第十三讲 余数问题
余数的知识点总结
余数的知识点总结一、余数的概念余数的概念最早出现在我们学习除法的时候。
当我们用一个数除以另一个数时，商是一个整数，余数是一个小于被除数的正整数。
例如，当我们将13除以4时，商是3，余数是1。
因此，13÷4=3……1。
这里的1就是余数。
余数的概念可以用数学符号“mod”来表示，即a≡b(mod m)，其中a是被除数，b是余数，m是除数。
这个符号读作“a同余b模m”。
例如，13≡1(mod 4)。
二、余数的性质1. 余数的范围余数的范围是0到除数-1之间。
例如，当我们将13除以4时，余数的范围就是0到3。
这是因为余数小于除数，所以余数的范围是有限的。
2. 余数的性质余数可以满足一些基本的性质，例如：如果a≡b(mod m)且c≡d(mod m)，那么a+c≡b+d(mod m)。
这意味着如果两个数在模m下同余，那么它们的和也在模m下同余。
这个性质在数论和离散数学中有着重要的应用。
3. 余数的运算余数的运算规则和整数的运算规则是一样的。
例如，对于任意的整数a、b和m，有(a+b) mod m = ((a mod m) + (b mod m)) mod m。
这意味着在计算余数时，我们可以先对每个数取余，然后再进行加法或乘法运算，最后再取一次余数，结果不变。
三、余数的应用1. 时钟和日历在时钟和日历的应用中，余数概念起着非常重要的作用。
例如，一小时后的时间可以用（当前时间+1）mod 12来表示，从而得到12小时制的时间。
又如，计算日期间隔的时候，我们可以用（未来日期-当前日期）mod 7来表示，得到相对于当前日期的天数差。
2. 整数的性质余数概念也常常用来证明整数的性质。
例如，我们可以用余数来证明一个数的奇偶性。
对于任何整数a，a≡0(mod 2)当且仅当a是偶数；a≡1(mod 2)当且仅当a是奇数。
3. 数论问题在数论中，余数的概念是至关重要的。
例如，欧拉定理和费马小定理就是建立在余数的基础上。
四年级上册数学试题-(13)思维数学余数问题 数与量(吨的认识)沪教版(有答案)
升四年级思维数学第十三讲余数问题学习目标思维目标：1、理解除数和余数的关系。
2、掌握被除数=商×除数＋余数。
3、理解余数的性质,学会运用余数的性质解决简单的实际问题。
数学知识：1、了解表示较重物体轻重时,一般用“吨”做单位,了解一吨的实际重量。
2、知道克、千克、吨之间的进率,会进行简单换算。
知识梳理思维：1、当余数为零时,我们就说除数能整除被除数,或者被除数能被除数整除。
2、两个整数相除,余数一定小于除数。
3、两个整数相除,,除数是a（a不等于0）,余数有（a－1）种可能,比如除数是5,余数可能是4、3、2、1四种可能。
数学：1、1吨=1000千克；1千克=1000克；1吨=1000000克。
2、会对物体的重量进行估算。
精讲精练例1：一个除法算式中,除数是12,商是6,被除数最小是几？最大是几？(金钥匙：题目中除数和商都是固定的,那么余数小被除数就小,余数大,被除数就大。
余数必须比除数小,所以余数的范围应是1～11。
）解：当余数最小时,被除数最小：12×6＋1=73；当余数最大时,被除数最大：12×6＋11=83；试金石：1、（）÷7=6……（）,被除数最大是（）,最小是（）。
2、一个数除以9的商和余数相同,你能写出几个符合这样条件的数？例2：将两盒围棋子按照4白2黑的顺序排成一列,第34颗棋子是什么颜色？第67颗呢？（金钥匙：仔细观察棋子的排列顺序,有什么规律,发现都是4白2黑的顺序循环排列的。
也就是6颗棋子为一组,这一组中前4颗是白的,后2颗是黑的。
34颗棋子中有这样的几组？还剩几颗？列出算式34÷6=5（组）……4（颗）,最后决定棋子颜色的是除法算式中的余数。
）解： 34÷6=5（组）……4（颗）答：第34颗棋子是白色。
67÷6=11（组）……1（颗）答：第67颗棋子是白色。
试金石：1、有一堆棋子,按2黑3白的顺序排列,第31颗棋子是什么颜色？第40颗呢？2、甲、乙、丙、丁四人分扑克牌,先给甲3张,乙2张,丙1张,丁2张,再给甲3张,乙2张,丙1张,丁2张……按这样的顺序发牌,最后一张（54张）牌发给谁？例3：2010年的10月1日是星期五,那么11月5日是星期几？（金钥匙：通常生活常识,我们知道十月是大月,有31天,所以先算出10月1日天到11月5日共有36天,）解： 36÷7=5（周）……1（天）答：11月5日是星期五。
六年级下册数学讲义-小学奥数精讲精练：第十三讲 关于个位数字与完全平方数
第十三讲 关于个位数字与完全平方数在整数的各种问题中,确定个位数字是十分重要的.下面我们专门讨论整数乘方的个位数字.一、整数乘方的个位数字整数的个位数字只有 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 十种.下面我们列出表格,看一看经过不同次数的乘方之后,个位数字如何变化.a 01 2 3 4 5 6 7 8 9a 2 a 3 a 4 a 5 …………从表中可以看出：（1）平方数的个位数字只可能是 0,1,4,5,6,9,而不可能是 2,3,7,8.（2）三次方的个位数字从 0,1 到 9 都有可能.（3）四次方的个位数字只可能是 0,1,6,5,不可能是 2,3,4,7,8,9.（4）五次方的个位数字与一次方的个位数字完全相同.于是,六次方的个位数字与0 1 4 9 6 5 6 9 4 10 1 8 7 4 5 6 3 2 90 1 6 1 6 5 6 1 6 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9二次方的个位数字完全相同；七次方的个位数字与三次方的个位数字完全相同；八次方的个位数字与四次方的个位数字完全相同.不难看出：a1,a5,a9,……的个位数字相同；a2,a6,a10,……的个位数字相同；a3,a7,a11,……的个位数字相同；a4,a8,a12,……的个位数字相同.（5）个位为0,1,5,6 的数无论多少次乘方,其个位数字保持不变.例1 求31993＋41995＋51995 的末位数字分析：只要分别求出31993,41994,51995的个位数字,再相加即可求出31993＋41994＋51995的个位数学解：∵51995 的个位数字为5,从各个数字乘方后的个位数字表中可以看到,4 的奇次方的个位数字为4,偶次方的个位数字为 6,∴41994 的个位数字为6；又34k＋1 的个位数字为3,34k＋2 的个位数字为9,34k＋3 的个位数字为7,34k 的个位数字为1,而1993＝4×498＋1,∴31993 的个位数字与31 的个位数字相同.故31993＋41994 ＋51995 的个位数字与3＋6＋5＝14 的个位数字相同,即31993＋41994＋51995 的个位数字为4.例2 从1,1,3,3,5,5,7,7,9,9 中取出5 个数,其中至少有三个数不重复,且它们的乘积的个位数字是1.问这5 个数的和应是多少？分析与解：要求取出的5 个数乘积的个位数字是1,显然所取的5 个数中不能有数字5,只能从1,3,7,9 中取,由于要求至少有三个数不重复,那么只能有一个数重复取两次.即只可能有1×1×3×7×9,1×3×3×7×9,1×3×7×7×9,1×3×7×9×9 四种情形.经检验上述四个乘积的个位数字分别为9,7,3,l.故所取的五个数为1,3,7,9,9.这五个数的和为29.例3 我们把从1 开始若干个自然数的连乘积用简单的符号表示,如1×2×3×4×5 记作5！,读作5 的阶乘；1×2×3×……×100 记作100！,读作100 的阶乘；1×2×3×……×n,1 记作n！,读作n 的阶乘.求N＝1！＋2！＋3！＋……＋1992！＋1993！的个位数字.分析：只要将1！,2！,3！,……,1992！,1993！的个位数字一一求出后相加,就可得出各个阶乘的和的个位数字.但要求出各个阶乘的个位数字,需计算1993 项,且每一项几乎都是一大串数字之积,工作量是否会太大？解：∵1！＝1,2！＝1×2＝2,3！＝1×2×3＝6,4！＝1×2×3×4＝24,5！＝1×2×3×4×5＝120,可以看出6！直至1993！的个位数字都是0.因此,N＝1！＋2！＋3！＋4！＋5！＋……＋1993！的个位数字就是1＋2＋6＋24＋0＋……＋0 的个位数字.即N 的个位数字为3.例4 求14＋24＋34＋……＋19924＋19934 的个位数字.分析与解：1,2,3,……,1992,1993,这些数的个位数字不过是1,2,3,4,5,6,7,8,9,0.其四次方的个位数字依次为1,6,1,6,5,6,1,6,1,0,…….前十个数字和为 1＋6＋1＋6＋5＋6＋1＋6＋1＋0＝33,个位数字为3.这样就可将14＋24＋34＋44＋……＋19924＋19934 分为十项一组,每组的个位数字均为3.即（14＋24＋34＋……＋104）＋（114＋124＋134＋…＋204）＋…＋（19814＋19824＋19834＋…＋19904）＋19914＋19924＋19934.前 1990 项的和的个位数字与3×199 的个位数字相同,即为 7.而 19914 的个位数字为1,19924 的个位数字为6,19934 的个位数字为1.所以14＋24＋……＋19924＋19934 的个位数字与7＋1＋6＋1＝15 的个位数字相同,即为5.下面我们来研究两个相邻的自然数乘积的个位数字.二、相邻自然数乘积的个位数字由于仅考虑个位数字,相邻的自然数之积1×2＝2,2×3＝6,3×4＝12,4×5＝20,5×6＝30,6×7＝42,7×8＝56,8×9＝72,9×10＝90,10×11＝110的个位数字只可能是0,2,6 三种.因此,若一个自然数的个位数字不是0,2,6,那么,这个自然数不可能是两个相邻自然数的乘积.例5 是否存在自然数n,使得n2＋n＋7 是35 的倍数？分析与解：分别取n＝1,2,3,4,5,依次得到n2＋n＋7 的值为9,13,19,27,37,显然它们都不是35 的倍数.但是这样一个个试下去,即使试到n＝100,n2＋n＋7 都不是 35 的倍数,也不能说不存在自然数 n,使得 n2＋n＋7 为 35 的倍数.因为自然数有无穷多个,不可能每个都试到.注意到n2＋n＝n×（n＋1）是两个相邻自然数的乘积,n2＋n＝n×（n＋1）的个位数字只可能是0,2,6,所以n2＋n＋7 的个位数字只可能是7,9,3.由于个位数字是7,9,3 的自然数不可能是5 的倍数,当然更不可能是35 的倍数.例6不论n是怎么样的自然数,3×（5n＋1）都不可能是两个连续自然数的乘积.解：由于5 的任何次方的个位数字总是5,5n＋1 的个位数字为 6,3×（5n＋1）的个位数字是8.而相邻的两个自然数的乘积的个位数字只能是0,2,6.故3×（5n＋1）不可能是两个连续自然数的乘积.例7 若n！＋4 是两个相邻自然数的乘积,你能找出所有这种自然数n 吗？分析：要想成为两个相邻自然数的乘积,至少其个位数字应为0,2,6 之一.我们已经知道5！＝120,个位数字为0,当 n 大于 5 时,n！的个位数字都是0,此时 n！＋4 的个位数字为 4,故这时n！＋4 不可能是相邻自然数的乘积.于是只要对n≤4 的自然数分别讨论n！＋4 即可.当n＝1 时,11＋4＝5；当n＝2 时,2！＋4＝6；当n＝3 时,3！＋4＝10；当n＝4 时,4！＋4＝28.由于10,28 都无法表为两个相邻自然数的乘积.而 6＝2×3,所以,只有当n＝2 时,n！＋4 是两个相邻自然数的乘积.三、关于完全平方数我们已经知道,个位数字为2,3,7,8 的自然数不可能是完全平方数.其实,一个整数是否为完全平方数,还可以用其它方法来判断.例如,我们可以将完全平方数逐个列出：1,4,9,16,25,36,49,64,81, 100,121,……10000,……在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数.即如果 n2＜a＜（n＋1）2,那么a 不是完全平方数,下面将给出完全平方数应满足的条件,若这些条件之一不满足,则决不可能是完全平方数.1．任何偶数的平方必为4 的倍数,可表为4k 形式；任何奇数的平方必为4 的倍数加1,可表为4k＋1 形式；任何整数被4 除,只有四种可能性,即余数为0,1,2,3.或者说整数只有4k,4k＋1,4k＋2,4k＋3 四种形式.显然形如4k＋2,4k＋3 的整数不是完全平方数.2．（k 为整数）任何整数被3 除,只有三种可能性,即余数为0,1,2.或者说整数只有3k,3k＋1,3k＋2 三种形式.形如3k 的整数平方后仍是3 的倍数；形如3k＋1 的整数平方后仍是3 的倍数加1；形如3k＋2 的整数平方后必为3 的倍数加1.即任何整数平方后只可能是3n 或 3n＋1 的形式.因此,形如 3n＋2 的数不可能是完全平方数.3．（n,k 为整数）任何整数被5 除的余数有0,1,2,3,4 共五种情形.形如5k的整数平方后仍是5 的倍数；形如5k＋1 和5k＋4 的整数平方后必为5 的倍数加1；形如5k＋2,5k＋3 的整数,平方后必为5 的倍数加4.所以任何整数平方后只可能是5n,5n＋1,5n＋4 的形式.即形如5n＋2,5n＋3 的数,不可能是完全平方数.（这就是说完全平方数个位数字不可能是2,3, 7,8）.同理可知,形如8n＋2,8n＋3,8n＋5,8n＋6,8n＋7 的数不是完全平方数；形如9n＋2,9n＋3,9n＋5,9n＋6,9n＋8 的数不是完全平方数.4．（n,足为整数）考察完全平方数的个位和十位上的数字.由42＝16,62＝36,82＝64,102＝100,122＝144,52＝25,72＝49,92＝81,112＝121,132＝169,可以发现：完全平方数个位数字是奇数时,其十位上的数字必为偶数.完全平方数的个位数字为6 时,其十位数字必为奇数（证明从略）.例8 用300 个2 和若干个0 组成的整数有没有可能是完全平方数？分析：由 300 个 2 和若干个 0 组成的整数,其位数至少是301 位,除首位为 2 外, 各数位上都有可能是2 和0.但不可能逐个检查.由于各数位上的数字和为600（这是所有由300 个 2 和若干个 0 组成的数的共同特性）,所以组成的整数一定能被3 整除.但600 并非32＝9 的倍数.解：设由300 个2 和若干个0 组成的数为A,则其数字和为600.∵3｜600, ∴3｜A.即A 中只有3 这个约数,而无32＝9 作为约数,所以A 不是完全平方数.150151 却是奇数 1.我们知道,奇数的平方必为 4 的倍数加 1,即 4k ＋1 的形式. 但 4k ＋3 形式的数不是完全平方数.从其个位为 1 可知,它必为 10k ＋1 或 10k ＋9 形式的数平方而得.（1）式两边同除以 10 得显然,此式左边为偶数,右边为奇数,两边不相等.152（2）式两边同除以 10 得：显然,此式左边为偶数,右边为奇数,两边不相等.习题十三1．求 71993＋81994＋91995 的个位数字.2．求 1111990 ×1121991×1131992×1141993 的个位数字.3．求 110＋210＋310＋410＋510＋610＋710＋810＋910＋1010 的个位数字.4．一箱水果,如果将它们每五个（一份）分装在小圆盒内,最后还剩下两个. 问这箱水果的总个数是否可能是完全平方数？5．求 1！＋2！＋……＋100！的个位数字.6．对于任何自然数 n,n （n ＋1）都不可能是完全平方数.7．证明不能被 3 整除的数的平方与 1 的差能被 3 整除.8．若a 不能被5 整除,则a4－1 能被5 整除.9．求一个四位数,使它的前两位数字相同,后两位数字相同,且这个四位数为完全平方数.10．证明 6,66,666,……这串数中,没有完全平方数.。
【讲义】人教版 五年级上册数学第十三讲 期末综合复习(一)
第十三讲期末综合复习〔一〕专题知识梳理〔数与代数〕知识综合测评一、填空。
1、4．19393…可以简写成〔〕，保存一位小数约是〔〕，保存三位小数约是〔〕。
2、在〔〕里填上“＞〞“＜〞或“＝〞。
6.4÷0.9〔〕6.4 3.5÷0.01〔〕3.5×1006.7×1.1〔〕6.7 1÷3〔〕0.34.4÷2〔〕4.4×0.5 32÷1.1〔〕323、在一个除法算式中，被除数和除数同时扩大到原来的10倍，商〔〕。
4、3时15分＝〔〕时；6m26cm2=〔〕m25．把4．6，4．63，4．63，4．63，4．6这五个数按照从小到大的顺序排列起来是〔〕。
6．李奶奶家养鹅x只，养鸡的只数是养鹅只数的4倍，李奶奶家养鸡〔〕只，养的鸡和鹅共〔〕只。
二、判断。
1、当a＝7，b＝5时，a2－b2＝4。
〔〕2、在被除数不为0的除法算式中，除数大于0且小于1，商就大于被除数。
〔〕3、7．425是无限小数。
〔〕4、一个数除以0.2，商一定小于这个数。
〔〕5、0.7×0.7÷0.7×0.7=1÷1=1。
〔〕6、一个大于0的数乘1．01，所得的积比这个数大。
〔〕三、选择1、一支铅笔0．25元，小明买了3支这样的铅笔，他付给售货员1元，应找回〔〕元。
A、0.35B、0.25C、0.152．求a与b的和的3倍是多少，列式为〔〕A、a+36 B.、3a+b C、3(a+6)3、当x=〔〕时，5x=x2。
A、2B、5C、0或54．下面各算式的得数大于1的是〔〕A、0.99÷0.99B、0.99÷0.9C、1×0.99四、计算。
1．脱式计算，能简算的要简算。
12.5×0.96×0.8 1.28×8.6+0.72×8.620.6-8.4÷2.1+0.35×22．解以下方程。
数学运算余数问题
数学运算余数问题
在数学运算中，余数问题是一个常见的问题类型。
余数是指在整数除法中，被除数减去除数与商的乘积后得到的剩余部分。
例如，在计算 10 ÷ 3 时，商是 3，除数是 3，被除数是 10。
根据余数的定义，我们可以计算得到余数为 1，因为 10 - 3 × 3 = 1。
在解决余数问题时，我们需要掌握几个关键点：
余数必须是一个非负整数，即余数大于等于0。
如果被除数小于除数，那么余数为0。
余数是除法的结果的一部分，它反映了被除数未被完全除尽的部分。
余数有特定的性质，如余数的和等于两个被除数的和除以除数的余数，余数的乘积等于两个被除数的乘积除以除数的余数等。
这些性质在解决复杂数学问题时非常有用。
在解决具体问题时，我们需要根据题目的要求和条件来选择合适的方法。
例如，我们可以通过整除的性质来确定余数的范围，或者通过循环计算来找到满足条件的余数。
同时，我们还需要注意运算的顺序和精度，以避免出现错误的结果。
总之，余数问题是一个重要的数学概念，它涉及到整数除法、模运算等多个方面。
通过掌握余数的定义、性质和解题技巧，我们可以更好地解决各种数学问题。
小学数学奥数基础教程三年级目30讲全
第一讲：数的认识本讲主要介绍了数的认识，包括数的读法、数的编写方法和数的顺序等内容。
通过数的认识，帮助学生培养对数的概念的理解和掌握。
第二讲：数的比较本讲主要介绍了数的比较，包括数的大小比较和数的排序等内容。
通过比较数的大小和排序，帮助学生培养对数的大小关系的理解和掌握。
第三讲：数的加减法本讲主要介绍了数的加法和减法，包括数的加法和减法的基本运算方法和应用等内容。
通过加减法的学习，帮助学生培养对数的运算能力的理解和掌握。
第四讲：数的运算律本讲主要介绍了数的运算律，包括加法的交换律、结合律和减法的借位等内容。
通过学习运算律，帮助学生培养对数的运算规律的理解和掌握。
第五讲：数的乘法本讲主要介绍了数的乘法，包括数的乘法的基本运算方法和应用等内容。
通过乘法的学习，帮助学生培养对数的乘法运算能力的理解和掌握。
第六讲：数的除法本讲主要介绍了数的除法，包括数的除法的基本运算方法和应用等内容。
通过除法的学习，帮助学生培养对数的除法运算能力的理解和掌握。
第七讲：数的整除和余数本讲主要介绍了数的整除和余数，包括整除的概念、整除的规律和余数的计算等内容。
通过学习整除和余数，帮助学生培养对数的整除和余数的理解和掌握。
第八讲：数的倍数和最小公倍数本讲主要介绍了数的倍数和最小公倍数，包括倍数的概念、倍数的计算方法和最小公倍数的求法等内容。
通过学习倍数和最小公倍数，帮助学生培养对数的倍数和最小公倍数的理解和掌握。
第九讲：数的约数和最大公约数本讲主要介绍了数的约数和最大公约数，包括约数的概念、约数的计算方法和最大公约数的求法等内容。
通过学习约数和最大公约数，帮助学生培养对数的约数和最大公约数的理解和掌握。
第十讲：数的分数本讲主要介绍了数的分数，包括分数的概念、分数的读法和分数的计算等内容。
通过学习分数，帮助学生培养对分数的理解和掌握。
第十一讲：数的比例本讲主要介绍了数的比例，包括比例的概念、比例的计算和比例的应用等内容。
通过学习比例，帮助学生培养对比例的理解和掌握。
除法的商与余数小学四年级数学上册第十三课教案
除法的商与余数小学四年级数学上册第十三课教案教学目标：1. 理解除法的概念，明白商与余数的含义；2. 学会进行简单的除法运算，得到商和余数；3. 掌握用竖式计算进行除法运算的方法。
教学准备：1. 教师准备教案、小黑板、白板笔、作业本和铅笔；2. 学生准备教材、作业本和铅笔。
教学过程：一、导入（5分钟）教师通过提问，复习上节课学到的加法和减法运算。
例如：“小明有3个苹果，小红有4个苹果，他们一共有多少个苹果？”等。
二、新知讲解（10分钟）教师出示一张纸条，上面写着“9除以2等于多少？”让学生思考，并引导学生明白除法运算的概念。
三、讨论与实践（15分钟）1. 教师设计一道简单的除法题目，例如：“小明有12个苹果，想要平均分给4个朋友。
请问，每个人可以得到几个苹果？”学生可以向前一侧推理，找出答案：每个人可以得到3个苹果，3就是商。
2. 学生自主进行小组活动，解决一些简单的除法问题，并找出对应的商和余数（若有余数）。
四、归纳总结（10分钟）1. 教师引导学生归纳除法的关键要素：被除数、除数、商和余数。
2. 学生在白板上画出运算符号“÷”和“=”，并注明每个数字的含义和位置关系。
五、练习巩固（15分钟）1. 教师出示一些除法运算题目，学生在书写纸上进行答题。
2. 学生互相交流和校对答案，找出解题方法的不同以及有无错误。
六、拓展应用（15分钟）1. 教师出示一些较难的除法题目，并引导学生进行竖式计算，得到商和余数。
2. 学生进行小组合作，解答难题，提高运算能力与思维能力。
七、总结反思（5分钟）教师和学生一起总结本节课的学习内容，回顾重点知识和要点，并记录可能出现的错误和困惑。
教学延伸：教师可鼓励学生通过互动游戏、作业练习等方式进一步巩固除法相关知识，提高运算速度和准确率。
同时，教师可以借助一些教学资源和多媒体设备展示一些与除法相关的趣味视频或课件，以吸引学生的兴趣和注意力。
教学评价：1. 教师观察学生在课上的参与度和学习情况；2. 根据学生的作业完成情况，评价其掌握程度；3. 通过课堂上的讨论和答疑，了解学生对除法概念和运算方法的理解程度。
高思竞赛数学导引-五年级第十三讲-数字谜综合学生版
第13讲 数字谜综合一内容概述涉及小数、分数、循环小数酌数字谜问题；须要利用数论学问解决的数字谜问题．典型问题爱好篇1．有一个四位数，在它的某位数字后加上一个小数点，得到一个小数，再把这个小数和原来的四位数相加，得数是4003.64求这个四位数．2．试将1、2、3、4、5、6、7分别填人下面的方框中，每个数字只用一次：口口口（这是一个三位数），口口口（这是一个三位数），口（这是一个一位数），使得这三个数中随意两个都互质．已知其中一个三位数已填好，它是714，求另外两个数．3．用1至9这9个数字各一次组成若干个数，这些数中最多有多少个合数？4．如图13-!，4个小三角形的顶点处有6个圆圈，在这些圆圈中分别填上6个质数（可以重复），使得它们的和是20，而且每个小三角形3个顶点上的数之和相等，请问：这6个质数的乘积是多少？5．在一个带有余数的除法算式中，商比除数大2，在被除数、除数、商和余数中，最大数与最小数之差是1023.请问：此算式中的4个数之和最大可能是多少？6．在乘法算式“好好好春杯迎杯=⨯”中，不同的汉字表示不同的数字，相同的汉字表示相同的数字．请问：“迎+春+杯+好”等于多少？7．将1至9这9个数填入下面算式中的9个方框内（每个数字只能用一次），使等式成立．口口口×口口=口口×口口=55688．循环小数B A.0化成最简分数后，分子与分母之和为40，那么A 和B 分别是多少？9．在算式“7=+金杯竞赛华罗庚数学”中，华、罗、庚、金、杯、数、学、竞、赛九个字，分别代表数字1、2、3、4、5、6、7、8、9．已知“竞 = 8，赛 = 6”，请把这个算式写出来．10．已知“GOOD BAD BAD =+”是一个正确的加法算式，其中相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，已知GOOD 不是8的倍数．请问：ABGD 代表的四位数是什么？拓展篇1．[4.2×5 - (1+2.5 + 9.1 + 0.7)] + 0.04=100.2．用0至9这10个数字恰好组成一位数、两位数、三位数、四位数各一个（每个数字只能用一次），且这四个数两两互质．其中的四位数是2940，另外三个数可能是多少？3．学数学科学数数=⨯．在上面的算式中，每一个汉字代表一个数字，不同的汉字代表不同的数字．请问：“数学”所代表的两位数是多少？4．在等式“口△×△口×口O×◇△=口△口△口△”中，口、△、O 、◇分别代表不同的数字．四位数◇O 口△是多少？5．将1、2、3、4、5、6、7、8、9这9个数字分别填人下式的各个方框中，使等式成立：口口×口口=口口×口口口=3634.6．已知a 是一个自然数，A 、B 是1至9中的数字，最简分数差B A a 33.0222=．请问：a 是多少？7．把质数373按数位拆开（不变更各数之间的依次），只能得到3、7、37、73这四个数，它们仍旧都是质数，请找出全部具有这种性质的质数．8．在下面各题中，请你用给出的四个数，适当进行加、减、乘、除运算，每个数恰好用一次，使得计算结果等于24. (1)1，4，5，6； (2)1，5，5，5； (3)3，3，7，7； (4)3，3，8，8.9．把1至6填人下面的方框中，每个数字恰好运用一次，使得等式成立，请写出所有的答案． 口．口×口．口=口．口10．如图13-2所示，三角形纸片盖住的都是质数数字，正方形纸片盖住的都是合数数字，要使得两个加数的差尽可能小，较大的加数是多少？11．在下面两个算式中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字．花相似人不同代表的六位数是多少？ 花相似岁岁年年=⨯ 不同人年年年年÷=÷12．在图13-3所示的算式中，每个字母代表一个数字，不同的字母代表不同的数字．假如CHINA 代表的五位数能被24整除，那么这个五位数是多少？超越篇1．两个学生计算同一个乘法算式，两个乘数都是两位数，他们各抄错了一个数字，但计算结果都是1360.事实上正确结果的个位不是0，那么正确结果应当是多少？2．用0至9这10个数字组成一些质数（每个数字恰好用一次），这些质数的和最小是多少？3．已知b 13a.0A 是纯循环小数，将它写成最简分数后，使得分母最小．那么这个分数是多少？4．数学家维纳在博士毕业典礼上说：“我现在年龄的三次方是一个四位数，现在年龄的四次方是一个六位数，并且这两个数刚好包含数字0至9各一次，所以全部数字都得朝拜我，我将在数学领域干出一番大事业．”请问：他是几岁毕业的？5．一个四位数的每一位数字都是非零的偶数，它又恰好是某个偶数数字组成的数的平方，请问：这个四位数是多少？6．在图134所示算式的每个方框内填人一个数字，要求所填的数字都是质数，并使竖式成立． 答案：775×33＝255757．a 、b 、c 是三个互不相同的自然数，且满意cba ×7bc =bca ×abc ，求三位数abc8．已知算式234235286 = cab ×bca ×abc ，其中a > b > c ．后来发觉右边的乘积的数字依次出现错。
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余数问题
例1、有一整数，除300、262、205，得到相同的余数，问这个整数是多少？
例2、某个自然数被247除余63，被248除余63，求这个自然数被26除的余数。
例3、三个连续正整数，中间一个是完全平方数，将这样的三个连续正整数的积称为“美妙数”。
问所有小于2008的“美妙数”的最大公约数是多少？
例4、甲、乙两个自然数，它们的和被3除余1，它们的差能被3整除，求甲数被3除的余数。
例5、甲、乙、丙三数之和是100，甲数除以乙数或丙数除以甲数，得数都是商5余1，乙数是多少？
例6、将从1开始到103的连续奇数依次写成一个多位数：
a=13579111315171921…9799101103.则数a共有多少位？数a除以9的余数是多少？
例7、已知：a=19911991…1991（1991个1991）
问：a除以13所得余数是几？
例8、圆周上放置有7个空盒子，按顺时针方向依次编号为1、2、3、4、5、6、7.小明首先将第1枚白色棋子放入1号盒子，然后将第2枚白色棋子放入3号盒子，再将第3枚白色棋子放入6号盒子，……，放置了第了k-1枚白色棋子后，小明依顺时针方向向前数了k-1个盒子，并将第k枚白色棋子放在下一个盒子中放入了300枚红色棋子。
请回答：每个盒子各有多少枚白色棋子？每个盒子各有多少枚棋子？
2004天是星期几？
例9、今天是星期一，再过2004
例10、把由1开始的自然数依次写下来，直写到第201位为止，这个数除以3的余数是几？
例11、有一颗棋子放在图中的1号位置上，现按顺时针方向，第一次跳一步，跳到2号位置；第二次跳两步，跳到4号位置，第三次跳三步，又跳到1号位置……这样一直进行下去。
问：哪几号位置永远跳不到？
练习
1、小东在计算除法时，把除数87写成78，结果得到的商是54，余数是8，求正确的商和
余数。
2、智慧老师到小明的年级访问，小明说他们年级共一百多名同学，老人请同学们按三人一
行排队，结果多出一人，按五人一行排队，结果多出了二人，按七人一行排队，结果多出一人，老人说我知道你们年级的人数应该是多少人。
你知道小明的年级有多少人吗？
3、幼儿园有糖115颗，饼干148块，橘子74个，平均分给大班小朋友，结果糖多出7颗，
饼干多出4块，橘子多出2个。
问这个大班的小朋友最多有多少人？
4、试求一个四位数，它被131除的余数是112，倍132除的余数是98.
5、如果69、90、125被自然数N（N不等于1）除，所得余数相同，求81被N除的余数。
6、1×2×3×4×5×6×7×8×9×10除以11的余数是
7、自然数A被1981除的余数是35，被1982除的余数也是35，它被14除的余数是多少？
8、现有一堆糖块，它们不能被12个儿童平分，也不能被16个儿童或28个儿童平分，如果这堆糖块增加5块，则这堆糖块就能被以上三群儿童平分。
求这堆糖至少有多少块？
9、从和为55的10个不同的非零自然数中，取出3个数后，余下的数之和是55的7
11
，则
取出的三个数的积最大等于（）
A、280
B、270
C、252
D、216
10、2006×2006×……×2006（2008个2006）除以2007的余数是多少？
11、从401到1000的所有整数中，被8除余数是1的数有多少个？
12、有一张纸片，第一次将它撕成4小片，第二次将其中的一张又撕成4小片，以后每一次都将其中的一小张撕成更小的4小片，请问：
（1）撕了五次后，一共得到多少张纸片？
（2）能否撕成1994张纸片？
13、圆周上有83个空盒，顺时针依次编号为0、1、2、3、…、82，小明沿顺时针方向按如下规则向盒中放球：第一次在1号盒中放一个；二次隔一个盒子，在3号盒中放一个；第三次隔两个盒子，在6号盒中放一个；……；第k 次向前隔k-1个盒子，在下一个盒子中放入一个球。
如此共放了2005个球。
问：有球的盒子中哪个盒子中球数最少？它里面有多少个球？
14、123456789123456789++++++++除以3的余数是几？为什么？
15、把自然数如下图排列，问2020位于哪个字母下面？
A B C D E F G H I
1 2 3 4 5
9 8 7 6
10 11 12 13 14
18 17 16 15
19 20 …
16、某商场向顾客发放9999张购物券，每张购物券上印有一个四位数的号码，从0001到9999号。
如果号码的前两位数之和等于后两位数之和，则称这张购物券为“幸运券”，例如号码0734，因为0+7=3+4，所以这个号码的购物券是幸运券。
试说明，这个商场所发的购物券中，所有幸运券的号码之和能被101整除。