算法 枚举法
第二章 算法概述(下)
枚举法的应用
打印“九九乘法表” 可使用枚举法的问题还有如
完全平方数 完全平方数是指能写成一个正整 数的平方的数，如25=5^2，所以， 25是完全平方数。100=10^2，所 以，100也是完全平方数。
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百钱买百鸡问题：有一个人有一百块钱，打算买 一百只鸡。到市场一看，大鸡三块钱一只，小鸡 一块钱三只，不大不小的鸡两块钱一只。现在， 请你编一程序，帮他计划一下，怎么样买法，才 能刚好用一百块钱买一百只鸡？ 此题很显然是用枚举法，我们以三种鸡的个数 为枚举对象（分别设为x,y,z）,以三种鸡的总数（ x+y+z）和买鸡用去的钱的总数(x*3+y*2+z/3)为 判定条件，穷举各种鸡的个数。
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问题分析：
使用列表保存5种水果名。 通过三重循环结构，枚果（解空间） 它们互不相等（筛选条件） 摆放先后次序有区别
•
输出所有可能的方案。
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算法步骤描述：
步骤1：建立水果列表fruit； 步骤2：使变量x遍历fruit 步骤3：对于x的每个值，使变量y遍历fruit 步骤4：对于x、y的每个值，使变量z遍历fruit 步骤5： 若zx且 zy 且xy 打印该方案
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递推与迭代
递推的过程实际上就是迭代的过程，即 不断用变量的旧值推出新值的过程。 一般递推使用数组（列表），在循环处 理时利用其下标的变化实现变量的迭代 ，而狭义的迭代是指使用简单变量来完 成这一过程。
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程序设计中的数组（列表）是指具有相同 名称、通过下标区分的一组变量。 如：a[0]、a[1]、a[2]或b[1,1]、b[1,2] 、b[1,3]、b[2,1]、b[2,2]、b[2,3]等。 在循环结构中，通过变量控制其下标值的 变化(如a[i]、b[i,j])，达到变量轮换的目的。 例如：循环：从a[0]到a[9] 循环：a[i]， i从0到9
计算机常用算法
练习： 假设有一堆小石子，二人轮流去取，谁拿走最后一颗石子便输。 先让甲规定石子总数N以及每次最多取多少颗数k（n>=2*k+1）， 甲每次取a颗, （N,k,a均为随机数），乙怎样取赢的可能性最大？ 设甲为计算机产生的随机数，乙为由你编的计算机程序。
贪心法是从问题的某一个初始解出发,向给定的目标推进.
数学函数式递归 例1、阶乘n!=1*2*3*…（n-1）*n
[算法分析]：要求n!,只需求出(n-1)!,因为n!=n*(n-1)!,要求出(n-1)!, 只需求出(n-2)!,因为(n-1)!=(n-1)*(n-2)!,所以可得到阶乘的递归定 义式：
n!=
{
n*(n-1)!,n>0; 1, n=0。
模拟法: 就是模拟某个过程,通过改变数学的各种参数,进而观察变更这 些参数所引起过程状态的变化.一般题目给定或者隐含某一概率.设 计者利用随机函数和取整函数设定某一范围的随机值,将符合概率 的随机值作为参数.然后根据这一模拟的数学模型展开算法. 模拟策略的关键: 是如何按照概率的要求确定随机值的范围.这个随机值设计得好, 模拟效果就好.
找零钱问题：一个小孩买了价值为33美分的糖，并将1 找零钱问题：一个小孩买了价值为33美分的糖，并将1美元 33美分的糖 的钱交给售货员。售货员希望用数目最少的硬币找给小孩。 的钱交给售货员。售货员希望用数目最少的硬币找给小孩。 假设提供了数目不限的面值为25美分、10美分 25美分 美分、 美分、 假设提供了数目不限的面值为25美分、10美分、5美分、及1 美分的硬币。 求解所用方法即为贪心算法） 美分的硬币。(求解所用方法即为贪心算法）
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பைடு நூலகம்
本题目有9个格子，要求填数，如果不考虑问题给出的条件， 共有9！=362880种方案，在这些方案中符合条件的即为解。因 此可以用枚举法。
大一上学期末算法设计与分析核心概念解析
大一上学期末算法设计与分析核心概念解析算法设计与分析是计算机学科领域的重要课程之一，它涉及到计算机程序设计中的核心概念和方法。
本文将对大一上学期末算法设计与分析的核心概念进行深入解析，帮助读者更好地理解和掌握这一重要知识点。
一、算法的基本概念在深入讨论算法设计与分析的核心概念之前，我们首先需要了解算法的基本概念。
算法是指解决特定问题或执行特定任务的一系列清晰而有序的指令，它是对计算机程序的逻辑结构和执行步骤的抽象描述。
在算法设计与分析的学习过程中，我们需要关注以下几个基本概念：1. 输入：算法所接受的输入是指在执行算法过程中需要提供的数据或信息。
输入可以是数字、字符串、数组等各种形式的数据，不同的算法可能需要不同类型的输入数据。
2. 输出：算法的输出是指在执行算法过程中生成的结果或响应。
输出可以是计算结果、处理后的数据、打印信息等，不同的算法可能产生不同类型的输出结果。
3. 正确性：算法的正确性是指算法能够在给定输入条件下，按照预期的逻辑规则和执行步骤得到正确的输出结果。
确保算法的正确性是算法设计与分析的核心目标之一。
4. 可读性：算法的可读性是指算法描述的清晰度和易理解程度，一个好的算法应当具有良好的可读性，方便其他人理解和使用。
二、算法设计的基本方法在算法设计与分析的学习过程中，我们需要了解和掌握各种算法设计的基本方法。
算法设计的基本方法包括但不限于以下几种：1. 枚举法：枚举法是一种简单直观的算法设计方法，它通过逐一枚举所有可能的情况来解决问题。
2. 递归法：递归法是一种将问题分解成较小规模相同问题的方法，通过递归调用自身来解决问题。
3. 贪心法：贪心法是一种在每一步都选择当前状态下的最优解的方法，从而得到全局的最优解。
4. 动态规划法：动态规划法是一种利用子问题重叠和最优子结构性质的方法，通过存储子问题的解来避免重复计算，从而提高算法效率。
5. 分治法：分治法是一种将问题分解成相互独立的子问题，分别求解后再合并得到最终结果的方法。
实验五 常用算法-----枚举法、递推法、迭代法实验六 文本文件的简单应用
实验五常用算法-----枚举法、递推法、迭代法一.实验目的掌握枚举法、递推法、迭代法这3个常用的算法二.实验内容1、范例：由0到4五个数字，组成5位数，每个数字用一次，但十位和百位不能为3（当然万位不能为0），输出所有可能的五位数。
#include<iostream>using namespace std;int main(){int i,j,k,l,m,count=0;for(i=1;i<=4;i++){for(j=0;j<=4;j++){if(j==i)continue;for(k=0;k<=4;k++){if(k==3||k==i||k==j)continue;for(l=0;l<=4;l++){if(l==3||l==i||l==j||l==k)continue;for(m=0;m<=4;m++){if(m==i||m==j||m==k||m==l)continue;cout<<i<<j<<k<<l<<m<<'\t';count++;if(count%5==0)cout<<endl;}}}}}return 0;}2、编程求和：s=a+aa+aaa+aaaa+ ……+aaaa…aaa(n个)，其中a为1～9中的一个数字。
【提示】若第一项为a , 以后每一项由前一项乘以10加上a递推得到，然后求和。
#include <iostream>using namespace std;int main(){double s;int i,j,n,a,b;i=1,b=0,s=0;cout<<"input a,n,0<a<=9"<<endl;cin>>a>>n;for(i=1;i<=n;i++){b=b*10+a;s=s+b;}cout<<s<<endl;return 0;}3、编程求出所有的“水仙花数”。
8算法策略之枚举法
8算法策略之枚举法蛮⼒法蛮⼒法是基于计算机运算速度快这⼀特性，在解决问题时采取的⼀种“懒惰”的策略。
这种策略不经过（或者说是经过很少的）思考，把问题的所有情况或所有过程交给计算机去⼀⼀尝试，从中找出问题的解。
蛮⼒策略的应⽤很⼴，具体表现形式各异，数据结构课程中学习的：选择排序、冒泡排序、插⼊排序、顺序查找、朴素的字符串匹配等，都是蛮⼒策略具体应⽤。
⽐较常⽤还有枚举法、盲⽬搜索算法等。
枚举法枚举（ enumerate）法（穷举法）是蛮⼒策略的⼀种表现形式，也是⼀种使⽤⾮常普遍的思维⽅法。
它是根据问题中的条件将可能的情况⼀⼀列举出来，逐⼀尝试从中找出满⾜问题条件的解。
但有时⼀⼀列举出的情况数⽬很⼤，如果超过了我们所能忍受的范围，则需要进⼀步考虑，排除⼀些明显不合理的情况，尽可能减少问题可能解的列举数⽬。
⽤枚举法解决问题，通常可以从两个⽅⾯进⾏算法设计：1）找出枚举范围：分析问题所涉及的各种情况。
2）找出约束条件：分析问题的解需要满⾜的条件，并⽤逻辑表达式表⽰。
【例1】百钱百鸡问题。
中国古代数学家张丘建在他的《算经》中提出了著名的“百钱百鸡问题”：鸡翁⼀，值钱五；鸡母⼀，值钱三；鸡雏三，值钱⼀；百钱买百鸡，翁、母、雏各⼏何?算法设计1：通过对问题的理解，读者可能会想到列出两个三元⼀次⽅程，去解这个不定解⽅程，就能找出问题的解。
这确实是⼀种办法，但这⾥我们要⽤“懒惰”的枚举策略进⾏算法设计：设x，y，z分别为公鸡、母鸡、⼩鸡的数量。
尝试范围：由题意给定共100钱要买百鸡，若全买公鸡最多买100/5=20只，显然x的取值范围1~20之间；同理，y的取值范围在1~33之间，z的取值范围在1~100之间。
约束条件： x+y+z=100 且 5*x+3*y+z/3=100算法1如下：main( ){ int x,y,z;for(x=1;x<=20;x=x+1)for(y=1;y<=34;y=y+1)for(z=1;z<=100;z=z+1)if(100=x+y+z and 100=5*x+3*y+z/3){print("the cock number is",x)；print("the hen number is", y)；print("the chick number is“,z);}}算法分析：以上算法需要枚举尝试20*34*100=68000次。
基础算法(一)枚举法
基础算法（一）枚举（穷举）法无论什么类型的试题，只要能归纳出数学模型，我们尽量用解析方法求解，因为一个好的数学模型建立了客观事物间准确的运算关系。
在一时找不出解决问题的更好途径时，可以根据问题中的约束条件，将所有可能的解全部列举出来，然后逐一验证是否符合整个问题的求解要求。
一、枚举法的基本思想:从可能的解集合中一一穷举各元素，用题目给定的检验条件判定哪些是有用的，哪些是无用的，能使命题成立的，即为其解。
这种思维方法主要是基于计算机运算速度快的特点。
二、枚举法解题思路：1、对命题建立正确的数学模型；2、根据命题确定数学模型中各变量的变化范围（即可能解的范围）；3、利用循环语句、条件判断语句逐步求解或证明。
三、枚举法的特点：算法简单，但运算量大。
对于可能确定解的范围，又一时找不到更好的算法时，可以采用枚举法。
1、求满足表达式A+B=C的所有整数解，其中A、B、C为1～3之间的整数。
2、鸡兔同笼问题（在同一个笼子里有鸡和兔子若干只，从上面看，能看到20个头，从下面看，能看到60只脚，问鸡兔各有多少只？）3、百钱百鸡问题（一百块钱要买一百只鸡，这一百只鸡必须包含母鸡、公鸡和小鸡，其中，公鸡5元一只，母鸡3元一只，小鸡1元三只，问有哪些购买方案？）4、水仙花数问题（ABC=A3+B3+C3,列出所有的整数ABC）5、一根29厘米长的尺子，只允许在上面刻7个刻度，要能用它量出1～29厘米的各种长度，试问刻度应该怎样选择？6、猴子选大王：有M个猴子围成一圈，每个有一个编号，编号从1到M。
打算从中选出一个大王。
经过协商，决定选大王的规则如下：从第一个开始，每隔N个，数到的猴子出圈，最后剩下来的就是大王。
要求：从键盘输入M，N，编程计算哪一个编号的猴子成为大王。
参考程序：7、变形猴子选大王：有M个人围成一圈，每人有一个编号，从编号为1的人开始，每隔N个出圈，按出圈次序排成一列，其编号刚好按顺序从1到M。
要求：从键盘输入M，N，编程计算并输出这M个人原来在圈中的位置。
算法：枚举法
} if(mark){ //是素数进行输出
cout<<" "<<i;
}
}
枚举法
例题：找出1到100之间的素数。
程序优化后如右图。
优化后的程序没有引入数学函数 和float 变量。
对于for循环初始条件j=2,只执行1 次，而对于约束条件j*j<=i，要执 行多次。因此此处还可以优化。
定义变量int t=sqrt(i);约束条件改 为j<=t;
#include<iostream> #include<cmath> using namespace std;
int main() {
return 0; }
int i,j; cout<<2; //输出第一个素数 for(i=3;i<=100;i+=2){ //只检查>=3的奇数
bool mark=true; //默认是素数
double ret=x; ret=a*ret+b; ret=ret*x+c; ret=ret*x+d; return ret; }
枚举法
例题 一元三次方程求解(noip2001tg)
编程，主函数
int main(){ int a,b,c,d; cin>>a>>b>>c>>d; float i; double y1,y2; int count=0;//记录解的个数； for(i=-100;i<100;i+=1){ y1=fx(a,b,c,d,i); y2=fx(a,b,c,d,i+1); double t=y1*y2; if(t==0){//i和i+1至少1个是解 if(y1==0){ if(count){cout<<" "; } cout<<i; count++; if(y2==0){ cout<<" "<<i+1;
基本算法1-枚举法
执行次数n*n/2次，时间复杂度O(n^2) ❖ 4.for i:=1 to n do
for j:=1 to n-1 do for k:=1 to n-2 do
s[i,j,k]:=0; 执行次数n*(n-1)*(n-2)次，时间复杂度O(n^3)
常数阶O(1) 对数阶O(logn)
线性阶O(n),
线性对数阶O(nlogn)
平方阶O(n^2)
立方阶O(n^3) ... k次方阶O(n^k),
指数阶O(2^n)
用例子说明一下改进算法对降低时间复杂度的好处。
例：求N！所产生的数后面有多少个0（中间的0不计）
❖ 算法一：从1乘到n，每乘一个数 判断一次，若后面有0则去掉后 面的0，并记下0的个数。为了不 超出数的表示范围，去掉与生成 0无关的数，只保留有效位数， 当乘完n次后就得到0的个数。
❖ if t=9 then
writeln(x,' ',x*2,' ',x*3);
❖ end;
❖ end.
例4:方格填数
如下图所示的八个格子中填入1至8八个数字，使得相邻的 和对角线的数字之差不为1。请编程找出所有放法。
b1
b2 b3 b4
b5 b6 b7
b8
分析： 由题意可知，放入b3，b6这两个格子中的数，必须和六个数不连续，仅 可以和一个数是连续的，这样的数只能是1和8。因此，b1，b3，b6，b8这四 个格子中数的放法可以先确定下来：2，8，1，7或7，1，8，2。接着，我们 只需枚举b2、b4、b5三个变量，范围都是3至6，而b7可通过计算来得到。 (1,2),(1,4),(2,5),(4,7),(5,8),(7,8)共6对格子中的数需要验证。
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算法枚举法
枚举法是一种常用的算法思想，它通过逐个列举可能的解来解决问题。
在本文中，我们将介绍枚举法的基本原理、应用场景以及一些注意事项。
一、枚举法的基本原理
枚举法是一种简单直接的解决问题的方法，其基本原理是通过逐个尝试所有可能的解，然后判断每个解是否满足问题的要求。
具体步骤如下：
1. 确定问题的解空间，即问题可能的解集合。
2. 逐个枚举解空间中的元素，对每个元素进行判断。
3. 如果满足问题的要求，则将该元素作为问题的解；否则，继续枚举下一个元素。
4. 当找到满足要求的解时，停止枚举；如果枚举完所有元素仍未找到解，则表示该问题无解。
二、枚举法的应用场景
枚举法适用于一些问题的解空间较小、问题规模较小的情况。
以下是一些常见的应用场景：
1. 寻找问题的所有可能解，如密码破解、穷举搜索等。
2. 判断问题是否存在解，如判断一个数是否为质数、判断某一年是否为闰年等。
3. 寻找问题的最优解，在解空间较小的情况下可以通过枚举法逐个
尝试，找到最优解。
三、枚举法的注意事项
1. 确定解空间时要考虑问题的约束条件，避免无效的尝试。
2. 在枚举过程中，可以使用剪枝技术来减少不必要的尝试，提高算法效率。
3. 在解空间较大或问题规模较大的情况下，枚举法可能会导致计算量过大，无法在合理时间内得到解。
此时可以考虑其他更高效的算法。
4. 枚举法通常是一种暴力穷举的方法，因此在问题规模较大时，需要权衡计算时间和结果准确性的关系。
枚举法是一种常用的算法思想，适用于问题规模较小、解空间较小的情况。
它通过逐个尝试所有可能的解来解决问题，具有简单直接的特点。
然而，在使用枚举法时需要注意问题的约束条件、剪枝技术以及计算时间的限制，以确保问题能够得到准确且高效的解决。
因此，在解决问题时，我们可以考虑使用枚举法这一简单而又有效的算法思想，通过逐个尝试所有可能的解来找到问题的解。
同时，我们也要注意问题的规模和约束条件，避免无谓的计算和浪费资源。
通过合理运用枚举法，我们可以解决许多实际问题，提高问题的解决效率。