三角形内心和外心练习题
三角形内心、外心专项训练
三角形内心、外心专项训练内心相关知识一、判断题1、在同一平面内，到三角形三边距离相等的点只有一个2、在同一平面内，到三角形三边所在直线距离相等的点只有一个3、三角形三条角平分线交于一点（三角形的内心）4、等腰三角形底边中点到两腰的距离相等5、三角形是以它的角平分线为对称轴的轴对称图形二、填空题6、如图（1），点P为△ABC三条角平分线交点，PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，则PD__________PE__________PF.7、如图（2），P是∠AOB平分线上任意一点，且PD=2cm，若使PE=2cm，则PE与OB的关系是__________.8、如图（3），CD为Rt△ABC斜边上的高，∠BAC的平分线分别交CD、CB于点E、F，FG ⊥AB，垂足为G，则CF__________FG，∠1+∠3=__________度，∠2+∠4=__________度，∠3__________∠4，CE__________CF.9、如右图，E、D分别是AB、AC上的一点，∠EBC、∠BCD的角平分线交于点M，∠BED、∠EDC的角平分线交于N.求证：A、M、N在一条直线上.证明：过点N作NF⊥AB，NH⊥ED，NK⊥AC过点M作MJ⊥BC，MP⊥AB，MQ⊥AC∵EN平分∠BED，DN平分∠EDC∴NF__________NH，NH__________NK∴NF__________NK∴N在∠A的平分线上又∵BM平分∠ABC，CM平分∠ACB∴__________=__________，__________=__________∴__________=__________∴M在∠A的__________上∴M、N都在∠A的__________上∴A、M、N在一条直线上三、作图题10、利用角平分线的性质，找到△ABC内部距三边距离相等的点.11、在下图△ABC所在平面中，找到距三边所在直线．．距离相等的点.12、如下图，一个工厂在公路西侧，在河的南岸，工厂到公路的距离与到河岸的距离相等，且与河上公路桥南首（点A）的距离为300米.请用量角器和刻度尺在图中标出工厂的位置.四、解答题13、已知：如下图在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于D，若BC=32，且BD∶CD=9∶7，求：D到AB边的距离.外心相关知识一、判断题1、三角形三条边的垂直平分线必交于一点（三角形的外心）2、以三角形两边的垂直平分线的交点为圆心，以该点到三角形三个顶点中的任意一点的距离为半径作圆，必经过另外两个顶点3、平面上只存在一点到已知三角形三个顶点距离相等4、三角形关于任一边上的垂直平分线成轴对称二、填空题5、如左下图，点P为△ABC三边中垂线交点，则PA__________PB__________PC.6、如右上图，在锐角三角形ABC中，∠A=50°，AC、BC的垂直平分线交于点O，则∠1_______∠2，∠3______∠4，∠5______∠6，∠2+∠3=________度，∠1+∠4=______度，∠5+∠6=_______度，∠BOC=_______度.7、如左下图，D为BC边上一点，且BC=BD+AD，则AD__________DC，点D在__________的垂直平分线上.8、如右上图，在△ABC中，DE、FG分别是边AB、AC的垂直平分线，则∠B__________∠1，∠C__________∠2；若∠BAC=126°，则∠EAG=__________度.9、如左下图，AD是△ABC中BC边上的高，E是AD上异于A，D的点，若BE=CE，则△__________≌△__________(HL)；从而BD=DC，则△________≌△_________(SAS)；△ABC是__________三角形.10、如右上图，∠BAC=120°，AB=AC，AC的垂直平分线交BC于D，则∠AD B=_________度.三、作图题11、（1）分别作出点P，使得PA=PB=PC（2）观察各图中的点P与△ABC的位置关系，并总结规律：当△ABC为锐角三角形时，点P在△ABC的__________；当△ABC为直角三角形时，点P在△ABC的__________；当△ABC为钝角三角形时，点P在△ABC的__________；反之也成立，且在平面内到三角形各顶点距离相等的点只有一个.四、类比联想12、既然任意一个三角形的三边的垂直平分线交于一点，那三角形的三边上的中线是否也交于一点；三个角的平分线是否也交于一点；试通过折纸或用直尺、圆规画图验证这种猜想.。
三角形中心重心外心内心垂心
三角形中心重心外心内心垂心1.三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心；2三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合；3.锐角三角形的外心在三角形内；钝角三角形的外心在三角形外；直角三角形的外心与斜边的中点重合。
在△ABC中4.OA=OB=OC=R5.∠BOC=2∠BAC，∠AOB=2∠ACB，∠COA=2∠CBA6.S△ABC=abc/4R三角形的内心的性质：1.三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心2.三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r3.r=2S/(a+b+c)4.在Rt△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2．5.∠BOC = 90 °+∠A/2 ∠BOA = 90 °+∠C/2 ∠AOC = 90 °+∠B/26.S△=[(a+b+c)r]/2 (r 是内切圆半径)三角形的垂心的性质:1.锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外。
2.三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心。
例如在△A BC中3. 垂心O关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆圆上。
4.△ABC中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AO?OD=BO?OE=CO?OF5. H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组)。
6.△ABC，△ABO，△BCO，△ACO的外接圆是等圆。
7.在非直角三角形中，过O的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则AB/AP?tanB+ AC/AQ?tanC=tanA+tanB+tanC8.三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。
9.设O，H分别为△ABC的外心和垂心，则∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC，∠BCO=∠HCA。
三角形内心和外心练习题
EB内心和外心一、选择题：1、对于三角形的外心,下列说法错误的是( ）A。
它到三角形三个顶点的距离相等B。
它到三角形任意一个顶点的距离等于其外接圆的半径C.它是三角形三条角平分线的交点D。
它是三角形三条边垂直平分线的交点2、下列命题正确的个数有（ )错误!过两点可以作无数个圆;错误!经过三点一定可以作圆；错误!任意一个三角形有一个外接圆，而且只有一个外接圆；○，4任意一个圆有且只有一个内接三角形。
A.1个B.2个 C。
3个 D.4个2、在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=6cm,BC=8cm，则它的外心与顶点C的距离是（ )A。
5cm B。
6cm C. 7cm D。
8cm3、下列说法错误的是（）A.三角形有且只有一个内切圆B.若I为△ABC的内心,则AI平分∠BACC。
三角形的内心不一定都在三角形的内部D。
等腰三角形的内心一定在它底边的高上4、在Rt△ABC中,∠C=90°，AC=3cm,BC=4cm，则△ABC的外接圆的面积为（）A.254cm2 B.5πcm2 C.254πcm2 D.25cm25、⊙O与△ABC分别相切于点D、E、F，△ABC的周长为20cm，AF=5cm，CF=3cm，则BE的长度为( ）A。
1cm B。
2cm C。
3cm D.2.5cm第5题第7题第9题6、△ABC内接于⊙O，∠A=60°,⊙O的半径为5，则BC的长为（ )C。
527、已知，如图在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm,⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点为D、E、F，则⊙O的半径为（）A。
12cm B.1cm C.32cm D.2cm8、等边三角形的内切圆半径为r，外接圆半径为R，高为h，则r：R：h的值为(）A.1:2:3B.1。
2：1：3 D。
19、如图，⊙O为△ABC的内切圆，∠C=90°，AO的延长线交BC于点D,AC=4,CD=1,则⊙O的半径为( ）A。
初三数学苏科课标版三角形的内心与外心大全
初三数学苏科课标版三角形的内心与外心大全1、下列运算中错误的有（答案B 解析2、如果是方程的解，那么的值是（）A．0 B．2 C．D．答案C 解析3、如图6，半圆A和半圆B均与y轴相切于O，其直径CD、EF均和x轴垂直，以O为顶点的两条抛物线分别经过点C、E和点答案B 解析4、下列说法错误的是答案C 解析5、下列字母既是轴对称又是中心对称的个数是（）A．1B．2 C．3D．4 答案C 解析6、下列说法正确的是（）A．1的立方根是B．C．的平方根是D．答案C 解析7、学剪五角星：如图，先将一张长方形纸片按图①的虚线对折，得到图②，然后将图②沿虚线折叠得到图③，再将图③沿虚剪下展答案A 解析8、化简的结果是（;）．A．B．C．D．答案B 解析9、如图，在△ABC中，DE∥BC交AB、AC于点D、E，AD=1，BD=2，那么，△与△面积的比为（答案D 解析10、（2014?天津）要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每答案B 解析试题分析：关系式为：球队总数×每支球队需赛的场数÷2=4×7，把相关数值代入即可．解：每支球队都需要与其他球队赛（x﹣1）场，但2队之间只有1场比赛，所以可列方程为：x（x﹣1）=4×7．故选：B．点评：本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是得到比赛总场数的等量关系，注意2队之间的比赛只有1场，最后的总场数应除以2．11、．如图，数轴上有6个点，且相邻两点间的距离都相等，则与D点所表示的数最接近的整数是答案2 解析初三数学沪科版二次函数图象的顶点开口方向及其对称轴一个数的平方等于它本身，这个数是（）A．1B．1，0C．0D．0，±１答案B 解析下列运算正确的是A．B．C．D．÷答案B 解析12、的倒数是(; )A．5B．C．D．答案D 解析13，。
三角形的“四心”练习
三角形的“四心”练习三角形是几何学中的基本图形之一，它具有丰富的性质和特点。
在三角形中，存在着四个特殊的点，被称为“四心”。
它们分别是垂心、重心、外心和内心。
本文将针对这四个心进行练习和探究。
垂心是三角形三条高线的交点，它与三角形的顶点相连，形成了三条互相垂直的直线。
我们以一个具体的例子来进行实践。
假设三角形ABC中，AB = 5cm，BC = 6cm，AC = 7cm。
首先，我们需要确定三个顶点A、B、C的坐标。
假设A点坐标为(0, 0)，B点坐标为(5, 0)，C点坐标为(3.5, 4)。
接下来，我们绘制出三角形ABC，并求出垂心H的坐标。
通过计算，得出三角形ABC的三边的中点分别为D(2.5, 0)、E(4.25, 2)和F(1.75, 2)。
然后，我们通过计算斜率，得出垂直于三边的直线方程，分别为x = 4.25、x = 1.75和y = 2。
将这三条直线带入到相交点的方程中，我们可以得出垂心H的坐标为(3, 1.33)。
在本次练习中，我们通过确定三个顶点的坐标，计算三边的中点，并求出相互垂直的直线方程，最终得出了垂心H的坐标。
接下来，我们将对重心进行练习。
重心是三角形三条中线的交点，它将三角形等分成六个小三角形。
同样以例子来进行实践。
依旧以三角形ABC，我们可以通过绘制出三角形ABC，并求出重心G的坐标。
通过计算，得出三角形ABC的三边的中点分别为D(2.5, 0)、E(4.25, 2)和F(1.75, 2)。
我们通过计算两个点的中点，得到DF中点M的坐标为(2.25, 1)。
同样地，我们计算出AE中点N的坐标为(2.75, 1)和BC中点P的坐标为(4, 2)。
将这三个中点带入到相交点的方程中，我们可以得出重心G的坐标为(3, 1)。
在本次练习中，我们通过确定三个顶点的坐标，计算三边的中点，并求出相互交点的方程，最终得出了重心G的坐标。
接下来，我们将对外心进行练习。
外心是三角形外接圆的圆心，它与三个顶点的距离都相等。
初三数学2019部审湘教版三角形的内心与外心规律题
初三数学部审湘教版三角形的内心与外心规律题
1、如图，△ABC内接于⊙O，其外角平分线AD交⊙O于DM⊥AC于M，下列结论：①DB=DC；
②AC-AB=2AM；答案B 解析
2、如图是一个包装纸盒的三视图(单位：cm)，则制作一个纸盒所需纸板的面积是(; 答案C 解析
3、下列四张扑克牌图案，属于中心对称的是（;）．答案B 解析
4、（2014?兰山区一模）为了让返乡农民工尽快实现再就业，某区加强了对返乡农民工培训经费的投入．2008年投入30 答案A 解析试题分析：本题为增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果这两年培训经费的年平均增长率为x，根据题意即可列出方程．解：∵增长后的量=增长前的量×（1+增长率），∴3000（1+x）2=5000故选A．点评：本题主要考查：复利公式：“a（1+x%）n=b”的应用，理解公式是解决本题的关键．
5、下列二次根式中与同类二次根式的是………………………（答案C 解析
6、在中，分式的个数是（）A 答案B 解析
7、己知A、B两点在数轴上表示的数分别为a，b，且a与b的积小于0，则A、B两点在数轴上的位置是( 答案D 解析
8、若，则有; 答案A 解析
9、如图,正方形图案绕中心O旋转180°后,得到的图案是( 答案D 解析
10、下列运算正确的是 A．x2+x3="x5" B．x8cedil;x2=" 答案D 解析
11、某等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm，则它的周长为答案C 解析
七年级数学苏科课标版用反比例函数解决实际问题
12，下面的几何体的左视图是答案C 解析
13、。
数学中考专题复习 三角形的内心与外心
考向 1 三角形的内心
4. (优质原创)如图﹐在Rt△ABC中，AB＝1，AC＝ 3，∠BAC＝90°，点D 是线段BC上一点，若点E是△ABD的内心，则∠AEB的度数可能是( C) A. 100° B. 105° C. 130° D. 150°
考向 1 三角形的内心
5. (2020邢台一模)如图，在△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10，O是 △ABC的内心，作OD⊥AB于D，则AD的长为( B ) A. 2 B. 4 C. 5 D. 6
考向 1 三角形的内心
(2)设AP＝x，请用含x的式子表示PD，并求PD的最大值；
(2)解：∵AD＝6，∴PD＝6－x；如解图①，
当AD⊥BC时，x最小，PD最大．
∵∠B＝30°，AB＝6，
1
1
∴x＝2 AB＝ 2 ×6＝3，∴PD的最大值为3；
考向 1 三角形的内心
(3)当AB⊥AC时，∠AIC的取值范围为m°＜∠AIC＜n°， 分别直接写出m，n的值.
7. 如图，点I为△ABC的内心，AB＝4，AC＝3，BC＝2，将∠ACB平移使其
顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为( )
B
A. 4.5
B. 4
C. 3
D. 2
考向 1 三角形的内心
8. (优质原创)如图，已知△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D是AB的 中点，连接CD，点E是△ACD的内心，若点E到AC的距离EG＝1，则BC的 长为( ) C A. 1＋ 2 B. 2＋ 2 C. 2＋2 2 D. 4＋2 2
考向 2 三角形的外心
解：(1)∵∠ABD＝∠EBD，BD＝BD，∠ADB＝∠EDB，
∴△ABD≌△EBD；
考向 1 三角形的内心
高中数学三角形四心性质及例题
三角形“四心”向量形式的充要条件应用1）O 是ABC ∆的重心⇔0OC OB OA =++;若O 是ABC ∆的重心，则ABC AOB AOC BOC S 31S S S ∆∆∆∆===故0OC OB OA =++;1()3PG PA PB PC =++⇔G 为ABC ∆的重心.2）O 是ABC ∆的垂心⇔OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅; 若O 是ABC ∆(非直角三角形)的垂心，则C tan B tan A tan S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆ 故0OC C tan OB B tan OA A tan =++3）O 是ABC ∆的外心⇔|OC ||OB ||OA |==(或222OC OB OA ==) 若O 是ABC ∆的外心则C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S AOB AOC BOC =∠∠∠=∆∆∆：：：： 故0OC C 2sin OB B 2sin OA A 2sin =++ 4）O 是内心ABC ∆的充要条件是|CB |CB |CA |CA OC |BC |BC |BA |BA (OB ACAC |AB |AB (OA =-⋅=-⋅=-⋅引进单位向量，使条件变得更简洁。
如果记CA ,BC ,AB 的单位向量为321e ,e ,e ，则刚才O 是ABC∆内心的充要条件可以写成0)e e (OC )e e (OB )e e (OA 322131=+⋅=+⋅=+⋅O 是ABC ∆内心的充要条件也可以是0OC c OB b OA a =++ 若O 是ABC ∆的内心，则c b a S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆ 故 0OC C sin OB B sin OA A sin 0OC c OB b OA a =++=++或;||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔ABC ∆的内心;向量()(0)||||AC AB AB AC λλ+≠所在直线过ABC ∆的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线)；一． 范例(一)．将平面向量与三角形内心结合考查例1．O 是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的（） （A ）外心（B ）内心（C ）重心（D ）垂心 AB AB 的单位向量设AB 与AC 方向上的单位向量分别为21e e 和， 又AP OA OP =-，则原式可化为)(21e e AP +=λ，由菱形的基本性质知AP 平分BAC∠，那么在ABC ∆中，AP 平分BAC ∠，则知选B. 点评：这道题给人的印象当然是“新颖、陌生”AB 是什么？没见过！想想，一个非零向量除以它的模不就是单位向量？ 此题所用的都必须是简单的基本知识，如向量的加减法、向量的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质等，若十分熟悉，又能迅速地将它们迁移到一起，解这道题一点问题也没有。
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C
E
B 内心和外心
一、选择题：
1、对于三角形的外心，下列说法错误的是（）
A.它到三角形三个顶点的距离相等
B.它到三角形任意一个顶点的距离等于其外接圆的半径
C.它是三角形三条角平分线的交点
D.它是三角形三条边垂直平分线的交点
2、下列命题正确的个数有（）
○1过两点可以作无数个圆；○2经过三点一定可以作圆；○3任意一个三角形有一个外接
圆，而且只有一个外接圆；○4任意一个圆有且只有一个内接三角形.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
2、在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，则它的外心与顶点C的距离是（）
A. 5cm
B. 6cm
C. 7cm
D. 8cm
3、下列说法错误的是（）
A.三角形有且只有一个内切圆
B.若I为△ABC的内心，则AI平分∠BAC
C.三角形的内心不一定都在三角形的内部
D.等腰三角形的内心一定在它底边的高上
4、在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，则△ABC的外接圆的面积为（）
A.25
4
cm2 B.5πcm2 C.
25
4
πcm2 D.25cm2
5、⊙O与△ABC分别相切于点D、E、F，△ABC的周长为20cm，AF=5cm，CF=3cm，则BE的
长度为（）
A.1cm
B. 2cm
C.3cm
D.2.5cm
第5题第7题第9题
6、△ABC内接于⊙O，∠A=60°，⊙O
的半径为5，则BC的长为（）
5
2
7、已知，如图在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，⊙O为Rt△ABC的内切圆，切
点为D、E、F，则⊙O的半径为（）
A.
1
2
cm B.1cm C.
3
2
cm D.2cm
8、等边三角形的内切圆半径为r，外接圆半径为R，高为h，则r：R：h的值为（）
A.1：
2：3 B.1 2 C.2：
1：3 D.1
9、如图，⊙O为△ABC的内切圆，∠C=90°，AO的延长线交BC于点D，AC=4，CD=1，则⊙O
的半径为( )
A.
4
5
B.
5
4
C.
3
4
D.
5
6
10、△ABC内接于⊙O，∠A=60°，∠ABC、∠ACB的角平分线分别交AC、AB于点D、E，CE、
BD相交于点F.以下四个结论：○1∠BFE=60°；○2BC=BD；○3EF=FD；○4BF=2DF.其中结论一定正确的是（）
A. ○1○2○3
B.○1○3
C. ○1○2○4
D. ○1○2○3○4
第10题第15题
第16题
二、填空题
11、已知I是△ABC的内心，且∠BIC=130°，则∠A= ；
12、已知⊙O为△ABC的内切圆，D、E、F为切点，则△DEF一定是三角形；
13、已知等腰Rt△的外接圆半径是5，则其内切圆半径是；
14、三角形的周长为20，面积为35，则其内切圆半径是；
15、如图，⊙O是边长为2的等边△ABC的内切圆，则图中阴影部分的面积为
16、如图，网格中的小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫做格点，△ABC的三个顶点
都在格点上，那么△ABC的外接圆半径是
17、等边三角形的边长为6cm，则这个等边三角形的外接圆半径为 cm，外接圆的面
积是 cm2；
18、等腰△ABC的外接圆半径是5，其底BC=4 ，则S△ABC= .
三、解答题
19、在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，求其内心和外心之间的距离.。