第8讲 巧用余数(一)
小学奥数余数性质(一)精选练习例题含答案解析(附知识点拨及考点)
-3. 余数性质（三）教学目标1. 学习余数的三大定理及综合运用2. 理解弃9 法，并运用其解题知识点拨一、三大余数定理：1. 余数的加法定理a 与b的和除以c 的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以 c 的余数。
例如：23，16 除以 5 的余数分别是 3 和1，所以23+16＝39 除以 5 的余数等于4，即两个余数的和3+1. 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以 c 的余数。
例如：23，19除以 5 的余数分别是 3 和4，所以23+19＝42 除以 5 的余数等于3+4=7 除以 5 的余数为22. 余数的加法定理a 与b的差除以c 的余数，等于a,b分别除以c的余数之差。
例如：23，16除以 5 的余数分别是 3 和1，所以23－16＝7 除以 5 的余数等于2，两个余数差3－1＝2.当余数的差不够减时时，补上除数再减。
例如：23，14除以 5 的余数分别是 3 和4，23－14＝9 除以5的余数等于4，两个余数差为3＋5－4＝43. 余数的乘法定理a 与b的乘积除以 c 的余数，等于a,b 分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
例如：23，16除以 5 的余数分别是 3 和1，所以23 ×16 除以5的余数等于3×1＝3。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以 c 的余数。
例如：23，19除以5 的余数分别是3 和4，所以23 ×19 除以5的余数等于3×4 除以5 的余数，即2. 乘方：如果 a 与 b 除以m 的余数相同，那么a n与b n除以m的余数也相同．二、弃九法原理在公元前9 世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本《花拉子米算术》，他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确，他们的检验方式是这样进行的：例如：检验算式1234 1898 18922 678967 178902 8899231234除以9 的余数为11898除以9 的余数为818922 除以9 的余数为4678967 除以9 的余数为7178902 除以9 的余数为0 这些余数的和除以9 的余数为 2 而等式右边和除以9 的余数为3，那么上面这个算式一定是错的。
余数定理
定理1:两数的和除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数和。
（1）7÷3=…1,5÷3=…2,这样（7+5）÷3的余数就等于1+2=3,所以余0.（2）8÷3=…2,5÷3=…2,2+2=4>3,4÷3…1,这样（8+5）÷3的余数就等于1.定理1有一种常见的考察方式，在往年的考试中也曾经出现，充分利用了定理1在加法余数计算中的优势。
【例1】有8个盒子分别装有17个、24个、29个、33个、35个、36个、38个和44个乒乓球，小赵取走一盒，其余的被小钱、小孙、小李取走，已知小钱和小孙取走的乒乓球个数相同，并且是小李取走的两倍，则小赵取走的各个盒子中的乒乓球最可能是（）。
A.29个B.33个C.36个D.38个解析：小钱和小孙都是小李的两倍，即小李是1份，小钱和小孙都是2份，三个人加起来是5份，也就是说三个人的和是5的倍数。
因此，小李+小钱+小孙=总数量-小赵=5的倍数，总数量与小赵关于5同余。
用定理1计算总数量除以5的余数，17个、24个、29个、33个、35个、36个、38个、44个余2 余4 余4 余3 余0 余1 余3 余42+4+4+3+0+1+3+4=21÷5=4…1,总数量除以5余1,因此小赵除以5也余1,而这些数字显然只有36除以3余1,小赵只能是36个，应选C.定理2:两数的积除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数积。
（1）7÷3余1,5÷3余2,这样（7×5）÷3的余数就等于1×2=2,所以余2.（2）5÷3余2,8÷3余2,2×2=4>3,4÷3余1,这样（5×8）÷3的余数就是1.【例2】有一条长1773mm的钢管，把它锯成长度分别为41mm和19mm两种规格的小钢管，结果恰好用完，则可能锯成41mm的钢管（）段。
三年级下册数学思维培优训练及答案
三年级下册数学思维培优训练及答案目录第1讲………………………数图形第2讲………………………找规律第3讲………………………和倍问题第4讲………………………差倍问题第5讲………………………和差问题第6讲…………………巧求周长（一）第7讲…………………巧求周长（二）第8讲………………………巧求面积第9讲…………………年月日问题（一）第10讲…………………年月日问题（二）第11讲………………………应用题（一）第12讲………………………应用题（二）第1讲数图形专题分析：同学们，你们会数图形吗？要想正确地数出线段、角、三角形……的个数，就必须要有次序、有条理地按照规律去数。
要正确数出图形的个数，关键是要从基本图形入手。
首先要弄清图形中包含的基本图形是什么，有多少个；然后再数出由基本图形组成的新的图形，并求出它们的和。
例1：数出下面图中有多少条线段？A B C D【思路导航】我们可以采用以线段左端点分类数的方法。
以A为左端点的线段有：AB、AC、AD3条；以B为左端点的线段有：BC、BD2条；以C为左端点的线段有：CD1条。
所以，图中共有线段3+2+1=6（条）。
我们还可以这样想：把图中线段AB、BC、CD看做基本线段来数，那么，由1条基本线段构成的线段有：AB、BC、CD3条；由2条基本线段构成的线段有：AC、BD2条；又3条基本线段构成的线段有：AD1条。
所以，图中一共有3+2+1=6（条）线段。
例2：数出下图中有几个角？A OBCD【思路导航】数角的个数可以采用与数线段相同的方法来数。
以AO为一边的角有：∠AOB、∠AOC、∠AOD3个；以BO为一边的角有：∠BOC、∠BOD2个；以CO为一边的角有：∠COD1个。
所以图中共有3+2+1=6（个）角。
当然，也可以把图中∠AOB、∠BOC、∠COD看做基本角，那该怎样数呢？例3：数出下图中共有多少个三角形？A【思路导航】数三角形的个数也可以采用按边分类的方法来数。
最新2017小学三年级全学年上下册奥数举一反三经典课件(共40讲537页)
一共40讲，每讲都有“知识要点”，每个例题后面都有“思 路导航”，例题后面跟着配套练习，全部课件共537页。 每讲内容如下 ：
第1讲 找规律 第2讲 有余除法 第3讲 配对求和 第4讲 加减巧算 第5讲 图形个数 第6讲 植树问题 第7讲 简单推理 第8讲 算式谜 第9讲 乘法速算 第10讲 添运算符号 第11讲 文字算式谜 第12讲 填数游戏 第13讲 周期问题 第14讲 数学趣味 第15讲 乘除巧算 第16讲 应用题（一） 第17讲 应用题（二） 第18讲 数字趣味 第19讲 重叠问题 第20讲 简单枚举 第21讲 错中求解 第31讲 用假设法解题 第22讲 用对应法解题 第32讲 平均数问题 第23讲 盈亏问题 第33讲 平均数问题 第24讲 简单推理（一）第34讲 简单推理（一） 第25讲 和倍问题 第35讲 巧求周长 第26讲 差倍问题（一）第36讲 巧求周长 第27讲 差倍问题（二）第37讲 面积计算 第28讲 和差问题 第38讲 最佳安排 第29讲 年龄问题 第39讲 抽屉原理 第30讲 用还原法解题 第40讲 一题多解
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【思路导航】 在（1）列数中，通过观察可以发现这是分为单数和双数 两个不同的数列。其中双数列都为2，而单数列是前数比后数 大3，根据这一规律，括号里应填的数为：9-3=6、2。 在（2）列数中，通过观察可以发现这也是分为单数和双 数两个不同的数列。其中单数列是前数比后数大3，双数列都
是后数比前数大1，根据这一规律，括号里应填的数为：153=12、6+1=7。
【练习2】 按规律填数。 （1）2，1，4，1，6，1，（ ），（ ） （2）3，2，9，2，27，2，（ ），（ ） （3）18，3，15，4，12，5，（ ），（ ） （4）1，15，3，13，5，11，（ ），（ ） （5）12，1，10，1，8，1，（ ），（ ）
苏教版小学数学二年级试题
第一讲加减法巧算（一）例1计算：（1）65+24+5（2）78+16+4练1计算：（1）46+17+24（2）19+9+71例2计算：（1）18+25+32+5（2）35+19+21+5+7练2计算：（1）7+24+33+16（2）17+14+16+23例3计算：（1）99+99（2）129+69练3计算：（1）39+39（2）199+19例4计算：128-64-36练4计算：85-26-44总结：连减的性质例5计算：176-96练5计算：623-98例6计算：141-102练6计算：233-208总结：多减要（），少减继续（）课后作业：（1）54+68+46（2）16+27+14+13（3）78+79（4）299+199（5）256-47-53（6）181-26-34（7）266-97（8）535-507第二讲加减法巧算（二）例1计算：（1）173-87+27（2）145+67-45练2计算：（1）125-86+75（2）134+29-34例2计算：（1）97+98+99（2）195+195+195+195练2计算：（1）49+48+47（2）97+97+97例3计算：（1）100+101+102-3练3计算：（1）202+203+204-5例4计算：（1）98+99+100+101+102练4计算：198+199+200+201+202总结：多加要（），少加继续（）课后作业：（1）167-58+33（2）156+74-56（3）573+198（4）99+98+97+96（5）28+29+30+31（6）99+98+97+96（7）99+99+99+99+99第三讲比谁眼力好例1下面一组图中，有一个是不同的，你能找出它吗？练11．下面一组图，其中有一个是不同的，你能找出来吗？2．找出与其他图形不同的那组图。
3．你能把与其他不同的找出来吗？例2根据规律接着画。
练21．按顺序仔细观察图，第三幅“？”处该怎么填？2．按顺序仔细观察，在“？”处填图。
巧用余数
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少算 了 ２ ５岁 ， 以三 （ 班 ９岁的／朋 友有 ２ 所 １） ｊ ＼ ５÷１ ２ （ ）８岁 ＝ ５人 ，
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设成 ９岁的小朋 友 ， 个小朋友 就 多算 了 ９—８ １ 岁 ）因此 ， 每 ：（ ， 要
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巧 恩 妙 解
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最新小学五年级奥数全册讲义(1-30讲)(含详解)【值得拥有】
小学五年级奥数全册讲义第1讲数字迷(一)第2讲数字谜(二)第3讲定义新运算(一)第4讲定义新运算(二)第5讲数的整除性(一)第6讲数的整除性(二)第7讲奇偶性（一）第8讲奇偶性（二）第9讲奇偶性（三）第10讲质数与合数第11讲分解质因数第12讲最大公约数与最小公倍数（一）第13讲最大公约数与最小公倍数（二）第14讲余数问题第15讲孙子问题与逐步约束法第16讲巧算24第17讲位置原则第18讲最大最小第19讲图形的分割与拼接第20讲多边形的面积第21讲用等量代换求面积第22 用割补法求面积第23讲列方程解应用题第24讲行程问题（一）第25讲行程问题（二）第26讲行程问题（三）第27讲逻辑问题（一）第28讲逻辑问题（二）第29讲抽屉原理(一)第30讲抽屉原理(二)第1讲数字谜（一）数字谜的内容在三年级和四年级都讲过，同学们已经掌握了不少方法。
例如用猜想、拼凑、排除、枚举等方法解题。
数字谜涉及的知识多，思考性强，所以很能锻炼我们的思维。
这两讲除了复习巩固学过的知识外，还要讲述数字谜的代数解法及小数的除法竖式问题。
例1 把+，-，×，÷四个运算符号，分别填入下面等式的○内，使等式成立（每个运算符号只准使用一次）：（5○13○7）○（17○9）=12。
分析与解：因为运算结果是整数，在四则运算中只有除法运算可能出现分数，所以应首先确定“÷”的位置。
当“÷”在第一个○内时，因为除数是13，要想得到整数，只有第二个括号内是13的倍数，此时只有下面一种填法，不合题意。
（5÷13-7）×（17+9）。
当“÷”在第二或第四个○内时，运算结果不可能是整数。
当“÷”在第三个○内时，可得下面的填法：（5+13×7）÷（17-9）=12。
例2 将1～9这九个数字分别填入下式中的□中，使等式成立：□□□×□□=□□×□□=5568。
二年级奥数：巧用余数(一)教案含解析答案
练习1
1.4 2.8 3.962
练习2
1.余数可以是1、2、3、4、5、6，最大余数是6.
2.余数可以是1、2、3、4，最大余数是4.
3.余数最大是5，被除数是35.
练习3
1.懒羊羊美羊羊2.绿红
3.香樟树松树
练习4
1.天，学2.E,c 3.松树，银杏
练习5
1. 5棵2棵
2. 25÷4=6（千克）……1(千克)
【例题1】
，除数最小是几？
思路导航：根据余数一定要比除数小的道理，现在余数是4，那么除数的范围就比4大，比4大的数有很多，最小的是几呢？答案是5，因为最小的除数只要比余数大1就可以了。
解：除数最小是5.
练习1
1.（）÷( )=( )……3,除数最小是（）
2.（）÷( )=( )……7,除数最小是（）
3.植树节那天，同学们按一棵松树，2棵香樟树和3棵广玉兰的顺序依次栽树，那么第15棵是什么树？第31棵是什么树？
【例题4】
一张纸很整齐的写着下面这样的两行字：
喜羊羊与灰太狼喜羊羊与灰太狼喜羊羊与灰太狼……
青青草原青青草原青青草原……
如果我们把同一列的上下两个字称为一组，第一组的两个字是（喜，青），第二组的两个字是（羊，青）……那么第25组的两个字是（，）。
解：与，青
练习4
1.
我
爱
北
京
天
安
门
我
爱
北
京
天
安
门
…
从
小
爱
数
学
从
小
爱
数
学
从
小
爱
数
…
按顺序排列，第40组的两个字为（，）。
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第8讲 巧用余数（一）
【专题简析】
小朋友已经学会了有余数的除法，在有余数的除法里，余数要比除数小，利用余数，可以解决许多有趣的实际问题，就要看你会不会巧妙地应用了。
要解决除数最小，余数最大的问题，就要理解除数和余数之间的关系，余数必须比除数小，即除数必须比余数大，掌握了这一点才能找到准确答案。
要求平均分给几位小朋友，平均每人种多少棵树等类型的问题时，应该首先从总数里去掉多余的部分，使得能够除尽，这样就能符合题意，求出问题的结果。
【例题1】
， 除数最小是几？
思路导航：根据余数一定要比除数小的道理，现在余数是4，那么除数的范围就比4大，比4大的数有很多，最小的是几呢？答案是5，因为最小的除数只要比余数大1就可以了。
解：除数最小是5. 练习1
1.（ ）÷( )=( )……3,除数最小是（ ）
2.（ ）÷( )=( )……7,除数最小是（ ）
3.（ ）÷( )=6……8,除数最小是几？当除数取最小时，被除数是几？
【例题2】
余数可以是几，最大余数是几？
思路导航：根据余数一定比除数小的道理，可知余数可以是1、2、3、4、5，最大余数是5，最大余数的确定，是只要比除数小1就可以了。
解：余数可以是1、2、3、4、5，最大余数是5.
练习2
1.（ ）÷7 =（ ）……（ ），余数可以是（ ），最大余数是（ ）
2.（ ）÷5 =（ ）……（ ），余数可以是（ ），最大余数是（ ）
3.（ ）÷6 = 5……（ ），余数取最大时，被除数是（ ）。
【例题3】
新年快到了，青青草原上挂起了彩灯，按“红、黄、蓝、白、绿、紫”的顺序挂，一共挂了50盏彩灯，第50盏彩灯是什么颜色？红色的彩灯一共有多少盏？
思路导航：这些彩灯按“红、黄、蓝、白、绿、紫”的顺序，即六种颜色为一个周期，先算出50盏彩灯有几个这样的周期：50÷6=8（个）……2(盏)，余数是2，这2盏彩灯是第8个周期之后的红、黄两种彩灯。
所以第50盏彩灯是黄色的，红色的彩灯一共有8+1=9（盏）
解：50÷6=8（个）……2(盏)
8+1=9（盏）
答：第50盏彩灯是黄色的，红色的彩灯一共有9盏
练习3
1.慢羊羊把54张扑克牌依次发给喜洋洋、美羊羊、沸羊羊和懒羊羊，问：第24张扑克牌发给谁？谁会拿到最后一张扑克牌？
2.学校大门上挂有一串彩灯，按“红、绿、白、黄”的规律排列起来，请你算一算，第18只彩灯是什么颜色？第25只彩灯是什么颜色？
3.植树节那天，同学们按一棵松树，2棵香樟树和3棵广玉兰的顺序依次栽树，那么第15棵是什么树？第31棵是什么树？
【例题4】
一张纸很整齐的写着下面这样的两行字：
喜羊羊与灰太狼喜羊羊与灰太狼喜羊羊与灰太狼……
青青草原青青草原青青草原……
如果我们把同一列的上下两个字称为一组，第一组的两个字是（喜，青），第二组的两个字是（羊，青）……那么第25组的两个字是（，）。
思路导航：根据题意，可以分别算出第25组的上，下两个字分别是什么。
第一行字是按“喜羊羊与灰太狼”为一组排列的，25÷7=3（组）……4（个），所以第25组的上面一个字是“与”。
第二行字是按“青青草原”为一组排列的，25÷4=6（组）……1（个），所以第25组的下面一个字是“青”，因此第25组的两个字是（与，青）。
解：与，青
练习4
1.
按顺序排列，第40组的两个字为（，）。
2.小英在练习写英文字母：
C D E F C D E F C ……
a b c d a b c d a ……
按顺序写，第35列的那组字母为（，）。
3.在学校小路的两旁植树，左边按“两棵松树，一棵法桐”的顺序种植，右边按“两棵圆柏，两棵银杏”的顺序种植，左右两侧第19棵树分别是什么？
【例题5】
小红带领7个小朋友为幼儿园做50朵花，平均每人做几朵？小红要多做几多才能完成任务？思路导航：要求平均每人做几朵，用花的总数除以总人数，根据题意可知总人数是7+1=8（人），50÷8=6（朵）……2（朵），这余下的2朵若给小红做就正好完成任务，也就是小红要比别的小朋友多做2朵。
解：7+1=8（人）
50÷8=6（朵）……2（朵）
答：平均每人做6朵，小红要多做2多才能完成任务
练习5
1.小明带5个小朋友种32棵数，平均每人种多少棵？小明要多种几棵才能完成任务？
2.4个西瓜重25千克，每个西瓜的重量都是整千克数，其中一个重一点，其余3个一样重，重的一个西瓜是几千克？（轻重两种西瓜相差不超过1千克）
3.小林和小邱带6个小朋友去拿苹果，一共拿了42个，平均每人拿几个？小林，小邱平均每人多拿几个就能一次拿完？
练习题答案
练习1
1.4
2.8
3.9 62
练习2
1.余数可以是1、2、3、4、5、6，最大余数是6.
2.余数可以是1、2、3、4，最大余数是4.
3.余数最大是5，被除数是35.
练习3
1.懒羊羊美羊羊
2.绿红
3.香樟树松树
练习4
1.天，学
2.E,c
3.松树，银杏
练习5
1. 5棵2棵
2. 25÷4=6（千克）……1(千克)
6+1=7（千克）
4.42÷（6+2）=5（个）……2(个)
2÷2=1（个）。