取石子游戏详细解答
取石子游戏
取石子游戏
取石子游戏是一种经典的策略游戏，通常由两名玩家轮流进行。
游戏开始时，一堆石子被放在桌子上。
每个玩家在自己的回合中可以选择取走一定数量的石子，但不能取走超过规定的最大数量。
目标是在游戏结束时，取走最后一个石子的玩家获胜。
以下是一种常见的取石子游戏规则：
1. 游戏开始时，一堆石子被放在桌子上。
2. 两名玩家轮流进行，每个玩家在自己的回合中可以选择取走1到M个石子，其中M为规定的最大数量。
3. 玩家必须至少取走1个石子，但不能超过M个石子。
4. 最后一个石子被取走的玩家获胜。
游戏的策略通常是基于数学原理和对对手的预测。
在某些特定的游戏规则下，可以使用数学公式来计算最优策略。
例如，在一堆有N个石子的游戏中，如果规定每个玩家最多可以取走M个石子，那么可以使用以下公式来计算最优策略：
1. 如果N%(M+1)等于0，那么第一个玩家将会输掉游戏。
2. 否则，第一个玩家可以选择取走N%(M+1)个石子，然后无论第二个玩家取走多少个石子，第一个玩家总是可以以同样的方式回应，直到最后一个石子被取走。
这个公式可以帮助玩家计算出在给定规则下的最优策略，从而提高胜利的机会。
需要注意的是，取石子游戏有很多种不同的规则和变体，上述的规则只是其中一种常见的形式。
具体的规则可能会有所不同，所以在参与游戏之前最好明确规定好游戏的规则。
取石子问题
取石子游戏Time Limit: 1000MS Memory Limit: 10000KTotal Submissions: 23080 Accepted: 7190Description有两堆石子，数量任意，可以不同。
游戏开始由两个人轮流取石子。
游戏规定，每次有两种不同的取法，一是可以在任意的一堆中取走任意多的石子；二是可以在两堆中同时取走相同数量的石子。
最后把石子全部取完者为胜者。
现在给出初始的两堆石子的数目，如果轮到你先取，假设双方都采取最好的策略，问最后你是胜者还是败者。
Input输入包含若干行，表示若干种石子的初始情况，其中每一行包含两个非负整数a和b，表示两堆石子的数目，a和b都不大于1,000,000,000。
Output输出对应也有若干行，每行包含一个数字1或0，如果最后你是胜者，则为1，反之，则为0。
Sample Input2 18 44 7Sample Output1SourceNOI纠结了好久，也找同学玩了这个游戏，始终没发现什么规律。
后来想起高中一起玩（1，3，5，7）抓石子游戏的同学，就想打电话咨询顺便难一难他，谁知道直接拽给我一个：威佐夫博弈...百度了下终于懂了。
刚开始也想到列出前几种必胜组合，可是脑袋抽风了，（3，5）（5，3）算成两种情况。
= =,我都搞不清楚当时怎么想的了。
下面是度娘关于威佐夫博弈的百科：威佐夫博奕（Wythoff Game）：有两堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆或同时从两堆中取同样多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。
这种情况下是颇为复杂的。
我们用（ak，bk）（ak ≤ bk ,k=0，1，2，...,n)表示两堆物品的数量并称其为局势，如果甲面对（0，0），那么甲已经输了，这种局势我们称为奇异局势。
前几个奇异局势是：（0，0）、（1，2）、（3，5）、（4，7）、（6，10）、（8，13）、（9，15）、（11，18）、（12，20）。
取石子游戏完全揭秘
由感性认识到理性认识一、游戏 (2)二、从简单入手 (2)三、类比与联想 (6)四、证明 (8)五、推广 (11)六、精华 (12)七、结论 (16)八、总结 (17)一、游戏游戏A：甲乙两人面对若干堆石子，其中每一堆石子的数目可以任意确定。
例如图1所示的初始局面：共n=3堆，其中第一堆的石子数a1=3，第二堆石子数a2=3，第三堆石子数a3=1。
两人轮流按下列规则取走一些石子，游戏的规则如下： 每一步应取走至少一枚石子；每一步只能从某一堆中取走部分或全部石子；如果谁无法按规则取子，谁就是输家。
图 1 游戏的一个初始局面游戏B：甲乙双方事先约定一个数m，并且每次取石子的数目不能超过m个；其余规则同游戏A。
我们关心的是，对于一个初始局面，究竟是先行者（甲）有必胜策略，还是后行者（乙）有必胜策略。
下面，我们从简单入手，先来研究研究这个游戏的一些性质。
二、从简单入手☞用一个n元组(a1, a2, …, a n)，来描述游戏过程中的一个局面。
☝可以用3元组(3, 3, 1)来描述图1所示的局面。
改变这个n元组中数的顺序，仍然代表同一个局面。
☝(3, 3, 1)和(1, 3, 3)，可以看作是同一个局面。
如果初始局面只有一堆石子，则甲有必胜策略。
甲可以一次把这一堆石子全部取完，这样乙就无石子可取了。
如果初始局面有两堆石子，而且这两堆石子的数目相等，则乙有必胜策略。
因为有两堆石子，所以甲无法一次取完；如果甲在一堆中取若干石子，乙便在另一堆中取同样数目的石子；根据对称性，在甲取了石子之后，乙总有石子可取；石子总数一直在减少，最后必定是甲无石子可取。
☝对于初始局面(1)，甲有必胜策略，而初始局面(3, 3)，乙有必胜策略。
☞局面的加法：(a1, a2, …, a n) + (b1, b2, …, b m) = (a1, a2, …, a n, b1, b2, …, b m)。
☝(3) + (3) + (1) = (3, 3) + (1) = (3, 3, 1)。
博弈论取石子问题
博弈论取石子问题
博弈论取石子问题是一类经典的博弈问题，也被称为Nim游戏。
这个问题一般描述为：有一堆石子，两名玩家轮流从中取出若干个石子，每次取石子的数量有限制（例如，每次最多只能取1个或者2个），最终取光所有石子的玩家获胜。
在这个问题中，两位玩家都采取最优策略，并且可以假设每位玩家都会尽力阻止对方获胜。
这样，对于每一轮的取石子操作，可以通过数学的方法来判断哪位玩家有必胜策略。
一般来说，博弈论取石子问题可以通过异或运算来求解。
具体思路如下：
1. 通过异或运算计算出所有石子数量的异或和。
2. 如果异或和为0，表示当前状态下无论怎么取石子，都无法保证必胜，此时当前玩家必输。
3. 如果异或和不为0，表示当前状态下存在某种取法，可以保证必胜。
具体的取法是找到最高位上的1，然后将某一堆石子数量减去该最高位1的数量，使得新的异或和为0。
通过上述思路，可以快速计算出哪位玩家具有必胜策略。
当然，如果可以通过编程的方式来模拟和计算，会更加直观和方便。
博弈之取石子经典游戏
由poj 1067引发的——取石子游戏【转自各类博弈】(2011-07-25 23:46:54)[编辑][删除]分类：编程道路~标签：杂谈上次做poj 1067的取石子游戏，只用到了whthoff博弈，未涉及到取石子的异或方法，今天重新搜索，整理了一遍。
搜罗各种资料，加上自己整理，终于成篇啦！……噼里啪啦取石子问题有一种很有意思的游戏，就是有物体若干堆，可以是火柴棍或是围棋子等等均可。
两个人轮流从堆中取物体若干，规定最后取光物体者取胜。
这是我国民间很古老的一个游戏，别看这游戏极其简单，却蕴含着深刻的数学原理。
下面我们来分析一下要如何才能够取胜。
（一）巴什博奕（Bash Game）：只有一堆n个物品，两个人轮流从这堆物品中取物，规定每次至少取一个，最多取m个。
最后取光者得胜。
显然，如果n=m+1，那么由于一次最多只能取m个，所以，无论先取者拿走多少个，后取者都能够一次拿走剩余的物品，后者取胜。
因此我们发现了如何取胜的法则：如果n=（m+1）r+s，（r为任意自然数，s≤m),那么先取者要拿走s个物品，如果后取者拿走k（≤m)个，那么先取者再拿走m+1-k个，结果剩下（m+1）（r-1）个，以后保持这样的取法，那么先取者肯定获胜。
总之，要保持给对手留下（m+1）的倍数，就能最后获胜。
即，若n=k*(m+1)，则后取着胜，反之，存在先取者获胜的取法。
n%(m+1)==0. 先取者必败。
这个游戏还可以有一种变相的玩法：两个人轮流报数，每次至少报一个，最多报十个，谁能报到100者胜。
从一堆100个石子中取石子，最后取完的胜。
（二）威佐夫博奕（Wythoff Game）：有两堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆或同时从两堆中取同样多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。
这种情况下是颇为复杂的。
我们用（ak，bk）（ak ≤ bk ,k=0，1，2，...,n)表示两堆物品的数量并称其为局势，如果甲面对（0，0），那么甲已经输了，这种局势我们称为奇异局势。
几种两人轮流取石子游戏的输赢规律及取胜策略 续篇
几种两人轮流取石子游戏的输赢规律及取胜策略续篇上篇中第八种情况的推论有误，不能一概而论，因而第九种也有误。
特此更正。
下面再看几种情况。
分析的基础是上篇中的第四种情况。
引用如下：有三堆石子，个数分别是1、2、3个。
分析：若先取的把只有一个的一堆取完，则变成上篇中的第二种情况，后取的赢；若先取的从两个的一堆中取一个，则后取的把三个的一堆取完，变成第一种情况，后取的赢；若先取的把两个的一堆取完，变成上篇中的第二种情况，还是后取的赢。
先取的从三个的一堆中取，不论取几个，用同样的方法进行分析，后取的都有办法赢。
所以，先取的不论如何取法，后取的都有应对之策保证必赢。
一、有三堆石子，个数分别是1、3、4个。
分析：先取的只要从4个一堆中取出2个，就变成上篇中的第四种情况，所以先取的必赢。
二、有三堆石子，个数分别是1、4、5个。
分析：若先取的把只有一个的一堆取完，则变成上篇中的第二种情况，后取的赢；若先取的从4个的一堆中取一个，则后取的从5个的一堆中取3个，变成上篇中的第四种情况，后取的赢；其他情况不论先取的从4个或5个的一堆中取几个，后取的都有应对之策取胜；所以，后取的必赢。
三、有三堆石子，个数分别是1、5、6个。
分析：先取的只要从6个一堆中取出2个，就变成第二种情况，所以先取的必赢。
四、有三堆石子，个数分别是1、6、7个。
分析：若先取的把只有一个的一堆取完，则变成上篇中的第二种情况，后取的赢；若先取的从6个的一堆中取一个，则后取的从7个的一堆中取3个，变成第二种情况，后取的赢；其他情况不论先取的从6个或7个的一堆中取几个，后取的都有应对之策取胜；所以，后取的必赢。
五、有三堆石子，个数分别是1、7、8个。
分析：先取的只要从8个一堆中取出2个，就变成第四种情况，所以先取的必赢。
根据以上五种情况可以得出：三堆石子中有一堆是1个，其他两堆的个数是相邻数的输赢规律及取胜策略是:石子个数在中间的数若是偶数，先取的必输，因为先取的不论怎么取都会使后取的有机会找到取后最终出现两堆石子个数相同的情况，所以先取的必输；石子个数在中间的数若是奇数，先取的必赢，因为先取的只要从个数最多的一堆中取出2个就变成上一种情况，所以先取的必赢。
取石子游戏类分析的分析讨论
MisèreNim
基本规则同Nim Game问题，胜负判定是谁 不能继续取石子，谁就赢了。
分析
1）所有石子堆的数目都为1：
显然，若有偶数堆石子堆，则必胜，否则必败。 2）如果恰好只有一堆石子数目大于1。 我们可以把这堆石子取完或者取得只剩下1，使得 1 只剩下奇数堆数目为1的石子留给对方，由1)，必 胜。 3）如果有至少2堆石子的数目大于1。 考虑⊕值： 若⊕值不为0，则按照NimGame走法取石。这样， 当对手某次取完石子后，肯定会出现2）的情况， 则必胜。
方法1
动态规划： 设f(a , b)表示两堆分别剩a颗和b颗石子时的 胜负状态。则， f(a ,b) = f(a-k ,b) or f(a ,b-k) or f(a-k ,b-k) 时间复杂度达到了o(n3)
改进
因为，
f(a , a)，先手必胜 f(a , b)= f(b , a) 当f(a , b)为必败态时，对于所有c≠b, f(a ,c)必胜。
分析
n不被21整除 ：使用同样策略，必胜。 n被21整除：
n=21,必败。 存在某个k，使得k + ak不被21整除 ：
第一步拿掉k个，然后对方会拿掉ak个，剩下n-k-ak 个 ，到达n不被21整除的状态，因此必胜。
其它情况，必败。
Wythoff Game
问题描述： 问题描述： 有两堆各若干个石子，两个人轮流从某一 堆或同时从两堆中取同样多的石子，规定 每次至少取一个，多者不限，最后取光者 得胜。
n = 4, {1,1,2,2} 第一步若拿掉一堆为2的石堆，则只剩一堆>1 的石堆。必败。 若拿掉一堆为1的石堆，对方也拿掉一堆为1的 石堆，无论我们接下来怎么取，都只剩一堆>1 >1 的石堆。必败。 在一堆为2的石堆中拿掉一颗石子，只剩一堆 >1的石堆。必败。 n = 4,{1,1,2,3} 我们可以在3的石堆中拿掉一颗石子，变为一 个xor值为0的必败状态，所以必胜。
若干取石子问题
若⼲取⽯⼦问题⼏道取⽯⼦游戏【前⾔】取⽯⼦游戏是⼀类经典的博弈问题，也是博弈问题SG函数的基础所在。
⽽它也具有⼀般博弈题的思维难度较⼤、编程量⼩等特点，因此在⽐赛时的得分情况往往呈现出两边倒的情况。
⽽其游戏的结论却经常是浅显易懂但⼜难以捉摸的，往往在⽐赛结束后，经过别⼈的⼏句话就使⼈恍然⼤悟。
本⽂将对⼏道取⽯⼦的游戏进⾏讨论，并分析思维的过程，希望读者能从中获益。
⾸先我们先来回顾⼀下最原始的取⽯⼦游戏。
即：有N堆⽯⼦，每次可以从任意⼀堆中取出若⼲⽯⼦，不能不取，两⼈轮流⾏动，最先⽆⽯⼦可取的⼈输。
⽽解决此题的⽅法便是把这N堆⽯⼦的个数进⾏异或操作，得到的值为0即为先⼿必败，否则先⼿必胜。
关于这⼀问题可以参考相关⽂献。
但仅仅靠这个模型并不能满⾜我们的要求，⾯对⼀些进⾏过变形的题⽬需要我们灵活运⽤。
下⾯我们先来看⼀个例题。
【例题1】POIXVI Stage I Pebbles题⽬⼤意：有N堆⽯⼦，开始时⽯⼦个数为A1,A2…A N。
(从左到右编号)并满⾜A1≤A2≤…≤A N，即⽯⼦个数为⾮递减数列。
两⼈轮流取⽯⼦，每次可以在任意⼀堆中取任意多个，不能不取，并且必须保证每次取完后的⽯⼦个数仍为⾮递减。
最先不能取的输。
问题分析:很显然，这道题在普通的取⽯⼦游戏上加了⼀个限制，即必须保持⽯⼦数为⾮递减数列。
这样我们便不能直接⽤原来的性质，⽽状态数也⾮常⼤，只能考虑通过⼀步步分析把问题转化。
⾸先，我们先来研究⼀些简单的情况：显然N=1时先⼿必胜。
⽽N=2时，可以发现当A1= A2时，先⼿必败，因为此时先⼿不能取A2的⽯⼦，只能在A1中取x个⽯⼦。
⽽后⼿者只需跟随先⼿者，同样在A2中取出x个即可满⾜保持A1’= A2’。
当A1< A2时，则先⼿可以从A2中取⾛A2- A1个⽯⼦。
因此先⼿必胜。
经过这个简单的分析，我们可以感觉到，由于要保证⾮递减的性质，在相邻的两堆中，可能经常会有类似N=2时的博弈发⽣。
几种两人轮流取石子游戏的输赢规律及取胜策略
几种两人轮流取石子游戏的输赢规律及取胜策略有两堆或三堆石子，每堆石子数量不限，至少有一个。
两人轮流取石子，取法如下：1、每人每次至少取一个，不能不取；2、每人每次也可以取多个，甚至一次取完一堆的所有石子，但不能一次从两堆或三堆中取石子，只能从一堆中取石子。
输赢规定：轮到谁无石子可取谁就输，或者说谁取到最后的一个或者最后一堆的剩下石子谁就赢。
这个游戏有没有输赢规律？到底是先取的赢还是后取的赢？如有输赢规律，如何保证该赢的人一定能赢？即取胜的策略是什么？要解决这些问题，我们可以先易后难，先简后繁，进行探索和分析，找出输赢规律及取胜策略。
一、有两堆石子，两堆石子的个数相同。
分析：若两堆石子各有一个，则按照游戏规则，后取的必赢。
因为只有一种情况，即先取的和后取的各取一个就结束。
再细想，如果两堆石子个数超过一个，还是后取的赢。
取胜策略是每次先取的从某一堆取几个，后取的就从另一堆取几个。
这样每一轮取完后，剩下的两堆石子还是同样多。
最后一轮的情况是先取的把某一堆剩下的取完（一个或几个），后取的把另一堆剩下的取完（一个或几个）。
二、有两堆石子，两堆石子的个数不同。
分析：先取的可从个数多的一堆取几个石子，取后使两堆石子的个数相同。
这样就变成第一种情况，则先取的必赢。
策略是先从个数多的一堆取几个石子，取后使两堆石子的个数相同，然后再按照第一种情况的策略来取即可。
三、有三堆石子，其中有两堆个数一样多。
分析：先取的可先把个数不一样多的一堆取完，就变成第一种情况，所以是先取的必赢。
四、有三堆石子，个数分别是1、2、3个。
分析：若先取的把只有一个的一堆取完，则变成第二种情况，后取的赢；若先取的从两个的一堆中取一个，则后取的把三个的一堆取完，变成第一种情况，后取的赢；若先取的把两个的一堆取完，变成第二种情况，还是后取的赢。
先取的从三个的一堆中取，不论取几个，用同样的方法进行分析，后取的都有办法赢。
所以，先取的不论如何取法，后取的都有应对之策保证必赢。
组合博弈 取石子游戏.
博弈问题分析——取石子游戏实例解答<1>小红是个游戏迷，他和小蓝一起玩拿石子游戏。
游戏规则为2个人轮流拿石子。
一次可以拿1颗或3颗，规定谁取到最后一颗石子谁就胜出。
最后决定由小红先取。
两人都是游戏高手，该赢的绝不会输(表示不会失误）。
问在知道石子总数的情况下，怎样快速预测谁将会胜出。
分析：小红和小蓝各取一次共有三种情况：②共取走2颗石子(1,1)② 共取走4颗石子(1,3)③ 共取走6颗石子(3,3)设方案①取了N1次，方案②取了N2次，方案③取了N3次后，还剩下K（k<6,否则可以再取几轮，导致剩余量<6）个石子。
最后K的取值有三种情况：0，1，3。
这个要解释一下：剩下的石子个数总共有0,1,2,3,4,5几种可能，2可以再取一轮（1,1）剩下0，4可以再取一轮（1,3）或者两次（1,1）剩下0，5可以再取（1,1）、（1,3）等的组合剩下1或3个，所以综合是最终会剩下0、1、3三种可能。
设有石子S.则S=2*N1+4*N2+6*N3+K.其中2*N1+4*N2+6*N3=（1+1）*N1+（1+3）*N2+（3+3）*N3，说明取的过程为偶数次，所以剩下K时该最先取石子的人取。
K=1，3则先取方胜。
反之，另一方胜。
又2*N1+4*N2+6*N3=2*（N1+2*N2+3*N3）为偶数，所以S的奇偶性取决于K，当K为偶数时，后取方胜，反之，先取方胜。
总结：计算时可以先对6取余，如果余数为0、2、4，则K为0（偶数，后取者胜），如果余数为1、3、5则K为1或3（奇数，先取者剩）。
<2>有一种很有意思的游戏，就是有物体若干堆，可以是火柴棍或是围棋子等等均可。
两个人轮流从堆中取物体若干，规定最后取光物体者取胜。
这是我国民间很古老的一个游戏，别看这游戏极其简单，却蕴含着深刻的数学原理。
下面我们来分析一下要如何才能够取胜。
（一）巴什博奕（Bash Game）：只有一堆n个物品，两个人轮流从这堆物品中取物，规定每次至少取一个，最多取m个。
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取石子游戏详细解答
取石子游戏（取石子游戏）现有 5 堆石子,石子数依次为3，5，7，19，50，甲乙两人轮流从任一堆中任取（每次只能取自一堆，不能不取）, 取最后一颗石子的一方获胜。
甲先取，问甲有没有获胜策略（即无论乙怎样取，甲只要不失误，都能获胜）？
最佳答案
这是数论中的最优策略问题，没有平均数原理。
我好好想想再给你答案。
要上班了，下班继续思考……（时间不多，才回复，见谅）
1. 从50中取走32粒剩余18粒是正确的。
2. 算法：从其中一堆中取n个，使得剩余的所有数目正好是“必负局（此时先取必输的局面）”。
3. 所谓“必负局”是指把剩余的每一堆的数目都转化成二进制的数，然后把它们相加，规定做不进位的加法（也就是异或运算），即0+0＝0，1+0＝0，0+1＝1，1+1＝0（不进位），如果所得和是0（多个0），那么此种局势称为“必负局”。
4. “必负局”原理：一个“必负局”，一次改动任何一个数，都将不再是“必负局”，同时，任何一个“非必负局”，通过正确地减少某个数，一定能变成“必负局”，并且这种操作是唯一的。
设想现在是“必负局”，假如你先取，势必把其中的某个数的1改成了0，0改成了1，一定不再是“必负局”了，而我一定可以在把它变会“必负局”。
其实这样的局势，相当于偶数，你取了，必定有对应我取的，所以我一定拿到最后一个。
简单的想，考虑只有两堆，那么如果原来不相等，那就是“非必负局”，先取者有必胜方式，只要取多的一堆使得两堆相等，之后你取几个，我就从另一堆取几个。
5. 应用：（也许格式会改变）
19 010011
7 000111
5 000101
3 000011
010010 (18)10
也就是，还要18才能变成“必负局”，所以50－18＝32
所以第1次只能在第5堆石子中取32粒，使得取出32粒后为“必负局”，即异或运算结果为0。
对于只有两堆的只要取完后保证两堆的数目相同就能赢了0 :00000 6 :00110
6 :00110 第二人在第一堆中取走3个: 0 :00000 3 :00011 6 :00110 第一人也在第二堆中取走3个: 0 :00000 3 :00011 3 :00011 知道第二人会必输了吧不妨第二人取走第一堆吧,变成: 0 :00000 0 :00000 3 :00011 第一人取走最后一堆: 0 :00000 0 :00000 0 :00000 第一人胜! 如: 1
7 :10001
8 :01000
9 :01001 第一列的和不为偶数(1+0+0=1) 第一步
: 第一人在第一堆中取走16个变成 1 :00001 8 :01000 9 :01001 第二人取,不论怎么取,都会使某一列的和不为偶数,如: 1 :00001 6 :00110 9 :01001 第一人现在在9中取走2个变成:
1 :00001 6 :00110 7 :00111 第二人不妨取走第一堆变成0 :00000 6 :00110 7 :00111 别讲那么说专业术语嘛看这个行不行把每堆的数目用二进制表示每行一个写成一列(多少堆就多少行) 右对齐,左边不足的补0,保证每个二进制数有相同的位数然后取子取完后保证二
进制数每一位所对应的那一列的和是偶数即可如果一开始就已满足每列的和都是偶数,那第一个取的人就必输无疑其实如果游戏人双方都知道了这个规律,那这个游戏的输赢就在于谁先走,也就没有意思了。