高考数学一轮巩固 第53讲 圆的方程配套课件 文

(2)圆的一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
(__D__2＋__E__2－__4_F__>_0__)，圆心的坐标为___－__D2_，__－__E2__ __， D2＋E2－4F
半径 r＝________2_________． 圆的一般方程有如下特点：①x2，y2 系数都为 1；②
没有 xy 项；③D2＋E2－4F>0.都是方程表示圆的必要条 件，当 D2＋E2－4F＝0 时方程只表示一个点，当 D2＋ E2－4F<0 时，方程不表示任何曲线．
一般地，二元二次方程 Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋
AB＝ ＝C0 ≠0 F＝0 表示圆的充要条件为：_____D__2＋__E__2－__4_A__F_>_0__．
4．点 P(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)的位置 关系
(1)若(x0－a)2＋(y0－b)2>r2，则点 P 在圆外； (2)若(x0)若(x0－a)2＋(y0－b)2<r2，则点 P 在圆内．
一、求圆的方程 例1根据下列条件求圆的方程． (1)圆心是直线x－y＋1＝0与x轴的交点，且与直 线x＋y＋3＝0相切； (2)经过A(5，1)，B(1，3)两点，且圆心在x轴 上． (3)求过点A(－1，0)，B(3，0)和C(0，1)的圆的 方程．
(3)解法一：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝
0. 把A，B，C三点坐标代入圆的方程，得
1－D＋F＝0，
D＝－2，
9＋3D＋F＝0，解得E＝2，
(3)圆的参数方程 圆心在原点，半径为 r 的圆的参数方程为
x＝rcos θ _____y_＝__r_si_n__θ____(θ 为参数)，圆心为(x0，y0)，半径为 r
x＝x0＋rcos θ 的圆的参数方程为___y_＝__y0_＋__r_s_in__θ___(θ 为参数)．
【解析】此方程表示圆的充要条件为D2＋E2－
4F>0，
即(4m)2＋(－2)2－4×5m>0，解得m<
1 4
或m>1，
故选D.
2．圆x2＋y2＋4x－6y－3＝0的圆心和半径分别为 ( C)
A．(4，－6)，16 B．(2，－3)，4 C．(－2，3)，4 D．(2，－3)，6
【解析】圆方程可化为(x＋2)2＋(y－3)2＝16， 可知圆心(－2，3)，半径r＝4，故选C.
3．两个重要结论 端点圆方程：一个圆直径的端点是 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则圆的方程为_(_x_－__x_1_)(_x_－__x_2_)_＋__(y_－__y_1_)(_y_－__y_2_)＝__0_____．
圆的弦长公式：__l_＝__2__r_2_－__d_2___ (r 表示圆的半径，d 表示弦心距)．
5．已知对于圆x2＋(y－1)2＝1上任意一点P(x， y)，不等式x＋y＋m≥0恒成立，则实数m的取值范围 是__m__≥___2_－__1__．
【解析】圆x2＋(y－1)2＝1的参数方程可写为
x＝cos θ， y＝1＋sin θ.
∵x＋y＋m≥0恒成立，
∴cos θ＋1＋sin θ＋m≥0恒成立，即m≥－ (cos θ＋1＋sin θ)恒成立． ∵sin θ＋1＋cos θ＝ 2sinθ＋π4 ＋1≥1－ 2，
方法二：设圆心坐标为(a，0)，AB的中点坐标为 (3，2)，
且kAB＝31－－15＝－12， ∴直线AB的垂直平分线方程为y－2＝2(x－3)， 即2x－y－4＝0. 又圆心(a，0)在直线2x－y－4＝0上，则2a－4＝ 0，∴a＝2. 而半径r＝ （5－2）2＋（1－0）2＝ 10， 故所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝10.
∴m≥ 2－1.
【知识要点】 1．圆的定义： __平__面__内___与定点距离等于__定__长___的点的轨迹是圆， 其中定点是圆心，定长为圆的半径．
2．圆的方程 (1)圆的标准方程 圆心是(a，b)，半径为 r 的圆的标准方程是_(_x_－__a_)_2_＋_ _(_y_－__b_)2_＝__r_2_． 当圆心在(0，0)时，标准方程为___x_2_＋__y_2＝__r_2__．
【解析】(1)由题意知圆心坐标为(－1，0)，又该
圆与直线x＋y＋3＝0相切，所以半径r＝
|－1＋3| 2
＝
2，
故所求圆的方程为(x＋1)2＋y2＝2.
(2)方法一：设圆的标准方程为(x－a)2＋y2＝r2，
则（（51－－aa））22＋＋19＝＝rr22，，解得ar＝＝2，10. 故所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝10.
3D－E＋F＋10＝0.
F＝12.
故△ABC的外接圆的方程为x2＋y2－8x－2y＋12
＝0.
4．若圆x2＋y2＋(a2－1)x＋2ay－a＝0关于直线x －y＋1＝0对称，则实数a的值为__3__．
【解析】方程x2＋y2＋(a2－1)x＋2ay－a＝0表示 圆，
则(a2－1)2＋4a2＋4a＞0.① 由题设可知圆心 －a2－2 1，－a 在直线x－y＋1＝ 0上． 则－a2－2 1＋a＋1＝0，解得a＝－1或a＝3， 将a＝－1或a＝3代入①可得a＝3为所求，a＝－1 舍去．
3．以A(2，2)，B(5，3)，C(3，－1)为顶点的三 角形的外接圆的方程为_x_2_＋__y_2_－_8_x_－__2_y_＋__1_2_＝__0__．
【解析】设△ABC的外接圆的方程为x2＋y2＋Dx
＋Ey＋F＝0，
则52DD＋＋32EE＋＋FF＋＋384＝＝00，，解得DE＝＝－－28，，
第53讲 圆的方程
【学习目标】 1．掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一 般方程； 2．掌握圆的参数方程及其简单应用； 3．初步了解用代数方法处理几何问题的思想．
【基础检测】
1．方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆的充要
条件是( D )
A.14<m<1 B．m>1
C．m<14
D．m<14或m>1