天津市南开中学2012-2013学年高二上学期第十四周练数学理科试题 Word版含答案

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南开中学高2014级12-13学年(上)半期试题——数学理WORD版)

重庆南开中学高2014级高二（上）半期理科数学试题第I 卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、抛物线28y x =的焦点坐标为（）A 、()4,0B 、()0,4C 、()2,0D 、()0,2 2、若一直线l 上有两点到一平面α内某一直线a 的距离相等，则直线与平面的位置关系是（）A 、平行B 、相交C 、在平面内D 、以上均有可能3、已知k 为实数，若方程22152x y k k +=--表示双曲线，则k 的取值范围为（） A 、()2,5B 、()(),25,-∞+∞C 、()5,+∞D 、()0,2 4、设抛物线24y x =的焦点为F ，经过焦点的直线与抛物线交于A 、B 两点，且AB 的中点横坐标为2，则AF BF +的值是（）A 、4B 、5C 、6D 、7 5、设F 是抛物线()21:20C y px p =>的焦点，A 是抛物线上一点，且AF x ⊥轴，若双曲线()22222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线也经过点A ，则双曲线的渐近线方程为（）A 、2y x =±B 、12y x =±C 、y =D 、3y x =± 6、设空间中两条直线m 、n 和两个平面α、β，则下列命题中正确．．的是（） A 、若//,,,//m n m n αβαβ⊂⊂则B 、若//,,,m n m n αβαβ⊂⊥⊥则C 、若,,,//m m n n αβαβ⊥⊥⊂则D 、若//,,,m n m n αβαβ⊥⊥⊥则7、如图为一个几何体的三视图。

正视图和侧视图均为矩形，俯视图中曲线部分为半圆，尺寸如图，则该几何体的体积为（）A 、2π+B 、π+C 、22π+D 、2π+8、已知直线()3y k x =-与双曲线22127x y m -=恒有公共点，则双曲线离心率的取值范围（）A 、[)9,+∞B 、(]1,9C 、(]1,2D 、[)2,+∞9、已知1F 、2F 为椭圆E 的左、右焦点，抛物线C 以1F 为顶点，2F 为焦点，设P 为椭圆与抛物线的一个交点，如果椭圆离心率e 满足12PF e PF =，则e 的值为（）A B C 、12 D 10、如图，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -的面11ABB A所在平面内有一动点P ，满足P 到棱11A B 所在直线的距离等于P 到棱1CC 所在直线的距离，延长棱1B B 至点E ，使得1B E1B =，过点E 作平行于11A B 的直线l 交动点P 的轨迹Γ于点,M N ，再分别过,M N 作轨迹Γ的切线交于点Q ，则MQN ∆的面积为（）A 、223a B 2aC 、22aD 、22 第II 卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

天津市南开中学2012-2013学年高二上学期第五周周练数学理科试题 Word版含答案

天津南开中学高二第一学期数学周练5一、选择题：（每题5分） 1、,a b 是异面直线，点P ab ∉，下列命题：（1）过P 可作平面与,a b 均平行；（2）过P 可作直线与,a b 都相交；（3）过P 可作平面与,a b 都垂直；（4）过P 可作直线,a b 都垂直，其中真命题的个数是（） A 、1 B 、2 C 、3D 、42、正方体1111ABCD A BC D -中，,E F 分别是棱1,AD AA 的中点，则1D E 和1B F 所成的角的余弦值为（）A 、12B 、35C 、25D 3、已知长方体的对角线长为4，过同一顶点的两条棱与此对角线成角均为60，则长方体的体积是（）A 、B 、C 、D 、4、已知,,,a b c d 是四条不重合的直线，其中c 为a 在平面α上的射影，d 为b 在平面α上的射影，则（） A 、////c d a b ⇒ B 、a b c d ⊥⇒⊥ C 、////a b c d ⇒ D 、c d a b ⊥⇒⊥5、P 是正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧棱CC 1上一点（侧棱端点除外），则∠APB 的大小满足（）A 、︒<∠<︒600APB B 、︒=∠60APBC 、︒<∠<︒9060APBD 、以上都有可能6、如图在正三棱锥A-BCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，EF ⊥DE,且BC=1，则正三棱锥A-BCD 的体积是（）243D. 123C. 242B. 122.A （正三棱锥：底面是正三角形，侧棱长都相等的三棱锥，侧棱长不一定等于底面边长）7、在三棱柱111ABC A B C -中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点D 是侧面11BB C C 的中心，则AD 与平面11BB C C 所成角的大小是 ( ) A 、30B 、45C 、60D 、90*8的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，则a +b 的最大值为（）A 、B 、C 、4D 、二、填空题：（每题5分）9、四边形ABCD 是矩形，AB=2，BC=1，PC ⊥平面AC ，PC=2，则点P 到直线BD 的距离为___________*10、已知矩形ABCD 中，AB=1，BC=a ，PA ⊥平面ABCD ，若在BC 上有且仅有一个点Q 满足PQ QD ⊥，则a 的值为________11、已知ABC 的顶点B 在平面α内，A 、C 在α的同侧，AB ，BC 与α所成的角分别是30和45，若AB=3，BC=AC=5，则AC 与α所成角的余弦值为________ 12、给出下面四个命题： ①过平面外一点，作与该平面成θ角的直线一定有无穷多条②一条直线与两个相交平面都平行，则它必与这两个平面的交线平行 ③对确定的两异面直线，过空间任一点有且只有一个平面与两异面直线都平行④对两条异面直线都存在无数多个平面与这两条直线所成的角相等其中正确的命题序号为 .C 1B 1A 1AC 三、解答题：（每题10分）13、如图，三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面,,60,90ABC PA AB ABC BCA ︒︒=∠=∠=，点D ，E 分别在棱,PB PC 上，且//DE BC（Ⅰ）求证：BC ⊥平面PAC ；（Ⅱ）当D 为PB 的中点时，求AD 与平面PAC 所成的角的正弦14、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面A B C D 是矩形，PA ⊥平面A B C D ，4PA AD ==，2AB =．以BD 的中点O 为球心、BD 为直径的球面交PD 于点M ．（1）求证：PD ⊥平面ABM ；（2）求直线PC 与平面ABM 所成的角的正切；*15、在正三棱柱111ABC A B C -中，11AB BC ⊥，求1BC 与平面11ABB A 所成角的正弦值（正三棱柱：上下底面为正三角形的直棱柱，底面边长不一定等于侧棱长）B天津南开中学高二第一学期数学周练5答案一、选择题 ACCC ABCC二、填空题910、211 12、②④三、解答题： 13、（Ⅰ）∵PA ⊥底面ABC ，∴PA ⊥BC .又90BCA ︒∠=，∴AC ⊥BC .∴BC ⊥平面PAC .（Ⅱ）∵D 为PB 的中点，DE//BC ，∴12DE BC =，又由（Ⅰ）知，BC ⊥平面PAC ， ∴DE ⊥平面PAC ，垂足为点E .∴∠DAE 是AD 与平面PAC 所成的角， ∵PA ⊥底面ABC ，∴PA ⊥AB ，又PA=A B ， ∴△ABP 为等腰直角三角形，∴AD AB =， ∴在Rt △ABC 中，60ABC ︒∠=，∴12BC AB =.∴在Rt △ADE 中，sin 2DE BC DAE AD AD ∠===14、（1）证：依题设，Ｍ在以ＢＤ为直径的球面上，则ＢＭ⊥ＰＤ. 因为ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ，则ＰＡ⊥ＡＢ，又ＡＢ⊥ＡＤ，AD PA A ⋂=所以ＡＢ⊥平面ＰＡＤ，则ＡＢ⊥ＰＤ，AB BM B ⋂=，因此有ＰＤ⊥平面ＡＢＭ（２）设平面ＡＢＭ与ＰＣ交于点Ｎ，因为ＡＢ∥ＣＤ，所以ＡＢ∥平面ＰＣＤ，则ＡＢ∥ＭＮ∥ＣＤ，由（1）知，ＰＤ⊥平面ＡＢＭ，则MN 是PN 在平面ABM 上的射影，所以 P N M ∠就是PC 与平面ABM 所成的角，且PNM PCD ∠=∠，tan tan PDPNM PCD DC∠=∠==15、取11A B 中点D ，设11A B =2a ，连接1,C D BD1C D ∴，设1B B x = 11111,C D BB C D A B ∴⊥⊥正三棱柱111111,,C D ABB AB C D AB BD AB BD M∴⊥∴⊥∴⊥⋂=面1B M ∴=1ABMB DM1113B M x B A ∴==⇒= ∴1C BD ∠为所求角，1sin C BD ∴∠=。

天津市南开中学2012-2013学年高二上学期第二周周练数学理科试题Word版无答案

天津南开中学高二第一学期周练21. 下列说法中正确的是（）.A 三点确定一个平面 .B 两条直线确定一个平面.C 两两相交的三条直线一定在同一平面内 .D 过同一点的三条直线不一定在同一平面内 2. 直线a ⊂平面α，直线b ⊂平面α，,M a N b ∈∈，且,M l N l ∈∈，则（）.A l α⊂ .B l α⊄ .C l M α= .D l N α=3. 设,,a b c 是空间三条直线，下面给出5个结论：()1若a 和b 相交，b 和c 相交，则a 和c 也相交； ()2若a 和b 平行，b 和c 平行，则a 和c 也平行； ()3若a 和b 垂直，b 和c 垂直，则a 和c 也垂直；()4若a 和b 是异面直线，b 和c 是异面直线，则a 和c 也是异面直线； ()5若a 和b 共面，b 和c 共面，则a 和c 也共面．其中真命题的个数是（）.A 1 .B 2 .C 3 .D 44. 正方体1111ABCD A B C D -中，,,P Q R 分别是11,,AB AD B C 的中点，那么，正方体的过,,P Q R 的截面图形是（）.A 三角形 .B 四边形 .C 五边形 .D 六边形 5. 如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，①BM 与ED 平行：②CN 与BE 是异面直线；③CN 与BM 成60角；④DM 与BN 垂直．以上四个命题中，正确命题的序号为（） .A ①②③ .B ②④ .C ③④ .D ②③④6. 已知长方体1111ABCD A B C D -中，侧面11A ADD 是正方形，M 是棱CD 的中点，AM 与1CD MFBC ND E A所成角为θ，若sin θ=，则1AA AB的值为（） (A (B (C (D7. 异面直线,a b 分别在平面,αβ内，l αβ=，则直线l 于,a b 的位置关系是（）()A 与,a b 相交 ()B 至少与,a b 中的一条相交 ()C 与,a b 都不相交 ()D 至多与,a b 中的一条相交8. 已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，,E F 分别是棱,AB BC 上的点，且AE BF =，若1A E 与1C F 所成的角最小，则有（）.A 14AE BF a == .B 13AE BF a ==.C 25AE BF a == .D 12AE BF a ==9. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为AB 、AD 的中点，1．11A C 与1B C 所成角的大小是_____________; 2．11A C 与EF 所成角的大小是_____________; 3．1A C 与1AD 所成角的大小是_____________;4．1AD 与EF 所成角的大小是_____________; 5．1BD 与CE 所成角的余弦值是_____________;10. *正方形ABCD 中，M 为AD 中点，N 为AB 的中点，沿,CM CN 分别将CDM 和CBN 折起，使CB 与CD 重合，设B 点与D 点重合于P 点，DM 的中点折起后变成PM 的中点T ，则异面直线CT 和PN 所成角的余弦值为______________．11. 画出经过PQR 的正方体的截面1()1 * ()212. 画出经过,,A B C 的四棱锥的截面13. 已知点,,P Q R 分别在三棱锥S ABC -的三条侧棱,,SA SB SC 上，且PQ 与AB 交于点D ，PR 与AC 交于点E ，RQ 与BC 交于点F ，求证：,,D E F 三点共线．14. 在正方形1111ABCD A B C D -中，,G H 分别是11B C ，11C D 的中点。

2013-2014年天津市南开区高二上学期期中数学试卷及参考答案

2013-2014学年天津市南开区高二（上）期中数学试卷一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）下列几何体中是棱柱的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．（4分）直线x+y+1=0的倾斜角为（）A．30°B．60°C．120° D．150°3．（4分）如图所示，用符号语言可表达为（）A．α∩β=m，n⊂α，m∩n=A B．α∩β=m，n∈α，m∩n=AC．α∩β=m，n⊂α，A⊂m，A⊂n D．α∩β=m，n∈α，A∈m，A∈n4．（4分）过点M（﹣2，m）、N（m，4）的直线的斜率等于1，则m的值为（）A．1 B．4 C．1或3 D．1或45．（4分）空间中到A、B两点距离相等的点构成的集合是（）A．线段AB的中垂线B．线段AB的中垂面C．过AB中点的一条直线D．一个圆6．（4分）空间四边形ABCD中，若AB=AD=AC=CB=CD=BD，则AC与BD所成角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°7．（4分）棱长为a的正方体外接球的表面积为（）A．πa2B．2πa2C．3πa2D．4πa28．（4分）系统找不到该试题9．（4分）已知m，n是两条不重合的直线，α，β，γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：①若m⊥α，m⊥β，则α∥β；②若α⊥γ，β⊥γ则α∥β③若m∥α，n∥β，m∥n 则α∥β④若m⊥α，m∥β，则α⊥β其中真命题是（）A．①和②B．①和③C．③和④D．①和④10．（4分）设O为坐标原点，C为圆x2+y2﹣4x+1=0的圆心，圆上有一点M（x，y）满足OM⊥CM，则=（）A．B．C．D．二、填空题：（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．请将答案填在题中横线上）11．（4分）一正棱柱其三视图如图所示，该正多面体的体积为．12．（4分）两条平行直线3x+4y﹣12=0与ax+8y+11=0间的距离是．13．（4分）三棱锥P﹣ABC的两侧面PAB，PBC都是边长为2的正三角形，AC=，则二面角A﹣PB﹣C的大小为．14．（4分）一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底边均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是．15．（4分）若曲线与直线y=x+b有两个交点，则b的取值范围是．三、解答题：（本大题共5个小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（6分）求经过两直线2x﹣3y﹣3=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y﹣1=0垂直的直线方程．17．（8分）如图，棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，（1）求证：AC⊥平面B1D1DB；（2）求证：BD1⊥平面ACB1（3）求三棱锥B﹣ACB1体积．18．（8分）直线l经过点P（5，5），且和圆C：x2+y2=25相交，截得弦长为，求l的方程．19．（9分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是菱形，∠BCD=60°，PA⊥面ABCD，E是AB的中点，F是PC的中点．（Ⅰ）求证：面PDE⊥面PAB；（Ⅱ）求证：BF∥面PDE．20．（9分）已知圆x2+y2﹣2ax﹣6ay+10a2﹣4a=0（0＜a≤4）的圆心为C，直线L：y=x+m．（1）若a=2，求直线L被圆C所截得的弦长|AB|的最大值；（2）若m=2，求直线L被圆C所截得的弦长|AB|的最大值；（3）若直线L是圆心C下方的切线，当a变化时，求实数m的取值范围．2013-2014学年天津市南开区高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）下列几何体中是棱柱的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：观察图形得：“有两个面互相平行，其余各面都是四边形，”的几何体有：①③⑤，只有它们是棱柱，共三个．故选：C．2．（4分）直线x+y+1=0的倾斜角为（）A．30°B．60°C．120° D．150°【解答】解：设直线的倾斜角为α，由题意直线的斜率为，即tanα=所以α=150°故选：D．3．（4分）如图所示，用符号语言可表达为（）A．α∩β=m，n⊂α，m∩n=A B．α∩β=m，n∈α，m∩n=AC．α∩β=m，n⊂α，A⊂m，A⊂n D．α∩β=m，n∈α，A∈m，A∈n【解答】解：如图所示，两个平面α与β相交于直线m，直线n在平面α内，直线m和直线n相交于点A，故用符号语言可表达为α∩β=m，n⊂α，m∩n=A，故选：A．4．（4分）过点M（﹣2，m）、N（m，4）的直线的斜率等于1，则m的值为（）A．1 B．4 C．1或3 D．1或4【解答】解：过点M（﹣2，m）、N（m，4）的直线的斜率等于1，所以k===1解得m=1故选：A．5．（4分）空间中到A、B两点距离相等的点构成的集合是（）A．线段AB的中垂线B．线段AB的中垂面C．过AB中点的一条直线D．一个圆【解答】解：设AB的中点为C，经过点C作平面α，使AB⊥α，如图所示．设P是α内的任意一点，连结AP、BP、CP，∵AB⊥α，CP⊂α，∴CP⊥AB，又∵C是AB的中点，∴CP是线段AB的垂直平分线，可得PA=PB，即点P到A、B两点距离相等．反之，到A、B两点距离相等的点P必定在线段AB的垂直平分线上，由线面垂直的性质可得点P必定在平面α内．∴到A、B两点距离相等的点构成的集合是平面α，即线段AB的垂直平分面．故选：B．6．（4分）空间四边形ABCD中，若AB=AD=AC=CB=CD=BD，则AC与BD所成角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【解答】解：取AC中点E，连接BE，DE因为：AB=AD=AC=CB=CD=BD那么AC垂直于BE，也垂直于DE所以AC垂直于平面BDE，因此AC垂直于BD故选：D．7．（4分）棱长为a的正方体外接球的表面积为（）A．πa2B．2πa2C．3πa2D．4πa2【解答】解：正方体的对角线的长度，就是它的外接球的直径，所以，球的直径为：a，半径为：．球的表面积为：4πr2=4=3πa2．故选：C．8．（4分）系统找不到该试题9．（4分）已知m，n是两条不重合的直线，α，β，γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：①若m⊥α，m⊥β，则α∥β；②若α⊥γ，β⊥γ则α∥β③若m∥α，n∥β，m∥n 则α∥β④若m⊥α，m∥β，则α⊥β其中真命题是（）A．①和②B．①和③C．③和④D．①和④【解答】解：①∵m⊥α，m⊥β，∴α∥β（垂直于同一条直线的两个平面平行），故①正确，可排除C；②教室中的东墙面与地面垂直，北墙面与地面垂直，但东墙面与北墙面并不平行，故②错误，可排除A；③设α∩β=l，m⊂β，n⊂α，m∥n∥l，则m∥α，n∥β，m∥n 也成立，故③错误可排除B；④若m⊥α，m∥β，可作m′⊂β，使m∥m′，则m′⊥α，由面面垂直的判定定理可知α⊥β，故④正确．故选：D．10．（4分）设O为坐标原点，C为圆x2+y2﹣4x+1=0的圆心，圆上有一点M（x，y）满足OM⊥CM，则=（）A．B．C．D．【解答】解：由圆的方程得（x﹣2）2+y2=3，即圆心C（2，0），半径r=，∵圆上有一点M（x，y）满足OM⊥CM，∴过原点的直线与圆C相切于点M，设此直线为y=kx，∴圆心C到直线的距离d=r，即=，解得：k=±，则=k=±．故选：D．二、填空题：（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．请将答案填在题中横线上）11．（4分）一正棱柱其三视图如图所示，该正多面体的体积为．【解答】解：由三视图知几何体为正三棱柱，且正三棱柱的高为1，底面正三角形的高，边长为2，∴几何体的体积V=×2×2××1=．故答案是：．12．（4分）两条平行直线3x+4y﹣12=0与ax+8y+11=0间的距离是．【解答】解：因为两条平行直线3x+4y﹣12=0与ax+8y+11=0，所以a=6，由两条平行线之间的距离公式可得：=．故答案为：13．（4分）三棱锥P﹣ABC的两侧面PAB，PBC都是边长为2的正三角形，AC=，则二面角A﹣PB﹣C的大小为60°．【解答】解：取PB的中点M，连接AM，CM．则AM⊥PB，CM⊥PB．故∠AMC为二面角A﹣PB﹣C的平面角．在△AMC中可得AM=CM=，而AC=，则△AMC为正三角形，∴∠AMC=60°，∴二面角A﹣PB﹣C的大小为60°，故答案为60°．14．（4分）一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底边均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是2+．【解答】解：如图所示：由已知斜二测直观图根据斜二测化法规则画出原平面图形，∴这个平面图形的面积==．故答案为．15．（4分）若曲线与直线y=x+b有两个交点，则b的取值范围是．【解答】解：曲线表示的曲线为圆心在原点，半径是1的圆在y轴以及y轴右方的部分．在同一坐标系中，再作出斜率是1的直线，在直线平移的过程中可发现，直线过（0，﹣1）时先与半圆形有2个交点，此时b=﹣1再与圆有两个交点，最后相切，此时且b＜0，即b=﹣∴故答案为：（﹣，﹣1]三、解答题：（本大题共5个小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（6分）求经过两直线2x﹣3y﹣3=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y﹣1=0垂直的直线方程．【解答】解：由得交点（，）…（3分）又直线3x+y﹣1=0斜率为﹣3，…（5分）所求的直线与直线3x+y﹣1=0垂直，所以所求直线的斜率为，…（7分）所求直线的方程为y+=（x+），化简得：5x﹣15y﹣18=0…（12分）17．（8分）如图，棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，（1）求证：AC⊥平面B1D1DB；（2）求证：BD1⊥平面ACB1（3）求三棱锥B﹣ACB1体积．【解答】（1）证明：∵AC⊥BD，AC⊥BB 1，∴AC⊥平面B1D1DB．（2）证明：连接A1B，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，面A1B1BA是正方形，对角线A1B⊥AB1，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，D1A1⊥面A1B1BA，AB1在面A1B1BA上，∴D1A1⊥AB1，∵AB1⊥A1B，AB1⊥D1A1，A1B和D1A1是面A1BD1内的相交直线，∴AB1⊥面A1BD1，又BD1在面A1BD1上，∴AB1⊥BD1，同理，D1D⊥面ABCD，AC在面ABCD上，D1D⊥AC，在正方形ABCD中对角线AC⊥BD，∵AC⊥D1D，AC⊥BD，D1D和BD是面BDD1内的相交直线，∴AC⊥面BDD1，又BD1在面BDD1上，∴AC⊥BD1，∵BD1⊥AB1，BD1⊥AC，AB1和AC是面ACB1内的相交直线∴BD1⊥面ACB1．（3）解：三棱锥B﹣ACB1，也就是ABC为底，BB1为高的三棱锥，三棱锥B﹣ACB1体积V=×AB×AD×BB1=．18．（8分）直线l经过点P（5，5），且和圆C：x2+y2=25相交，截得弦长为，求l的方程．【解答】解：如图易知直线l的斜率k存在，设直线l的方程为y﹣5=k（x﹣5）圆C：x2+y2=25的圆心为（0，0）半径r=5，圆心到直线l的距离在Rt△AOC中，d2+AC2=OA2，∴2k2﹣5k+2=0，∴k=2或l的方程为2x﹣y﹣5=0或x﹣2y+5=0．19．（9分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是菱形，∠BCD=60°，PA⊥面ABCD，E是AB的中点，F是PC的中点．（Ⅰ）求证：面PDE⊥面PAB；（Ⅱ）求证：BF∥面PDE．【解答】证明：（Ⅰ）∵底面ABCD是菱形，∠BCD=60°∴△ABD为正三角形E是AB的中点，DE⊥AB﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）∵PA⊥面ABCD，DE⊂面ABCD∴DE⊥AP﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）∵AB∩AP=A∴DE⊥面PAB∵DE⊂面PDE∴面PDE⊥面PAB﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（Ⅱ）取PD的中点G，连结FG，GE，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）∵F，G是中点，∴FG∥CD且∴FG与BE平行且相等，∴BF∥GE﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）∵GE⊂面PDE∴BF∥面PDE．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）20．（9分）已知圆x2+y2﹣2ax﹣6ay+10a2﹣4a=0（0＜a≤4）的圆心为C，直线L：y=x+m．（1）若a=2，求直线L被圆C所截得的弦长|AB|的最大值；（2）若m=2，求直线L被圆C所截得的弦长|AB|的最大值；（3）若直线L是圆心C下方的切线，当a变化时，求实数m的取值范围．【解答】解：圆C的方程可化为（x﹣a）2+（y﹣3a）2=4a∴圆心C（a，3a0，半径r=2（1）若a=2，则C（2，6），r=2∵弦AB过圆心时最长∴|AB|max=4（2）若m=2，则圆心C（a，3a）到直线x﹣y+2=0的距离d=，r=2直线与圆相交，∴d＜r，∴a2﹣4a+1＜0且0＜a≤4，∴又|AB|=2，∴当a=2时，|AB|max=2，（3）圆心C（a，3a）到直线x﹣y+m=0的距离d=∵直线L是圆心C的切线，∴d=r，即，∴m=2a±∵直线L是圆心C下方，∴m=2a﹣2=2（）2﹣1∵a∈（0，4]，∴当即a=时，m min=﹣1；当a=4时，m max=8﹣4，故实数m的取值范围是[﹣1，8﹣4]赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.O DAB CEAOD CB2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。

2012-2013学年高二上册理科数学期末试卷(附答案)

2012-2013学年高二上册理科数学期末试卷（附答案）珠海市2012～2013学年度第一学期期末学生学业质量监测高二理科数学试题（A卷）与参考答案时量：120分钟分值：150分．内容：圆，数学选修2-1和数学选修2-2．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（逻辑）“”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．（逻辑）已知命题：，则（）A．B．C．D．3．（圆锥曲线）若椭圆的焦距长等于它的短轴长，则椭圆的离心率等于（）A．B．C．D．24．（圆锥曲线）抛物线的焦点坐标为（）A．B．C．D．5．（导数）下列求导运算正确的是()A.B.C.D.6．（导数）函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极大值点（）7．（导数）设函数，则（）A．为的极大值点B．为的极小值点C．为的极大值点D．为的极小值点8．（复数）复数是纯虚数，则实数的值为A．3B．0C．2D．3或29．（空间向量）已知空间坐标系中，，，是线段的中点，则点的坐标为A．B．C．D．10．（空间向量）如图，平行六面体中中，各条棱长均为1，共顶点的三条棱两两所成的角为，则对角线的长为A．1B．C．D．211．（推理）三角形的面积为为三角形的边长，r为三角形内切圆的半径，利用类比推理，可得出四面体的体积为（）A．B．C．（分别为四面体的四个面的面积，r为四面体内切球的半径）D．12．（导数）已知函数，则的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分,请将正确答案填空在答题卡上）13．（空间向量）已知空间向量，，则_________.14．（圆锥曲线）已知方程表示双曲线，则m的取值范围是__________________.15.（导数）计算．1016.（圆）以点（2，-1）为圆心，以3为半径的圆的标准方程是_____________________．17．（复数）设i是虚数单位，计算：=_________-1.18．（圆锥曲线）设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为________．19．（空间向量）正方体中，点为的中点，为的中点，则与所成角的余弦值为2/520．（导数）函数的单调递增区间是________.三、解答题（本大题共5小题，每题10分，共50分.请将详细解答过程写在答题卡上）21．（逻辑估级3）设：P:指数函数在x∈R内单调递减；Q：曲线与x 轴交于不同的两点。

天津市2012-2013学年高二数学上学期期末联考试题文新人教A版

天津市2012-2013学年高二数学上学期期末联考试题文新人教A 版一．选择题：（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 直线1y kx =+垂直于直线10x -=，则k 的值是A ．3B ．3-C ．33 D ．33- 2. 已知命题:P 若βαγα//,//，则γβ//。

:Q 若βαγα⊥⊥,，则γβ⊥。

下列命题为真的是A ．Q P ∧B ．()Q P ∨⌝C ．Q P ∨D ． ()()Q P ⌝∧⌝3. 双曲线14322=-y x 的渐近线方程为 A ．x y 43±= B ．x y 34±= C ．x y 23±= D ． x y 332±= 4. 已知直线l ，m 和平面αA ．若α⊂m m l ,//，则α//lB ．若αα⊂m l ,//，则m l //C ．若αα⊂⊥m l ,，则m l ⊥D ．若α⊥⊥l m l ,，则α⊥m 5．函数33x x y +-=的单调递减区间是A ．-∞(，)31-B ．31(，)∞+C ．-∞(，31()31U -，)∞+ D ．31(-，)316. 抛物线x y 42=上的点),(00y x 到抛物线焦点的距离为3，则0y = A ．2 B ．22 C ．2 D ．47. 设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，P 为直线a x 213+=上一点，12PF F ∆是底角为015的等腰三角形，则E 的离心率为A ．21 B ．32 C ．43 D ． 54 8. 已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥，则不是．．该三棱锥的三视图是A ．B ．C ．D ．9. 已知双曲线22221x y a b-=()0,0>>b a 的两条渐近线均和圆056:22=+-+x y x C 相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为A.22154x y -=B.22145x y -= C.221x y 36-= D.221x y 63-= 10. 已知()x f 为定义在),(+∞-∞上的可导函数，且)()('x f x f <对于任意R x ∈恒成立，则A. )0()2013(),0()2012(20132012f e f f e f ⋅><- B. )0()2013(),0()2012(20132012f e f f e f ⋅>>- C. )0()2013(),0()2012(20132012f e f f e f ⋅<>- D. )0()2013(),0()2012(20132012f e f f ef ⋅<<-二.填空题：（本大题共6小题，每小题5分，满分30分．请把答案填写在答题纸相应的位置上）11. 曲线xe y 2= 在1=x 处的切线斜率为；12. 已知命题1,:2*≥∈∀x N x p ，则p ⌝为；13. 若圆222t y x =+与圆()()14322=-++y x 外切，则正数t 的值为；14. 一个几何体的三视图如右图所示（单位长度：cm ），则此几何体的体积是 3cm ；15. 已知条件“21:≤+x p ”；条件“a x q ≤:”，p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围_____________；16. 已知0>a ,若关于x 的方程x x a -=-22有解，则a 的取值范围；三.解答题：(本大题4小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.（本小题满分8分）已知圆01264:22=+--+y x y x C ，点()3,4A ，求：(1)过点A 的圆的切线方程；(2)O 点是坐标原点，连结OA ，OC ，求△AOC 的面积S .18．（本小题满分10分）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为直角梯形，BC AD //，090=∠ADC ，AD BC 21=，PD PA =，Q 为AD 的中点．（1）求证:直线⊥AD 平面PBQ ；（2）若点M 是棱PC 的中点，求证://PA 平面MBQ ；（3）若BC B BC BQ PQ 2P ,===，求二面角Q PB A --的正切值.19.（本小题满分10分）已知椭圆22221y x a b +=(0)a b >>的一个顶点为B (0,4)，离心率e =5，直线l 交椭圆于M 、N 两点．（1）求椭圆的方程.（2）若直线l 的方程为4y x =-，求弦MN 的长；（3）如果ΔBMN 的重心恰好为椭圆的右焦点F ，求直线l 的方程． DBQ20．（本小题满分12分）已知函数2-2)(223x a ax x x f ++= R x R a ∈∈,．（1）当1a =时，求函数()f x 的极值；（2）若()f x 只有一个零点，试求实数a 的取值范围；（3）是否存在实数a 使直线2-=ax y 与曲线2-2)(223x a ax x x f ++=相切，若存在求出所有的a 的值，若不存在，请说明理由.2012年塘沽一中、汉沽一中、大港一中期末联合考试高二数学（文）试卷答案一．选择题：（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．） BCDCD BADAA 二.填空题：(本大题共6小题，每小题5分，共30分.) 11. e 2． 12.1,2*<∈∃x N x ． 13.4． 14.3224． 15. 1≥a ． 16. []2,1 ．三.解答题：本大题4小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17. （本小题满分10分）已知圆01264:22=+--+y x y x C ，点()3,4A ，求： (1)过点A 的圆的切线方程；(2)O 点是坐标原点，连结OA ，OC ，求△AOC 的面积S . 解答：(1)⊙C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1. 设直线方程为y －3＝k (x －4)，------------------------------2即kx －y ＋3－4k ＝0，由直线与圆相切得，|－k ＋2|k 2＋1＝1，∴k ＝33± ------------------------------3 ∴直线方程为 034933=-+-y x 或034933=--+y x . ------------------------------5(2)5169=+=AO OA ：3x －4y ＝0， -----------------------------6点C 到直线OA 的距离d ＝56， S ＝12·d ·|AO |＝3.-----------------------------818. （本小题满分10分）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为直角梯形，BC AD //，090=∠ADC ，AD BC 21=，PD PA =，Q 为AD 的中点．（1）求证：直线⊥AD 平面PBQ ；（2）若点M 是棱PC 的中点，求证//PA 平面MBQ ；（3）若BC B BC BQ PQ 2P ,===，求二面角Q PB A --的大小。

2012-13学年高二上学期期末考试数学理试题

天津一中2012-2013-1高二年级第二次模块检测数学科试卷（理）一、选择题（每小题4分，共32分）1.一个几何体的三视图形状都相同，大小均等，那么这个几何体不可能是（） A ．圆柱 B. 三棱锥 C. 正方体 D. 球2.某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），这个几何体的体积是( )A．34000cm 3B ．38000cm 3C ．32000cmD ．34000cm 3.正方体的内切球与其外接球的体积之比为( )A ．1∶3B ．1∶3C ．1∶33D ．1∶94. 若一个三角形，采用斜二测画法作出其直观图，则其直观图的面积是原三角形面积的( )A.2B．4C. 12D. 25.用a 、b 、c 表示三条不同的直线，y 表示平面，给出下列命题,正确的是 ( )① 若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；②若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥c ； ③若a ∥y ，b ∥y ，则a ∥b ；④若a ⊥y ，b ⊥y ，则a ∥b . A. ①②B. ②③C. ①④D. ③④6.已知平面α外不共线的三点C B A ,,到α的距离都相等，则正确的结论是（）A ．平面ABC 必不垂直于αB ．平面ABC 必平行于α正视图侧视图俯视图α∙AB∙βC ．平面ABC 必与α相交D ．存在ABC ∆的一条中位线平行于α或在α内7.已知正四棱锥S ABCD -的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE SD ，所成的角的余弦值为（） A ．13B ．23C D 8. 已知正三棱柱111ABC A B C -的侧棱长与底面边长相等，则1AB 与侧面11ACC A 所成角的正弦值等于（）． A B C D 二、填空题（每小题4分，共24分）9.三棱锥的底面为正三角形，侧面为等腰三角形，侧棱长为2，底面周长为9，求棱锥的高 .10.一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的表面积为 .11.如右图，正方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上，若EF ∥平面1ABC ，则线段EF 的长度等于_________.12.如右图正方体1111ABCD A B C D -中，下列结论中正确的序号是________. ①平面1A BD ∥平面11CB D ②1AC 与1CD相交 ③1AC ⊥平面11CB D ④ 异面直线AD 与1CB 所成角为060. 13.如右图，二面角l αβ--的大小是60°，线段AB α⊂.B l ∈，AB 与l 所成的角为30°.则AB 与平面β所成的角的正弦值是 .14.如图，在正三棱柱111C B A ABC -中，2=AB ，若二面角1C AB C --的大小为060，则C 到平面1ABC 的距离是 .三、解答题：（共4题，44分） 15．已知椭圆方程为22119x y +=，过左焦点作倾斜角为6π的直线交椭圆于,A B 两点，（1）求弦AB 的长；（2）求ABO △的面积.16．如图，在四棱锥P ABCD -中，ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，1PA AD ==，AB =F 是PD 的中点，点E 在CD 上移动.（1）求三棱锥E PAB -的体积；（2）当点E 为CD 的中点时，试判断EF 与平面PAC 的关系，并说明理由；（3）求证：PE AF ⊥17. 如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点，2,CA CB CD BD AB AD =====（1）求证：AO ⊥平面BCD ；（2）求异面直线AB 与CD 所成角的余弦值；（3）求点E 到平面ACD 的距离．E B D18.如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=BB1，直线B1C与平面ABC成30°角.（1）求证：平面B1AC⊥平面ABB1A1；（2）求直线A1C与平面B1AC所成角的正弦值；（3）求二面角B—B1C—A的大小.参考答案1．A 2．B3．C 4．B5．C 6．D7．D 8．A9．1 10．24+8311．2 12．①，③13．4314．2315．（1）联立消y得24150x++= |AB|=2（2）16．解：（1）11113326E PAB P AEB AEBV V PA S--∆==⋅⋅=⋅⋅=……………………3分（2）F是DP中点，E是DC中点EF PC∴,PC APC EF APC⊂⊄平面平面，EF APC∴ 平面………………3分（3）,AP AD F PD=是中点,AF PD∴⊥PA ABCD⊥平面,PA CD∴⊥B EAD CD ⊥ CD APD ∴⊥平面 CD AF ∴⊥ AF PCD ∴⊥平面 AF PE ∴⊥ …………………4分17．,,.BO DO AB AD AO BD ==∴⊥,,.BO DO BC CD CO BD ==∴⊥在AOC ∆中，由已知可得1,AO CO == 而2,AC =222,AO CO AC ∴+= 90,o AOC ∴∠=即.AO OC ⊥,BD OC O = AO ∴⊥平面BCD…………4分（II ）解：取AC 的中点M ，连结OM 、ME 、OE ，由E 为BC 的中点知ME ∥AB,OE ∥DC∴直线OE 与EM 所成的锐角就是异面直线AB 与CD 所成的角在OME ∆中，111,22EM AB OE DC ==== OM 是直角AOC ∆斜边AC 上的中线，11,2OM AC ∴==cos OEM ∴∠=…………8分（III ）解：设点E 到平面ACD 的距离为.h,11 (33)E ACD A CDE ACD CDE V V h S AO S --∆∆=∴= 在ACD ∆中，2,CA CD AD ===122ACD S ∆∴==而211,22CDE AO S ∆===1.7CDE ACD AO S h S ∆∆∴===ABMDEOC∴点E 到平面ACD的距离为7…………12分 18．（I ）证明：由直三棱柱性质，B 1B ⊥平面ABC ，∴B 1B ⊥AC ，又BA ⊥AC ，B 1B∩BA=B ，∴AC ⊥平面 ABB 1A 1，又AC ⊂平面B 1AC ，∴平面B 1AC ⊥平面ABB 1A 1. （II ）解：建立如图的空间直角坐标系A —xyz ，∵直线B 1C 与平面ABC 成30°角， ∴∠B 1CB=30°.设AB=B 1B=1，).1,1,0(),1,0,0(),0,0,2(),0,1,0(),0,0,0(.2,311B A C B AAC BC 则则==11111111111,,(0,1,1),cos ,||||A B A B B AC A B AC A B AC A B AC A B AC =-=⋅∴<>===⋅连结易知是平面的一个法向量又 ∴直线A 1C 与平面B 1AC 所成角的正弦值为.66（III ）解：设(,,)n x y z =为平面BCC 1B 1的一个法向量，所求二面角为θ，由10BC n BB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,令,1=x 得(1n = ,又111,(0,1,1),A B B AC A B =- 是平面的一个法向量故1c o s c o s ,3A B n θ==。

2013届高三数学月考(4)(理)

天津南开中学2013届高三数学第四次月考试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上．祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．2．本卷共8小题，每小题5分，共40分．一、选择题：在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.i 是虚数单位，复数7i=3iz -+=（） A ．2i + B ．2i - C ．2i -+ D ．2i --2. 已知条件:12p x +>，条件:q x a >，且p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是（）A. 01a ≤≤B. 13a ≤≤C. 1a ≤D. 3a ≥ 3. 阅读右边的程序框图，运行相应的程序，当输入x 的值为25-时，输出x 的值为（）A ．1-B ．1C ．3D ．94. 数列{}n a 的前n 项和为21n S n n =++，()()*1nn n b a n N =-∈，则数列{}n b 的前50项的和为（）A. 49B. 50C. 99D.1005. 二项式832x x ⎛ ⎝的展开式中的常数项是（） A. 28- B. 7- C. 7 D. 286. 为了得到函数13sin cos cos22y x x x =+的图象，只需将函数sin 2y x =的图象（）A.向左平移12π个长度单位 B.向右平移12π个长度单位 C.向左平移6π个长度单位 D.向右平移6π个长度单位开始输入 x|x|>1?1x x =-x=2x+1输出 x 结束是否7. 平面向量a r 与b r 的夹角为23π，()3,0a =r，2b =r ，则2a b +=r r （）A.13 B.37 C.7 D.38. 设()f x 是定义在R 上的周期函数，周期为4T =，对x R ∈都有()(),f x f x -=且当[2,0]x ∈-时，()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若在区间(]2,6-内关于x 的方程()()()log 201a f x x a -+=>恰有3个不同的实根，则a 的取值范围是（）A. ()1,2B. ()2,+∞C. ()31,4D.()34,2第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上． 2．本卷共12小题，共110分．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9. 某校高中生共有2000人，其中高一年级560人，高二年级640人，高三年级800人，现采取分层抽样抽取容量为100的样本，那么高二年级应抽取的人数为人 10. 一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积(单位：cm 2)为11. 已知变量,x y 满足约束条件，则3z x y =+的最大值为12. 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点为12,F F ，P 为双曲线右支上的任意一点，若212PF PF 的最小值为8a ，则双曲线的离心率的取值范围是241y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩13. 如图所示，圆O 是△ABC 的外接圆，过点C 的切线交AB 的延长线于点D ，27CD =，3AB BC ==.则AC 的长为_______14. 若不等式|3ln ax x -|1≥对任意(0,1]x ∈都成立，则实数a 取值范围是三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15. （本小题13分）已知向量()sin ,1a x =-r ，13cos ,2b x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭r ，函数()()2f x a b a =+⋅-r r r（1）求函数()f x 的最小正周期T 及单调减区间（2）已知,,a b c 分别是△ABC 内角,,A B C 的对边，其中A 为锐角，23,4a c ==且()1f A =，求,A b 和△ABC 的面积S16. （本小题13分）张师傅驾车从公司开往火车站，途径4个交通岗，这四个交通岗将公司到火车站分成5个路段，每个路段的驾车时间都是3分钟，如果遇到红灯要停留1分钟，假设他在各交通岗是否遇到红灯是相互独立的，并且概率都是13（1）求张师傅此行时间不少于16分钟的概率（2）记张师傅此行所需时间为Y 分钟，求Y 的分布列和均值17. （本小题13分）如图，已知四棱锥E ABCD -的底面为菱形，且60,2,ABC AB EC ∠===o2AE BE ==（1）求证：平面EAB ⊥平面ABCD （2）求二面角A EC D --的余弦值18. （本小题14分）已知数列{}n a 满足()*12111,3,43,2n n n a a a a a n N n +-===-∈≥，（1）证明：数列{}1n n a a +-是等比数列，并求出{}n a 的通项公式（2）设数列{}n b 的前n 项和为n S ，且对任意*n N ∈，有1212212n nb b b n a a na +++=+L 成立，求n S19. （本小题14分）设点P 是曲线()2:20C x py p =>上的动点，点P 到点()0,1的距离和它到焦点F 的距离之和的最小值为54（1）求曲线C 的方程（2）若点P 的横坐标为1，过P 作斜率为()0k k ≠的直线交C 与另一点Q ，交x 轴于点M ，过点Q 且与PQ 垂直的直线与C 交于另一点N ，问是否存在实数k ，使得直线MN 与曲线C 相切？若存在，求出k 的值，若不存在，说明理由20. （本小题14分）已知函数()=ln (+)f x x x a -的最小值为0，其中0a >.（1）求a 的值（2）若对任意的[0,+)x ∈∞,有2()f x kx ≤成立，求实数k 的最小值（3）证明=12ln (2+1)<221ni n i --∑*()n N ∈.天津南开中学2013届高三数学第四次月考试卷（答案）一．选择题1.B2.C3.C4.A5.C6.A7.A8.D 二．填空题9. 32 10. 48122+1112. (]1,3 13. 372 14. 2,3e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭三．解答题15.解：（1）()()3122cos 2sin 226f x a b a x x x π⎛⎫=+⋅-=-=- ⎪⎝⎭r r r所以，最小正周期为22T ππ== 222262k x k πππππ-≤-≤+所以，单调减区间为()[2,2],63k k k Z ππππ-+∈ （2）()sin 216f A A π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，50,,2,,2666A A ππππ⎛⎫⎛⎫∈-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q 2,,623A A πππ∴-==由2222cos a b c bc A =+-得2440b b -+=，解得2b = 故1sin 232S bc A ==16.解：（1）416511381P ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭（2）记张师傅此行遇到红灯的次数为X ，则1~4,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()441233kkk P X k C -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0,1,2,3,4k =，依题意，15Y X =+，则Y 的分布列为Y 的均值为()()()149151541533E Y E X E X =+=+=⨯+= 17.解：（1）证明：取AB 的中点O ，连接,EO CO 2AE EB ==∴Q △AEB 为等腰直角三角形,1EO AB EO ∴⊥=又,60AB BC ABC =∠=oQ ，∴△ABC 是等边三角形， 3,CO ∴=又2EC =，222,EC EO CO EO CO ∴=+∴⊥EO ⊥Q 平面ABCD ，又EO ⊂平面EAB ，∴平面EAB ⊥平面ABCD （2）以AB 的中点O 为坐标原点，OB 所在直线为y 轴，OE 所在直线为z 轴，如图建系则()0,1,0A -，()3,0,0C，()3,2,0D-，()0,0,1E ()()()3,1,0,3,0,1,0,2,0AC EC DC ==-=u u u r u u u r u u u r设平面DCE 的法向量为(),,1n x y =，则00EC n DC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r r u u u r r，即31020x y ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，解得： 33,0,130x n y ⎧⎛⎫=⎪∴= ⎪⎨ ⎪⎝⎭⎪=⎩r同理求得平面EAC 的一个法向量为3,1,13m ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u r27cos ,7n m n m n m⋅∴<>==r u rr u r r u r ，所以二面角A EC D --的余弦值为277 18.解：（1）由1143n n n a a a +-=-可得()11213,2n n n n a a a a a a +--=--=，{}1n n a a +∴-是Y 15 16 17 18 19P 16813281 827 881 181以2为首项，3为公比的等比数列()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---∴=-+-++-+L()112131313n n ---=+=-（2）1n =时，11113,3,3b b S a === 2n ≥时()21212,nnb n n na =+--= 1223n n n b na n -==⨯ 21322323323n n S n -=+⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯L()0121213233331n n -=⨯+⨯+⨯++⨯+L 设01211323333n x n -=⨯+⨯+⨯++⨯L则()12313132333133n n x n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯L()12312333332n nn n nx n n ---=⨯-+++=⨯-L13322n n S n ⎛⎫=-⨯+ ⎪⎝⎭ 综上，13322n n S n ⎛⎫=-⨯+ ⎪⎝⎭19.解：（1）依题意知5124p +=，解得12p =，所以曲线C 的方程为2y x = （2）由题意设直线PQ 的方程为：()11y k x =-+，则点11,0M k ⎛⎫-⎪⎝⎭由()211y k x y x⎧=-+⎪⎨=⎪⎩，210x kx k -+-=，得()()21,1Q k k --，所以直线QN 的方程为()()2111y k x k k--=--+ 由()()22111y k x k ky x ⎧--=--+⎪⎨⎪=⎩，()2211110x x k k k +-+--= 得2111,1N k k k k ⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以直线MN 的斜率为2211111111MNk k k k k k k k k ⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==-⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 过点N 的切线的斜率为121k k ⎛⎫--⎪⎝⎭所以211121k k k k k ⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎝⎭-=-- ⎪⎝⎭，解得15k -±=故存在实数152k -=使命题成立20.解：(),a-+∞.f x的定义域为()。

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南开中学高二上学期数学周练14及答案
一、选择题（本题每小题5分，共50分）
1．双曲线2239y x -=的渐近线方程是（）
（A ）3y x =± （B ）13y x =± （C ）y = （D ）y = 2．设0≠abc ，“0>ac ”是“曲线c by ax =+22为椭圆”的
（）（A ）充分非必要条件（B ）必要非充分条件
（C ）充分必要条件（D ）既非充分又非必要条件 3．已知P 是椭圆22
14520
x y +=第三象限内一点，且它与两焦点连线互相垂直，若点P 到直线43210x y m --+=的
距离不大于3，则实数m 的取值范围是（）
（A ） [－7，8] （B ）921[,]22
-
（C ） [－2，2] （D ）(,7][8,)-∞-⋃+∞ 4．已知双曲线22a x －22
b
y ＝1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，右准线与一条渐近线交于点A ，△OAF 的面积为2
2
a （O 为原点），则两条渐近线的夹角为（）
（A ） 30 （B ）45 （C ） 60 （D ）90
5．若椭圆18
122
2=+y x 上有两点P 、Q 关于直线l ：0166=--y x 对称，则PQ 的中点M 的坐标是（）（A ）⎪⎭⎫ ⎝⎛61 , 31 （B ）⎪⎭
⎫ ⎝⎛31 , 21 （C ）⎪⎭⎫ ⎝⎛--21 , 31 （D ）⎪⎭⎫ ⎝⎛--31 , 21
6．过点P （1，1）且与双曲线322=-y x 只有一个公共点的直线的条数是（）
（A ）l （B ） 2 （C ） 3 （D ）4
7．已知双曲线13
62
2=-y x 的焦点为F 1、F 2，点M 在双曲线上且MF 1⊥x 轴，则F 1到直线F 2M 的距离为
（）（A ）563 （B ）6
65 （C ）56 （D ）65 8．若直线1+=kx y 与焦点在x 轴上的椭圆152
2=+m
y x 总有公共点，则m 的取值范围是（）
（A ）（1，5）（B ）（0，l ）（C ）[1，5）（D ）［l ，5］
9．双曲线122=-y x 的左焦点为F ，点M 为左支下半支上任一点（异于顶点），则直线MF 的斜率的变化范围是（）
（A ）（0,∞-）（B ）（1 ，+∞）（C ）),1()0,(∞+-∞ （D ）),1()1,(∞+--∞
10．双曲线222a y x =-截直线054=+y x 的弦长为41，则此双曲线的实轴长为（）
（A ）3 （B ）23 （C ）512 （D ）5
6
二、填空题（本大题有5小题，每小题4分，共20分）
11．双曲线的焦距等于双曲线的两条准线间距离的2倍，则双曲线的离心率是________.
12．椭圆14
82
2=+y x 上的点到直线06=+-y x 的距离的最小值为______________.
13. 双曲线22
1()24tan 16cot x y αααα-=为锐角过定点（4），则=-
___________.
14．已知A （2，l ），B （3，2），若线段AB （不含端点A 、B ）与椭圆()1122=+-my x m 总有交点，则m 的取值范围是______________
15．直线m x y +=与曲线221x y -=有两个交点，则实数m 的取值范围是______________
三、解答题（每题10分）
16．已知双曲线的一条渐近线方程为037=+y x ，两准线的距离为
29，求双曲线的标准方程 .
17. 双曲线22169144x y -=，求（1）双曲线的焦点坐标，离心率和渐进线方程；
（2）设12F F 、是双曲线的左、右焦点，点P 在双曲线上，且1232PF PF ⋅=，
求12F PF ∠的大小.
18、已知椭圆的一个焦点)22,0(1-F ，对应的准线方程为24
9-=y ，且离心率e 满足32，e ，3
4成等比数列 (1)求椭圆的方程；
(2)试问是否存在直线l ，使l 与椭圆交于不同的两点M 、N ，且线段MN 恰被直线
2
1-=x 平分？若存在，求出l 的斜率的取值范围；若不存在，请说明理由
南开中学高二上学期数学周练14答案
一、选择题：
CB ADB BCCCA
二、填空题：
11.
12
、 13、45° 14、(1,)+∞ 15
、三、解答题： 16、2222
118172997
749
x y y x -=-=或 17、（1）22
1916
x y -=，焦点54(5,0),,33e y x ±==±渐进线；（2）22121212321006
PF PF PF PF PF PF ⎧⋅=⎪⇒+=⎨-=±⎪⎩ 222
12121212
4cos 0902PF PF c F PF F PF PF PF +-∠==
⇒∠=⋅ 18、（1）∵34,,32e 成等比数列 ∴34322⨯=e 23
2=e 设),(y x p 是椭圆上任意一点，依椭圆的定义得
99,32224
9)22(2222=+=+++y x y y x 化简得即192
2
=+y x 为所求的椭圆方程.
（2）假设l 存在，因l 与直线2
1-=x 相交，不可能垂直x 轴因此可设l 的方程为：m kx y +=由
整理得得消去9)(9,992
222=++⎩⎨⎧=++=m kx x y y x m kx y 0)9(2)9(222=-+++m kmx x k ①
方程①有两个不等的实数根
∴090)9)(9(44222222<-->-+-=∆k m m k m k 即 ②
设两个交点M 、N 的坐标分别为),)(,(2211y x y x ∴92221+-
=+k km
x x
∵线段MN 恰被直线21
-=x 平分 ∴19222122
1-=+-+
=-k km
x x 即
∵0≠k ∴k k m 29
2+= ③
把③代入②得 0)9()29
(222<+-+k k k
∵092>+k ∴229
104k k +-<
∴32>k 解得3>k 或3-<k。