几种两人轮流取石子游戏的输赢规律及取胜策略 续篇
取石子游戏
取石子游戏
取石子游戏是一种经典的策略游戏，通常由两名玩家轮流进行。
游戏开始时，一堆石子被放在桌子上。
每个玩家在自己的回合中可以选择取走一定数量的石子，但不能取走超过规定的最大数量。
目标是在游戏结束时，取走最后一个石子的玩家获胜。
以下是一种常见的取石子游戏规则：
1. 游戏开始时，一堆石子被放在桌子上。
2. 两名玩家轮流进行，每个玩家在自己的回合中可以选择取走1到M个石子，其中M为规定的最大数量。
3. 玩家必须至少取走1个石子，但不能超过M个石子。
4. 最后一个石子被取走的玩家获胜。
游戏的策略通常是基于数学原理和对对手的预测。
在某些特定的游戏规则下，可以使用数学公式来计算最优策略。
例如，在一堆有N个石子的游戏中，如果规定每个玩家最多可以取走M个石子，那么可以使用以下公式来计算最优策略：
1. 如果N%(M+1)等于0，那么第一个玩家将会输掉游戏。
2. 否则，第一个玩家可以选择取走N%(M+1)个石子，然后无论第二个玩家取走多少个石子，第一个玩家总是可以以同样的方式回应，直到最后一个石子被取走。
这个公式可以帮助玩家计算出在给定规则下的最优策略，从而提高胜利的机会。
需要注意的是，取石子游戏有很多种不同的规则和变体，上述的规则只是其中一种常见的形式。
具体的规则可能会有所不同，所以在参与游戏之前最好明确规定好游戏的规则。
取石子游戏详细解答
取石子游戏详细解答取石子游戏（取石子游戏）现有 5 堆石子,石子数依次为3，5，7，19，50，甲乙两人轮流从任一堆中任取（每次只能取自一堆，不能不取）, 取最后一颗石子的一方获胜。
甲先取，问甲有没有获胜策略（即无论乙怎样取，甲只要不失误，都能获胜）？最佳答案这是数论中的最优策略问题，没有平均数原理。
我好好想想再给你答案。
要上班了，下班继续思考……（时间不多，才回复，见谅）1. 从50中取走32粒剩余18粒是正确的。
2. 算法：从其中一堆中取n个，使得剩余的所有数目正好是“必负局（此时先取必输的局面）”。
3. 所谓“必负局”是指把剩余的每一堆的数目都转化成二进制的数，然后把它们相加，规定做不进位的加法（也就是异或运算），即0+0＝0，1+0＝0，0+1＝1，1+1＝0（不进位），如果所得和是0（多个0），那么此种局势称为“必负局”。
4. “必负局”原理：一个“必负局”，一次改动任何一个数，都将不再是“必负局”，同时，任何一个“非必负局”，通过正确地减少某个数，一定能变成“必负局”，并且这种操作是唯一的。
设想现在是“必负局”，假如你先取，势必把其中的某个数的1改成了0，0改成了1，一定不再是“必负局”了，而我一定可以在把它变会“必负局”。
其实这样的局势，相当于偶数，你取了，必定有对应我取的，所以我一定拿到最后一个。
简单的想，考虑只有两堆，那么如果原来不相等，那就是“非必负局”，先取者有必胜方式，只要取多的一堆使得两堆相等，之后你取几个，我就从另一堆取几个。
5. 应用：（也许格式会改变）19 0100117 0001115 0001013 000011010010 (18)10也就是，还要18才能变成“必负局”，所以50－18＝32所以第1次只能在第5堆石子中取32粒，使得取出32粒后为“必负局”，即异或运算结果为0。
对于只有两堆的只要取完后保证两堆的数目相同就能赢了0 :00000 6 :001106 :00110 第二人在第一堆中取走3个: 0 :00000 3 :00011 6 :00110 第一人也在第二堆中取走3个: 0 :00000 3 :00011 3 :00011 知道第二人会必输了吧不妨第二人取走第一堆吧,变成: 0 :00000 0 :00000 3 :00011 第一人取走最后一堆: 0 :00000 0 :00000 0 :00000 第一人胜! 如: 17 :100018 :010009 :01001 第一列的和不为偶数(1+0+0=1) 第一步: 第一人在第一堆中取走16个变成 1 :00001 8 :01000 9 :01001 第二人取,不论怎么取,都会使某一列的和不为偶数,如: 1 :00001 6 :00110 9 :01001 第一人现在在9中取走2个变成:1 :00001 6 :00110 7 :00111 第二人不妨取走第一堆变成0 :00000 6 :00110 7 :00111 别讲那么说专业术语嘛看这个行不行把每堆的数目用二进制表示每行一个写成一列(多少堆就多少行) 右对齐,左边不足的补0,保证每个二进制数有相同的位数然后取子取完后保证二进制数每一位所对应的那一列的和是偶数即可如果一开始就已满足每列的和都是偶数,那第一个取的人就必输无疑其实如果游戏人双方都知道了这个规律,那这个游戏的输赢就在于谁先走,也就没有意思了。
博弈论取石子问题
博弈论取石子问题
博弈论取石子问题是一类经典的博弈问题，也被称为Nim游戏。
这个问题一般描述为：有一堆石子，两名玩家轮流从中取出若干个石子，每次取石子的数量有限制（例如，每次最多只能取1个或者2个），最终取光所有石子的玩家获胜。
在这个问题中，两位玩家都采取最优策略，并且可以假设每位玩家都会尽力阻止对方获胜。
这样，对于每一轮的取石子操作，可以通过数学的方法来判断哪位玩家有必胜策略。
一般来说，博弈论取石子问题可以通过异或运算来求解。
具体思路如下：
1. 通过异或运算计算出所有石子数量的异或和。
2. 如果异或和为0，表示当前状态下无论怎么取石子，都无法保证必胜，此时当前玩家必输。
3. 如果异或和不为0，表示当前状态下存在某种取法，可以保证必胜。
具体的取法是找到最高位上的1，然后将某一堆石子数量减去该最高位1的数量，使得新的异或和为0。
通过上述思路，可以快速计算出哪位玩家具有必胜策略。
当然，如果可以通过编程的方式来模拟和计算，会更加直观和方便。
取石子游戏类分析的分析讨论
MisèreNim
基本规则同Nim Game问题，胜负判定是谁 不能继续取石子，谁就赢了。
分析
1）所有石子堆的数目都为1：
显然，若有偶数堆石子堆，则必胜，否则必败。 2）如果恰好只有一堆石子数目大于1。 我们可以把这堆石子取完或者取得只剩下1，使得 1 只剩下奇数堆数目为1的石子留给对方，由1)，必 胜。 3）如果有至少2堆石子的数目大于1。 考虑⊕值： 若⊕值不为0，则按照NimGame走法取石。这样， 当对手某次取完石子后，肯定会出现2）的情况， 则必胜。
方法1
动态规划： 设f(a , b)表示两堆分别剩a颗和b颗石子时的 胜负状态。则， f(a ,b) = f(a-k ,b) or f(a ,b-k) or f(a-k ,b-k) 时间复杂度达到了o(n3)
改进
因为，
f(a , a)，先手必胜 f(a , b)= f(b , a) 当f(a , b)为必败态时，对于所有c≠b, f(a ,c)必胜。
分析
n不被21整除 ：使用同样策略，必胜。 n被21整除：
n=21,必败。 存在某个k，使得k + ak不被21整除 ：
第一步拿掉k个，然后对方会拿掉ak个，剩下n-k-ak 个 ，到达n不被21整除的状态，因此必胜。
其它情况，必败。
Wythoff Game
问题描述： 问题描述： 有两堆各若干个石子，两个人轮流从某一 堆或同时从两堆中取同样多的石子，规定 每次至少取一个，多者不限，最后取光者 得胜。
n = 4, {1,1,2,2} 第一步若拿掉一堆为2的石堆，则只剩一堆>1 的石堆。必败。 若拿掉一堆为1的石堆，对方也拿掉一堆为1的 石堆，无论我们接下来怎么取，都只剩一堆>1 >1 的石堆。必败。 在一堆为2的石堆中拿掉一颗石子，只剩一堆 >1的石堆。必败。 n = 4,{1,1,2,3} 我们可以在3的石堆中拿掉一颗石子，变为一 个xor值为0的必败状态，所以必胜。
取石子游戏的策略及其应用
取⽯⼦游戏的策略及其应⽤有⼀种很有意思的游戏，就是有物体若⼲堆，可以是⽯⼦或是围棋⼦等等均可。
两个⼈轮流从堆中取物体若⼲，规定最后取光物体者取胜。
取⽯⼦游戏是我国民间流传已久的⼀种博奕，在国外亦称Nim游戏。
别看这游戏极其简单，却蕴含着深刻的道理。
下⾯我们来分析⼀下要如何才能够取胜。
游戏Ⅰ有若⼲堆任意数⽬的⼩⽯⼦{a1，a2，…，a m}(m≥1)，两⼈轮流取⽯⼦，每⼈每次可以从其中任意⼀堆中取，每次可以取1、2、3、……或k(1≤k≤ min{a1，a2，…，a m})颗⽯⼦，把⽯⼦取完的⼈为胜者。
采⽤符号{a1，a2，…，a m；k}来代表游戏Ⅰ中⼩⽯⼦的初始状况和限制条件，⼀个⼈取⼀次⽯⼦实际上就是把{a1，a2，…，am；k}中某个分量ai(1≤i≤m)减⼩为ai′，即{a1，a2，…，ai，…，a m；k}—→{a1，a2，…，ai′，…，a m；k}(0≤a i<a i)，我们把这种取⼀次⽯⼦使数组发⽣的变换称为T变换，根据现成博奕论先驱冯·诺伊曼(VonNeumann)的“完全确定信息游戏必定存在⼀种确定的获胜策略”的经典理论，要么对先取者存在某种取法，即某个T变换，⽆论后取者如何取，先取者总有相应对策，直⾄最终取得胜利；要么⽆论先取者如何取，后取者可以找到某种T变换，保证后取者总有相应策略获胜。
为了解决游戏{a1，a2，…，am；k}的对策，我们先看⼀个简单的例⼦。
例1 桌上放着⼀堆⼩⽯⼦⼀共100颗，两⼈(甲、⼄)轮流取，每次可以取1⾄10颗，取完的⼈为胜者，怎样才能取胜？分析这个问题实际上是取⽯⼦游戏的特殊情形{100；10}，我们利⽤倒推法：容易看出11是取胜的关键数学，因为到此时，不论对⽅(甲)取多少颗(⼤于0且⼩于11)，总留下⼤于0且⼩于11颗⽯⼦，这样⼄⽅⼀次取完即获得胜利。
同样地分析，要取到11必须取到22，33，44，55，66，77，88，99，这样我们就知道了获胜之道：①先取1颗⽯⼦，留下99颗，然后对⽅取a(1≤a≤10)颗，⼰⽅取(11—a)颗，就总能掌握这种致胜的关键数，从⽽确保获胜。
若干取石子问题
若⼲取⽯⼦问题⼏道取⽯⼦游戏【前⾔】取⽯⼦游戏是⼀类经典的博弈问题，也是博弈问题SG函数的基础所在。
⽽它也具有⼀般博弈题的思维难度较⼤、编程量⼩等特点，因此在⽐赛时的得分情况往往呈现出两边倒的情况。
⽽其游戏的结论却经常是浅显易懂但⼜难以捉摸的，往往在⽐赛结束后，经过别⼈的⼏句话就使⼈恍然⼤悟。
本⽂将对⼏道取⽯⼦的游戏进⾏讨论，并分析思维的过程，希望读者能从中获益。
⾸先我们先来回顾⼀下最原始的取⽯⼦游戏。
即：有N堆⽯⼦，每次可以从任意⼀堆中取出若⼲⽯⼦，不能不取，两⼈轮流⾏动，最先⽆⽯⼦可取的⼈输。
⽽解决此题的⽅法便是把这N堆⽯⼦的个数进⾏异或操作，得到的值为0即为先⼿必败，否则先⼿必胜。
关于这⼀问题可以参考相关⽂献。
但仅仅靠这个模型并不能满⾜我们的要求，⾯对⼀些进⾏过变形的题⽬需要我们灵活运⽤。
下⾯我们先来看⼀个例题。
【例题1】POIXVI Stage I Pebbles题⽬⼤意：有N堆⽯⼦，开始时⽯⼦个数为A1,A2…A N。
(从左到右编号)并满⾜A1≤A2≤…≤A N，即⽯⼦个数为⾮递减数列。
两⼈轮流取⽯⼦，每次可以在任意⼀堆中取任意多个，不能不取，并且必须保证每次取完后的⽯⼦个数仍为⾮递减。
最先不能取的输。
问题分析:很显然，这道题在普通的取⽯⼦游戏上加了⼀个限制，即必须保持⽯⼦数为⾮递减数列。
这样我们便不能直接⽤原来的性质，⽽状态数也⾮常⼤，只能考虑通过⼀步步分析把问题转化。
⾸先，我们先来研究⼀些简单的情况：显然N=1时先⼿必胜。
⽽N=2时，可以发现当A1= A2时，先⼿必败，因为此时先⼿不能取A2的⽯⼦，只能在A1中取x个⽯⼦。
⽽后⼿者只需跟随先⼿者，同样在A2中取出x个即可满⾜保持A1’= A2’。
当A1< A2时，则先⼿可以从A2中取⾛A2- A1个⽯⼦。
因此先⼿必胜。
经过这个简单的分析，我们可以感觉到，由于要保证⾮递减的性质，在相邻的两堆中，可能经常会有类似N=2时的博弈发⽣。
取石子游戏
取石子游戏简介取石子游戏是一种古老且经典的游戏，通常在孩子们之间进行。
这个游戏的目标是通过每一步的策略来获得尽可能多的石子。
在这个游戏中，两个玩家轮流从一堆石子中取出石子，每次取的数量可以是任意正整数，但不能超过规定的最大值。
最后，拿到最多石子的一方将获胜。
游戏规则1.游戏开始时，准备一堆石子。
这种游戏一般使用小石子或棋子来代表石子。
2.两个玩家轮流进行操作，根据规定的规则取石子。
3.每一步，玩家可以从堆中取出任意数量的石子，但不能超过规定的最大值。
4.游戏继续直到没有石子可供取出。
5.最后，拿到最多石子的一方将获胜。
游戏策略在取石子游戏中，玩家之间进行的是一种全信息博弈。
这意味着玩家可以完全了解整个游戏状态，包括对手的策略和目标。
因此，玩家可以通过一定的策略来优化自己的收益。
基本策略保证胜利的策略如果游戏的规则允许，玩家可以通过以下策略保证胜利：1.规定每次取石子的数量为1个，那么先手的玩家总是可以取到最后一个石子，从而获胜。
2.如果规定每次取石子的数量有上限，而且堆中的石子数量是该上限的倍数加1，那么先手的玩家总是可以通过合理的策略来使得每一步的石子数量维持在上限倍数上，从而保证最后一个石子留给对方。
最优策略对于一般的取石子游戏，玩家可以通过数学方法找到最优策略。
最佳策略取决于堆中石子的数量和规定的最大取石子数量。
例如，假设堆中有13个石子，规定一次最多取5个石子。
通过计算，可以得出以下最佳策略：•如果堆中石子数量是5的倍数加1，先手的玩家会输。
•如果堆中石子数量是5的倍数，先手的玩家会赢。
通过数学分析，可以得出结论：对于先手玩家，在石子数量是(m×n+1)的情况下，先手玩家会输；在石子数量是m×n的情况下，先手玩家会赢。
其中m和n是任意正整数，n是规定的规则中每一次最大取石子的数量。
取石子游戏的变种取石子游戏有许多变种，可以根据玩家的喜好和游戏的目标来选择。
Nim游戏在Nim游戏中，有几堆石子，两个玩家轮流进行操作，每次可以从一堆石子中取出任意数量的石子。
博弈论-game-theory-两人轮流进行游戏
当k∞时 x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 …… g(x) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 …… 这有啥用
游戏的联合
定义：对于n个给定的公平组合博弈G1, G2, …, Gn，定义他 们集的合联 ；合对为于G一=个G1局+G面2+x…i属+G于n.X对i，于设游F戏i(xGi)i表Байду номын сангаас示设xXi的i为后它继的局局面面集 合对。于G那的么一G个的局局面面x集=合{x1X,x=2,X…1*,xXn2}*，…它*X的n（后其继中局*为面笛集卡合儿积）；
gn(x1,x2,…,xn) = g(x1)⊕g(x2)⊕…⊕g(xn)
= x1⊕x2⊕…⊕xn
经典Nim游戏
图的游戏
3
0
2 0
1
3 ⊕0 ⊕0=3
0 0
1 0
1
Anti-Nim
有n堆石子，每堆ai个，两个人轮流游戏，每次游戏者 取走某一石碓中至少1枚，至多k枚的石子。谁取走最 后一颗石子算谁输。
一方算输 无论游戏如何进行，总可以在有限步之内结束。(the
Ending Condition)
N局面，P局面
N局面——先手必胜局面
winning for the Next player
P局面——后手必胜局面
winning for the Previous player
定义：
每一个最终局面都是P局面 对于一个局面，若至少有一种操作使它变成一个P局面，
还扩展
游戏4：游戏有n堆石子，第i堆有ai枚，两人轮流进行 游戏，每次游戏者可以从任意一堆取走任意多枚石子， 也可以将任意的一堆石子任意的分成两堆。谁取走最 后一颗石子为胜。
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几种两人轮流取石子游戏的输赢规律及取胜策略续篇上篇中第八种情况的推论有误，不能一概而论，因而第九种也有误。
特此更正。
下面再看几种情况。
分析的基础是上篇中的第四种情况。
引用如下：
有三堆石子，个数分别是1、2、3个。
分析：若先取的把只有一个的一堆取完，则变成上篇中的第二种情况，后取的赢；若先取的从两个的一堆中取一个，则后取的把三个的一堆取完，变成第一种情况，后取的赢；若先取的把两个的一堆取完，变成上篇中的第二种情况，还是后取的赢。
先取的从三个的一堆中取，不论取几个，用同样的方法进行分析，后取的都有办法赢。
所以，先取的不论如何取法，后取的都有应对之策保证必赢。
一、有三堆石子，个数分别是1、3、4个。
分析：先取的只要从4个一堆中取出2个，就变成上篇中的第四种情况，所以先取的必赢。
二、有三堆石子，个数分别是1、4、5个。
分析：若先取的把只有一个的一堆取完，则变成上篇中的第二种情况，后取的赢；若先取的从4个的一堆中取一个，则后取的从5个的一堆中取3个，变成上篇中的第四种情况，后取的赢；其他情况不论先取的从4个或5个的一堆中取几个，后取的都有应对之策取胜；所以，后取的必赢。
三、有三堆石子，个数分别是1、5、6个。
分析：先取的只要从6个一堆中取出2个，就变成第二种情况，所以先取的必赢。
四、有三堆石子，个数分别是1、6、7个。
分析：若先取的把只有一个的一堆取完，则变成上篇中的第二种情况，后取的赢；若先取的从6个的一堆中取一个，则后取的从7个的一堆中取3个，变成第二种情况，后取的赢；其他情况不论先取的从6个或7个的一堆中取几个，后取的都有应对之策取胜；所以，后取的必赢。
五、有三堆石子，个数分别是1、7、8个。
分析：先取的只要从8个一堆中取出2个，就变成第四种情况，所以先取的必赢。
根据以上五种情况可以得出：
三堆石子中有一堆是1个，其他两堆的个数是相邻数的输赢规律及取胜策略是:石子个数在中间的数若是偶数，先取的必输，因为先取的不论怎么取都会使后取的有机会找到取后最终出现两堆石子个数相同的情况，所以先取的必输；石子个数在中间的数若是奇数，先取的必赢，因为先取的只要从个数最多的一堆中取出2个就变成上一种情况，所以先取的必赢。
再看三堆中石子个数最少的一堆是2个，其他两堆的个数是相邻数的情况。
六、有三堆石子，个数分别是2、3、4个。
分析：先取的只要从4个一堆中取出3个，就变成第四种情况，
所以先取的必赢。
七、有三堆石子，个数分别是2、4、5个。
分析：先取的只要从2个一堆中取出1个，就变成第二种情况，所以先取的必赢。
八、有三堆石子，个数分别是2、5、6个。
分析：先取的只要从5个一堆中取出1个，就变成三堆个数是2、4、6的情况。
下来不论后取的如何取，先取的都有应对之策保证取胜。
所以先取的必赢。
九、有三堆石子，个数分别是2、6、7个。
分析：先取的只要从2个一堆中取出1个，就变成第四种情况，所以先取的必赢。
根据以上四种情况可以得出：
三堆石子中有一堆是2个，其他两堆的个数是相邻数。
输赢规律是先取的必赢。
取胜的策略是：石子个数在中间的数若是偶数，先取的可从2个一堆中取出1个即可。
因为这样取后，根据前面的输赢规律后取的必输；石子个数在中间的数若是奇数，先取的可从中间一堆取出1个。
若后取的从2个一堆中取出1个，则先取的可根据前面的规律决定取法必赢；若后取的把2个一堆取完，就变成上篇中的第二种情况，先取的赢；若后取的从另两堆中取，后取的从一堆中取几个，先取的就从另一堆中取几个，直到出现六、七、八、九中的情况。
总之，先取的只要应对得当，必赢。
其他情况分析如下：
一、三堆石子中有一堆是1个，其他两堆的个数相差超过1个。
分析：先取的必胜。
策略是根据石子个数在中间的数的奇偶性来决定。
若是奇数，则从个数多的一堆中取出几个，使这堆剩下的石子个数比中间一堆少1个，根据上面的输赢规律知道先取的必胜；若是偶数，则从个数多的一堆中取出几个，使这堆剩下的石子个数比中间一堆多1个，根据上面的输赢规律知道还是先取的必胜。
二、三堆石子中个数少的一堆不是1个，其他两堆的个数是相邻数。
分析：先取的必胜。
策略是根据石子个数在中间的数的奇偶性来决定。
若是奇数，则从个数最少的一堆中取出几个，使这堆剩下3个石子，根据上面的输赢规律知道先取的必胜；若是偶数，则则从个数最少的一堆中取出几个，使这堆剩下1个石子，根据上面的输赢规律知道还是先取的必胜。
二〇一八年十一月三十日。