【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学人教A版选修2-1 第三章 空间向量与立体几何 3.1.1、3.1.2 含答案

学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．对于空间中任意三个向量a ，b ，2a －b ，它们一定是( ) A ．共面向量 B ．共线向量
C ．不共面向量
D ．既不共线也不共面向量
【解析】 由共面向量定理易得答案A. 【答案】 A
2．已知向量a ，b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( )
A ．A ，
B ，D B ．A ，B ，
C C ．B ，C ，D
D ．A ，C ，D
【解析】 BD
→＝BC →＋CD →＝－5a ＋6b ＋7a －2b ＝2a ＋4b ，BA →＝－AB
→＝－a －2b ，∴BD →＝－2BA →， ∴BD
→与BA →共线， 又它们经过同一点B ， ∴A ，B ，D 三点共线． 【答案】 A
3．A ，B ，C 不共线，对空间任意一点O ，若OP →＝34OA →＋18OB →＋18OC →，则P ，A ，B ，C 四点( )
A ．不共面
B ．共面
C ．不一定共面
D ．无法判断
【解析】 ∵34＋18＋1
8＝1， ∴点P ，A ，B ，C 四点共面． 【答案】 B
4．在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，用向量AB →，AD →，AA 1
→表示向量BD 1
→的结果为( )
图3-1-11
A.BD 1→＝AB →－AD →＋AA 1→
B.BD 1→＝AD →＋AA 1→－AB →
C.BD 1→＝AB →＋AD →－AA 1→
D.BD 1→＝AB →＋AD →＋AA 1
→ 【解析】 BD 1→＝BA →＋AA 1→＋A 1D 1→＝－AB →＋AA 1→＋AD →.故选B. 【答案】 B
5．如图3-1-12，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H ，P ，Q 分别是A 1A ，AB ，BC ，CC 1，C 1D 1，D 1A 1的中点，则( )
图3-1-12
A.EF
→＋GH →＋PQ →＝0
B.EF
→－GH →－PQ →＝0 C.EF
→＋GH →－PQ →＝0 D.EF
→－GH →＋PQ →＝0 【解析】 由题图观察，EF →、GH →、PQ →平移后可以首尾相接，故有EF
→＋GH →＋PQ →＝0. 【答案】 A 二、填空题
6．已知两非零向量e 1，e 2，且e 1与e 2不共线，若a ＝λe 1＋μe 2(λ，μ∈R ，且λ2＋μ2≠0)，则下列三个结论有可能正确的是________．(填序号)
①a 与e 1共线；②a 与e 2共线；③a 与e 1，e 2共面．
【解析】 当λ＝0时，a ＝μe 2，故a 与e 2共线，同理当μ＝0时，a 与e 1共线，由a ＝λe 1＋μe 2知，a 与e 1，e 2共面．
【答案】 ①②③
7．已知O 为空间任意一点，A ，B ，C ，D 四点满足任意三点不共线，但四点共面，且OA →＝2xBO →＋3yCO →＋4zDO →，则2x ＋3y ＋4z 的值为________．
【解析】 由题意知A ，B ，C ，D 共面的充要条件是对空间任意一点O ，存在实数x 1，y 1，z 1，使得OA →＝x 1OB →＋y 1OC →＋z 1OD →，且x 1＋y 1＋z 1＝1，因此2x ＋3y ＋4z ＝－1.
【答案】 －1
8．设e 1，e 2是空间两个不共线的向量，已知AB →＝2e 1＋k e 2
，CB →＝
e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2
，且A ，B ，D 三点共线，则k ＝________. 【导学号：18490085】
【解析】 由已知可得：BD →＝CD →－CB →＝(2e 1－e 2)－(e 1＋3e 2)＝e 1
－4e 2，∵A ，B ，D 三点共线，
∴AB
→与BD →共线，即存在λ∈R 使得AB →＝λBD →. ∴2e 1＋k e 2＝λ(e 1－4e 2)＝λe 1－4λe 2， ∵e 1，e 2不共线，
∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2，k ＝－4λ，
解得k ＝－8. 【答案】 －8 三、解答题
9．已知四边形ABCD 为正方形，P 是四边形ABCD 所在平面外一点，P 在平面ABCD 上的射影恰好是正方形ABCD 的中心O ，Q 是CD 的中点．求下列各式中x ，y 的值．
(1)OQ →＝PQ →＋xPC →＋yP A →； (2)P A →＝xPO →＋yPQ →＋PD →. 【解】 如图所示，
(1)∵OQ
→＝PQ →－PO → ＝PQ →－12
(P A →＋PC →)
＝PQ →－12P A →－12PC →， ∴x ＝y ＝－1
2. (2)∵P A →＋PC →＝2PO →， ∴P A →＝2PO →－PC →. 又∵PC
→＋PD →＝2PQ →， ∴PC
→＝2PQ →－PD →. 从而有P A →＝2PO →－(2PQ →－PD →) ＝2PO
→－2PQ →＋PD →. ∴x ＝2，y ＝－2.
10.如图3-1-13，四边形ABCD 、四边形ABEF 都是平行四边形，且不共面，M ，N 分别是AC ，BF 的中点，判断CE
→与MN →是否共线．
图3-1-13
【解】 ∵M ，N 分别是AC ，BF 的中点， 又四边形ABCD 、四边形ABEF 都是平行四边形， ∴MN →＝MA →＋AF →＋FN →＝12CA →＋AF →＋12
FB →. 又∵MN →＝MC →＋CE →＋EB →＋BN →＝－12CA →＋CE →－AF →－12FB →， ∴12CA →＋AF →＋12FB →＝－12CA →＋CE →－AF →－12FB →.
∴CE
→＝CA →＋2AF →＋FB →＝2(MA →＋AF →＋FN →)， ∴CE
→＝2MN →，∴CE →∥MN →，即CE →与MN →共线． [能力提升]
1．若P ，A ，B ，C 为空间四点，且有P A →＝αPB →＋βPC →，则α＋β＝1是A ，B ，C 三点共线的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【解析】 若α＋β＝1，则P A →－PB →＝β(PC →－PB →)，即BA →＝βBC →，显然A ，B ，C 三点共线；若A ，B ，C 三点共线，则有AB
→＝λBC →，故PB →－P A →＝λ(PC →－PB →)，整理得P A →＝(1＋λ)PB →－λPC →，令α＝1＋λ，β＝－λ，则α＋β＝1，故选C.
【答案】 C
2．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P ，M 为空间任意两点，如果有PM →＝PB 1→＋7BA →＋6AA 1→－4A 1D 1→，那么M 必( )
A ．在平面BAD 1内
B ．在平面BA 1D 内
C ．在平面BA 1
D 1内
D ．在平面AB 1C 1内
【解析】 由于PM →＝PB 1→＋7BA →＋6AA 1→－4A 1D 1→＝PB 1→＋BA →＋6BA 1
→－4A 1D 1→＝PB 1→＋B 1A 1→＋6BA 1→－4A 1D 1→＝P A 1→＋6(P A 1→－PB →)－4(PD 1→－P A 1→)＝11P A 1→－6PB →－4PD 1→，于是M ，B ，A 1，D 1
四点共面，故选C. 【答案】 C
3．已知两非零向量e 1，e 2，且e 1与e 2不共线，若a ＝λe 1＋μ e 2(λ，μ∈R ，且λ2＋μ2≠0)，则下列三个结论有可能正确的是________. 【导学号：18490086】
①a 与e 1共线；②a 与e 2共线；③a 与e 1，e 2共面．
【解析】 当λ＝0时，a ＝μ e 2，故a 与e 2共线，同理当μ＝0时，a 与e 1共线，由a ＝λe 1＋μ e 2，知a 与e 1，e 2共面．
【答案】 ①②③
4.如图3-1-14所示，M ，N 分别是空间四边形ABCD 的棱AB ，CD 的中点．试判断向量MN
→与向量AD →，BC →是否共面．
图3-1-14
【解】 由题图可得：MN →＝MA →＋AD →＋DN →， ① ∵MN
→＝MB →＋BC →＋CN →，
②
又MA
→＝－MB →，DN →＝－CN →， 所以①＋②得：
2MN
→＝AD →＋BC →， 即MN →＝12AD →＋12
BC →，故向量MN →与向量AD →，BC →共面.。