27.不定方程、方程组(含答案)-

27.不定方程、方程组知识纵横不定方程(组)是指未知数的个数多于方程的个数的方程(组),•其特点是解往往有无穷多个,不能惟一确定.对于不定方程(组),我们往往限定只求整数解,甚至只求正整数解,•加上条件限制后,解就可确定.二元一次不定方程是最简单的不定方程,一些复杂的不定方程(组)•常常转化为二元一次不定方程问题加以解决,与之相关的性质有:设a 、b 、c 、d 为整数,则不定方程ax+by=c 有如下两个重要命题: (1)若(a,b)=d,且d c,则不定方程ax+by=c 没有整数解;(2)若x 0,y 0是方程ax+by=c 且(a,b)=1的一组整数解(称特解),则00x x bt y y at =+⎧⎨=-⎩(t 为整数)是方程的全部整数解(称通解).解不定方程(组),没有现成的模式、固定的方法可循，•需要依据方程（组）的特点进行恰当的变形，并灵活运用以下知识与方法：奇数偶数、整数的整除性、分离整系数、因数分解、配方利用非负数性质、穷举、乘法公式、不等式分析等。

例题求解【例１】正整数m 、n 满足8m+9n=mn+6,则m 的最大值为________. (2000年新加坡数学竞赛题)思路点拨 把m 用含n 的代数式表示,并分离其整数部分(简称分离整系数法),再结合整除知识,求出m 的最大值. 解:75 提示:m=968n n --=9+668n -,n=9时,m 最大值为75. 【例2】如图,在高速公路上从3千米处开始,每隔4千米设一个速度限制标志,而且从千米处开始,每隔9千米设一个测速照相机标志,则刚好在19•千米处同时设置这两种标志.问下一个同时设置这两种标志的地点的千米数是( ).A.32千米B.37千米C.55千米D.90千米(2003年河南省竞赛题) 思路点拨 设置限速标志、照相机标志千米数分别表示为3+4x 、10+9y(x,y•为自然数),问题转化为求不定方程3+4x=10+9y的正整数解.解:选C 提示:x=794y+=2y+1+34y+,4│y+3,135xy=⎧⎨=⎩为所求的解.【例3】(1)求方程15x+52y=6的所有整数解.(2)求方程x+y=x2-xy+y2的整数解. (莫斯科数学奥林匹克试题)(3)求方程11156x y z++=正整数解. (“希望杯”邀请赛试题)思路点拨对于(1)通过观察或辗转相除法,先求出特解.对于(2)易想到完全平方公式,从配方入手;对于(2)易知x,y,z都大于1,不妨设1<x≤y≤z,则1x≥1y≥1z,•将复杂的三元不定方程转化为一元不等式,通过解不等式对某个未知数的取值作出估计,逐步缩小其取值范围,求出其结果.解:(1)观察易得一个特解x=42,y=-12,原方程所有整数解为42521215x ty t=-⎧⎨=-+⎩(t为整数).解法2:x=-4y+6815y+,令6815y+=t1,得y=2t1-168t+,令168t+=t,得t=8t-6,化简得42521215(x ty t t=-⎧⎨=-+⎩为整数)(2)原方程化为(x-y)2+(x-1)2+(y-1)2=2,由此得方程的解为(0,0),(2,2),(1,0),(0,1),(2,1),(1,2)(3)提示: 1x<1x+1y+1z≤3x,即1x<56≤3x,由此得x=2或3,当x=2时, 1x<1y+1z=56-12=13≤1y+1y=2y，即1y<13≤2y,由此得y=4或5或6,同理当x=3时,y=3或4,由此可得当1≤x≤y≤z时,(x,y,z)共有(2,4),(4,2,12),(4,12,2),•(12,2,4),(12,4,2),(2,6,6),(6,2,6),(6,6,2),(3,3,6),(3,6,3),(6,3,3),(3,4,4),(4,4,3),(4,3,4)【例4】一个盒子里装有不多于200粒棋子,如果每次2粒,3粒,4粒或6粒地取出,最终盒内都剩一粒棋子;如果每次11粒地取出,那么正好取完,求盒子里共有多少粒棋子?(2002年重庆市竞赛题)思路点拨 无论怎样取,盒子里的棋子数不变,恰当设未知数,•把问题转化为求不定方程的正整数解.解:提示:设盒子里共有x 粒棋子,则x 被2、3、4、6的最小公倍数12除时,余数为1,即x=12a+1(a 为自然数),又x=11b(b 为自然数),得12a+1=11b,b=12111a + =a+111a +,11│a+1• 因0<x ≤200,故0<12a+1≤200,得0<a<16712,a=10,所以x=12×10+1=•121,•即盒子里共有121粒棋子.【例5】中国百鸡问题:鸡翁一,值钱五,鸡母一,值钱三,鸡雏三,值钱一.百钱买百鸡,问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何? (出自中国数学家张丘建的著作《算经》)思路点拨 设鸡翁、鸡母、鸡雏分别为x,y,z,则有100531003x y z zx y ++=⎧⎪⎨++=⎪⎩通过消元,将问题转化为求二元一次不定方程的非负整数解.解:消去方程组中的z,得7x+4y=100,显然,(0,25)是方程的一个特解,•所以方程的通解为4257x ty t=-⎧⎨=+⎩(t 为整数),于是有t=100-x-y=100+4t-(25+7t)=75-3t,由x,y,z ≥0且t•为整数得4025707530t t t -≥⎧⎪+≥⎨⎪-≥⎩,t=0,-1,-2,-3,将t 的值代入通解,得四组解 (x,y,z)=(0,25,75),(4,18,78) (8,11,81),(12,4,84)【例6】甲组同学每人有28个核桃,乙组同学每人有30个核桃,•丙组同学每人有31个核桃,三组的核桃总数是365个,问三个小组共有多少名同学?(2001年海峡两岸友谊赛试题)思路点拨 设甲组同学a 人,乙组学生b 人,丙组学生c 人,由题意得28a+30b+31c=365,怎样解三元一次不定方程?运用放缩法,从求出a+b+c 的取值范围入手.解:设甲组、乙组、丙组分别有学生a 人、b 人、c 人,则28a+30b+31c=365 因28(a+b+c)<28a+30b+31c=365,得a+b+c<36528<13.04 所以a+b+c ≤13因31(a+b+c)>28a+30b+31c=365,得(a+b+c)>36531>11.7 所以a+b+c ≥12因此,a+b+c=12或13当a+b+c=13时,得2b+3c=1,此方程无正整数解.故a+b+c≠13,a+b+c=12学力训练一、基础夯实1.已知x,y,z满足x+y=5及z2=xy+y-9,则x+2y+3z=_______.(2002年山东省竞赛题)2.已知4x-3y-6z=0,x+2y-7z=0(xyz≠0),那么22222223657x y zx y z++++的值为________.3.用一元钱买面值4分、8分、1角的3种邮票共18张,每种邮票至少买一张,共有______种不同的买法.4.购买512345则55.希望中学收到王老师捐赠的足球、篮球、排球共20个,其总价值为330元,•这三种球的价格分别是足球每个60元,篮球每个30元,排球每个10个,•那么其中排球有________个. (2003年温州市中考题)6.方程(x+1)2+(y-2)2=1的整数解有( ).A.1组B.2组C.4组D.无数组7.三元方程x+y+z=1999的非负整数解的个数有( ).A.20001999个B.19992000个C.2001000个D.2001999个 (第11届“希望杯”邀请赛试题)8.以下是一个六位数乘上一个一位数的竖式,a、b、c、d、e、f各代表一个数(不一定相同),则a+b+c+d+e+f=( ).abcdef× 4efabcdA.27B.24C.30D.无法确定 (“五羊杯”邀请赛试题)9.求下列方程的整数解: (1)11x+5y=7; (2)4x+y=3xy.10.在车站开始检票时,有a(a>0)名旅客在候车室排队等候检票进站.•检票开始后,仍有旅客继续前来排队检票进站,设旅客按固定的速度增加,•检票口检票的速度也是固定的,若开放一个检票口,则需30分钟才可将排队等候检票的旅客全部检票完毕;若开放两个检票口,则只需10分钟便可将排队等候检票的旅客全部检票完毕;•如果要在5分钟内将排队等候检票的旅客全部检票完毕,以便后来到站的旅客能随到随检,至少要同时开放几个检票口? (2001年广州市中考题)11.下面是同学们玩过的“锤子、剪子、•布”的游戏规则：游戏在两位同学之间进行，用伸出手掌表示“布”，两人同时口念“锤子、剪子、布”，一念到“布”时，同时出手，“布”赢“锤子”，“锤子”赢“剪子”，“剪子”赢“布”。

现在我们约定：“布”赢“锤子”得９分，“锤子”赢“剪子”得５分，“剪子”赢“布”得２分。

(1)小明和某同学玩此游戏过程中，小明赢了21次，得108分，其中“剪子”赢“布”７次，聪明的同学，请你用所学的数学知识求出小明“布”赢“锤子”、“锤子”赢“剪子”各多少次？(2)如果小明与某同学玩了若干次，得了30分，•请你探究一下小明各种可能的赢法，并选择其中的三种赢法填入下表。

赢法三：三、能力拓展12.满足19982+m 2=19972+n 2(0<m<n<1998)的整数对(m,n)共有_______对. 13.有理数x 、y 、z 满足2633220x yx y xy z =-⎧⎨+-+=⎩,则x2y+z的值为______.14.1998•年某人的年龄恰等于他出生的公元年数的数字之和,•那么他的年龄是______岁. 15.江堤边一洼地发生了管涌,江水不断地涌出,假定每分钟涌出的水量相等,如果用2台抽水机抽水,40分钟可抽完;如果用4台抽水机抽水,16分钟可抽完.如果要在10分钟内抽完水,那么,至少需要抽水机______台.16.有甲、乙、丙3种商品，某人若购甲3件、乙7件、丙1件共需24元；•若购甲4件、乙10件、丙1件共需33元，则此人购甲、乙、丙各1件共需________元.17.一个布袋中装有红、黄、蓝三种颜色的大小相同的小球，•红球上标有数字1，黄球上标有数字2，蓝球上标有数字3，小明从布袋中摸出10个球，•它们上面所标数字的和等于21，则小明摸出的球中红球的个数最多不超过_______个. 18.(1)求满足y 4+2x 4+1=4x 2y 的所有整数对(x,y);(2)求出所有满足5(xy+yz+zx)=4xyz 的正整数解. (新加坡奥林匹克试题)19.兄弟二人养了一群羊,当每只羊的价钱(以元为单位)的数值恰等于这群羊的只数时,将这群羊全部卖出,兄弟二人平分卖羊得来的钱:哥哥先取10•元,•弟弟再取10元;这样依次反复进行,最后,哥哥先取10元,弟弟再取不足10元,•这时哥哥将自己的一顶草帽给了弟弟,兄弟二人所得的钱数相等,问这顶草帽值多少钱?(2003年北京市竞赛题)20.某人家的电话号码是八位数,将前四位数组成的数与后四位数组成的数相加得14405,将前三位数组成的数与后五位数组成的数相加得16970,求此人家的电话号码. (2003年武汉市选拨赛试题)三、综合创新21.某布店的一页帐簿上沾了墨水,如下表所示:7.28,但前面的3个数码看不清楚了,请你帮助查清这笔帐.(上海市“金桥杯”数学知识应用竞赛试题)22.一支科学考察队前往某条河流上的上游去考察一个生态区.他们出发后以每天17km的速度前进,沿河岸向上游行进若干天后到达目的地,然后在生态区考察了若干天,完成任务后以每天25km的速度返回,在出发后的第60天,考察队行进了24km•后回到出发点,试问:科学考察队在生态区考察了多少天?(2003年四川省竞赛题)答案1.82.83.2 提示:设买4分、8分、1角的邮票分别为x 张,y 张,z 张,则184810100x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩ ,得2y+3z=14,解得(x,y,z)=(12,4,2),(13,1,4) 4.1000 5.156.C 提示:因(x+1)+(y-2)=1,且x,y 均为正整数,只有22(1)0(2)1x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩或22(1)1(2)0x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩ 7.C 提示:当x=0时,y+z=1999,y 分别取0,1,2…,1999时,z 取1999,1998,…,0,•有2000个整数解;当x=1时,y+z=1998,有1999个整数解, 当x=2时,y+z=1997,有1998个整数解;… 当x=1999时,y+z=0,只有1组整数解,故非负整数解共有2000+1999+1998+•…+3+2+1=2001000(个) 8.A 提示:设abcd =x, ef =y,则4(100x+y)=10000y+x,即19x=476y. 设x=476k,•y=19k,可求得k=3,4,5,则abcdef =142857,190476,238095.9.(1) 215111x t y t =-⎧⎨=-+⎩(t 为整数)(2) 1112x y =⎧⎨=⎩,2211x y =-⎧⎨=⎩,3300x y =⎧⎨=⎩ 提示:x=34y y -,3x=1+434y - 10.提示:设检票开始每分钟新增加的旅客为x 人,检票的速度为每个检票口每分钟检y人,5分钟内检票完毕同时开放n 个检票口,则30301021055a x ya x y a x n y +=⎧⎪+=⎨⎪+≤⎩②×③-①,得:2a=30y,得y=15a…④ 把④代入①,得x=30a…⑤ 把④、⑤代入③,得a+6a ≤n ·3a,解得n ≥3.5,n 取最少的整数n=4,•即至少需同时开放4个检票口.11.(1)设小明“布”赢“锤子”为x次，“锤子”赢“剪子”y次，则7219572108x yx y++=⎧⎨++⨯=⎩得x=6,y=8(2)12.3 提示:(n-m)(n+m)=3995=1×5×17×47,(n-m)与(n+m)奇偶性相同13.914.18 提示:设某人出生于19xy年,则1998-19xy=10+x+y,即11x+2y=8,解得80 xy=⎧⎨=⎩15.6 提示:参见例5 16.617.4 提示:设分别有x、y、z个红球,由102321x y zx y z++=⎧⎨++=⎩得2x+y=9,x的最大值为418.(1)原方程变形为:2(x2-y)2+(y2-1)2=0,由此得原方程的解为(±1,1).(2)•原方程变形为11145x y z++= .参考例3(2),得方程的解(x,y,z):(2,4,20),(2,20,4),(4,2,20);(4,20,2),(20,2,4);(20,4,2);(3,5,10);(3,10,5);(5,3,10);(5,10,3);(10,3,5);(•10,5,3).19.设羊群共10a+b只,则每只羊的价钱为10a+b元(其中b是个位数字),这群羊共卖了(10a+b)2=100a2+20ab+b2(元).由于每次取10元,最后一次弟弟取的不够10元,因此取10的倍数共奇数次,因此b2必有十位进位,并且进的是个奇数,易知,在1,2,…9的平均数中,只有42=16,62=36的十位数字是奇数,所以b等于4或6,由此得这顶草帽值2元.20.设电话号码是100000x+10000y+z,其中x,y,z均为自然数,且100≤x≤999,•0≤y≤9,1000≤y≤9999,则10144051000016970x y zx y z++=⎧⎨++=⎩得1111y-x=285,由100≤x≤999,y≥0,得y=1,x=826,•z=6144,故电话号码是82616144.21.提示:设所卖数量为x米,金额前三位数为y,则49.36x=10y+7.28,得y=61791125x-=5x-1+2(174)125x-又令174125x-=t,则x=171254t-= 4-31t+14t-,解得t=-3,于是x=98,y=483,即所卖呢料米数为98米,•金额为4837.28元.22.设考察队到生态区用了x天,返回用了y天,考察用了z天,则60 25171x y zy x++=⎧⎨-=⎩•方程②的特解为x=-3,y=-2,方程②的一切整数解为325217x ty t=-+⎧⎨=-+⎩(t为整数),则x+y=42t-5,又0<x+y<60,仅当t=1才符合题意,这时x+y=37,z=23.。