初三数学换元法专练
初中数学竞赛——换元法和待定系数法
第3讲换元法和待定系数法典型例题一.换元法【例1】分解因式：63-+x x2827【例2】分解因式：44222-+++-()()()a b a b a b【例3】分解因式：4444(4)++-a a【例4】分解因式：44+++-y y(1)(3)272+++-+y y y(1)(3)4(35)【例5】分解因式：33【例6】 分解因式：2222(48)3(48)2x x x x x x ++++++【例7】 证明：四个连续整数的的乘积加1是整数的平方.【例8】 分解因式：(1)(1)(3)(5)9x x x x -+++-【例9】 分解因式：22(76)(6)56x x x x -+--+.【例10】 分解因式：42199819991998x x x -+-【例11】 分解因式：24(5)(6)(10)(12)3x x x x x ++++-【例12】 分解因式：()()()()()()()b c a c a b a b c a a b c a b c b a b c b c a +-+-+-+-++-++-+-+()()c b c a a b c +--+.【例13】 分解因式：2(3)(1)(5)20x x x +-+-.【例14】 分解因式：4322212()x x x x x +++++.【例15】 分解因式：22222(21)(44)(21)x y x y xy x y x +-+----+.【例16】 分解因式：2(1)(2)(2)xy x y x y xy -++-+-.【例17】 证明：对任意自然数n ，都存在一个自然数m ，使得1mn +是一个合数.【例18】化简：2323234 (1)1x x x xx x x x+++-++++.【例19】将199551-分解成三个整数之积，且每一个因数都大于1005.二.待定系数法【例20】分解因式：43223x x x x++-+【例21】分解因式：432x x--【例22】 分解因式：432266x x x x -+-+【例23】 分解因式：432615x x x x -+-+.【例24】 421x x -+能否分解因式？【例25】 分解因式：2422(1)1a a a a ++-+.【例26】 若226541122x xy y x y m ---++可分解为两个一次式的积，求m 的值并将多项式分解因式.【例27】 已知4326134x x x kx -+++是一个完全平方式，求常数k 的值.【例28】 已知32x bx cx d +++的系数均为整数，若bd cd +为奇数.求证：此多项式不能分解为两个整系数的多项式之积.【例29】 已知关于x ，y 的二次六项式226372x axy y x y +----能分解为一次式2x by c ++与2dx ey +-的积，求a b c d e ++++的值.【例30】 已知关于y 的五次三项式554y my n -+有二次因式2()y a -（其中a ，n 均不为零）.求证：（1）n a m =；（2）54m n =.【例31】 将分式251126x x x -+-分解成部分分式.思维飞跃【例32】 设3434a b -≤-≤，5917a b ≤+≤，求7a b +的最小值和最大值。
中考数学专题复习1 配方法与换元法
考数学二轮专题复习之一：配方法与换元法
把代数式通过凑配等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题的条件的目的，这种解题方法叫配方法．
所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。
【范例讲析】：
例1： 填空题：
1）．将二次三项式x 2+2x －2进行配方，其结果为 。
2）．方程x 2+y 2+4x －2y+5=0的解是 。
3）．已知M=x 2－8x+22，N=－x 2+6x －3，则M 、N 的大小关系为 。
例 2.已知△ABC 的三边分别为a 、b 、c ，且a 2+b 2+c 2=ab+bc+ac ，则△ABC 的形状为 。
例3.解方程：422740x x --=
【闯关夺冠】
1.已知13x x +=．则221x x
+的值为__________． 2．若a 、b 、c 是三角形的三边长，则代数式a 2 –2ab+b 2 –c 2的值 （ ）
A 大于零
B 等于零
C 小于零
D 不能确定
3已知：a 、b 为实数，且a 2+4b 2－2a+4b+2=0，求4a 2－
b 1的值。
4. 解方程：211(
)65()11
x x +=--。
专题04 换元法专题研究(解析版)
备战2020中考数学解题方法专题研究专题4 换元法专题【方法简介】解一些复杂的因式分解问题，常用到换元法，即对结构比较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化，明朗化，在减少多项式项数,降低多项式结构复杂程度等方面有独到作用。
换元法又称变量替换法, 是我们解题常用的方法之一。
利用换元法, 可以化繁为简, 化难为易, 从而找到解题的捷径。
【真题演练】1. 若（x2+y2﹣2）2=9，则x2+y2的值为（）A．1 B．﹣1 C．5 D．5或﹣1【解析】：设t=x2+y2（t≥0），由原方程得：（t﹣2）2=9，解得t﹣2=±3，解得t=5或t=﹣1（舍去）．故选：C．2. 用“整体法”求得方程（2x+5）2﹣4（2x+5）+3=0的解为（）A．x1=1，x2=3 B．x1=﹣2，x2=3 C．x1=﹣3，x2=﹣1 D．x1=﹣2，x2=﹣1【解析】：（2x+5）2﹣4（2x+5）+3=0，设2x+5=y，则原方程变形为y2﹣4y+3=0，解得：y1=1，y2=3，当y=1时，2x+5=1，解得：x=﹣2，当y=3时，2x+5=3，解得：x=﹣1，即原方程的解为x1=﹣2，x2=﹣1，故选：D．3. 若实数a，b满足（2a+2b）（2a+2b﹣2）﹣8=0，则a+b=．【解析】设a+b=x，则由原方程，得2x（2x﹣2）﹣8=0，整理，得4x2﹣4x﹣8=0，即x2﹣x﹣2=0，分解得：（x+1）（x﹣2）=0，解得：x1=﹣1，x2=2．则a+b的值是﹣1或2．故答案是：﹣1或2．4. 阅读下面的材料，回答问题：解方程x4﹣5x2+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x2=y，那么x4=y2，于是原方程可变为y2﹣5y+4=0 ①，解得y1=1，y2=4．当y=1时，x2=1，∴x=±1；当y=4时，x2=4，∴x=±2；∴原方程有四个根：x1=1，x2=﹣1，x3=2，x4=﹣2．（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用法达到的目的，体现了数学的转化思想．【解析】：（1）换元，降次（2）设x2+x=y，原方程可化为y2﹣4y﹣12=0，解得y1=6，y2=﹣2．由x2+x=6，得x1=﹣3，x2=2．由x2+x=﹣2，得方程x2+x+2=0，b2﹣4ac=1﹣4×2=﹣7＜0，此时方程无实根．所以原方程的解为x1=﹣3，x2=2．【名词释义】概念：换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。
初中数学换元法
②、 (x 1) (x 2) (x 6) (x 3) x2
③、 2009x 2 (20092 1)x 2009
★2、在代数式的计算、化简中的运用
1、 如果 a b c 0 ， 1 1 1 0 ，求： (a 1)2 (b 2)2 (c 3)2 的值。 a 1 b 2 c 3
their being are g 3、 若 x2 xy y 14, y2 xy x 28，求 x y 的值。 nd All things in 4、 若 a b 2 a 1 4 b 2 3 c 3 c 5，求 a b c 的值。
a 2 y one thing at a time 3
3
in their being are g 2、 a1， a2 ， ,a2004 都是正数，如果 M (a1 a2 a2003)(a2 a3 a2004) ，
gs N (a1 a2 a2004 )(a2 a3 a2003) ，那么 M 、 N 的大小关系是（
）
thin A、 M N
nd S 学如逆水行舟，不进则退。 ing a ②已知 x2 x 1 0 ，求代数式 x3 2x2 2002 的值。
②、解方程 x2 1 2 x 1 。
x2
x
for someth ★3、在方程、不等式中的运用
od 1、 求方程 x 2 10 3x 的实数解。
o x2 2 x
。
ethin ◆目标训练五：
om 1、已知 for s A. 3 ;
a(a 4) b2
2b 5 ，则
ab
的值等于（
ab
1
B. ;
3
C. 3;
）
D. 1 . 3
od 2、若实数 x 、 y 满足 x2 y 2 4x 2 y 5 0 ，求
2018中考数学专题复习 换元法解答通关50题(pdf)
h．
4. 解下列方程组．
（1）
⸷
⸷
（2）
㤠
5. 阅读并探索：在数学中，有些大数值问题可以通过用字母代替数转化成整式问题来解决．例：试
比较 h hh数 h hh 与 h hh㤠 h hh数 的大小．
解：设 h hh数 ， h hh数 h hh ， h hh㤠 h hh数，
㤵（填“ ”、“ ”或“ ”）；
②当 点在抛物线上运动时，猜想 R 与 㤵 有何数量关系，并证明你的猜想；
（3）当 㤵R 为等边三角形时，求点 坐标；
（4）如图 2，设点 h ⸷ ，问是否存在点 ，使得以 ，R，㤵 为顶点的三角形与 th 相
似?若存在，求出 点的坐标；若不存在，请说明理由．
19. 若
7. 解下列分式方程：
（1）
；
（2） ；
（3）
；
（4）
．
8. 下面是某同学对多项式
解：设 ，
原式
㤠 第一步 数 㤠 第二步 第三步
第四步
请问：
（1）该同学因式分解的结果是否彻底?
出因式分解的最后结果．
（2）请你模仿以上方法尝试对多项式
，t
，试比较
与 t 的大小．
20. 分解因式：
㤠．
21. 阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题．
计算：
令 t， 则
原式
t t
tt
t t t tt
．
问题：计算：
t h
t
h h
初中数学换元法练习
（2）今年，科技小组优化了玉米的种植方法，在保持去年种植面积不变的情况下，预计 ， 两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加 和 ．由于 品种深受市场欢迎，预计每千克售价将在去年的基础上上涨 ，而 品种的售价保持不变， ， 两个品种全部售出后总收入将增加 ，求 的值．
25.阅读材料：为解方程 ，我们可以将 视为一个整体，然后设 ，则 ，原方程化为 ①，解得 ， ．
当 时， ， ， ；
当 时， ， ， ；
原方程的解是 ， ， ， ．
解答问题：（1）填空：在由原方程得到方程①的过程中利用了换元法达到了的目的；
（2）利用材料中的方法解方程： ．
答案
第一部分
1. B
2. C
因为 不小于 ，
所以 ．
13. 或
【解析】 ，
将 两边同除以 得： ，
令 ，则 ，
因式分解得： ，
解得 或 ，
即 的值是 或 ．
14.
【解析】设 ，则方程 可变形为： ，
方程两边同乘 ，整理得 ．
故答案为： ．
15.无解
【解析】设 ， ，则 ．
原方程化为 ．
又 ，
，
，解得 ．
经检验， 是增根．故原方程无解．
7.用换元法解方程 时，如果设 ，则原方程可化为
A. B. C. D.
8.我们知道方程组： 的解是 则方程组 的解是
A. B. C. D.
9.为求 的值，可令 ，则 ，因此 ．仿照以上推理，计算出 的值为
A. B. C. D.
10.在求 的值时，小林发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的 倍，于是她设： 然后在 式的两边都乘以 ，得： 得 ，即 ，所以 得出答案后，爱动脑筋的小林想：如果把“ ”换成字母“ ”（ 且 ）能否求出 的值?你的答案是
初中数学十大思想方法-换元法
解：（用平均值 x x 4 代换） 2
设 y= x－2 ，则 x=y+2.
原方程化为 (y+2)4+(y－2)4=626.
［((y+2)2－(y－2)2)2＋2(y+2)2(y－2)2－626=0
整理，得 y4+24y2－297=0.
(这是关于 y 的双二次方程).
(y2+33)(y2－9)=0.
3. (2x+7)4+(2x+3)4=32 .
4. (2x2－x－6)4+(2x2－x－8)4=16.
5. (2 5 x 1 1)4+(2 5 x 1 3 )4=16.
6.
x x2 1
x1 =3
2
.
x2
7. 2x4－3x3－x2－3x+2=0.
x 2 y 2 x y 18 8. x 2 y 2 xy 19
则
x2+
1 x2
=y2－2.
原方程化为 2y2+3y－20=0.
5
解得 y=－4；或 y= .
2
由 y=－4 得 x=－2+ 3 ；或 x=－2－ 3 .
由 y=2.5 得
x=2；或 x= 1 . 2
2x 2 5xy 2 y 2 x y 1 0 例 4 解方程组 x 2 4xy y 2 12x 12 y 10 0
形如 ax4－bx3+cx2＋bx+a=0 的方程，其特点是：
与首、末等距离的偶数次幂项的系数相等，奇数次幂的系数是互为相反数.
x
2
1
x
2
1
两边都除以 x2, 可化为 a(x2+
巧用换元法解数学题
１利用三角 函数 的平方关 系 ｛ ｎ ＋ ＝ｅ ： 行巧妙的代 ． ｔ ２ １ ｓｃ 进 ａｘ
【 ｏ２ ＋ ｃ ｃｘ ｃ ｔ １ ｓ ２ ｘ
＝
＝
４ｉ ０ ｓｎＺ－８ｓｎ０ —Ｃ Ｓ０ ｉ ＋４ —Ｏ ２ ５ｉ ０ ｓｎ２－８ｓｎ０ ｉ ＋３
换 ． 以把 根 式 转 化 为有 理 式 ． 把 繁 杂 的 式 子 化 简 可 或
ｆ ａｉ ｘ＝ ｓｎｔ
＝
５ｓ （ｉ
，
在积分学中， 利用｛＝ｔ ｔ ａ ｎ 来求 、 ａ ／
ｔ ｘ＝ａｓｅｃｔ
） 厂ｘＶｚ ） 或 （／ ￣一
所 以 ， ｓ ０ 时 ｚ｜一 ； ｓ ０ 一 当 ｉ ＝４ ｎ Ｉ 当 ｉ ＝ １时 ， １ 。 ＝ ｎ 。 ＝ ０
之 类 的 积 分 是 求 积 分 的 基 本 方 法 之 一 对 于 其 他 某 些 题 目用 此 变 换 往 往 也 能 巧 解 问 题
元 法在 解题 中 的巧 妙 运 用 ． 培 养 学 生 换 元 的 思 想 以
关 键 词 ： 原 法 ： 原 ： 换 还 还 代 “ 元” 换 的思 想 和 方 法 ． 数 学 里 有 着 广泛 的 应 用 。不 少 数 在 学 问题 的解 决 “ ” 难 在 换 元 ． 巧 ” 巧 在换 元 。 有 时 通 过 适 难 就 “ 也 当 的代 换 ． 不但 可 以 简 化 书 写 ． 繁 为 简 。 重 要 的 是 能 够 使 数 变 更 学 关 系 明 朗化 ． 化难 为 易 。 面 我 们 就 用 实 例 进 行 分 析 ， 用 换 下 利 元 的方 法 巧 妙 解 决 一 些 数 学 问 题 有 些 数 学 问 题 让 人 无 从 下 手 ． 果 我 们 仔 细 观 察 ． 妙 地 如 巧 运 用 换 元 法 ， 会 使 问题 出现 转 折 ． 峰 回路 转 的 功 效 。 就 有
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利用换元法解分式方程的四种常见类型
一、直接换元 例1 解方程015)1
(2)1(2=----x x x x . 解：设
y x x
=-1
，则原方程可化为01522=--y y . 解得 5,321=-=y y .
当3-=y 时，31
-=-x x ，解得 43=x ；
当5=y 时，51=-x x ，解得 45
=x .
经检验，4
5
,4321==x x 是原方程的根.
二、配方换元
例2 解方程 1)1
(3)1(22
2
=+-+
x x x
x . 解：原方程配方，得 05)1
(3)1(22=-+-+x
x x x .
设,1y x
x =+则05322
=--y y .
解得 25
,121=-=y y .
当1-=y 时，,11-=+x
x 即012
=++x x .
因为0311412
<-=⨯⨯-=∆， 所以方程012
=++x x 无实数根.
当25=y 时，,2
51=+x x 即02522
=+-x x . 解得 21
,221==x x .
经检验，2
1
,221==x x 是原方程的根.
三、倒数换元
例3 解方程
031
)
1(21122=-+++++x x x x . 解：设
y x x =++1
12，则原方程可化为032
=-+y y .
去分母，整理，得0232
=+-y y ，解得 2,121==y y .
当1=y 时，
11
1
2=++x x ，即02=-x x . 解得 1,021==x x .
当2=y 时，
21
1
2=++x x ，即0122=--x x . 解得 21,2143-=+=x x .
经检验，,1,021==x x 21,2143-=+=x x 都是原方程的根. 四、变形换元
例4 解方程12
22
242
2
=+-+
-x x x x . 解：原方程可变形为052
22
)22(22
2
=-+-+
+-x x x x . 设y x x =+-222
，则原方程可化为052
2=-+
y
y . 去分母，整理，得02522
=+-y y . 解得 2
1,221=
=y y . 当2=y 时，2222
=+-x x ，即022
=-x x . 解得 2
1,021==x x . 当21=
y 时，2
1222
=+-x x ，即03242=+-x x . 因为044344)2(2
<-=⨯⨯--=∆， 所以方程03242
=+-x x 无实数根. 经检验，2
1
,021=
=x x 是原方程的根. 例1 解方程
分析 括号里的分式相同，由这个特点，知可用换元法来解。
解设，于是原方程变形为
解得
例2 解方程
分析方程左边分式分母为，可将右边看成一个整体，然后用换元法求解。
解设，则原方程变形为
例3 解方程
分析这是一个根号里面含有分式的无理方程，也可通过变形后换元求解。
解原方程为
例4 解方程解设
练习：
1. 解方程
2. 解方程
3. 解方程
提示：1. 设
2.
3. 设。
二次根式
一、知识要点概述
1、二次根式：式子叫做二次根式．
2、最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式叫做最简二次根式．
(1)被开方数的因数是整数，因式是整式．
(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
3、同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式．
4、二次根式的主要性质
5、二次根式的运算
(1)因式的外移和内移
如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外；如果被开方数是多项式的形式，那么先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外．反之，也可以将根号外的正因式平方后移到根号里面去．
(2)有理化因式与分母有理化
两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的积不含二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式，将分母中的根号化去，叫做分母有理化．
(3)二次根式的加减法：
先把二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式．
(4)二次根式的乘除法
二次根式相乘(除)，将被开方数相乘(除)所得的积(商)仍作积(商)的被开方数，并将运算结果化为最简二次根式．
(5)有理数的加法交换律、结合律；乘法交换律、结合律、乘法对加法的分配律，以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．
二、典例剖析
分析：因一个等式中含有两个未知量，初看似乎条件不足，仔细观察两被开方数互为相反数，不妨从二次根式定义入手．
例3、已知xy＞0，化简二次根式的正确结果是（）
A．B．－C．D．－
分析：解题的关键是首先确定被开方式中字母的符号，既可以化简被开方式，又可把根号外的因式移入根号内．
说明：运用二次根式性质解题时，既要注意每一性质成立的条件，又要学会性质的“正用”与“逆用”特别地字母因式由根号内(外)移到根号(外)内时必须考虑字母因式隐含的符号．。