一阶系统的时间响应
一阶系统的时间响应
给一阶系统输入单位阶跃信号，根据一阶系统的传递函数，计算其拉氏反变换，求 出微分方程的解c(t)，即为一阶系统的单位阶跃响应。其实质就是根据已知条件（单 位阶跃信号），利用传递函数和拉氏反变换，求出输出信号c(t)。
因为输入信号是单位阶跃信号，所以 Rs 1
s
又因为
Gs
Cs RS
e
t T
，t
0
显然，
d
ct
t
1
e
t T
dt
cI t
dcI t
dt
1 T
e
t T
c t
即单位阶跃响应是单位斜坡响 应的导数，单位脉冲响应是单 位阶跃响应的导数。
3.2.5 线性定常系统时间响应的性质 （2）
由此可得出以下结论（线性定常系统重要特征）：
Ts 1 s2
s2
s
s
1 T
查拉氏变换对照表得一阶系统的单位斜坡响应为
ct
t
T
Te
t T
，t
0
一阶系统的单位斜坡响应曲线
如图所示，该响应系统存在误差信号
e(t)，误差信号
et
rt ct
t
t
T
Te
t T
T
1
e
t T
当t→∞时，e
在t=0时，响应曲线的切线斜率为1/T。 时间常数决定于系统参数，与输入
信号无关。
3.2.3 一阶系统的单位斜坡响应
因为输入信号是单位斜坡函数，所以
Rs
实验二——一阶系统的时域响应及参数测定
实验二 一阶系统的时域响应及参数测定实验指导说明书一、实验目的1．了解双闭环不可逆直流调速系统的原理、组成及主要单元部件的作用。
2．掌握双闭环不可逆直流调速系统的调试步骤、方法及参数的测定。
3．研究调节器参数对系统动态性能的影响二、实验内容1．理论设计：根据所学的理论知识和实践技能，了解带转速微分负反馈的双闭环V-M 调速系统的基本原理，解决积分调节器的饱和非线性问题；采用工程设计方法设计一个带转速微分负反馈的双闭环直流调速系统(含主电路和控制电路,选择的元器件，系统的电气原理图)。
2．仿真实践：根据所设计系统，利用MATLAB/Simulink 建立各个组成部分相应的数学模型，并对系统仿真模型进行综合调试，分析系统的动态性能，并进行校正，得出正确的仿真实验波形和合适控制器参数，为搭建实际系统提供参考。
三、实验步骤四、附录1001()101000.1110.1s s s sφ==⨯++ 参数：惯性环节的时间常数T=0.1S 域响应：C(S)=R(S)⨯()s φR(S) 反拉普拉斯变换t 域响应：()c t =1L -（C(S)）()-10()()()(1)101r t =,()0,<0100110011()10100101010.1(t)=10(1-e )t C S R S S R S t S S C S S S S S S Sc φ=≥⎧=⎨⎩⎛⎫=⋅==- ⎪++⎝⎭+输入信号是单位阶跃函数，t （）一阶系统的时域响应：任务：（1）在单位阶跃信号作用下，求取一阶系统的输出响应;设置不同的参数，分析系统输出响应。
（2）在单位斜坡信号作用下，求取一阶系统的输出响应；设置不同的参数，分析系统输出响应。
技巧：建立自控系统的模型，首先必须掌握控制系统的工作原理，并根据工作原理建立系统的动态结构方框图，依此建立系统的控制模型。
在单位阶跃作用下，R(S)=1/S,C(S)=101101010()()()0.1()0.110.10.1110110100.1110()101()10()100101(1)1011010tC S R S S S S S S s s s s c t t e t c t c φ-===-++=-=-++=-→∝∝=-===⨯-⨯=。
一阶系统的时域响应实验报告
一阶系统的时域响应实验报告实验目的：通过实验观察一阶系统的时域响应情况，掌握一阶系统的传递函数及其参数对响应的影响。
实验器材：示波器、信号发生器、直流电源、一阶滤波器。
实验原理：一阶系统的传递函数为H(s)=K/(Ts+1)，其中K为系统的增益，T为系统的时间常数。
系统的单位阶跃响应为h(t)=K(1-e^(-t/T))。
实验步骤：1、按照实验电路连接图连接电路。
2、将示波器接在电路输出端，用信号发生器产生一个频率为1kHz的正弦波作为输入信号，调节直流电源，使得输入信号幅值为1V。
3、测量电路输出波形，记录幅值、峰值、频率等数据。
4、将输入信号改为单位阶跃信号，在示波器上观察并记录输出信号的响应过程，测量电路的时间常数T。
实验结果及分析：1、在实验中，我们按照传统的RC低通滤波器的电路连接方式，将滤波器动态系统搭建起来。
2、对于一个RC电路，可以证明其传递函数为H(s)=1/(RCs+1)。
因此在实验中，我们可以通过改变RC电路的$RC$值来改变系统的时间常数，并观察其对系统响应的影响。
3、实验中我们观察到，当输入信号为正弦波时，系统能够对信号进行较好的滤波，输出信号幅值与频率的比例关系为a1=f^-1。
4、当输入信号为单位阶跃信号时，我们能够观察到系统的单位阶跃响应。
在实验中，我们通过观察输出信号的时间常数，可以得到系统的时间常数T。
5、实验中，我们还观察到了系统的过渡过程。
在输入信号发生变化后，系统的输出信号不会立即改变，而是经过一段时间才能够达到稳态。
在实验中，我们通过调节系统的时间常数来观察过渡过程的变化，从而获得了对一阶系统的更深刻的认识。
实验结论：通过本实验，我们详细地了解了一阶系统的时间常数、单位阶跃响应等数学概念，同时还深入掌握了一阶系统的响应机理。
此外，我们还利用实验数据验证了一阶系统的传递函数的正确性，并进一步掌握了如何通过调节时间常数来改变系统响应的技巧。
(自动控制原理)3一阶系统的时间响应及动态性能
06
结论
一阶系统的时间响应及动态性能总结
一阶系统的时间响应特性
一阶系统在输入信号的作用下，其输出量随时间变化的过程。通过分析一阶系统的传递函数，可以得出其时间响应的 特性，包括上升时间、峰值时间、调节时间和超调量等。
一阶系统的动态性能分析
动态性能是一阶系统对输入信号的响应能力，包括系统的稳定性、快速性和准确性等。通过分析一阶系统的开环和闭 环频率特性，可以得出其动态性能的特性，如相位裕度和幅值裕度等。
3
在实际应用中，可以通过实验或理论分析来获取 一阶系统的数学模型。
一阶系统的分类
01
根据时间常数T的大小，一阶系统可以分为快系统和 慢系统。
02
时间常数T较小的一阶系统称为快系统，其动态响应 速度较快。
03
时间常数T较大的一阶系统称为慢系统，其动态响应 速度较慢。
03
一阶系统的时间响应分析
时间响应的定义与计算
实例二：一阶系统的单位脉冲响应模拟
总结词：时间常数
详细描述：与单位阶跃响应类似，一阶系统的单位脉冲响应的时间常数也是系统的重要参数，它决定 了系统衰减到零所需的时间。时间常数越小，系统衰减到零所需的时间越短。
实例三：一阶系统的动态性能优化实例
总结词
PID控制器
详细描述
为了优化一阶系统的动态性能，可以采用PID控制器。PID控制器能够根据系统 的输入和输出信号调整系统的参数，从而改善系统的性能指标，如超调量、调 节时间和稳态误差等。
详细描述：由于一阶系统的单位阶跃响应具有快速跟踪 的特点，因此系统在稳态时不会产生静差，输出能够精 确地跟踪输入信号。
详细描述：一阶系统的单位阶跃响应的时间常数是系统 的重要参数，它决定了系统达到稳态值所需的时间。时 间常数越小，系统达到稳态值所需的时间越短。
控制系统的时域分析_一二阶时间响应讲述
控制系统的时域分析_一二阶时间响应讲述时域分析是控制系统理论中的重要内容，主要用于分析系统的时间响应。
在时域分析中，我们会关注系统的输入和输出之间的关系，并研究系统在时间上的性能指标和特征。
本文将重点讲述一阶和二阶系统的时间响应。
一、一阶系统的时间响应一阶系统是指系统的传递函数中只有一个一阶多项式的系统，其传递函数形式为：G(s)=K/(Ts+1)其中，K是系统的增益，T是系统的时间常数。
一阶系统的单位阶跃响应是常用的时间响应之一，通过对系统施加一个单位阶跃输入，可以得到系统的响应曲线。
单位阶跃输入可以表示为：u(t)=1由于一阶系统的传递函数是一个一阶多项式，因此它的拉普拉斯变换可以通过部分分式展开得到：G(s)=K/(Ts+1)=A/(s+1/T)通过进行拉普拉斯逆变换，可以得到系统的单位阶跃响应函数y(t)：y(t) = K(1 - exp(-t/T))其中，exp(-t/T)为底数为e的指数函数，表示系统的响应曲线在t时刻的衰减程度。
从单位阶跃响应函数可以看出，一阶系统的时间常数T决定了系统的响应速度和衰减程度。
时间常数越小，系统的响应越快速，衰减程度也越快。
二、二阶系统的时间响应二阶系统是指系统的传递函数中有一个二阶多项式的系统，通常可以表示为：G(s) = K / (s^2 + 2ξω_ns+ω_n^2)其中，K是系统的增益，ξ是系统的阻尼比，ω_n是系统的自然频率。
二阶系统的时间常数和质量阻尼比是描述系统性能的重要参数。
时间常数决定了系统响应的速度，质量阻尼比则影响了系统的稳定性和衰减程度。
对于二阶系统的单位阶跃响应，可以通过拉普拉斯逆变换得到响应函数y(t)：y(t) = K*(1 - (1-ξ^2)^0.5 * exp(-ξω_nt) * cos((1-ξ^2)^0.5 * ω_nt + φ))其中，φ为相位角，由初始条件和变量确定。
从单位阶跃响应函数可以看出，二阶系统的阻尼比ξ决定了系统的过阻尼、临界阻尼和欠阻尼的响应形式。
(自动控制原理)3一阶系统的时间响应及动态性能
(自动控制原理)3一阶系 统的时间响应及动态性能
本节介绍一阶系统的定义、特点以及时间响应，探讨影响动态性能的因素和 常见应用场景，并讨论比例控制、积分控制和比例积分控制方法。
一阶系统的定义和特点
定义
一阶系统是指具有一个能量存储元件和一个能 量传递元件的线性系பைடு நூலகம்。
特点
一阶系统具有简单的结构、易于分析和控制、 但响应速度较慢。
一阶系统的时间响应
1
零状态响应
当输入信号改变时，系统从初始状态开始的响应。
2
零输入响应
当输入信号为零时，系统由初始状态跟踪到平衡状态的响应。
3
控制一阶系统的方法
比例控制、积分控制和比例积分控制。
一阶系统的动态性能指标
1 响应速度
衡量系统从初始状态到达稳定状态所需的时间。
2 超调量
描述系统响应超过稳态值的程度。
3 阻尼比
描述系统振荡响应的衰减程度。
影响一阶系统动态性能的因素
1 系统增益
增加系统增益可以加快响应速度，但可能导致超调量增加。
2 时延效应
时延会影响系统的稳定性和响应速度。
常见应用场景
温度控制
一阶系统常用于室内温度控制，如空调、恒温器等。
速度控制
一阶系统可用于调节电机速度，如风扇、电动车等。
结论
快速性分析一阶二阶系统响应
快速性分析一阶二阶系统响应一阶和二阶系统是控制系统中常见的两种类型。
了解和分析这两种系统的响应特性对于掌握控制工程非常重要。
下面将从理论和实际角度分别讨论一阶和二阶系统的快速性分析。
一、一阶系统响应分析一阶系统是指具有一个可控参数的一阶微分方程。
常见的一阶系统包括RC电路和RL电路。
其方程形式为：τdy(t)/dt + y(t) = Ku(t)其中，τ是系统的时间常数，K是系统的增益，u(t)是输入信号，y(t)是输出信号。
1.理论分析一阶系统的理论响应可通过对微分方程进行求解来得到。
假设输入信号u(t)为单位阶跃函数，即：u(t)=1,t≥0;u(t)=0,t<0此时，微分方程的解为：y(t)=1-e^(-t/τ)根据解析解，可以得到一阶系统的重要性能指标：a) 上升时间（Rise Time）：定义为系统输出从0.1到0.9之间所需的时间。
对于一阶系统，上升时间可以近似为：Tr≈2.2τb) 峰值时间（Peak Time）：定义为系统输出达到峰值的时间。
Tp≈3τc) 超调量（Overshoot）：指系统输出超过其稳态值的最大量。
OS≈(e^(-π/(√(1-ζ^2)))-1)×100%其中，ζ是系统的阻尼比，对于一阶系统，ζ仅能取0，因此一阶系统不存在超调量。
d) 调节时间（Settling Time）：定义为系统输出在误差范围内稳定的时间。
Ts≈4τ2.实际分析除了理论分析，我们还可以通过实验或仿真来评估一阶系统的快速性能。
以下是一些实际分析的步骤：a)根据系统的特性指标选择适当的输入信号，例如单位阶跃、正弦波等。
b)将选定的输入信号施加到系统上，并记录系统的输出响应。
c)根据实际记录的数据，计算系统的性能指标，如上升时间、峰值时间等。
二、二阶系统响应分析二阶系统是具有二阶微分方程的系统，常见的例子包括机械振动系统、电路振荡器等。
其方程形式为：τ^2d^2y(t)/dt^2 + 2ζτdy(t)/dt + y(t) = Ku(t)其中，τ是系统的时间常数，ζ是系统的阻尼比，K是系统的增益，u(t)是输入信号，y(t)是输出信号。
第三章 一阶系统的时间响应
微 分
一阶系统对典型输入信号的响应
输入信号 时域 输入信号 频域 输出响应
微 分
传递函数
(t )
1
1 S 1 S2
1 T e T
t
(t 0)
1(t) t
1 2 t 2
1 e
t T
t 0
t T
t T Te
t 0
t T
1 S3
1 2 t Tt T 2 (1 e 2
t 0
1 T
一阶系统的单位函数响 应函数是一个递增的指 数函数。
一阶系统的时间常数不同，其单位阶跃响应曲线上 升的速度不同，时间常数越大，上升越慢（惯性越 大），反之，依然。
一阶系统过渡过程： •一阶系统的单位阶跃响应曲线从初值上升到稳态值的98%或 稳态值的95%所经历的过程。 过渡过程时间（调整时间）： •一阶系统的单位响应曲线从初值上升到稳态值的98%或稳态 值的95%所经历的时间。 •当⊿取2%时，一阶系统过渡过程时间约为4T。
应用这个结论,在实验建模时,我们只要测到系统的单位脉冲 响函数,然后,对其进行Laplace变换就可以求得系统的传递 函数.这对于所有的线性定常系统都适用.
应用这个结论,在实验建模时,我们只要测到系统的单位脉冲 响函数,然后,对其进行Laplace变换就可以求得系统的传递 函数.这对于所有的线性定常系统都适用.
X o (s) n2 G (s) 2 2 X i ( s ) s 2 n s n
式中， n 称为二阶系统的无阻尼固有频率；
称为系统的阻尼比。 n,是二阶系统的特征参数，表明了
二阶系统与外界无关的特性。
系统的特征方程为
2 s 2 2 n s n 0
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δ (t ) =
+∞ −∞
0(t ≠ 0) ∞(t = 0)
∫ δ (t)dt =1
单位斜坡函数的定义为
d[I (t )] =0 = δ (t ) dt
即单位脉冲函数是单位阶跃函数的导数。 即单位脉冲函数是单位阶跃函数的导数。
t −T
，此时e(t)=T。 。 →0 此时
所以可得以下结论： 所以可得以下结论：
足够大时， 当t足够大时，一阶系统跟踪单位斜坡信 足够大时 号输入的稳态误差为时间常数T； 号输入的稳态误差为时间常数 ；时间 常数T越小，该环节的稳态误差越小。 常数 越小，该环节的稳态误差越小。 越小
3.2.4 一阶系统的单位脉冲响应
3.2 一阶系统的时间响应
一阶系统的数学模型 一阶系统的单位阶跃响应 一阶系统的单位斜坡响应 一阶系统的单位脉冲响应 线性定常系统时间响应的性质
3.2.1 一阶系统的数学模型（1） 一阶系统的数学模型（ ）
定义
能用一阶微分方程描述的系统称为一阶系统。 能用一阶微分方程描述的系统称为一阶系统。 系统传递函数中分母多项式中s的最高幂数为 的系统称为一阶系统 系统传递函数中分母多项式中 的最高幂数为1的系统称为一阶系统。 的最高幂数为 的系统称为一阶系统。 一阶系统的典型形式是惯性环节。 一阶系统的典型形式是惯性环节。
查拉氏变换对照表得一阶系统的单位斜坡响应为
(t c(t) = t −T +Te ，≥ 0)
t −T
一阶系统的单位斜坡响应曲线
如图所示， 如图所示，该响应系统存在误差信号 e(t)，误差信号 ，
e(t) = r(t) −c(t) = t − t −T +Te
当t→∞时，e−T 时
t
(
t −T
) =T(1−e )
线性时变系统和非线性系统不具备该特征。 线性时变系统和非线性系统不具备该特征。
数学模型
一阶系统的数学模型为 a
传递函数
传递函数的一般形式为 T为时间常数。 为时间常数。 为时间常数
dc(t ) + bc(t ) = r(t ) dt
为放大系数， ，式中K为放大系数， 式中 为放大系数
(s) = C(s) = K G R(S) Ts +1
3.2.1 一阶系统的数学模型（2） 一阶系统的数学模型（ ）
一阶系统的单位阶跃响应曲线
结论
一阶惯性系统总是稳定的，无振荡。 一阶惯性系统总是稳定的，无振荡。 时间常数T可以定义为系统的响应时 时间常数 可以定义为系统的响应时 间达到稳态值的63.2％所需的时间。 ％所需的时间。 间达到稳态值的 反之， 反之，可以用实验的方法测出响应 曲线达到稳态值的63.2％高度时所需 ％ 曲线达到稳态值的 时间，即为惯性环节的时间常数T。 时间，即为惯性环节的时间常数 。 经过时间3T~4T，响应曲线已达到稳 ， 经过时间 态值的95 ％，可认为其调整 态值的 ％ ~98 ％，可认为其调整 过程已经完成， 过程已经完成，故一般取调整时间 ts=(3~4)T。 。 在t=0时，响应曲线的切线斜率为 。 时 响应曲线的切线斜率为1/T。 时间常数决定于系统参数， 时间常数决定于系统参数，与输入 信号无关。 信号无关。
G(s) =
C(s) 1 = R(S) Ts +1
1 s
所以， 所以，输出信号的拉氏变换为 查拉氏变换对照表得
1 1 1 1 ⋅ = − C(s) = G(s)R(S) = 1 Ts +1 s s s + T
t −T
c(t) =1−e
此即为一阶系统的单位阶跃响应。式中 称为系统的时间常数 具有时间量纲， 称为系统的时间常数， 此即为一阶系统的单位阶跃响应。式中T称为系统的时间常数，具有时间量纲，是 一阶系统的重要特征参数，表征了系统过渡过程的品质， 越小 系统响应越快。 越小， 一阶系统的重要特征参数，表征了系统过渡过程的品质，T越小，系统响应越快。
பைடு நூலகம்
(t ct (t ) = t −T +Te ，≥ 0)
t −T
一阶单位阶跃信号的时间响应为
cI (t ) =1−e
1 T
t −T
t −T
一阶单位脉冲信号的时间响应为
即单位阶跃响应是单位斜坡响 应的导数，单位脉冲响应是单 应的导数， 位阶跃响应的导数。 位阶跃响应的导数。
(t cδ (t ) = e ，≥ 0)
3.2.3 一阶系统的单位斜坡响应
因为输入信号是单位斜坡函数， 因为输入信号是单位斜坡函数，所以 R(s) = 又因为
G(s) =
C(s) 1 = R(S) Ts +1
1 s2
所以， 所以，输出信号的拉氏变换为
1 1 1 T T ⋅ 2= 2− + C(s) = G(s)R(S) = 1 Ts +1 s s s s+T
因为输入信号是单位脉冲信号， 因为输入信号是单位脉冲信号，所以 R(s) =1 又
G(s) =
C(s) 1 = R(S) Ts +1
所以
1 1 T C(s) = G(s)R(S) = = 1 Ts +1 s + T
对其进行拉氏反变换得一阶系统的单位脉冲响应为
(t c(t ) = e ，≥ 0)
1 T
t −T
其时间响应曲线如右图所示。 其时间响应曲线如右图所示。
3.2.5 线性定常系统时间响应的性质 （1） ）
单位阶跃函数的定义为
现在对单位斜坡函数求导， 现在对单位斜坡函数求导，得
0(t < 0) I (t ) = 1(t ≥ 0)
单位脉冲函数的定义为
d[t(t )] =1= I (t ) dt
0(t < 0) t(t ) = t(t ≥ 0)
3.2.5 线性定常系统时间响应的性质 （2） ）
现在分析三个典型输入信号的时间 响应。 响应。 一阶单位斜坡信号的时间响应为
显然， 显然，
t d[ct (t )] −T =1−e = cI (t ) dt t d[cI (t )] 1 −T = e = cδ (t ) dt T
3.2.5 线性定常系统时间响应的性质 （2） ）
由此可得出以下结论（线性定常系统重要特征）： 由此可得出以下结论（线性定常系统重要特征）：
系统对输入信号导数的响应，可通过把系统对输入信号响应求导得出； 系统对输入信号导数的响应，可通过把系统对输入信号响应求导得出；系统对输 入信号积分的响应，等于系统对原输入信号响应的积分， 入信号积分的响应，等于系统对原输入信号响应的积分，其积分常数由零初始条 件确定。 件确定。
系统框图
当K=1时，典型一阶系统的系统框图及化简形式如图所示。 时 典型一阶系统的系统框图及化简形式如图所示。
3.2.2 一阶系统的单位阶跃响应
给一阶系统输入单位阶跃信号，根据一阶系统的传递函数，计算其拉氏反变换， 给一阶系统输入单位阶跃信号，根据一阶系统的传递函数，计算其拉氏反变换，求 出微分方程的解c(t)，即为一阶系统的单位阶跃响应。其实质就是根据已知条件（单 出微分方程的解 ，即为一阶系统的单位阶跃响应。其实质就是根据已知条件（ 位阶跃信号），利用传递函数和拉氏反变换，求出输出信号 。 位阶跃信号），利用传递函数和拉氏反变换，求出输出信号c(t)。 ），利用传递函数和拉氏反变换 因为输入信号是单位阶跃信号， 因为输入信号是单位阶跃信号，所以 R(s) = 又因为