中考第三轮重难点突破教案(4)教师版

中考第三轮重难点突破教案（4） 姓名 分数公司经理让人在墙上挂上“想做就立即去做”的标语，希望以此激励员工的积极性！ 过了一段时间，老板的一个朋友问他这个举措效果如何？ 老板愤怒的说：“出纳拿了10万元逃走了，办公室主任和我的女秘书私奔了，几十个员工一起要求加薪！” 【运河通道1】经典压轴试题 例1、（广东省广州市）如图，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为（3，0），（0，1），点D 是线段BC 上的动点（与端点B 、C 不重合），过点D 作直线y ＝－21x ＋b 交折线OAB 于点E ．（1）记△ODE 的面积为S ，求S 与b 的函数关系式；（2）当点E 在线段OA 上时，若矩形OABC 关于直线DE 的对称图形为四边形O 1A 1B 1C 1，试探究四边形O 1A 1B 1C 1与矩形OABC 重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由．4．解：（1）由题意得点B 的坐标为（3，1） 若直线经过点A （3，0）时，则b ＝23若直线经过点B （3，1）时，则b ＝25 若直线经过点C （0，1）时，则b ＝1①若直线与折线OAB 的交点在OA 上，即1＜b ≤23时，如图1 此时E （2b ，0） ∴S＝21OE ·CO ＝21×2b ×1＝b ································································· 4分 ②若直线与折线OAB 的交点在BA 上，即23＜b ＜25时，如图2 此时E （3，b －23），D （2b －2，1） ∴S＝S 矩形OABC－(S △COD ＋S △AOE ＋S △BDE )＝3－[21(2b －2)×1＋21×3(b －23)＋21(5－2b )(25－b )]＝25b －b2 A DyB COExADyB C OE x图2A DyB C OE x图1∴S＝⎩⎪⎨⎪⎧b （1＜b ≤23）25b －b2（1＜b ≤23）····································································· 8分（2）如图3，设O 1A 1与CB 相交于点M ，OA 与C 1B 1相交于点N ，则矩形O 1A 1B 1C 1与矩形OABC 的重叠部分的面积即为四边形DNEM 的面积 由题意知，DM ∥NE ，DN ∥ME ，∴四边形DNEM 为平行四边形 根据轴对称知，∠MED ＝∠NED 又∠MDE ＝∠NED ，∴∠MED ＝∠MDE∴MD ＝ME ，∴平行四边形DNEM 为菱形 ······················ 10分 过点D 作DH ⊥OA ，垂足为H 由题易知，tan ∠DEN ＝21，DH ＝1，∴HE ＝2 设菱形DNEM 的边长为a ，则在Rt △DHN 中，由勾股定理得： a2＝(2－a)2＋12，∴a ＝45 ········································································ 12分 ∴S 四边形DNEM＝NE ·DH ＝45×1＝45 ·························································· 13分 故矩形O 1A 1B 1C 1与矩形OABC 重叠部分的面积不发生变化，面积始终为45····································································································· 14分例2、（广东省广州市）如图，⊙O 的半径为1，点P 是⊙O 上一点，弦AB 垂直平分线段OP ，点D 是弧 ⌒APB 上的任一点（与端点A 、B 不重合），DE ⊥AB 于点E ，以D 为圆心、DE 长为半径作⊙D ，分别过点A 、B 作⊙D 的切线，两条切线相交于点C ． （1）求弦AB 的长；（2）判断∠ACB 是否为定值，若是，求出∠ACB 的大小；否则，请说明理由； （3）记△ABC 的面积为S ，若2DES＝34，求△ABC 的周长．解：（1）如图，连结OA 、OB ，设OP 与AB 的交点为F ，则有OA ＝1CP DOBAEA DyB COEx图3B 1 A 1MO 1 C 1NH∵弦AB 垂直平分线段OP ，∴OF ＝21OP ＝21，AF ＝BF 在Rt △AOF 中，∵AF ＝22OF OA－＝22211)(－＝23∴AB ＝2AF ＝3 ························································································· 4分 （2）∠ACB 是定值 ······························································································· 5分理由：由（1）易知∠AOB ＝120°连结AD 、BD ，∵点D 为△ABC 的内心，∴∠CAB ＝2∠DAB ，∠CBA ＝2∠DBA∵∠DAB ＋∠DBA ＝21∠AOB ＝60°，∴∠CAB ＋∠CBA ＝120° ∴∠ACB ＝60°（定值） ················································································· 8分 （3）记△ABC 的周长为l ，设AC 、BC 与⊙D 的切点分别为G ，H ，连结DG ，DC ，DH则有DG ＝DH ＝DE ，DG ⊥AC ，DH ⊥BC ∴S＝S △ABD ＋S △ACD ＋S △BCD＝21AB ·DE ＋21AC ·DG ＋21BC ·DH ＝21(AB ＋BC ＋AC )·DE ＝21l ·DE ∵2DE S ＝34，∴2·21DE DEl ＝34，∴l ＝38DE∵CG ，CH 是⊙D 的切线，∴∠GCD ＝21∠ACB ＝30° ∴在Rt △CGD 中，CG ＝30tan DG ＝33DE ＝3DE ，∴CH ＝CG ＝3DE 又由切线长定理可知AG ＝AE ，BH ＝BE∴l ＝AB ＋BC ＋AC ＝32＋32DE ＝83DE ，解得DE ＝31··············· 13分∴△ABC 的周长为338 ············································································· 14分 例3、（广东省深圳市）如图是一圆形纸片，AB 是直径，BC 是弦，将纸片沿弦BC 折叠后，劣弧BC 与AB 交于点D ，得到BDC ︵． （1）若BD ︵＝CD ︵，求证：BDC ︵必经过圆心O ；（2）若AB ＝8，BD ︵＝2CD ︵，求BC 的长． 5．解：（1）过C 作CE ⊥AB 于E ，连接CA 、CD∵∠CDA ＝∠BCD ＋∠CBD ＝21BDC ︵＝21BmC ︵＝∠CADOD C ABCPD OBAEF GH∴AC ＝CD ∵BD ︵＝CD ︵，∴BD ＝CD ，∴BCD ＝∠CBD ∴∠CDA ＝2∠CBD ，∴∠CAD ＝2∠CBD ∵AB 是直径，∴∠ACB ＝90°∴∠CAD ＋∠CBD ＝90°，∴2∠CBD ＋∠CBD ＝90° ∴∠CBD ＝30°，∴∠CDA ＝60°∴△CAD 是等边三角形，∴AD ＝CD∴AD ＝BD ，∴BDC ︵必经过圆心O ····························································· 4分（2）∵AC ＝CD ，∴AC ︵＝CD ︵∵BD ︵＝2CD ︵，∴AC ︵＝21BD ︵＝31BDC ︵＝31BmC ︵＝41半圆连接CO ，则∠OPC ＝41×180°＝45°∴CE ＝OE ＝22OC ＝22×4＝22 ∴BE ＝OE ＋OB ＝22＋4∴BC ＝2222422 )()(＋+＝224+ ················································ 7分例4、（广东省珠海市）如图，平面直角坐标系中有一矩形ABCO （O 为原点），点A 、C 分别在x 轴、y 轴上，且C 点坐标为（0，6）．将BCD 沿BD 折叠（D 点在OC 边上），使C 点落在OA 边的E 点上，并将BAE 沿BE 折叠，恰好使点A 落在BD 的点F 上．（1）直接写出∠ABE 、∠CBD 的度数，并求折痕BD 所在直线的函数解析式； （2）过F 点作FG ⊥x 轴，垂足为G ，FG 的中点为H ，若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过B 、H 、D 三点，求抛物线的函数解析式；（3）若点P 是矩形内部的点，且点P 在（2）中的抛物线上运动（不含B 、D 点），过点P 作PN ⊥BC 分别交BC 和BD 于点N 、M ，设h ＝PM －MN ，试求出h 与P 点横坐标x 的函数解析式，并画出该函数的简图，分别写出使PM ＜MN 、PM ＝MN 、PM ＞MN 成立的x 的取值范围．9．解：（1）∠ABE ＝∠CBD ＝30° ······················································································· 1分在△ABE 中，AB ＝6AD yBH OxM CEPF NG O DCA BE mBC ＝BE ＝30cos AB＝34 CD ＝BC ·tan30°＝34×33＝4∴OD ＝OC －CD ＝6－4＝2 ∴B （34，6），D （0，2）设BD 所在直线的函数解析式为y ＝kx ＋b则⎩⎨⎧34k ＋b ＝6b ＝2 ∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝33b ＝2∴BD 所在直线的函数解析式为y ＝33x ＋2 ·············································· 3分 （2）∵EF ＝EA ＝AB ·tan30°＝32，∠FEG ＝180°－∠FEB －∠AEB ＝60°又∵FG ⊥OA∴FG ＝EF ·sin60°＝3，GE ＝EF ·cos60°＝3，OG ＝OA －AE －GE ＝3 又H 为FG 中点 ∴H （3，23） ···························································································· 4分 ∵抛物线y ＝ax2＋bx ＋c 经过B （34，6）、H （3，23）、D （0，2）三点 ∴⎩⎪⎨⎪⎧48a ＋34＋c ＝63a ＋3b ＋c ＝23c ＝2 ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝61b ＝－33c ＝2∴抛物线的解析式为y ＝61x2－33x ＋2 ····················································· 5分（3）∵PM ＝(33x ＋2)－(61x2－33x ＋2)＝－61x2＋332xMN ＝6－(33x ＋2)＝4－33xh ＝PM －MN ＝(－61x 2＋332)－(4－33x )＝－61x2＋3x －4 ················ 6分由－61x2＋3x －4得x 1＝32，x 2＝34该函数的简图如图所示： ········································ 7分 当0＜x ＜32时，h ＜0，即PM ＜MN 当x ＝32时，h ＝0，即PM ＝MN当32＜x ＜34时，h ＞0，即PM ＞MN (9)AD yBH OxM CEPF NG 32 34 4 -h O x例5、（广东省茂名市）如图，在直角坐标系xOy 中，正方形OCBA 的顶点A 、C 分别在y 轴、x 轴上，点B 坐标为(6，6)，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A 、B 两点，且3a －b ＝－1． （1）求a ，b ，c 的值；（2）如果动点E 、F 同时分别从点A 、点B 出发，分别沿A →B 、B →C 运动，速度都是每秒1个单位长度，当点E 到达终点B 时，点E 、F 随之停止运动．设运动时间为t 秒，△EBF 的面积为S ．①试求出S 与t 之间的函数关系式，并求出S 的最大值；②当S 取得最大值时，在抛物线上是否存在点R ，使得以点E 、B 、R 、F 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出点R 的坐标；如果不存在，请说明理由．12．解：（1）由已知A （0，6）、B （6，6）在抛物线上得方程组：⎩⎪⎨⎪⎧c ＝636a ＋6b ＋c ＝63a －b ＝－1········································································· 1分解得：⎩⎨⎧a ＝－91b ＝32c ＝6·························································································· 3分（2）①运动开始t 秒时，EB ＝6－t ，BF ＝tS ＝21EB ·BF ＝21(6－t )t ＝－21t2＋3t ··············· 4分∵S ＝－21t2＋3t ＝－21(t －3)2＋29∴当t ＝3时，S 有最大值29······························ 5分②当S 取得最大值时，由①知t ＝3，所以BF ＝3，CF ＝3，EB ＝6－3＝3 若存在某点R ，使得以E 、B 、R 、F 为顶点的四边形是平行四边形， 则FR 1＝EB 且FR 1∥EB ，即可得R 1为（9，3）、（3，3） ·························· 6分 或者ER 2＝BF 且ER 2∥BF ，可得R 2为（3，9） ·········································· 7分再将所求得的三个点代入y ＝－91x2＋32x ＋6，可知只有点（9，3）在抛物线上，因此抛物线上存在点R 1（9，3），使得四边形EBRF 为平行四边形 ·· 8分Ay C O x B EFAyCO xB EF备用图Ay COxBEF R 1(9，3)R 2(3，9) R 1(3，3)例6、（广东省湛江市）如图，在平面直角坐标系中，点B 的坐标为（－3，－4），线段OB 绕原点逆时针旋转后与x 轴的正半轴重合，点B 的对应点为点A ． （1）直接写出点A 的坐标，并求出经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点C ，使BC ＋OC 的值最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如果点P 是抛物线上的一个动点，且在x 轴的上方，当点P 运动到什么位置时，△PAB 的面积最大？求出此时点P 的坐标和△PAB 的最大面积．15．解：（1）A （5，0） ······································································································· 1分由抛物线经过点O ，可设抛物线的解析式为y ＝ax2＋bx ··························· 2分把A （5，0）、B （－3，－4）代入y ＝ax2＋bx ，得：⎩⎪⎨⎪⎧25a ＋5b ＝09a －3b ＝－4 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－61b ＝65 ································································· 4分∴抛物线的解析式为y ＝－61x2＋65x ·························································· 5分（2）如图①，∵y ＝－61x2＋65x ＝－61( x －25)2＋2425∴抛物线的对称轴是直线x ＝25，点O 、A 关于直线x ＝25对称连接AB 交直线x ＝25于点C ，则点C 使BC ＋OC 的值最小 ···················· 6分设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋b则⎩⎪⎨⎪⎧5k ＋b ＝0－3k ＋b ＝－4 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝21b ＝－25∴直线AB 的解析式为y ＝21x －25························ 8分把x ＝25代入y ＝21x －25，得y ＝－45∴点C 的坐标为（25，－45） ································ 9分（3）如图②，过点P 作y 轴的平行线交AB 于点D ，设点P 的横坐标为x ， AxyBOAxyBOC图①则P （x ，－61x 2＋65x ），D （x ，21x －25） ··············································· 10分 ∴S △P AB＝S △P AD＋S △PBD＝21PD ·(x A －x B ) ＝21(y P －y D )(x A －x B )＝21[(－61x2＋65x)－(21x －25)]×[5－(－3)] ＝－32x2＋34x ＋10＝－32(x －1)2＋332∴当x ＝1时，S △P AB的最大值为332···················· 12分把x ＝1代入y ＝－61x2＋65x ，得y ＝32∴此时点P 的坐标为（1，32） ·································································· 13分例7、（广东省清远市）在⊙O 中，点P 在直径AB 上运动，但与A 、B 两点不重合，过点P 作弦CE ⊥AB ，在AB ︵上任取一点D ，直线CD 与直线AB 交于点F ，弦DE 交直线AB 于点M ，连接CM ．（1）如图1，当点P 运动到与O 点重合时，求∠FDM 的度数；（2）如图2、图3，当点P 运动到与O 点不重合时，求证：FM ·OB ＝DF ·MC ．17．（1）解：当点P 与点O 重合时（如图1）∵CE 是直径，∴∠CDE ＝90° ·················································· 1分 ∵∠CDE ＋∠FDM ＝180°，∴∠FDM ＝90° ···························· 2分（2）证明：当点P 在OA 上运动时（如图2）∵OP ⊥CE ，∴AC ︵＝AE ︵＝21CE ︵，CP ＝EP∴CM ＝EM ，∴∠CMP ＝∠EMP ∵∠DMO ＝∠EMP ，∴∠CMP ＝∠DMOAxyBO 图②P D 图1ABO (P )FD CEM 图2ABO FDCEM P 图3AB OFDCEM P ABO (P )FD CEM∴∠CMP ＋∠DMC ＝∠DMO ＋∠DMC∴∠DMF ＝∠CMO ································································ 3分∵∠D 所对的弧是CE ︵，∠COM 所对的弧是AC ︵∴∠D ＝∠COM ····································································· 4分∴△DFM ∽△OCM ，∴OC DF ＝MC FM∴FM ·OC ＝DF ·MC∵OB ＝OC ，∴FM ·OB ＝DF ·MC ······································· 5分 当点P 在OB 上运动时（如图3）证法一：连结AC ，AE∵OP ⊥CE ，∴BC ︵＝BE ︵＝21CE ︵，CP ＝EP∴CM ＝EM ，∴∠CMO ＝∠EMO∵∠DMF ＝∠EMO ，∴∠DMF ＝∠CMO ································· 6分∵∠CDE 所对的弧是CAE ︵，∠CAE 所对的弧是CE ︵∴∠CDE ＋∠CAE ＝180°∵∠CDE ＋∠FDM ＝180°，∴∠FDM ＝∠CAE∵∠CAE 所对的弧是CE ︵，∠COM 所对的弧是BC ︵∴∠CAE ＝∠COM∴∠FDM ＝∠COM ·································································· 7分∴△DFM ∽△OCM ，∴OC DF ＝MC FM∴FM ·OC ＝DF ·MC∵OB ＝OC ，∴FM ·OB ＝DF ·MC ······································· 8分证法二：∵OP ⊥CE ，∴BC ︵＝BE ︵＝21CE ︵，AC ︵＝AE ︵＝21CAE ︵，CP ＝EP∴CM ＝EM ，∴∠CMO ＝∠EMO∵∠DMF ＝∠EMO ，∴∠DMF ＝∠CMO ···················································· 6分 ∵∠CDE 所对的弧是CAE ︵∴∠CDE ＝CAE ︵度数的一半＝AC ︵的度数＝180°－BC ︵的度数∴∠FDM ＝180°－∠CDE ＝180°－(180°－BC ︵)＝BC ︵的度数∵∠COM ＝BC ︵的度数∴∠FDM ＝∠COM ····················································································· 7分∴△DFM ∽△OCM ，∴OC DF ＝MC FM∴FM ·OC ＝DF ·MC∵OB ＝OC ，∴FM ·OB ＝DF ·MC ·························································· 8分图2ABOFDCEM P 图3AB OF D CEM P例8、（广东省河源市、梅州市）如图，直角梯形OABC 中，OC ∥AB ，C （0，3），B （4，1），以BC 为直径的圆交x 轴于E ，D 两点（D 点在E 点右方）． （1）求点E 、D 的坐标；（2）求过B 、C 、D 三点的抛物线的函数关系式；（3）过B 、C 、D 三点的抛物线上是否存在点Q ，使△BDQ 是以BD 为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q 的坐标．19．解：（1）方法1：∵B （4，1），则A （4，0），设OD ＝x ，则DA ＝4－x∵D 是以BC 为直径的圆与x 轴的交点，∴∠CDB ＝90° ∴∠ODC ＋∠BDA ＝90°∵∠OCD ＋∠ODC ＝90°，∴∠OCD ＝∠BDA∴Rt △OCD ∽Rt △ADB∴OD OC ＝AB AD ，即x 3＝14x- ······································································ 1分 解得x 1＝1，x 2＝3∴D （3，0），E （1，0） ··············································································· 2分 方法2：设BC 的中点为G ，过G 作GH ⊥x 轴于H ，连接GD 、GE∵240+＝2，213+＝2 ∴G （2，2），∴H （2，0） ········································ 1分 ∵BC ＝22134)(-＋＝52，GH ＝2－0＝2又DG ＝EG ＝BG ＝21BC ＝5∴HD ＝EH ＝2225－)(＝1∴D （3，0），E （1，0） ··············································································· 2分 （2）设过B 、C 、D 三点的抛物线的函数关系式为y ＝ax2＋bx ＋c ，则 ⎩⎪⎨⎪⎧16a ＋4b ＋c ＝1c ＝39a ＋3b ＋c ＝0···························································································· 3分 解得⎩⎨⎧a ＝21b ＝－25c ＝3····························································································· 4分 ∴所求抛物线的函数关系式为y ＝21x2－25x ＋3 ········································ 5分 OEDABCyxO E D A BCy xGH。