精选四川省眉山市2018届高二数学上学期期末教学质量检测试题理

眉山市高中2018届第三学期期末教学质量检测 数学（理科）参考答案 2017.01一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C DABBBCADACB二、填空题13、116y =- 14. 24 15. a 或2a 16. 433三、解答题 17、解：⑴.当34απ=时，直线AB 的方程为：2(1)10y x x y -=-+⇒+-= 设圆心到直线AB 的距离为d ，则22d =∴22||230AB r d =-=………………………… 5分 ⑵.当弦AB 被点P 0平分时 OP 0⊥AB∵02OP K =- ∴12AB K =故直线AB 的方程为：12(1)2y x -=+ 即250x y -+= (10)分18、解：命题p ：因为0a >时，对a xax x 2,0≥+>任意， 所以1,22≥≥a a 故 (2)分命题q ：由222201kx y y x a -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2222440k a x kx a +++-=，()2222222(4)4()(4)440k k a a a a k ∆=-+-=+-≥，即224a k ≥-+；而24k -+在R 上的最大值为4；∴24a ≥，∵0a >，∴解得2a ≥； (6)（说明：直线20kx y -+=经过定(0,2)，点(0,2)在椭圆2221y x a+=内，满足22201a+<Þ2a ≥也可）q p ∨为真命题，q p ∧为假命题时，,p q 一真一假； (7)分∴（1）若p 真q 假，则：102a a ≥⎧⎨<<⎩；∴12a ≤<； (9)分（2）若p 假q 真，则：012a a <<⎧⎨≥⎩；∴a φ∈； …………………….. .11分.综上可得，a 的取值范围是[)1,2…………………………………12分 19、解：（1）以AB 、OD 所在的直线分别为x 轴、y 轴，O 为原点建立直角坐标系….1分| PA |+| PB |=| CA |+| CB |=22+22)22(2+=22， 动点的轨迹是以为,A B 焦点椭圆…………………………………………….4分 设其长、短半轴的长分别为a 、b ，半焦距为c ，则a =2，c=1，b=1，∴曲线E 的方程为：22x +y 2=1 .……………………………………………6分（2）直线l 得方程为3(1)y x =--且1122(,),(,)M x y N x y ………….7分由方程组223(1)12y x x y ⎧=--⎪⎨+=⎪⎩得方程271240x x -+=12127x x +=1247x x =………………………………………………….9分212||1(3)||MN x x =+--212122()4x x x x =+-728744)712(22=⨯-=故728=MN …………………………………………………………..12分20、（1）证明：当直线l 的斜率不存在时，:3l x =(3,6)A ,(3,6)B -3)6(633=-⨯+⨯=⋅OB OA …………………………………………1分 设直线l 的方程为(3)y k x =-(0≠k )且11(,)A x y ，22(,)B x y 由方程组2(3)2y k x y x=-⎧⎨=⎩代入化简得2222(62)90k x k x k -++=0≠k ∴129x x =………………………………………… 3分由21122222y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩得21212()4y y x x =∴126y y =-……………………….4分 1212OA OB x x y y ⋅=+963=-=……………………………………….5分故综上所述：“如果直线l 过点T （3，0），那么→--OA →--⋅OB ＝3”是真命题….6分 （2）逆命题：直线l 与抛物线2y ＝2x 相交于A 、B 两点，如果→--OA →--⋅OB ＝3，那么直线l 过点T （3，0）。

此逆命题是假命题。

……………………………………….8分设直线l 的方程为x ky m =+且11(,)A x y ，22(,)B x y由方程组22x ky my x=+⎧⎨=⎩代入化简得2220y ky m --=1222440y y mk m =-⎧⎨∆=+>⎩…………………………………………………………….9分 由21122222y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩得 21212()4y y x x =∴212x x m =…………………………………………………………………10分1212OA OB x x y y ⋅=+=22m m -+=3解方程2230m m --=得3,1m m ==-即直线方程为3x ky =+或1x ky =-……………………………………….11分 故直线l 过点（3，0）或(1,0)-说明：若有学生用特值法举出一条直线经过(1,0)-且满足→--OA →--⋅OB ＝3说明逆命题是假命题，也给6分.21、解：（1）因为2,1,60,AP AE PAD ==∠=所以3PE =.所以PE AD ⊥. ………………………………………………………………2分 又平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD 平面ABCD AD =,∴PE ⊥平面ABCD ； ………………………………………………………4分 （2）由（1）及已知可得：PE 、EA 、EB 两两垂直，EB ＝3，…………….5分 ∴以E 为原点建立空间直角坐标系如图所示(0,0,0)E ,(0,3,0)B ,(2,3,0)C -,(0,0,3)P 设(,,)F x y z∵PF FC l = ∴(,,3)(2,3,)x y z x y z l -=-+-解得：λ+λ-=12x ，λ+λ=13y ，λ+=13z∴EF →=（λ+λ-12，λ+λ13，λ+13）, EB →=（0，3，0）,…………………8分设平面BEF 的法向量为n 1→=（x 0，y 0，z 0）,则n 1→·EF →＝0，n 1→·EB →＝0，∴0000233011130x y z y λλλλλ⎧-++=⎪⎨+++⎪=⎩ 解得：0003201x y z λ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩∴平面BEF 的法向量为n 1→=（λ23，0，1）……………………………10分 又平面BEC 的法向量为n →=（0，0，1） ∵二面角F －BE －C 为30°，即1)23(1232=λ+解得23=λ． …………………………………………12分22、解：(1)设直线:l y kx b =+(0,0)k b ≠≠，11(,)A x y ，22(,)B x y ，(,)M M M x y ．由方程组2229y kx bx y m=+⎧⎨+=⎩得方程2222(9)20k x kbx b m +++-=122290kb x x k ⎧+=-⎪+⎨⎪∆>⎩………………………………………………………….2分 故12229M x x kbx k +==-+， 299M M by kx b k =+=+．…………………………………………………4分 于是直线OM 的斜率9M OM M y k x k==-，即9OM k k ⋅=-．所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．…………………6分 （2）四边形OAPB 能为平行四边形……………………………………7分由（1）知：21229kbx x k +=-+，1212218()29by y k x x b k +=++=+ 假设四边形OAPB 能为平行四边形，则P 在椭圆且OP OA OB =+又1212(,)OP OA OB x x y y =+=++=22218(,)99kb bk k -++P 22218(,)99kb bk k -++……………………………………………………………9分 因为P 在椭圆2229(0)x y m m +=>所以222222189()()99kb b m k k -+=++……………………………………………..10分m133bm k =-（3k ≠） 2222221839()()()993kb b b k k k -+=++- (11)分化简得2890k k -+= 解得147k =-247k =+当直线l 的斜率K =47-或47+时，四边形OAPB 为平行四边形…..12分（Ⅱ）解法二. 四边形OAPB 能为平行四边形………………………………..7分直线l 过点(,)3mm 直线l 不过原点且与椭圆有两个交点A ，B 的充要条件为0k >且3k ≠….8分 由（Ⅰ）知OM 的方程9y x k=-，设(,)p p P x y 由22299y x k x y m ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩得22(3)3(9)p mk k x k -=+Þ239p km x k ±=+. 因为直线l 过点(,)3mm 所以13m km b =+Þ(3)3m k b -=22(3)93(9)M kb mk k x k k -=-=++ (10)分四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分,即2p M x x =22(3)23(9)39kmmk k k k ±-=⨯++解得147k =-247k =+当直线l 的斜率K =47-或47+时，四边形OAPB 为平行四边形 (12)分。