贵州省贵阳市2015届高三适应性监测考试数学文试题(二)及答案
贵阳一中2015届高考适应性试卷(二)数学(理)有答案下载
贵阳第一中学2015届高考适应性月考卷（二）理科数学参考答案第Ⅰ卷（选择题，共60分）3．命题,23x x p x ∀∈<：R 为假命题；命题32,1q x x x ∃∈=-：R 为真命题，∴p q ⌝∧为真命题，故选C ．4．由题知，这个几何体是圆柱，=S S S ∴+侧全底2113=2π2π1π222⎛⎫⎛⎫+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选B ．5．2ππππ1cos cos sin 36263⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ααα，故选C ．6．2522215C 1010T y x -+==⋅=，1(0)y x x ∴⋅=>，故选D ．7．由题知，40,320,432,x y x y x y x y ++>⎧⎪+->⎨⎪++>+-⎩即40,320,3,x y x y x ++>⎧⎪+->⎨⎪<⎩作出不等式组表示的平面区域如图1阴影部分所示，要x y -<λ恒成立，只需max ()x y -<λ即可．设z x y =-，则y x z =-．由图知当直线y x z =-经过点B 时，截距最小，此时z 最大．由40,3,x y x ++=⎧⎨=⎩解得(3,7)B -，10z x y =-=，但取不到，10∴≥λ，故选C ．8．()2f x x b '=+，=(1)23k f b '∴=+=切，1b ∴=．211111,()(1)1f n n n n n n n ∴===-+++ 图12014111111111(1)(2)(2014)22320142015S f f f ∴=++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+- 120141,20152015=-= 故选D ． 9．设(2cos ,2sin ),(1,0),(1,0),P M N -αα=(12cos ,2sin )PM ∴---αα，(12cos ,2sin )PN =--αα，2=(12cos )(12cos )4sin PM PN ∴⋅---+ααα2214cos 4sin 143,=-++=-+=αα故选A ． 10．OA OB OA OB +=-，∴以OA ，OB 为邻边的平行四边形为矩形，∴OA ⊥OB，所以AB =，∴圆心(0,0)到直线x y a +=a =2或−2，故选C ．11．把四面体ABCD 构补成一个长方体，如图2所示，设长方体的长，宽，高分别为x ，y ，z ，由22222241,34,25,x y x z y z ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩得22250x y z ++=，四面体ABCD 的外接球的直径等于长方体的对角线长， 2R ∴24π50πS R ==球，故选B ．12．构造函数3()2sin f x x x x =++，明显()f x 是奇函数，又2()32cos f x x x '=++> 0恒成立，∴函数()f x 在R 上是增函数. 3(1)(1)22sin(1)3f x x x x -=-+-+-=， 3(1)(1)22sin(1)3f y y y y -=-+-+-=-， (1)(1)0x y ∴-+-=，2x y ∴+=，故选B ．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）图25），（5，1），（5，3），（5，5），共有9种可能，∴mn 是奇数的概率为91364=，因此mn 是偶数的概率为13144-=． 14．由正弦定理得，sin sin c C b B=，tan 2sin cos 2sin 110tan cos sin sin A c A B CB b A B B ++=++=，cos sin sin cos 2sin cos 0A B A B C A ∴++=，即sin()2sin cos 0A B C A ++=， sin 2sin cos 0C C A ∴+=，sin 0C ≠，1cos 2A ∴=-，2π3A =. 15．根据题意，22,1,(),11,2, 1.x x f x x x x x +-⎧⎪=-<⎨⎪-+>⎩≤≤若函数()()g x f x m =-在R 上有且只有两个零点，即直线y m =与()y f x =有两个交点，故01m m <=或． 16．3517213215171211121168141861881412111211()()22()()22a a a a a a a a a a a a b b b b b b b b b b b b ++++++++===++++++++，而1211122221211122227221312235a a a a Sb b b b T ++⋅+====+++．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分12分） （Ⅰ）证明：121n n n a a a +=+，111111222n n n n a a a a ++∴==+⋅, 1111112n n a a +⎛⎫∴-=- ⎪⎝⎭，又123a =，11112a ∴-=，∴数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以12为首项，12为公比的等比数列．………………………………（6分） （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知111111222n nn a -⎛⎫-=⋅=⎪⎝⎭，即1112n n a =+，2n n n n n a ∴=+． 设231232222n nnT =++++，① 则231112122222n n n n nT +-=++++，② 由①-②得21111111111122112222222212n n n n n n n n n n T +++⎛⎫- ⎪⎝⎭=+++-=-=---，11222n n nn T -∴=--．又(1)1232n n n +++++=， ∴数列n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和2(1)222n n n n n S ++=-+．……………………………………（12分）18. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）记“这2人来自同一区域”为事件E ，那么22222010515250C C C C 2()C 7P E +++==， 所以这2人来自同一区域的概率是27．…………………………………………………（4分） （Ⅱ）随机变量X 可能取的值为0，1，2，且215235C 3(0)C 17P X ===，112015235C C 60(1)C 119P X ===，220235C 38(2)C 119P X ===，……………（8分） 所以X 的分布列为所以X 的数学期望为()012171191197E X =⨯+⨯+⨯=．…………………………（12分）19.（本小题满分12分）方法一：（Ⅰ）证明：如图3，设1AB 与1A B 相交于点P ，连接PD ，则P 为1AB 的中点，D 为AC 的中点，∴PD //1B C ．又PD ⊂平面1A BD ，∴1B C //平面1A BD ．……………………………………………（4分） （Ⅱ）解：1AA ⊥底面ABC ，∴AD 是1A D 在平面ABC 内的射影.又BD AC⊥，1A D BD ∴⊥，∴1A DA ∠就是二面角1A BD A --的平面角.在Rt △A 1AD 中，1AA 112AD AC ==, ∴11tan AA A DA AD ==∠，∴1π3A DA =∠, 即二面角1A BD A --的大小是π3．……………………………………………………（8分） （Ⅲ）解：如图3，由（Ⅱ）作1AM A D ⊥，M 为垂足. BD AC ⊥，平面11A ACC ⊥平面ABC ，平面11A ACC 平面ABC =AC ，图3∴直线1AB 与平面1A BD．…………………………………（12分） 方法二：（Ⅰ）同方法一．（Ⅱ）如图4建立空间直角坐标系， 则(0,0,0)D ，(1,0,0)A，1(1,0,A，(0,0)B，1(0,B ，∴1(1,A B =-，1(1,0,A D =-，设平面1A BD 的法向量为(,,)n x y z =，则110,0,n A B x n A D x ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩则有,0,x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩得(3,0,1)n =-，由题意知，1(0,0,AA =是平面ABD 的一个法向量．设n 与1AA 所成角为θ，则111cos 2n AA n AA ⋅==⋅θ，∴π3=θ， ∴二面角1A BD A --的大小是π3．……………………………………………………（8分） （Ⅲ）由已知，得1(1,AB =-，(3,0,1)n =-，设1AB 与平面1A BD 所成角为α，则1121sin n AB n AB ⋅==⋅α， ∴直线1AB 与平面1A BD ．……………………………………（12分） 图420.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）依题意，设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>．1PF ，12F F ，2PF 构成等差数列，121224PF PF F F ∴+==，而由椭圆定义，122PF PF a +=，24a ∴=，2a =． 又1c =，23b ∴=．∴椭圆C 的方程为22143x y +=．…………………………………………………………（4分） （Ⅱ）如图5，将直线l 的方程y kx m =+代入椭圆C 的方程223412x y +=中，得222(43)84120k x kmx m +++-=．……………………………………………………（5分） 由直线l 与椭圆C 仅有一个公共点知，2222644(43)(412)0k m k m ∆=-+-=， 化简得：2243m k =+．设11d F M =，22d F N ==，…………………………………………（8分）方法一：当0k ≠时，设直线l 的倾斜角为q ， 则12tan d d MN q -=⨯， 12d d MN k-∴=， 22121212221()221m d d d d S d d k k k --=+==+2281314m m m m ==-++，…………………………………………………………………（10分） 2243m k =+，∴当0k ≠时，m1m m +>S < 当0k =时，四边形12F MNF是矩形，S =所以四边形12F MNF 面积S的最大值为12分）方法二：222222212222()2(53)11m k k d d k k +++=+==++，222122233311m k k d d k k -+==++．MN ∴=．图5四边形12F MNF的面积12121())2S MN d d d d =+=+，………………………（10分） 2222121222211612(2)1(1)k S d d d d k k +=++=++ 2211642121k ⎛⎫=-- ⎪+⎝⎭≤． 当且仅当0k =时，212S =，S =，故max S = 所以四边形12F MNF 的面积S的最大值为．………………………………………（12分）（Ⅱ）2()()ln 2y f x g x x x x ax =+=-+-，则ln 21y x x a '=-++， 题意即为ln 210y x x a '=-++=有两个不同的实根1x ，212()x x x <， 即ln 21a x x =-+-有两个不同的实根1x ，212()x x x <， 等价于直线y =a 与函数()ln 21G x x x =-+-的图象有两个不同的交点．1()2G x x '=-+，()G x ∴在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， 所以， 当min 1()ln 22a G x G ⎛⎫>== ⎪⎝⎭时，1x ，2x 存在，且21x x -的值随着a 的增大而增大，而当21ln2x x -=时，由题意1122ln 210,ln 210,x x a x x a -++=⎧⎨-++=⎩ 两式相减可得2211ln 2()2ln 2x x x x =-=，214x x ∴=，代入方程21ln2x x -=可得2144ln 23x x ==， 此时2ln 2ln 2ln 133a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 所以，实数a 的取值范围为2ln 2ln 2ln 133a ⎛⎫>-- ⎪⎝⎭．…………………………………（12分） 22. （本小题满分10分）【选修4−1：几何证明选讲】 （Ⅰ）证明：AC ∥DE ，∴∠CDE=∠ACD. 又DE 切圆O 于点D ，∴∠CDE=∠CBD ，∴∠CBD=∠ACD ，而∠ACD=∠ABD ，∴∠ABD=∠CBD ，即BD 平分∠ABC ．………………………………………………（5分）（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知∠ABD=∠CBD ，又∠CBD=∠CAD ， ∴∠ABD=∠CAD ，又∠ADH 为公共角，∴△ABD ∽△HAD ，∴AH AD AB BD=. AB =4, A D =6, BD =8，∴AH =3．……………………………………………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（Ⅰ）由点M的极坐标为π4⎛⎫ ⎪⎝⎭，得点M 的直角坐标为（4，4）， 所以直线OM 的直角坐标方程为y x =．………………………………………………（5分）（Ⅱ）将曲线C的参数方程1,,x y ⎧=⎪⎨⎪⎩θθ（q 为参数），化成普通方程为：22(1)2x y -+=， 圆心为(1,0)A，半径为r ．………………………………………………………（8分） 由于点M 在曲线C 外，故点M 到曲线C上的点的距离的最大值为5MA r +=………………………（10分）。
贵阳市2015届高三适应性监测考试数学文科试题(二)及答案
贵阳市2015年高三适应性监测考试(二)文科数学一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1. 设全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}{}1,2,2,3,5A B ==，()U C A B ⋃=（ ）。
A. {}3,5 B. {}3,4,5 C. {}1,2,3,4 D. {}2,3,4,52. 设复数1z ai =+（a是正实数），且z ，则(1)z i +等于( ). A. 13i -+ B. 13i - C. 13i + D. 3i -+3. 若,x y R ∈，则x y >的一个充实不必要条件是（ ）。
A. x y > B. 22x y >>D. 33x y >4. 函数()sin()3f x x π=-的图像的一条对称轴方程为（ ）。
A.35 B. 35- C. 45D. 45- 5. 如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S 值等于（ ）。
A. 18B. 20C. 21D. 406. 函数3211()32f x x x a =-+仅一个零点，则a 的取值范围为（ ）。
A. 1(0,)6B. 1(,0)6-C. 1(,0)(,)6-∞⋃+∞D. 1(,)(0,)6-∞⋃+∞7.某几何体的三视图如图所示，且该几何体的所有棱中，则该几何体的所有棱中，最长的棱为（ ）。
A.C.48.若实数,x y 满足不等式组523010y x y x y ≤⎧⎪-+≤⎨⎪+-≥⎩的最大值是（ ）。
A. 1-B. 2-C. 1D. 29. 函数(0,1)x y a a a =>≠与b y x =的图像如图，则下列不等式一定成立的是（ ） A. 0a b > B. 0a b +> C. 1b a > D. log 2a b >10. 以双曲线222:1(0)3x y C a a -=>的一个焦点F 为圆心的圆与双曲线的渐近线相切，则该圆的面积为（ ）。
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图1贵阳第一中学2015届高考适应性月考卷（二）文科数学参考答案第Ⅰ卷（选择题，共60分）1．2{230}{13}A x x x x x x =--=-≥≤或≥，{23}A B x x x =<或≥，故选D. 2．由图可知：1i z =，22i z =-，则12i 12i 2i 55z z ==-+-，12z z =，故选C. 3．由题可知，B 、C 选项不是奇函数，A 选项3y x =单调递增（无极值），而D 选项既为奇函数又存在极值，故选D.4．由函数13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭和3log y x =的图象知，条件B ：“01x <<”⇒条件A ：“a b >”，而条件A ：“a b >”/⇒条件B ：“01x <<”，因此条件A ：“a b >”是条件B ：“01x <<”成立的必要不充分条件，故选B.5．如图1，在平面β内的直线若与α，β的交线a 平行，则m 与之垂直．但却不一定在β内有与m 平行的直线，只有当α⊥β时才存在，故选C ． 6．由||-m n ，得222||27-=+-⋅=m n m n mn ，可知，11cos 2⋅⋅=-〈〉==-m n m n m n m n ，则，. 又向量夹角[0,π]∈，故选D.7．对于选项可以逐个验证，当判断框中填写i ≥10？时，输出结果为S ＝1320； 当判断框中填写11?i ≥时，输出结果为S ＝132； 当判断框中填写11?i ≤时，输出结果为S ＝1；当判断框中填写12?i ≥时，输出结果为S ＝12，故选B ．8．作出函数()21f x x =-+的图象，设(2,1)A ，则由图象可得：1OA k k << ，得1,12k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故选B.10．()sin 2cos2f x x x =+π24x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，图象向右平移ϕ个单位后得：ππ()2()2244g x x x ⎡⎤⎛⎫=-+=-+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭ϕϕ，由于函数()g x 图象关于原点对称，所以，令π2π4k -+=ϕ，得ππ28k =-+ϕ，k ∈Z ．当0k =时，得ϕ的最小正值是π8，故选A.11．方法一：由a ∥b 得2sin 2cos =θθ，22sin cos cos =θθθ，由题设π02<<θ知cos 0>θ，所以2sin cos =θθ，即1tan 2q =，又π02<<θ得sin cos sin 2cos =+θθθθ故选A ．方法二：2222222sin 4sin cos 4cos (sin 2cos )sin 4sin cos 4cos sin cos +++=++=+θθθθθθθθθθθθ22tan 4tan 4=5tan 1++=+θθθ，故sin 2cos q q +A ．12．222()()a c b d MN -+-=，22()()a c b d ∴-+-的最小值即是2MN 的最小值，也即是求两图象上任意两点M ，N 间距离的最小值．函数23ln y x x =-+的定义域为(0+)∞，，32y x x'=-+，则000y x y x ''>⇒<<<⇒>， ∴函数在0,⎛ ⎝⎭上单调递增，在+⎫∞⎪⎪⎝⎭上单调递减，又max 322y =-+<，而函数2(0)y x x =+>的值域为2y >，故直线与曲线相离． 设直线12l y x =+：，直线l 2：与l 1平行且为曲线23ln y x x =-+的切线，min MN ∴即是直线l 1与l 2两条平行线间的距离．设切点0(,)x y 0，则0321x x y x x ='=-+=00，得=1x 0，故切点为(1,1)-，切线方程22l y x =-：， 则两条平行直线l 1与l 2间的距离为则22()()a c b d -+-的最小值2=8，故选B ．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）【解析】13．设鱼塘中大鱼数量的估计值为M ，有55080M=，从而估算出M =800（条）． 14．作出不等式组的可行域，如图3阴影部分所示，作直线20x y -=，并向左上，右下平移， 当直线过点A 时，2z x y =-取最大值； 当直线过点B 时，2z x y =-取最小值．由10,30x y x y -+=⎧⎨+-=⎩得B (1，2)，由0,30y x y =⎧⎨+-=⎩得A (3，0)．max 3203z ∴=-⨯=，min 1223z =-⨯=-，[3,3]z ∴∈-．15．由2sin 3sin A C =及正弦定理得23a c =，即32a c =．又14a c b -=，故2b c =．由余弦定理得2222223(2)12cos 32422c c c a c b B ac c c ⎛⎫+- ⎪+-⎝⎭===-⋅⋅． 16．11()()3AE AF AB BE AD DF AB BC AD DC ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭λ22111111333AB AD AD AB AB AB AD AD ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⋅+=++⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭λλλ 222111102212cos120213333⎛⎫=++︒+⋅=-= ⎪⎝⎭λλλ， 故2=λ．图3三、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设等比数列的公比为q ，有1314,(1)14(1)1a q a q q q=⎧⎪-⎨=≠⎪-⎩…………………………（2分）122q q ⇒==或，12n n a a q +>⇒=又，…………………………………………………（4分） 解得12a =，所以2n n a =．………………………………………………………………（6分） （Ⅱ）由（Ⅰ）知2log 2n n b n ==，有2n n n a b n +=+，………………………………（8分） 从而2(222)(12)n n T n =+++++++………………………………………………（9分）2(21)(1)212n n n -+=+-……………………………………………………………………（11分） 1(1)222n n n ++=+-．……………………………………………………………………（12分）18. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）用分层抽样的方法在35～50岁中抽取一个容量为5的样本， 设抽取学历为本科的人数为m ，则3050＝5m，解得m ＝3．…………………………（2分） ∴抽取了学历为研究生的2人，学历为本科的3人，分别记作S 1、S 2；B 1、B 2、B 3．从中任取2人的所有基本事件共10个：(S 1，B 1)，(S 1，B 2)，(S 1，B 3)，(S 2，B 1)，(S 2，B 2)，(S 2，B 3)，(S 1，S 2)，(B 1，B 2)，(B 2，B 3)，(B 1，B 3)．…………………………………（4分） 其中至少有1人的学历为研究生的基本事件有7个：(S 1，B 1)，(S 1，B 2)，(S 1，B 3)，(S 2，B 1)，(S 2，B 2)，(S 2，B 3)，(S 1，S 2)．……………………………………………………（5分）∴从中任取2人，至少有1人的教育程度为研究生的概率为710．…………………（6分） （Ⅱ）由K 2＝2()()()()()n ad bc a b c d a c b d -++++算得，K 2＝2120(50243016) 5.45566548040⨯⨯-⨯≈⨯⨯⨯，…………………………………………………（8分）又5.455 3.841>，………………………………………………………………………（10分）则有95%的可能性认为“爱好这项运动与学历有关”．故在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为爱好该项运动与学历有关系．………（12分） 19. （本小题满分12分）（Ⅰ）证明：因为几何体是正方体1111ABCD A B C D -截去三棱锥111B A BC -后所得， 1111111111111124DA DC DM AC A M C M BA BC AC MBD BM AC A M C M DMBM M⎫=⎫⇒⊥⎬⎪=⎭⎪⎪=⎫⎪⇒⊥⇒⊥⎬⎬=⎪⎭⎪ ⎪⎪ =⎭（分）平面（分）．………………………（6分）（Ⅱ）解：由题意知BD =M 到BD7分） 则△MBD的面积为12MBD S =△………………………………………（9分）由（Ⅰ）知11AC ⊥平面MBD ，所以1111111133D A BC A BDM C BDM BDM BDM V V V S A M S C M ---=+=⨯+⨯△△……………………（11分）111133MBD S AC =⋅=△…………………………………………………（12分） 20.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）1()f x x b x'=+-，……………………………………………………………（2分）由曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线的斜率为0，得(1)0f '=，……………………（3分）即110b +-=，2b =．……………………………………………………………………（4分）（Ⅱ）由2b =，得21()ln 2,2f x x x x =+-[1,)x ∈+∞，令21()()(21)()ln 2a F x af x a g x a x x x -=+-=+-， 2(1)(1)[(1)]()(1)1a a x x a x a x a F x a x x x x--+---'=+--==．………………………（6分） 令()0F x '=，得11x =，21ax a=-.②当112a <<时，11a a>-，2min(())ln112(1)11a a a a a F x F a a a a a a ⎛⎫==++> ⎪-----⎝⎭不合题意，无解．…………（10分） ③当1a >时， 1(1)21a aF a --=<-，符合题意．……………………………………（11分） 综上，a 的取值范围是(1,1)(1,)+∞．…………………………………（12分）21.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设椭圆C 的方程为22x a +22y b＝1(a ＞b ＞0)，由题意得1,2,12226c e a c a a c ⎧==⎪⇒==⎨⎪+=⎩，…………………………………………………（2分）解得a 2＝4，b 2＝3．………………………………………………………………………（3分）故椭圆C 的方程为24x ＋23y ＝1．………………………………………………………（4分）（Ⅱ）假设存在直线l ，且由题意得斜率存在，则过P 点的直线方程l ：y ＝k (x －2)＋1，………………………………………………………………………………………（5分） 代入椭圆C 的方程得，222(34)8(21)161680k x k k x k k +--+--=．因为直线l 与椭圆C 相交于不同的两点A ，B ，设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，所以222[8(21)]4(34)(16168)k k k k k ∆=---+--96(21)0k =+>，所以12k >-．………………………………………………………（6分） x 1＋x 2＝28(21)34k k k -+，21221616834k k x x k --=+．…………………………………………（8分） 又因为2PA PB PM ⋅=， 即12125(2)(2)(1)(1)4x x y y --+--=， 所以2125(2)(2)(1)4x x k --+=． 即212125[2()4](1)4x x x x k -+++=．……………………………………………………（9分） 所以222222161688(21)44524(1)3434344k k k k k k k k k ⎡⎤---+-⋅++==⎢⎥+++⎣⎦， 解得k ＝±12．……………………………………………………………………………（10分） 因为12k >-，故12k =．………………………………………………………………（11分） 所以存在直线20l x y -=：满足题意．…………………………………………………（12分）22. （本小题满分10分）【选修4−1：几何证明选讲】 （Ⅰ）证明：AC ∥DE ，∴∠CDE=∠ACD. 又DE 切圆O 于点D ，∴∠CDE=∠CBD ，∴∠CBD=∠ACD ，而∠ACD=∠ABD ，∴∠ABD=∠CBD ，即BD 平分∠ABC.…………………………………………………（5分）（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知∠ABD=∠CBD ，又∠CBD=∠CAD ，∴∠ABD=∠CAD ，又∠ADH 为公共角，∴△ABD ∽△HAD ，∴AH AD AB BD=. AB =4, AD =6, BD =8，∴AH =3．……………………………………………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（Ⅰ）由点M的极坐标为π4⎛⎫⎪⎝⎭，得点M的直角坐标为（4，4），………（2分）所以直线OM的直角坐标方程为y x=．………………………………………………（5分）（Ⅱ）将曲线C的参数方程1,,xy⎧=⎪⎨⎪⎩θθ（q为参数），化成普通方程为：22(1)2x y-+=，圆心为(1,0)A，半径为r．………………………………………………………（8分）由于点M在曲线C外，故点M到曲线C上的点的距离的最大值为5MA r+=………………………（10分）。
2015届数学适应性答案
高三年级（文）考试数学参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．二．填空题：本大题共7小题，第9至12题每小题6分，第13至15题每小题4分，共36分．9． 2p ； 2 ； 2,3x x k k Z pp 禳镲=+?睚镲铪10． 0 ； (1,)-+?11． 3 ； 14-12． [2,0)-； ([2,22)--13． (8,0]-1415． 2或3三．解答题：本大题共4小题，共52分，解题应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16、（本小题满分15分） 解：（1）x x x f 2sin 3cos 2)(2+=⋅=1)62sin(212cos 2sin 3++=++=πx x x ……4分∴函数)(x f 的最小正周期ππ==22T ……5分 令Z k k x k ∈+≤+≤+,2236222πππππ，解得Z k k x k ∈+≤≤+,326ππππ ∴函数)(x f 的单调递减区间是Z k k k ∈++,]32,6[ππππ ……7分（2）由2)(=A f ，得21)62sin(2=++πA ，即21)62sin(=+πA在△ABC 中，∵π<<A 0，∴6562ππ=+A ，得3π=A ……9分又∵2323121sin 21=⨯⨯⨯==∆c A bc S ABC ，∴2=c ∴由余弦定理得：3cos 2222=-+=A bc c b a ，∴3=a ……13分BAPDCOH由233sin sin sin ===AaC c B b ，得B b sin 2=，C c sin 2=∴2sin sin =++CB cb ……15分17、（本小题满分15分）解：（1）取BD 的中点O ，连接CO ，则BD CO ⊥． ………………1分又∵平面DBC ⊥平面ABD ，平面DBC平面ABD BD =，∴⊥CO 平面ABD ． …………………………3分 而AP ⊥平面ABD ，∴PA CO //． ……………………4分 又∵CO 在平面DBC 内，PA DBC ⊄平面∴//PA 平面DBC ． …7分 （2）∵PA CO //，∴OAPC 四点共面．连接AO 并延长交PD 延长线为H ．∵平面DBC ⊥平面ABD ，平面DBC平面ABD BD =，BD AH ⊥，∴AH ⊥平面BCD ，∴直线CO 即直线PH 在平面BCD 内的射影． ∴HCO ∠即直线PH 平面BCD 所成的角． ………10分∵PA OC 21=，∴PAH OC ∆是的中位线． ∴OH OA ==又∵3=OC ，∴ 1tan =∠HCO ∴︒=∠45HCO ………………13分因此直线PC 与平面DBC 所成角为45 ………………15分 18、（本小题满分15分）解：（1）41)21)(21(,211=-+∴-=+n n n n b b a b 0212111=--∴++n n n n b b b b2111-=-∴+nn b b …………6分（2）由（1）知221,22)2)(1(111+-=∴--=--+=n b n n b b n n ……8分 )1(2)1(212121+=+-=+=∴n n n b a n n …………10分 由于)2(11)2()1()1(2)2(2121++=++=+⋅++=+k k k k k k k k k a a k k)211(211+-+=k k …………13分于是)2114121311(2112312+-++-+-+=++++n n n a a a a a a n n 11113(1)22124n n n n =++--<+++…………15分19、（本小题满分14分）解：(1)设点(,)P x y 是()y g x =图象上任一点，则点P 关于y 轴的对称点(,)Q x y -在()y f x =的图象，即1()2x y f x x-=-=--11()2xg x x \=-- …………………………6分(2) 由已知()F x 为偶函数，且在(0,)+?上单调递减 …………………………8分 故原不等式可化为2()(2)F ax F x ≥+，即22ax x ≤+对任意的0x >恒成立 …10分即222x a x xx+?+ …………………………12分所以a £[a ? ………………………14分 20、（本小题满分15分）解：(1)设Q (x 0，4)，代入y 2＝2px ，得x 0＝8p，所以|PQ |＝8p ，|QF |＝p 2＋x 0＝p 2＋8p.由题设得p 2＋8p ＝54×8p，解得p ＝－2(舍去)或p ＝2，所以C 的方程为y 2＝4x . …………4分 (2)依题意知l 与坐标轴不垂直，故可设l 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)． 代入y 2＝4x ，得y 2－4my －4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4. 故线段AB 的中点为D (2m 2＋1，2m )，|AB |＝m 2＋1|y 1－y 2|＝4(m 2＋1)． …………7分又直线l ′的斜率为－m ，所以l ′的方程为x ＝－1m y ＋2m 2＋3.将上式代入y 2＝4x ，并整理得y 2＋4m y －4(2m 2＋3)＝0.设M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)，则y 3＋y 4＝－4m ，y 3y 4＝－4(2m 2＋3)．故线段MN 的中点为E ⎝⎛⎭⎫2m2＋2m 2＋3，－2m ，|MN |＝1＋1m 2|y 3－y 4|＝4（m 2＋1）2m 2＋1m 2. …………10分 由于线段MN 垂直平分线段AB ，故A ，M ，B ，N 四点在同一圆上等价于|AE |＝|BE |＝12|MN |，从而14|AB |2＋|DE |2＝14|MN |2，即 …………12分 4(m 2＋1)2＋⎝⎛⎭⎫2m ＋2m 2＋⎝⎛⎭⎫2m 2＋22＝ 4（m 2＋1）2（2m 2＋1）m 4，化简得m 2－1＝0，解得m ＝1或m ＝－1. …………14分 所求直线l 的方程为x －y －1＝0或x ＋y －1＝0. …………15分。
2015贵阳市数学(理科)二模答案
ｎ ｎ １ １ １ ｎ ｎ ｎ －１ ｎ ｎ －１ ｎ ｎ －１ ｎ －１ ３ｎ － ２ ｎ １ ｎ ３ｎ － ２ ｎ ２ ｎ ２ ｎ ｎ ｎ ＋１ ｎ ｎ ｎ １ ２ ｎ １ ２ ３ ｎ ｎ １ ２ ｎ ２ ３ ｎ ｎ ＋１ ｎ ｎ －１ ２ ３ ｎ ｎ ＋１ ｎ ＋１ ｎ ｎ ＋１ ｎ ＋１ ｎ
非重度污染 供暖季 非供暖季 合计
２
重度污染
２２ ６３ ８５
２
合计
８ ７ １５
２
３０ ７０ １００
１００ ( ６３ × ８ － ２２ × ７ ) ( ａｄ － ｂｃ ) 则 Ｋ ＝ ( ａ ＋ ｂ ) ( ｎｃ ＋ ＝ ４ ． ５７５ ＞ ３ ． ８４１ ＝ ｄ) ( ａ ＋ ｃ) ( ｂ ＋ ｄ) ８５ × １５ × ３０ × ７０ 所以有 ９５％ 的把握认为 Ａ 市本年度空气重度污染与供暖有关． …………………………１２ 分 （ 证明： 因为 ＡＢ 是直径， 所以 ＢＣ⊥ＡＣ １９ ． 解： Ⅰ） 因为 ＣＤ⊥平面 ＡＢＣ， 所以 ＣＤ⊥ＢＣ， 所以 ＢＣ⊥平面 ＡＣＤ 因为 ＣＤ∩ＡＣ ＝ Ｃ， 因为 ＣＤ ／ ／ ＢＥ，ＣＤ ＝ ＢＥ， 所以 ＢＣＤＥ 是平行四边形， 所以 ＤＥ⊥平面 ＡＣＤ ＢＣ ／ ／ ＤＥ ， 因为 ＤＥ平面 ＡＤＥ， 所以平面 ＡＤＥ⊥平面 ＡＣＤ………………………………６ 分 （ 因为 ＤＣ ＝ ＥＢ ＝ １， ＡＢ ＝ ４ ， Ⅱ） １ １ × ＤＥ ＝ × × ＡＣ × ＣＤ × ＤＥ ×Ｓ 由（ 知Ｖ ＝Ｖ ＝ １ Ⅰ） ３ ３ ２
２ ２ ｔ ＋２ ｔ ＋２ ２ ｔ ０ １ ２ ｎ －１ ｎ ｎ
Δ ＰＡＢ ∽Δ ＰＣＡ
， 即 ＡＢ·ＰＣ ＝ ＰＡ·ＡＣ……………………５ 分 ∵ ＰＡ 为圆 Ｏ 的切线， ＢＣ 是割线， ∴ ＰＡ ＝ ＰＢ ·ＰＣ ， （ 解： Ⅱ） 又 ＰＡ ＝ ２， ＰＢ ＝ １ ， ∴ ＰＣ ＝ ４ ，ＢＣ ＝ ３ ＰＡ １ ＝ ＝ ， 又由（ 知ＡＢ 且 ＢＣ 是过点 Ｏ 的直径， Ⅰ） ＡＣ ＰＣ ２ ３ ６ ＡＢ ＋ ＡＣ ＝ ＢＣ ＝ ９ ， ＡＢ ＝ ， ＡＣ ＝ ， ５ ５ 槡 槡 ＡＤ 则∠ＣＡＥ ＝ ∠ＥＡＢ， 则ＡＢ 连接 ＥＣ， ＝ ， ∠ＡＥＣ ＝ ∠ＡＢＤ， ΔＡＣＥ ∽ΔＡＤＢ ， ＡＥ ＡＣ ６ １８ ３ ∴ ＡＤ·ＡＥ ＝ ＡＢ ·ＡＣ ＝ × ＝ ． ………………………………１０ 分 ５ 槡 ５ ５ 槡 π （ 由 ρ ＝４ 槡 得， ２３ ． 解： ２ｃｏｓ（ Ⅰ） θ＋ ） ρ ＝ ４ｃｏｓθ － ４ｓｉｎθ， ４ 所以 ρ ＝ ＝ ４ｃｏｓθ － ４ｓｉｎθ， ∴ ｘ ＋ ｙ ＝ ４ ｘ － ４ ｙ， 即圆 Ｃ 的直角坐标系方程为： （ ｘ － ２） ＋ （ ｙ ＋ ２ ） ＝ ８ ……………………………５ 分 ２ ｘ ＝ ２ ＋ 槡ｔ ２ （ 设 Ａ， 与圆的方程联立得 Ｂ 两点对应的参数为 ｔ ， ｔ ， Ⅱ） ２ 槡 ｙ ＝ ｔ ２ 所以 ｔ ＋ ｔ ＝ － ２ 槡 根据参数 ｔ 的意义可知： ｔ ＋２ 槡 ２ｔ － ４ ＝ ０， ２， ｔ ｔ ＝ － ４ ＜ ０， （ ｔ ＋ ｔ ） － ４ｔ ｔ 槡 ｜ｔ ｜ ＋ ｜ｔ ｜ ｜ｔ －ｔ ｜ 槡 １ １ １ １ ６ ＋ ＝ ＝ ＝ ＝ ＋ ＝ ｔ ｔ ｜ｔ ｔ ｜ ｜ｔ ｔ ｜ ｜ｔ ｔ ｜ ２ ｜ ＰＡ ｜ ｜ ＰＢ ｜ ………………………………１０ 分 （ 不等式 ｜ ｘ － １ ｜ ≤２ 的解集为｛ ， 所以不等式 ｘ － ａｘ － ｂ≤０ 的解集为 ２４ ． 解： ｘ ｜ － １ ≤ｘ≤３ ｝ Ⅰ） ｛ ｘ ｜ － １ ≤ｘ≤３ ｝ ∴ ａ ＝ － １ ＋ ３ ＝ ２， ｂ ＝ － （－ １ × ３ ）＝ ３ ……………………………５ 分 ， （ 由（ 知函数 ｆ（ ｘ）＝ ２ 槡 ｘ ＋３ 槡 １ － ｘ， Ⅱ） Ⅰ） ［ ］＝（ （ （ ｆ（ ｘ） ２槡 ｘ ＋３ 槡 １ － ｘ ）≤（ ２ ＋３ ） ｘ） ＋ （ 槡 槡１ － ｘ））＝ １３ ｘ ４ ＝ 槡 ， ｘ＝ ， 当且仅当 ２ 取“＝ ” ， ３ １３ 槡１ － ｘ ４ 所以当 ｘ ＝ １３ ， ｆ（ ｘ） ＝ 槡 １３ ． ………………………………１０ 分
2015年贵州省贵阳市高考数学二模试卷(文科)(解析版)
2015年贵州省贵阳市高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，2}，B＝{2，3，5}，（∁U A）∪B＝（）A．{3，5}B．{3，4，5}C．{1，2，3，4}D．{2，3，4，5} 2．（5分）设复数z＝1+ai（a是正实数），且，则z（1+i）等于（）A．﹣1+3i B．1﹣3i C．1+3i D．﹣3+i3．（5分）若x，y∈R，则x＞y的一个充分不必要条件是（）A．|x|＞|y|B．x2＞y2C．D．x3＞y34．（5分）函数的图象的一条对称轴方程为（）A．B．﹣C．D．5．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S的值等于（）A．18B．20C．21D．406．（5分）函数f（x）＝+a仅一个零点，则a的取值范围为（）A．B．C．D．7．（5分）某几何体的三视图如图所示，且该几何体的所有棱中，则该几何体的所有棱中，最长的棱为（）A．B．C．D．48．（5分）若实数x，y满足不等式组，则z＝x+2y的最大值是（）A．10B．11C．13D．149．（5分）函数y＝a x（a＞0，a≠1）与y＝x b的图象如图，则下列不等式一定成立的是（）A．b a＞0B．a+b＞0C．a b＞1D．log a2＞b 10．（5分）以双曲线C：＝1（a＞0）的一个焦点F为圆心的圆与双曲线的渐近线相切，则该圆的面积为（）A．πB．3πC．6πD．9π11．（5分）A、B是半径为2的圆O上的两点，M是弦AB上的动点，若△AOB为直角三角形，则•的最小值为（）A．﹣1B．﹣C．0D．212．（5分）已知函数，下列结论错误的是（）A．函数f（x）的图象关于原点对称，函数g（x）的图象关于y轴对称B．在同一坐标系中，函数f（x）的图象在函数g（x）的图象的下方C．函数g（x）的值域是[1，+∞）D．g（2x）＝2f（x）g（x）在（﹣∞，+∞）恒成立二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）数组1，2，3，4，a的平均数是2，则它的方差是．14．（5分）已知，则sin2α的值等于．15．（5分）球O与一圆柱的侧面和上下底面都相切，则球O的表面积与该圆柱的表面积的比值为．16．（5分）如图，在△ABC中，∠B＝45°，D是BC边上的一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，则AB的长为．三、解答题（本大题共6题，共75分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，S7＝70，且a1，a2，a6成等比数列（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝，求数列{b n}的前n项和T n．18．（12分）市积极倡导学生课外读优秀书籍活动，从参加此活动同学中，抽取60名同学在2015年3月读书活动月的课外读书时间（分钟，均成整数）分成[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100）六组后，得到频率分布直方图（如图），回答下列问题．（Ⅰ）从频率分布直方图中，估计本次课外课优秀书籍活动时间的中位数；（Ⅱ）若从第1组和第6组两组学生中，随机抽取2人，求所抽取2人课外读书时间之差的绝对值大于10（分钟）的概率．19．（12分）如图M是棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱DD1的中点．（1）证明：AC1⊥CD1；（2）求A1到平面AC1M的距离．20．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左右焦点分别为，F1和F2，上顶点为B，BF2，延长线交椭圆于点A，△ABF的周长为8，且＝0．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l⊥AB且与椭圆C相交于两点P，Q，求|PQ|的最大值．21．（12分）已知函数f（x）＝ax+b﹣lnx表示的曲线在点（2，f（2））处的切线方程x﹣2y ﹣2ln2＝0．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若f（x）≥kx﹣2对于x∈（0，+∞）恒成立，求实数k的取值范围．选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图所示，P A为圆O的切线，A为切点，PO交圆O于B，C两点，P A＝2，PB＝1，∠BAC的角平分线与BC和圆O分别交于点D和E．（Ⅰ）求证：AB•PC＝P A•AC；（Ⅱ）求AD•AE的值．选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t为参数），以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，圆C的极坐标方程为（Ⅰ）将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l与圆C交于A，B两点，点P的坐标为（2，0），试求的值．选修4-5：不等式选讲24．设不等式|x﹣1|≤2与关于x的不等式x2﹣ax﹣b≤0的解集相同．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求函数的最大值，以及取得最大值时x的值．2015年贵州省贵阳市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，2}，B＝{2，3，5}，（∁U A）∪B＝（）A．{3，5}B．{3，4，5}C．{1，2，3，4}D．{2，3，4，5}【解答】解：全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，2}，则∁U A＝{3，4，5}，又由B＝{2，3，5}，则（∁U A）∪B＝{2，3，4，5}；故选：D．2．（5分）设复数z＝1+ai（a是正实数），且，则z（1+i）等于（）A．﹣1+3i B．1﹣3i C．1+3i D．﹣3+i【解答】解：∵复数z＝1+ai（a是正实数），且，∴，解得a＝2．则z（1+i）＝（1+2i）（1+i）＝﹣1+3i．故选：A．3．（5分）若x，y∈R，则x＞y的一个充分不必要条件是（）A．|x|＞|y|B．x2＞y2C．D．x3＞y3【解答】解：由|x|＞|y|，x2＞y2，推不出x＞y，而x3＞y3⇔x＞y，只有⇒x＞y，反之不成立．因此x＞y的一个充分不必要条件是，故选：C．4．（5分）函数的图象的一条对称轴方程为（）A．B．﹣C．D．【解答】解：对于函数，令x﹣＝kπ+，k∈z，求得x＝kπ+，k∈z，即函数的图象的对称轴方程为x＝kπ+，k∈z，当k＝0时，对称轴方程为x＝，故选：D．5．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S的值等于（）A．18B．20C．21D．40【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S＝21+22+…+2n+1+2+…+n的值，∵S＝21+22+1+2＝2+4+1+2＝9＜15，S＝21+22+23+1+2+3＝2+4+8+1+2+3＝20≥15．∴输出S＝20．故选：B．6．（5分）函数f（x）＝+a仅一个零点，则a的取值范围为（）A．B．C．D．【解答】解：函数f（x）＝+a，则f′（x）＝x2﹣x，令x2﹣x＝0，可得x＝1或x＝0，x∈（﹣∞，0），函数f（x）＝+a是增函数，x∈（0，1）时函数是减函数，x∈（1，+∞）是增函数．f（0）是极大值，f（1）是极小值，函数f（x）＝+a仅一个零点，则f（0）＜0或f（1）＞0，可得a＜0，或即a＞．故选：C．7．（5分）某几何体的三视图如图所示，且该几何体的所有棱中，则该几何体的所有棱中，最长的棱为（）A．B．C．D．4【解答】解：根据三视图判断几何体为四棱锥，其直观图如图：AB＝AD＝2，BC＝1，AB ⊥BC，AB⊥AD，AC＝，V＝××2×x＝3⇒x＝3．P A＝x＝3，AC＞AD＝AB，∴PC最长，PC＝＝．故选：A．8．（5分）若实数x，y满足不等式组，则z＝x+2y的最大值是（）A．10B．11C．13D．14【解答】解：作出不等式对应的平面区域，由z＝x+2y，得y＝﹣，平移直线y＝﹣，由图象可知当直线y＝﹣经过点B时，直线y＝﹣的截距最大，此时z最大．由，得，即B（1，5），此时z的最大值为z＝1+2×5＝1+10＝11，故选：B．9．（5分）函数y＝a x（a＞0，a≠1）与y＝x b的图象如图，则下列不等式一定成立的是（）A．b a＞0B．a+b＞0C．a b＞1D．log a2＞b【解答】解：由图象可知，a＞1，b＜0；故log a2＞0，故log a2＞b；故选：D．10．（5分）以双曲线C：＝1（a＞0）的一个焦点F为圆心的圆与双曲线的渐近线相切，则该圆的面积为（）A．πB．3πC．6πD．9π【解答】解：由题意双曲线C：＝1，知圆的半径等于右焦点（c，0）到其中一条渐近线y＝x的距离，根据点到直线的距离公式得：R＝＝．解得a2＝3，圆的面积为：（）2π＝3π故选：B．11．（5分）A、B是半径为2的圆O上的两点，M是弦AB上的动点，若△AOB为直角三角形，则•的最小值为（）A．﹣1B．﹣C．0D．2【解答】解：如图，根据条件知OA⊥OB，∠OAB＝45°；∴＝＝﹣；∴||＝时，取最小值﹣．故选：B．12．（5分）已知函数，下列结论错误的是（）A．函数f（x）的图象关于原点对称，函数g（x）的图象关于y轴对称B．在同一坐标系中，函数f（x）的图象在函数g（x）的图象的下方C．函数g（x）的值域是[1，+∞）D．g（2x）＝2f（x）g（x）在（﹣∞，+∞）恒成立【解答】解：对于A，∵f（﹣x）＝＝﹣＝﹣f（x），∴函数f（x）是奇函数，图象关于原点对称，同理，g（x）是偶函数，图象关于y轴对称，∴A正确；对于B，∵f（x）﹣g（x）＝﹣＝﹣2﹣x＜0∴f（x）的图象在g（x）的图象下方，B正确；对于C，∵g（x）＝≥＝1，当且仅当x＝0时取“＝”，∴g（x）的值域是[1，+∞），C正确；对于D，∵g（2x）＝，2f（x）g（x）＝2••＝，∴只有当x＝0时，g（2x）＝2f（x）g（x），D错误．故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）数组1，2，3，4，a的平均数是2，则它的方差是2．【解答】解：∵5个数1，2，3，4，a的平均数是2，∴＝2，∴a＝0，∴这组数据的方差是（1+0+1+4+4）＝2，故答案为：2．14．（5分）已知，则sin2α的值等于．【解答】解：∵＝，解得tanα＝2．则sin2α＝＝＝．故答案为：．15．（5分）球O与一圆柱的侧面和上下底面都相切，则球O的表面积与该圆柱的表面积的比值为．【解答】解：球O与一圆柱的侧面和上下底面都相切，设球的半径为r，则球的表面积为：4πr2，圆柱的表面积为：2πr2+2πr×2r＝6πr2．则球O的表面积与该圆柱的表面积的比值为：＝．故答案为：．16．（5分）如图，在△ABC中，∠B＝45°，D是BC边上的一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，则AB的长为．【解答】解：在△ADC中，AD＝5，AC＝7，DC＝3，由余弦定理得cos∠ADC＝＝﹣，∴∠ADC＝120°，∠ADB＝60°在△ABD中，AD＝5，∠B＝45°，∠ADB＝60°，由正弦定理得，∴AB＝故答案为：．三、解答题（本大题共6题，共75分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，S7＝70，且a1，a2，a6成等比数列（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（I）设等差数列{a n}的公差为d≠0，∵S7＝70，且a1，a2，a6成等比数列，∴，即，又d≠0，解得，∴a n＝1+3（n﹣1）＝3n﹣2．（II）由（I）可得：S n＝＝．b n＝＝＝，∴数列{b n}的前n项和T n＝+…+＝1﹣＝．18．（12分）市积极倡导学生课外读优秀书籍活动，从参加此活动同学中，抽取60名同学在2015年3月读书活动月的课外读书时间（分钟，均成整数）分成[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100）六组后，得到频率分布直方图（如图），回答下列问题．（Ⅰ）从频率分布直方图中，估计本次课外课优秀书籍活动时间的中位数；（Ⅱ）若从第1组和第6组两组学生中，随机抽取2人，求所抽取2人课外读书时间之差的绝对值大于10（分钟）的概率．【解答】解：（I）由频率频率分布直方图知前三组的频率之和为0.1+0.15+0.15＝0.4，∴中位数在第四组，设中位数为70+x，则0.4+0.030×x＝0.5⇒x＝，∴数据的中位数为70+＝，（Ⅱ）第1组有60×0.1＝6人（设为1，2，3，4，5，6）第6组有60×0.05＝3人（设为A，B，C）从9人中任取2人有＝36种方法；其中抽取2人成绩之差的绝对值大于10的抽法是从第1组与第6组各抽取1人，抽法有＝18种，∴抽取2人成绩之差的绝对值大于10的概率为．19．（12分）如图M是棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱DD1的中点．（1）证明：AC1⊥CD1；（2）求A1到平面AC1M的距离．【解答】解：（1）连结C1D，由正方体ABCD﹣A1B1C1D1的性质可得：CD1⊥C1D，且AD ⊥平面DCC1D1，又CD1⊂平面DCC1D1，CD1⊥AD，又DC1∩AD＝D，∴CD1⊥平面ADC1，AC1⊂平面ADC1，∴AC1⊥CD1；（2）连结A1C1，A1M，因为M是棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱DD1的中点，所以AM＝C 1M＝，AC1＝2，则．又，设A1到平面AC1M的距离为d，由，可得，所以d＝．20．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左右焦点分别为，F1和F2，上顶点为B，BF2，延长线交椭圆于点A，△ABF的周长为8，且＝0．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l⊥AB且与椭圆C相交于两点P，Q，求|PQ|的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由椭圆定义可得△ABF1的周长为4a，即有4a＝8，解得a＝2，由B（0，b），F1（﹣c，0），F2（c，0），＝（﹣c，﹣b），＝（c，﹣b），且＝0，则﹣c2+b2＝0，即为b＝c，又b2+c2＝a2＝4，解得b＝c＝，则椭圆的方程为+＝1；（Ⅱ）由B（0，），F2（，0），可得直线AB的斜率为﹣1，由l⊥AB，可得直线l的斜率为1，设直线l的方程为y＝x+t，代入椭圆方程，可得3x2+4tx+2t2﹣4＝0，由判别式大于0，即16t2﹣12（2t2﹣4）＞0，解得﹣＜t＜．设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2＝﹣t，x1x2＝，|PQ|＝•＝•＝，当t＝0时，|PQ|取得最大值，且为．则有|PQ|的最大值为．21．（12分）已知函数f（x）＝ax+b﹣lnx表示的曲线在点（2，f（2））处的切线方程x﹣2y ﹣2ln2＝0．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若f（x）≥kx﹣2对于x∈（0，+∞）恒成立，求实数k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）＝ax+b﹣lnx的导数为f′（x）＝a﹣，在点（2，f（2））处的切线方程x﹣2y﹣2ln2＝0，即有a﹣＝，解得a＝1，f（2）＝2a+b﹣ln2＝1﹣ln2，解得b＝﹣1，则有a＝1，b＝﹣1；（Ⅱ）f（x）≥kx﹣2对于x∈（0，+∞）恒成立，即有x﹣1﹣lnx≥kx﹣2对于x∈（0，+∞）恒成立，即有k﹣1≤对于x∈（0，+∞）恒成立．令g（x）＝，g′（x）＝，当x＞e2时，g′（x）＞0，g（x）递增；当0＜x＜e2时，g′（x）＜0，g（x）递减．则x＝e2处g（x）取得极小值，也为最小值，且为﹣，即有k﹣1≤﹣，解得k≤1﹣．选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图所示，P A为圆O的切线，A为切点，PO交圆O于B，C两点，P A＝2，PB＝1，∠BAC的角平分线与BC和圆O分别交于点D和E．（Ⅰ）求证：AB•PC＝P A•AC；（Ⅱ）求AD•AE的值．【解答】（Ⅰ）证明：∵P A为圆O的切线，∴∠P AB＝∠ACP，又∠P为公共角∴△P AB∽△PCA，∴，∴AB•PC＝P A•AC．…（4分）（Ⅱ）解：∵P A为圆O的切线，BC是过点O的割线，∴P A2＝PB•PC，∴PC＝4，BC＝3，又∵∠CAB＝90°，∴AC2+AB2＝BC2＝9，又由（Ⅰ）知＝，∴AC＝，AB＝，连接EC，则∠CAE＝∠EAB，∠AEC＝∠ABD∴△ACE∽△ADB，∴，∴AD•AE＝AB•AC＝．（10分）选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t为参数），以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，圆C的极坐标方程为（Ⅰ）将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l与圆C交于A，B两点，点P的坐标为（2，0），试求的值．【解答】解：（I）由，展开化为ρ2＝（ρcosθ﹣ρsinθ），化为x2+y2＝4x﹣4y，即（x﹣2）2+（y+2）2＝8．（II）把直线l的参数方程是（t为参数）代入圆的方程可得：，∴t1+t2＝﹣2，t1t2＝﹣4＜0．|t1﹣t2|＝＝＝2．∴＝＝＝＝．选修4-5：不等式选讲24．设不等式|x﹣1|≤2与关于x的不等式x2﹣ax﹣b≤0的解集相同．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求函数的最大值，以及取得最大值时x的值．【解答】解：（Ⅰ）∵|x﹣1|≤2，∴﹣1≤x≤3．∴不等式|x﹣1|≤2的解集为{x|﹣1≤x≤3}；∵不等式|x﹣2|＞1的解集与关于x的不等式x2﹣ax﹣b≤0的解集相同，∴﹣1和3是方程x2﹣ax﹣b＝0的根，∴a＝﹣1+3＝2，b＝﹣（﹣1）×3＝3．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）＝2+3，∴[f（x）]2＝（2+3）2≤（22+32）[（）2+（）2]＝13，当且仅当，即x＝时取等号，∴x＝时，函数的最大值为．。
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贵阳市2015年高三适应性监测考试(二)
文科数学
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．)
1. 设全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}{}1,2,2,3,5A B ==，()U C A B ⋃=（ ）。
A. {}3,5 B. {}3,4,5 C. {}1,2,3,4 D. {}2,3,4,5
2. 设复数1z ai =+（a 是正实数）
，且z =(1)z i +等于( ). A. 13i -+ B. 13i - C. 13i + D. 3i -+
3. 若,x y R ∈，则x y >的一个充实不必要条件是（ ）。
A. x y > B. 22x y >
>
D. 33x y >
4. 函数()sin()3
f x x π
=-的图像的一条对称轴方程为（ ）。
A.
35 B. 35- C. 4
5
D. 45- 5. 如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S 值等于（ ）。
A. 18
B. 20
C. 21
D. 40
6. 函数32
11()32
f x x x a =-+仅一个零点，则a 的取值范围为（ ）。
A. 1
(0,)6
B. 1(,0)6-
C. 1(,0)(,)6-∞⋃+∞
D. 1
(,)(0,)6
-∞⋃+∞
7.某几何体的三视图如图所示，且该几何体的所有棱中，则该几何体的所有棱中，最
长的棱为（ ）。
A.
C.
4
8.若实数,x y 满足不等式组5
23010y x y x y ≤⎧⎪
-+≤⎨⎪+-≥⎩
的最大值是（ ）。
A. 1-
B. 2
-
C. 1
D. 2
9. 函数(0,1)x y a a a =>≠与b y x =的图像如图，则下列不等式一定成立的是（ ） A. 0a b > B. 0a b +> C. 1b a > D. log 2a b >
10. 以双曲线22
2:1(0)3
x y C a a -
=>的一个焦点F 为圆心的圆与双曲线的渐近线相切，则该圆的面积为（ ）。
A. π
B. 3π
C. 6π
D. 9π
11. ,A B 是半径为2的圆O 上的两点，M 是弦AB 上的动点，若AOB ∆为直角三角形，则的OM AM ⋅最小值是（ ）。
A. 1- B. 1
2
-
C. 0
D. 2 12.已知函数2222(),()22
x x x x
f x
g x ---+==，下列结论错误的是（ ）。
A ．函数()f x 的图像关于原点对称，函数()g x 的图像关于y 轴对称 B ．在同一坐标系中，函数()f x 的图像在函数()g x 的图像的下方 C.函数()g x 的值域是[)1,+∞
D ．(2)2()()g x f x g x =在(,)-∞+∞恒成立
二、 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
） 13. 数组1,2,3,4,a 的平均数是2，则它的方差是_____。
14.已知1
tan()43
π
α-
=
，则sin 2α的值等于_____。
15. 球O 与一圆柱的侧面和上下底面都相切，则球O 的表面积与该圆柱的表面积的比值为
_____。
16.如图，在ABC ∆中，45B ∠=︒,D 是BC 边上一点，5,7,3AD AC DC ===,则AB 的长为_____。
三、解答题(本大题共6题，共75分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.) 17. (本小题满分12分)
已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为7,70n S S =，且126,,a a a 成等比数列 （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ） 设3
24n n b S n
=
+，求数列{}n b 的前n 项和n T 。
18. (本小题满分12分)
市积极倡导学生课外读优秀书籍活动，从参加此活动同学中，抽取60名同学在2015年3月读书活动月的课外读书时间（分钟，均成整数）分成
[)[)[)[)[)[)40,50,50,60,60,70,70,80,80,90,90,100六组后，得到频率分布直方图（如
图），回答下列问题。
（Ⅰ）从频率分布直方图中，估计本次课外课优秀书籍活动时间的中位数；
（Ⅱ）若从第1组和第6组两组学生中，随机抽取2人，求所抽取2人课外读书时间之差的绝对值大于10（分钟）的概率。
19．(本小题满分12分)
如图M 是棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -的棱1DD 的中点.
（1）证明：11AC CD ⊥；
（2）求1A 到平面1AC M 的距离。
20. (本小题满分12分)
如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左右焦点分别为，
1F 和2F ，上顶点为2,B BF ，延长线交椭圆于点,A ABF ∆的周长为8，且10BF BA ⋅=。
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）若直线l AB ⊥且与椭圆C 相交于两点,P Q ，求PQ 的最大值；
21. (本小题满分12分)
已知函数()ln f x ax b x =+-表示的曲线在点(2(2))f 处的切线方程22ln 20x y --=。
（Ⅰ）求,a b 的值；
（Ⅱ）若()2f x kx ≥-对于(0,)x ∈+∞恒成立，求实数k 的取值范围.
请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时请写清题号.
22. (本小题满分10分) 选修4-1：几何证明选讲
如图所示，PA 为圆O 的切线，A 为切点，PO 交圆O 于,B C 两点，
2,1PA PB ==,BAC ∠的角平分线与BC 和圆O 分别交于点D 和E .
（Ⅰ）求证：AB PC PA AC ⋅=⋅; （Ⅱ）求AD AE ⋅的值.
23．(本小题满分10分) 选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，直线l
的参数方程是222
x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以原点O 为极点，以轴正半轴x 为极轴，圆C
的极坐标方程为)4
π
ρθ=+
（Ⅰ）将圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线l 与圆C 交于,A B 两点，点P 的坐标为(2,0)，试求11
PA PB
+
的值。
24. (本小题满分10分) 选修4-5：不等式选讲
设不等式12x -≤与关于x 的不等式2
0x ax b --≤的解集相同。
（Ⅰ）求,a b 的值；
（Ⅱ）求函数()f x =的最大值，以及取得最大值时x 的值。