第8讲 列方程
数学：第8讲《方程法解行程》讲义(优选.)
五年级数学星队秋季班第八讲方程法解行程例1A、B两地相距2300米，甲队从A地出发2分钟后，乙队从B地出发与甲相向而行，乙队出发20分钟后与甲队相遇，已知乙的速度比甲的速度每分钟快10米，求甲、乙的速度各是多少？【答案】50米/分，60米/分【分析】设甲的速度为每分钟x米，走了22分钟；乙的速度为每分钟x 米，走了20分钟；10根据总路程列式：()2220102300501060x x x x ++=⇒=⇒+=.例2甲、乙、丙三辆车同时从A 地出发追赶前方的骑车人，分别用6分钟、12分钟、20分钟追上，已知甲车每分钟行400米，乙车每分钟行300米，求丙车每分钟行多少米．【答案】 260【解析】设丙车速度为x ，骑车人速度为a ；根据“路程差”相等可列方程：6(400)12(300)200a a a -=-⇒=，则追及距离为6(400200)1200⨯-=米；则丙车追卡车：20(200)1200260x x -=⇒=练一练姐弟俩正要从公园门口沿马路向东去博物馆，而他们回家则要从公园门口沿马路向西行，他们商量是先回家取车，再骑到博物馆，还是直接从公园门口走到博物馆，姐姐算了一下：如果从公园到博物馆距离超过2千米，则回家取车比较省时间；如果公园和博物馆的距离不足2千米，那么直接走过去省时间. 已知骑车与步行的速度比为4:1，那么公园门口到他们家的距离是多少千米？【答案】 1.2【解析】设骑车速度为4，步行速度为1；设公园到家的距离为x ；当公园和博物馆的距离正好为2时，直接过去和回家取车再过去的时间相等，据此列式：22 1.2114x x x +=+⇒=.例3甲乙两人骑自行车同时从A 地出发去B 地，甲的车速是乙的车速的1.2倍. 乙骑了5千米后，自行车出现故障，耽误的时间可以骑全程的16. 排除故障后，乙的速度提高了60%，结果甲乙同时到达B 地. 那么，A 、B 两地之间的距离是 千米.【答案】 45【解析】设甲的速度为6，则乙的初始速度为5，后来的速度为8；若设全程为S ，则乙耽误的时间为： 15630S S ⨯=；根据时间相等列式：554565308S S S S -=++⇒=千米.例4一艘游艇装满油，能够航行180个小时，已知游艇在静水中的速度为每小时24千米，水速为每小时4千米，现在要求这艘游艇开出之后沿原路回港，而且路途没有油料补给，请问：这艘游艇最多能够开出多远？【答案】 2100【解析】最远的距离意味着回港时正好航行满180小时，设最远开出距离为S 千米；根据时间列式：180********S S S +=⇒=，即最远开出2100公里.练一练盛盛和东东站在环形跑道上的某处，准备以计划好的速度跑步，两人同时同地反向起跑. 但是在两人第一次相遇之前，东东是以原计划速度的2倍来跑步的，在第一次相遇后，东东降为原速，而盛盛以原计划速度的2倍跑步. 已知从开始到第一次相遇用时40秒，从第一次相遇到第二次相遇用时36秒. 还知道两人原计划速度每秒相差1米. 那么这个跑道一圈的长度是米.【答案】360【解析】设一圈长度是S米，仔细考虑两次相遇的速度和，会发现这两个速度和之差正是1米每秒，故有方程13640S S -=，解得360S =.例5甲、乙二人沿铁路相向而行，速度相同，一列火车从甲身边开过用了8秒钟，离甲后5分钟又遇乙，从乙身边开过，只用了7秒钟，问从乙与火车相遇开始再过几秒钟甲乙二人相遇？【答案】 2156【解析】设人的速度为“1”，车速为v ，则有方程8(1)7(1)v v -=+，解得15v =，代回原式求得车长为112.下面计算车遇到乙时，甲乙的距离：车超过甲走了5分钟，故与甲的路程差是-⨯=，但不要忘记(151)3004200开始超过甲时，车还超过了甲一个车长，故算得甲乙距离是42001124312+=. 相遇用时÷+=秒.4312(11)2156例6甲乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，甲车的速度大于乙车. 甲行驶了60km后和乙车在C点相遇. 此后甲车继续向前行驶，乙车掉头与甲车同向行驶. 那么当甲车到达B地时，甲乙两车最远可能相距______km.【答案】 15【解析】设相遇时乙走了x 米，那么甲乙相遇后，甲又走了x 米，乙走了26060x x x ⨯=米，故乙距离B 地22606060x x x x --=米. 260(60)6060x x x x --=，和一定 （x 与60x -的和是60），差小积大，故当60x x =-时，即30x =时，距离最大，最大距离为30(6030)1560⨯-=千米.例7甲、乙二人分别在A、B两地同时相向而行，于E处相遇后，甲继续向B地行走，乙则休息了14分钟，再继续向A地行走. 甲和乙到达B和A后立即折返，仍在E处相遇，已知甲每分钟行走60米，乙每分钟行走80米，则A、B两地相距米. 【答案】1680【解析】甲乙速度之比为60:803:4=，若设3AE a=，全程BE a=则4AB a=，7第二次相遇在E点时，甲走了+=，乙走了a a a7411+=；7310a a a根据时间相等列式：111014240716806080a a a a =+⇒=⇒=.例8甲从A 出发去B 地，速度为90米每分；乙从B 出发去A 地，速度为60米每分. 途中两人会经过C 地，已知乙经过C 地后10分钟甲才经过C 地. 第二天甲要从B 地返回A 地，乙要从A 地返回B 地，两人速度与第一天相同，但这次是甲经过C 地后30分钟乙才经过C 地. 请根据上述条件，求出A 、B 两地之间的距离.【答案】36001212231800 325400 S S S S -=⎧⎨-=⎩①②可见方程的对称性. 此时虽可以求解出具体的1S 、2S ，但别忘记要求的结果是12()S S +，故可使用一种对于两个式子都平等的操作方法直接得出12()S S +： ②式减①式直接得到：121212(32)(23)S S S S S S ---=+540018003600=-=，即AB 两地相距3600米.。
泰安市中考数学一轮复习《第8讲：一元二次方程》课件
解：(1)∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＝(2k＋1)2－4k2＝4k＋1>0，解得
1 k>－4.
(2)当 k＝1 时，方程为 x2＋3x＋1＝0.
∵x1＋x2＝－3，x1x2＝1， ∴x21＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝9－2＝7.
类型3 一元二次方程的应用 【例3】 [2017·深圳中考]一个矩形(即长方形)周长为56厘米． (1)当矩形面积为180平方厘米时，长宽分别为多少？ (2)能围成面积为200平方厘米的矩形吗？请说明理由．
6．[2013·泰安，27，11分]某商店购进600个旅游纪念 品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个 ，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店 为了适当增加销量，决定降价销售(根据市场调查，单价每 降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价)，单价降 低x元销售，销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理 ，以每个4元的价格全部售出，如果这批旅游纪念品共获利 1250元，问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？
(2)3x(x－1)＝2(x－1)，移项，得 3x(x－1)－2(x－1)＝0.提公因式 (x－1)，
得(x－1)(3x－2)＝0.解得 x＝1 或 x＝23.
(3)(x＋3)2＝(1－2x)2，两边开平方，得 x＋3＝±(1－2x)． ∴x＋3＝1－2x， 或 x＋3＝－1＋2x.解得 x＝－23或 x＝4.
(2)不能．理由如下： 设矩形的长为y厘米，则宽为(28－y)厘米．依题意，得 y(28－y)＝200，即y2－28y＋200＝0. ∵Δ＝282－4×200＝－16<0， ∴原方程无解． ∴不能围成面积为200平方厘米的矩形．
技法点拨►用到的知识点为：矩形的宽＝周长的一半－长． 解题的关键是读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合 适的等量关系，列出方程，再求解．
人教版 小学五年级上册秋季 数学讲义 专项强化巩固练习《第8讲 解方程》题目+答案
人教版小学五年级秋季数学讲义专项强化练习题+答案第8讲解方程例题练习题例1解下列方程．（1）6x+12=42；（2）12x−42=9x；（3）84−7x=5x．练1解下列方程．（1）4x−14=66；（2）4x+108=8x；（3）108−3x=6x．例2解下列方程．（1）5x+2=2x+14；（2）7−2x=31−6x；（3）15−3x=4x−20．练2解下列方程．（1）7+6x=32+x；（2）16−3x=36−8x；（3）19−5x=7x−17．例3解下列方程．（1）9x−(2x−21)=10x；（2）7x+2(11−x)=37．练3解下列方程．（1）4x+5(x−3)=30；（2）27−(5x−8)=2x．例4解方程：30−7(5−x)=9．练4解方程：6x−4(10−x)=50．挑战极限1如果关于x的方程5x=12+3x和3−(m−x)=4的解相等，那么m等于几？自我巩固1．方程7x+3=66的解是x=________．2．方程8x=44−3x的解是x=________．3．方程4x+3=3x+8的解是x=________．4．方程12−3x=7x−18的解是x=________．5．方程4x+15=6x+3的解是x=________．6．方程10+(5x+3)=58的解是x=________．7．方程1+2(3+x)=7的解是x=________．8．方程9x−2（2x−2）=19的解是x=________．9．方程7x+4(8−x)=53的解是x=________．10．方程5x−2(x−2)=25的解是x=___________．课堂落实1．方程4x+12=60的解是x=________．2．方程7x=81−2x的解是x=________．3．方程3x+7=5x+1的解是x=________．4．方程13+(6x+12)=55的解是x=________．5．方程36+3(4−x)=5x的解是x=________．第8讲解方程·参考答案例题练习题答案例1 【答案】（1）x＝5；（2）x＝14；（3）x＝7 【解析】（1）6x＋12＝42解：6x＝30x＝5；（2）12x－42＝9x解：3x＝42x＝14；（3）84－7x＝5x解：12x＝84x＝7．练1 【答案】（1）x＝20；（2）x＝27；（3）x＝12 【解析】（1）4x－14＝66解：4x＝80x＝20；（2）4x＋108＝8x解：4x＝108x＝27；（3）108－3x＝6x解：9x＝108x＝12．例2 【答案】（1）x＝4；（2）x＝6；（3）x＝5【解析】（1）5x＋2＝2x＋14解：3x＝12x＝4；（2）7－2x＝31－6x解：4x＝24x＝6；（3）15－3x＝4x－20解：7x＝35x＝5．练2 【答案】（1）x＝5；（2）x＝4；（3）x＝3 【解析】（1）7＋6x＝32＋x；解：5x＝25x＝5；（2）16－3x＝36－8x解：5x＝20x＝4；（3）19－5x＝7x－17解：12x＝36x＝3．例3 【答案】（1）x＝7；（2）x＝3【解析】（1）9x－（2x－21）＝10x解：3x＝21x＝7；（2）7x＋2（11－x）＝37解：5x＝15x＝3．练3 【答案】（1）x＝5；（2）x＝5【解析】（1）4x＋5（x－3）＝30解：4x＋5x－15＝30x＝30＋15x＝5；（2）27－（5x－8）＝2x解：27－5x＋8＝2x35－5x＝2x35＝2x＋5x35＝7xx＝5．例4 【答案】x＝2【解析】 30－7（5－x）＝9解：30－（35－7x）＝930－35＋7x＝97x＝14x＝2．练4 【答案】x＝9【解析】6x－4（10－x）＝50解：6x－（40－4x）＝506x－40＋4x＝5010x＝90x＝9．挑战极限1 【答案】5【解析】5x＝12＋3x的解为x＝6，所以3－（m－6）＝4，解得m＝5．自我巩固答案1 【答案】9【解析】7x＋3＝66解：7x＋3－3＝63－37x＝63x＝92 【答案】4【解析】8x＝44－3x解：8x＋3x＝44x＝43 【答案】5【解析】4x＋3＝3x＋8解：4x－3x＝8－3x＝5．4 【答案】3【解析】12－3x＝7x－18解：12＋18＝3x＋7x30＝10xx＝3．5 【答案】6【解析】4x＋15＝6x＋3解：2x＝12x＝6．6 【答案】9【解析】10＋（5x＋3）＝58解：10＋5x＋3＝585x＝45x＝9．7 【答案】0【解析】1＋2（3＋x）＝7解：1＋6＋2x＝77＋2x＝72x＝0x＝0．8 【答案】3【解析】去括号的时候需要注意括号前面的符号，如果是减号，去括号时要变号．9 【答案】7【解析】7x＋4（8－x）＝53解：7x＋32－4x＝533x＝21x＝7．10 【答案】7【解析】5x－2（x－2）＝25解：5x－2x＋4＝253x＝21x＝7．课堂落实答案1 【答案】12【解析】4x＋12＝60解：4x＋12－12＝60－124x＝48x＝122 【答案】93 【答案】34 【答案】55 【答案】6。
第8讲 列方程解应用题
1．(2012·云南)某企业为严重缺水的甲、乙两所学校捐 赠矿泉水共2000件，已知捐给甲校的矿泉水件数比捐给乙 校件数的2倍少400件，求该企业捐给甲、乙两所学校的矿 泉水各多少件．
解：设该企业捐给乙校的矿泉水件数是x，则捐给甲校 的矿泉水件数是2x－400，依题意得方程(2x－400)＋x＝ 2000，解得x＝800，2x－400＝1200.即该企业捐给甲校的 矿泉水1200件，捐给乙校的矿泉水800件
【点评】 (1)现实生活中存在大量的实际应用 问题，需要用一元二次方程的知识去解决，解决 这类问题的关键是在充分理解题意的基础上，寻 求问题中的等量关系，从而建立方程．(2)解出 方程的根要结合方程和具体实际选择合适的根， 舍去不合题意的根．
4．(2014·新疆)如图，要利用一面墙(墙长为25米)建 羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三 个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为 多少米．
A．438(1＋x)2＝389 B．389(1＋x)2＝438 C．389(1＋2x)＝438 D．438(1＋2x)＝389
5．(2014·随州)某小区2012年屋顶绿化面积为2000平
方米，计划2014年屋顶绿化面积要达到2880平方米
．如果每年屋顶绿化面积的增长率相同，那么这个
增长率是 20%
(1)若每副乒乓球拍的价格为x元，请你用含x的代数 式表示该校购买这批乒乓球拍和羽毛球拍的总费用；
(2)若购买的两种球拍数一样，求x.
解：(1)(4000＋25x)元 (2)购买每副乒乓球拍用去了 x 元，则购买每副羽毛球拍 用去了(x＋20)元，由题意得20x00＝20x0＋0＋2205x，解得 x1＝40，x2＝－40，经检验，x1，x2 都是原方程的根， 但 x＞0，∴x＝40.即每副乒乓球拍的价格为 40 元
第08讲 一元二次方程求根公式及解方程综合(原卷版)-【暑假预习】2024年新八年级数学核心知识点与
第08讲 一元二次方程求根公式及解方程综合【知识梳理】一：一元二次方程求根公式1、公式引入一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠），可用配方法进行求解：得：2224()24b b ac x a a -+=．对上面这个方程进行讨论：因为0a ≠，所以240a >①当240b ac -≥时，22404b ac a -≥利用开平方法，得：2b x a += 即：x = ②当240b ac -<时，22404b ac a -< 这时，在实数范围内，x 取任何值都不能使方程2224()24b b ac x a a -+=左右两边的值相等，所以原方程没有实数根．2、求根公式一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠），当240b ac -≥时，有两个实数根：1x =，2x 这就是一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠）的求根公式．3、用公式法解一元二次方程一般步骤①把一元二次方程化成一般形式20ax bx c ++=（0a ≠）；②确定a 、b 、c 的值；③求出24b ac -的值（或代数式）；④若240b ac -≥，则把a 、b 、c 及24b ac -的值代入求根公式，求出1x 、2x ；若240b ac -<，则方程无解．二：一元二次方程解法综合①开平方法：形如20 (0)ax c a +=≠及2()0 (0)a x k c a ++=≠的一元二次方程，移项后直接开平方法解方程．②因式分解法：通过因式分解，把一元二次方程化成两个一次因式的积等于零的形式，从而把解一元二次方程的问题转化为解一元一次方程的问题，即：若0A B ⋅=，则0A =或0B =．③配方法：通过添项或拆项，把方程左边配成完全平方式，剩余的常数项全部移到方程右边，再通过开平方法求出方程的解 即：222222440()0()2424b b ac b b ac ax bx c a x x a a a a --++=⇒+-=⇒+=，再用开平方法求解． ④公式法：用求根公式解一元二次方程一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，当240b ac -≥时，有两个实数根：12 x x ==，【考点剖析】题型一：一元二次方程求根公式例1.求下列方程中24b ac -的值：（1）220x x -=；（2）2220x x --+=；（3）224(32)26x x x -+=-；（42+．【变式1】用公式法解下列方程：（1）2270x x -+=；（2）211042x x -=．【变式2】用公式法解下列方程：（1）2320x x +-=；（2）25610x x -++=．【变式3】用公式法解下列方程：（1）(24)58x x x -=-；（2）2(53)(1)(1)5x x x -+=++．【变式4】用公式法解下列方程：（1）20.2 2.5 1.30.1x x x +-=；（2）22(3)(31)(23)1552x x x x +--+-=．【变式5】用公式法解下列方程：（1）291x +=；（220+-．【变式6】用公式法解方程：21)30x x ++-．【变式7】当x 为何值时，多项式21122x x +与220x +的值相等？题型二：一元二次方程解法综合例2.口答下列方程的根：（1）(2)0x x +=；（2）(1)(3)0x x --=；（3）(32)(4)0x x +-=；（4）()()0x m x n -+=．【变式1】用开平方法解下列方程：（1）21(3)63x +=；（2）224(1)(2)x x +=-．【变式2】用因式分解法解下列方程：（1）23)x x =；（2）2(21)(21)0x x x ---=．【变式3】用因式分解法解下列方程：（1）23250x x -+-=； （2）2184033x x ++=；（3）(1)(2)10x x -+=； （4）(31)(1)(41)(1)x x x x +-=--．【变式4】用配方法解下列方程：（1）213402x x ++=；（2）263150x x --=．【变式5】用配方法解下列关于x 的方程：（1）230x x t +-=；（2）220ax x ++=（0a ≠）．【变式6】用公式法解下列方程：（1）2356x x =+；（2）2(3)(28)1025x x x +++=．【变式7】用公式法解下列方程：（120x -=；（2）210.20.3020x x -+=；（3）226(21)2x x x -++=-．【变式8】用公式法解下列关于x 的方程：（1）20x bx c --=； （2）2100.1a x a -=．【变式9】用适当方法解下列方程：（1）2(21)9x -=； （2）212455250x x --=；（3）22(31)(1)0x x --+=；（4）2(2)(2)0x x x -+-=；（5）21102x -+=； （6）20.30.50.3 2.1x x x +=+．【变式10】用因式分解法和公式法2种方法解方程：2222x -+．【变式11】如果对于任意两个实数 a b 、，定义：2a b a b =+．试解方程：2(2)210x x +=．【变式12】．已知2220x x --=，求代数式2(1)(3)(3)(3)(1)x x x x x -++-+--的值．【过关检测】一．选择题（共6小题）1．（2020秋•浦东新区校级期末）方程（x +1）（x ﹣3）＝5的解是（ ）A ．x 1＝1，x 2＝﹣3B ．x 1＝4，x 2＝﹣2C ．x 1＝﹣1，x 2＝3D ．x 1＝﹣4，x 2＝22．（2023春•浦东新区期末）方程2x 2﹣2＝0的解是（ ）A ．x ＝﹣1B ．x ＝0C ．x ＝1D ．x ＝±1．3．（2022春•上海期中）下列关于x 的方程一定有实数根的是（ ）A ．ax +1＝0B ．ax 2+1＝0C ．x +a ＝0D ．x 2+a ＝04．（2021秋•奉贤区校级期末）用配方法解方程x 2+5x +2＝0时，下列变形正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．（2022秋•奉贤区校级期中）要使方程ax 2+b ＝0有实数根，则条件是（ ）A ．a ≠0，b ＞0B ．a ≠0，b ＜0C ．a ≠0，a ，b 异号或b ＝0D ．a ≠0，b ≤06．（2020秋•杨浦区校级月考）若方程（2016x ）2﹣2015•2017x ﹣1＝0较大的根为m ，方程x 2+2015x ﹣2016＝0较小的根为n，则m﹣n＝（）A．2016B．2017C．D．二．填空题（共12小题）7．（2022秋•青浦区校级期末）方程x2＝3的根是．8．（2022秋•长宁区校级期中）一元二次方程x2＝2x的根是．9．（2022秋•虹口区校级期中）方程（x﹣2）2＝0的解是．10．（2022秋•宝山区校级期中）方程x2﹣5x＝4的根是．11．（2022秋•闵行区校级期中）已知实数x，y满足（x2+y2）（x2+y2﹣7）＝8，那么x2+y2＝．12．（2022秋•浦东新区校级月考）若m、n为实数，且（m2+n2）（m2﹣1+n2）＝30，则m2+n2＝．13．（2023春•长宁区校级月考）把二次方程x2﹣2xy﹣8y2＝0化成两个一次方程，那么这两个一次方程分别是和．14．（2021秋•奉贤区校级期末）方程x（3x+2）﹣6（3x+2）＝0的根是．15．（2022•普陀区二模）如果关于x的方程（x﹣1）2＝m没有实数根，那么实数m的取值范围是．16．（2021秋•宝山区期末）方程2（x﹣3）＝x（x﹣3）的根为．17．（2022秋•静安区校级期中）对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号Max{a，b}表示a，b中的较大值，如：Max{2，4}＝4，按照这个规定，方程Max{x，﹣x}＝x2﹣2的解为．18．（2022秋•奉贤区校级期中）方程x2+x﹣1＝0的根是．三．解答题（共12小题）19．（2023春•杨浦区期中）解关于x的方程：（k2﹣4）x2﹣（5k﹣2）x+6＝0．20．（2022秋•徐汇区校级期末）解方程：y+＝．21．（2022秋•闵行区校级期中）解方程：x2+3x＝222．（2022秋•奉贤区期中）解方程：（x﹣2）（x+4）＝1．23．（2022秋•嘉定区月考）解方程：4x2﹣（x﹣2）2＝11．24．（2023春•虹口区期末）解方程：x2﹣4x＝9996．25．（2022秋•浦东新区期中）解方程：．26．（2022秋•虹口区校级期中）解关于x的方程：ax2+4x﹣6＝0．27．（2022秋•虹口区校级期中）解关于x的方程：（a﹣b+c）x2+2ax+（a+b﹣c）＝0．28．（2022秋•黄浦区校级月考）解方程：2x2+4x﹣1＝0．29．（2022秋•黄浦区校级期末）用配方法解方程：x2﹣4x﹣2＝0．30．（2022秋•闵行区期中）已知：a、b是实数，且满足+|b+2|＝0，求关于x的一元二次方程ax2+bx+＝0的根．。
学大精品讲义五上数学(含答案)8第八讲 方程实际应用(一)
教学过程一、复习预习1、回顾以前学过的等式性质（1）和等式性质（2），并利用等式性质解决下面问题。
4x÷（）=16÷（） 12＋x－（）=36.5－（）2、什么是方程？方程与等式的关系。
3、解下面方程。
16－x=12.36 5x=25.5 x÷36=0.1x+23.1=100二、知识讲解列方程解应用题的一般步骤是：①弄清题意，找出已知条件和所求问题；②依题意确定等量关系，设未知数x；③根据等量关系列出方程；④解方程；⑤检验，写出答案。
1、综合法：先把应用题中已知数（量）和所设未知数（量）列成有关的代数式，再找出它们之间的等量关系，进而列出方程。
这是从部分到整体的一种思维过程，其思考方向是从已知到未知。
2、分析法：先找出等量关系，再根据具体建立等量关系的需要，把应用题中已知数（量）和所设的未知数（量）列成有关的代数式进而列出方程。
这是从整体到部分的一种思维过程，其思考方向是从未知到已知。
考点/易错点 1先把应用题中已知数（量）和所设未知数（量）列成有关的代数式，再找出它们之间的等量关系，进而列出方程。
这是从部分到整体的一种思维过程，其思考方向是从已知到未知。
考点/易错点 2分析法：先找出等量关系，再根据具体建立等量关系的需要，把应用题中已知数（量）和所设的未知数（量）列成有关的代数式进而列出方程。
这是从整体到部分的一种思维过程，其思考方向是从未知到已知。
三、例题精析【例题 1】一个数的 2 倍减去 7.5 结果是 10，这个数是多少？列出方程解答．【例题 2】已知 3 个连续的整数的和是 48，求这三个连续的整数。
【例题 3】小胖去爬山,上山花了 45 分钟,按原路下山花了 30 分钟,上山每分钟比下山少走 9 米。
求下山的速度？【例题 4】四年级共有学生 200 人，课外活动时，80 名女生都去跳绳。
男生分成 5 组去踢足球，平均每组多少人？【例题 5】食堂运来 158.5 千克大米，比运来的面粉的 3 倍少 35.2 千克。
专题08一元二次方程(含解析)讲解
专题08 一元二次方程一、解读考点二、考点归纳归纳 1：一元二次的有关概念基础知识归纳：1. 一元二次方程：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程．2. 一般形式:ax2+bx+c=0（其中a、b、c为常数，a≠0），其中ax2、bx、c分别叫做二次项、一次项和常数项，a、b分别称为二次项系数和一次项系数．3.一元二次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．基本方法归纳：一元二次方程必须具备三个条件：（1）必须是整式方程；（2）必须只含有1个未知数；（3）所含未知数的最高次数是2．注意问题归纳：在一元二次方程的一般形式中要注意a ≠0.因为当a =0时，不含有二次项，即不是一元二次方程．【例1】若x =﹣2是关于x 的一元二次方程225x ax a 02-+=的一个根，则a 的值为（ ）A . 1或4B . ﹣1或﹣4C . ﹣1或4D . 1或﹣4【答案】B ．考点：一元二次方程的解和解一元二次方程． 归纳 2：一元一次方程的解法 基础知识归纳： 一元二次方程的解法1、直接开平方法：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。
根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b <0时，方程没有实数根．2、配方法：配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。
配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±．3、公式法：公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法． 一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式：)04(2422≥--±-=ac b aac b b x4、因式分解法：因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法．基本方法归纳：（1）若一元二次方程缺少常数项,且方程的右边为0,可考虑用因式分解法求解;（2）若一元二次方程缺少一次项,可考虑用因式分解法或直接开平方法求解;（3）若一元二次方程的二次项系数为1,且一次项的系数是偶数时或常数项非常大时,可考虑用配方法求解; （4）若用以上三种方法都不容易求解时,可考虑用公式法求解．注意问题归纳：用公式法求解时必须化为一般形式；用配方法求解时必须两边同时加上一次项的系数一半的平方．【例2】用配方法解关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0．x x（其中b2﹣4ac≥0）．【答案】12【解析】试题分析：应用配方法解一元二次方程，要把左边配成完全平方式，右边化为常数．考点：解一元二次方程-配方法．归纳 3：一元二次方程的根的判别式基础知识归纳：一元二次方程的根的判别式对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）：（1）b2－4ac＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）b2－4ac＝0⇔方程有两个的实数根；（3）b2－4ac＜0⇔方程没有实数根．基本方法归纳：若只是判断方程解得情况则根据一元二次方程的根的判别式判断即可．注意问题归纳：一元二次方程的根的判别式应用时必须满足a≠0；一元二次方程有解分两种情况：1、有两个相等的实数根；2、有两个不相等的实数根．【例3】下列方程没有实数根的是（）A．x2＋4x＝10 B．3x2＋8x－3＝0C．x2－2x＋3＝0 D．（x－2）（x－3）＝12【答案】C．【解析】试题分析：A、方程变形为：x2+4x-10=0，△=42-4×1×（-10）=56＞0，所以方程有两个不相等的实数根，故A选项不符合题意；B、△=82-4×3×（-3）=100＞0，所以方程有两个不相等的实数根，故B选项不符合题意；C、△=（-2）2-4×1×3=-8＜0，所以方程没有实数根，故C选项符合题意；D、方程变形为：x2-5x-6=0，△=52-4×1×（-6）=49＞0，所以方程有两个不相等的实数根，故D选项不符合题意．故选C．考点：根的判别式．归纳 4：根与系数的关系基础知识归纳：一元二次方程的根与系数的关系若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别为x1，x2，则有x1＋x2＝ba，x1x2＝ca．基本方法归纳：一元二次方程问题中，出现方程的解得和与积时常运用根与系数的关系．注意问题归纳：运用根与系数的关系时需满足：1、方程有解；2、a≠0．【例4】若α、β是一元二次方程x2+2x-6=0的两根，则α2+β2=（）A. -8B. 32C. 16D. 40【答案】C．考点：根与系数的关系．归纳 5：一元二次方程的应用基础知识归纳：1、一元二次方程的应用1. 列一元二次方程解应用题的步骤和列一元一次方程（组）解应用题的步骤相同，即审、设、列、解、验答五步．2. 列一元二次方程解应用题中，经济类和面积类问题是常考类型，解决这些问题应掌握以下内容：（1）增长率等量关系:A.增长率＝×100%；B.设a为原来量，m为平均增长率,n为增长次数，b为增长后的量，则a（1+m）n=b;当m为平均下降率，n 为下降次数，b为下降后的量时，则有a（1-m）n=b．（2）利润等量关系:A.利润＝售价-成本；B.利润率＝利润成本×100%．（3）面积问题3、解应用题的书写格式：设→根据题意→解这个方程→答．基本方法归纳：解题时先理解题意找到等量关系列出方程再解方程最后检验即可．注意问题归纳：找对等量关系最后一定要检验．【例5】如图，某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草。
_八年级秋季班-第8讲：一元二次方程的应用二
一元二次方程应用（二）解一元二次方程的应用题一般步骤是“审、设、列、解、答”，本节主要针对解决利率、利润经营决策、面积、动点等问题，进行分析讲解，通过建立一元二次方程，得到要求结果．本章节的内容综合性较强．1、比赛问题：解决此类问题的关键是分清单循环和双循环 ．2、传播问题： a (1 x )nA ，a 表示传染前的人数，x 表示每轮每人传染的人数，n表示传染的轮数或天数，A 表示最终的人数．内容分析知识结构模块一：传播问题知识精讲例题解析【例1】某次会议中，参加的人员每两人握一次手，共握手190 次，求参加会议共有多少人．【例2】一个QQ 群中有若干好友，每个好友都分别给群里其他好友发送了一条信息，这样共有756 条信息，这个QQ 群中共有多少个好友?【例3】学校组织了一次篮球单循环比赛（每两队之间都进行了一次比赛），共进行了15场比赛，那么有几个球队参加了这次比赛?【例4】参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订一份合同，所有的公司共签订了45 份合同，共有多少家公司参加商品交易会?【例5】某实验室需要培养一群有益菌，现有60 个活体样本，经过两轮培植后，总和达到24000 个，其中每个益生菌一次可以分裂出若干个相同数目的有益菌．求每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌?【例6】我们知道传销能扰乱一个地方的正常的经济秩序，是国家法律明令禁止的，如图是某传销公司的发展模式，该传销模式经两轮发展后，共有传销人员111名，问该传销公司要求每人发展多少名下家?1、利率问题基本公式：利息=本金*利率*期数2、利润问题基本公式：单件利润=售价-成本；利润=（售价-成本）*销售的件数．师生总结1、解此类问题，列方程时1 与x 的位置不能调换；解方程一般用直接开平方法；2、所得的方程的根一般有两个，注意检验，是否符合实际问题的要求．模块二：利率、利润问题知识精讲例题解析【例7】小明同学将1000 元压岁钱第一次按一年定期储蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500 元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下降到第一次存款时年利率的60%，这样到期后，可得本金和利息共530 元，求第一次存款时的年利率．（利息税为20%，只需要列式子）【例8】某种服装，平均每天可以销售20 件，每件盈利44 元，在每件降价幅度不超过10 元的情况下，若每件降价1 元，则每天可多售出5 件，如果每天要盈利1600 元，每件应降价多少元?【例9】某商场按标价销售某种工艺品时，按照标价出售，每件可获利45 元，并且商场每天可售出该工艺品100 件，若每件工艺品降价1 元，则每天可多售出该工艺品 4 件．（1）每件工艺品应降多少元出售，可使每天获得的利润为4900？（2）若已知按标价的八五折销售该工艺品8 件与标价降低35 元销售工艺品12 件所获得的利润相等，则工艺品每件的进价为多少元?【例10】某化工材料销售公司购进了一种化工原料，进货价格为每千克30 元.物价部门规定其销售单价不得高于每千克70 元，也不得低于30 元．市场调查发现：单价每千克70 元时日均销售60kg；单价每千克降低一元，日均多售2kg．在销售过程中．每天还要支出其他费用500 元（天数不足一天时，按一天计算）．如果日均获利1950 元，求销售单价．【例11】某单位组织员工去天河湾旅游度假，咨询了几家旅行社，定价相当，可有不同的优惠方案．稍后见到某旅行社的广告：基价1000 元/人，若单位组织超过25 人，每增加1 人可将人均定价降低20 元，结合单位员工人数进行比较，发现这家旅行社价格明显优于其他的旅行社，最终选择了这家旅行社．旅行结束后，单位经办人员按照这一标准，准备了2.7 万元的支票前去结账，却被告知金额不止2.7 万元，并取出合同，指明在有关旅游景点、食宿标准、自费项目等附则最后一项约定：优惠后的价格以人均不低于700 元为限．双方对此发生争执，经当地消费者协会调查，调解，认为旅行社未在广告、合同明显位置明确这一约定，且不能提供证明在签字合同时尽到了告知的义务，存在欺诈行为；但鉴于消费者在签订合同时的失误，也应承担双方争执差额的30%的责任．（1）这家单位还应补缴多少金额?（2）对这一场消费纠纷，你有什么想法?【例12】利达经销店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．当每吨售价为260 元时，月销售量为45 吨．该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销．经市场调查发现：当每吨售价每下降10 元时，月销售量就会增加7.5 吨．综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100 元．（1）当每吨售价是240 元时，计算此时的月销售量；（2）在遵循“薄利多销”的原则下，问每吨材料售价为多少时，该经销店的月利润为9000 元．（3）小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大．”你认为对吗？请说明理由．F1、面积问题：判断清楚要设的未知数是关键点，找出题目中的等量关系，列出方程．【例13】 一个直角三角形的两条直角边的和是14cm 2 ，面积是24cm 2 ，两条直角边的长分别是．【例14】 一个长方形的对角线长的是10 ，面积是 48，长方形的周长是．【例15】 利用 22 米长的墙为一边，用篱笆围成一个长方形的养鸡场，中间用篱笆分割出两个小长方形，总共用去篱笆 36 米，为了使这个长方形 ABCD 的面积为 96 平方米，问 AB 和 BC 边各应为多少? ADBE C【例16】 如图，如图某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长 18m ），另三边用木栏围成，木栏长 35m ．（1） 农场的面积能达到 150 m 2 ?（2） 农场的面积能达到 180 m 2 吗?如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．（3）若墙长为a m ,另三边用竹篱笆围成，题中的墙长度a m 对题目的解起着怎样的作用?模块三：面积问题知识精讲例题解析18米2米【例17】 有一面积是 150 平方米的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长 18 米），墙对面有一个 2 米宽的门，另三边（门除外）用竹篱笆围成，篱笆总长 33 米．求鸡场的长和宽各多少米?【例18】 如图，要设计一本书的封面，封面长 27cm ，宽 21cm ， 正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形， 如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一， 上、下边衬等宽，左、右边衬等宽， 应如何设计四周边衬的宽度（精确到 0.1cm ）?【例19】 如图，某中学为方便师生活动，准备在长 30 m ，宽 20 m 的矩形草坪上修两横两纵四条小路，横纵路的宽度之比为 2∶1，若使余下的草坪面积是原来草坪面积的三分之二，则路宽应为多少（精确到 0.1cm ）?九年 级 练数 学 习同 步传播问题QP【例20】 要对一块长 60 米、宽 40 米的矩形荒地 ABCD 进行绿化和硬化，设计方案如图所示，矩形 P 、Q 为两块绿地，其余为硬化路面，P 、Q 两块绿地周围的硬化路面宽都相等，并使两块绿地面积的和为矩形 ABCD 面积的 1，求 P 、Q 两块绿地周围的硬化路面4 的宽度．ADBC1、动态几何类问题：（1）若动态图形比较特殊，思考用基本几何图形的面积公式找等量关系列方程或函数关系式；（2）如动态图形不特殊，则思考用组合图形的面积和差找等量关系列方程或函数关系式．模块五：动态几何类问题知识精讲例题解析【例21】如图，矩形ABCD 中，AB=6cm，BC=12cm，点P 从A 开始沿AB 边向点B 以1 厘米/秒的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2 厘米/秒的速度移动，当点P 到达B 点或点Q 到达C 点时，两点停止移动，如果P、Q 分别是从A、B 同时出发，t 秒钟后．（1）求出△PBQ 的面积；（2）当△PBQ 的面积等于8 平方厘米时，求t 的值；（3）是否存在△PBQ 的面积等于10 平方厘米，若存在，求出t 的值，若不存在，说明理由．D CQA P B【例22】在矩形ABCD 中，AB=9cm，BC=15cm，点P 从点A 开始以3cm/s 的速度沿AB 边向点B 移动，点Q 从点B 开始以cm/s 的速度5 沿BC 边向点C 移动，如果P、Q 分别从A、B 同时出发，当点Q 运动到点D 时，P、Q 两点同时停止运动，试求△PQD的面积S 与P、Q 两个点运动的时间t 之间的函数关系式．D CQA P BADPL【例23】 等腰直角三角形 ABC 中，AB =BC =8cm ，动点 P 从 A 点出发，沿 AB 向 B 移动，通过点 P 引平行于 BC 、AC 的直线与 AC 、BC 分别交于 R 、Q ．当 AP 等于多少厘米时， 平行四边形 PQCR 的面积等于 16 cm 2 ?APCQ B【例24】 有一边为 8cm 的正方形 ABCD 和等腰三角形 PQR ，PQ ＝PR ＝5cm ，QR ＝ 5cm ，点 B 、C 、Q 、R 在同一直线 l 上，当 C 、Q 两点重合时，等腰三角形 PQR 以 1cm /s 的速度沿直线 l 按箭头方向匀速运动，t 秒后正方形 ABCD 与等腰三角形 PQR 重合部分的面积为 5，求时间 t ．BQCR2 R【例25】 已知竖直上抛物体离地高度 h （米）和抛出瞬间的时间 t （秒）的关系是h v t 1 gt 2， v 是抛出时的瞬时速度，常数 g 取 10 米/秒2 ．一枚爆竹以v =30 米/0 20 0秒的速度从地面上升，试求：（1） 隔多少时间爆竹离地面高度是 25 米? （2） 多少时间以后爆竹落地?【例26】 象棋比赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢者记 2 分，输者记 0分．如果平局，两个选手各记 1 分，有四个同学统计了比赛中全部选手的得分总数，分别是 1979，1980，1984，1985.经核实，有一位同学统计无误，其他三名同学均有错误. 试计算这次比赛共有多少个选手参加．【例27】 一个容器内乘有 60 升纯酒精，倒出若干升后用水加满，第二次倒出比第一次多 14升的溶液，再用水加满．这时容器内纯酒精和水正好各占一半，问第一次倒出了多少的纯酒精?模块六：其他类问题例题解析随堂检测【习题1】要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7 天，每天安排4 场，比赛组织者应邀请多少个队参赛．【习题2】用20 厘米长的铁丝能否折成面积为30 平方厘米的矩形，若能够，求它的长与宽；若不能，请说明理由．【习题3】小华勤工俭学挣的100 元钱按一年期存入银行，到期后取出50 元来购买学习用品，剩下的50 元和所得的利息又全部按一年定期存入银行，若存款的年利率又下调到原来的一半，这样到期后可得本息和为63 元，求第一次存款的年利率（不计利息税）【习题4】某商店经销一种销售成本为每千克40 元的水产品，据市场分析，若每千克50 元销售，一个月能售出500kg，销售单价每涨1 元，月销售量就减少10kg，针对这种水产品情况，请解答以下问题：（1）当销售单价定为每千克55 元时，计算销售量和月销售利润．（2）设销售单价为每千克x 元，月销售利润为y 元，求y 与x 的关系式．（3）商店想在月销售成本不超过10000 元的情况下，使得月销售利润达到8000 元，销售单价应为多少．【习题5】在一幅长80cm，宽50cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果四周金色纸边的面积是1400 cm2 ，求金色纸边的宽．【习题6】课外植物小组准备利用学校仓库旁的一块空地，开辟一个面积为130 平方米的花圃，打算一面利用长为15 米的仓库墙面，三面利用长为31 米的旧围栏，并且在花圃的较长的一面留一个 2 米门，求花圃的长和宽．【习题7】如图，用总长为54 米的篱笆，在一面靠墙的空地上围成由八个小矩形组成的矩形花圃ABCD，并使面积为72 平方米，求AB 和BC 的长．【习题8】某林场计划修一条长750m，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为 1.6 m2 ，上口宽比渠深多2m，渠底比渠深多0.4m．（1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少?（2）如果计划每天挖土48 m3 ，需要多少天才能把这条渠道挖完．【习题9】一个容器盛满纯药液63L，第一次倒出一部分纯药液后用水加满，第二次又倒出同样多的药液，再加水补满，这时容器内剩下的纯药液是28L，设每次倒出液体xL，求每次倒出的药液量．【习题10】某商场礼品柜台春节期间购进甲、乙两种贺年卡，甲种贺年卡平均每天可售出500 张，每张盈利0.3 元，乙种贺年卡平均每天可售出200 张，每张盈利0.75 元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果甲种贺年卡的售价每降价0.1 元，那么商场平均每天可多售出100 张；如果乙种贺年卡的售价每降价0.25 元，那么商场平均每天可多售出40 张．如果商场要想每种贺年卡平均每天盈利120 元，那么哪种贺年卡每张降价的绝对量大?【习题11】如图，Rt△ABC 中，∠B=90°，AC=10cm，BC=6cm，现有两个动点P、Q 分别从点A 和点B 同时出发，其中点P 以2cm/s 的速度，沿AB 向终点B 移动；点Q 以1cm/s 的速度沿BC 向终点C 移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连接PQ．设动点运动时间为x 秒．（1）用含x 的代数式表示BQ、PB 的长度；（2）当x 为何值时，△PBQ 为等腰三角形；（3）是否存在x 的值，使得四边形APQC 的面积等于20 cm2 ？若存在，请求出此时x 的值；若不存在，请说明理由APB C【作业1】 从正方形的铁片上，截去宽为 2 厘米的一个长方形，余下的面积是 48 平方厘米，则原来的正方形铁片的面积是．【作业2】 有 46 米长的竹篱笆，要围成一边靠墙（墙长 25 米）的矩形鸡场，其面积是 260平方米，则鸡场的长为米，宽为米．【作业3】 在一块长 12m ，宽 8m 的长方形平地中央，划出地方砌一个面积为 8 m 2 的长方形花台，要使花坛四周的宽度一样，则这个宽度为多少?（结果保留根号）【作业4】 如图所示的一防水坝的横截面（梯形），坝顶宽 3m ，背水坡度为 1：2，迎水坡度为 1：1，若坝长 30m ，完成大坝所用去的土方为 4500 m 3 ，问水坝的高应是多少?（说 明：背水坡度 CF ：BF =1：2，迎水坡度 1：1=DE ：AE ， 10.049 精确到 0.1m ）DCAE F B【作业5】 某种细菌，一个细菌经过两轮繁殖后，共有 256 个细菌，每轮繁殖中平均一个细菌繁殖了多少个细菌?课后作业101【作业6】从盛满20 升纯酒精的容器里倒出若干升，然后用水注满，再倒出同样升数的混合液后，这时容器里剩下纯酒精5 升．问每次倒出溶液的升数?【作业7】为了测定一个矿井的深度，把一块石头从井口丢下去，7.26 秒后听到它落地的声音，已知音速为330 米每秒，石头从井口落下的距离s 与实践t 的关系式为s 米每二次方秒），求这个矿井的深度．1gt（22g=10【作业8】某同学在初二年级末，将500 元班费存入了半年期的定期储蓄，到期后取出240 元，其余的继续存半年定期，毕业时正好到期，取到本利和272.68，购买纪念品．求这种储蓄半年期的获利率?（只列方程并化成一般式，不需要求解）【作业9】将进价为40 元的商品加价25%出售能卖出500 个，若以后每涨1 元，其销售量就减少10 个，如果使利润为9000 元，售价应该定为多少?【作业10】百货大搂服装柜在销售中发现：“七彩”牌童装平均每天可售出20 件，每件盈利40 元．为了迎接“元旦”，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价 1 元，那么平均每天就可多售出 2 件．（1）要想平均每天销售这种童装上盈利1200 元，那么每件童装应降价多少元?（2）用配方法说明：要想盈利最多，每件童装应降价多少元?【作业11】等腰直角三角形ABC 中，∠ BAC=45°，CD⊥ AB，垂足为D，CD=2，P 是AB 上的一动点(不与A、B 重合)，且AP=x，过点P 作直线l 与AB 垂直．（1）设三角形ABC 位于直线l 左侧部分的面积为S，写出S 与x 之间的函数关系式；（2）当x 为何值时，直线l 将三角形ABC 的面积分成1:3 的两部分．ALCP DB。
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第8讲列方程
一、列方程突破口
1.找等量关系：谁比谁多几或少几；谁是谁的几倍。
2.设未知数：方程中一般设x，未知数尽量少。
二、步骤
1.审：审题，找出题中已知量和未知量，找出等量关系。
2.设：设未知数，多个未知量时，顺向思维找关键未知量，设为x。
3.列：列方程。
4.解方程。
5.先检验再写答。
三、题型
1.直接设未知数，参考例题1，例题2，例题3，例题4。
2.间接设未知数，参考例题5，例题6。
四、例题精讲
例题1
煤场上午运来15吨煤，下午又运来了一些，这天共运来43吨煤，下午运来多少吨煤？
练习1
两袋大米，第一袋比第二袋少14千克。
已知第一袋重52千克，第二袋重多少千克？
例题2
一个平行四边形的面积是150平方厘米，底是50厘米，高是多少厘米？
练习2
一个三角形的高是18厘米，面积是180平方厘米，底是多少厘米？
丁丁和牛牛共有100张积分卡，已知牛牛积分卡的数量比丁丁的3倍多8张，请问丁丁、牛牛各有多少张积分卡？
练习3
牛牛比丁丁多100张积分卡，已知牛牛积分卡的数量比丁丁的3倍少8张，请问丁丁、牛牛各有多少张积分卡？
例题4
苹果和梨共80千克，价值400元，已知苹果4元一千克，梨6元一千克，那么苹果和梨各多少千克，
练习4
小明买来8角邮票与5角邮票共100张，总值68元，8角邮票和5角邮票各买了多少张？
例题5
小明家左边与右边各有1家超市在促销同一种品牌的牛奶。
如果去左边这家超市购买，所带的钱恰好能买12盒；如果去右边那家超市购买，所带的钱恰好能多买2盒。
已知右边超市每盒牛奶的价格比左边超市每盒牛奶的价格便宜1元。
那么小明共带了多少钱？
体育课上，三年级（1）班的46名同学都在操场上玩球。
每个篮球分给6名同学玩，每个排球分给8名同学玩。
篮球和排球一共有7个。
问：玩排球的同学有多少人？
例题6
甲、乙、丙共有钱99元，甲的钱比乙的钱的2倍少2元，乙的钱比丙的钱的3倍少3元。
甲有多少钱？
练习6
已知足球、篮球、排球三种球平均每个35元。
篮球比排球每个贵10元，足球比排球每个贵8元，问：每个篮球多少元？
课后训练
练习1
有两包面粉，第一包重60千克，如果从第二包取出10千克放入第一包，那么两包面粉一样重。
问：第二包面粉重多少千克？
练习2
一堆煤重40吨，一辆货车运了4次，还剩一半没有运，这辆货车平均每次运多少吨？
妈妈买了3千克葡萄，付出20元，找回5元，每千克葡萄多少元？
练习4
新学期开始，有一批新的教科书要分发到各位学生手中，这批教科书由一个小组的学生来搬，如果这批教科书由小组中男生来搬，每人搬25本，那么还有15本没人搬；如果由小组中的女生来搬，每人搬20本，那么最后一名女生只需要搬10本。
已知这个小组的学生一共有8人，求男、女生各有多少人？
练习5
丁丁和牛牛各有25元钱，已知牛牛的钱比丁丁的2倍还少8元，请问丁丁、牛牛各有多少元？
练习6
丁丁、牛牛、田田共有100本课外书。
丁丁的本数除以牛牛的本数，田田的本数除以丁丁的本数，商都是5，而且余数也都是1。
丁丁有多少本书？。