平面向量考点透视

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“亮点”透视高考中的平面向量

向量的夹角与三角函数的联系最为密切，重点考查考生对这２部分知识的掌握情况和综合能力．
，
式的综合题，考查考生灵活运用数学知识分析问题和
解决问题的能力，这是高考对平面向量综合考查的又
孵析
Ｂ（，），Ｃ（－ｍ，一），所以
ＰＡ＋ＰＢ＋ＰＣ一（ｚ一６，）．
又因为（一６）。＋一３７ —１２ｘ ≤４９，所以ＪＰＡ＋
ＰＢ＋ＰＣＩ的最大值为７，故选项为Ｂ．
彝喜
２）与函数、不等式“ 牵手”
言
平面向量与三角函数的“ 交会” 是向量最主要的特征．中学阶段有些内容如极坐标、参数方程、复数的三角运算以及平移变换等都可以用向量将其转化为三角问题求解，因此命题者对此情有独钟，它的主要表现形式是以三角函数为向量的坐标，再利用三角恒
平面向量ＤＦ＝击Ｄｃ，￣ＩＩＡＥ・ＡＦ的最小值为— —
如图１所示，易求得
析
一
．
向量是高中数学的重要内容，由于它具有代
数形式和几何形式的“ 双重身份 ” ，融思想性和工具性于一体，可以沟通代数与几何的许多分支并使之建立
ｌＰＡ＋ＰＢ＋ＰＣｌ的最大值为（
Ａ６；Ｂ７；Ｃ８；

高考平面向量知识点总结

高考平面向量知识点总结高考平面向量的知识点总结如下：1. 平面向量的定义：平面上的向量是有大小和方向的有向线段，可以用有向线段的终点与起点之间的位移来表示。

2. 平面向量的表示：平面向量可以用坐标表示，形如AB→=(x2-x1, y2-y1)。

3. 平面向量的基本运算：a) 向量的加法：将两个向量的相应分量相加，得到一个新的向量。

b) 向量的减法：将两个向量的相应分量相减，得到一个新的向量。

c) 向量的数乘：将向量的每一个分量都乘以一个标量，得到一个新的向量。

d) 向量的数量积：将两个向量的相应分量相乘，再将这些乘积相加，得到一个标量。

e) 向量的模长：向量的模长等于对应坐标差的平方和的平方根。

4. 平面向量的运算规律：a) 加法的交换律：A+B=B+Ab) 加法的结合律：(A+B)+C = A+(B+C)c) 数乘的结合律：k(A+B) = kA+kBd) 数乘的分配律：(k+l)A = kA + lA5. 平面向量共线与平行：若向量a与向量b线性相关，则称向量a 与向量b共线；若向量a与向量b既共线又同向或反向，则称向量a与向量b平行。

6. 平面向量的数量积与夹角关系：a) 两个向量共线时，它们的数量积等于它们的模长的乘积。

b) 两个向量平行时，它们的数量积等于它们的模长的乘积乘以它们的夹角余弦值。

7. 平面向量的坐标表示与几何应用：a) 两个向量的坐标之间的关系：可以根据向量与坐标之间的关系，求解所有给出的向量的坐标。

b) 利用向量的坐标表示进行运算：可以通过向量的坐标表示来进行向量的加法、减法、数量积等运算。

c) 利用向量的几何应用：可以用向量的几何性质解决平面几何问题，如求线段的垂直平分线等。

这些是高考平面向量的基本知识点，掌握了这些知识点可以帮助理解和解决与平面向量相关的问题。

高中数学有关平面向量知识点总结概括

高中数学有关平面向量知识点总结概括向量a在向量b方向上的投影，记作a·b，亦即b在a方向上的投影。

零向量与任意向量的点积恒等于零。

点积a·b的几何意义在于，它等同于向量a的模长|a|与向量b在a方向上的投影长度|b|cosθ的乘积。

两个向量的点积等于它们各自对应分量乘积之和。

高中数学知识点概述如下：1.几何体的结构特征：(1)棱柱定义为具有两个平行面，其余各面均为四边形，且相邻四边形的公共边互相平行的几何体。

根据底面多边形的边数，棱柱可分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

棱柱的表示方法包括使用顶点字母或对角线端点字母。

其几何特征包括两底面为对应边平行的全等多边形，侧面和对角面均为平行四边形，侧棱平行且等长，以及平行于底面的截面与底面全等。

(2)棱锥定义为一个底面为多边形，其余各面均为以公共顶点为顶点的三角形所围成的几何体。

棱锥的分类依据底面多边形的边数，如三棱锥、四棱锥、五棱锥等。

棱锥的表示方法为使用顶点字母。

其几何特征包括侧面和对角面均为三角形，平行于底面的截面与底面相似，相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。

(3)棱台定义为用一个平行于棱锥底面的平面截棱锥后，截面与底面之间的部分。

棱台的分类依据底面多边形的边数，如三棱台、四棱台、五棱台等。

棱台的表示方法为使用顶点字母。

其几何特征包括上下底面为相似的平行多边形，侧面为梯形，侧棱交于原棱锥的顶点。

(4)圆柱定义为以矩形一边所在的直线为轴旋转，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体。

圆柱的几何特征包括底面为全等的圆，母线与轴平行，轴与底面圆的半径垂直，侧面展开图为矩形。

(5)圆锥定义为以直角三角形一条直角边为旋转轴，旋转一周形成的曲面所围成的几何体。

圆锥的几何特征包括底面为圆，母线交于圆锥顶点，侧面展开图为扇形。

(6)圆台定义为用一个平行于圆锥底面的平面截圆锥后，截面与底面之间的部分。

圆台的几何特征包括上下底面为两个圆，侧面母线交于原圆锥顶点，侧面展开图为弓形。

新高考高中数学核心知识点全透视专题6.1 平面向量初步(精讲精析篇)

专题6.1平面向量初步（精讲精析篇）提纲挈领考点突破热门考点01 平面向量的有关概念1．向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模． 2．零向量：长度等于0的向量，其方向是任意的． 3．单位向量：长度等于1个单位的向量．4．平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线． 5．相等向量：长度相等且方向相同的向量． 6．相反向量：长度相等且方向相反的向量．【典例1】给出下列结论：①数轴上相等的向量，它们的坐标相等；反之，若数轴上两个向量的坐标相等，则这两个向量相等； ②对于任何一个实数，数轴上存在一个确定的点与之对应；③数轴上向量AB u u u r的坐标是一个实数，实数的绝对值为线段AB 的长度，若起点指向终点的方向与数轴同方向，则这个实数取正数，反之取负数；④数轴上起点和终点重合的向量是零向量，它的方向不确定，它的坐标是0. 其中正确结论的个数是( ) A.1B.2C.3D.4【典例2】给出下列命题：①若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC →是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件； ③a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ； ④若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c . 其中正确命题的序号是 . 【易错提醒】有关平面向量概念的注意点(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象的移动混淆． (4)非零向量a 与a |a |的关系：a |a |是与a 同方向的单位向量，－a|a |是与a 反方向的单位向量．(5)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小． (6)两平行向量有向线段所在的直线平行或重合，易忽视重合这一条件．热门考点02 平面向量的线性运算1.平面向量的线性运算技巧(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解．(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解． 2．利用平面向量的线性运算求参数的一般思路 (1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置．(2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式． (3)比较、观察可知所求．【典例3】（2018年理新课标I 卷）在△中，为边上的中线，为的中点，则（）A.B.C.D.【典例4】（2019·山东高考模拟（文））在正方形ABCD 中，E 为DC 的中点，若AE AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r，则λμ+的值为（） A ．12-B ．12C ．1-D ．1【特别提醒】关于平面向量的线性运算的考查，命题角度主要有两个：一是平面向量的线性运算，二是利用向量线性运算求参数.解题过程中应注意：①常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则．②找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．热门考点03 共线向量定理及其应用1.共线向量定理：向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b ＝λa .2.平面向量共线定理的三个应用【典例5】（2019·上海市新川中学高二月考）正六边形ABCDEF 中，P 是△CDE 内（包括边界）的动点，设AP mAB nAF =+u u u r u u u r u u u r，(,)m n R ∈，则m n +的取值范围是______【典例6】设两个非零向量a 与b 不共线．(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．【总结提升】求解向量共线问题的注意事项(1)向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用．(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线．(3)直线的向量式参数方程：A ，P ，B 三点共线⇔OP →＝(1－t )·OA →＋tOB →(O 为平面内任一点，t ∈R )．热门考点04 平面向量基本定理及其应用平面向量基本定理如果是一平面内的两个不共线向量，那么对于这个平面内任意向量，有且只有一对实数，12e e ，a12λλ，使.其中，不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 6．相反向量：长度相等且方向相反的向量．【典例7】（浙江省绍兴市第一中学2019届高三上期末）在中，点满足，当点在射线（不含点）上移动时，若，则的取值范围为__________．【典例8】（2019·江西高考模拟（理））如图所示，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若(,)DE AB AD R λμλμ=+∈u u u r u u u r u u u r，则λμ+等于（）．A ．12-B ．12C ．1D ．1-【总结提升】平面向量基本定理的实质及解题思路(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．热门考点05 平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算(1)若，则； (2)若，则． (3)设，则，.【典例9】（2019·全国高考真题（文））已知向量a =(2，3)，b =(3，2)，则|a –b |=（） AB ．2C ．D ．501122a e e λλ=+12e e ，ABC ∆D 34BD BC =u u u v u u u vE AD A AE AB AC λμ=+u u u v u u u v u u u v ()221λμ++1122()()a x y b x y ==，，，1212()a b x x y y ±=±±，()a x y ＝，()a x y λλλ＝，1122()()A x yB x y ，，，2121()A x x y yB ＝－，－|A B |【总结提升】平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量的加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系，一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标．(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解．热门考点06 平面向量共线的坐标表示平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略(1)利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，在求与一个已知向量a 共线的向量时，可设所求向量为λa (λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa 即可得到所求的向量．(2)利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若1122()()a x y b x y ＝，，＝，r r ，则//a b rr 的充要条件是1221x y x y =”解题比较方便．【典例10】（陕西高考真题（文））已知向量(1,)a m =v，(,2)b m =r ，若//a b r r ，则实数m 等于（）A.C.D.0【典例11】（2018·南汇县大团中学高一期中）若()3,4a =-r ，则与a r同方向的单位向量0a =u u r ____________【典例12】（2019·江苏高考模拟）如图，在平面四边形ABCD 中，90CBA CAD ∠=∠=︒，30ACD ∠=︒，AB BC =，点E 为线段BC 的中点．若AC AD AE λμ=+u u u r u u u r u u u r(,R λμ∈)，则λμ的值为_______．【总结提升】主要命题角度有两个，一是利用向量共线求向量或点的坐标，二是利用向量共线求参数，总体难度不大.热门考点07 平面向量数量积的运算一、两个向量的夹角 1．定义已知两个非零向量a 和b ，作＝a ，＝b ，则∠AOB ＝θ叫做向量a 与b 的夹角．2．范围向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°a 与b 同向时，夹角θ＝0°；a 与b 反向时，夹角θ＝180°. 3．向量垂直如果向量a 与b 的夹角是90°，则a 与b 垂直，记作a ⊥b . 二、平面向量的数量积1．已知两个非零向量a 与b ，则数量|a ||b |·cos θ叫做a 与b 的数量积，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ，其中θ是a 与b 的夹角．规定0·a ＝0.当a ⊥b 时，θ＝90°，这时a ·b ＝0. 2．a ·b 的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积．三、数量积的运算律 1．交换律：a ·b ＝b ·a .2．分配律：(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c .3．对λ∈R ，λ(a ·b )＝(λa )·b ＝a ·(λb )．【典例13】（2018·天津高考真题（文））在如图的平面图形中，已知,则的值为（）A ．B ．C ．D ．0【典例14】（2019·全国高考真题（理））已知AB u u u v =(2,3)，AC u u u v =(3，t )，||BC uuu r =1，则AB BC u u u r u u u r =（）A ．-3B ．-2C ．2D ．3OA u u u r OB u u ur【典例15】(2019·云南第一次统一检测)在▱ABCD 中，|AB →|＝8，|AD →|＝6，N 为DC 的中点，BM →＝2MC →，则AM →·NM →＝( )A ．48B ．36C ．24D ．12 【总结提升】计算向量数量积的三种常用方法(1)定义法：已知向量的模与夹角时，可直接使用数量积的定义求解，即a ·b ＝|a ||b |cos θ(θ是a 与b 的夹角)．(2)基向量法：计算由基底表示的向量的数量积时，应用相应运算律，最终转化为基向量的数量积，进而求解．(3)坐标法：若向量选择坐标形式，则向量的数量积可应用坐标的运算形式进行求解．热门考点08 平面向量数量积的性质一、向量数量积的性质1．如果e 是单位向量，则a ·e ＝e ·a . 2．a ⊥b a ·b ＝0.3．a ·a ＝|a |2，.4．cos θ＝.(θ为a 与b 的夹角)5．|a ·b |≤|a ||b |. 二、数量积的坐标运算设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则： 1．a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2. 2．a ⊥b a 1b 1＋a 2b 2＝0. 3．|a |＝a 21＋a 22.4．cos θ＝.(θ为a 与b 的夹角)【典例16】（2019·浙江高考模拟）已知平面向量,a b rr 不共线，且1a =r，1a b ⋅=rr ，记b r与2a b +rr的夹角是θ，则θ最大时，a b -=rr （）A ．1BC D ．2【典例17】（2019·全国高考真题（理））已知,a b r r 为单位向量，且a b ⋅r r =0，若2ca =r r，则cos ,a c <>=r r ___________.⇔|a ||||⋅a ba b ⇔||||⋅a ba b【典例18】（2018·北京高考真题（文））设向量a r =（1,0），b r=（−1,m ）,若()a mab ⊥-r r r ，则m =_________.【总结提升】1.求向量夹角问题的方法(1)当a ，b 是非坐标形式时，求a 与b 的夹角θ，需求出a ·b 及|a |，|b |或得出它们之间的关系； (2)若已知a ＝(x 1，y 1)与b ＝(x 2，y 2)，则cos 〈a ，b 〉＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22. 提醒：〈a ，b 〉∈[0，π]．2．平面向量模问题的类型及求解方法 (1)求向量模的常用方法①若向量a 是以坐标形式出现的，求向量a 的模可直接利用公式|a |＝x 2＋y 2.②若向量a ，b 是以非坐标形式出现的，求向量a 的模可应用公式|a |2＝a 2＝a ·a ，或|a ±b |2＝(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解．(2)求向量模的最值(范围)的方法①代数法：把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解．②几何法(数形结合法)：弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解． 3．平面向量垂直问题的类型及求解方法 (1)判断两向量垂直第一，计算出这两个向量的坐标；第二，根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可． (2)已知两向量垂直求参数根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数．热门考点09 平面向量的综合应用1.向量与平面几何综合问题的解法 (1)坐标法把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决． (2)基向量法适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解． 2．向量在解析几何中的作用（解析几何专题中详讲）(1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题时关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题．(2)工具作用：利用a ⊥b ⇔a ·b ＝0；a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)，可解决垂直、平行问题，特别是向量垂直、平行的坐标表示在解决解析几何中的垂直、平行问题时经常用到． 3．向量与三角的综合应用（三角函数专题中详讲）解决这类问题的关键是应用向量知识将问题准确转化为三角问题，再利用三角知识进行求解．*【典例19】（2018·浙江高考真题）已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为，向量b 满足b 2−4e·b+3=0，则|a −b|的最小值是（） A ．B ．C ．2D ．【典例20】（2019·上海市嘉定区第二中学高二月考）在ABC △，若0AB AC BC AB AC⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u ru u u r u u u r ，且12AB AC AB AC ⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r ，则ABC △的形状为（） A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.无法判断【典例21】（2019·江苏高考模拟）在平面四边形ABCD 中，，，．若，则的最小值为____．巩固提升1．（2019·重庆高二期末）下列命题中，正确的个数是（） ①单位向量都相等；②模相等的两个平行向量是相等向量；③若a r ，b r 满足b a >r r 且a r 与b r 同向，则a b >r r；④若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合； ⑤若a b b c r r r r∥，∥，则a c r r∥． A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2．关于位移向量说法正确的是( )A.数轴上任意一个点的坐标有正负和大小，它是一个位移向量B.两个相等的向量的起点可以不同C.每一个实数都对应数轴上的唯一的一个位移向量D.AB u u u r的长度是数轴上,A B 两点到原点距离之差3．（2019·辽宁高一期末）已知点()3,1A ，()1,4B -，则与向量AB u u u r的方向相反的单位向量是（） A.43,55⎛⎫-⎪⎝⎭ B.43,55⎛⎫-⎪⎝⎭ C.34,55⎛⎫-⎪⎝⎭D.34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭4．（2018·江西高一期末）如图，AB 是半圆O 的直径，C 、D 是弧AB 的三等分点，M ，N 是线段AB 的三等分点．若6OA =，则MD NC ⋅u u u u v u u u v的值是（）A.12B. C.26 D.365．（2018·江西高一期末）若两个非零向量a r ，b r 满足2a b a b a +=-=r r v v v ，则向量a b +r v 与a b -r v 的夹角是（） A.6πB.2π C.23π D.56π 6．（2018·上海市第四中学高二期中）已知O,A,B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，且20AC CB +=u u u r u u u r r，则OC =u u u r（） A.2OA OB -u u u r u u u rB.2OA OB -+u u u r u u u rC.2133OA OB -u u ur u u u r D.1233OA OB -+u u ur u u u r7．（2019·全国高考真题（文））已知非零向量a ，b 满足a =2b ，且（a –b ）⊥b ，则a 与b 的夹角为（） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π68．（2018·天津高考真题（理））如图，在平面四边形ABCD 中，,,120,1,AB BC AD CD BAD AB AD ⊥⊥∠===o 若点E 为边CD 上的动点，则AE BE ⋅u u u r u u u r 的最小值为（）A.2116 B.32C.2516 D.3 9.（2019·安徽高考模拟（文））已知平面向量()()2,,3,1==+r r a x b x ，若//a b r r，则x =________.10．（2018·南汇县大团中学高一期中）若112212,3PP PP PP PP λ=-=u u u r u u u ur u u u r u u u r ，则λ的值为_____________.11．（2018·上海市第四中学高二期中）已知G 是ABC ∆的重心，D 是AB 的中点则GA GB GC +-=u u u r u u u r u u u r___________.12.（2019·上海市西南位育中学高三期中）如图，在ABC ∆中，若3AB AC ==，3BAC π∠=，2DC BD =uuu r uu u r，则AD BC ⋅=u u u r u u u r________.13.（2019·江苏高考真题）如图，在V ABC 中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，则AB AC的值是_____.14．（2019·全国高考真题（理））已知,a b rr 为单位向量，且a b ⋅rr =0，若2c a =r r，则cos ,a c <>=r r___________.15. （2018·上海高考真题）在平面直角坐标系中，已知点()10A -，、()20B ，，E 、F 是y 轴上的两个动点，且2EF =u u u u v ，则的AE BF ⋅u u u v u u u v最小值为__________．16.（2019·天津高考真题（理））在四边形ABCD 中，AD BC ∥，AB =，5AD = ，30A ∠=︒ ，点E 在线段CB 的延长线上，且AE BE =，则BD AE ⋅=u u u r u u u r__________.专题6.1平面向量初步（精讲精析篇）提纲挈领考点突破热门考点01 平面向量的有关概念1．向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模． 2．零向量：长度等于0的向量，其方向是任意的． 3．单位向量：长度等于1个单位的向量．4．平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线． 5．相等向量：长度相等且方向相同的向量． 6．相反向量：长度相等且方向相反的向量．【典例1】给出下列结论：①数轴上相等的向量，它们的坐标相等；反之，若数轴上两个向量的坐标相等，则这两个向量相等； ②对于任何一个实数，数轴上存在一个确定的点与之对应；③数轴上向量AB u u u r的坐标是一个实数，实数的绝对值为线段AB 的长度，若起点指向终点的方向与数轴同方向，则这个实数取正数，反之取负数；④数轴上起点和终点重合的向量是零向量，它的方向不确定，它的坐标是0. 其中正确结论的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】①向量相等，则它们的坐标相等，坐标相等，则向量相等，①正确；②实数和数轴上的点是一一对应的关系，即有一个实数就有一个点跟它对应，有一个点也就有一个实数与它对应，②正确；③数轴用一个实数来表示向量AB u u u r，正负决定其方向，绝对值决定其长度，③正确； ④数轴上零向量其起点和终点重合，方向不确定，大小为0，其坐标也为0，④正确. 故选：D.【典例2】给出下列命题： ①若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC →是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件； ③a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ； ④若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c . 其中正确命题的序号是 . 【答案】①②【解析】①正确．∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同，又b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同， ∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c .②正确．∵AB →＝DC →，∴|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →，又A ，B ，C ，D 是不共线的四点， ∴四边形ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则AB →∥DC →且|AB →|＝|DC →|，因此，AB →＝DC →.③不正确．当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，故|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件． ④不正确．考虑b ＝0这种特殊情况．综上所述，正确命题的序号是①②. 【易错提醒】有关平面向量概念的注意点(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象的移动混淆． (4)非零向量a 与a |a |的关系：a |a |是与a 同方向的单位向量，－a|a |是与a 反方向的单位向量．(5)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小． (6)两平行向量有向线段所在的直线平行或重合，易忽视重合这一条件．热门考点02 平面向量的线性运算1.平面向量的线性运算技巧(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解．(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解． 2．利用平面向量的线性运算求参数的一般思路 (1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置．(2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式． (3)比较、观察可知所求．【典例3】（2018年理新课标I 卷）在△中，为边上的中线，为的中点，则（）A. B.C.D.【答案】A【解析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果.详解：根据向量的运算法则，可得，所以，故选A.【典例4】（2019·山东高考模拟（文））在正方形ABCD 中，E 为DC 的中点，若AE AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r，则λμ+的值为（） A ．12-B ．12C ．1-D ．1【答案】B【解析】由题得1111111122222222AE AD AC BC AC AC AB AC AB AC =+=+=-+=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ,11,1,22λμλμ∴=-=∴+=.故选：B 【特别提醒】关于平面向量的线性运算的考查，命题角度主要有两个：一是平面向量的线性运算，二是利用向量线性运算求参数.解题过程中应注意：①常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则．②找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．热门考点03 共线向量定理及其应用1.共线向量定理：向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b ＝λa .2.平面向量共线定理的三个应用【典例5】（2019·上海市新川中学高二月考）正六边形ABCDEF 中，P 是△CDE 内（包括边界）的动点，设AP mAB nAF =+u u u r u u u r u u u r，(,)m n R ∈，则m n +的取值范围是______【答案】[]3,4 【解析】如图所示，连接AD 交CE 于点M ，由正六边形的性质可得点M 为CE 的中点．①AD AB BC CD uuu r uu u r uu u r uu u r =++，CD AF =u u u r u u u r ，12BC AD =u u u r u u u r ，∴12AD AB AD AF =++u u u r u u u r u u u r u u u r ，化为22AD AB AF =+u u u r u u u r u u u r，与向量(AP mAB nAF m =+u u u r u u u r u u u r，n 为实数）比较可得：4m n +=． ②AM AB BC CM AF FE EM =++=++u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u u r ，又BC FE =u u u r u u u r，0CM EM +=u u u u r u u u u r r ．∴22AM AB AF BC =++u u u u r u u u r u u u r u u u r，又23BC AM =u u u ru u u u r ，∴23AM AB AF =+u u u ur u u u r u u u r ，即3322AM AB AF =+u u u u r u u u r u u u r ，∴此时3m n +=． ③当点P 位于线段CE 上时，记作Q ，则()AQ AP AM MP AM EC AM FB AM AB AF λλλ==+=+=+=+-u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r，此时3m n +=．④当点P 不在线段CE 上时，4(1)(11)3AP AQ QP AQ AQ AQ λλλ=+=+=++>u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r …． 3(1)()4m n λ∴<++…．综上可得：34m n +剟．即[]3,4m n +∈ 故答案为：[]3,4【典例6】设两个非零向量a 与b 不共线．(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．【答案】（1）见解析；（2）k ＝±1.【解析】(1)证明：∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，∴BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →， ∴AB →，BD →共线．又∵它们有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线． (2)假设k a ＋b 与a ＋k b 共线，则存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即(k －λ)a ＝(λk －1)b .又a ，b 是两个不共线的非零向量， ∴k －λ＝λk －1＝0.消去λ，得k 2－1＝0，∴k ＝±1. 【总结提升】求解向量共线问题的注意事项(1)向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用．(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线．(3)直线的向量式参数方程：A ，P ，B 三点共线⇔OP →＝(1－t )·OA →＋tOB →(O 为平面内任一点，t ∈R )．热门考点04 平面向量基本定理及其应用平面向量基本定理如果是一平面内的两个不共线向量，那么对于这个平面内任意向量，有且只有一对实数，使.其中，不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 6．相反向量：长度相等且方向相反的向量．【典例7】（浙江省绍兴市第一中学2019届高三上期末）在中，点满足，当点在射线（不含点）上移动时，若，则的取值范围为__________．【答案】【解析】因为点在射线（不含点）上，设，又，所以，所以，，故的取值范围.12e e ，a12λλ，1122a e e λλ=+12e e ，ABC ∆D 34BD BC =u u u v u u u vE AD A AE AB AC λμ=+u u u v u u u v u u u v ()221λμ++()1,+∞E AD A ,0AE k AD k =<u u u v u u u u v34BD BC =u u u v u u uv ()()33444k k AE k AB AD k AB AC AB AB AC ⎡⎤=+=+-=+⎢⎥⎣⎦u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 4{34kk λμ==()2222295291114168510k t k k λμ⎛⎫⎛⎫=++=++=++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()221λμ++()1,+∞【典例8】（2019·江西高考模拟（理））如图所示，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若(,)DE AB AD R λμλμ=+∈u u u r u u u r u u u r，则λμ+等于（）．A ．12-B ．12C ．1D ．1-【答案】A【解析】由平面向量基本定理，化简()11DE DA AE DA AC AD AB AD 44=+=+=-++u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v13AB AD 44=-u u u v u u u v ，所以13λ,μ44==-，即1λμ2+=-，故选：A ．【总结提升】平面向量基本定理的实质及解题思路(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．热门考点05 平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算(1)若，则； (2)若，则． (3)设，则，.【典例9】（2019·全国高考真题（文））已知向量a =(2，3)，b =(3，2)，则|a –b |=（）1122()()a x y b x y ==，，，1212()a b x x y y ±=±±，()a x y ＝，()a x y λλλ＝，1122()()A x yB x y ，，，2121()A x x y yB ＝－，－|A B |A B ．2C ．D ．50【答案】A【解析】由已知，(2,3)(3,2)(1,1)-=-=-a b ，所以||-==a b故选A 【总结提升】平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量的加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系，一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标．(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解．热门考点06 平面向量共线的坐标表示平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略(1)利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，在求与一个已知向量a 共线的向量时，可设所求向量为λa (λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa 即可得到所求的向量．(2)利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若1122()()a x y b x y r r ＝，，＝，，则//a b rr 的充要条件是1221x y x y =”解题比较方便．【典例10】（陕西高考真题（文））已知向量(1,)a m =v，(,2)b m =r，若//a b r r，则实数m 等于（）A.C.D.0【答案】C 【解析】.【典例11】（2018·南汇县大团中学高一期中）若()3,4a =-r ，则与a r 同方向的单位向量0a =u u r ____________【答案】34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】与a r同方向的单位向量0134(3,4)(,)555a a a ==-=-r u u r r故答案为：3455⎛⎫- ⎪⎝⎭，【典例12】（2019·江苏高考模拟）如图，在平面四边形ABCD 中，90CBA CAD ∠=∠=︒，30ACD ∠=︒，AB BC =，点E 为线段BC 的中点．若AC AD AE λμ=+u u u r u u u r u u u r(,R λμ∈)，则λμ的值为_______．【解析】以A 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，不妨设AB ＝BC ＝2，则有A （0,0），B （2,0），C （2,2），E （2,1），AC ＝，AD ＝，过D 作DF⊥x 轴于F ，∠DAF＝180°－90°－45°＝45°， DF＝3sin45°＝323=，所以D（3-，3）， AC u u u r ＝（2,2），ADu u u r＝（），AE u u u r ＝（2,1），因为AC AD AE λμ=+u u u r u u u r u u u r ，所以，（2,2）＝λ（3-，3）+μ（2,1），所以，2232λμμ⎧-+=⎪⎪+=，解得：43λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩λμ【总结提升】主要命题角度有两个，一是利用向量共线求向量或点的坐标，二是利用向量共线求参数，总体难度不大.热门考点07 平面向量数量积的运算一、两个向量的夹角 1．定义已知两个非零向量a 和b ，作＝a ，＝b ，则∠AOB ＝θ叫做向量a 与b 的夹角．2．范围向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°a 与b 同向时，夹角θ＝0°；a 与b 反向时，夹角θ＝180°. 3．向量垂直如果向量a 与b 的夹角是90°，则a 与b 垂直，记作a ⊥b . 二、平面向量的数量积1．已知两个非零向量a 与b ，则数量|a ||b |·cos θ叫做a 与b 的数量积，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ，其中θ是a 与b 的夹角．规定0·a ＝0.当a ⊥b 时，θ＝90°，这时a ·b ＝0. 2．a ·b 的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积．三、数量积的运算律 1．交换律：a ·b ＝b ·a .2．分配律：(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c .3．对λ∈R ，λ(a ·b )＝(λa )·b ＝a ·(λb )．【典例13】（2018·天津高考真题（文））在如图的平面图形中，已知,OA u u u r OB u u ur则的值为（）A ．B ．C ．D ．0【答案】C【解析】如图所示，连结MN ，由可知点分别为线段上靠近点的三等分点，则，由题意可知：，，结合数量积的运算法则可得：.本题选择C 选项.【典例14】（2019·全国高考真题（理））已知AB u u u v=(2,3)，AC u u u v =(3，t )，||BC uuu r =1，则AB BC u u u r u u u r =（）A ．-3B ．-2C ．2D ．3【答案】C【解析】由(1,3)BC AC AB t =-=-u u u r u u u r u u u r，1BC ==u u u r ，得3t =，则(1,0)BC =u u u r ，(2,3)(1,0)21302AB BC ==⨯+⨯=u u u r u u u rg g ．故选C ．【典例15】(2019·云南第一次统一检测)在▱ABCD 中，|AB →|＝8，|AD →|＝6，N 为DC 的中点，BM →＝2MC →，则AM →·NM →＝( )A ．48B ．36C ．24D ．12 【答案】C【解析】AM →·NM →＝(AB →＋BM →)·(NC →＋CM →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋23AD →·⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →－13AD →＝12AB →2－29AD →2＝12×82－29×62＝24.【总结提升】计算向量数量积的三种常用方法(1)定义法：已知向量的模与夹角时，可直接使用数量积的定义求解，即a ·b ＝|a ||b |cos θ(θ是a 与b 的夹角)．(2)基向量法：计算由基底表示的向量的数量积时，应用相应运算律，最终转化为基向量的数量积，进而求解．(3)坐标法：若向量选择坐标形式，则向量的数量积可应用坐标的运算形式进行求解．热门考点08 平面向量数量积的性质一、向量数量积的性质1．如果e 是单位向量，则a ·e ＝e ·a . 2．a ⊥b a ·b ＝0.3．a ·a ＝|a |2，.4．cos θ＝.(θ为a 与b 的夹角)5．|a ·b |≤|a ||b |. 二、数量积的坐标运算设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则： 1．a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2. 2．a ⊥b a 1b 1＋a 2b 2＝0. 3．|a |＝a 21＋a 22. 4．cos θ＝.(θ为a 与b 的夹角)⇔|a ||||⋅a ba b ⇔||||⋅a ba b【典例16】（2019·浙江高考模拟）已知平面向量,a b rr 不共线，且1a =r，1a b ⋅=rr ，记b r与2a b +rr的夹角是θ，则θ最大时，a b -=rr （）A ．1 BCD ．2【答案】C【解析】设|b|=x r ，则()22·22?2b a b a b b x +=+=+r r r r r r，|2+a b =r r所以()2·2cos 2b a b b a b θ+==+r r r r r r 易得cos 0θ>，()()()2222222222211cos 124811411222263x x x x x x θ+===+⎛⎫-++--+⎪+++⎝⎭，当24x =时，2cos θ取得最小值，θ取得最大值，此时|a b -==r r 故选C.【典例17】（2019·全国高考真题（理））已知,a b r r 为单位向量，且a b ⋅r r=0，若2ca =r r，则cos ,a c <>=r r ___________. 【答案】23. 【解析】因为2c a =v v ，0a b ⋅=v v，所以22a c a b ⋅=⋅vv v v2=，222||4||5||9c a b b =-⋅+=vv v v ，所以||3c =r ，所以cos ,a c <>=r r 22133a c a c ⋅==⨯⋅v vv v ．【典例18】（2018·北京高考真题（文））设向量a r =（1,0），b r=（−1,m ）,若()a mab ⊥-r r r ，则m =_________.【答案】-1.【解析】(1,0),(1,)a b m ==-v Q v， (,0)(1,)(1,)ma b m m m m ∴-=--=+-vv ，由()a ma b ⊥-r r r 得：()0a ma b ⋅-=vv v ，。

对口高考平面向量知识点梳理

对口高考平面向量知识点梳理平面向量是高中数学中的重要概念之一，也是对口高考中的经典考点。

掌握平面向量的相关知识点对于解题和理解几何概念非常重要。

在本文中，将对平面向量的基本概念、运算法则、向量共线以及平面向量与几何知识的关系进行梳理。

一、基本概念1. 平面向量的定义：平面上的箭头表示的有大小有方向的量，我们称之为平面向量。

平面向量通常用小写英文字母加箭头表示，如AB。

2. 平面向量的模：向量AB的模是一个标量，表示向量的长度。

记作|AB|。

3. 平行向量：如果两个向量的方向相同或相反，那么它们即为平行向量。

4. 零向量：零向量是长度为0的向量，记作0，它的方向任意。

二、运算法则平面向量的运算法则是平面向量学习的基础，包括加法、减法和数量乘法。

1. 向量的加法：向量的加法是满足运算律的，即A+B=B+A。

几何上，向量的加法可以理解为将一个向量从起点移动到另一个向量的终点。

2. 向量的减法：向量的减法可以看作是向量的加法的逆运算，即A-B=A+(-B)。

3. 向量的数量乘法：向量的数量乘法就是将向量的模与一个实数相乘，记作kA。

三、向量共线向量共线是指两个向量的方向相同或相反，即平行或反平行的关系。

判断两个向量是否共线有以下方法：1. 数量积为0：如果两个向量的数量积为0，那么它们一定是共线的。

2. 比较方向：如果两个向量的方向相同或相反，那么它们也是共线的。

向量共线是几何学中的重要概念，我们可以利用共线的性质来解决一些几何问题。

四、平面向量与几何知识的关系平面向量与几何知识密切相关，它可以帮助我们解决几何问题。

1. 向量的线性运算：通过向量的加法和数量乘法，我们可以将几何问题转化为向量的运算，从而更加简洁地解决问题。

2. 向量的模与距离：平面向量的模可以表示向量的长度，通过计算向量的模，我们可以求解两点之间的距离问题。

3. 向量的数量积：向量的数量积可以计算两个向量之间的夹角，这对于解决角平分线、垂直平分线等几何问题非常有帮助。

第二章平面向量模块高考热点透视课件新人教版必修4课件

1．(2012·湖南高考)如图所示，在平行四边形 ABCD 中， AP⊥BD，垂足为 P，且 AP＝3，则A→P·A→C＝________.
图1 【命题意图】本题考查向量加法的几何意义、向量数量积的定义、向量数量积的运算律等基础知识，考查运算能力及观察问题、分析问题的能力，难度适中．
【解析】 ∵A→P·A→C＝A→P·(A→B＋B→C)＝A→P·A→B＋A→P·B→C ＝A→P·A→B＋A→P·(B→D＋D→C)＝A→P·B→D＋2A→P·A→B， AP⊥BD，∴A→P·B→D＝0. ∵A→P·A→B＝|A→P||A→B|cos∠BAP＝|A→P|2， ∴A→P·A→C＝2|A→P|2＝2×9＝18.
【命题意图】本题考查向量线性运算及数量积，考查转化与化归思想的AB，AD所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B( 2 ，0)， E( 2，1)，F(x,2)．故A→B＝( 2，0)，A→F＝(x,2)，A→E＝( 2， 1)，B→F＝(x－ 2，2)，∴A→B·A→F＝ 2x.又A→B·A→F＝ 2，∴x＝ 1.∴B→F＝(1－ 2，2)．
)
1 A.2
B．1
3
5
C.2
D.2
【命题意图】本题考查向量的数量积的定义、性质
等知识，考查综合分析问题的能力及运算求解能力，难度
适中．
【解析】
a∘b＝ab··bb＝|a||b|b|c|2os
θ＝|a|cos |b|
θ，
①
b∘a＝ba··aa＝|b||a|a|c|2os
θ＝|b|c|ao|s
θ .
(教材第 108 页习题 2.4B 组第 4 题) 如图，在圆 C 中，是不是只需知道圆 C 的半径或弦 AB 的长度，就可以求A→B·A→C的值？

专题10 平面向量-(理)必考考点穿透性讲练

2019年高考数学必考考点穿透性讲练10 平面向量【考点突破】：一、.考纲要求;1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和两个向量相等的含义，理解向量的几何表示.2.掌握向量加法、减法的运算，理解其几何意义.3.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.4.了解向量线性运算的性质及其几何意义．5.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.6.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.7.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.8.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.9.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.10.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．二、题型、难度：题型：主要是选择、填空题，难度中等。

三、高考真题再现：例1.（2018全国卷I）在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则=（）A．﹣B．﹣C．+ D．+【答案】A．【解析】：在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，=﹣=﹣=﹣×（+）=﹣，故选：A．例2.（2018全国卷III）已知向量=（1，2），=（2，﹣2），=（1，λ）．若∥（2+），则λ=．【答案】例3.（2018天津卷）如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=120°，AB=AD=1．若点E为边CD上的动点，则的最小值为（）A． B． C． D．3【答案】【解析】：如图所示，以D为原点，以DA所在的直线为x轴，以DC所在的直线为y轴，过点B做BN⊥x轴，过点B做BM⊥y轴，∵AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=120°，AB=AD=1，∴AN=ABcos60°=，BN=ABsin60°=，∴DN=1+=，∴BM=，∴CM=MBtan30°=，∴DC=DM+MC=，∴A（1，0），B（，），C（0，），设E（0，m），∴=（﹣1，m），=（﹣，m﹣），0≤m≤，∴=+m2﹣m=（m﹣）2+﹣=（m﹣）2+，当m=时，取得最小值为．故选：A．例4.（2018课标卷II）已知向量，满足||=1，=﹣1，则•（2）=（）A．4 B．3 C．2 D．0【答案】B【解析】：向量，满足||=1，=﹣1，则•（2）=2﹣=2+1=3，故选：B．格中的位置如图所示,若c=λa+μb(λ,μ∈R),则=________.【答案】4【解析】以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1),则A(1,-1),B(6,2),C(5,-1),所以a==(-1,1),b==(6,2),c==(-1,-3).因为c =λa +μb ,所以(-1,-3)=λ(-1,1)+μ(6,2), 即-λ+6μ=-1,λ+2μ=-3, 解得λ=-2,μ=-,所以=4.11.（定远县育才高中2019届高三上学期期中考试）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝，BC ＝2，点E 为BC的中点，点F 在边CD 上．若·＝，则·＝________．【答案】12．（荆州市2019届八校联考）已知向量，若2a b ⋅=-，则2a b -= ．【答案】42【解析】，则，所以．（三）、解答题13.已知点O(0,0),A(1,2),B(4,5),且=+t(t ∈R),问:(1)t 为何值时,点P 在x 轴上?点P 在二、四象限角平分线上?(2)四边形OABP 能否成为平行四边形?若能,求出相应的t 值;若不能,请说明理由.【解析】(1)因为O(0,0),A(1,2),B(4,5),所以=(1,2),=(3,3), =+t=(1+3t,2+3t).若P在x轴上,只需2+3t=0,t=-;若P在第二、四象限角平分线上,则1+3t=-(2+3t),t=-.(2)=(1,2),=(3-3t,3-3t),若四边形OABP是平行四边形,则=,即此方程组无解.所以四边形OABP不可能为平行四边形.11∑(a k a k+1)的值为14.设向量a k，求k=【答案】93【解析】a k a k+1因为的周期皆为，一个周期的和皆为零，11∑(a k a k+1).学-科网因此k=。

平面向量知识点总结

平面向量知识点总结平面向量是高中数学中的重要内容，也是数学中的基础知识之一。

它在几何、代数、物理等方面有着广泛的应用，因此对平面向量的理解和掌握是非常重要的。

接下来，我将对平面向量的基本概念、性质和运算进行总结，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。

1. 平面向量的基本概念。

平面向量是具有大小和方向的量，通常用有向线段来表示。

在平面直角坐标系中，平面向量可以表示为一个有序数对(a, b)，其中a和b分别表示向量在x轴和y 轴上的投影。

平面向量的模可以表示为|AB|，方向可以用角度或者方向角来表示。

2. 平面向量的性质。

平面向量具有以下性质：平行向量，如果两个向量的方向相同或者相反，则它们是平行向量。

相等向量，具有相同大小和方向的向量称为相等向量。

零向量，模为0的向量称为零向量，记作0。

共线向量，如果存在实数k，使得向量a=kb，则称向量a与b共线。

3. 平面向量的运算。

平面向量具有加法、数乘和数量积等运算。

加法，向量a和向量b的和记作a+b，其坐标分别相加。

数乘，实数k与向量a的数乘记作ka，其坐标分别乘以k。

数量积，向量a与向量b的数量积记作a·b，其大小为|a|·|b|·cosθ，其中θ为向量a和向量b的夹角。

4. 平面向量的应用。

平面向量在几何、代数和物理等方面有着广泛的应用。

几何，平面向量可以用来表示线段、向量共线、向量共面等几何性质。

代数，平面向量的运算可以用来解决代数方程组、向量方程等问题。

物理，平面向量可以用来表示力、速度、位移等物理量，并且可以进行运算和分解。

总结，平面向量是数学中的重要内容，它具有基本概念、性质和运算，应用广泛。

通过对平面向量的学习，可以帮助我们更好地理解和应用数学知识，提高数学解决问题的能力。

希望以上内容能够帮助大家更好地理解和掌握平面向量的知识点，欢迎大家在学习过程中多加练习，加深对平面向量的理解和运用。

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平面向量考点透视
山东胡大波马涛
由于平面向量融数、形于一体，成为中学数学知识交汇和联系多项内容的媒介，向量成为近年高考重点，主要体现在以下几个方面：一、对向量基础知识的考查
例1 已知向量cos sin θθ()，a =，向量(31)-，
b =，则2-a b 的最大值是_____．解：∵1=a ，3cos sin 2sin θθθπ⎛⎫-=- ⎪3
⎝⎭
a b =，2
224488sin θπ
⎛⎫
-=-=--
⎪3⎝⎭
∴2a b a a b +b ，即2
2-a b 的最大值为16，∴2-a b 的最大值为4．
点评：此类题常出现在客观题中，主要考查用向量数量积求长度、夹角及最值等问题．二、对向量工具性的考查
例2 （2005湖北卷）在A B C △中，已知463
AB =
，6cos 6
B =
，A C 边上的中
线5BD =，求sin A 的值．
解：以B 为坐标原点，BC
为x 轴的正向建立直角坐标系，且不妨设点A 位于第一象
限．
由6cos 6
B =
，得30sin 6
B =
．
又∵463
AB =
，∴44533BA ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝
⎭ ，
．设(0)B C x =
，，则432563x BD ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝
⎭
，
， ∵2
2
4325563x BD ⎛⎫
+⎛⎫
=
+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
，
∴2x =，或14
3x =-（舍去）．故245
33C A ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝
⎭
，
．于是314
cos 14B A C A A B A C A
==
．所以2
70sin 1cos 14
A A =-=
．
点评：本题的解法较多，可以用正、余弦定理求解，但借助向量的工具解题给人耳目一新的感觉．
三、对向量和其他知识的综合考查
主要是依据平面向量的模、数量积、夹角等公式，通过数与形的转化，实现与其他知识的有机结合，同时考查综合应用知识的能力．例3 已知(30)A ，，(03)B ，，(cos sin )C αα，．（1）若1AC BC =-
，求sin 2α的值；
（2）若13O A O C +=
，且(0)α∈π，，求OB 与O C
的夹角．
解：（1）(cos 3sin )AC αα=-
，，(cos sin 3)B C αα=-
，．
由1AC BC =- ，得(cos 3)cos sin (sin 3)1αααα-+-=-，即2
sin cos 3
αα+=，
两边平方，得5
sin 29
α=-；
（2）∵(3c o s s i n )O A O C αα+=+ ，，
由题意，得22(3cos )sin 13αα++=．1
cos 2
α=∴． (0)α∈π，∵，απ=
3
∴，3sin 2
α=
．
∴1322C ⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
，，332O B O C = ．
设OB 与O C 的夹角为θ，则3
cos 2O B O C O B O C
θ==
．又∵0θπ≤≤，6
θπ=
∴．
例4 （2005浙江卷）已知向量≠a e ，1=e ，满足：对任意t ∈R ，恒有t --a e a e ≥，则（）．Ａ．a e ⊥
Ｂ．(-)a a e ⊥
Ｃ．(-)e a e ⊥
Ｄ．()(-)a +e a e ⊥
解：∵t --a e a e ≥，2
2
t --∴≥a e a e 恒成立，
即2
2
()()t --a e a e ≥恒成立，整理得2
2(21)t t -+-0 a e a e ≥对任何t ∈R 均成立， ∴2(2)4(21)0∆=-- a e a e ≤，
整理，得2
(1)- a e ≤0，即1 a e =．
又2
()110-=-=-= e a e e a e ，
所以(-)
⊥．
e a e
点评：本题考查了向量与根的判别式，通过平方把向量问题代数化，题目新颖．把不同知识揉和在一起，正是高考考查的重点．。