误差的一般计算方法——终值定理法 当sE(s)极点均位于s左半平面（包括坐标原点）时，根据拉
sE ( s ) 氏变换终值定理，有 ess lim s0
自动控制原理第3章 习题及解析
自动控制原理（上）习 题3-1 设系统的结构如图3-51所示，试分析参数b 对单位阶跃响应过渡过程的影响。
考察一阶系统未知参数对系统动态响应的影响。
解 由系统的方框图可得系统闭环响应传递函数为/(1)()()111K Ts Ks Kbs T Kb s Ts +Φ==++++ 根据输入信号写出输出函数表达式：111()()()()()11/()K Y s s R s K s T Kb s s s T bK =Φ⋅=⋅=-++++对上式进行拉式反变换有1()(1)t T bKy t K e-+=-当0b >时，系统响应速度变慢；当/0T K b -<<时，系统响应速度变快。
3-2 设用11Ts +描述温度计特性。
现用温度计测量盛在容器内的水温，发现1min 可指示96%的实际水温值。
如果容器水温以0.1/min C ︒的速度呈线性变化，试计算温度计的稳态指示误差。
考察一阶系统的稳态性能分析(I 型系统的，斜坡响应稳态误差)解 由开环传递函数推导出闭环传递函数，进一步得到时间响应函数为：()1t T r y t T e -⎛⎫=- ⎪⎝⎭其中r T 为假设的实际水温，由题意得到：600.961Te-=-推出18.64T =，此时求输入为()0.1r t t =⋅时的稳态误差。
由一阶系统时间响应分析可知，单位斜坡响应的稳态误差为T ，所以稳态指示误差为：lim ()0.1 1.864t e t T →∞==3-3 已知一阶系统的传递函数()10/(0.21)G s s =+今欲采用图3-52所示负反馈的办法将过渡过程时间s t 减小为原来的1/10，并保证总的放大倍数不变，试选择H K 和0K 的值。
解 一阶系统的调节时间s t 与时间常数成正比，则根据要求可知总的传递函数为10()(0.2/101)s s Φ=+由图可知系统的闭环传递函数为000(10()()1()0.211010110()0.21110H HHHK G s K Y s R s K G s s K K K s s K ==++++==Φ++）比较系数有101011011010HHK K K ⎧=⎪+⎨⎪+=⎩ 解得00.9,10H K K ==3-4 已知二阶系统的单位阶跃响应为1.5()1012sin(1.6+53.1t y t e t -=-）试求系统的超调量%σ，峰值时间p t ，上升时间r t 和调节时间s t 。
单位阶跃响应与单位脉冲响应
dn d tn
c(t )
a1
d n1 d t n1
c(t )
an 1
d dt
c(t )
anc(t )
b0
dm d tm
r (t ) b1
d m1 d t m1
r (t )
bm 1
d dt
r (t )
bmr (t )
微分方
齐次方程通解
特解
程的解
c(t) c1(t) c2 (t)
第三章
M
p
c(t p ) c() 100 % c()
振荡次数 N：
在调整时间ts内系统响应曲线的振荡次数。实测时， 可按响应曲线穿越稳态值次数的一半计数。
CHANG’AN UNIVERSITY
长安大学信息工程学院
自动控制理论
第三章
➢评价系统准确性的性能指标
ISE
J
e2 (t)dt 0
o
t
R(s)
2A S3
当A=1/2时称为单位抛物线函数,其数学表达式为
r (t )
0 1 2
t
t0 t0
R(s)
1 S3
CHANG’AN UNIVERSITY
长安大学信息工程学院
自动控制理论
四．脉冲函数
r(t)
A
第三章
0
r (t )
A
t 0及t 0t
（平方误差积分）
ITSE
J
0
te2
(t
)dt
（时间乘平方误差的积分）
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r(t)
y(t)
系统
10
r(t)
y(t)
系统
R(s) G(s)
Y(s)
4种典型响应之间的关系
11
即
脉冲响应=阶跃响应的微分
或 阶跃响应=斜坡响应的微分 斜坡响应=抛物线响应的微分
注：最常用的是单位阶跃响应
r(t)
y(t)
系统
12
3.3 控制系统的暂态响应特性
单位阶跃响应与性能指标 一阶系统的暂态响应特性 二阶规范型系统的暂态响应特性 零点对二阶系统暂态响应的影响 高阶系统的暂态响应
1.8
1.6 0.4
1.4 0.5
y(t) 1.2 0.6 1.0 0.7 0.8 0.8 0.6
0.4
0.2
=0 0.1 0.2 0.3
1.0 2.0
误差带Δ=5%
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
nt
ζ≈0.7 时按Δ=5%调节时间最短（称为最佳阻尼比） 33
欠阻尼二阶系统的暂态指标估算
ess:稳态误差 tr:上升时间 ts:调节时间
t
15
单位阶跃响应2——衰减振荡型
y(t)
误差带Δ=5%
1
0
tr
tp
ess:稳态误差 tr:上升时间 tp:峰值时间 ts:调节时间
ts
ess
t
16
3.3.2 一阶系统的暂态响应特性
数学模型为
r(t)
y(t)
系统
以下设 K=1 ，T>0
T<0时G的极点位置？
r(t) = 1( t )
一般情况下可表示为 r(t) = A×1( t )
对应的拉氏变换为
R(s) = A / s
5
② 斜坡（速度）信号
r(t)
R(s) = A / s2
A=1 时 单位斜坡信号
0
t
③ 抛物线（加速度）信号 r(t)
R(s) = A / s3
0
t
A=1 时 单位抛物线信号
6
④ 脉冲信号
r(t)
矩形 脉冲
0
t
令ε→0，即得脉冲信号的数学表达式为
R(s) = A A=1时 单位脉冲函数，记作δ(t)
7
⑤ 正弦信号
A为振幅，ω为角频率，φ为初始相角。
8
4 种典型输入信号之间的关系
微 对抛物线信号微分 = 斜坡信号
分 关
对斜坡信号微分 = 阶跃信号
系 对阶跃信号微分 = 脉冲信号
积 对脉冲信号积分 = 阶跃信号
K=5 K=2
26
time
控制量仿真曲线（无扰动）
K=10
u(t)
K=5
K=2
time
27
输出量仿真曲线（有扰动）
K=10
y(t) d=1(t-5)
K=5 K=2
28
time
3.3.3 二阶规范型系统的暂态响应特性
（只讨论阶跃响应） 数学模型为
R(s)
Y(s)
G(s)
ζ=1：临界阻尼 （重极点）
R(s)
Y(s)
G(s)
S平面
j
0 P=-1/T T>0时G的极点分布
17
一阶系统的典型响应
（1）单位阶跃响应
r(t)
y(t)
系统
R(s)
G(s)
Y(s)
稳态分量
暂态分量
T<0时， y(t)？
K≠1 时， y(t)=？
18
0.9 0.1
暂态性能指标：ts= 3T（Δ=5% ）, tr=2.2T, σp= 0
P(s)
F(s)
22
K与控制量u(t)的关系：
∴ K↑ u↑
u图
K与稳态误差 ess 的关系：
e图
其期望值 = 5
即 K↑ ess↓
23
抗扰性分析
抗扰性能：
K↑ T↓，1-Kd↓ 快速性↑，稳态误差↓
d图
C(s)
P(s)
F(s)
24
Simulink仿真结构图
25
输出量仿真曲线（无扰动）
K=10 y(t)
分 关
对阶跃信号积分 = 斜坡信号
系 对斜坡信号积分 = 抛物线信号
9
典型初始条件与典型响应
典型初始条件：零初始状态，即 在t=0时 系统 的输入及输出以及各阶导数均为零。即在外作 用施加之前系统是静止的。
典型响应：系统在零初始状态下，在典型输入 信号作用下的响应。如：单位脉冲响应、单位 阶跃响应、单位斜坡响应、单位抛物线响应。
0<ζ<1
极 点 分
振荡 发散
无阻尼
欠阻尼
布
等幅
单调
振荡
ζ>1
发散
过阻尼
29
稳态分量
暂态分量
30
注：阻尼角与极点位置的关系
s平面
j
s1 ×
0 s2 × 极点位置与阻尼角
变化特征：极点与虚轴的距离越远，响应越快；极 点的阻尼角越小，响应越平稳。
31
32
二阶规范系统的单位阶跃响应（ζ≥0）
2.0
稳态跟踪精度高或稳态误差小
动态（暂态）响应性能
可概括为 稳、 快、 准
（跟踪、抗扰）响应的快速性、平稳性好 稳定、平稳
2
典型跟踪响应：
期望值
y
time
3
典型抗扰响应：
期望值
加扰动
y time
4
3.2 几种典型输入信号及响应之间的关系
① 阶跃信号
r(t) A
A 为常数
0
t
A=1 时 单位阶跃信号，常表示为
稳态指标：ess= 0
ts= 4T（Δ=2% ）
特点：T↓（极点与虚轴的距离↑） 快速性↑
19
（2）一阶系统的单位脉冲响应 变化趋势与阶跃响应一致
20
（3）一阶系统的单位斜坡响应
有稳态误差(ess=T) 变化趋势同样与阶跃响应一致
21
反馈控制系统分析例（一阶）
暂态性能： K↑ T↓快速性↑
图
C(s)
1. 峰值时间与超调量
s平面
j
s1 ×
0 s2 × 极点位置与阻尼角
34
s平面
j
π
s1 ×
0 s2 × 极点位置与阻尼角
35
2. 上升时间
s平面
j
s1 ×
0 s2 × 极点位置与阻尼角
36
2. 调节时间
y(t)
直接求解比较困难，
∴根据包络线估算
1
0 T 2T 3T
t
37
s平面
j
s1 ×
0 s2 × 极点位置与阻尼角
本章主要内容
1. 对自动控制系统的基本要求 2. 几种典型输入信号及响应之间的关系 3. 控制系统的暂态响应特性 4. 控制系统的稳定性 5. 控制系统的稳态误差
1
3.1 对自动控制系统的基本要求
稳定性
re
u
y
控制器
对象
受扰后能恢复平衡，
跟踪输入信号时不 振荡或发散
检测
反馈控制系统
稳态响应性能
小结：对于欠阻尼二阶系统，极点的阻尼角（阻尼 比）决定响应的平稳性
阻尼角（阻尼比）一定时，极点与虚轴的距离决定 响应的快速性
38
过阻尼二阶系统的暂态指标估算
R(s)
Y(s)
G(s)
可看作两个惯性环 节的串联，暂态指
4.8 =1
13
3.3.1 单位阶跃响应与性能指标
性能指标：优化类， 非优化类
响应曲线的特性
优化需要较多的数学 分析和计算，而基于 响应曲线特性的非优 化问题则更为直观。
re
u
y
控制器
对象
检测
反馈控制系统
本章讨论非优化类的暂态和稳态指标。
14
单位阶跃响应1——非振荡型
y(t)
误差带Δ=5%
ess
0 tr ts