高中数学 3.2.1几个常用函数的导数导学案 新人教A版选修1-1
河北省唐山市开滦第二中学高中数学 3.2.1几个常用函数的导数导
学案 新人教A 版选修1-1
【学习目标】
1.应用由定义求导数推导四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x =
的导数公式； 2．掌握并能运用几个基本初等函数的求导公式正确求函数的导数．
【重点难点】四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x
=的导数公式及应用 【学习内容】
一．问题提出
导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．那么，对于函数()y f x =，如何求它的导数呢？
由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数，我们将研究比较简捷的求导数的方法，下面我们求几个常用的函数的导数．
二．新课学习
1．函数()y f x c ==的导数
根据导数定义，因为()()0y f x x f x c c x x x
∆+∆--===∆∆∆ 所以00
lim lim 00x x y y ∆→∆→∆'===
0y '=表示函数y c =图像上每一点处的切线的斜率都为0．若y c =表示路程关于时间的函数，则0y '=可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态．
2．函数()y f x x ==的导数
因为()()1y f x x f x x x x x x x
∆+∆-+∆-===∆∆∆ 所以00
lim lim 11x x y y ∆→∆→∆'===
1y '=表示函数y x =图像上每一点处的切线的斜率都为1．若y x =表示路程关于时间的函
数，则1y '=可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动．
3．函数2()y f x x ==的导数 因为22
()()()y f x x f x x x x x x x
∆+∆-+∆-==∆∆∆ 222
2()2x x x x x x x x
+∆+∆-==+∆∆ 所以00
lim lim (2)2x x y y x x x x ∆→∆→∆'==+∆=∆
2y x '=表示函数2y x =图像上点(,)x y 处的切线的斜率都为2x ，说明随着x 的变化，切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当0x <时，随着x 的增加，函数2y x =减少得越来越慢；当0x >时，随着x 的增加，函数2y x =增加得越来越快．若2y x =表示路程关于时间的函数，则2y x '=可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x 的瞬时速度为2x ．
4．函数1()y f x x
==的导数 因为11()()y f x x f x x x x x x x
-∆+∆-+∆==∆∆∆ 2()1()x x x x x x x x x x
-+∆==-+∆∆+⋅∆ 所以220011lim lim ()x x y y x
∆→∆→∆'==-=-∆
（2）推广：若*()()n y f x x n Q ==∈，则1()n f x nx -'=
（3）基本初等函数的导数公式表：为方便，下列公式可直接应用
三、典例分析
例1． 求 (1)(x 3)′ (2)(21
x )′
例2．已知曲线y ＝x 3在点P 处的切线斜率为k ，则当k ＝3时的P 点坐标为(
) A ． (－2，－8) B ．(－1，－1)或(1,1)
C ．(2,8) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1
2，－1
8
题后反思：导数的几何意义是：
例3．质点运动方程是51
t s =, 求质点在2=t 时的速度．
四、课堂练习
1.求下列函数的导数：
(1)y =31
x
(2)y =3x
2.质点的运动方程是s =t 3，(s 单位m ，t 单位s )，求质点在t =3时的速度.
3．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝e x 的切线，则实数k 的值为( )
A.1e B ．－1e C ．－e D ．e
.
【课堂小结与反思】
【课后作业与练习】
1求下列函数的导数
（1）2log y x = （2）y =e x
（3）y =x 5 （4）y=sin x
（5）y =ln x （6）y =a x
2.已知圆面积公式2S r π=，求()r S '。
3求描述气球膨胀状态的函数()343πV V r =的导数。
4．曲线y ＝cos x 在点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π
6，32处的切线方程为___________．
5．质点沿直线运动的路程s 与时间t 的关系是s ＝5t ，则质点在t ＝4时的速度为(
) A.12523 B.110523
C.25523
D.1105
23
5. （2011年高考江西卷文科4)曲线x
y e 在点A （0,1）处的切线斜率为（ ）
A.1
B.2
C.e
D.1e
6．求过点(2,0)且与曲线y ＝x 3相切的直线方程．
7. 求过曲线y ＝e x 上点P (1，e)且与曲线在该点处的切线垂直的直线方程．。
高中数学 第三章 导数及其应用 3.2 导数的计算 第1课时 几个常用函数的导数与基本初等函数的导数
高中数学第三章导数及其应用3.2 导数的计算第1课时几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式课时提升作业2 新人教A版选修1-1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第三章导数及其应用3.2 导数的计算第1课时几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式课时提升作业2 新人教A版选修1-1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式（25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.下列各式中正确的是( ）A。
（lnx)′=x B。
（cosx)′=sinxC。
(sinx）′=cosx D.（x-8)′=-x—9【解析】选C。
因为（lnx）′=，（cosx)′=—sinx，（x-8)′=-8x-9=—,所以A,B,D均不正确，C正确。
2.若y=lnx,则其图象在x=2处的切线斜率是（)A.1 B。
0 C。
2 D.【解析】选D。
因为y′=,所以当x=2时，y′=，故图象在x=2处的切线斜率为.3.（2015·西安高二检测）运动物体的位移s=3t2—2t+1,则此物体在t=10时的瞬时速度为( )A.281B.58 C。
85 D.10【解析】选B。
因为s=3t2-2t+1，所以s′=6t-2.当t=10时,s′=6×10—2=58.即此物体在t=10时的瞬时速度为58。
4。
正弦曲线y=sinx上一点P,以点P为切点的切线为直线l,则直线l的倾斜角的范围是（)A.∪B。
高中数学 2-1 第三章 导数导学案 新人教A版选修1-1
§3.1.1 变化率问题学习目标. 体会数学的博大精深以及学习数学的意义；.学习过程一、课前准备7880复习1：曲线221259x y +=与曲线221(9)259x y k k k+=<--的（ ）A ．长、短轴长相等B ．焦距相等C ．离心率相等D ．准线相同复习2：当α从0到180变化时，方程22cos 1x y α+=表示的曲线的形状怎样变化？二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一：问题1：气球膨胀率，求平均膨胀率吹气球时，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度如何描述这种现象?问题2：高台跳水，求平均速度新知：平均变化率：2121()()f x f x fx x x-∆=-∆试试：设()y f x =，1x 是数轴上的一个定点，在数轴x 上另取一点2x ，1x 与2x 的差记为x ∆，即x ∆= 或者2x = ，x ∆就表示从1x 到2x 的变化量或增量，相应地，函数的变化量或增量记为y ∆，即y ∆= ；如果它们的比值yx∆∆，则上式就表示为 ，此比值就称为平均变化率.反思：所谓平均变化率也就是 的增量与 的增量的比值.※ 典型例题例1 过曲线3()y f x x ==上两点(1,1)P 和(1,1)Q x y +∆+∆作曲线的割线，求出当0.1x ∆=时割线的斜率.变式：已知函数2()f x x x =-+的图象上一点(1,2)--及邻近一点(1,2)x y -+∆-+∆，则yx∆∆=例2 已知函数2()f x x =，分别计算()f x 在下列区间上的平均变化率： （1）[1，3]； （2）[1，2]； （3）[1，1.1]； （4）[1，1.001]小结：※ 动手试试练1. 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率.T(月)639 12练2. 已知函数()21f x x =+，()2g x x =-，分别计算在区间[-3，-1]，[0，5]上()f x 及()g x 的平均变化率.（发现：y kx b =+在区间[m ，n]上的平均变化率有什么特点？三、总结提升 ※ 学习小结1.函数()f x 的平均变化率是2.求函数()f x 的平均变化率的步骤：（1）求函数值的增量 （2）计算平均变化率※ 知识拓展※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 21y x =+在(1,2)内的平均变化率为（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．02. 设函数()y f x =，当自变量x 由0x 改变到0x x +∆时，函数的改变量y ∆为（ ） A ．0()f x x +∆ B ．0()f x x +∆ C ．0()f x x ∆ D ．00()()f x x f x +∆-3. 质点运动动规律23s t =+，则在时间(3,3)t +∆中，相应的平均速度为（ ）A ．6t +∆B ．96t t+∆+∆C ．3t +∆D ．9t +∆4.已知212s gt =，从3s 到3.1s 的平均速度是_______ 5. 223y x x =-+在2x =附近的平均变化率是____ 课后作业1. 国家环保局对长期超标排污，污染严重而未进行治理的单位，规定出一定期限，强令在此期限内完成排污治理. 下图是国家环保局在规定的排污达标日期前，对甲、乙两家企业连续检测的结果（W 表示排污量），哪个企业治理得比较好？为什么？2. 水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙，t s 后容器甲中水的体积0.1()52t V t -=⨯（单位：3cm ）， 计算第一个10s 内V 的平均变化率.§3.1.2 导数的概念学习目标2.会运用瞬时速度的定义，求物体在某一时刻的瞬时速度． 学习过程一、课前准备7880复习1：气球的体积V 与半径r 之间的关系是33()4Vr V π=求当空气容量V 从0增加到1时，气球的平均膨胀率.复习2：高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h 与起跳后的时间t 的关系为：2() 4.9 6.510h t t t =-++. 求在12t ≤≤这段时间里，运动员的平均速度.二、新课导学 ※ 学习探究探究任务一：瞬时速度问题1：在高台跳水运动中，运动员有不同时刻的速度是 新知：1． 瞬时速度定义：物体在某一时刻(某一位置)的速度，叫做瞬时速度.探究任务二：导数问题2： 瞬时速度是平均速度ts∆∆当t ∆趋近于0时的 得导数的定义：函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是0000()()limlimx x f x x f x fxx ∆→∆→+∆-∆=∆∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='即000()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆注意：(1)函数应在点0x 的附近有定义，否则导数不存在 (2)在定义导数的极限式中，x ∆趋近于0可正、可负、但不为0，而y ∆可以为0(3)xy∆∆是函数)(x f y =对自变量x 在x ∆范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）及点)(,(00x x f x x ∆+∆+）的割线斜率(4)导数xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim)(0000/是函数)(x f y =在点0x 的处瞬时变化率，它反映的函数)(x f y =在点0x 处变化的快慢程度.小结：由导数定义，高度h 关于时间t 的导数就是运动员的瞬时速度，气球半径关于体积V 的导数就是气球的瞬时膨胀率.※ 典型例题例1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热. 如果在第xh 时，原油的温度（单位：0c ）为2()715(08)f x x x x =-+≤≤. 计算第2h 和第6h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.总结：函数平均变化率的符号刻画的是函数值的增减；它的绝对值反映函数值变化的快慢.例2 已知质点M 按规律s =2t 2+3做直线运动(位移单位：cm ，时间单位：s)，(1)当t =2，Δt =0.01时，求t s ∆∆. (2)当t =2，Δt =0.001时，求ts∆∆.(3)求质点M 在t =2时的瞬时速度小结：利用导数的定义求导，步骤为：第一步，求函数的增量00()()y f x x f x ∆=+∆-；第二步：求平均变化率0()f x x y x x+∆∆=∆∆； 第三步：取极限得导数00()lim x yf x x∆→∆'=∆.※ 动手试试练1. 在例1中,计算第3h 和第5h 时原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.练2. 一球沿一斜面自由滚下，其运动方程是2()s t t =(位移单位：m ，时间单位：s)，求小球在5t =时的瞬时速度三、总结提升 ※ 学习小结这节课主要学习了物体运动的瞬时速度的概念，它是用平均速度的极限来定义的，主要记住公式:瞬时速度v =tt ∆→∆lim※ 知识拓展有极限※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 一直线运动的物体，从时间t 到t t +∆时，物体的位移为s ∆，那么0lim t s t∆→∆∆为（ ）Ａ．从时间t 到t t +∆时，物体的平均速度； Ｂ．在t 时刻时该物体的瞬时速度；Ｃ．当时间为t ∆时物体的速度； Ｄ．从时间t 到t t +∆时物体的平均速度 2. 2y x =在 x =1处的导数为（ ） A ．2x B ．2 C ．2x +∆ D ．13. 在0000()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆中，x ∆不可能（ ）A ．大于0B ．小于0C ．等于0D ．大于0或小于04.如果质点A 按规律23s t =运动，则在3t =时的瞬时速度为5. 若0()2f x '=-，则0001[]()2lim k f x k f x k→--等于1. 高台跳水运动中，ts 时运动员相对于水面的高度是：2() 4.9 6.510h t t t =-++(单位: m),求运动员在1t s =时的瞬时速度,并解释此时的运动状况.2. 一质量为3kg 的物体作直线运动,设运动距离s(单位：cm)与时间（单位：s ）的关系可用函数2()1s t t =+表示，并且物体的动能212U mv =. 求物体开始运动后第5s 时的动能.§3.1.3 导数的几何意义学习目标求导数. 学习过程一、课前准备7880复习1：曲线上向上11111(,),(,)P x y P x x y y +∆+∆的连线称为曲线的割线，斜率yk x∆==∆复习2：设函数()y f x =在0x 附近有定义当自变量在0x x =附近改变x ∆时，函数值也相应地改变y ∆= ，如果当x ∆ 时，平均变化率趋近于一个常数l ，则数l 称为函数()f x 在点0x 的瞬时变化率.记作：当x ∆ 时， →l二、新课导学 ※ 学习探究探究任务：导数的几何意义问题1：当点(,())(1,2,3,4)n n n P x f x n =，沿着曲线()f x 趋近于点00(,())P x f x 时，割线的变化趋是什么？新知：当割线P n P 无限地趋近于某一极限位置PT 我们就把极限位置上的直线PT ，叫做曲线C 在点P 处的切线 割线的斜率是：n k =当点n P 无限趋近于点P 时，n k 无限趋近于切线PT 的斜率. 因此，函数()f x 在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率k ，即0000()()lim ()x f x x f x k f x x∆→+∆-'==∆新知：函数()y f x =在0x 处的导数的几何意义是曲线()y f x =在00(,())P x f x 处切线的斜率. 即k =000()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆※ 典型例题例1 如图,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数2() 4.9 6.510h t t t =-++的图象.根据图象,请描述、比较曲线()h t 在012,,t t t 附近的变化情况.小结：例2 如图,它表示人体血管中药物浓度()c f t =(单位:/mg mL )随时间t (单位:min)变化的函数图象.根据图象,估计t =0.2,0.4,0.6,0.8时,血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到0.1)※ 动手试试 练1. 求双曲线1y x =在点1(,2)2处的切线的斜率,并写出切线方程.练2. 求2y x =在点1x =处的导数.三、总结提升 ※ 学习小结函数()y f x =在0x 处的导数的几何意义是曲线()y f x =在00(,())P x f x 处切线的斜率.即k =000()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆其切线方程为 ※ 知识拓展导数的物理意义：如果把函数()y f x =看做是物体的运动方程（也叫做位移公式，自变量x 表示时间），那么导数0()f x '表示运动物体在时刻o x 的速度，，即在o x 的瞬时速度.即000()lim x t yv f x x∆→∆'==∆而运动物体的速度()v t 对时间t 的导数，即0()lim t vv t t∆→∆'=∆称为物体运动时的瞬时加速度.）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 已知曲线22y x =上一点,则点(2,8)A 处的切线斜率为（ ） A. 4 B. 16 C. 8 D. 22. 曲线221y x =+在点(1,3)P -处的切线方程为（ ）A ．41y x =--B ．47y x =--C ．41y x =-D ．47y x =+3. ()f x 在0x x =可导，则000()()lim h f x h f x h→+-（ ） A ．与0x 、h 都有关 B ．仅与0x 有关而与h 无关C ．仅与h 有关而与0x 无关D ．与0x 、h 都无关4. 若函数()f x 在0x 处的导数存在，则它所对应的曲线在点00(,())x f x 的切线方程为5. 已知函数()y f x =在0x x =处的导数为11，则000()()lim x f x x f x x ∆→-∆-∆= 课后作业()f x 在x =5,4,2,0,1---附近的变化情况.2．已知函数()f x 的图象,试画出其导函数()f x '图象的大致形状.§3.2.1几个常用函数导数学习目标2.学会利用公式，求一些函数的导数；3.理解变化率的概念，解决一些物理上的简单问题.学习过程一、课前准备8889复习1：导数的几何意义是：曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率.因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为复习2：求函数)(x f y =的导数的一般方法：（1）求函数的改变量y ∆=（2）求平均变化率y x∆=∆ （3）取极限，得导数/y ＝()f x '=xy x ∆∆→∆0lim =二、新课导学※ 学习探究探究任务一：函数()y f x c ==的导数.问题：如何求函数()y f x c ==的导数新知：0y '=表示函数y c =图象上每一点处的切线斜率为 .若y c =表示路程关于时间的函数，则y '= ，可以解释为 即一直处于静止状态.试试： 求函数()y f x x ==的导数反思：1y '=表示函数y x =图象上每一点处的切线斜率为 .若y x =表示路程关于时间的函数，则y '= ，可以解释为 探究任务二：在同一平面直角坐标系中，画出函数2,3,4y x y x y x ===的图象，并根据导数定义，求它们的导数.（1）从图象上看，它们的导数分别表示什么？（2）这三个函数中，哪一个增加得最快？哪一个增加得最慢？（3）函数(0)y kx k =≠增（减）的快慢与什么有关？※典型例题例1 求函数1()y f xx==的导数变式：求函数2()y f x x==的导数小结：利用定义求导法是最基本的方法，必须熟记求导的三个步骤：作差，求商，取极限.例2 画出函数1yx=的图象.根据图象，描述它的变化情况，并求出曲线在点(1,1)处的切线方程.变式1：求出曲线在点(1,2)处的切线方程.变式2：求过曲线上点(1,1)且与过这点的切线垂直的直线方程.小结：利用导数求切线方程时，一定要判断所给点是否为切点，它们的求法是不同的. ※动手试试练1. 求曲线221y x =-的斜率等于4的切线方程.(理科用)练2. 求函数()y f x ==三、总结提升※ 学习小结1. 利用定义求导法是最基本的方法，必须熟记求导的三个步骤： ， ， .2. 利用导数求切线方程时，一定要判断所给点是否为切点，一定要记住它们的求法是不同的.※ 知识拓展微积分的诞生具有划时代的意义，是数学史上的分水岭和转折点.关于微积分的地位，恩格斯是这样评价的：“在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发现那样被看作人类精神的纯粹.”）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1.()0f x =的导数是（ ）A ．0B ．1C ．不存在D ．不确定2.已知2()f x x =,则(3)f '=（ ）A ．0B ．2xC ．6D ．93. 在曲线2y x =上的切线的倾斜角为4π的点为（ ） A ．(0,0) B ．(2,4) C ．11(,)416 D ．11(,)24 4. 过曲线1y x=上点(1,1)且与过这点的切线平行的直线方程是 5. 物体的运动方程为3s t =，则物体在1t =时的速度为 ，在4t =时的速度为 .1. 已知圆面积2S r π=，根据导数定义求()S r '.2. 氡气是一种由地表自然散发的无味的放射性气体.如果最初有500克氡气，那么t 天后，氡气的剩余量为()5000.834t A t =⨯，问氡气的散发速度是多少？§3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则1.理解两个函数的和(或差)的导数法则，学会用法则求一些函数的导数；2.理解两个函数的积的导数法则，学会用法则求乘积形式的函数的导数.9092复习1：常见函数的导数公式：0'=C ；1)'(-=n n nx x ；x x cos )'(sin =；x x sin )'(cos -=； ()ln (0)x x aa a a '=>；()x x e e '=；1()(0,ln log a x a x a '=>且1)a ≠；1(ln )x x'=.复习2：根据常见函数的导数公式计算下列导数（1）6y x = （2）y = （3）21y x =（4）y =二、新课导学※ 学习探究探究任务：两个函数的和(或差)积商的导数新知：[()()]()()f x g x f x g x '''±=±[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''=+2()()()()()[]()[()]f x f x g x f x g x g x g x ''-'=试试：根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求函数323y x x =-+的导数.※ 典型例题例1 假设某国家在20年期间的年均通贷膨胀率为5%，物价p (单位：元)与时间t (单位：年)有如下函数关系0()(15%)t p t p =+，其中0p 为0t =时的物价.假定某种商品的01p =，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到0.01)?变式：如果上式中某种商品的05p =，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少？例2 日常生活中的饮用水通常是经过净化的. 随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加. 已知将1吨水净化到纯净度为%x 时所需费用（单位：元）为5284()(80100)100c x x x=<<-. 求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：（1）90%； （2）98%.小结：函数在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢.※ 动手试试练1. 求下列函数的导数：（1）2log y x =； （2）2x y e =；（3）522354y x x x =-+-； （4）3cos 4sin y x x =-.练2. 求下列函数的导数：（1）32log y x x =+；（2）n x y x e =；（3）31sin x y x-=三、总结提升※ 学习小结1．由常数函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数.2．对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则.求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用.在实施化简时，首先要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误.※ 知识拓展1．复合函数的导数：设函数()u g x =在点x 处有导数()xu g x ''=，函数y =f (u )在点x 的对应点u 处有导数()uy f u ''=，则复合函数(())y f g x =在点x 处也有导数，且x u x u y y '''⋅= ：分解——求导——相乘——回代．※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 函数1y x x=+的导数是（ ） A ．211x - B ．11x - C ．211x + D ．11x+ 2. 函数sin (cos 1)y x x =+的导数是（ ）A ．cos2cos x x -B ．cos2sin x x +C ．cos2cos x x +D ．2cos cos x x +3. cos x y x=的导数是（ ） A ．2sin x x- B ．sin x - C ．2sin cos x x x x +- D ．2cos cos x x x x+-4. 函数2()138f x x =-，且0()4f x '=，则0x =5.曲线sin x y x=在点(,0)M π处的切线方程为1. 求描述气球膨胀状态的函数()r V =.2. 已知函数ln y x x =. （1）求这个函数的导数；（2）求这个函数在点1x =处的切线方程.理: §3.2.2复合函数求导.1617复习1：求)4(23-=x x y 的导数复习2：求函数2(23)y x =+的导数二、新课导学※ 学习探究探究任务一：复合函数的求导法则问题：求(sin 2)x '=?解答：由于(sin )cos x x '=，故(sin 2)cos2x x '=这个解答正确吗?新知：一般地，对于两个函数()y f u =和()u g x =，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数()y f u =和()u g x =的复合函数，记作：(())y f g x =复合函数的求导法则：两个可导函数复合而成的复合函数的导数等于函数对中间变量的导数乘上中间变量对自变量的导数.用公式表示为：x u x y y u '''=，其中u 为中间变量.即： y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积.试试：(sin 2)x '=反思：求复合函数的导数，关键在于分析清楚函数的复合关系，选好中间变量。
【成才之路15学年高中数学 3.2 第1课时 几个常用函数的导数及基本初等函数的导数公式课件 新人教A版选修1-1
[解析] ∵f
1 1 ′(x)＝ x ′＝－x2，
1 1 ∴f ′(－2)＝－x2|x＝－2＝－4.
1 2 4．抛物线 y＝4x 在点(2,1)处的切线方程是( A．x－y－1＝0 C．x－y＋1＝0
[答案] A
)
B．x＋y－3＝0 D．x＋y－1＝0
1 1 [解析] y′＝2x，y′|x＝2＝2×2＝1， 1 2 ∴抛物线 y＝4x 在点(2,1)处的切线斜率为 1，方程为 x－y －1＝0.
2
②y ＝x
③y＝
1 ④y＝x 的导数并对照教材检查， 然后自己求函数 y＝ x的导
数．
Δy fx＋Δx－fx [解析] ∵Δx＝ Δx x＋Δx－ x 1 ＝ ＝ ， Δx x＋Δx＋ x Δy ∴y′＝ lim ＝ lim → Δ x Δx 0 Δx→0 1 1 ＝ . x＋Δx＋ x 2 x
－4 －5
1 (4)y′＝(lgx)′＝xln10.
[ 方法规律总结 ] 程，降低运算难度．
1. 用导数的定义求导是求导数的基本方
法，但运算较繁．利用常用函数的导数公式，可以简化求导过 2 ．利用导数公式求导，应根据所给问题的特征，恰当地
选择求导公式，将题中函数的结构进行调整．如将根式、分式
转化为指数式，利用幂函数的求导公式求导．
利用导数公式求切线方程
求过曲线 y＝cosx 上点 线垂直的直线方程．
π 1 P3，2且与在这点的切
[解析] ∵y＝cosx，∴y′＝－sinx， 曲线在点
π 1 P3，2处的切线斜率是
π π 3 y′|x＝3＝－sin3＝－ 2 .
2 ∴过点 P 且与切线垂直的直线的斜率为 ， 3 1 2 π ∴所求的直线方程为 y－2＝ x－3， 3 2π 3 即 2x－ 3y－ 3 ＋ 2 ＝0.
最新人教版高中数学选修1-1《几个常用函数的导数》示范教案
1.2导数的计算1．2.1几个常用函数的导数整体设计教材分析《几个常用函数的导数》是《导数的计算》的起始课，导数的计算这一节主要是介绍求函数导数的方法．但是，由于最终总会归结为求极限，而新教材没有介绍极限的知识，因此教科书只是采用了利用定义方法计算了y＝c、y＝x、y＝x2、y＝1x、y＝x这五个常用函数的导数，意在让学生感受根据导数定义求导数的这种方法，强化根据定义求导数的步骤，其他不作过多的要求．只对它们所表示的几何意义和物理意义作一个简单的掌握，对于以后求其他函数的导数时，这五个函数的导数可以直接拿来用．课时分配1课时．教学目标1．知识与技能目标(1)能够用定义求五个常见函数的导数，并熟悉求导数的三个步骤．(2)掌握五个常用函数y＝c、y＝x、y＝x2、y＝1x、y＝x的导数公式，会利用它们解决简单的问题．2．过程与方法目标通过本节的学习，掌握利用导数的定义求导数的方法．3．情感、态度与价值观(1)通过本节的学习，进一步体会导数与物理知识之间的联系，提高数学的应用意识．(2)通过本节的学习，培养学生对问题的分析能力与认知能力，进一步明白数学在研究整个自然科学中的重要位置．重点难点重点：五个常用函数y＝c、y＝x、y＝x2、y＝1x、y＝x的导数公式及应用．难点：五个常用函数y＝c、y＝x、y＝x2、y＝1x、y＝x的导数公式．教具准备多媒体课件教学过程引入新课我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．那么，对于函数y＝f(x)，如何求它的导数呢？导数定义本身给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限，这在运算上很麻烦，有时甚至很困难．为了能够较快地求出某些函数的导数，这一单元我们将研究求导数的比较简捷的方法，下面我们求几个常见函数的导数．探究新知提出问题问题1：请同学们回忆：根据导数定义求导数的步骤． 活动设计：学生不准看书，独立思考． 活动结果：(板书)1．先求函数的增量Δf ＝Δy ＝f(x ＋Δx )－f(x)； 2．求函数的平均变化率Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx ；3．取极限f ′(x)＝0lim x ∆→f (x ＋Δx )－f (x )Δx.活动成果：学生熟悉了根据定义求导数的三个步骤，仍要对三个步骤重点强调． 设计意图根据上述步骤，对以下求常用函数的导数就有法可寻．虽然以后注重的是计算，但方法才是本质的东西．(既然知道用定义求导数的三个步骤，接下来就求一下函数y ＝f(x)＝c 的导数)(板书) 1．函数y ＝f(x)＝c 的导数(板书)根据导数定义，因为Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝c －cΔx＝0，(第一步求函数值的增量Δf ＝Δy ＝f(x ＋Δx )－f(x)；第二步Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx .这两步可以合为一步来做)所以y ′＝0lim x ∆→ΔyΔx ＝0lim x ∆→0＝0. (板书突出成果)活动设计：学生不准看书，独立思考．问题2：y ′＝0表示的几何意义是什么？(给学生一二分钟)结论：y ′＝0表示函数y ＝c 图象(如上图)上每一点处的切线的斜率都为0.问题3：若y ＝c 表示路程关于时间的函数，则y ′＝0表示的物理意义是什么？ 结论：y ′＝0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态． 学情预测：有些学生说的不对或是不恰当，老师应给予帮助和鼓励，有助于下一步的教学．设计意图学以致用，让学生去思考更多的问题，让他们从中深刻体会导数的作用与意义，并对一些现象要会做合理的解释．(让学生体会到成功的喜悦，并及时将问题转入下一个函数) 2．函数y ＝f(x)＝x 的导数(板书)活动设计：让学生集体来说，老师写． 设计意图活跃课堂气氛．活动成果：因为Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝x ＋Δx －xΔx ＝1，所以y ′＝0lim x ∆→ΔyΔx ＝0lim x ∆→1＝1. (板书突出成果)提出问题：问题：y ′＝1表示的几何意义和物理意义是什么？活动成果：y ′＝1表示函数y ＝x 图象(如上图所示)上每一点处的切线的斜率都为1.若y ＝x 表示路程关于时间的函数，则y ′＝1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动．设计意图学以致用，让学生去思考更多的问题，让他们从中深刻体会导数的作用与意义，并对一些现象要会做合理的解释．理解新知探究1：在同一平面直角坐标系中，画出y ＝2x ，y ＝3x ，y ＝4x 的图象，并根据导数的定义，求它们的导数．(1)从图象上看，它们的导数分别怎样表示？ 学情预测：它们的导数分别是2、3和4.(2)这三个函数中，哪一个增加得最快？哪一个增加得最慢？ 学情预测：y ＝4x 增加得最快；y ＝2x 增加得最慢． (3)函数y ＝kx(k ≠0)增(减)的快慢与什么有关？ 学情预测：与系数k 有关．问题1：仔细观察能得到什么结论？从图象上看，它们的导数分别表示什么？ 活动成果：都是一次项的系数；直线的斜率．问题2：通过这几个函数导数的学习，你知道y ＝f(x)＝kx 的导数是多少吗？若知道，试根据用定义求导数的三个步骤推导以下结论正确吗？按求导数的三个步骤，你能否推导出y ＝f(x)＝kx ＋b 的导数？活动成果：y ＝f(x)＝kx 的导数和y ＝f(x)＝kx ＋b 的导数都是k. 设计意图通过一系列的提问与活动，让学生能总结出一般性的结论来，并对几何意义与物理意义做出合理的解释，同时也加强学生的自主学习能力和触类旁通的学习意识．(及时将问题转入下一个函数) 3．函数y ＝f(x)＝x 2的导数(板书) 提出问题：问题1：函数y ＝f(x)＝x 2的导数是多少呢？活动成果：因为Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝(x ＋Δx )2－x 2Δx ＝x 2＋2xΔx ＋(Δx )2－x2Δx＝2x ＋Δx ，所以y ′＝0lim x ∆→ΔyΔx ＝0lim x ∆→ (2x ＋Δx )＝2x.问题2：y ′＝2x 表示的几何意义和物理意义是什么？ 活动设计：给学生充分的时间去思考．活动成果：y ′＝2x 表示函数y ＝x 2图象(如上图所示)上点(x ，y)处的切线的斜率都为2x ，说明随着x 的变化，切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当x<0时，随着x 的增加，函数y ＝x 2减少得越来越慢；当x>0时，随着x 的增加，函数y ＝x 2增加得越来越快．若y ＝x 2表示路程关于时间的函数，则y ′＝2x 可以解释为某物体作变速运动，它在时刻x 的瞬时速度为2x.设计意图明白二次函数的导数是一次函数，学会对二次函数的几何意义做出解释． 变式1：求y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的导数．学情预测：y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的导数是y ′＝2ax ＋b.问题3：凡导数是一次函数的函数，其原函数就是二次函数吗？ 变式2：若y ′＝2x ＋3，且原函数过(1,9)，求原函数的解析式． 设计意图对这类函数每求一次导数，次数就降低一次，为以后幂函数求导埋下伏笔．4．函数y ＝f(x)＝1x的导数(板书)活动设计：整个过程中，要注意引导学生动手来做，要注意纠正运算中存在的错误和不足．活动成果：因为Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝1x ＋Δx －1x Δx ＝x －(x ＋Δx )x (x ＋Δx )Δx ＝－1x 2＋x·Δx，所以y ′＝0lim x ∆→Δy Δx ＝0lim x ∆→ (－1x 2＋x·Δx)＝－1x 2.5．函数y ＝f(x)＝x 的导数(板书)(学生自己去推导)活动成果：因为Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝x ＋Δx －x Δx (要学会分子有理化)＝(x ＋Δx －x )(x ＋Δx ＋x )Δx (x ＋Δx ＋x )＝(x ＋Δx )－xΔx (x ＋Δx ＋x )，所以y ′＝0lim x ∆→ΔyΔx ＝0lim x ∆→ 1x ＋Δx ＋x ＝12x.推广：若y ＝f(x)＝x (α∈Q )，则f ′(x)＝αx . 注意：这里n 可以是全体实数． 运用新知例2(1)求曲线y ＝f(x)＝1x在点(1,1)处的切线方程．思路分析：按照导数的几何意义，只要求出函数y ＝1x 在点x ＝1处的导数，即为该曲线在点(1,1)处的切线斜率，再利用直线的点斜式方程即可求出切线方程．解：根据导数的几何意义可知，所求切线斜率为k ＝f ′(1)．由于f ′(x)＝y ′＝(1x )′＝－1x2，因此k ＝f ′(1)＝－1.于是所求的切线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0. (2)求过点(2,0)且与曲线y ＝1x相切的直线方程．思路分析：与(1)一样，只要求出函数y ＝1x 在切点处的导数，即为该曲线在该点处的切线斜率，再利用直线的点斜式即可求出切线方程．但此题(2,0)点不是切点．我们就得设出切点，切点处的导数就是切线斜率，而切点与(2,0)点的连线的斜率就等于切点处的导数，因此问题迎刃而解．解：设切点为(x 0，y 0)，令f(x)＝y ＝1x ，根据导数的几何意义可知，所求切线斜率为k＝f ′(x 0)，由于y ′＝(1x )′＝－1x 2，因此k ＝－1x 20＝y 0－0x 0－2，且y 0＝1x 0.所以解得x 0＝1，y 0＝1.于是所求切线的方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.(3)求曲线f(x)＝y ＝x 2过点(2,3)的切线方程．解：因为点(2,3)不在曲线y ＝x 2上，故设切点坐标为(x 0，y 0)．根据导数的几何意义可知，所求切线的斜率为k ＝f ′(x 0)．由于f ′(x)＝y ′＝(x 2)′＝2x ，因此k ＝2x 0＝y 0－3x 0－2且y 0＝x 20.所以解得x 0＝1或x 0＝3. 当x 0＝1时，切线方程为2x －y －1＝0；当x 0＝3时，切线方程为6x －y －9＝0. 设计意图在三个小题中，主要是求过曲线上一点的切线方程和过曲线外一点的切线方程．求过曲线上一点的切线方程比较好求，按照导数的几何意义，只要求出函数在这点处的导数，即为曲线在该点处的切线斜率，再利用直线的点斜式即可求出切线方程．过曲线外一点的切线方程，我们就得先设出切点，利用切点处的导数等于切线斜率，而切点与已知点的连线的斜率也等于切点处的导数，从而列出方程，解出切点的横坐标，再求切线的斜率．巩固练习已知点M(0，－1)，F(0,1)，过点M 的直线l 与曲线y ＝13x 3－4x ＋4在x ＝－2处的切线平行．(1)求直线l 的方程；(2)求以点F 为焦点，l 为准线的抛物线C 的方程．解：(1)∵f ′(－2)＝0lim x ∆→f (－2＋Δx )－f (－2)Δx＝0，∴直线l 的斜率为0，其方程为y ＝－1.(2)∵抛物线以点F(0,1)为焦点，y ＝－1为准线，设抛物线的方程为x 2＝2py ，则p2＝1，p ＝2.故抛物线C 的方程为x 2＝4y.变练演编已知曲线y ＝13x 3上一点P(2，83)，求：(1)点P 处的切线的斜率；(2)点P 处的切线的方程．解：(1)令f(x)＝y ＝13x 3，∵y ＝13x 3，∴f ′(x)＝y ′＝x 2，f ′(2)＝22＝4.∴点P 处的切线的斜率等于4.(2)点P 处的切线的方程是y －83＝4(x －2)，即12x －3y －16＝0.点评：(1)小题利用所学求得函数的导数，即得到了切线的斜率；(2)小题利用点斜式求得切线的方程．达标检测1．下列结论不正确的是( )A ．若y ＝5，则y ′＝0B ．y ＝3x ，则y ′|x ＝2＝3C ．y ＝－x 3，则y ′＝3x 2D ．y ＝13x 3，则y ′|x ＝－1＝12．函数y ＝2x 2＋3在x ＝1处的导数等于( ) A ．5 B ．4 C ．7 D ．3 答案：1.C 2.B 课堂小结本节课主要学习了 (1)(2)求过曲线上一点的切线方程和过曲线外一点的切线方程的方法．布置作业已知：曲线y＝x2－1与y＝x3＋1在x0处的切线互相垂直，求x0的值．拓展练习1．已知曲线y＝x2上有两点A(1,1)，B(2,2)．求：(1)割线AB的斜率；(2)点A处的切线的斜率；(3)点A处的切线方程．2．过点P(0，－3)作曲线y＝x4的切线，求此切线的方程．答案：1.(1)1；(2)2；(3)2x－y－1＝0.2．4x－y－3＝0或4x＋y＋3＝0.设计说明本节内容是在学习了“导数的概念和导数的几何意义”等知识的基础上学习的，对于我们经常用的几个函数，利用定义求导数的三个步骤进行了研究，由于新教材未涉及极限，于是结合求导数的三个步骤和函数的图象，求出了几个常用函数的导数．在设计过程中不断地分析课本以及课本以外的知识，让学生通过动手作图，了解几个常用函数的导数，并能掌握它们的几何意义与物理意义．将求过曲线上一点的切线方程和过曲线外一点的切线方程作为学习的重点，使学生学得更加深刻．本节课注重以学生为主体，以教师为主导，每一个知识、每一个发现与对题目的分析，总设法由学生自己得出，课堂上给予学生充足的思考时间和空间，让学生在动手操作、动笔作图等活动后，再组织讨论，教师只是在关键处加以引导．备课资料求曲线y＝x3上哪些点的切线平行于直线y＝3x－3?思路启迪：根据导数的几何意义，求曲线y＝f(x)上的切线平行于已知直线，即是求函数y＝f(x)在哪些点的导数与已知直线的斜率相等．规范解法解：设切点坐标为(x，y)，已知直线y＝3x－3的斜率k＝3，函数y＝x3的导数y′＝3x2.令3x2＝3，得x＝±1.当x＝1时，y＝1；x＝－1时，y＝－1.故所求的点是(1,1)或(－1，－1)．点评：解此题的关键是能正确理解并掌握导数的几何意义．(设计者：马永刚)。
河北省高中数学第三章导数及其应用3.2.1几个常用函数的导数导学案新人教A版选修
二、填空题
7．曲线y＝xn在x＝2处的导数为12，则n等于________.
8．质点沿直线运动的路程与时间的关系是s＝ ，则质点在t＝32时的速度等于____________.
9．在曲线y＝ 上求一点P，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°，则P点坐标为________.
3．已知直线y＝kx是y＝lnx的切线，则k的值为( )
A． B．－ C． D．－
4．正弦曲线y＝sinx上切线的斜率等于 的点为( )
A．( ， )B．(－ ，－ )或( ， )
C．(2kπ＋ ， )D．(2kπ＋ ， )或(2kπ－ ，－ )
二、填空题
5．(2015·陕西理)设曲线y＝ex在点(0,1)处的切线与曲线y＝ (x>0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为________.
基础题
cbbadd
7.3
8.
9.(2,1)
10设双曲线上任意一点P(x0，y0)，
∵y′＝－ ，
∴点P处的切线方程y－y0＝－ (x－x0)．
令x＝0，得y＝y0＋ ＝ ；
令y＝0，得x＝x0＋x y0＝2x0.
∴S△＝ |x|·|y|＝2.
∴三角形面积为定值2.
提高题
Cdcd
5.(1,1)
6.4x－y－5＝0
练习：曲线y＝ex在点(0,1)处的切线斜率为()
A．1B．2C ．eD．
例4若曲线y＝x－ 在点(a，a－ )处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为18，求a的值．
练习：已知函数f(x)在R上满足f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程．
例5求函数y＝2x在x＝1处的切线方程．
高中数学 第三章 导数及其应用 3.2.2 导数的运算法则导学案 新人教A版选修1-1
5．直线y＝4x＋b是曲线y＝ x3＋2x(x>0)的一条切线，则实数b＝________.
6．设a∈R，函数f(x)＝x3＋ax2＋(a－3)x的导函数是f′(x)，若f′(x)是偶函数，则曲线y＝f(x)在原点处的切线方程为________.
三、解答题
7．已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d 的图象过点P(0,2)，且在点M(－1，f(－1))处的切线方程为6x－y＋7＝0，求函数f(x)的解析式．
A． B．0 C．钝角D．锐角
3．曲线y＝ 在点(－1，－1)处的切线 方程为()
A．y＝2x＋1B．y＝2x－1
C．y＝－2x－3D．y＝－2x－2
4．(2015·山西六校联考)已知函数f(x)的导函数为f ′(x)，且满足f(x)＝2xf′(e)＋lnx，则f′(e)()
A．e－1 B．－1 C．－e－1D．－e
(2)y＝x－sin ·cos .
例2偶函数f(x)＝ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e的图象过点P(0,1)，且在x＝1处的切线方程为y＝x－2，求y＝f(x)的解析式．
练习：已知抛物线y＝ax2＋bx－7经过点(1,1)，过点(1,1 )的切线方程为4x－y－3＝0，求a、b的值．
例3已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2.
f′(x)＝3x2－2x－1，
令f′(a)＝－1(0<a<1)，
即3a2－2a－1＝－1，
解得a＝ .
提高题acac
5.－
6.y＝－3x
7.[解析]由f(x)的图象经过点P(0,2)，知d＝2，所以f(x)＝x3＋bx2＋cx＋2.f′(x)＝3x2＋2bx＋c.因为在M(－1，f(－1))处的切线方程是6x－y＋7＝0，
263.高中数学 3.2.1几个常用函数的导数教案 新人教A版选修1-1
甘肃省金昌市第一中学2014年高中数学 3.2.1几个常用函数的导数教案新人教A 版选修1-1教学重点和难点1．重点：推导几个常用函数的导数； 2．难点：推导几个常用函数的导数。
教学方法：自己动手用导数的定义求几个常用函数的导数，感知、理解、记忆。
教学过程： 一、复习1、函数在一点处导数的定义；2、导数的几何意义；3、导函数的定义；4、求函数的导数的步骤。
二、新课推导下列函数的导数 1、求()f x c =的导数。
解：()()0y f x x f x c c x x x∆+∆--===∆∆∆， '00()lim lim 00x x yf x x ∆→∆→∆===∆2、求()f x x =的导数。
解：()()1y f x x f x x x x x x x∆+∆-+∆-===∆∆∆， '00()lim lim 11x x y f x x ∆→∆→∆===∆。
'1y =表示函数y x =图象上每一点处的切线的斜率都为 1.若y x =表示路程关于时间的函数，则'1y =可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动。
思考：(1).从求y x =，2y x =，3y x =，4y x =的导数如何来判断这几个函数递增的快慢？ (2).函数(0)y kx k =≠增的快慢与什么有关？可以看出，当k>0时，导数越大，递增越快；当k<0时，导数越小，递减越快. 3. 求函数2()y f x x ==的导数。
解： 22()()()2y f x x f x x x x x x x x x∆+∆-+∆-===+∆∆∆∆， ''00()limlim(2)2x x yy f x x x x x ∆→∆→∆===+∆=∆。
'2y x =表示函数2y x =图象上每点（x,y ）处的切线的斜率为2x ，说明随着x 的变化，切线的斜率也在变化：(1) 当x<0时，随着 x 的增加，2y x =减少得越来越慢；（2）当x>0时，随着 x 的增加，2y x =增加得越来越快。
高中数学：导数教案 新人教A版选修1-1 教案
导数教案导数是近代数学中微积分的核心概念之一，是一种思想方法，这种思想方法是人类智慧的骄傲.一、教材分析导数的概念是高中新教材人教A版选修1-1第三章3的内容,是在学生学习了平均变化率基础上，阐述了平均变化率和瞬时变化率的关系，从实例出发得到导数的概念，为以后更好地研究导数的几何意义和导数的应用奠定基础。
新教材在这个问题的处理上有很大变化，它与旧教材的区别是从平均变化率入手，用形象直观的“逼近”方法定义导数。
问题1气球平均膨胀率--→瞬时膨胀率问题2高台跳水的平均速度--→瞬时速度根据上述教材结构与内容分析，立足学生的认知水平，制定如下教学目标和重、难点二、教学目标1、知识与技能：通过大量的实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数。
2、过程与方法：①通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力②通过问题的探究体会逼近、类比、以已知探求未知、从非凡到一般的数学思想方法3、情感、态度与价值观：通过运动的观点体会导数的内涵，使学生把握导数的概念不再困难，从而激发学生学习数学的爱好.三、重点、难点重点：导数概念的形成，导数内涵的理解难点：在平均变化率的基础上去探求瞬时变化率，深刻理解导数的内涵通过逼近的方法，引导学生观察来突破难点四、教学设想（具体如下表）教学环节教学内容师生互动设计思路创设情境引入新课幻灯片这段时间里的平均速度，并思考下面的问题：（1）运动员在这段时间里是静止的吗？（2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？首先回顾上节课留下的思考题：在学生相互讨论，交流结果的基础上，提出：大家得到运动员在这段时间内的平均速度为“0”，但我们知道运动员在这段时间内并没有“静止”。
为什么会产生这样的情况呢？引起学生的好奇，意识到平均速度只能粗略地描述物体在某段时间内的运动状态，为了能更精确地刻画物体运动，我们有必要研究某个时刻的速度即瞬时速度。
高一数学 3.2.1几个常用函数的导数教案新课标人教A版选修1—1
高一数学 3.2.1几个常用函数的导数教案新课标人教A 版选修1—1编号20 等级：周次上课时间月 日 周课型新授课主备人胡安涛使用人课题 3.3.1函数的单调性与导数教学目标1.会熟练用求导，求函数单调区间，证明单调性。
2.会从导数的角度解释增减及增减快慢的情况教学重点会熟练用求导，求函数单调区间，会从导数的角度解释增减及增减快慢的情况教学难点证明单调性课前准备多媒体课件（1）常函数：0'=C (C 为常数)； （2）幂函数 ：1)'(-=n nnxx (Q n ∈)（3）三角函数 ：（4）对数函数的导数: 1(ln ).x x '=1(log ).ln a x x a'= （5）指数函数的导数: ().x xe e '= ()ln (0,1).xxa a a a a '=>≠二。
【创设情境】下图(1)表示高台跳水运动员的高度 h 随时间 t 变化的函数 的图象,图(2)表示高台跳水运动员的速度 v 随时间 t 变化的函数 的图象. 运动员从起跳到最高点, 以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别? ①运动员从起跳到最高点,离水面的高度h 随时间t 的增加而增加,即h(t)是增函数. 相应地, ()()0.v t h t '=>②从最高点到入水,运动员离水面的高度h 随时间t 的增加而减少,即h(t)是减函数. 相应地, ()()0.v t h t '=<观察下面一些函数的图象, 探讨函数的单调性与其导函数正负的关系. 见课本P90图结论：一般地，函数的单调性与其导数的正负有如下关系在某个区间(a ,b )内,如果()0f x '> ,那么函数()y f x =在这个区间内单调递增; 如果()0f x '<,那么函数()y f x =在这个区间内单调递减. 如果恒有'()0f x =，则()f x 是常数。
高中数学第三章导数及其应用3.2导数的计算课件新人教A版选修1_1
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的 内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
x2
-
1
1
x2
.
22
(2)y′=(
ln
x
)′=
(ln
x)x
x ln
x
=
1 x
x
ln
x
x
x2
x2
= 1 ln x . x2
(3)y=tan x; (4)y=3xex-2x+e.
解:(3)y′=( sin x )′= (sin x)cos x sin x(cos x)
cos x
cos2 x
课堂探究 素养提升
题型一 利用导数公式求函数的导数
【例 1】 求下列函数的导数:
(1)y=x8;(2)y=
5
x2
;(3)y=4x;(4)y= log1
2
x;(5)y=sin(x+
π 2
);(6)y=sin
π 3
.
解:(1)y′=(x8)′=8x8-1=8x7.
(2)y′=(
5
x2
)′=(
2
x 5 )′=
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。