4-2根轨迹的基本规律及绘制

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第二节 根轨迹的基本绘制规则
S0点符合 ∑∠(s0 − zj ) −∑∠(s0 − pi ) = (2k +1)π , (k = 0, ±1, ±2,L) i=1 相角条件： j=1
θ3
m n
K* K* G ( s ) H ( s ) ≈ n−m = n − m −1 a −b s + (a1 − b1 ) s s n − m (1 + 1 1 ) s
n−m
由特征方程G(s)H(s)=-1得渐进线方程为： 由特征方程G(s)H(s)=- 得渐进线方程为： G(s)H(s)=
s
a1 − b1 (1 + ) = −K * s
1 n −m
值非常大时 当s值非常大时，近似有
a1 − b1 1+ s a −b ∴ s 1+ 1 1 s
1 n−m
1 a1 − b1 = 1+ n−m s
a −b 1 a1 − b1 = s 1+ =s+ 1 1 n−m n−m s
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第二节 根轨迹的基本绘制规则 讨论： 讨论：
M 代表零点，n代表极点 代表零点， 代表极点
m=n时 即开环零点数与极点数相同时， 1 ． 当 m=n 时 ， 即开环零点数与极点数相同时 ， 根轨迹的起点 与终点均为有限的值。 与终点均为有限的值。 2．当m<n时，即开环零点数小于开环极点数时，除有m条根轨 m<n时 即开环零点数小于开环极点数时，除有m 迹终止于开环零点(称为有限零点) 还有n 迹终止于开环零点(称为有限零点)外，还有n-m条根轨迹终止于 无穷远点(称为无限零点) 无穷远点(称为无限零点)。 m>n时 即开环零点数大于开环极点数时，除有n 3．当m>n时，即开环零点数大于开环极点数时，除有n条根轨 迹起始于开环极点(称为有限极点) 还有m 迹起始于开环极点(称为有限极点)外，还有m-n条根轨迹起始于 无穷远点(称为无限极点) 无穷远点(称为无限极点)。参数根轨迹
* m
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m
a = −∑pi 1
i= 1
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第二节 根轨迹的基本绘制规则
K* G(s)H(s) = n−m s + (a −b )sn−m−1 +L 1 1
当s值非常大时，开环传递函数可以近似为： 值非常大时 开环传递函数可以近似为：
a −b s + 1 1 = n−m K * e n−m
j ( 2 k +1)π n −m
= n−m K * e
令s = σ + jω
σ+
a1 − b1 (2k +1)π (2k +1)π + jω = n−m K* [cos + j sin ] n−m n−m n−m
* i= 1 i j= 1 j
m
K* =0 ⇒ si = pi (i =1,2,L,n)
根轨迹起始于开环极点。 根轨迹起始于开环极点。
m 1 n (2) (s− pi ) + ∏ − zj ) = 0 (s * ∏ K i=1 j= 1
K* = ∞⇒sj =zj (j =1,2,L,m)
根轨迹终止于开环零点。 根轨迹终止于开环零点。
1 n −m
的化简
由二项式定理
a1 − b1 1+ s
1 n−m
( a + b ) = ∑ Cni a i b n −i = ∑
n i =0 i =0
n
n
n! a i b n −i i !( n − i )!
2
1 a1 − b1 1 1 1 a1 − b1 = 1+ + −1 +L n−m s 2! n − m n − m s
b = −∑z j 1
j= 1
n
m
a = −∑pi 1
i= 1
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第二节 根轨迹的基本绘制规则
s n + a1s n −1 + L + an −1s + an 多项式除法 m s + b1s m −1 + L + bm −1s + bm
s s m + b1s m −1 + L + bm −1s + bm s n + a1s n −1 + L + an −1s + an
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第二节 根轨迹的基本绘制规则
根轨迹的连续性、 规律二 根轨迹的连续性、对称性和分支数
根轨迹是连续的曲线。(K*是连续变化的) 根轨迹是连续的曲线。(K*是连续变化的) 是连续变化的 根轨迹总是对称于实轴。 实际的物理系统的参数都是实数→ 根轨迹总是对称于实轴。(实际的物理系统的参数都是实数→ 数学模型的系数是实数→特征根不是实数就是共轭复数) 数学模型的系数是实数→特征根不是实数就是共轭复数) 根轨迹的分支数(条数)等于系统特征方程的次数n 根轨迹的分支数 ( 条数 ) 等于系统特征方程的次数 n 。 ( 根轨迹 描述特征根的变化规律) 描述特征根的变化规律) 结论：根轨迹是连续且对称于实轴的曲线， 结论 ： 根轨迹是连续且对称于实轴的曲线 ， 其分支数等于 系统特征方程的次数。 系统特征方程的次数。
s n + b1s n −1 +L −−−−−−−−−−−−−− n −1 (a1 − b1 ) s +L
n−m
+(a1 − b1 ) s n − m −1 +L
(a1 − b1 ) s n −1 +L −−−−−−−−−−−−−− ...........................
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s0 − pi = ps0 i
z3
jω
φ4
p4
每一对共轭复数形式的零 极点对应的向量的相角之 和为2π；
θ1
z1 σ
φ3
p3 z2
θ2
s0
φ2
p2
φ1
p1 0
φ5 θ4
z4 p5
实轴上的零极点对应的向 量的相角只有0和π两种情 况。
只有s 只有s0点右侧实轴上的开环极点和开环零点的个数之 和为奇数时，才满足相角条件。 和为奇数时，才满足相角条件。
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第二节 根轨迹的基本绘制规则
规律四 渐近线
当开环极点数n大于开环零点数m时，系统有n-m条 根轨迹终止于S平面的无穷远处，反应n-m条根轨迹 变化趋向的直线叫做根轨迹的渐近线，因此，渐近 渐近 线也有n 线也有n-m条，且它们交于实轴上的一点(对称性)。
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西安邮电学院律三 实轴上的根轨迹
若实轴上某点右侧的开环零、极点的个数之和为奇数， 若实轴上某点右侧的开环零、极点的个数之和为奇数，则 该点在实轴的根轨迹上。 该点在实轴的根轨迹上。 设系统的开环传递函数
m
K*(sm +bsm−1 +L+bm−1s +bm) 1 = sn + a sn−1 +L+ an−1s + an 1
K* = n s + a sn−1 +L+ an−1s + an 1 sm +bsm−1 +L+b −1s +b 1 m m
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第二节 根轨迹的基本绘制规则
结论： 结论：
根轨迹起始于开环极点(K*→0 根轨迹起始于开环极点 (K*→0)， 终止于开环零 (K*→ (K*→∞)； 点(K*→∞)； 如果开环极点数n 大于开环零点数 m ， 则有 n-m 如果开环极点数 n 大于开环零点数m 则有n 条根轨迹终止于s平面的无穷远处， 条根轨迹终止于s平面的无穷远处， 如果开环零点数m 大于开环极点数n 则有m 如果开环零点数 m 大于开环极点数 n ， 则有 m-n 条根轨迹起始于s平面的无穷远处。 条根轨迹起始于s平面的无穷远处。
= ( −K
1 * n−m
a1 − b1 s 1 + s
1 n−m
)
= n−m K * e
j ( 2 k +1)π n−m
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第二节 根轨迹的基本绘制规则
a1 − b1 s 1 + s
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第二节 根轨迹的基本绘制规则 思路：研究s值很大时根轨迹 近似直线） 根轨迹（ 思路：研究s值很大时根轨迹（近似直线）的表达方 通过列写直线的方程）。 式（通过列写直线的方程）。