高三数学 第8讲 函数与方程

第8讲 函数与方程
基础巩固题组 (建议用时：40分钟)
一、填空题
1．(·无锡调研)函数f (x )＝e x ＋3x 的零点个数是________．
解析 由已知得f ′(x )＝e x ＋3＞0，所以f (x )在R 上单调递增，又f (－1)＝e －1－3＜0，f (1)＝e ＋3＞0，所以f (x )的零点个数是1. 答案 1
2．在下列区间中，函数f (x )＝e x ＋4x －3的零点所在的区间为________． ①⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0；②⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14；③⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12；④⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34. 解析 ∵f (x )＝e x ＋4x －3，∴f ′(x )＝e x ＋4＞0. ∴f (x )在其定义域上是单调递增函数． ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝
－4＜0，f (0)＝e 0＋4×0－3＝－2＜0，
F ⎝ ⎛⎭
⎪⎫14＝ －2＜0，f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12＝1
2e －1＞0，
∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜0，故选③.
答案 ③
3．若函数f (x )＝ax 2－x －1有且仅有一个零点，则实数a 的取值为________． 解析 当a ＝0时，函数f (x )＝－x －1为一次函数，则－1是函数的零点，即函数仅有一个零点；
当a ≠0时，函数f (x )＝ax 2－x －1为二次函数，并且仅有一个零点，则一元二次方程ax 2－x －1＝0有两个相等实根． ∴Δ＝1＋4a ＝0，解得a ＝－1
4.
综上，当a ＝0或a ＝－1
4时，函数仅有一个零点．
答案 0或－1
4
4．(·朝阳区期末)函数f (x )＝2x －2
x －a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是________．
解析 因为函数f (x )＝2x －2x －a 在区间(1,2)上单调递增，又函数f (x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1,2)内，则有⎩⎨⎧
f (1)＜0，f (2)＞0，，所以0＜a ＜3.
答案 (0,3)
5．已知函数f (x )＝x ＋2x ，g (x )＝x ＋ln x ，h (x )＝x －x －1的零点分别为x 1，x 2，x 3，则x 1，x 2，x 3的大小关系是________．
解析 依据零点的意义，转化为函数y ＝x 分别和y ＝－2x ，y ＝－ln x ，y ＝x ＋1的交点的横坐标大小问题，作出草图，易得x 1＜0＜x 2＜1＜x 3. 答案 x 1＜x 2＜x 3
6．若函数f (x )＝ax ＋b (a ≠0)有一个零点是2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是________．
解析 由已知条件2a ＋b ＝0，即b ＝－2a ， g (x )＝－2ax 2－ax ＝－2ax ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x ＋12，
则g (x )的零点是x ＝0，x ＝－1
2. 答案 0，－1
2
7．函数f (x )＝3x －7＋ln x 的零点位于区间(n ，n ＋1)(n ∈N )内，则n ＝________. 解析 求函数f (x )＝3x －7＋ln x 的零点，可以大致估算两个相邻自然数的函数值，如f (2)＝－1＋ln 2，由于ln 2＜ln e ＝1，所以f (2)＜0，f (3)＝2＋ln 3，由于ln 3＞1，所以f (3)＞0，所以函数f (x )的零点位于区间(2,3)内，故n ＝2. 答案 2
8．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧
2x －1，x ＞0，
－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实
数m 的取值范围是________．
解析 画出f (x )＝
⎩⎨⎧
2x －1，x ＞0，－x 2－2x ，x ≤0
的图象，如图． 由函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，结合图象得：0＜m ＜1，即m ∈(0,1)． 答案 (0,1) 二、解答题
9．函数f (x )＝x 3－3x ＋2. (1)求f (x )的零点；
(2)求分别满足f (x )＜0，f (x )＝0，f (x )＞0的x 的取值范围． 解 f (x )＝x 3－3x ＋2＝x (x －1)(x ＋1)－2(x －1)＝ (x －1)(x 2＋x －2)＝(x －1)2(x ＋2)．
(1)令f (x )＝0，函数f (x )的零点为x ＝1或x ＝－2. (2)令f (x )＜0，得x ＜－2；
所以满足f (x )＜0的x 的取值范围是(－∞，－2)； 满足f (x )＝0的x 的取值集合是{1，－2}；
令f (x )＞0，得－2＜x ＜1或x ＞1，满足f (x )＞0的x 的取值范围是(－2,1)∪(1，＋∞)．
10．若关于x 的方程3x 2－5x ＋a ＝0的一个根在(－2,0)内，另一个根在(1,3)内，求a 的取值范围． 解 设f (x )＝3x 2－5x ＋a ，
则f (x )为开口向上的抛物线(如图所示)． ∵f (x )＝0的两根分别在区间(－2，0)，(1,3)内，
∴⎩⎨⎧
f (－2)＞0，
f (0)＜0，f (1)＜0，f (3)＞0，
即⎩⎨⎧
3×(－2)2－5×(－2)＋a ＞0，
a ＜0，3－5＋a ＜0，
3×9－5×3＋a ＞0，
解得－12＜a ＜0.
∴所求a 的取值范围是(－12,0)．
能力提升题组 (建议用时：25分钟)
一、填空题
1．(·烟台模拟)如图是函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的图象，则函数g (x )＝ln x ＋f ′(x )的零点所在区间是________． ①⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12；②(1,2)③⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1； ④(2,3)．
解析 由f (x )的图象知0＜b ＜1，f (1)＝0，从而－2
＜a ＜－1，g (x )＝ln x ＋2x ＋a ，g (x )在定义域内单调递增，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫
12＝ln 12＋1＋a
＜0，g (1)＝2＋a ＞0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫
12·g (1)＜0.
答案 ③
2．(·连云港检测)已知函数y ＝f (x )(x ∈R )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且当x ∈[－1,1]时，f (x )＝|x |，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
sin (πx )，x ＞0，－1
x ，x ＜0，则函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－5,5]
上的零点的个数为________．
解析 函数y ＝f (x )(x ∈R )满足f (x ＋1)＝－f (x )，故f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝－[－f (x )]＝f (x )，即函数f (x )的周期为2，作出x ∈[－1,1]时，f (x )＝|x |的图象，并利用周期性作出函数f (x )在[－5,5]上的图象，在同一坐标系内再作出g (x )在[－5,5]上的图象，由图象可知，函数f (x )与g (x )的图象有9个交点，所以函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－5,5]上的零点的个数为9.
答案9
3．(·天津卷改编)设函数f(x)＝e x＋x－2，g(x)＝ln x＋x2－3.若实数a，b满足f(a)＝0，g(b)＝0，则g(a)，0，f(b)的大小关系为________．
解析由f′(x)＝e x＋1＞0知f(x)在R上单调递增，
且f(0)＝1－2＜0，f(1)＝e－1＞0，
所以f(a)＝0时，a∈(0,1)．
又g(x)＝ln x＋x2－3在(0，＋∞)上单调递增，
且g(1)＝－2＜0，所以g(a)＜0，
由g(2)＝ln 2＋1＞0，g(b)＝0，得b∈(1,2)．
又f(1)＝e－1＞0，∴f(b)＞0.故g(a)＜0＜f(b)．
答案g(a)＜0＜f(b)
二、解答题
4．(·深圳调研)已知二次函数f(x)的最小值为－4，且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤3，x∈R}．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数g(x)＝f(x)
x－4ln x的零点个数．
解(1)∵f(x)是二次函数，且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤3，x∈R}，
∴f(x)＝a(x＋1)(x－3)＝ax2－2ax－3a，且a>0.
∴f(x)min＝f(1)＝－4a＝－4，a＝1.
故函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－2x－3.
(2)∵g(x)＝x2－2x－3
x－4ln x＝x－
3
x－4ln x－2(x>0)，
∴g′(x)＝1＋3
x2－
4
x＝
(x－1)(x－3)
x2.
当x变化时，g′(x)，g(x)的取值变化情况如下：
又因为g(x)在(3，＋∞)单调递增，因而g(x)在(3，＋∞)上只有1个零点．故g(x)在(0，＋∞)只有1个零点.。