2019_2020学年高中数学课时作业6简单曲线的极坐标方程(第3课时)新人教A版选修4_4

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课时作业9：三　简单曲线的极坐标方程

三简单曲线的极坐标方程一、基础达标1.圆心在(1，0)且过极点的圆的极坐标方程为( ) A. ρ＝1 B.ρ＝cos θ C.ρ＝2cos θD.ρ＝2sin θ解析圆的直角坐标方程是(x －1)2＋y 2＝1，将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入上式，整理得，ρ＝2cos θ，即为此圆的极坐标方程. 答案 C2.在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( ) A.θ＝0(ρ∈R )和ρcos θ＝2 B.θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝2 C.θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝1D.θ＝0(ρ∈R )和ρcos θ＝1解析由ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ，化为直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，即(x －1)2＋y 2＝1，其垂直于极轴的两条切线方程为x ＝0和x ＝2，相应的极坐标方程为θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝2. 答案 B3.在极坐标系中，如果一个圆的方程是(x －2)2＋(y －3)2＝1，那么过圆心且与极轴平行的直线方程是( ) A.ρsin θ＝3 B.ρsin θ＝－3 C.ρcos θ＝2D.ρcos θ＝－2解析圆(x －2)2＋(y －3)2＝1的圆心为(2，3)，∴过圆心且与极轴平行的直线方程是y ＝3，即ρsin θ＝3. 答案 A4.在极坐标系中，设圆C ：ρ＝4cos θ与直线l ：θ＝π4(ρ∈R )交于A ，B 两点，则以AB 为直径的圆的极坐标方程为( )A.ρ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4B.ρ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4C.ρ＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4D.ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4解析根据题意可得圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4x ，直线l 的直角坐标方程为y ＝x ，联立两方程，解方程组可得交点的直角坐标为(0，0)，(2，2)，所以在直角坐标系中，以AB 为直径的圆的圆心为(1，1)、半径为2，则方程为x 2＋y 2＝2x ＋2y ，所以所求极坐标方程为ρ＝2(cos θ＋sin θ)＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4.答案 A5.在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，直线θ＝π4被圆ρ＝2sin θ截得的弦长是________.解析直线为y ＝x (x ≥0)，圆的方程为x 2＋(y －1)2＝1，交于原点和点A (1，1)，弦长为 2. 答案26.在极坐标系中，曲线C 1与C 2的方程分别为2ρcos 2θ＝sin θ与ρcos θ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C 1与C 2交点的直角坐标为________.解析由2ρcos 2θ＝sin θ⇒2ρ2cos 2θ＝ρsin θ⇒2x 2＝y .又由ρcos θ＝1⇒x ＝1，由⎩⎨⎧2x 2＝y ，x ＝1⇒⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2，故曲线C 1与C 2交点的直角坐标为(1，2).答案 (1，2)7.已知圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4－4＝0，求圆C 的半径.解以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O ，以极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系xOy .圆C 的极坐标方程为ρ2＋22ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin θ－22cos θ－4＝0，化简，得ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0.则圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －4＝0，即(x －1)2＋(y ＋1)2＝6，所以圆C 的半径为 6. 二、能力提升8.下列点不在曲线ρ＝cos θ上的是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，π3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2π3C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－π3D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2π3解析点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－23π的极坐标满足ρ＝12，θ＝－23π，且ρ≠cos θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π＝－12. 答案 D9.在极坐标系中与圆ρ＝4sin θ相切的一条直线的方程为( ) A.ρcos θ＝12 B.ρcos θ＝2 C.ρ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3D.ρ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3解析极坐标方程ρ＝4sin θ化为ρ2＝4ρsin θ，即x 2＋y 2＝4y ，即x 2＋(y －2)2＝4.由所给的选项中ρcos θ＝2知，x ＝2为其对应的直角坐标方程，该直线与圆相切. 答案 B10.在极坐标系中，曲线ρcos 2θ＝4sin θ的焦点的坐标为________ (规定：ρ≥0，0≤θ<2π).解析易知曲线ρcos 2θ＝4sin θ的直角坐标方程为x 2＝4y ，故该曲线焦点的直角坐标为(0，1)，极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2 11.在极坐标系中，已知圆C 经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，圆心为直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程.解在ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32中，令θ＝0，得ρ＝1，所以圆C 的圆心坐标为(1，0)，因为圆C 的经过点P ⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，所以圆C 的半径PC ＝（2）2＋12－2×1×2cos π4＝1，于是圆C 过极点，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.12.(2019·全国卷Ⅲ理，22)如图，在极坐标系Ox 中，A (2，0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4，D (2，π)，弧AB ︵，BC ︵，CD ︵所在圆的圆心分别是(1，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2，(1，π)，曲线M 1是弧AB ︵，曲线M 2是弧BC ︵，曲线M 3是弧CD ︵.(1)分别写出M 1，M 2，M 3的极坐标方程；(2)曲线M 由M 1，M 2，M 3构成，若点P 在M 上，且|OP |＝3，求P 的极坐标. 解 (1)由题设可得，弧AB ︵，BC ︵，CD ︵所在圆的极坐标方程分别为ρ＝2cos θ，ρ＝2sin θ，ρ＝－2cos θ，所以M 1的极坐标方程为ρ＝2cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤θ≤π4，M 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4≤θ≤3π4，M 3的极坐标方程为ρ＝－2cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4≤θ≤π.(2)设P (ρ，θ)，由题设及(1)知若0≤θ≤π4，则2cos θ＝3，解得θ＝π6；若π4≤θ≤3π4，则2sin θ＝3，解得θ＝π3或θ＝2π3；若3π4≤θ≤π，则－2cos θ＝3，解得θ＝5π6.综上，P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π6或⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3或⎝ ⎛⎭⎪⎫3，2π3或⎝ ⎛⎭⎪⎫3，5π6.三、探究与创新13.在极坐标系中，O 为极点，已知圆C 的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，半径r ＝1，P 在圆C上运动.(1)求圆C 的极坐标方程；(2)在直角坐标系(与极坐标系取相同的长度单位，且以极点O 为原点，以极轴为x 轴正半轴)中，若Q 为线段OP 的中点，求点Q 轨迹的直角坐标方程.解 (1)设圆C 上任一点坐标为(ρ，θ)，由余弦定理得12＝ρ2＋22－2·2ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3，所以圆的极坐标方程为ρ2－4ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＋3＝0.(2)设Q (x ，y )，则P (2x ，2y )，由于圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －3)2＝1，P 在圆C 上，所以(2x －1)2＋(2y －3)2＝1，则Q 轨迹的直角坐标方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝⎛⎭⎪⎫y －322＝14.。

简单曲线的极坐标方程-高中数学知识点讲解(含答案)

简单曲线的极坐标方程（北京习题集）（教师版）一．选择题（共6小题）1．（2019•房山区一模）在极坐标系中，圆2cos ρθ=的圆心坐标为( ) A ．(1,)2πB ．(1,)2π-C ．(0,1)D ．(1,0)2．（2017秋•海淀区期末）在极坐标系中Ox ，方程2sin ρθ=表示的圆为( )A ．B ．C ．D ．3．（2018•海淀区校级模拟）在极坐标系中与圆2sin ρθ=相切的一条直线可以是( ) A ．cos 0ρθ=B ．cos 2ρθ=C ．sin 1ρθ=D ．sin 2ρθ=4．（2018春•海淀区校级期末）在极坐标系中，方程(cos 2)(2sin )0ρθρθ--=表示的曲线是( ) A ．两个圆 B ．一个圆和一条直线C ．两条直线D ．两条射线5．（2018•朝阳区二模）在极坐标系中，直线:cos sin 2l ρθρθ+=与圆:2cos C ρθ=的位置关系为( ) A ．相交且过圆心 B ．相交但不过圆心 C ．相切D ．相离6．（2018•丰台区一模）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为1cos (sin x y ααα=+⎧⎨=⎩为参数）．若以射线Ox 为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为( ) A ．sin ρθ=B ．2sin ρθ=C ．cos ρθ=D ．2cos ρθ=二．填空题（共7小题）7．（2019•海淀区校级一模）在极坐标系中，过点3(2,)2π且平行于极轴的直线的极坐标方程是． 8．（2019•朝阳区一模）在极坐标系中，直线cos 1ρθ=与圆4cos ρθ=交于A ，B 两点，则||AB = ． 9．（2019•海淀区一模）在极坐标系中，若圆2cos a ρθ=关于直线cos 3sin 10ρθρθ++=对称，则a = 10．（2018秋•丰台区期末）在极坐标系中，圆:2sin C ρθ=的圆心到点(1,0)的距离为． 11．（2019•怀柔区一模）在极坐标系中，曲线2cos ρθ=上的点到点(1,)π距离的最大值为．12．（2018秋•顺义区期末）在极坐标系中，3cos sin 2ρθρθ+=与圆4sin ρθ=交于A ，B 两点，则||AB = ．13．（2019•丰台区二模）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为cos ,(1sin x y ααα=⎧⎨=+⎩为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos sin 10ρθρθ--=，圆心C 到直线l 的距离为．三．解答题（共3小题）14．（2019秋•平谷区期末）在平面直角坐标系xOy 中，设锐角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点3(,)5P P y ，将射线OP 绕坐标原点O 按逆时针方向旋转2π后与单位圆交于点Q ，过Q 做x 轴的垂线交x 轴于M ．（Ⅰ）求sin α，tan α；（Ⅱ）求MOQ ∆的面积S ．15．（2018秋•海淀区校级月考）已知在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，P点的极坐标为)4π，曲线C 的极坐标方程为24cos 2sin 10ρρθρθ--+=．（1）写出点P 的直角坐标及曲线C 的直角坐标方程；（2）若Q 为C 上的动点，求PQ 的中点M 到直线22:(42x tl t y t =-⎧⎨=+⎩为参数）的距离的最大值． 16．（2018秋•海淀区校级月考）在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为2(4x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数），点(2,4)M --以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 2cos 0(0)a a ρθθ-=>．（1）当1a =时，求曲线C 的直角坐标方程；（2）设曲线C 与直线l 交于点A ，B ，若2||||||AB MA MB =，求a 的值．简单曲线的极坐标方程（北京习题集）（教师版）参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．（2019•房山区一模）在极坐标系中，圆2cos ρθ=的圆心坐标为( ) A ．(1,)2πB ．(1,)2π-C ．(0,1)D ．(1,0)【分析】先利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用cos x ρθ=，sin y ρθ=，222x y ρ=+，将极坐标方程转化为直角坐标方程，求出坐标即可．【解答】解：圆2cos ρθ=的直角坐标方程为：2220x y x +-=，其圆心(1,0)，点(1,0)的极坐标为(1,0)，故选：D ．【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．属于基础题． 2．（2017秋•海淀区期末）在极坐标系中Ox ，方程2sin ρθ=表示的圆为( )A ．B ．C ．D ．【分析】直接把极坐标方程转化为直角坐标方程与参数方程，进一步求出结果．【解答】解：方程2sin ρθ=，整理得：22sin ρρθ=，转化为：2220x y y +-=，即：22(1)1x y +-=．根据圆在极坐标系中的位置，只有D 符合．故选：D ．【点评】本题考查的知识要点：极坐标方程和直角坐标方程的转化．3．（2018•海淀区校级模拟）在极坐标系中与圆2sin ρθ=相切的一条直线可以是( ) A ．cos 0ρθ=B ．cos 2ρθ=C ．sin 1ρθ=D ．sin 2ρθ=【分析】本选择题利用直接法求解，把极坐标转化为直角坐标．即利用222x y ρ=+，sin y ρθ=，极坐标方程转化为直角坐标方程后进行判断即可．【解答】解：2sin ρθ=的普通方程为：22(1)1x y +-=，选项D 的sin 2ρθ=的普通方程为2y =．圆22(1)1x y +-=的圆心(0,1)与直线2y =的距离1d r ==．∴在极坐标系中与圆2sin ρθ=相切的一条直线可以是sin 2ρθ=．故选：D ．【点评】本题考查圆的一条切线方程的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．4．（2018春•海淀区校级期末）在极坐标系中，方程(cos 2)(2sin )0ρθρθ--=表示的曲线是( ) A ．两个圆 B ．一个圆和一条直线C ．两条直线D ．两条射线【分析】直接把极坐标方程转化成直角坐标方程，进一步求出结果．【解答】解：方程(cos 2)(2sin )0ρθρθ--=表示的曲线为：cos 2ρθ=或2sin ρθ=，转换为直角坐标方程为：2x =或222x y y +=，故方程表示的曲线为：直线和圆．故选：B ．【点评】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．5．（2018•朝阳区二模）在极坐标系中，直线:cos sin 2l ρθρθ+=与圆:2cos C ρθ=的位置关系为( ) A ．相交且过圆心 B ．相交但不过圆心 C ．相切D ．相离【分析】首先对方程进行转换，进一步可利用点到直线的距离公式的应用求出结果．【解答】解：直线:cos sin 2l ρθρθ+=，转换为直角坐标方程为：20x y +-=．圆:2cos C ρθ=，转换为直角坐标方程为：222x y x +=，整理得：22(1)1x y -+=，所以圆心(1,0)到直线20x y +-=的距离222111d r ==<=+，故：直线与圆相交但不过圆心．故选：B ．【点评】本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化．点到直线的距离公式的应用． 6．（2018•丰台区一模）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为1cos (sin x y ααα=+⎧⎨=⎩为参数）．若以射线Ox 为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为( ) A ．sin ρθ=B ．2sin ρθ=C ．cos ρθ=D ．2cos ρθ=【分析】曲线C 的参数方程消去参数，求出曲线的直角坐标方程，由此能求出曲线C 的极坐标方程．【解答】解：曲线C 的参数方程为1cos (sin x y ααα=+⎧⎨=⎩为参数）．∴曲线的直角坐标方程为22(1)1x y -+=，即2220x y x +-=， ∴曲线C 的极坐标方程为22cos 0ρρθ-=，即2cos ρθ=．故选：D ．【点评】本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查参数方程、直角坐标方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．二．填空题（共7小题）7．（2019•海淀区校级一模）在极坐标系中，过点3(2,)2π且平行于极轴的直线的极坐标方程是 sin 2ρθ=- ．【分析】如图所示，在Rt OPQ ∆中，利用直角三角形的边角关系及诱导公式化简求解即可．【解答】解：如图所示在Rt OPQ ∆中，223sin cos()2ρπθθ==--，可化为sin 2ρθ=-．过点3(2,)2π且平行于极轴的直线的极坐标方程是sin 2ρθ=-．故答案为：sin 2ρθ=-．【点评】本题考查极坐标系的应用，熟练掌握直角三角形的边角关系及诱导公式是解题的关键．8．（2019•朝阳区一模）在极坐标系中，直线cos 1ρθ=与圆4cos ρθ=交于A ，B 两点，则||AB = 【分析】求出直线的普通方程和圆的普通方程，求出圆心和半径，再求出圆心到直线的距离，由此能求出弦长．【解答】解：直线cos 1ρθ=的普通方程为1x =，圆4cos ρθ=的普通方程为2240x y x +-=，圆心(2,0)C ，半径2r ==，圆心(2,0)C 到直线1x =的距离1d =，||AB ∴==故答案为：【点评】本题考查弦长的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．9．（2019•海淀区一模）在极坐标系中，若圆2cos a ρθ=关于直线cos sin 10ρθθ++=对称，则a = 1- 【分析】化简圆的极坐标方程为普通方程，直线的极坐标方程化为普通方程，然后利用圆的圆心在直线上，求解a 即可．【解答】解：圆2cos a ρθ=的普通方程为：2220x y ax +-=，直线cos sin 10ρθθ++=，化为10x ++=，圆关于直线对称，则直线经过圆的圆心(,0)a ，所以010a +=，解得，1a =-．故答案为：1-．【点评】本题考查极坐标与普通方程的互化，直线与圆的位置关系的应用，是基本知识的考查．10．（2018秋•丰台区期末）在极坐标系中，圆:2sin C ρθ=的圆心到点(1,0)【分析】将圆C 方程化为普通方程，求出圆心的坐标，然后利用两点间的距离公式求出答案．【解答】解：在圆C 的极坐标方程两边同时乘以ρ得，22sin ρρθ=，化为普通方程得222x y y +=，即22(1)1x y +-=，所以，圆C 的圆心为(0,1)C ，该圆心到点(1,0)【点评】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查极坐标方程与普通方程之间的转化，属于基础题． 11．（2019•怀柔区一模）在极坐标系中，曲线2cos ρθ=上的点到点(1,)π距离的最大值为 3 ．【分析】将曲线和点的极坐标化为直角坐标后可得．【解答】解：由2cos ρθ=得22cos ρρθ=得22(1)1x y -+=，表示圆心为(1,0)半径为 1 的圆，点(1,)π的直角坐标为(1,0)-，所以所求距离得最大值为213+=．故答案为：3．【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．12．（2018秋•顺义区期末）在极坐标系中，cos sin 2θρθ+=与圆4sin ρθ=交于A ，B 两点，则||AB = 4 ．【分析】首先把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换，进一步判断直线与圆的位置关系，进一步利用点到直线的距离公式的应用求出结果．【解答】cos sin 2θρθ+=20y +-=，圆4sin ρθ=转换为直角坐标方程为：224x y y +=，转换为标准式为：22(2)4x y +-=，则：圆心(0,2)20y +-=的距离0d ==，故直线经过圆心，则：||4AB =，故答案为：4【点评】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，直线与圆的位置关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．13．（2019•丰台区二模）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为cos ,(1sin x y ααα=⎧⎨=+⎩为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos sin 10ρθρθ--=，圆心C 到直线l 的距离为【分析】先将圆和直线化成直角坐标方程，再利用点到直线的距离公式可求得．【解答】解：由cos 1sin x y αα=⎧⎨=+⎩得圆C 的普通方程为：22(1)1x y +-=，由cos sin 10ρθρθ--=得10x y --=，所以圆心(0,1)到直线的距离d【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．三．解答题（共3小题）14．（2019秋•平谷区期末）在平面直角坐标系xOy 中，设锐角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点3(,)5P P y ，将射线OP 绕坐标原点O 按逆时针方向旋转2π后与单位圆交于点Q ，过Q 做x 轴的垂线交x 轴于M ．（Ⅰ）求sin α，tan α；（Ⅱ）求MOQ ∆的面积S ．【分析】（Ⅰ）利用三角函数关系式的变换和诱导公式的应用求出结果．（Ⅱ）利用诱导公式的应用和三角形的面积公式的应用求出结果．【解答】解：（Ⅰ）锐角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点3(,)5P P y ，将射线OP 绕坐标原点O 按逆时针方向旋转2π后与单位圆交于点Q ，过点Q 做x 轴的垂线交x 轴于点M ．由已知；44.sin 55P y α==，3cos 5α=．4sin 45tan 3cos 35ααα===．（Ⅱ）因为4sin 5α=，3cos 5α= 所以4cos()sin 25Q x παα=+=-=-．3sin()cos 25Q y παα=+==．所以MOQ ∆的面积11436||||||||225525Q Q S x y ==-=．【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，三角形的面积公式的应用，诱导公式的应用，属于基础题型 15．（2018秋•海淀区校级月考）已知在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，P点的极坐标为)4π，曲线C 的极坐标方程为24cos 2sin 10ρρθρθ--+=．（1）写出点P 的直角坐标及曲线C 的直角坐标方程；（2）若Q 为C 上的动点，求PQ 的中点M 到直线22:(42x tl t y t =-⎧⎨=+⎩为参数）的距离的最大值．【分析】（1）根据互化公式可得；（2）利用中点公式和点到直线的距离公式以及三角函数的性质可得．【解答】解：（1）点P 的直角坐标为(3,3)，由24cos 2sin 10ρρθρθ--+=得曲线C 的直角坐标方程为：224210x y x y +--+=，即22(2)(1)4x y -+-= （2）由2242x ty t =-⎧⎨=+⎩消去t 得60x y +-=，设(22cos ,12sin )Q θθ++，则5(cos 2M θ+，2sin )θ+，M 到直线60x y +-=的距离53|cos 2sin 6|)|d πθθθ+++-+-=，所以sin()14πθ+=-时，d取得最大值1．【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．16．（2018秋•海淀区校级月考）在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为2(4x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数），点(2,4)M --以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 2cos 0(0)a a ρθθ-=>．（1）当1a =时，求曲线C 的直角坐标方程；（2）设曲线C 与直线l 交于点A ，B ，若2||||||AB MA MB =，求a 的值．【分析】（1）当1a =时，曲线C 的极坐标方程化为22sin 2cos 0ρθρθ-=，由此能求出曲线C 的直角坐标方程．（2）直线l 的参数方程消去参数，求出直线l 的普通方程为20x y --=，曲线C 的极坐标方程化为22sin 2cos 0a ρθρθ-=，求出曲线C 的普通方程为22y ax =，0a >，联立2220y axx y ⎧=⎨--=⎩，得2(24)40x a x -++=，由曲线C 与直线l 交于点A ，B ，2||||||AB MA MB =，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则1224x x a +=+，124x x =，由(2,2)M --，2||||||AB MA MB =，推导出2(24)4442(24)4a a +-⨯=+++，由此能求出a 的值．【解答】解：（1）当1a =时，曲线C 的极坐标方程为2sin 2cos 0ρθθ-=，即22sin 2cos 0ρθρθ-=，∴曲线C 的直角坐标方程为22y x =．（2）直线l的参数方程为2(4x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数）， ∴直线l 的普通方程为20x y --=，曲线C 的极坐标方程为2sin 2cos 0(0)a a ρθθ-=>，即22sin 2cos 0a ρθρθ-=，∴曲线C 的普通方程为22y ax =，0a >，联立2220y ax x y ⎧=⎨--=⎩，得2(24)40x a x -++=，曲线C 与直线l 交于点A ，B ，2||||||AB MA MB =，∴△2(24)160a =+->，由0a >，得0a >，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则1224x x a +=+，124x x =， (2,2)M --，2||||||AB MA MB =，222212122()()(2)x x y y x ∴-+-=+212121212()42()4x x x x x x x x ∴+-=+++， 2(24)4442(24)4a a ∴+-⨯=+++，解得246a +=或244a +=-（舍)， 1a ∴=．【点评】本题考查曲线的直角坐标方程的求法，考查实数值的求法，考查直角坐标方程、参数方程、极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．。

简单曲线的极坐标方程(教案)

简单曲线的极坐标方程教案内容：一、教学目标：1. 让学生掌握极坐标系的基本概念。

2. 让学生了解极坐标与直角坐标之间的关系。

3. 让学生学会求解简单曲线的极坐标方程。

二、教学内容：1. 极坐标系的基本概念。

2. 极坐标与直角坐标之间的关系。

3. 圆的极坐标方程。

4. 直线的极坐标方程。

5. 椭圆的极坐标方程。

三、教学重点与难点：1. 教学重点：圆、直线、椭圆的极坐标方程的求解。

2. 教学难点：椭圆的极坐标方程的求解。

四、教学方法：1. 采用讲解法，讲解极坐标系的基本概念，极坐标与直角坐标之间的关系。

2. 采用案例分析法，分析圆、直线、椭圆的极坐标方程的求解过程。

3. 采用练习法，让学生通过练习来巩固所学知识。

五、教学过程：1. 引入极坐标系的基本概念，讲解极坐标与直角坐标之间的关系。

2. 讲解圆的极坐标方程，举例说明求解过程。

3. 讲解直线的极坐标方程，举例说明求解过程。

4. 讲解椭圆的极坐标方程，举例说明求解过程。

5. 布置练习题，让学生巩固所学知识。

教学评价：通过课堂讲解、案例分析和练习，评价学生对极坐标系的理解和掌握程度，以及对简单曲线极坐标方程的求解能力。

六、教学准备：1. 教学PPT或黑板。

2. 极坐标系的图示或模型。

3. 圆、直线、椭圆的图示或模型。

4. 练习题。

七、教学步骤：1. 回顾极坐标系的基本概念，通过PPT或黑板展示极坐标系的图示，让学生回顾极坐标与直角坐标之间的关系。

2. 讲解圆的极坐标方程。

以一个具体的圆为例，说明圆的极坐标方程的求解过程。

将圆的直角坐标方程(x-a)²+ (y-b)²= r²转换为极坐标方程。

利用极坐标与直角坐标之间的关系，即x=ρcosθ，y=ρsinθ，将直角坐标方程中的x和y替换为极坐标方程中的ρcosθ和ρsinθ，得到圆的极坐标方程ρ=2a·cosθ。

3. 讲解直线的极坐标方程。

以一个具体的直线为例，说明直线的极坐标方程的求解过程。

曲线的极坐标方程

曲线的极坐标方程一、概述极坐标是一种表示平面上的点的坐标系，它由极径和极角两个参数组成。

在极坐标系中，点的位置由半径和角度来确定，而不是像直角坐标系那样由x和y坐标来确定。

在极坐标系中，我们可以用极坐标方程来描述各种曲线。

二、常见的极坐标方程1. 极坐标方程的一般形式极坐标方程的一般形式为：r=f(θ)其中r表示极径，θ表示极角，f(θ)表示关于θ的函数。

这个方程表示了在极坐标系中点的半径r与角度θ的关系。

2. 圆的极坐标方程圆在极坐标系中的方程可以表示为：r=a其中a为圆的半径。

这种极坐标方程非常简单，它表示了以原点为中心的半径为a 的圆。

3. 直线的极坐标方程直线在极坐标系中的方程可以表示为：r=psin(θ−α)其中p表示直线到原点的距离，α表示直线与极坐标系正半轴之间的夹角。

这种极坐标方程可以描述直线在极坐标系中的位置。

4. 椭圆的极坐标方程椭圆在极坐标系中的方程可以表示为：r=p1−ecos(θ−α)其中p表示椭圆的焦点到原点的距离，e表示椭圆的离心率，α表示椭圆与极坐标系正半轴之间的夹角。

这种极坐标方程可以描述椭圆在极坐标系中的形状。

三、极坐标方程的性质1. 对称性极坐标方程具有一定的对称性。

例如，当极坐标方程中的函数f(θ)关于θ对称时，对应的曲线也具有相应的对称性。

另外，极坐标方程中的极角θ满足周期性，即一个周期内的曲线形状是相同的。

2. 极坐标系与直角坐标系的转换极坐标系与直角坐标系是可以相互转换的。

通过一定的公式，我们可以将一个点在直角坐标系中的坐标转换为极坐标系中的坐标，或者将一个点在极坐标系中的坐标转换为直角坐标系中的坐标。

这种转换可以方便地分析和描述曲线的性质。

四、应用举例1. 螺线螺线是极坐标系中的一种特殊曲线，它的极坐标方程为：r=aθ其中a为常数。

螺线是由于一个点在极坐标系中以匀速绕原点旋转且同时沿极径方向移动而形成的曲线。

螺线是许多自然界中的现象的数学描述，例如螺旋形的贝壳、旋涡等。

2019-2020学年高中数学课时作业线与方程求曲线的方程新人教A版选修

A．y2＝8xB．y2＝－8x
C．y2＝4xD．y2＝－4x
解析：设点P的坐标为(x.y).则＝(4,0). ＝(x＋2.y). ＝(x－2.y).
∴| |＝4.| |＝ . · ＝4(x－2)．
根据已知条件得4 ＝4(2－x)．整理得y2＝－8x.∴点P的轨迹方程为y2＝－8x.
答案：B
5．已知A(－1,0).B(2,4).△ABC的面积为10.则动点C的轨迹方程是( )
解析：设点P(x.y).R(x0.y0).因为A(1,0).所以＝(1－x0.－y0). ＝(x－1.y).因为＝ .所以
所以代入直线y＝2x－4可得y＝2x.
答案：y＝2x
8．已知直角三角形ABC中.A(2,0).B(－1,2).则直角顶点C的轨迹方程为________．
解析：设C的坐标为(x.y).
2019-2020学年高中数学课时作业线与方程求曲线的方程新人教A版选修
编辑：__________________
时间：__________________
|基础巩固|(25分钟
一、选择题(是( )
A．y＝x与y＝
B．y＝x2与y＝|x|
C．(x－1)2＋(y＋2)2＝0与(x－1)(y＋2)＝0
则 ×5× ＝10.
即4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0.
答案：B
二、填空题(每小题5分.共15分)
6．点A(1.－2)在曲线x2－2xy＋ay＋5＝0上.则a＝________.
解析：把A代入曲线得a＝5.
答案：5
7．已知点A(1,0).直线l：y＝2x－4.点R是直线l上的一点.若＝ .则点P的轨迹方程为________．
解析：∵|PA|＝ .|PB|＝ .

高二数学简单曲线的极坐标方程试题答案及解析

高二数学简单曲线的极坐标方程试题答案及解析1.已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点O处，极轴与轴的正半轴重合，且长度单位相同．直线的极坐标方程为：，曲线C：（为参数），其中．（Ⅰ）试写出直线的直角坐标方程及曲线C的普通方程；（Ⅱ）若点P为曲线C上的动点，求点P到直线距离的最大值．【解析】（Ⅰ）直接利用极坐标与直角坐标的互化，以及消去参数，即可取得直线的直角坐标方程及曲线C的普通方程；（Ⅱ）求出圆的圆心与半径，利用圆心到直线的距离加半径即可求出点P到直线距离的最大值．试题解析：（Ⅰ）因为，所以，则直线的直角坐标方程为.曲线C：，且参数，消去参数可知曲线C的普通方程为.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，曲线C是以（0,2）为圆心，半径为2的圆，则圆心到直线的距离，所以点P到直线的距离的最大值是.【考点】参数方程化成普通方程．2.已知曲线的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，则曲线的直角坐标方程为 .【答案】【解析】已知曲线的极坐标方程是，以极点为原点，因此方程【考点】参数方程的应用.3.已知圆的极坐标方程为ρ2－4ρ·cos＋6＝0.(1)将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程；(2)若点P(x，y)在该圆上，求x＋y的最大值和最小值．【答案】（1）普通方程：，圆的参数方程为：，为参数；（2）.【解析】（1）圆的普通方程与圆的极坐标方程之间的转换关系在于圆上一点与极径，极角间的关系：,圆的普通方程与圆的参数方程的关系也在于此，即圆上一点与圆半径,圆上点与圆心连线与轴正向夹角的关系：；（2）利用圆的参数方程，将转化为关于的三角函数关系求最值，一般将三角函数转化为的形式.试题解析：由圆上一点与极径，极角间的关系：，可得,并可得圆的标准方程：,所以得圆的参数方程为：，为参数.由（1）可知：故.【考点】(1)圆的普通方程与圆的参数方程和极坐标之间的关系；（2）利用参数方程求最值. 4.已知曲线M与曲线N：ρ＝5cosθ－5sinθ关于极轴对称，则曲线M的方程为() A．ρ＝－10cos B．ρ＝10cosC．ρ＝－10cos D．ρ＝10cos【答案】B【解析】设点是曲线M上的任意一点,点关于极轴的对称点必在曲线N上,所以故选B.【考点】极坐标方程.5.在极坐标系中，圆的圆心的极坐标为（）A．B．C．D．【答案】D.【解析】把圆的极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心的直角坐标，再把它化为极坐标．【考点】简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化．6.极坐标方程表示的曲线为（）A．一条射线和一个圆B．两条直线C．一条直线和一个圆D．一个圆【答案】C【解析】化简为,得到或,化成直角坐标方程为：或,故选C.【考点】极坐标方程与普通方程的互化7.在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立坐标系.已知点的极坐标为,直线的极坐标方程为,且点在直线上.(1)求的值及直线的直角坐标方程;(2)圆c的参数方程为,(为参数),试判断直线与圆的位置关系.【答案】（1），（2）相交【解析】解:(Ⅰ)由点在直线上,可得所以直线的方程可化为从而直线的直角坐标方程为 5分(Ⅱ)由已知得圆的直角坐标方程为所以圆心为,半径以为圆心到直线的距离,所以直线与圆相交 10分【考点】直线与圆点评：主要是考查了直线与圆的位置关系的运用，属于基础题。

2019-2020学年高中数学课时分层作业3 曲线的极坐标方程圆的极坐标方程(含解析)新人教B版选修4-4

课时分层作业(三)(建议用时：45分钟)一、选择题1．下列点不在曲线ρ＝cos θ上的是( )A ．(12，π3) B ．(－12，2π3) C ．(12，－π3) D ．(12，－2π3) [解析] 点(12，－23π)的极坐标满足ρ＝12，θ＝－23π，且ρ≠cos θ＝cos(－23π)＝－12. [答案] D2．过极点倾斜角为π3的直线的极坐标方程可以为( ) A ．θ＝π3B ．θ＝π3，ρ≥0C ．θ＝4π3，ρ≥0D ．θ＝π3和θ＝4π3，ρ≥0 [解析] 以极点O 为端点，所求直线上的点的极坐标分成两条射线．∵两条射线的极坐标方程为θ＝π3和θ＝43π. ∴直线的极坐标方程为θ＝π3和θ＝43π(ρ≥0)． [答案] D3．极坐标方程4ρ·sin2θ2＝5表示的曲线是( ) A ．圆B ．椭圆C ．双曲线的一支D ．抛物线 [解析] 由4ρ·sin 2θ2＝4ρ·1－cos θ2＝2ρ－2ρcos θ＝5，得方程为2x 2＋y 2－2x ＝5，化简得y 2＝5x ＋254. ∴该方程表示抛物线．[答案] D4．在极坐标系中与圆ρ＝4sin θ相切的一条直线的方程为( )A ．ρcos θ＝12B ．ρcos θ＝2C ．ρ＝4sin(θ＋π3)D ．ρ＝4sin(θ－π3) [解析] 极坐标方程ρ＝4sin θ化为ρ2＝4ρsin θ，即x 2＋y 2＝4y ，即x 2＋(y －2)2＝4.由所给的选项中ρcos θ＝2知，x ＝2为其对应的直角坐标方程，该直线与圆相切．[答案] B二、填空题5．点Q 是圆ρ＝4cos θ上的一点，当Q 在圆上移动时，OQ (O 是极点)中点P 的轨迹的极坐标方程是__________________．[解析] ρ＝4cos θ是以(2,0)为圆心，半径为2的圆，则P 的轨迹是以(1,0)为圆心，半径为1的圆，所以极坐标方程是ρ＝2cos θ.[答案] ρ＝2cos θ6．已知圆的极坐标方程为ρ＝2cos θ，则该圆的圆心到直线ρsin θ＋2ρcos θ＝1的距离是________．[解析] 直线ρsin θ＋2ρcos θ＝1化为2x ＋y －1＝0，圆ρ＝2cos θ的圆心(1,0)到直线2x ＋y －1＝0的距离是55. [答案] 55 三、解答题7．已知直线的极坐标方程ρsin(θ＋π4)＝22，求极点到直线的距离． [解] ∵ρsin(θ＋π4)＝22， ∴ρsin θ＋ρcos θ＝1，即直角坐标方程为x ＋y ＝1.又极点的直角坐标为(0,0)，∴极点到直线的距离d ＝|0＋0－1|2＝22. 8．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρcos(θ－π3)＝1，M ，N 分别为C 与x 轴，y 轴的交点． (1)写出C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标；(2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程．[解] (1)由ρcos(θ－π3)＝1，得ρ(12cos θ＋32sin θ)＝1. 又x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ.∴曲线C 的直角坐标方程为x 2＋32y ＝1，即x ＋3y －2＝0.当θ＝0时，ρ＝2，∴点M (2,0)．当θ＝π2时，ρ＝233，∴点N (233，π2)． (2)由(1)知，M 点的坐标(2,0)，点N 的坐标(0，233)．又P 为MN 的中点，∴点P (1，33)，则点P 的极坐标为(233，π6)．所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )． 9．在极坐标系中，P 是曲线ρ＝12sin θ上的一动点，Q 是曲线ρ＝12cos(θ－π6)上的动点，试求|PQ |的最大值．[解] ∵ρ＝12sin θ，∴ρ2＝12ρsin θ，∴x 2＋y 2－12y ＝0，即x 2＋(y －6)2＝36.又∵ρ＝12cos(θ－π6)， ∴ρ2＝12ρ(cos θcos π6＋sin θsin π6)， ∴x 2＋y 2－63x －6y ＝0，∴(x －33)2＋(y －3)2＝36.∴|PQ |max ＝6＋6＋(33)2＋32＝18.。

简单曲线的极坐标方程

)
A．双曲线
B．椭圆
C．抛物线
D．圆
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【解析】
∵ρ＝cosπ4－θ＝
22cosθ＋
2 2 sin
θ，
ρ2＝
2 2 ρcos
θ＋
2 2 ρsin
θ，
∴x2＋y2＝ 22x＋ 22y，这个方程表示一个圆．
【答案】 D
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[小组合作型] 直线或射线的极坐标方程
和54π<θ<2π，ρ≥0.
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法二以极点 O 为直角坐标原点，极轴为 x 轴，建立平面直角坐标系 xOy. ∵直线的斜率 k＝tanπ4＝1， ∴过点 A(1,0)的直线方程为 y＝x－1. 将 y＝ρsin θ，x＝ρcos θ 代入上式，得 ρsin θ＝ρcos θ－1， ∴ρ(cos θ－sin θ)＝1，其中，0≤θ<π4，ρ≥0 和54π<θ<2π，ρ≥0.
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即 ρsin θ－ρcos θ＝0，∴x－y＝0.
由于圆(x－2)2＋(y－1)2＝5 的半径为 r＝ 5，圆心(2,1)到直线 x－y＝0 的距
离为
d＝|2－21|＝
1， 2
∴|AB|＝2 r2－d2＝3 2.
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1．直角坐标方程化为极坐标方程，只需把公式 x＝ρcos θ 及 y＝ρsin θ 直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程要通过变形，构造形如 ρcos θ， ρsin θ，ρ2 的形式，进行整体代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ 及方程两边平方是常用的变形方法．但对方程进行变形时，方程必须保持同解，因此应注意对变形过程的检验．

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课时作业(六)
1．极坐标方程ρ＝10cos(π－θ)表示的图形是( ) A ．圆心在(5，0)，半径为5的圆 B ．圆心在(5，π)，半径为5的圆 C ．垂直于极轴，过(－10，π)的直线 D ．平行于极轴且在极轴下方10个单位的直线答案 B
解析 ρ＝－10cos θ，∴ρ2
＋10ρcos θ＝0. ∴x 2
＋y 2
＋10x ＝0，(x ＋5)2
＋y 2
＝52
. ∴圆心为(－5，0)，半径为5的圆． ∴圆心的极坐标为(5，π)．
2．极坐标方程ρ＝2sin (θ＋π
4
)的图形是( )
答案 C
解析圆ρ＝2sin (θ＋π4)是由圆ρ＝2sin θ绕极点按顺时针方向旋转π
4而得，圆心的极
坐标为(1，π
4
)，故选C.
3．(2019·山东泰安一中月考)在极坐标方程中，曲线C 的方程是ρ＝4sin θ，过点(4，π
6)
作曲线C 的切线，则切线长为( ) A ．4 B.7 C ．2 2 D ．2 3
答案 C
解析 ρ＝4sin θ化为普通方程为x 2＋(y －2)2
＝4，点(4，π6)化为直角坐标为(23，2)，
切线长、圆心到定点的距离及半径构成直角三角形，由勾股定理，得切线长为（23）2
－22
＝22，故选C.
4．设点P 对应的复数为－3＋3i ，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P
的极坐标为( ) A ．(32，3
4π)
B ．(－32，5
4π)
C ．(3，5
4π)
D ．(－3，3
4
π)
答案 A
解析如图所示，
|OP →|＝（－3）2＋32
＝32，
∠POx ＝34π.∴P 的极坐标为(32，3
4
π)．
5．直线ρsin (θ＋α)＝α和θ＝π
2－α的位置关系是( )
A ．平行
B ．重合
C ．垂直
D ．斜交
答案 C
解析结合图形知两直线互相垂直，也可转化为直角坐标方程借助斜率研究．
6．(高考真题·安徽)在极坐标系中，点(2，π
3)到圆ρ＝2cos θ的圆心的距离为( )
A ．2 B.
4＋π2
9
C.
1＋π2
9
D. 3
答案 D
7．(高考真题·湖南)在极坐标系中，曲线C 1：ρ(2cos θ＋sin θ)＝1与曲线C 2：ρ＝a(a>0)的一个交点在极轴上，则a ＝________．答案
2
2
解析由已知在极轴上的交点的极角θ＝2k π(k∈Z )， ∴a(2cos2k π＋sin2k π)＝1，∴2a ＝1.∴a＝
22
. 8．(高考真题·广东)在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ≤2π)中，曲线ρ＝2sin θ与ρcos θ＝－1的交点的极坐标为________．
答案 (2，3
4
π)
解析由ρ＝2sin θ，得ρ2
＝2ρsin θ.其普通方程为x 2
＋y 2
＝2y ，ρcos θ＝－1的普通方程为x ＝－1.
联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2
＋y 2
＝2y ，x ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1，
点(－1，1)的极坐标为(2，34π)．
9．若直线ρsin (θ＋π4)＝2
2与直线3x ＋ky ＝1垂直，则常数k ＝________．
答案－3
10．(高考真题·陕西)在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ≤2π)中，曲线ρ＝2sin θ与ρcos θ＝－1的交点的极坐标为________．答案 (2，
3π4
) 解析由ρ＝2sin θ，ρcos θ＝－1，得2sin θcos θ＝－1，即sin2θ＝－1，2θ＝3π
2，
θ＝3π
4
，ρ＝ 2.
所以交点极坐标为(2，3π
4
)．
11．(2015·广东)已知直线l 的极坐标方程为2ρsin (θ－π
4)＝2，点A 的极坐标为A(22，
7π
4)，则点A 到直线l 的距离为________．答案
52
2
解析由2ρsin (θ－π4)＝2得2ρ(22sin θ－2
2cos θ)＝2，所以y －x ＝1，故直线l
的直角坐标方程为x －y ＋1＝0，而点A(22，
7π
4
)对应的直角坐标为A(2，－2)，所以点A(2，－2)到直线l ：x －y ＋1＝0的距离为|2＋2＋1|2
＝52
2.
12．(2016·北京)在极坐标系中，直线ρcos θ－3ρsin θ－1＝0与圆ρ＝2cos θ交于A ，B 两点，则|AB|＝________．答案 2
解析将直线ρcos θ－3ρsin θ－1＝0化为直角坐标方程为x －3y －1＝0，将圆ρ＝2cos θ化为直角坐标方程为x 2
＋y 2
＝2x ，则圆心坐标(1，0)，半径为1，由于圆心(1，0)在直线x －3y －1＝0上，因此|AB|＝2.
13．从极点O 引定圆ρ＝2cos θ的弦OP ，延长OP 到Q 使OP PQ ＝2
3，求点Q 的轨迹方程，并说
明所求轨迹是什么图形？
解析设Q(ρ，θ)，P (ρ0，θ0)，
则θ＝θ0，ρ0ρ－ρ0＝23，∴ρ0＝2
5ρ.∵ρ0＝2cos θ0，
∴2
5
ρ＝2cos θ，即ρ＝5cos θ，它表示一个圆． 14．(高考真题·辽宁改编)在直角坐标系xOy 中，圆C 1：x 2
＋y 2
＝4，圆C 2：(x －2)2
＋y 2
＝4.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C 1，C 2的极坐标方程，并求出圆C 1，C 2的交点坐标(用极坐标表示)．解析圆C 1的极坐标方程为ρ＝2，圆C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ.
解⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝2，ρ＝4cos θ，
得ρ＝2，θ＝±π3.
故圆C 1与圆C 2交点的坐标为(2，π3)，(2，－π
3)．
注：极坐标系下点的表示不唯一．
15．判断θ＝3π
4(ρ∈R )和曲线ρ＝cos θ－sin θ的位置关系．
解析 θ＝3π
4
表示的是直线x ＋y ＝0.
ρ＝cos θ－sin θ化为直角坐标方程为x 2
＋y 2
＝x －y ，即(x －12)2＋(y ＋12)2＝(22
)2
，
表示以(12，－12)为圆心，半径为2
2的圆．
圆心到直线的距离d ＝0即直线过圆心． ∴直线和圆相交．。