第六章第5课时知能演练轻松闯关
专题讲座五知能训练轻松闯关
解析：如图，在△ABD 中，由正弦定理，得 AD AB ＝ ， sin B sin∠ADB 2 所以 sin∠ADB＝ . 2 所以∠ADB＝45°，所以∠BAD＝180°－45°－120°＝15°. 所以∠BAC＝30°，∠C＝30°，所以 BC＝AB＝ 2.在△ABC 中，由正弦定理，得 ＝ AC sin B BC ，所以 AC＝ 6. sin ∠BAC 答案： 6 4． (2015· 高考天津卷)已知函数 f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω＞0)， x∈R.若函数 f(x)在区间(－ ω，ω)内单调递增，且函数 y＝f(x)的图象关于直线 x＝ω 对称，则 ω 的值为________．
(2016· 郑州第一次质量预测)已知函数 f(x)＝Asin(πx＋φ)的部分图象如图所示，点 B，C → → → → 是该图象与 x 轴的交点，过点 C 的直线与该图象交于 D，E 两点，则(BD＋BE)· (BE－CE)的 值为( ) 1 A．－1 B．－ 2 1 C. D．2 2 → → 解析：选 D.注意到函数 f(x)的图象关于点 C 对称，因此 C 是线段 DE 的中点，BD＋BE 1 2π → → → → → → → 1 → → → → → ＝2BC.又BE－CE＝BE＋EC＝BC， 且|BC|＝ T＝ × ＝1， 因此(BD＋BE)· (BE－CE)＝2BC 2 2 π 2 ＝2. 3．(2015· 高考重庆卷)在△ABC 中，B＝120°，AB＝ 2，A 的角平分线 AD＝ 3，则 AC＝________．
行胜于言
1．若向量 a，b，c 均为单位向量，且 a⊥b，则|a－b－c|的最小值为( ) A. 2－1 B．1 C. 2＋1 D． 2 解析： 选 A.因为 a， b， c 均为单位向量， 且 a⊥b， 所以 a· b＝0， 所以|a－b|＝ （a－b）2 ＝ a2＋b2－2a· b＝ 2，所以|a－b－c|≥||a－b|－|c||＝ 2－1. 2.
第六章第6课时知能演练轻松闯关
一、选择题1.(2013·南阳模拟)在证明命题“对于任意角θ，cos 4θ－sin 4θ＝cos 2θ”的过程：“cos 4θ－sin 4θ＝(cos 2θ＋sin 2θ)(cos 2θ－sin 2θ)＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ”中应用了( )A ．分析法B ．综合法C ．分析法和综合法综合使用D ．间接证法解析：选B.从已知条件出发，推出要证的结论，满足综合法．2.(2013·洛阳调研)用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”正确的反设为( )A ．a ，b ，c 中至少有两个偶数B ．a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数C ．a ，b ，c 都是奇数D ．a ，b ，c 都是偶数解析：选B.自然数a ，b ，c 中为偶数的情况为：a ，b ，c 全为偶数；a ，b ，c 中有两个数为偶数；a ，b ，c 全为奇数；a ，b ，c 中恰有一个数为偶数，所以反设为：a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数．3.若a ，b ∈R ，则下面四个式子中恒成立的是( )A ．lg(1＋a 2)>0B ．a 2＋b 2≥2(a －b －1)C ．a 2＋3ab >2b 2 D.a b <a ＋1b ＋1解析：选B.在B 中，∵a 2＋b 2－2(a －b －1)＝(a 2－2a ＋1)＋(b 2＋2b ＋1)＝(a －1)2＋(b ＋1)2≥0，∴a 2＋b 2≥2(a －b －1)恒成立．4.(2013·大同调研)用反证法证明命题“若a ，b ∈N ，ab 能被3整除，那么a ，b 中至少有一个能被3整除”时，假设应为( )A ．a ，b 都能被3整除B ．a ，b 都不能被3整除C ．b 不能被3整除D ．a 不能被3整除解析：选B.由反证法的定义可知，否定结论，即“a ，b 中至少有一个能被3整除”的否定是“a ，b 都不能被3整除”，故选B.5.在△ABC 中，sin A sin C ＜cos A cos C ，则△ABC 一定是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定解析：选C.由sin A sin C ＜cos A cos C 得，cos A cos C －sin A sin C ＞0，即cos(A ＋C )＞0，∴A ＋C 是锐角，从而B ＞π2，故△ABC 必是钝角三角形． 二、填空题6.(2013·福州模拟)如果a a ＋b b ＞a b ＋b a ，则a ，b 应满足的条件是__________． 解析：a a ＋b b ＞a b ＋b a ，即(a －b )2(a ＋b )＞0，需满足a ≥0，b ≥0且a ≠b . 答案：a ≥0，b ≥0且a ≠b7.用反证法证明命题“若实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＝c ＋d ＝1，ac ＋bd >1，则a ，b ，c ，d 中至少有一个是非负数”时，第一步要假设结论的否定成立，那么结论的否定是：________．解析：“至少有一个”的否定是“一个也没有”，故结论的否定是“a，b，c，d中没有一个非负数，即a，b，c，d全是负数”．答案：a，b，c，d全是负数8.设a＝3＋22，b＝2＋7，则a，b的大小关系为________．解析：a＝3＋22，b＝2＋7，两式的两边分别平方，可得a2＝11＋46，b2＝11＋47，显然6<7，∴a<b.答案：a<b三、解答题9.已知a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，求证：b2－ac＜3a.证明：要证b2－ac＜3a，只需证b2－ac＜3a2.∵a＋b＋c＝0，只需证b2＋a(a＋b)＜3a2,只需证2a2－ab－b2＞0，只需证(a－b)(2a＋b)＞0，只需证(a－b)(a－c)＞0.因为a＞b＞c，所以a－b＞0，a－c＞0，所以(a－b)(a－c)＞0显然成立．故原不等式成立．10.如图，在四棱锥S-ABCD中，底面是边长为1的正方形，又SB＝SD＝2，SA＝1.(1)求证：SA⊥平面ABCD；(2)在棱SC上是否存在异于S，C的点F，使得BF∥平面SAD？若存在，确定F点的位置；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：由已知得SA2＋AD2＝SD2，∴SA⊥AD.同理SA⊥AB.又AB∩AD＝A，∴SA⊥平面ABCD.(2)假设在棱SC上存在异于S，C的点F，使得BF∥平面SAD.∵BC∥AD，BC⊄平面SAD，∴BC∥平面SAD.而BC∩BF＝B，∴平面SBC∥平面SAD.这与平面SBC和平面SAD有公共点S矛盾，∴假设不成立．故不存在这样的点F，使得BF∥平面SAD.一、选择题1.(2013·临沂模拟)已知m＞1，a＝m＋1－m，b＝m－m－1，则以下结论正确的是()A．a＞b B．a＜bC．a＝b D．a，b大小不定解析：选B.∵a＝m＋1－m＝1m＋1＋m，b＝m－m－1＝1m＋m－1.而m＋1＋m＞m＋m－1，∴1m＋1＋m＜1m＋m－1，即a＜b.2.(2013·德州调研)已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋5在(－∞，2]上是减函数，且对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，则实数a 的取值范围为( )A ．[1，4]B ．[2，3]C ．[2，5]D ．[3，＋∞)解析：选B.由题意知a ≥2，所以二次函数f (x )＝x 2－2ax ＋5的图象的对称轴为x ＝a ∈[1，a ＋1]，且(a ＋1)－a ≤a －1，∴f (x )max ＝f (1)＝6－2a ，f (x )min ＝f (a )＝5－a 2，∴(6－2a )－(5－a 2)≤4，解得－1≤a ≤3.又a ≥2，∴2≤a ≤3.二、填空题3.(2013·黄冈模拟)在不等边三角形中，a 为最大边，要想得到∠A 为钝角的结论，则三边a ，b ，c 应满足________．解析：由余弦定理cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc<0， 所以b 2＋c 2－a 2<0，即a 2>b 2＋c 2.答案：a 2>b 2＋c 24.已知a 、b 、c 满足c <b <a ，且ac <0，那么下列选项中一定成立的是________(只填序号)． ①ab >ac ；②c (b －a )<0；③cb 2<ab 2；④ac (a －c )>0.解析：⎩⎨⎧a >0b >c⇒ab >ac (不等式的可乘性)，故①成立， 当b ＝0时③不成立．答案：①三、解答题5.已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的图象与x 轴有两个不同的交点，若f (c )＝0，且0＜x ＜c 时，f (x )＞0.(1)证明：1a是f (x )＝0的一个根； (2)试比较1a与c 的大小； (3)证明：－2＜b ＜－1.解：(1)证明：∵f (x )的图象与x 轴有两个不同的交点，∴f (x )＝0有两个不等实根x 1，x 2.∵f (c )＝0，∴x 1＝c 是f (x )＝0的根，又x 1x 2＝c a ，∴x 2＝1a (1a≠c )， ∴1a是f (x )＝0的一个根． (2)假设1a ＜c ，又1a＞0， 由0＜x ＜c 时，f (x )＞0，知f ⎝⎛⎭⎫1a ＞0与f ⎝⎛⎭⎫1a ＝0矛盾， ∴1a ≥c .又∵1a ≠c ，∴1a＞c . (3)证明：由f (c )＝0，得ac ＋b ＋1＝0，∴b ＝－1－ac .又a ＞0，c ＞0，∴b ＜－1.二次函数f (x )的图象的对称轴方程为x ＝－b 2a ＝x 1＋x 22＜x 2＋x 22＝x 2＝1a，即－b 2a ＜1a.又a ＞0， ∴b ＞－2，∴－2＜b ＜－1.。
高中历史-第二单元第5课知能演练轻松闯关
[随堂检测]1．以下关于新航路开辟的经济根源的解释，最完整的是()A．自然经济瓦解—商品经济发展—追求黄金美梦B．商品经济发展—资本主义萌芽—货币需求的增加C．商业危机—东西商路断绝—商品价格猛涨D．黄金梦—航海技术进步—资本主义萌芽解析：选B。
A项未能指出商品经济发展程度的标志(资本主义萌芽)，且从逻辑上讲应该是商品经济发展导致自然经济瓦解，故A项错误；商品经济发展，出现资本主义萌芽，这意味着商品经济已经发展到相当程度，从而导致了货币需求的增加，较好的解释了新航路开辟的经济根源，故B项正确；商业危机、东西商路断绝，并不足以推动新航路开辟，且并不会导致商品价格猛涨，故C项错误；黄金梦、航海技术进步并不是导致新航路开辟的经济根源，故D项错误。
2．15世纪末，下图中卡里库特的国王请某位航海家转交给葡萄牙国王一封信，同意与葡萄牙人进行商品贸易，但是要求他们带着金银、珊瑚和红呢绒来换取肉桂、丁香、胡椒。
这位航海家是()A．达·伽马B．迪亚士C．麦哲伦D．哥伦布解析：选A。
达·伽马是葡萄牙航海家，也是历史上第一位从欧洲航海到印度的人，他率领的船队最远到达了印度的卡里库特。
故选A。
3．新航路的开辟使人类开始发现“世界”，下列对这个“世界”较恰当的理解应是()A．地域辽阔的世界B．连成一体的世界C．丰富多彩的世界D．生机勃勃的世界解析：选B。
新航路开辟后，世界各地之间的联系加强，人类由此从各民族分散孤立地发展开始走向整体世界。
4．新航路开辟前欧洲人眼中的世界版图非常狭小，但是一次历史性的航行使得世界的面积扩大了几乎一半。
完成这次“历史性航行”的探险家是()A．哥伦布B．迪亚士C．达·伽马D．麦哲伦船队解析：选A。
哥伦布发现美洲新大陆，使欧洲人知道除了亚非外还有美洲，世界的面积扩大了几乎一半，故A项正确；迪亚士到达好望角，不符合“世界的面积扩大了几乎一半”，故B项错误；达·伽马到达印度，不符合“世界的面积扩大了几乎一半”，故C项错误；麦哲伦船队实现环球航行，世界面积的扩大超过一半，故D项错误。
湘教版数学选修2-26.2.1知能演练轻松闯关.docx
1.(2012·渝北调研)已知a >b >0，则证明a －b <a －b 可选择的方法，以下最合理的是( )A ．综合法B ．分析法C ．类比法D ．归纳法解析：选B.首先，排除C 、D.然后，比较综合法、分析法． 我们选择分析法，欲证：a －b <a －b ，只需证：a <b ＋a －b ，即证：a <b ＋(a －b )＋2b （a －b ），只需证：0<2b （a －b ），显然成立，原不等式得证．2.在不等边三角形中，a 为最大边，要想得到∠A 为钝角的结论，则三边a ，b ，c 应满足的条件为( )A ．a 2<b 2＋c 2B ．a 2＝b 2＋c 2C ．a 2>b 2＋c 2D ．a 2≤b 2＋c 2解析：选C.若∠A 为钝角，则由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc<0，即b 2＋c 2<a 2. 3.(2011·高考天津卷)已知a ＝log 23.6，b ＝log 43.2，c ＝log 43.6，则( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．b >a >cD ．c >a >b解析：选B.∵2<3.6<4，∴log 23.6>1>log 43.6.又∵log 43.6>log 43.2，∴a >c >b .4.设a ＝2，b ＝7－3，c ＝6－2，则a 、b 、c 的大小关系为________．解析：∵b ＝47＋3，c ＝46＋2， 显然b <c .而a 2＝2，∴c 2＝(6－2)2＝8－212＝8－48<8－36＝2＝a 2，∴a >c ，∴a >c >b .答案：a >c >b一、选择题1.下列表述：①综合法是由因导果法；②综合法是顺推法；③分析法是执果索因法；④分析法是逆推法．其中正确的语句有( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个解析：选A.①②③④正确．2.(2011·高考北京卷)如果log 12x <log 12y <0，那么( )A ．y <x <1B ．x <y <1C ．1<x <yD ．1<y <x 解析：选D.不等式转化为⎩⎪⎨⎪⎧log 12x <log 12y log 12y <0，⇒1<y <x .3.某同学证明不等式7－1＞11－5的过程如下： 要证7－1＞11－5，只需证7＋5＞11＋1，即证7＋27×5＋5＞11＋211＋1，即证35＞11，即证35＞11.因为35＞11成立，所以原不等式成立．这位同学使用的证明方法是( )A ．综合法B ．分析法C ．综合法，分析法结合使用D ．其他证法解析：选B.根据分析法的思维特点可判定出来．4.(2012·江北检测)已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ，A ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，B ＝f (ab )，C ＝f ⎝⎛⎭⎫2ab a ＋b (a >0，b >0)，则A ，B ，C 的大小关系为( )A ．A ≤B ≤C B ．A ≤C ≤BC ．B ≤C ≤AD ．C ≤B ≤A解析：选A.由于a ＋b 2≥ab ≥2ab a ＋b， 又函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x 在R 上为减函数，故f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2≤f (ab )≤f ⎝⎛⎭⎫2ab a ＋b . 5.(2012·南川检测)已知A ，B 为△ABC 的两个内角，则A >B 是sin A >sin B 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.A >B ⇔a >b ⇔2R sin A >2R sin B ⇔sin A >sin B .6.若P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4(a ≥0)，则P ，Q 的大小关系为( )A ．P >QB ．P ＝QC ．P <QD ．由a 的取值确定解析：选C.由于P >0，Q >0，所以要比较P 与Q 的大小，只须比较P 2与Q 2的大小． Q 2－P 2＝(a ＋3＋a ＋4)2－(a ＋a ＋7)2＝2a 2＋7a ＋12－2a 2＋7a .∵a 2＋7a ＋12>a 2＋7a ，∴a 2＋7a ＋12>a 2＋7a ，∴2a 2＋7a ＋12>2a 2＋7a ，∴Q 2>P 2，∴Q >P .二、填空题7.将下面用分析法证明a 2＋b 22≥ab 的步骤补充完整：要证a 2＋b 22≥ab ，只需证a 2＋b 2≥2ab ，也就是证____________，即证______________，由于______________显然成立，因此原不等式成立．答案：a 2＋b 2－2ab ≥0 (a －b )2≥0 (a －b )2≥08.(2011·高考天津卷)已知log 2a ＋log 2b ≥1，则3a ＋9b 的最小值为________．解析：由log 2a ＋log 2b ≥1得log 2(ab )≥1，即ab ≥2，∴3a ＋9b ＝3a ＋32b ≥2×3a ＋2b 2(当且仅当3a ＝32b ，即a ＝2b 时“＝”号成立)．又∵a ＋2b ≥22ab ≥4(当且仅当a ＝2b 时“＝”成立)，∴3a ＋9b ≥2×32＝18.即当a ＝2b 时，3a ＋9b 有最小值18. 答案：189.已知x ，y ∈R ＋，当x 2＋y 2＝________时，有x 1－y 2＋y 1－x 2＝1.解析：要使x 1－y 2＋y 1－x 2＝1，只需x 2(1－y 2)＝1＋y 2(1－x 2)－2y 1－x 2， 即2y 1－x 2＝1－x 2＋y 2.只需使(1－x 2－y )2＝0，即1－x 2＝y ，∴x 2＋y 2＝1.答案：1三、解答题10.已知a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证：b 2－ac a< 3. 证明：∵a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，∴a >0，c <0，要证原不等式成立，只要证b 2－ac <3a ，即证b 2－ac <3a 2，也即证(a ＋c )2－ac <3a 2，即(a －c )(2a ＋c )>0，∵a －c >0，2a ＋c ＝(a ＋c )＋a＝a －b >0.∴(a －c )(2a ＋c )>0成立，故原不等式成立．11.如图，在四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，P A ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．(1)证明：CD ⊥AE ；(2)证明：PD ⊥平面ABE .证明：(1)在四棱锥P -ABCD 中，∵P A ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，故P A ⊥CD .∵AC ⊥CD ，P A ∩AC ＝A ，∴CD ⊥平面P AC .而AE ⊂平面P AC ，∴CD ⊥AE .(2)由P A ＝AB ＝BC ，∠ABC ＝60°，可得AC ＝P A ，∵E 是PC 的中点，∴AE ⊥PC .由(1)知，AE ⊥CD ，且PC ∩CD ＝C ，∴AE ⊥平面PCD .而PD ⊂平面PCD ，∴AE ⊥PD .∵P A ⊥底面ABCD ，PD 在底面ABCD 内的射影是AD ，AB ⊥AD ，∴AB ⊥PD ，又∵AB ∩AE ＝A ，综上得PD ⊥平面ABE .12.(创新题)已知非向零量a ⊥b ，求证：|a |＋|b ||a －b |≤ 2. 证明：∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0.要证|a |＋|b ||a －b |≤2，只需证|a |＋|b |≤2|a －b |， 平方得|a |2＋|b |2＋2|a ||b |≤2(|a |2＋|b |2－2a ·b )，只需证|a |2＋|b |2－2|a ||b |≥0，即(|a |－|b |)2≥0，显然成立．故原不等式得证．。
第六章第3课时知能演练轻松闯关
一、选择题 1.(2013·三明模拟)已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为( )A ．(－24，7)B ．(－7，24)C ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞) 解析：选B.根据题意知(－9＋2－a )(12＋12－a )＜0， 即(a ＋7)(a －24)＜0，解得－7＜a ＜24.2.(2012·高考辽宁卷)设变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤10，0≤x ＋y ≤20，0≤y ≤15，则2x ＋3y 的最大值为( )A ．20B ．35C ．45D ．55解析：选D.不等式组表示的区域如图中阴影部分所示，所以过点A (5，15)时2x ＋3y 的值最大，此时2x ＋3y ＝55.3.若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a ，表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是( ) A ．a ≥43 B ．0＜a ≤1C ．1≤a ≤43D ．0＜a ≤1或a ≥43解析：选D.先把前三个不等式表示的平面区域画出来，如图．此时可行域为△AOB 及其内部，交点B 为(23，23)，故当x ＋y ＝a 过点B时a ＝43，所以a ≥43时可行域仍为△AOB ，当x ＋y ＝a 恰过A 点时，a ＝1＋0＝1，且当0＜a ≤1时可行域也为三角形．故0＜a ≤1或a ≥43.4.某所学校计划招聘男教师x 名，女教师y 名，x 和y 需满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≥5x －y ≤2x ≤6x ∈N ，y ∈N ，则该校招聘的教师最多为( )A ．10名B ．11名C ．12名D ．13名解析：选D.设z ＝x ＋y ，作出可行域如图阴影中的整点部分，可知当直线z ＝x ＋y 过A 点时z 最大，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝62x －y ＝5，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6y ＝7， 故z 最大值为7＋6＝13.5.已知点P (x ，y )的坐标满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，y ≤2，2x ＋y －2≥0，那么x 2＋y 2的取值范围是( )A ．[1，4]B ．[1，5]C ．[45，4]D ．[45，5]解析：选D.作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1y ≤22x ＋y －2≥0，所表示的平面区域，如图中的阴影部分所示，显然，原点O 到直线2x ＋y －2＝0的最短距离为|－2|22＋12＝25，此时可得(x 2＋y 2)min ＝45；点(1，2)到原点O 的距离最大，为12＋22＝5，此时可得(x 2＋y 2)max＝5.故选D.二、填空题6.在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0x －y ＋2≥0，x ≤2表示的平面区域的面积为________．解析：作出可行域为△ABC (如图)，则S △ABC ＝4.答案：47.(2013·徐州调研)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1y ≥x 3x ＋2y ≤15，则w ＝log 3(2x ＋y )的最大值为__________．解析：作出约束条件对应的平面区域(图略)，平移直线可得2x ＋y 的最大值是9，所以w 的最大值是2.答案：2 8.(2012·高考上海卷)满足约束条件|x |＋2|y |≤2的目标函数z ＝y －x 的最小值是__________．解析：作出可行域如图所示：由图可知，当目标函数线经过点(2，0)时，目标函数z ＝y －x 取得最小值，z min ＝0－2＝－2.答案：－2三、解答题9.已知D 是以点A (4，1)，B (－1，－6)，C (－3，2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部)．如图所示．(1)写出表示区域D 的不等式组；(2)设点B (－1，－6)，C (－3，2)在直线4x －3y －a ＝0的异侧，求a 的取值范围．解：(1)直线AB 、AC 、BC 的方程分别为7x －5y －23＝0，x ＋7y －11＝0，4x ＋y ＋10＝0.原点(0，0)在区域D 内，故表示区域D 的不等式组为：⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0.(2)根据题意有[4×(－1)－3×(－6)－a ][4×(－3)－3×2－a ]<0， 即(14－a )(－18－a )<0，得a 的取值范围是－18<a <14. 故a 的取值范围是(－18，14)．10.(2013·黄山模拟)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2，(1)求目标函数z ＝12x －y ＋12的最值；(2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1，0)处取得最小值，求a 的取值范围． 解：(1)作出可行域如图，可求得A (3，4)，B (0，1)，C (1，0)．平移初始直线12x －y ＝0，过A (3，4)时，z 取最小值－2，过C (1，0)时，z 取最大值1.∴z 的最大值为1，最小值为－2.(2)直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1，0)处取得最小值，由图象可知－1＜－a2＜2， 解得－4＜a ＜2.故所求a 的取值范围为(－4，2)．一、选择题1.设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≤0x ≥0y ≤4表示的区域为D .若指数函数y ＝a x 的图象上存在区域D 内的点，则a 的取值范围是( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．[2，4]D ．[2，＋∞)解析：选D.依题意，根据题中的不等式组表示的平面区域D (图略)，要使指数函数y ＝a x 的图象上存在区域D 内的点，则点(2，a 2)应在点(2，4)的上方或与其重合，故a 2≥4，∴a ≥2或a ≤－2.又a ＞0且a ≠1，∴a ≥2，故选D.2.(2013·济南模拟)已知实数x ，y 满足|2x ＋y ＋1|≤|x ＋2y ＋2|，且－1≤y ≤1，则z ＝2x ＋y 的最大值为( )A ．6B ．5C ．4D ．－3解析：选B.|2x ＋y ＋1|≤|x ＋2y ＋2|等价于(2x ＋y ＋1)2≤(x ＋2y ＋2)2，即x 2≤(y ＋1)2，即|x |≤|y ＋1|.又－1≤y ≤1，作出可行域如图阴影部分所示．则当目标函数过C (2，1)时取得最大值， 所以z max ＝2×2＋1＝5，故选B. 二、填空题3.(2013·山西考前适应性训练)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≤0x －y ＋1≥0y ≥0表示的平面区域内到直线y ＝2x －4的距离最远的点的坐标为__________．解析：在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域(如图阴影部分)及直线y ＝2x －4，结合图形可知，在该平面区域内所有的点中，点(－1，0)到直线y ＝2x －4的距离最远．答案：(－1，0)4.已知x ，y 满足不等式⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥0x ＋2y ≤t 2x ＋y ≤4，且目标函数z ＝9x ＋6y 最大值的变化范围为[20，22]，则t 的取值范围是________．解析：由约束条件确定的可行域如图，当目标函数过点A 时取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝t 2x ＋y ＝4，解得A (8－t 3，2t －43)，所以20≤9×8－t3＋6×2t －43≤22，解得4≤t ≤6. 答案：[4，6] 三、解答题5.某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．(1)用每天生产的卫兵个数x 与骑兵个数y 表示每天的利润W (元)； (2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？ 解：(1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x －y ， 所以利润W ＝5x ＋6y ＋3(100－x －y )＝2x ＋3y ＋300. (2)约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋7y ＋4（100－x －y ）≤600，100－x －y ≥0，x ≥0，y ≥0，x ∈Z ，y ∈Z .整理得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≤200，x ＋y ≤100，x ≥0，y ≥0，x ∈Z ，y ∈Z .目标函数为W ＝2x ＋3y ＋300，如图所示，作出可行域．初始直线l 0：2x ＋3y ＝0，平移初始直线经过点A 时，W 有最大值． 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝200，x ＋y ＝100，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝50，y ＝50. 最优解为A (50，50)，所以W max ＝2×50＋3×50＋300＝550(元)．。
高考数学 第三章第5课时 知能演练轻松闯关 新人教A版
高考数学 第三章第5课时 知能演练轻松闯关 新人教A 版一、选择题1．(2013·石家庄模拟)下列函数中，周期为π且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是减函数的是( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4C ．y ＝sin 2xD ．y ＝cos 2x解析：选D.因为y ＝cos 2x 的周期T ＝2π2＝π，而2x ∈[0，π]，所以y ＝cos 2x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上为减函数，故选D.2．(2013·安顺调研)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋π3)(ω＞0)的最小正周期为π，则该函数的图象( )A ．关于直线x ＝π3对称B ．关于点(π3，0)对称C ．关于直线x ＝－π6对称D ．关于点(π6，0)对称解析：选B.由题意知T ＝2πω＝π，则ω＝2，所以f (x )＝sin(2x ＋π3)．又f (π3)＝sin(23π＋π3)＝sin π＝0，所以其图象关于点(π3，0)对称．3．(2012·高考山东卷)函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )A ．2－ 3B ．0C ．－1D ．－1－ 3解析：选A.∵0≤x ≤9，∴－π3≤π6x －π3≤7π6，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1.∴y ∈[－3，2]，∴y max ＋y min ＝2－ 3.4．(2012·高考课标全国卷)已知ω＞0,0＜φ＜π，直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ＝( )A.π4B.π3C.π2D.3π4解析：选A.由题意得周期T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫54π－14π＝2π，∴2π＝2πω，即ω＝1，∴f (x )＝sin(x ＋φ)，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝±1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＋φ＝±1.∵0＜φ＜π，∴π4＜φ＋π4＜54π，∴φ＋π4＝π2，∴φ＝π4.5．已知ω是正实数，且函数f (x )＝2sin ωx 在[－π3，π4]上是增函数，那么( ) A ．0＜ω≤32B ．0＜ω≤2C ．0＜ω≤247D ．ω≥2解析：选A.由x ∈[－π3，π4]且ω＞0得ωx ∈[－ωπ3，ωπ4]．又y ＝sin x 是[－π2，π2]上的单调增函数．则⎩⎪⎨⎪⎧ωπ4≤π2－ωπ3≥－π2，解得0＜ω≤32.二、填空题6．函数y ＝1－tan x 的定义域是________． 解析：由1－tan x ≥0，得tan x ≤1，∴k π－π2＜x ≤k π＋π4(k ∈Z )．答案：⎝⎛⎦⎥⎤k π－π2，k π＋π4(k ∈Z ) 7．(2013·温州市适应性测试)函数f (x )＝sin x sin(x －π3)的最小正周期为________．解析：注意到f (x )＝sin x sin(x －π3)＝sin x ·(12sin x －32cos x )＝12sin 2x －32sinx cos x ＝1－cos 2x 4－34sin 2x ＝14－12sin(2x ＋π6)，因此函数f (x )的最小正周期是π. 答案：π8．设函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π4，若存在这样的实数x 1，x 2，对任意的x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为________．解析：f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π4的周期T ＝2π×2π＝4，f (x 1)，f (x 2)应分别为函数f (x )的最小值和最大值，故|x 1－x 2|的最小值为T2＝2.答案：2 三、解答题9．已知函数f (x )＝3sin 2x ＋cos 2x . (1)求f (x )的单调减区间；(2)求f (x )图象上与原点最近的对称中心的坐标．解：f (x )＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin(2x ＋π6)．(1)由2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2(k ∈Z )得，k π＋π6≤x ≤k π＋2π3(k ∈Z )．∴f (x )的单调减区间为[k π＋π6，k π＋2π3](k ∈Z )．(2)由sin(2x ＋π6)＝0得2x ＋π6＝k π(k ∈Z )，即x ＝k π2－π12(k ∈Z )．∴f (x )图象上与原点最近的对称中心坐标是(－π12，0)．10．(2013·东营模拟)已知函数f (x )＝cos(2x －π3)＋2sin(x －π4)sin(x ＋π4)．(1)求函数f (x )的最小正周期和图象的对称轴；(2)求函数f (x )在区间[－π12，π2]上的值域．解：(1)f (x )＝cos(2x －π3)＋2sin(x －π4)sin(x ＋π4)＝12cos 2x ＋32sin 2x ＋(sin x －cos x )(sin x ＋cos x ) ＝12cos 2x ＋32sin 2x ＋sin 2x －cos 2x ＝12cos 2x ＋32sin 2x －cos 2x ＝sin(2x －π6)． ∴最小正周期T ＝2π2＝π，由2x －π6＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π3(k ∈Z )．∴函数图象的对称轴为x ＝k π2＋π3(k ∈Z )．(2)∵x ∈[－π12，π2]，∴2x －π6∈[－π3，5π6]，∴－32≤sin(2x －π6)≤1， 即函数f (x )在区间[－π12，π12]上的值域为[－32，1]．1．(2013·安徽省“江南十校”联考)已知函数f (x )＝sin x ＋cos x .(1)若f (x )＝2f (－x )，求cos 2x －sin x cos x1＋sin 2x的值； (2)求函数F (x )＝f (x )·f (－x )＋f 2(x )的最大值和单调递增区间． 解：(1)∵f (x )＝sin x ＋cos x ，∴f (－x )＝cos x －sin x . 又∵f (x )＝2f (－x )，∴sin x ＋cos x ＝2(cos x －sin x )，且cos x ≠0，∴tan x ＝13，∴cos 2x －sin x cos x 1＋sin 2x ＝cos 2x －sin x cos x 2sin 2x ＋cos 2x ＝1－tan x 2tan 2x ＋1＝611. (2)由题知F (x )＝cos 2x －sin 2x ＋1＋2sin x cos x ， ∴F (x )＝cos 2x ＋sin 2x ＋1，∴F (x )＝2sin(2x ＋π4)＋1.∴当sin(2x ＋π4)＝1时，F (x )max ＝2＋1.由－π2＋2k π≤2x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－3π8＋k π≤x ≤π8＋k π，k ∈Z ，故所求函数F (x )的单调递增区间为[－3π8＋k π，π8＋k π](k ∈Z )．2．设函数f (x )＝sin ωx ＋sin(ωx －π2)，x ∈R .(1)若ω＝12，求f (x )的最大值及相应的x 的集合；(2)若x ＝π8是f (x )的一个零点，且0＜ω＜10，求ω的值和f (x )的最小正周期．解：(1)f (x )＝sin ωx ＋sin(ωx －π2)＝sin ωx －cos ωx ＝2sin(ωx －π4)．当ω＝12时，f (x )＝2sin(x 2－π4)，而－1≤sin(x 2－π4)≤1，所以f (x )的最大值为2，此时，x 2－π4＝π2＋2k π，k ∈Z ，即x ＝3π2＋4k π，k ∈Z .相应的x 的集合为{x |x ＝3π2＋4k π，k ∈Z }．(2)因为f (x )＝2sin(ωx －π4)，所以x ＝π8是f (x )的一个零点⇔f (π8)＝2sin(ωπ8－π4)＝0，即ωπ8－π4＝k π，k ∈Z ，整理，得ω＝8k ＋2. 又0＜ω＜10，所以0＜8k ＋2＜10，－14＜k ＜1，而k ∈Z ，所以k ＝0，ω＝2，即f (x )＝2sin(2x －π4)，f (x )的最小正周期为π.。
历史必修3：第二单元第5课知能演练轻松闯关
1．某个学派认为，右图的图形可解释为“圆”，也可解释为“句号”，或者解释为“零”，还可以解释为字母“O”。
这种思想属于()○A．智者学派B．斯多亚学派C．货币学派D．百科全书派解析：选A。
智者学派认为，人是万物的尺度，自己可以有自己的评价标准，本题题干反映的即是该思想。
2．(2012·徐州高二统考)古希腊智者学派的代表人物普罗泰格拉说：“人是万物的尺度，是存在的事物存在的尺度，也是不存在的事物不存在的尺度。
”这一主张表明()A．古希腊民主政治充分尊重和保护个人利益B．人类社会的传统和习俗不容置疑C．社会的道德规范是客观统一的D．人们应对宗教神学持怀疑态度解析：选D。
题干的中心含义是人是万物的尺度和判断事物存在与否的尺度，这充分体现了人文主义的本质，强调以人为中心，冲破了神学的束缚。
3．苏格拉底曾说：“我像一只牛虻，到处叮人，只是要求你们，不分老少，不要只顾肉体，而是要保护灵魂。
”这表明他()A．崇尚民主B．保护贵族C．重视道德D．尊重知识解析：选C。
由“不要只顾肉体，而是要保护灵魂”可知，苏格拉底反对只追求物质享受，应该重视道德教育，C项正确。
其他三项与题干意思不符。
4．古希腊的圣贤先哲从客观实际出发，观察人性，对人的价值提出了许多闪耀着人文主义光芒的观点。
其中苏格拉底的主要观点是()A．谁不尊重生命谁就不配有生命B．人是万物的尺度C．人是现实生活的创造者和主人D．认识人自己解析：选D。
本题主要考查学生的再认、再现能力。
苏格拉底的研究命题主要集中在认识人自己这一命题上。
一、选择题1．古希腊智者学派认为“人是万物的尺度”，强调人存在的价值和意义。
这种观念蕴含的文化精神是()A．蒙昧主义B．禁欲主义C．人文主义D．浪漫主义解析：选C。
本题考查再认再现知识的能力。
普罗泰格拉的这句话体现了希腊文化人文主义的本质。
2．下列两幅图片反映了古希腊神话的主要特点。
这一特点突出表现了()A．古希腊人对神的敬畏和崇拜B．古希腊文化的人文主义色彩C．古希腊哲学家主要研究“神”的本质D．古希腊城邦制度的高度发达解析：选B。
第六章第4课时知能演练轻松闯关
一、选择题 1.“a >b ”是“⎝⎛⎭⎫a ＋b 22>ab ”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.由a ＞b 可得⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＞ab ，而由⎝⎛⎭⎫a ＋b 22>ab 得，(a －b )2>0，即a >b 或a <b ，故选项A 成立．2.(2013·宜昌调研)函数f (x )＝x x ＋1的最大值为( ) A.25 B.12C.22D ．1 解析：选B.∵x ≥0，当x ＝0时，f (0)＝0；当x >0时，f (x )＝1x ＋1x≤12，当且仅当x ＝1x ， 即x ＝1时取等号，故选B.3.(2012·高考福建卷)下列不等式一定成立的是( )A ．lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14＞lg x (x ＞0) B ．sin x ＋1sin x≥2(x ≠k π，k ∈Z ) C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R )D.1x 2＋1＞1(x ∈R ) 解析：选C.当x >0时，x 2＋14≥2·x ·12＝x ，所以lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14≥lg x (x >0)，故选项A 不正确；运用基本不等式时需保证一正二定三相等，而当x ≠k π，k ∈Z 时，sin x 的正负不定，故选项B 不正确；由基本不等式可知，选项C 正确；当x ＝0时，有1x 2＋1＝1，故选项D 不正确．4.(2011·高考福建卷)若a >0，b >0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于( )A ．2B ．3C ．6D ．9解析：选D.由题意得f ′(x )＝12x 2－2ax －2b .∵函数f (x )在x ＝1处有极值，∴f ′(1)＝0，∴12－2a －2b ＝0，即a ＋b ＝6.又∵a ＞0，b ＞0，由基本不等式得：ab ≤(a ＋b 2)2＝(62)2＝9，故ab 的最大值是9. 5.(2013·金丽衢十二校联考)已知正数x ，y 满足x ＋22xy ≤λ(x ＋y )恒成立，则实数λ的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B.依题意得x ＋22xy ≤x ＋(x ＋2y )＝2(x ＋y )，即x ＋22xy x ＋y≤2(当且仅当x ＝2y 时取等号)，即x ＋22xy x ＋y 的最大值是2；又λ≥x ＋22xy x ＋y，因此有λ≥2，即λ的最小值是2，故选B.二、填空题6.若log m n ＝－1，则3n ＋m 的最小值是__________．解析：∵log m n ＝－1，∴m －1＝n ，∴mn ＝1.∵n ＞0，m ＞0且m ≠1，∴3n ＋m ≥23mn ＝2 3.答案：2 37.(2013·泰州调研)已知a ＋b ＝t (a >0，b >0)，t 为常数，且ab 的最大值为2，则t ＝________.解析：由基本不等式得ab ≤(a ＋b 2)2＝t 24＝2，t >0，解得t ＝2 2. 答案：2 28.(2011·高考湖南卷)设x ，y ∈R ，且xy ≠0，则(x 2＋1y 2)·(1x2＋4y 2)的最小值为__________． 解析：(x 2＋1y 2)(1x 2＋4y 2)＝5＋4x 2y 2＋1x 2y 2≥9(等号当且仅当4x 2y 2＝1x 2y2时取得)． 答案：9三、解答题9.(1)当x <32时，求函数y ＝x ＋82x －3的最大值； (2)当0<x <12时，求函数y ＝12x (1－2x )的最大值． 解：(1)y ＝12(2x －3)＋82x －3＋32＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2x 2＋83－2x ＋32. 当x <32时，有3－2x >0， ∴3－2x 2＋83－2x ≥2 3－2x 2·83－2x＝4， 当且仅当3－2x 2＝83－2x，即x ＝－12时取等号． 于是y ≤－4＋32＝－52，故函数有最大值－52. (2)∵0<x <12，∴1－2x >0， 则y ＝14·2x (1－2x )≤14⎝⎛⎭⎫2x ＋1－2x 22＝116，当且仅当2x ＝1－2x ，即x ＝14时取到等号， ∴y max ＝116. 10.已知lg(3x )＋lg y ＝lg(x ＋y ＋1)．(1)求xy 的最小值；(2)求x ＋y 的最小值．解：由lg(3x )＋lg y ＝lg(x ＋y ＋1)，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，y ＞0，3xy ＝x ＋y ＋1.(1)∵x ＞0，y ＞0，∴3xy ＝x ＋y ＋1≥2xy ＋1. ∴3xy －2xy －1≥0，即3(xy )2－2xy －1≥0，∴(3xy ＋1)(xy －1)≥0，∴xy ≥1，∴xy ≥1.当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立．∴xy 的最小值为1.(2)∵x ＞0，y ＞0，∴x ＋y ＋1＝3xy ≤3·⎝⎛⎭⎫x ＋y 22.∴3(x ＋y )2－4(x ＋y )－4≥0，∴[3(x ＋y )＋2][(x ＋y )－2]≥0，∴x ＋y ≥2，当且仅当x ＝y ＝1时取等号，∴x ＋y 的最小值为2.一、选择题1.(2013·郑州模拟)若a ＞b ＞0，则代数式a 2＋1b （a －b ）的最小值为( ) A ．2 B ．3C ．4D ．5解析：选C.依题意得a －b ＞0，所以代数式a 2＋1b （a －b ）≥a 2＋1[b ＋（a －b ）2]2＝a 2＋4a 2≥2a 2·4a 2＝4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧b ＝a －b ＞0a 2＝4a 2，即a ＝2，b ＝22时取等号，因此a 2＋1b （a －b ）的最小值是4，故选C.2.已知x >0，y >0，若2y x ＋8x y>m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．m ≥4或m ≤－2 B ．m ≥2或m ≤－4C ．－2<m <4D ．－4<m <2解析：选D.因为x >0，y >0，所以2y x ＋8x y≥216＝8.要使原不等式恒成立，只需m 2＋2m <8，解得－4<m <2.二、填空题3.已知a ＞0，b ＞0，函数f (x )＝x 2＋(ab －a －4b )x ＋ab 是偶函数，则f (x )的图象与y 轴交点纵坐标的最小值为__________．解析：根据函数f (x )是偶函数可得ab －a －4b ＝0，函数f (x )的图象与y 轴交点的纵坐标为ab .由ab －a －4b ＝0，得ab ＝a ＋4b ≥4ab ，解得ab ≥16(当且仅当a ＝8，b ＝2时等号成立)，即f (x )的图象与y 轴交点纵坐标的最小值为16.答案：164.某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系为y ＝－x 2＋18x －25(x ∈N *)．则当每台机器运转__________年时，年平均利润最大，最大值是__________万元．解析：每台机器运转x 年的年平均利润为y x ＝18－(x ＋25x )，而x ＞0，故y x≤18－225＝8，当且仅当x ＝5时，年平均利润最大，最大值为8万元．答案：5 8三、解答题5.(2013·福州市高三质量检测)某书商为提高某套丛书的销量，准备举办一场展销会．据市场调查，当每套丛书售价定为x 元时，销售量可达到15－0.1x 万套．现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10.假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润＝售价－供货价格．问：(1)每套丛书售价定为100元时，书商所获得的总利润是多少万元？(2)每套丛书售价定为多少元时，单套丛书的利润最大？解：(1)每套丛书售价定为100元时，销售量为15－0.1×100＝5(万套)，此时每套丛书的供货价格为30＋105＝32(元)， 书商所获得的总利润为5×(100－32)＝340(万元)．故每套丛书售价定为100元时，书商所获得的总利润为340万元．(2)每套丛书售价定为x 元时，由⎩⎪⎨⎪⎧15－0.1x ＞0x ＞0， 得0＜x ＜150.由题意，单套丛书利润P ＝x －(30＋1015－0.1x )＝x －100150－x－30， ∵0＜x ＜150，∴150－x ＞0.P ＝－[(150－x )＋100150－x]＋120， ∵(150－x )＋100150－x ≥2 （150－x ）·100150－x＝2×10＝20， 当且仅当150－x ＝100150－x，即x ＝140时等号成立． ∴此时，P max ＝－20＋120＝100.故每套丛书售价定为140元时，单套丛书的利润取得最大值．。
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1．下列说法正确的是()A．合情推理就是归纳推理B．合情推理的结论不一定正确，有待证明C．演绎推理的结论一定正确，不需证明D．类比推理是从特殊到一般的推理答案：B2．数列1,2,4,8,16,32的一个通项公式是()A．a n＝2n B．a n＝2n－1C．a n＝2n D．a n＝2n＋1答案：B3．(教材习题改编)下面几种推理是合情推理的是()①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；③张军某次考试成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸n边形内角和是(n－2)·180°.A．①②B．①③C．①②④D．②④答案：C4．(2011·高考江西卷)观察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2401，…，则72011的末两位数字为()A．01 B．43C．07 D．49解析：选B.因为71＝7,72＝49,73＝343,74＝2401,75＝16807,76＝117649，…，所以这些数的末两位数字呈周期性出现，且周期T＝4.又因为2011＝4×502＋3，所以72011的末两位数字与73的末两位数字相同，故选B.5．两条直线相交，对顶角相等，∠A和∠B是对顶角，则∠A＝∠B.该证明过程中大前提是________，小前提是________，结论是________．答案：两条直线相交，对顶角相等∠A和∠B是对顶角∠A＝∠B6．(2010·高考陕西卷)观察下列等式：13＋23＝(1＋2)2,13＋23＋33＝(1＋2＋3)2,13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，…，根据上述规律，第四个等式为________．解析：由前三个的规律即：左边为连续正整数的立方和，右边为连续正整数和的平方，可得结果．答案：13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2(或152)1．下列平面图形中与空间平行六面体作为类比对象较合适的是()A．三角形B．梯形C．平行四边形D．矩形解析：选C.因为平行六面体相对的两个面互相平行，类比平面图形，则相对的两条边互相平行，故选C.2．由710>58，911>810，1325>921，…，若a >b >0且m >0，则b ＋m a ＋m 与b a 之间大小关系为( )A ．相等B ．前者大C ．后者大D ．不确定解析：选B.观察题设规律，由归纳推理易得b ＋m a ＋m >ba.3．推理“①矩形是平行四边形；②三角形不是平行四边形；③三角形不是矩形”中的小前提是( )A ．①B ．②C ．③D ．①和②解析：选B.由演绎推理三段论可知，①是大前提；②是小前提；③是结论．故选B. 4．观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )＝( )A ．f (x )B ．－f (x )C ．g (x )D ．－g (x ) 解析：选D.由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数．因此当f (x )是偶函数时，其导函数应为奇函数，故g (－x )＝－g (x )．5．在平面内有n (n ∈N *，n ≥3)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，若这n 条直线把平面分成f (n )个平面区域，则f (5)的值是________，f (n )的表达式是__________．解析：由题意，n 条直线将平面分成n (n ＋1)2＋1个平面区域，故f (5)＝16，f (n )＝n 2＋n ＋22.答案：16 f (n )＝n 2＋n ＋226．在圆中有结论：如图所示，“AB 是圆O 的直径，直线AC ，BD 是圆O 过A ，B 的切线，P 是圆O 上任意一点，CD 是过P 的切线，则有PO 2＝PC ·PD ”．类比到椭圆：“AB 是椭圆的长轴，直线AC ，BD 是椭圆过A ，B 的切线，P 是椭圆上任意一点，CD 是过P 的切线，则有________．”解析：椭圆中的焦半径类比圆中的半径． 答案：PF 1·PF 2＝PC ·PD7．在锐角三角形ABC 中，AD ⊥BC ，BE ⊥AC ，D 、E 是垂足，试用演绎推理求证：AB 的中点M 到D ，E 的距离相等．证明：因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形，(大前提) 在△ABD 中，AD ⊥BC ，即∠ADB ＝90°，(小前提) 所以△ABD 是直角三角形．(结论) 同理，△AEB 也是直角三角形．因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，(大前提)而M 是Rt △ABD 斜边AB 的中点，DM 是斜边上的中线，(小前提)所以DM ＝12AB .(结论)同理，EM ＝12AB .所以，DM ＝EM ，即AB 的中点M 到D 、E 的距离相等．1．①由“若a ，b ，c ∈R ，则(ab )c ＝a (bc )”类比“若a 、b 、c 为三个向量，则(a ·b )c ＝a (b ·c )”；②在数列{a n }中，a 1＝0，a n ＋1＝2a n ＋2，猜想a n ＝2n －2；③在平面内“三角形的两边之和大于第三边”类比在空间中“四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积”．上述三个推理中，正确的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析：选C.①三个实数之积满足乘法的结合律，而三个向量之积是向量，而两个向量相等要满足方向和大小都相等，向量(a ·b )c 与向量a (b ·c )不一定满足，故①错误；②由a n ＋1＝2a n ＋2，可得a n ＋1＋2＝2(a n ＋2)，故数列{a n ＋2}为等比数列，易求得a n ＝2n －2，故②正确；③在四面体ABCD 中，设点A 在底面BCD 上的射影是O ，则三个侧面的面积都大于其在底面上的投影的面积，三个侧面的面积之和一定大于底面的面积，故③正确．2．如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n 行有n 个数且两端的数均为1n (n ≥2)，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如11＝12＋12，12＝13＋16，13＝14＋112，…，则第7行第4个数(从左往右数)为( ) 11 12 12 13 16 1314 112 112 14 15 120 130 120 15 … A.1140 B.1105 C.160 D.142解析：选A.第6行从左到右各数依次为16，130，160，160，130，16，第7行从左到右各数依次为17，142，1105，1140，1105，142，17，故选A.3．(2012·太原重点中学联考)给出下列命题：命题1：点(1,1)是直线y ＝x 与双曲线y ＝1x 的一个交点；命题2：点(2,4)是直线y ＝2x 与双曲线y ＝8x 的一个交点；命题3：点(3,9)是直线y ＝3x 与双曲线y ＝27x的一个交点；……请观察上面命题，猜想出命题n (n 是正整数)为______________．解析：观察题中给出的命题易知，命题n 中交点坐标为(n ，n 2)，直线方程为y ＝nx ，双曲线方程为y ＝n 3x.答案：点(n ，n 2)是直线y ＝nx 与双曲线y ＝n 3x的一个交点4．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n1－a n(n ∈N *)，则a 3＝________，a 1·a 2·a 3·…·a 2013＝________.解析：分别求出a 2＝－3，a 3＝－12，a 4＝13，a 5＝2，可以发现a 5＝a 1，数列{a n }以4为周期且a 1·a 2·a 3·a 4＝1.故a 1·a 2·a 3·…·a 2013＝a 1＝2.答案：－1225．已知等式：sin 25°＋cos 235°＋sin5°cos35°＝34；sin 215°＋cos 245°＋sin15°cos45°＝34；sin 230°＋cos 260°＋sin30°cos60°＝34；….由此可归纳出对任意角度θ都成立的一个等式，并予以证明． 解：归纳已知可得：sin 2θ＋cos 2(θ＋30°)＋sin θcos(θ＋30°)＝34.证明如下：sin 2θ＋cos 2(θ＋30°)＋sin θcos(θ＋30°)＝sin 2θ＋(32cos θ－12sin θ)2＋sin θ(32cos θ－12sin θ)＝sin 2θ＋34cos 2θ＋14sin 2θ－12sin 2θ＝34.6．先解答(1)，再根据结构类比解答(2)：(1)已知a ，b 为实数，且|a |<1，|b |<1，求证：ab ＋1>a ＋b .(2)已知a ，b ，c 均为实数，且|a |<1，|b |<1，|c |<1，求证：abc ＋2>a ＋b ＋c . (3)你能再用归纳推理方法猜想出更一般地结论吗？ 即x i ∈R ，|x i |<1(i ＝1,2，…，n )时，有________． 解：(1)证明：ab ＋1－(a ＋b )＝(a －1)(b －1)>0. (2)证明：∵|a |<1，|b |<1，|c |<1，据(1)得(ab )·c ＋1>ab ＋c ， ∴abc ＋2＝[(ab )·c ＋1]＋1>(ab ＋c )＋1＝(ab ＋1)＋c >a ＋b ＋c . (3)x 1x 2…x n ＋n －1＞x 1＋x 2＋…＋x n .。