优质课时训练：函数的单调性与导数
导数与函数的单调性课时训练
导数与函数的单调性A 组 基础巩固1．（2021·全国高二课时练习）函数()32133f x x x x =-++的单调递增区间为（ ） A ．()3,1-B ．()1,3-C ．(),1-∞-和()3,+∞D ．(),3-∞-和()1,+∞2．（2021·全国高二课时练习）函数f (x )＝2x －sin x 在(－∞,＋∞)上是（ ） A ．增函数 B ．减函数 C ．先增后减D ．不确定3．（2021·广西河池市·高二期末（文））已知函数()ln 2f x x ax =--在区间(1,2)上不单调，则实数a 的取值范围为（ ） A ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,32⎛⎫⎪⎝⎭D ．12,23⎛⎫⎪⎝⎭4．（2021·甘肃高三一模（理））已知函数()()e e x xf x x -=-，则()f x （ ）A ．是奇函数，且在(0,)+∞单调递减B ．是奇函数，且在(0,)+∞单调递增C ．是偶函数，且在(0,)+∞单调递减D ．是偶函数，且在(0,)+∞单调递增5．（2021·河南高二月考（理））已知函数()2sin f x x x =-，(1,1)x ∈-，如果()2(1)10f a f a -+->成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(0,1)B ．(2,1)-C ．(D ．6．（2021·全国高二课时练习）下面四个图象中，有一个是函数()()3221113f x x ax a x =++-+ (a R ∈)的导函数()y f x '=的图象，则()1f -等于（ ）A ．13B ．23-C ．73D ．13-或537．（2020·苏州外国语学校高二期中）函数()()22xf x x x e =-的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．8．（2021·全国高二单元测试）当0x >时，2()f x x x=+的单调递减区间是___________. 9．（2021·全国高二课时练习）已知函数f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数f (x )的单调递增区间是________.10．（2021·全国高二课时练习）函数()x f x e ex =-的单调递减区间为___________．11．（2021·全国高二课时练习）若函数()32f x x bx cx d =+++的单调递减区间为()1,3-，则b c +=_________．12．（2021·全国高二课时练习）函数32123y x x mx =+++是R 上的单调函数，则m 的范围是_________. B 组 能力提升13．（2021·浙江高三专题练习）当01x <<时，()ln xf x x=，则下列大小关系正确的是（ ） A ．()()()22fx f x f x <<B ．()()()22f xf x f x <<C ．()()()22f x f xf x <<D ．()()()22f x f x fx <<14．（2021·全国高二单元测试）函数321()53f x x x ax =-+-在区间[-1，2]上不单调，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(-∞，-3] B ．(-3，1)C ．[1，+∞)D ．(-∞，-3]∪[1，+∞)15．（2021·全国高二课时练习）求函数()2xe f x x =-的单调区间．16．（2021·全国高二课时练习）求f (x )＝3x 2－2ln x 函数的单调区间. 17．（2021·全国高二课时练习）利用导数判断下列函数的单调性: （1）()33f x x x =+；（2）()()sin 0f x x x x π=-∈，，； （3）()1x f x x-=. 18．（2021·浙江高三其他模拟）已知函数()2ln f x a x x x =++．（1）若()f x 单调递增，求实数a 的取值范围； （2）若函数()()132F x f x x =+--有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，求证：()211ln 202F x x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭．19．（2021·北京平谷区·高三一模）已知函数21()xax x f x e++= （1）当0a =时，求函数()y f x =的单调区间；（2）当1a =时，过点(1,0)P -可作几条直线与曲线()y f x =相切？请说明理由． 20．（2021·浙江高三其他模拟）已知函数()()ln R xf x x x mem =-∈．（1）当1m e=时，求函数()f x 的单调区间； （2）当22m e≥时，求证()0f x <．导数与函数的单调性解析A 组 基础巩固1．（2021·全国高二课时练习）函数()32133f x x x x =-++的单调递增区间为（ ） A ．()3,1-B ．()1,3-C ．(),1-∞-和()3,+∞D ．(),3-∞-和()1,+∞【答案】B 【分析】解不等式()0f x '>可得出函数()f x 的单调递增区间. 【详解】 函数()32133f x x x x =-++的定义域为R ，且()223f x x x '=-++. 由()0f x '>，可得2230x x --<，解得13x .所以，函数()f x 的单调递增区间为()1,3-. 故选：B.2．（2021·全国高二课时练习）函数f (x )＝2x －sin x 在(－∞,＋∞)上是（ ） A ．增函数 B ．减函数 C ．先增后减 D ．不确定【答案】A 【分析】由题设得f ′(x )＝2－cos x ，即可判断()'f x 在区间上的符号，进而确定()f x 的单调性. 【详解】∵由f (x )＝2x －sin x ，知：f ′(x )＝2－cos x ，且在(－∞,＋∞)上()0f x '>恒成立，∴f (x )在(－∞,＋∞)上为增函数. 故选：A3．（2021·广西河池市·高二期末（文））已知函数()ln 2f x x ax =--在区间(1,2)上不单调，则实数a 的取值范围为（ ） A ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,32⎛⎫⎪⎝⎭D ．12,23⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B 【分析】求出导函数()'f x ，只要()'f x 在(1,2)上有唯一零点即可得． 【详解】 由11()'-=-=axf x a x x， ①当0a 时函数()f x 单调递增，不合题意； ②当0a >时，函数()f x 的极值点为1x a=，若函数()f x 在区间(1,2)不单调，必有112a <<，解得112a <<. 故选：B ．4．（2021·甘肃高三一模（理））已知函数()()e e x xf x x -=-，则()f x （ ）A ．是奇函数，且在(0,)+∞单调递减B ．是奇函数，且在(0,)+∞单调递增C ．是偶函数，且在(0,)+∞单调递减D ．是偶函数，且在(0,)+∞单调递增【答案】D 【分析】根据奇偶函数的定义判断奇偶性，根据导数确定函数的单调性. 【详解】因为()()e e x x f x x -=-，x ∈R ,定义域关于原点对称，且()()()()x x x x f x x e e x e e f x ---=--=-=， 所以()f x 是偶函数，当0x >时，()()0x x x x f x e e x e e --'=-++>，所以()f x 在(0,)+∞单调递增， 故选：D5．（2021·河南高二月考（理））已知函数()2sin f x x x =-，(1,1)x ∈-，如果()2(1)10f a f a -+->成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(0,1) B ．(2,1)-C．( D．【答案】A 【分析】由题可得函数是奇函数，由导数可判断该函数在(1,1)-上是增函数，将不等式化为()2(1)1f a f a ->-，即可由单调性求解. 【详解】()2sin f x x x =-，(1,1)x ∈-，()2cos 0f x x =-'∴>在(1,1)x ∈-上恒成立，()f x ∴在(1,1)-上是增函数．又()f x 是奇函数，∴不等式()2(1)10f a f a -+->可化为()2(1)1f a f a ->-，从而可知，a 需满足2211111111a a a a -<-<⎧⎪-<-<⎨⎪->-⎩，解得01a <<．故选：A. 【点睛】关键点睛：本题考查函数不等式的求解，解题的关键是利用导数判断出函数的单调性，并得出函数是奇函数.6．（2021·全国高二课时练习）下面四个图象中，有一个是函数()()3221113f x x ax a x =++-+ (a R ∈)的导函数()y f x '=的图象，则()1f -等于（ ）A ．13B ．23-C ．73D ．13-或53【答案】D 【分析】根据函数解析式，先求得()f x '，由各图象形式确定()f x '的图象，并确定a 的值，即可求得()1f -. 【详解】 函数()()3221113f x x ax a x =++-+（a R ∈），则()2221f x x ax a '=++-， 可知()f x '为开口向上的二次函数，则②④排除.若()f x '的图象为①，则对称轴为0x a =-=，即0a =， 此时()3113f x x x =-+，则()1511133f -=-++= 若()f x '的图象为③，则对称轴为0x a =->，即0a <，由图象可知，()f x '过坐标原点，则()2010f a '=-=，解得：1a =-或1a =（舍去）此时()32113f x x x =-+，则()1111133f -=--+=-， 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题考查了导函数图象与函数图象关系，由导函数图象确定参数，熟悉二次函数的图象与性质是解题的关键，属于一般题.7．（2020·苏州外国语学校高二期中）函数()()22xf x x x e =-的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【分析】首先对函数()f x 求导，利用导函函数求单调性，判断极值点的个数，再利用当0x <时，()0f x >恒成立，利用排除法可得正确选项. 【详解】()()()()222222x x x f x x e x x e x e '=-+-=-，令()0f x '>，解得：x >x <令()0f x '<，解得：x <所以()()22xf x x x e =-在(,-∞单调递增，在(单调递减，在)+∞单调递增，所以()f x的两个极值点为A 和选项D ，当0x <时，220x x ->，0x e >，所以()()22xf x x x e =-恒为正，排除选项C ，即只有选项B 符合要求， 故选：B. 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.8．（2021·全国高二单元测试）当0x >时，2()f x x x=+的单调递减区间是___________.【答案】( 【分析】求得函数的导数222()x f x x-'=，令()0f x '<，即可求解.【详解】由题意，函数2(0),f x x x x =+>，可得22222()1x f x x x-'=-=， 令()0f x '<，即220x -<，解得02x ，所以函数()f x 的单调递减区间为(.故答案为：(.9．（2021·全国高二课时练习）已知函数f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数f (x )的单调递增区间是________.【答案】()1,2-和()4,+∞ 【分析】找到y ＝f ′(x )的图象上函数值为正的区间即可. 【详解】由y ＝f ′(x )的图象可得当()1,2x ∈-和()4,+∞时，()0f x '>，此时()f x 单调递增，所以函数f (x )的单调递增区间是()1,2-和()4,+∞. 故答案为：()1,2-和()4,+∞.10．（2021·全国高二课时练习）函数()x f x e ex =-的单调递减区间为___________． 【答案】(,1)-∞ 【分析】首先求出导函数()f x '，令()0f x '<，解不等式即可. 【详解】()x f x e e '=-令()0xf x e e '=-<，解得1x <，所以函数()f x 的单调递减区间为(,1)-∞． 故答案为：(,1)-∞11．（2021·全国高二课时练习）若函数()32f x x bx cx d =+++的单调递减区间为()1,3-，则b c +=_________． 【答案】12- 【分析】求出()'f x ，由1-和3是()0f x '=的根可得． 【详解】由题意2()32f x x bx c '=++，所以2320x bx c ++=的两根为1-和3，所以2133133bc ⎧-=-+⎪⎪⎨⎪=-⨯⎪⎩，所以3,9b c =-=-，12b c +=-．故答案为：12-．12．（2021·全国高二课时练习）函数32123y x x mx =+++是R 上的单调函数，则m 的范围是_________. 【答案】[1,)+∞【分析】32123y x x mx =+++是R 上的单调函数，则导函数恒大于等于0或恒小于等于0， 而导函数是开口向上的二次函数，只可能是恒大于等于0，则用判别式求解即可. 【详解】32123y x x mx =+++是R 上的单调函数，则导函数恒大于等于0 2'20y x x m =++≥则440m ∆=-≤，m 1≥ 故答案为：[1,)+∞ ．B 组 能力提升13．（2021·浙江高三专题练习）当01x <<时，()ln xf x x=，则下列大小关系正确的是（ ） A ．()()()22fx f x f x <<B ．()()()22f x f x f x <<C ．()()()22f x f x f x <<D ．()()()22f x f x f x <<【答案】D 【分析】求出导函数，可得数()f x 在(0,1)内单调递增，根据函数的单调性可判断出函数值的大小. 【详解】根据01x <<得到201x x <<<，因为()21ln xf x x-'=， 当01x <<时，1ln 0x ->，从而可得()0f x '>，所以函数()f x 在(0,1)内单调递增，所以()()()210f x f x f <<=，而()222ln 0x f x x ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，所以有()()()22f x f x f x <<. 故选：D.14．（2021·全国高二单元测试）函数321()53f x x x ax =-+-在区间[-1，2]上不单调，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(-∞，-3]B ．(-3，1)C ．[1，+∞)D ．(-∞，-3]∪[1，+∞)【答案】B 【分析】利用导数求出函数321()53f x x x ax =-+-在区间[-1，2]上单调时a 的范围，再根据补集思想可得答案. 【详解】2()2f x x x a '=-+2(1)1x a =-+-，如果函数321()53f x x x ax =-+-在区间[-1，2]上单调， 那么a -1≥0或(1)0(2)0f f ''-≤⎧⎨≤⎩，即120440a a ++≤⎧⎨-+≤⎩，解得a ≥1或a ≤-3，所以当函数321()53f x x x ax =-+-在区间[-1，2]上不单调时，31a -<<. 故选：B15．（2021·全国高二课时练习）求函数()2xe f x x =-的单调区间．【答案】单调递增区间为(3,)+∞；单调递减区间为(,2)-∞和(2,3)． 【分析】由函数解析式，求定义域及2(3)()(2)x e x f x x -'=-，讨论()0f x '>、()0f x '<即可确定单调区间. 【详解】由解析式知：函数()f x 定义域为(－∞,2)∪(2,＋∞)，且22(2)(3)()(2)(2)x x x e x e e x f x x x ---'==--，而20,(2)0x e x >->，∴()0f x '>时，有3x >，即函数()f x 的单调递增区间为(3,)+∞；()0f x '<时，有3x <，结合定义域，即函数()f x 的单调递减区间为(,2)-∞和(2,3)；16．（2021·全国高二课时练习）求f (x )＝3x 2－2ln x 函数的单调区间.【答案】递增区间为⎫+∞⎪⎪⎝⎭，递减区间为0⎛ ⎝⎭. 【分析】由f (x )＝3x 2－2ln x ，求导f ′(x )＝)2113-+，分别由f ′(x )＞0，f ′(x )＜0求解.【详解】f (x )＝3x 2－2ln x 的定义域为(0，＋∞)，则f ′(x )＝6x －2x ＝())221123133x -+-=，由f ′(x )＞0，解得x 由f ′(x )＜0，解得0＜x .∴函数f (x )＝3x 2－2ln x 的单调递增区间为⎫+∞⎪⎪⎝⎭，单调递减区间为0⎛⎝⎭. 17．（2021·全国高二课时练习）利用导数判断下列函数的单调性: （1）()33f x x x =+；（2）()()sin 0f x x x x π=-∈，，； （3）()1x f x x-=. 【答案】（1）递增；（2）递减；（3）()0，-∞和()0+∞，上单调递增. 【分析】先求导，通过导数的符号判断单调性. 【详解】（1）因为()33f x x x =+， 所以()()2233310f x x x ==+'+>所以()33f x x x =+在R 上单调递增.（2）因为()()sin 0f x x x x π=-∈，，， 所以()cos 10f x x '=-<所以()sin f x x x =-，函数在 ()0π，上单调递减.（3）因为()11f x x =-， ()()00x ∈-∞⋃+∞，，，所以()210f x x '=> 所以，函数()11f x x=-在 ()0-∞，和()0+∞，上单调递增.18．（2021·浙江高三其他模拟）已知函数()2ln f x a x x x =++．（1）若()f x 单调递增，求实数a 的取值范围； （2）若函数()()132F x f x x =+--有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，求证：()211ln 202F x x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭．【答案】（1）0a ≥；（2）证明见解析. 【分析】（1）由题知对任意的()0,x ∈+∞，()210af x x x'=++≥恒成立，进而得对任意的()0,x ∈+∞，22a x x ≥--恒成立，再结合二次函数性质即可得答案；（2）由题知1x ，2x 是()()222011x x aF x x x ++'==>-+的两个根，进而得102a <<，121x x +=-，1202a x x =>，则121102x x -<<-<<.再根据分析法得只需证()211ln 22F x x <-，再结合22222a x x =--，121x x +=-得()()()22221212ln 111F x x x x x x =+---+，进而令21t x =+，1,12t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭并构造函数()()1121ln 2,12r t t t t t t ⎛⎫⎛⎫=-+--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再研究函数()r t 的最值证明()1ln 22r t <-+即可.【详解】解：（1）由题知对任意的()0,x ∈+∞．()210af x x x'=++≥恒成立， 即对任意的()0,x ∈+∞，22a x x ≥--恒成立． 易知函数22y x x =--在()0,∞+上单调递减， 因此220y x x =--<，()0,x ∈+∞， 所以0a ≥．（2）()()()()2132ln 11F x f x x a x x x =+--=++>-，由题知1x ，2x 是()()22220111a x x aF x x x x x ++'=+==>-++的两个根，即1x ，2x 是方程()22201xx a x ++=>-的两个根，则()()2480,21210,a a ∆=->⎧⎪⎨⨯-+⨯-+>⎪⎩得102a <<， 且121x x +=-，1202a x x =>，则121102x x -<<-<<．要证()211ln 202F x x ⎛⎫+->⎪⎝⎭，只需证()211ln 22F x x ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，即证()211ln 22F x x <-． ()()()2222222112ln 1ln 11F x a x x a x x x x x ++++==--， 因为222220x x a ++=，所以22222a x x =--，从而()()()22221212ln 111F x x x x x x =+---+． 令21t x =+，则1,12t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()()21121ln 2F x t t t x t =-+--．设函数()()1121ln 2,12r t t t t t t ⎛⎫⎛⎫=-+--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则()2122ln 1r t t t t'=+-+， 设()21212ln 1,12k t t t t t ⎛⎫⎛⎫=+-+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则()()232321222t t k t t t t t+-'=-+=， 易知存在01,12t ⎛⎫∈⎪⎝⎭，使得20010t t +-=，且当01,2t t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0k t '<，当()0,1t t ∈时，()0k t '>，因此函数()2122ln 1r t t t t '=+-+在01,2t ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在()0,1t 上单调递增， 所以()0r t '<，因此()()121ln 2r t t t t t=-+--在1,12t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递减， 从而()()1121ln 2ln 22r t t t t t =-+--<-+， 即()211ln 22F x x <-，原命题得证．【点睛】本题考查的知识是“了解函数单调性和导数的关系，能用导数求函数的单调区间”，“理解函数极值的概念及函数在某点取到极值的条件，会用导数求函数的极大（小）值，会求闭区间上函数的最大（小）值”. 考查运算求解能力、逻辑思维能力和综合应用能力.本题注重基础，强调函数的性质、导数的运算与应用、不等式的证明，突出考查函数与导数之间的联系，通过导数的运算、函数的化简体现了对数学应用学科素养的考查，不等式的证明旨在培养理性思维学科素养．其中，求解本题第（2）问的难点有二：一是利用分析法对所证不等式的转化；二是判断函数()()1121ln 2,12r t t t t t t ⎛⎫⎛⎫=-+--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的单调性.19．（2021·北京平谷区·高三一模）已知函数21()xax x f x e++= （1）当0a =时，求函数()y f x =的单调区间；（2）当1a =时，过点(1,0)P -可作几条直线与曲线()y f x =相切？请说明理由．【答案】（1）()f x 的递减区间为(0,)+∞；递增区间为(,0)-∞；（2）只能作一条曲线()f x 的切线；答案见解析． 【分析】（1）当0a =时，求得'()xxf x e -=，结合导数的符号，即可求解； （2）当1a =时，求得函数的导数2'()xx x f x e-=，进而得出切线方程，根据切线过点(1,0)P -，化简得到320010x x ++=，构造新函数32()1g x x x =++，求得函数的单调性，结合零点的存在定理，即可求解.【详解】（1）当0a =时，可得1()x x f x e +=，则'()x xf x e-=， 令'()0f x =，解得0x =， 则'()f x 及()f x 的情况如下：所以函数()f x 的递减区间为(0,)+∞；递增区间为(,0)-∞．（2）当1a =时，21()xx x f x e++=，所以2'()x x x f x e -= 设切点为00(,)A x y ，则切线方程为：020000()x x x y y x x e --=-， 又因为切线过(1,0)P -，所以020000(1)x x x y x e --=--， 所以0022000001(1)x x x x x x x e e++--=--，化简得320010x x ++=， 令32()1g x x x =++，所以2()32g x x x '=+， 则'()g x 及()g x 的情况如下：所以函数()g x 的递减区间为2(,0)3-；递增区间为2(,)3-∞-，(0,)+∞，又由(2)30g -=-<，231()0327g -=>，所以()g x 在(2,0)-有唯一一个零点，．所以方程320010x x ++=有唯一一个解．所以过(1,0)P -只能作一条曲线()f x 的切线．【点睛】解题技巧：利用导数的几何意义，求得切线方程，把过点P 可作几条直线与曲线()y f x =相切，转化为新函数32()1g x x x =++的有解问题，结合单调性和极值及零点的存在性定理解答是解答的关键. 20．（2021·浙江高三其他模拟）已知函数()()ln R xf x x x me m =-∈．（1）当1m e=时，求函数()f x 的单调区间； （2）当22m e≥时，求证()0f x <． 【答案】（1）单调递减区间为()0,∞+，无单调递增区间；（2）证明见解析． 【分析】（1）利用导数的符号可求得函数的单调区间；（2）分两种情况讨论：①01x <≤，②1x >，当1x >时，利用放缩法将原问题转化为求证22ln xe x x e⋅>．然后作差构造函数，利用导数知识可证不等式成立. 【详解】（1）函数()f x 的定义域为()0,∞+． 当1m e=时，()1ln x f x x x e -=-，则()11ln x f x x e -'=+-． 记()11ln x g x x e -=+-，则()11x g x e x-'=-． 显然()g x '在()0,∞+上单调递减，且()10g '=，所以当()0,1x ∈时，()0g x '>，函数()g x 单调递增； 当()1,x ∈+∞时，()0g x '<，函数()g x 单调递减． 所以()()11ln110g x g ≤=+-=，即()0f x '≤恒成立， 所以函数()f x 在()0,∞+上单调递减．所以函数()f x 的单调递减区间为()0,∞+，无单调递增区间． （2）要证()0f x <，只需证ln x me x x >． ①当01x <≤时，e 1x >，ln 0x x ≤，22m e ≥，不等式显然成立． ②当1x >时，ln 0x x >，x e e >，由22m e ≥可得，22xx me e e≥， 于是原问题可转化为求证22ln x e x x e ⋅>，即证22ln 0x e x x-->．令()22ln x e h x x x -=-，则()()2222221221x x x e x x e x e h x x x x-----⋅-'=-=， 令()()221x p x e x x -=--，则()2222(1)2121x x x p x e x e xe ---'=-+-=-，易知()p x '在()0,∞+上单调递增， 又()2110p e'=-<，()230p '=>，所以存在()01,2x ∈使得()00p x '=， 所以()p x 在()01,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增， 又()110p =-<，()20p =，故当()1,2x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减， 当()2,x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增，所以当1x >时，()()21ln20h x h ≥=->，即()0f x <． 综上，()0f x <． 【点睛】关键点点睛：求解本题第（2）问的关键有：（1）想到分01x <≤，1x >两种情况进行证明；（2）当1x >时，想到利用放缩法将原问题转化为求证22ln xe x x e⋅>．。
课时训练3函数的单调性与导数
课时训练3 函数的单调性与导数1.函数f (x )=1cos x 在下列哪个区间上是单调递增函数( ). A.ππ,-2⎛⎫- ⎪⎝⎭ B.π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ C.3ππ,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.3π,2π2⎛⎫ ⎪⎝⎭解析:f'(x )=1cos x ⎛⎫ ⎪⎝⎭'=2sin cos xx ,当x ∈π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭时,f'(x )>0,故f (x )在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上是单调递增函数. 答案:B2.函数f (x )=2x 3-9x 2+12x+1的单调减区间为( ).A .(1,2)B .(2,+∞)C .(-∞,1)D .(-∞,1)和(2,+∞) 解析:f'(x )=6x 2-18x+12.令6x 2-18x+12<0,得1<x<2.答案:A3.函数f (x )=21x x +的单调区间是( ). A.在R 上单调递增B.在(-∞,-1)和(-1,+∞)上单调递增C.在(-∞,-1)∪(-1,+∞)上单调递增D.在R 上单调递减解析:函数定义域是{x|x ∈R ,且x ≠-1}.又f'(x )=22(1)x +>0,考虑到定义域,所以函数f (x )在(-∞,-1)和(-1,+∞)上是增函数. 答案:B4.若函数f (x )=x 3-ax 2-x+6在(0,1)内单调递减,则实数a 的取值范围是( ).A.a ≥1B.a=1C.a ≤1D.0<a<1解析:∵f'(x )=3x 2-2ax-1,又f (x )在(0,1)内单调递减,∴不等式3x 2-2ax-1≤0在(0,1)内恒成立, ∴f'(0)≤0,f'(1)≤0,∴a ≥1.答案:A5.设f'(x )是函数f (x )的导函数,y=f'(x )的图象如下图所示,则y=f (x )的图象最有可能是( ).解析:由f'(x )图象知,x ∈(-∞,0)时,f'(x )>0,f (x )为增函数,x ∈(0,2)时,f'(x )<0,f (x )为减函数,x ∈(2,+∞)时,f'(x )>0,f (x )为增函数.只有C 项符合题意,故选C 项.答案:C6.已知对任意实数x ,有f (-x )=-f (x ),g (-x )=g (x ),且x>0时,f'(x )>0,g'(x )>0,则x<0时( ).A.f'(x )>0,g'(x )>0B.f'(x )>0,g'(x )<0C.f'(x )<0,g'(x )>0D.f'(x )<0,g'(x )<0解析:f (x )为奇函数,g (x )为偶函数,奇(偶)函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同(反),∴x<0时,f'(x )>0,g'(x )<0.答案:B7.函数f (x )=2ln x-x 2的单调递增区间是 .解析:f (x )的定义域为(0,+∞),且f'(x )=2x -2x.令2x-2x>0, 解得x<-1,或0<x<1,又∵x>0,故函数的递增区间是(0,1).答案:(0,1)8.(2011安徽高考改编)设f (x )=2e 1x ax +,其中a 为正实数.若f (x )为R 上的单调函数,则a 的取值范围是 .解析:若f (x )为R 上的单调函数,则f'(x )在R 上不变号,结合f'(x )=e x ·22212ax (1)ax ax +-+与条件a>0,知1+ax 2-2ax ≥0在R 上恒成立,即Δ=4a 2-4a=4a (a-1)≤0,由此并结合a>0,知0<a ≤1.所以a 的取值范围为{a|0<a ≤1}.答案:(0,1]9.已知函数y=ax 与y=-b x 在(0,+∞)上都是减函数,试确定函数y=ax 3+bx 2+5的单调区间. 解:∵函数y=ax 与y=-b x在(0,+∞)上都是减函数, 则a<0,b<0,由y=ax 3+bx 2+5,得y'=3ax 2+2bx.令y'>0,得3ax 2+2bx>0,∴-23b a <x<0. ∴当x ∈2,03b a ⎛⎫- ⎪⎝⎭时,函数为增函数.令y'<0,即3ax 2+2bx<0,∴x<-23b a ,或x>0.∴当x ∈2,-3b a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭和(0,+∞)时,函数为减函数. 故函数在2,-3b a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭,(0,+∞)上单调递减;在2,03b a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增. 10.设函数f (x )=x e kx(k ≠0).(1)求曲线y=f (x )在点(0,f (0))处的切线方程;(2)求函数f (x )的单调区间;(3)若函数f (x )在区间(-1,1)内单调递增,求k 的取值范围.解:(1)∵f'(x )=(1+kx )e kx ,f'(0)=1,f (0)=0,∴曲线y=f (x )在点(0,f (0))处的切线方程为y=x.(2)由f'(x )=(1+kx )e kx =0得x=-1k (k ≠0). 若k>0,则当x ∈1,-k ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭时,f'(x )<0,函数f (x )单调递减; 当x ∈1,k ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭时,f'(x )>0,函数f (x )单调递增. 若k<0,则当x ∈1,-k ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭时,f'(x )>0,函数f (x )单调递增; 当x ∈1,k ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭时,f'(x )<0,函数f (x )单调递减. (3)由(2)知,若k>0,则当且仅当-1k≤-1,即0<k ≤1时,函数f (x )在(-1,1)内单调递增; 若k<0,则当且仅当-1k≥1,即-1≤k<0时,函数f (x )在(-1,1)内单调递增. 综上可知,函数f (x )在区间(-1,1)内单调递增时,k 的取值范围是[-1,0)∪(0,1].。
课时作业14 导数与函数的单调性 作业
课时作业14导数与函数的单调性一、选择题1．函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是()解析：由导函数y＝f′(x)的图象可知，该图象在x轴的负半轴上有一个零点(不妨设为x1)，并且当x<x1时，f′(x)<0，该图象在x轴的正半轴上有两个零点(从左到右依次设为x2，x3)，且当x∈(x1，x2)时，f′(x)>0；当x∈(x2，x3)时，f′(x)<0；当x>x3时，f′(x)>0.因此函数f(x)在x＝x1处取得极小值，在x＝x2处取得极大值，在x＝x3处取得极小值．由此对照四个选项，选项A中，在x＝x1处取得极大值，不符合题意；选项B中，极大值点应大于0，也不符合题意；选项C中，在x ＝x 1处取得极大值，不符合题意；选项D 符合题意．因此选D. 答案：D2．函数f (x )＝x －ln x 的单调递减区间为( ) A ．(0,1) B ．(0，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)解析：f ′(x )＝1－1x ，由1－1x <0得0<x <1，所以函数f (x )＝x －ln x 的单调递减区间为(0,1)，故选A. 答案：A3．(2018·兰州一中模拟)设函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1,2] B ．[4，＋∞) C ．(－∞，2]D ．(0,3]解析：f ′(x )＝x －9x ，当f ′(x )＝x －9x ≤0时，0<x ≤3，即在(0,3]上f (x )是减函数，因为f (x )在[a －1，a ＋1]上单调递减，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －1>0，a ＋1≤3，解得1<a ≤2，故A 正确． 答案：A4．若函数f (x )＝x 2－12ln x ＋1在其定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，则实数k 的取值范围是( ) A ．[1，＋∞) B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32C ．[1,2)D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2 解析：因为f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2x －12x ＝(2x ＋1)(2x －1)2x ， f ′(x )>0得x >12；f ′(x )<0得0<x <12；因为函数f (x )在其定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，所以0≤k －1<12<k ＋1，所以1≤k <32.故选B. 答案：B5．(2018·江西三校联考)已知函数f (x )与f ′(x )的图象如图所示，则函数g (x )＝f (x )e x 的递减区间为( )A ．(0,4)B ．(－∞，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫43，4 C.⎝⎛⎭⎪⎫0，43D ．(0,1)，(4，＋∞)解析：g ′(x )＝f ′(x )e x －f (x )e x (e x )2＝f ′(x )－f (x )e x ，令g ′(x )<0，即f ′(x )－f (x )<0，由题图可得x ∈(0,1)∪(4，＋∞)，故函数g (x )的单调减区间为(0,1)，(4，＋∞)．故选D. 答案：D6．(2018·重庆市高考数学一模)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且f ′(x )<f (x )对任意的x ∈R 恒成立，则下列不等式均成立的是( ) A ．f (ln2)<2f (0)，f (2)<e 2f (0)B ．f (ln2)>2f (0)，f (2)>e 2f (0)C ．f (ln2)<2f (0)，f (2)>e 2f (0)D ．f (ln2)>2f (0)，f (2)<e 2f (0)解析：令g (x )＝f (x )e x ，则g ′(x )＝f ′(x )－f (x )e x <0， 故g (x )在R 上递减，而ln2>0,2>0，故g (ln2)<g (0)，g (2)<g (0)，即f (ln2)2<f (0)1，f (2)e 2<f (0)1， 即f (ln2)<2f (0)，f (2)<e 2f (0)，故选A. 答案：A二、填空题7．函数f (x )＝1＋x －sin x 在(0,2π)上的单调情况是__________． 解析：在(0,2π)上有f ′(x )＝1－cos x >0，所以f (x )在(0,2π)上单调递增． 答案：单调递增8．若函数f (x )＝13x 3－32x 2＋ax ＋4恰在[－1,4]上单调递减，则实数a 的值为________．解析：∵f (x )＝13x 3－32x 2＋ax ＋4，∴f ′(x )＝x 2－3x ＋a ，又函数f (x )恰在[－1,4]上单调递减，∴－1,4是f ′(x )＝0的两根，∴a ＝(－1)×4＝－4. 答案：－49．(2018·河南安阳调研)已知函数f (x )＝ln x ＋12ax 2－2x 存在单调递减区间，则实数a 的取值范围为________．解析：f ′(x )＝1x ＋ax －2＝ax 2－2x ＋1x(x >0)，函数f (x )存在单调递减区间，即定义域(0，＋∞)内存在区间使ax 2－2x ＋1≤0，等价于a 小于2x －1x 2在x ∈(0，＋∞)上的最大值，设g (x )＝2x －1x 2，则g ′(x )＝－2x ＋2x 3，可知，函数g (x )在区间(0,1)为增函数，在区间(1，＋∞)为减函数，所以当x ＝1时，函数g (x )取得最大值，此时g (x )＝1，所以a <1，故填(－∞，1)． 答案：(－∞，1)10．已知定义在R 上的可导函数f (x )满足f ′(x )<1，若f (1－m )－f (m )>1－2m ，则实数m 的取值范围是________．解析：设g (x )＝f (x )－x ，则g ′(x )＝f ′(x )－1，因为f (x )满足f ′(x )<1，所以g ′(x )＝f ′(x )－1<0， 即函数g (x )在定义域上为减函数， 若f (1－m )－f (m )>1－2m ， 则f (1－m )－f (m )>(1－m )－m ， 即f (1－m )－(1－m )>f (m )－m ，即g (1－m )>g (m )，则1－m <m ，得m >12，故实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫12，＋∞.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞三、解答题11．已知函数f (x )＝ln x ＋ke x (k 为常数，e 是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行． (1)求k 的值； (2)求f (x )的单调区间．解：(1)由题意得f ′(x )＝1x －ln x －ke x . 又f ′(1)＝1－ke ＝0，故k ＝1. (2)由(1)知，f ′(x )＝1x －ln x －1e x. 设h (x )＝1x －ln x －1(x >0)，则h ′(x )＝－1x 2－1x <0，即h (x )在(0，＋∞)上是减函数．由h (1)＝0知，当0<x <1时，h (x )>0，从而f ′(x )>0； 当x >1时，h (x )<0，从而f ′(x )<0.综上可知，f (x )的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，＋∞)． 12．(2018·大连模拟)已知函数f (x )＝ln(x －1)＋axx ＋1(a ∈R )．(1)若函数f (x )在区间(1,4)上单调递增，求a 的取值范围； (2)若函数y ＝f (x )的图象与直线4x －3y －2＝0相切，求a 的值． 解：(1)函数f (x )＝ln(x －1)＋ax x ＋1，则f ′(x )＝1x －1＋ax ＋a －ax (x ＋1)2＝1x －1＋a(x ＋1)2， ∵函数f (x )在区间(1,4)上单调递增，∴1x －1＋a(x ＋1)2≥0在x ∈(1,4)上恒成立．即a ≥(x ＋1)21－x 在x ∈(1,4)上恒成立．令g (x )＝(x ＋1)21－x ，则g ′(x )＝－(x ＋1)(x －3)(1－x )2.当x ∈(1,3)时，g ′(x )>0，当x ∈(3,4)时，g ′(x )<0.∴g (x )在(1,3)上为增函数，在(3,4)上为减函数， ∴g (x )max ＝g (3)＝－8.则a ≥－8. (2)设切点坐标为(x 0，y 0)， 则f ′(x 0)＝1x 0－1＋a(x 0＋1)2，则1x 0－1＋a (x 0＋1)2＝43① f (x 0)＝ln(x 0－1)＋ax 0x 0＋1＝4x 03－23，②联立①，②解得：x 0＝2，a ＝3.1．(2018·东北三省三校二联)已知函数f (x )是定义在(0，＋∞)内的可导函数，f ′(x )为其导函数，当x >0，且x ≠1时，2f (x )＋xf ′(x )x －1>0，若曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线的斜率为－34，则f (1)＝( ) A ．0 B ．1 C.38D.15解析：令g ′(x )＝2f (x )＋xf ′(x )，则g ′(x )x －1>0，所以当x >1时，g ′(x )>0；当0<x <1时，g ′(x )<0，所以函数g (x )在(0,1)内为减函数，在(1，＋∞)内为增函数，且在x ＝1处取得极小值，所以g ′(1)＝0，故有2f (1)＋f ′(1)＝0，又f ′(1)＝－34，所以f (1)＝38. 答案：C2．(2018·吉林长春质量监测(二))已知定义域为R 的函数f (x )的图象经过点(1,1)，且对∀x ∈R ，都有f ′(x )>－2，则不等式f (log 2|3x －1|)<3－log2|3x－1|的解集为( )A ．(－∞，0)∪(0,1)B ．(0，＋∞)C ．(－1,0)∪(0,3)D ．(－∞，1)解析：令F (x )＝f (x )＋2x ，则F ′(x )＝f ′(x )＋2>0，所以F (x )在定义域内单调递增，由f (1)＝1，得F (1)＝f (1)＋2＝3，因为f (log 2|3x －1|)<3－log2|3x－1|等价于f (log 2|3x －1|)＋2log 2|3x －1|<3，令t ＝log 2|3x －1|，则f (t )＋2t <3，所以t <1，即log 2|3x －1|<1，从而0<|3x －1|<2，解得x <1，且x ≠0.故选A. 答案：A3．设函数f (x )＝a ln x ＋x －1x ＋1，其中a 为常数．(1)若a ＝0，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)讨论函数f (x )的单调性．解：(1)由题意知，a ＝0时，f (x )＝x －1x ＋1，x ∈(0，＋∞)，此时f ′(x )＝2(x ＋1)2，可得f ′(1)＝12，又f (1)＝0，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为x －2y －1＝0. (2)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝a x ＋2(x ＋1)2＝ax 2＋(2a ＋2)x ＋a x (x ＋1)2，当a ≥0时，f ′(x )>0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当a <0时，令g (x )＝ax 2＋(2a ＋2)x ＋a ， 由于Δ＝(2a ＋2)2－4a 2＝4(2a ＋1)，①当a ＝－12时，Δ＝0，f ′(x )＝－12(x －1)2x (x ＋1)2≤0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减．②当a <－12时，Δ<0，g (x )<0，f ′(x )<0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减．③当－12<a <0时，Δ>0，设x 1，x 2(x 1<x 2)是函数g (x )的零点， 则x 1＝－(a ＋1)＋2a ＋1a ，x 2＝－(a ＋1)－2a ＋1a， 由x 1＝a ＋1－2a ＋1－a ＝a 2＋2a ＋1－2a ＋1－a >0，所以x ∈(0，x 1)时，g (x )<0，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，x ∈(x 1，x 2)时，g (x )>0，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增，x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )<0，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减．综上所述，当a ≥0时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增， 当a ≤－12时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减，当－12<a <0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－(a ＋1)＋2a ＋1a ， ⎝ ⎛⎭⎪⎫－(a ＋1)－2a ＋1a ，＋∞上单调递减，在 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－(a ＋1)＋2a ＋1a ，－(a ＋1)－2a ＋1a 上单调递增．。
课时作业——导数与函数的单调性(高三一轮复习)
数字 N
— 16 —
10．已知函数 f(x)＝(x－1)(x＋1－4a)＋(2a2－2)ln x，讨论 f(x)的单调性． 解 因为 f(x)＝(x－1)(x＋1－4a)＋(2a2－2)ln x，所以 f′(x)＝2x－4a＋2a2x－2＝ 2x－a－1xx－a＋1(x>0)， 当 a≤－1 时，a－1<a＋1≤0，在(0，＋∞)上 f′(x)>0，所以 f(x)在(0，＋∞)上 单调递增． 当－1<a≤1 时，a－1≤0，a＋1>0，若 x∈(0，a＋1)，则 f′(x)<0，f(x)单调递减， 若 x∈(a＋1，＋∞)，则 f′(x)>0，f(x)单调递增．
数字 N
— 9—
6．(2022·江苏无锡模拟)已知 a＝ln 3 3，b＝e－1，c＝(9－3ln 3)e－3，则 a，b，c
的大小为( C )
A．a<b<c
B．a<c<b
C．c<a<b
D．b<c<a
数字 N
— 10 —
解析 令函数 f(x)＝lnxx(x≥e)，当 x>e 时，求导得 f′(x)＝1－xl2n x<0，则函数 f(x) e3
数字 N
— 23 —
13．(多选)(2022·湖南长沙二模)已知 m>n>1，若 em－2m＝men＋1－nem(e 为自然对
数的底数)，则( ACD )
em en＋1 A. m >n＋1
B.12m－1>12nຫໍສະໝຸດ C．2m－4＋2－n>
2 2
D．log3(m＋n)>1
数字 N 解析
— 24 —
因为 em－2m＝men＋1－nem，所以(n＋1)em＝m(en＋1＋2)，即emm＝enn＋＋1＋12，
导数与函数单调性 最新课时作业(含解析)
导数与函数单调性 课时作业一、选择题1．函数y ＝x 3＋x 的递增区间是 ( )A ．(－∞，1)B ．(－1，1)C ．(－∞，＋∞)D ．(1，＋∞)解析：y′＝3x 2＋1＞0对任意实数都成立，故y ＝x 3＋x 在R 上递增，选C. 答案：C2．已知函数f (x )＝xln x ＋3，则f (x )的单调递减区间为 ( )A ．(e ，＋∞)B ．(0，e)C ．(0，1)和(1，e)D ．(－∞，1)和(1，e)解析：由题意f ′(x )＝ln x －x ·1x （ln x ）2＝ln x －1（ln x ）2(x >0，且x ≠1)，解不等式ln x －1（ln x ）2<0，得x <e.∵x >0，且x ≠1， ∴0<x <1或1<x <e.∴函数的单调减区间为(0，1)和(1，e)． 答案：C3．定义在[0，π2)上可导函数f (x )的导数为f ′(x )，且f ′(x )cos x ＋f (x )sin x <0，f (0)＝0，则下列判断中，一定正确的是 ( )A ．f (π6)>2f (π3)B ．f (π4)<2f (π3)C ．f (ln2)>0D ．f (π6)<2f (π4) 解析：设F (x )＝f （x ）cos x ，因为f ′(x )cos x ＋f (x )sin x <0，x ∈[0，π2)， 所以F ′(x )＝f ′（x ）cos x －f （x ）·（cos x ）′cos 2x＝f ′（x ）cos x ＋f （x ）sin xcos 2x<0.所以F (x )在[0，π2)上递减，所以F (ln2)＜F (0)＝0，F (0)＞F (π6)>F (π4)>F (π3)，即f (ln2)＜0，0＞f （π6）cos π6>f （π4）cos π4>f （π3）cos π3，所以0>23f (π6)>2f (π4)>2f (π3)，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＜0，所以f (π6)>3f (π3)>2f (π3)， f (π4)>2f (π3)，2f (π6)>3f (π4)， 但3f (π4)>2f (π4)不成立， 故f (π6)<2f (π4)未必成立．故选A. 答案：A4．已知函数f (x )是定义在区间(0，＋∞)上的可导函数，满足f (x )>0且f (x )＋f ′(x )<0(f ′(x )为函数的导函数)，若0<a <1<b 且ab ＝1，则下列不等式一定成立的是 ( )A ．f (a )>(a ＋1)f (b )B ．f (b )>(1－a )f (a )C ．af (a )>bf (b )D ．af (b )>bf (a )解析：令g (x )＝e x f (x )，∴g ′(x )＝e x (f (x )＋f ′(x ))<0，∴g (x )在(0，＋∞)上为减函数． ∵a ＜b ，∴g (a )>g (b )，即e a f (a )＞e b f (b )， ∵f (x )>0，∴f （a ）f （b ）>e b －a， 取b ＝2，则a ＝12，f （b ）f （a ）<e －32<1－a <ba ，∴B ，D 错；因为e b －a >e b －1>b 2，所以f （a ）f （b ）>e b －a >b 2＝b a ⇒af (a )>bf (b )，所以C 正确． 答案：C5．已知定义在(0，＋∞)上的函数f (x )，满足(1)f (x )>0；(2)f (x )<f ′(x )<2f (x )(其中f ′(x )是f (x )是导函数，e 是自然对数的底数)，则f （1）f （2）的范围为 ( ) A ．(12e 2，1e ) B ．(1e 2，1e ) C ．(e ，2e) D ．(e ，e 3) 解析：构造函数g (x )＝f （x ）e x ，x ∈(0，＋∞)，则g ′(x )＝f ′（x ）e x －f （x ）e x （e x ）2＝f ′（x ）－f （x ）e x ，由已知f (x )<f ′(x )，得g ′(x )>0在(0，＋∞)上恒成立，则函数g (x )在(0，＋∞)上递增， 所以g (1)<g (2)，即f （1）e <f （2）e 2，又因为f (x )>0，所以f （1）f （2）<e e 2，即f （1）f （2）<1e， 再构造函数h (x )＝f （x ）（e x ）2，x ∈(0，＋∞)，则h ′(x )＝f ′（x ）（e x ）2－f （x ）·2（e x ）2（e x ）4＝f ′（x ）－2f （x ）（e x ）2，由已知f ′(x )<2f (x )，得h ′(x )<0在(0，＋∞)上恒成立，则函数h (x )在区间(0，＋∞)上单调递减，所以h (1)>h (2)，即f （1）e 2＞f （2）e 4，又因为f (x )>0，所以f （1）f （2）＞e 2e 4，即f （1）f （2）＞1e 2，所以1e 2<f （1）f （2）<1e .故选B.答案：B6．已知函数f (x )＝x 3＋3ax 在(1，3)上单调递增，则实数a 的取值范围是 ( )A ．[－1，＋∞)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1]D ．(－∞，－1) 解析：∵f (x )＝x 3＋3ax ， ∴f ′(x )＝3x 2＋3a .又函数f (x )在(1，3)上单调递增， ∴f ′(x )＝3x 2＋3a ≥0在(1，3)上恒成立，即a ≥－x 2在(1，3)上恒成立．∵当x ∈(1，3)时，－x 2<－1，∴a ≥－1. 所以实数a 的取值范围是[－1，＋∞)． 故选A. 答案：A7．定义在R 上的函数f (x )满足f (2)＝2，且对于任意x ∈R ，都有12f ′(x )<1，则不等式f (log 2x )>2log 2x －2的解集为 ( )A ．{x |0<x <4}B ．{x |－4<x <0}C ．{x |x ≥4}D ．{x |x <4} 解析：设t ＝log 2x ，则f (log 2x )>2log 2x －2可化为f (t )>2t －2， 设g (t )＝f (t )－2t ＋2，则g ′(t )＝f ′(t )－2， 因为12f ′(x )<1，即12f ′(t )<1， 所以g ′(t )＝f ′(t )－2<0， 所以函数g (t )为单调递减函数， 令t ＝2，则g (2)＝f (2)－2×2＋2＝0， 所以g (t )>0的解集为{t |t <2}， 即log 2x <2，解得0<x <4，即不等式的解集为{x |0<x <4}，故选A. 答案：A8．已知函数f ′(x )是函数f (x )的导函数，f (1)＝12e (其中e 为自然对数的底数)，对任意实数x ，都有f (x )－f ′(x )>0，则不等式2f (x )<e x －2的解集为 ( )A ．(－∞，e)B ．(1，＋∞)C ．(1，e)D ．(e ，＋∞) 解析：由题意构造函数g (x )＝f （x ）e x， 则g ′(x )＝f ′（x ）－f （x ）e x<0，∴函数g (x )在R 上单调递减． 又2f (x )<e x －2，∴f （x ）e x <12e 2，而g (1)＝f （1）e ＝12e 2，∴g (x )<g (1)，∴x >1，故不等式的解集为(1，＋∞)．故选B.答案：B9．已知函数f(x)＝12x2sin x＋x cos x，则其导函数f′(x)的图象大致是()解析：∵f(x)＝12x2sin x＋x cos x，∴f′(x)＝12x2cos x＋cos x，∴f′(－x)＝12(－x)2cos(－x)＋cos(－x)＝12x2cos x＋cos x＝f′(x)，∴其导函数f′(x)为偶函数，图象关于y轴对称，故排除A，B，当x→＋∞时，f′(x)→＋∞，故排除D，故选C.答案：C10．(已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)是f(x)的导函数，且满足f(x)>xf′(x)，则不等式f(x2－1)>(x－1)f(x＋1)的解集为()A．(1，＋∞) B．(1，2) C．(2，＋∞) D．(0，1)解析：设g(x)＝f（x）x，∴g′(x)＝f′（x）·x－f（x）x2，∵f(x)>xf′(x)，∴g′(x)<0，∴函数g(x)在(0，＋∞)上是减函数，∵f(x2－1)>(x－1)f(x＋1)，∴(x＋1)f(x2－1)>(x2－1)f(x＋1)，∴f （x 2－1）x 2－1>f （x ＋1）x ＋1，∴g (x 2－1)>g (x ＋1)， ∴⎩⎨⎧x 2－1>0，x ＋1>0，x 2－1<x ＋1，∴1<x <2.故选B. 答案：B11．已知a ≥0，函数f (x )＝(x 2－2ax )e x ，若f (x )在[－1，1]上是单调减函数，则a 的取值范围是( )A ．0<a <34 B.12<a <34 C ．a ≥34 D ．0<a <12解析：f ′(x )＝(2x －2a )e x ＋(x 2－2ax )e x ＝[x 2＋(2－2a )x －2a ]e x ，由题意，当x ∈[－1，1]时，f ′(x )≤0恒成立，即x 2＋(2－2a )x －2a ≤0恒成立，即⎩⎨⎧（－1）2＋（2－2a ）·（－1）－2a ≤0，12＋2－2a －2a ≤0，解得a ≥34.选C. 答案：C12．已知函数f (x )＝x ＋a ln x ，若∀x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1(x 1≠x 2)，|f (x 1)－f (x 2)|>|1x 1－1x 2|，则正数a 的取值范围是 ( )A ．[12，＋∞)B ．[32，＋∞) C ．[1，＋∞) D ．[2，＋∞)解析：因为a >0，f ′(x )＝1＋a x >0，所以f (x )＝x ＋a ln x 在(12，1)上单调递增，不妨设x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)<0，1x 1－1x 2>0，∀x 1，x 2∈(12，1)(x 1≠x 2)，|f (x 1)－f (x 2)|>⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x 1－1x 2即f (x 2)－f (x 1)>1x 1－1x 2，所以f (x 2)＋1x 2>f (x 1)＋1x 1，即g (x )＝f (x )＋1x 在(12，1)上单调递增，所以g ′(x )＝1＋a x －1x 2≥0，即a ≥1x －x ，又32＞1x －x ，故a ≥32，故选B.答案：B 二、填空题13．若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上为单调增函数，则k 的取值范围是________．解析：函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上为单调增函数等价于导函数在此区间恒大于等于0，故k ≥1x ⇒k ≥1.答案：[1，＋∞)14．已知函数f (x )＝e x －1e x －2sin x ，其中e 为自然对数的底数，若f (2a 2)＋f (a －3)＋f (0)<0，则实数a 的取值范围为________．解析：f (0)＝0，f ′(x )＝e x ＋e －x －2cos x ，e x ＋e －x ≥2，而2cos x ≤2，所有f ′(x )≥0，函数y ＝f (x )是单调递增函数，并且满足f (－x )＝－f (x )，即函数是奇函数，那么原不等式为f (2a 2)<－f (a －3)＝f (3－a )，即2a 2<3－a ⇔2a 2＋a －3<0，解得－32<a <1，故答案为：(－32，1)．答案：(－32，1)15．已知函数f (x )＝|ln x |，若0<a <b ，且f (a )＝f (b )，则a ＋2b 的取值范围是________．解析：∵f (x )＝|ln x |＝⎩⎨⎧－ln x ，0<x <1，ln x ，x ≥1，画出函数f (x )＝|ln x |的图象，如图1，图1∵0<a <b 且f (a )＝f (b )，∴0<a <1<b ，－ln a ＝ln b ，∴ln(ab )＝0，∴ab ＝1，∴a ＋2b ＝a ＋2a ＝f (a )的导数为f ′(a )＝1－2a 2，可得f (a )在0<a <1时递减，即有a ＋2b >f (1)＝3，∴a ＋2b 的取值范围是(3，＋∞)． 答案：(3，＋∞)16．已知f (x )＝ln x ，0<a <b ，若p ＝f (ab )，q ＝f (a ＋b 2)，r ＝f （a ）＋f （b ）2，则p ，q ，r 的大小关系是________．解析：q ＝f (a ＋b 2)＝ln a ＋b2，r ＝f （a ）＋f （b ）2＝ln a ＋ln b 2＝ln ab ＝p .∵a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时取等号，∴r ＝p <q . 答案：r ＝p <q 三、解答题17．已知函数f (x )＝(2x －1)e x －a (x 2＋x )，a ∈R .(1)讨论f (x )的单调性；(2)设g (x )＝－ax 2－a .若对任意的x ∈R ，恒有f (x )≥g (x )，求a 的取值范围． 解：(1)f ′(x )＝(2x ＋1)e x －a (2x ＋1)＝(2x ＋1)(e x －a )．(ⅰ)当a ≤0时，e x －a >0.当x ∈(－∞，－12)时，f ′(x )<0；当x ∈(－12，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )在(－∞，－12)上单调递减，在(－12，＋∞)上单调递增．(ⅱ)当a >0时，由f ′(x )＝0，得x ＝－12或x ＝ln a . 当a ＝e －12时，f ′(x )＝(2x ＋1)(e x －e －12)≥0， 所以f (x )在R 上单调递增．当0<a <e －12时，ln a <－12.当x ∈(－∞，ln a )∪(－12，＋∞)时，f ′(x )>0；当x ∈(ln a ，－12)时，f ′(x )<0，所以f (x )在(－∞，ln a )，(－12，＋∞)上单调递增，在(ln a ，－12)上单调递减．当a >e －12时，ln a >－12.当x ∈(－∞，－12)∪(ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0；当x ∈(－12，ln a )时，f ′(x )<0，所以f (x )在(－∞，－12)，(ln a ，＋∞)上单调递增，在(－12，ln a )上单调递减． (2)由题意，对任意的x ∈R ， 恒有(2x －1)e x －a (x －1)≥0， 即不等式a (x －1)≤(2x －1)e x 成立． ①当x ＝1时，显然成立．②当x >1时，不等式化为a ≤（2x －1）e x x －1.令h (x )＝（2x －1）e xx －1(x >1)，有h ′(x )＝（2x 2－3x ）e x （x －1）2.当x ∈(1，32)时，h ′(x )<0，h (x )单调递减；当x ∈(32，＋∞)时，h ′(x )>0，h (x )单调递增，所以当x ＝32时，h (x )取极小值h (32)＝4e 32.于是a ≤4e 32.③当x <1时，不等式转化为a ≥（2x －1）e x x －1.令φ(x )＝（2x －1）e xx －1(x <1)，有φ′(x )＝（2x 2－3x ）e x（x －1）2.当x ∈(－∞，0)时，φ′(x )>0，φ(x )单调递增；当x ∈(0，1)时，φ′(x )<0，φ(x )单调递减，所以当x ＝0时，φ(x )取极大值φ(0)＝1.此时a ≥1.综上，a 的取值范围是[1，4e 32]． 18．已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝x －1.(1)求函数y ＝f (x )的图象在x ＝1处的切线方程； (2)证明：f (x )≤g (x )；(3)若不等式f (x )≤ag (x )对任意的x ∈(1，＋∞)均成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)f ′(x )＝1x ，∴f ′(1)＝1.又由f (1)＝0，得所求切线l ：y －f (1)＝f ′(1)(x －1)， 即所求切线为y ＝x －1.(2)设h (x )＝f (x )－g (x )＝ln x －x ＋1，则h ′(x )＝1x －1，令h ′(x )＝0，得x ＝1，得下表：max (3)∀x ∈(1，＋∞)，f (x )>0，g (x )>0， (ⅰ)当a ≥1时，f (x )≤g (x )≤ag (x )； (ⅱ)当a ≤0时，f (x )>0，ag (x )≤0， 不满足f (x )≤ag (x )；(ⅲ)当0<a <1时，设e(x )＝f (x )－ag (x )＝ln x －a (x －1)， e ′(x )＝1x －a ，令e ′(x )＝0，x ＝1a 得下表：∴e(x )max ＝e(1a )>e(1)＝0，不满足不等式． 综上，a ≥1.19．已知函数f (x )＝12x 2－(2a ＋2)x ＋(2a ＋1)ln x .(1)求f (x )的单调区间；(2)对任意的a ∈[32，52]，x 1，x 2∈[1，2]，恒有|f (x 1)－f (x 2)|≤λ|1x 1－1x 2|，求正实数λ的取值范围．解：(1)f ′(x )＝x －(2a ＋2)＋2a ＋1x ＝（x －2a －1）（x －1）x (x >0)，令f ′(x )＝0，得x 1＝2a ＋1，x 2＝1.①当a ＝0时，f ′(x )＝（x －1）2x ≥0恒成立且仅有f ′(1)>0，所以f (x )增区间是(0，＋∞)； ②当a >0时，2a ＋1>1，所以f (x )增区间是(0，1)与(2a ＋1，＋∞)，减区间是(1，2a ＋1)； ③当－12<a <0时，0<2a ＋1<1，所以f (x )增区间是(0，2a ＋1)与(1，＋∞)，减区间是(2a ＋1，1)； ④当a ≤－12时，2a ＋1≤0，所以f (x )增区间是(1，＋∞)，减区间是(0，1)． (2)因为a ∈[32，52]，所以(2a ＋1)∈[4，6]， 由(1)知f (x )在[1，2]上为减函数．若x 1＝x 2，则原不等式恒成立，∴λ∈(0，＋∞)．若x 1≠x 2，不妨设1≤x 1<x 2≤2，则f (x 1)>f (x 2)，1x 1>1x 2， 所以原不等式即为f (x 1)－f (x 2)≤λ(1x 1－1x 2)， 即f (x 1)－λ·1x 1≤f (x 2)－λ·1x 2对任意的a ∈[32，52]，x 1，x 2∈[1，2]恒成立．令g (x )＝f (x )－λx ，所以对任意的a ∈[32，52]，x 1，x 2∈[1，2]，有g (x 1)<g (x 2)恒成立，所以g (x )＝f (x )－λx 在闭区间[1，2]上为增函数．所以g ′(x )≥0对任意的a ∈[32，52]，x ∈[1，2]恒成立． 而g (x )＝12x 2－(2a ＋2)x ＋(2a ＋1)ln x －λx ，g ′(x )＝x －(2a ＋2)＋2a ＋1x ＋λx 2≥0，化简为x 3－(2a ＋2)x 2＋(2a ＋1)x ＋λ≥0，即(2x －2x 2)a ＋x 3－2x 2＋x ＋λ≥0，其中a ∈[32，52]．∵x ∈[1，2]，∴2x －2x 2≤0，∴只需(2x －2x 2)·52＋x 3－2x 2＋x ＋λ≥0.即x 3－7x 2＋6x ＋λ≥0对任意x ∈[1，2]恒成立．令h (x )＝x 3－7x 2＋6x ＋λ，x ∈[1，2]，h ′(x )＝3x 2－14x ＋6<0恒成立． ∴h (x )＝x 3－7x 2＋6x ＋λ在闭区间[1，2]上为减函数，则h min (x )＝h (2)＝λ－8， ∴λ－8≥0，解得λ≥8.。
高中数学：4.1.1导数与函数的单调性 课时训练 (北师大选修1-1)
第四章 导数应用第1。
1节 导数与函数的单调性1．确定下列函数的单调区间 (1）y =x 3－9x 2+24x （2)y =x －x 32。
讨论二次函数y =ax 2+bx +c (a ＞0)的单调区间。
3.求下列函数的单调区间(1)y =x x 2+ （2)y =92-x x(3）y =x +x4．已知函数y =x +x1，试讨论出此函数的单调区间。
参考答案1．（1）解：y ′=(x 3－9x 2+24x )′=3x 2－18x +24=3(x －2）(x －4）令3(x －2)(x －4)＞0，解得x ＞4或x ＜2。
∴y =x 3－9x 2+24x 的单调增区间是（4，+∞）和(－∞，2) 令3（x －2)（x －4)＜0，解得2＜x ＜4。
∴y =x 3－9x 2+24x 的单调减区间是(2，4)(2）解:y ′=(x －x 3）′=1－3x 2=－3(x 2－31)=－3（x +33）(x －33) 令－3(x +33)（x －33)＞0,解得－33＜x ＜33.∴y =x －x 3的单调增区间是(－33,33). 令－3（x +33)(x －33)＜0，解得x ＞33或x ＜－33。
∴y =x －x 3的单调减区间是（－∞，－33)和(33,+∞） 2．解：y ′=(ax 2+bx +c ）′=2ax +b, 令2ax +b ＞0，解得x ＞－ab2 ∴y =ax 2+bx +c (a ＞0）的单调增区间是（－ab2，+∞) 令2ax +b ＜0,解得x ＜－ab2.∴y =ax 2+bx +c (a ＞0）的单调减区间是(－∞，－ab 2) 3．(1）解：y ′=（xx 2+）′=2222x x x x -=--∵当x ≠0时，－22x ＜0,∴y ′＜0。
∴y =xx 2+的单调减区间是(－∞，0）与（0，+∞）（2）解：y ′=(92-x x )′222)9(29-⋅--=x x x x 222222)9(9)9(9-+-=---=x x x x 当x ≠±3时，－222)9(9-+x x ＜0，∴y ′＜0.∴y =92-x x的单调减区间是（－∞，－3），（－3，3)与（3,+∞）。
函数单调性与导数练习题含有答案
函数单调性与导数练习题含有答案(总6页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--函数单调性与导数练习题一、选择题1.下列说法正确的是A.当f ′(x 0)=0时，则f (x 0)为f (x )的极大值B.当f ′(x 0)=0时，则f (x 0)为f (x )的极小值C.当f ′(x 0)=0时，则f (x 0)为f (x )的极值D.当f (x 0)为函数f (x )的极值且f ′(x 0)存在时，则有f ′(x 0)=0 2.下列四个函数，在x =0处取得极值的函数是①y =x 3 ②y =x 2+1 ③y =|x | ④y =2xA.①②B.②③C.③④D.①③3.函数y =2)13(1-x 的导数是 A.3)13(6-x B.2)13(6-x C.－3)13(6-x D.－2)13(6-x4.函数y =sin 3(3x +4π)的导数为 (3x +4π)cos(3x +4π) (3x +4π)cos(3x +4π)(3x +4π) D.－9sin 2(3x +4π)cos(3x +4π)5．设f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a >0)，则f (x )为R 上增函数的充要条件是( ) A ．b 2－4ac >0 B ．b >0，c >0 C ．b ＝0，c >0D ．b 2－3ac <06．函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( )A ．(－∞，2)B ．(0,3)C ．(1,4)D ．(2，＋∞)7.已知函数y ＝f (x )(x ∈R)上任一点(x 0，f (x 0))处的切线斜率k ＝(x 0－2)(x 0＋1)2， 则 该函数的单调递减区间为( )A ．[－1，＋∞)B ．(－∞，2]C ．(－∞，－1)和(1,2)D ．[2，＋∞)8.已知函数y ＝xf ′(x )的图象如图(1)所示(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)， 下面四个图象中，y ＝f (x )的图象大致是( )9.已知对任意实数x ，有f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，且x >0时，f ′(x )>0，g ′(x )>0，则x <0时( ) A ．f ′(x )>0，g ′(x )>0B ．f ′(x )>0，g ′(x )<0C ．f ′(x )<0，g ′(x )>0D ．f ′(x )<0，g ′(x )<010 .f (x )是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf ′(x )＋f (x )≤0，对任意正数a 、b ，若a <b ，则必有( ) A ．af (a )≤f (b )B ．bf (b )≤f (a )C ．af (b )≤bf (a )D ．bf (a )≤af (b )11.对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足(x －1)f ′(x )≥0，则必有( )A ．f (0)＋f (2)<2f (1)B ．f (0)＋f (2)≤2f (1)C ．f (0)＋f (2)≥2f (1)D ．f (0)＋f (2)>2f (1)12.曲线y ＝13x 3＋x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，43处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( )二、填空题13．函数f (x )＝x ＋9x 的单调减区间为________．14．曲线(3ln 1)y x x =+在点(1,1)处的切线方程为_______．15．函数f (x )＝x ＋2cos x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上取最大值时，x 的值为_______．16．已知函数f (x )＝ax －ln x ，若f (x )＞1在区间(1，＋∞)内恒成立，实数a的取值范围为________．三、解答题17．设函数f (x )＝x 3－3ax 2＋3bx 的图象与直线12x ＋y －1＝0相切于点(1，－11)．(1)求a 、b 的值 (2)讨论函数f (x )的单调性．18.已知函数f (x )=x 3+ax 2+bx +c ,当x =－1时，取得极大值7；当x =3 时，取得极小值.求这个极小值及a 、b 、c 的值.19.若函数3211()(1)132f x x ax a x =-+-+在区间(1,4)内为减函数，在区间(6,)+∞上为增函数，试求实数a 的取值范围．20.已知函数)(ln )(R a x a x x f ∈-=(1)当2=a 时，求曲线)(x f y =在点))1(,1(f A 处的切线方程； (2)求函数)(x f 的极值函数单调性与导数练习题答案1--5 DBCBD 6--10 DBCBC 11--12 CA13：（-3,0） ，（0,3） 14： 4x －y －3=0 15: 6π 16: 1a ≥17：[解析] (1)求导得f ′(x )＝3x 2－6ax ＋3b .由于f (x )的图象与直线12x ＋y －1＝0相切于点(1，－11)，f (1)＝－11，f ′(1)＝－12，即⎩⎪⎨⎪⎧1－3a ＋3b ＝－113－6a ＋3b ＝－12，解得a ＝1，b ＝－3. (2)由a ＝1，b ＝－3得f ′(x )＝3x 2－6ax ＋3b ＝3(x 2－2x －3)＝3(x ＋1)(x －3)．令f ′(x )>0，解得x <－1或x >3；又令f ′(x )<0，解得－1<x <3. 所以当x ∈(－∞，－1)时，f (x )是增函数； 当x ∈(3，＋∞)时，f (x )也是增函数； 当x ∈(－1,3)时，f (x )是减函数．18.解：f ′(x )=3x 2+2ax +b .据题意，－1，3是方程3x 2+2ax +b =0的两个根，由韦达定理得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⨯--=+-3313231b a ∴a =－3,b =－9，∴f (x )=x 3－3x 2－9x +c ∵f (－1)=7,∴c =2，极小值f (3)=33－3×32－9×3+2=－25 ∴极小值为－25，a =－3,b =－9,c =2.19解：2()1(1)[(1)]f x x ax a x x a '=-+-=---， 令()0f x '=得1x =或1x a =-，∴当(1,4)x ∈时，()0f x '≤，当(6,)x ∈+∞时，()0f x '≥， ∴416a ≤-≤，∴57a ≤≤． 20解：（1）X+Y －2=0。
高中数学 3.3.1函数的单调性与导数课时作业 新人教A版选修11
3.3.1 函数的单调性与导数课时目标 掌握导数与函数单调性之间的关系，会利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间．1．函数的单调性与其导函数的关系：在某个区间(a ，b )内，如果__________，那么函数y ＝f (x )在这个区间内单调递增；如果________，那么函数y ＝f (x )在这个区间内______________；如果恒有__________，那么函数f (x )在这个区间内为常函数．2．一般地，如果一个函数在某一范围内的导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内____________，这时，函数的图象就比较“________”；反之，函数的图象就比较“________”．3．求函数单调区间的步骤和方法 (1)确定函数f (x )的定义域； (2)求导数f ′(x )；(3)在函数定义域内解不等式f ′(x )>0和f ′(x )<0； (4)确定f (x )的单调区间．一、选择题 1．命题甲：对任意x ∈(a ，b )，有f ′(x )>0；命题乙：f (x )在(a ，b )内是单调递增的．则甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．若在区间(a ，b )内，f ′(x )>0，且f (a )≥0，则在(a ，b )内有( ) A ．f (x )>0 B ．f (x )<0 C ．f (x )＝0 D ．不能确定 3．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( )A ．sin xB ．x e xC ．x 3－x D ．ln x －x4．函数f (x )＝2x －sin x 在(－∞，＋∞)上是( ) A ．增函数 B ．减函数 C ．先增后减 D ．不确定5．定义在R 上的函数f (x )，若(x －1)·f ′(x )<0，则下列各项正确的是( ) A ．f (0)＋f (2)>2f (1) B ．f (0)＋f (2)＝2f (1) C ．f (0)＋f (2)<2f (1)D ．f (0)＋f (2)与2f (1)大小不定6．函数y ＝ax －ln x 在(12，＋∞)内单调递增，则a 的取值范围为( )A ．(－∞，0]∪[2，＋∞)B ．(－∞，0] 题 号 1 2 3 4 5 6 答 案 7．函数f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6的单调减区间是____________．8．已知f (x )＝ax 3＋3x 2－x ＋1在R 上是减函数，则a 的取值范围为________．9．使y＝sin x＋ax在R上是增函数的a的取值范围为____________．三、解答题10．求函数f(x)＝2x2－ln x的单调区间．11.(1)已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调减区间为[－1,2]，求b，c的值．(2)设f(x)＝ax3＋x恰好有三个单调区间，求实数a的取值范围．能力提升12．判断函数f(x)＝(a＋1)ln x＋ax2＋1的单调性．13．已知函数f(x)＝x3－ax－1.(1)若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；(2)是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．1．利用导数的正负与函数单调性的关系可以求函数的单调区间；在求函数单调区间时，只能在定义域内讨论导数的符号．2．根据函数单调性可以求某些参数的范围．§3.3 导数在研究函数中的应用 3．3.1 函数的单调性与导数答案知识梳理1．f ′(x )>0 f ′(x )<0 单调递减 f ′(x )＝0 2．变化得快 陡峭 平缓 作业设计1．A [f (x )＝x 3在(－1,1)内是单调递增的，但f ′(x )＝3x 2≥0(－1<x <1)，故甲是乙的充分不必要条件．]2．A [因为f (x )在(a ，b )上为增函数，∴f (x )>f (a )≥0.] 3．B [A 中，y ′＝cos x ，当x >0时，y ′的符号不确定；B 中，y ′＝e x ＋x e x ＝(x ＋1)e x ，当x >0时，y ′>0，故在(0，＋∞)内为增函数；C 中：y ′＝3x 2－1，当x >0时，y ′>－1；D中，y ′＝1x－1，当x >0时，y ′>－1.]4．A [f ′(x )＝2－cos x ，∵cos x ≤1，∴f ′(x )>0，∴f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数．] 5．C [当x >1时，f ′(x )<0，f (x )是减函数， ∴f (1)>f (2)．当x <1时，f ′(x )>0，f (x )是增函数， ∴f (0)<f (1)．因此f (0)＋f (2)<2f (1)．]6．C [∵y ′＝a －1x ，函数y ＝ax －ln x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞内单调递增， ∴函数在(12，＋∞)上y ′≥0，即a －1x ≥0，∴a ≥1x .由x >12得1x <2，要使a ≥1x恒成立，只需a ≥2.]7．(－1,11)解析 ∵f ′(x )＝3x 2－30x －33 ＝3(x ＋1)(x －11)．由f ′(x )<0，得－1<x <11， ∴f (x )的单减区间为(－1,11)． 8．(－∞，－3]解析 f ′(x )＝3ax 2＋6x －1≤0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a <0Δ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a <036＋12a ≤0，∴a ≤－3.9．[1，＋∞)解析 ∵f ′(x )＝cos x ＋a ≥0，∴a ≥－cos x ， 又－1≤cos x ≤1，∴a ≥1.10．解 由题设知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝4x －1x ＝4x 2－1x，由f ′(x )>0，得x >12，由f ′(x )<0，得0<x <12，∴函数f (x )＝2x 2－ln x 的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.11．解 (1)∵函数f (x )的导函数f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，由题设知－1<x <2是不等式3x 2＋2bx ＋c <0的解集．∴－1,2是方程3x 2＋2bx ＋c ＝0的两个实根，∴－1＋2＝－23b ，(－1)×2＝c3，即b ＝－32，c ＝－6.(2)∵f ′(x )＝3ax 2＋1，且f (x )有三个单调区间，∴方程f ′(x )＝3ax 2＋1＝0有两个不等的实根，∴Δ＝02－4×1×3a >0，∴a <0. ∴a 的取值范围为(－∞，0)．12．解 由题意知f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a ＋1x＋2ax ＝2ax 2＋a ＋1x.①当a ≥0时，f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增． ②当a ≤－1时，f ′(x )<0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递减． ③当－1<a <0时，令f ′(x )＝0，解得x ＝－a ＋12a ，则当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0， －a ＋12a 时，f ′(x )>0； 当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－a ＋12a ，＋∞时，f ′(x )<0. 故f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0， －a ＋12a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋12a ，＋∞上单调递减．综上，当a ≥0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当a ≤－1时，f (x )在(0，＋∞)上单调递减；当－1<a <0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0， －a ＋12a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎪⎫－a ＋12a ，＋∞上单调递减．13．解 (1)由已知，得f ′(x )＝3x 2－a . 因为f (x )在(－∞，＋∞)上是单调增函数，所以f ′(x )＝3x 2－a ≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即a ≤3x 2对x ∈(－∞，＋∞)恒成立．因为3x 2≥0，所以只需a ≤0.又a ＝0时，f ′(x )＝3x 2≥0，f (x )在实数集R 上单调递增，所以a ≤0.(2)假设f ′(x )＝3x 2－a ≤0在(－1,1)上恒成立，则a ≥3x 2在x ∈(－1,1)时恒成立．因为－1<x <1，所以3x 2<3，所以只需a ≥3.当a ＝3时，在x ∈(－1,1)上，f ′(x )＝3(x 2－1)<0， 即f (x )在(－1,1)上为减函数，所以a ≥3.故存在实数a≥3，使f(x)在(－1,1)上单调递减．。
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优质课时训练：函数的单调性与导数
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．下列函数中，在区间(－1,1)上是减函数的是( )
A ．y ＝2－3x 2
B ．y ＝ln x
C ．y ＝1x －2
D ．y ＝sin x
解析： 对于函数y ＝1x －2，其导数y ′＝－1x －2
<0，且函数在区间(－1,1)上有意义，所以函数y ＝1x －2
在区间(－1,1)上是减函数，其余选项都不符合要求，故选C.
答案： C
2．若在区间(a ，b )内有f ′(x )>0，且f (a )≥0，则在(a ，b )内有( )
A ．f (x )>0
B ．f (x )<0
C ．f (x )＝0
D ．不能确定
解析： ∵f ′(x )>0，∴f (x )在(a ，b )内单调递增．∴f (x )>f (a )≥0，即f (x )>0.
答案： A
3．函数f (x )＝ax 3－x 在R 上为减函数，则( )
A ．a ≤0
B ．a <1
C ．a <2
D ．a ≤13
解析： f ′(x )＝3ax 2－1，∵f (x )在R 上为减函数， ∴f ′(x )≤0在R 上恒成立，
∴a≤0，经检验a＝0符合题意，故选A.
答案： A
4．设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能为( )
解析：由f(x)的图象知f(x)在(－∞，0)上单调递增，
∴f′(x)>0，排除A，C.
当x＞0时，f(x)先增又减后又增，
∴f′(x)的图象应先在x轴上方又下方后又上方，故D正确．答案： D
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．命题甲：对任意x∈(a，b)，有f′(x)>0；命题乙：f(x)在(a，b)内是单调递增的，则甲是乙的________条件．
解析：f(x)＝x3在(－1,1)内是单调递增的，但f′(x)＝3x2≥0(－1<x<1)，故甲是乙的充分不必要条件．
答案：充分不必要
6．若函数f(x)＝x3＋ax＋8的单调减区间为(－5,5)，则a的值为________．
解析：f′(x)＝3x2＋a，∵f′(x)<0的解为－5<x<5，
∴3×52＋a＝0，∴a＝－75.
答案：－75
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．求下列函数的单调区间：
(1)y ＝23
x 3－2x 2＋3； (2)y ＝ln(2x ＋3)＋x 2.
解析： (1)函数的定义域为R .
y ′＝2x 2－4x ＝2x (x －2)．令y ′>0，则2x (x －2)>0，解得x <0或x >2.所以函数的单调递增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)．
令y ′<0，则2x (x －2)<0，解得0<x <2，所以函数的单调递减区间为(0,2)．
(2)函数y ＝ln(2x ＋3)＋x 2的定义域为⎝ ⎛⎭
⎪⎫－32，＋∞. y ′＝22x ＋3＋2x ＝4x 2＋6x ＋22x ＋3
＝x ＋
x ＋2x ＋3.
令y ′>0，解得－32<x <－1或x >－12
. 所以函数的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－1，⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，＋∞. 令y ′<0，解得－1<x <－12
， 所以函数的单调递减区间为⎝
⎛⎭⎪⎫－1，－12. 8．已知函数f (x )＝ln(2－x )＋ax 在区间(0,1)上是增函数，求实数a 的取值范围．
解析： f ′(x )＝a －12－x
，
∵f ′(x )≥0在(0,1)上恒成立，
∴a ≥12－x
. 又∵0<x <1,1<2－x <2，
∴12<12－x
<1. ∴a ≥1.
9．(10分)求证：x >1时，x >ln(1＋x )．
证明： 设f (x )＝x －ln(1＋x )，
则f ′(x )＝1－11＋x ＝x 1＋x
， ∵x ≥1时，f ′(x )>0，
∴f (x )在[1，＋∞)上是增函数，
∴当x >1时，f (x )＝x －ln(1＋x )>f (1)＝1－ln 2>1－ln e ＝0， ∴f (x )>0，即x >ln(1＋x )(x >1)．。