4.3-高阶方程降阶
第四章高阶线性微分方程
d nx d n 1 x dx a1 (t ) n 1 an 1 (t ) an (t ) x 0 (4.2) n dt dt dt 定理2 （叠加原理）如果 x1 (t ), x2 (t ), , xk (t ) 是方程（4.2）
的k个解，则它们的线性组合
c1 x1 (t ) c2 x2 (t ) ck xk (t )
t 2 x1 (t ) 0
1 t 0 0 t 1
0 x2 (t ) 2 t
1 t 0 0 t 1
15
t 2 x1 (t ) 0
1 t 0 0 t 1
t2 2t W x1 (t ), x2 (t ) 0 0
n 阶线性微分方程一般形式：
(n)
)0
d nx d n1 x dx a1 (t ) n1 an1 (t ) an (t ) x f (t ) (4.1) n dt dt dt
其中 ai (t )(i 1,2,, n) 及f (t )是区间 a t b 上的连续函数。
d nx d n 1 x dx a1 (t ) n 1 an1 (t ) an (t ) x 0 n dt dt dt
齐次线性微分方程。
(4.2)
称它为 n 阶齐次线性微分方程，而方程（4.1）为 n 阶非
7
d nx d n1 x dx a1 (t ) n1 an1 (t ) an (t ) x f (t ) (4.1) n dt dt dt
0 0 0 t2 0 2t
0 x2 (t ) 2 t
1 t 0 0 t 1
1 t 0 0 t 1
常微分课后答案第四章
第四章 高阶微分方程§4.1 线性微分方程的一般理论习题4．11．设)(t x 和)(t y 是区间[]b a ,上的连续函数，证明：若在区间[]b a ,上有≠)()(t y t x 常数或≠)()(t x t y 常数，则)(t x 和)(t y 在区间[]b a ,上线性无关．（提示：用反证法） 证明 )(t x 和)(t y 是区间[]b a ,上线性相关，则存在不全为0的常数21,c c 使得0)()(21≡+t y c t x c ，[]b a t ,∈，若)0(,021≠≠c c 或得12)()(c c t y t x -≡（或21)()(c c t x t y -≡）[]b a t ,∈∀成立。
与假设矛盾，故)(t x 和)(t y 在区间[]b a ,上线性无关．2．证明非齐次线性方程的叠加原理：设)(1t x ，)(2t x 分别是非齐次线性方程)()()(1111t f x t a dt xd t a dt x d n n n n n =+++-- （1） )()()(2111t f x t a dtxd t a dt x d n n n nn =+++-- （2） 的解，则)()(21t x t x +是方程)()()()(21111t f t f x t a dtxd t a dt x d n n n n n +=+++-- （3） 的解．证明 因为)(1t x ，)(2t x 分别是方程（1）、（2）的解，所以)()()(1111111t f x t a dt x d t a dt x d n n n n n =+++-- ， )()()(2212112t f x t a dtx d t a dt x d n n n nn =+++-- ， 二式相加得，)()())(()()()(21211211121t f t f x x t a dt x x d t a dt x x d n n n n n +=++++++-- ，即)()(21t x t x +是方程（3）的解．3.（1）．试验证022=-x dt x d 的基本解组为tt e e -,，并求方程t x dtx d cos 22=-的通解。
微分方程降阶法
微分方程降阶法微分方程降阶法是一种重要的数学工具，用于简化高阶微分方程，将其转化为低阶微分方程，从而更容易求解。
这种方法在许多科学和工程领域中都有广泛的应用，如物理、化学、生物、经济等。
一、微分方程降阶法的理论微分方程降阶法的核心思想是通过引入新的变量或函数，将高阶微分方程转化为低阶微分方程。
这个过程通常涉及到对原方程进行变形、整合或积分，以消除一些不必要的复杂性。
具体来说，对于一个n阶微分方程，我们可以引入n-1个新的函数或变量，使其降阶为n-1阶微分方程。
这个过程可以通过一系列的代数和微分运算来实现，使得原方程的求解变得相对简单。
二、微分方程降阶法的应用微分方程降阶法在许多实际问题中都有应用。
例如，在物理学中，它可以用于描述多体系统的运动规律；在化学中，它可以用于模拟化学反应的动力学过程；在经济学中，它可以用于分析经济系统的动态行为。
以物理学为例，当研究一个由多个自由度组成的系统时，通常需要求解高阶微分方程。
通过引入新的变量或函数，我们可以将高阶微分方程转化为低阶微分方程，从而更容易求解。
这不仅可以简化计算过程，还可以提高数值模拟的精度和稳定性。
三、微分方程降阶法的局限性和未来发展方向虽然微分方程降阶法在许多情况下都非常有效，但它也有一些局限性。
例如，对于一些非线性程度较高或具有特殊结构的微分方程，降阶法可能无法得到正确的结果。
此外，降阶法通常需要手动操作，对于大规模的微分方程组，这可能会变得非常复杂和耗时。
为了克服这些局限性，未来的研究可以尝试开发自动化的降阶算法，以处理更广泛类型的微分方程。
此外，结合数值计算和符号计算的方法，可以进一步提高降阶法的精度和稳定性。
总之，微分方程降阶法是一种重要的数学工具，广泛应用于各个领域的实际问题。
通过深入研究和改进算法，我们有望更好地利用这一工具来解决更多复杂的微分方程问题。
常微分方程可降阶的高阶微分方程学习教案
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20 第二十页，共36页。
4 、可降阶的高阶方程(fāngchéng)
例１、 追线问题(wèntí)
的应用举例
在 Ox
轴上有一点P以常速度a沿着
正向移动;在
平面上另有一点M,它以常
xoy
轴
Ox
速度v 运动，方向永远指向P点,求M点的运动轨迹.
解: 首先我们建立点M运动时所满足的微分
y 1, x0
y
1
的特解是
x0 2
或
y x 1 y2 x 1
解 d ( yy) 0
dx
故 有 yy C1
由y
x0
1,
y
x0
1 2
C1
1 2
即
yy 1 2
y2 x
可分离(fēnlí)变量方程
2 2 C2
由y x0
1
C2
1 2
y2
x1
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使该
xp( x) p( x) 0
可分离变量(biànliàng)方程
1
1
分离变量(biànliàng)并积分
dp pdx x来自得lnp
ln
x
ln C1
ln
C1 x
即p C1 , 即f ( x) C1 ,
再积分(j īfē n),得
x
x
f
( x)dx
C1 dx, x
f ( x) C1 ln x C2 即为所求.
若能求得其通解(tōngjiě)为:
y (t, c1, c2,cnk ) 即 x(k) (t, c1, c2 ,cnk )
对上式进行(jìnxíng)k 次积分,可求出方程的解.
4.3高阶微分方程的降价和幂级数解法
F (t, x(k) , x(k1) , , x(n) ) 0 (4.57)
解题步骤: 第一步: 令x(k) y,则方程化为
F (t, y, y', , y(nk) ) 0
第二步: 即
求以上方程的通解
y (t, c1, , cnk ) x(k) (t, c1, , cnk )
第三步: 对上式求k次积分,即得原方程的通解
练习题：
谢谢观看！ 2020
§4.3高阶微分方程的降阶和幂级数解法
一、可降阶的一些方程类型
n阶微分方程的一般形式: F (t, x, x', , x(n) ) 0
1、 不显含未知函数 x
或更一般不显含未知函数及其直到 k 1 (k 1)
阶导数的方程：
F (t, x(k) , x(k1) , , x(n) ) 0 (4.57)
第三步: 解方程
dx dt
(x, c1,
, cn1)
即得原方程的通解。
例2
求方程x
d2x dt 2
( dx)2 dt
0的通解.
解：令 dx y,并以x作为新的自变量,
dt
则方程化为 xy dy y2 0
从而可得
dx y 0, 及
dy dx
y, x
这两方程的全部解是 y c1x,
再代回原来变量得到
2、 不显含自变量t的方程 一般形式:
F (x, x', , x(n) ) 0,
解题步骤:
(4.59)
第一步: 令y x',并以y为新的未知函数, x为新的 自变量,原方程化为
G(x,
y,
dy dx
,
,
d (n1) y dx(n1)
第四章 高阶微分方程 常微分方程课件 高教社 王高雄教材配套ppt
5/8/2021
第四章
10
x1
t 2 , 0,
1 t 0 0t 1
注 仅对函数而言 线性相关时W(t)≡0的
逆定理一般不成立。
例 函数
和
x1
t 2 , 0,
x2
0,
t
2
,
1 t 0 0t 1
1 t 0 0t 1
在区间-1≤t≤1上有W[x1(t),x2(t)]≡0 ,但却线性无 关。
证 5/8/2021 用反证法证。
第四章
12
(续)定理4 齐次线性微分方程的线性 无关解的伏朗斯基行列式恒不为零
dn x dtn
a1(t)
dn1 x d t n1
an1 (t )
d d
x t
an
(t ) x
0
证 用反证法证。设有t0 (a≤t0≤b) 使得W(t0)=0，则t = t0时 的 (6)、(7)组成的n个齐次线性代数方程组有非零解 c1 ,c2 ,…,cn。 根椐叠加原理，函数 x(t)=c1x1(t)+ c2x2(t)+…+ cnxn(t) 是方程(2)的解，
第四章
13
定理5 齐次线性方程(2)的基本 解组必存在且其伏朗斯基行列式 恒不为零。
证 根据定理1，线性 方程(2)的满足初值 条件:
的解x1(t),x2(t),…,xn(t)必 存在，且有
x1
(t0
)
1,
x1'
(t0
)
0,
x2
(t0
)
0,
x2'
(t0
)
1,
xn
(t0
)
0,
xn'
(完整版)高阶微分方程的降阶和幂级数解法
§ 4.3高阶微分方程的降阶和幕级数解法教学目的本章主要讨论高阶微分方程的降阶以及二阶线性方程的幕级数解法教学要求会把高阶微分方程降阶以及会用幕级数解法解某些二阶线性方程 教学重点一些高阶阶微分方程的降阶类型的解法；幕级数解法 教学难点二阶线性方程幕级数解法教学方法讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法 教学手段 传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。
一般的高阶微分方程没有普遍的解法，通常是通过变代换把高阶方程的求解问题转化为较低阶方程来求解，因为一般来说求解低阶方程比求解高阶方程方便些 ，本节主要介绍一些可降阶的方程类型和求特解的幕级数解法 •一.可降阶的一些方程类型n 阶微分方程的一般形式F(t,x (k),x (k1), ,x (n)) 0 件 57)1•不包含未知函数 x,或更一般地，不包含未知函数及其直到k — 1(k 仝1 )阶导数的方程是：F (t,y ,，y (nk))(4.58)如果能求得(4.58)的通解y(g,C 2, ,C nk )即x (k) (t,C i , ,C n k )对上式经过k 次积分即方程(4.57)的通解x (t ,c i, ,c n)这里G,C 2, ,C n为任常数..54d x 1 d x 门44例1求方程dt t dt 的解d4x4 解:令dt y，则方程化为dy 1dt -这是一个一阶方程，其通解为Ct，即有吟ctdt4积分四次得原方程的通解x qt5c2t3 c3t2C4t2•不包含自变量t的方程其一般形式是：F(x,x1, ,x(n))(4.59)此时，用y x作为新的未知函数而把x作为新的自变量.因为dxdtd2xdt2d3xdt3dy dydt dxd(y%dxdtdx dyd(y乎)dxdxdtdxdty^)2 y2豊dx dx用数学归纳法易得x(k)可用1dx和n）来表达，将这些表达式代入（4.59）可得:d n磴)2y20, 即有新方程G(x,y，¥dxn 1 J) dx它比原来的方程（4.59）降低了一阶:d2x例2求方程xdt2/dx、2 门()°dt的解解令x y要取X 作为新的自变量，于是原方程化为xy# y02x从而可得dy yy 0及 dx x这两方程的全部解是y Gx再代入原来变量得到所以原方程的通解是Gtx c 2e3)已知各线性方程的非要特解，进行降阶 ①设x x i°正二阶齐线性方程的非要解 令x x°则x X i y x y i代入(4.69)得X 』［2x i p(t)x 』y ［花 p(t)X i q(t)x 』y °引入新的未知函数z y方程变为dz X i[zx i p(t)X i ]z 0dt是一阶线性方程解之得c p(t)dtz因而dx dyGx乎 P(t)签 q(t)x °(4.69)x i y2x 1 x 1 yx i y(2x iP (t)x i ］y °1 P (t)dtxx/G c —e dt]X 2这里c ic是任意常数。
c4_3 高阶方程的降阶幂级数解法 02
作变换
非非
分离变量法
变全
积分因子
量微
全微分方程
可分
分方
常数变易法
离程
特征方程法 待定系数法
幂级数解法
思考题
什么情况下采用“幂级数”解法求解微分方程？
解答
当微分方程的解不能用初等函数或其积分 表达时, 常用幂级数解法.
练习题
一、试用幂级数求下列各微分方程的解: 1、 y′ − xy − x = 1； 2、 xy′′ − ( x + m) y′ + my = 0.( m 为自然数 )
解的关系
(2)
幂级数解法
# 问题的提出
(1)
例如 dy = x2 + y 2 , dx
解不能用初等函数或其积分式表达.
,或
寻求近似解法: 幂级数解法;
-1个线性无关解
Picard逐次逼近法; 数值解法.
dy = f (x, y) 特解求法 dx
问题
求 dy = dx
f ( x, y) 满足
y
x= x0
=
x1
d2y dt 2
+
2
dx1 dt
dy dt
+
y
d 2 x1 dt 2
y[
d 2 x1 dt 2
+
a1 (t )
dx1 dt
+
a2 (t)x1] +
[2
dx1 dt
+
a1 (t ) x1 ]
dy dt
+
x1
d2y dt 2
=
0,
[2
dx1 dt
+
a1 (t ) x1 ]
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F (t , x, x' ,, x( n) ) 0
F (t, x( k ) , x( k 1) ,, x( n) ) 0
(4.57)
F (t, y, y ' ,, y ( nk ) ) 0 (4.58) 若能求得(4.58)的通解 y (t , c1 ,, cnk )
x (t, c1,, cn ), 这里c1,, cn为任常数
d x 1d x 0的通解. 例1 求方程 5 4 dt t dt 4 d x 解 y , 则方程化为 令 4 dt dy 1 y0 dt t 这是一阶方程,其通解为 y ct , d 4x 即有 ct, 4 dt
它比原方程降低一阶
解题步骤:
第一步:
令y x ' , 并y为新的未知函数 , x为新的 自变量, 原方程化为 dy d ( n 1) y G ( x, y, ,, ( n 1) ) 0 dx dx
第二步:
求以上方程的通解
y ( x, c1 ,, cn1 )
第三步: 解方程
§4.3高阶微分方程的降阶和幂级数解法
F (t , x( k ) , x( k 1) ,, x( n) ) 0
x( k ) y
F (t , y, y ' ,, y ( nk ) ) 0
一、可降阶的一些方程类型
n阶微分方程的一般形式:
1 不显含未知函数x,
或更一般不显含未知函数及其直到k-1(k>1)阶导数的方程是
这里c1 , c2是任常数.
令c1 0, c2 =1得(4.69)的一个解:
1 p (t ) dt x2 x1 2 e dt , x1
因它与x1之比不等于常数, 故x1 , x2线性无关
因此 (4.69)的通解为
1 p (t ) dt x x1[c1 c2 2 e dt ], x1
第四步: (4.69)的通解为
1 p (t ) dt x x1[c1 c2 2 e dt ], x1
这里c1 , c2是任常数.
(4.70)
注
一般求(4.69)的解直接用公式(4.70)
例3
2 sin t 解 这里 p (t ) , x1 t t 2 2 dt t sin t t 由(4.70)得 x [c1 c2 2 e dt ] t sin t sin t t2 1 [c1 c2 2 2 dt ] t sin t t sin t [c1 c2 cot t ] t 1 [c1 sin t c2 cos t ] 这里c1, c2是任常数. t
x3 x6 x 3n y a0 1 L L 2 3 5 6 L (3n 1) 3n 2 3 2 356 x4 x7 x3n1 a1 x L L 3 4 6 7 L 3n (3n 1) 3 4 3 4 6 7
即
若令x( k ) y, 则可把方程化为 y的n k阶方程
x
(k )
(t , c1 ,, cnk )
对上式经过k次积分,即可得(4.57)的通解
x (t, c1,, cn ), 这里c1,, cn为任常数
F (t, x , x
解题步骤:
(k )
( k 1)
,, x ) 0
性质,即xp ( x)和 x q2 x ( ) 均可展成x的幂级数,且收敛区 间为 x R, 则方程(4.72) 有形如
y x an x n an x n ,
上式中两个幂级数的收敛半径为无限大，因此级数的 和亦收敛，且是方程的通解。
定理10 若方程(4.72)中系数p(x)和q(x)都可展成x的 幂级数,且收敛区间为 x R, 则方程(4.72)有形如
y= an x n ,
n 0
(4.73)
的特解,也以 x R为级数的收敛区间 .
定理11 若方程(4.72)中系数p(x) 和 q(x) 都具有这样的
dx ( x, c1 , , cn 1 ) dt
即得原方程的通解
d x dx 2 例2 求方程x 2 ( ) 0的通解. dt dt dx 解 y, 并以 x作为新的自变量 , 令 dt dy 2 xy y 0 则方程化为 dx dy y , 从而可得 y 0, 及 dx x 这两方程的全部解是 y c1 x, dx 再代回原来变量得到 c1 x, dt c1t x c e , 所以得原方程的通解为 2
代入(4.69)得
'' ' 1 ' '' 1
x1 y [2x p(t ) x1 ] y [ x p(t ) x q(t ) x1 ] y 0
' 1
即
x1 y [2x p(t ) x1 ] y 0
'' ' 1 '
引入新的未知函数 z y , x1 y [2 x p(t ) x1 ] y 0
2 1a2 0, 3 2a3 a0 0, 4 3a4 a1 0, 5 4a5 a2 0 L
dy y' dx y a0 a1x a2 x2 L an xn L 是方程的解。
一般地可推得 因而
a3k
a0 a1 , a3k 1 , a3k 2 0 2 3 5 6L (3k 1) 3k 3 4 6 7 L 3k (3k 1)
( n)
(4.57)
(k ) 令 x y, 则方程化为 第一步:
F (t , y, y ' ,, y ( nk ) ) 0
第二步: 即 求以上方程的通解
y (t , c1 ,, cnk )
x
(k )
(t , c1 ,, cnk )
第三步: 对上式求k次积分,即得原方程的通解
用数学归纳法易得:
dy d y x 可用y, ,, ( k 1) (k n)来表达 dx dx
(k )
( k 1)
将这些表达式代入(4.59)可得:
dy dy 2 2 d y F ( x, y, y , y ( ) y ,) 0 2 dx dx dx
即有新方程
2
dy d ( n 1) y G ( x, y, ,, ( n 1) ) 0 dx dx
x xk y x y
' ' ' k
x
(n)
x xk y 2x y x y n(n 1) '' ( n 2) (n) ' ( n 1) ( n) xk y nxk y xk y xk y 2
'' '' ' k ' '' k
代入(4.2)得
xk y
( n2)
bn1 (t ) z 0,
(4.67)
xi ' 且zi ( ) , i 1, 2,, k 1是(4.67)的k 1个线性无关的解 xk
事实上 由x1 , x2 ,, xk 1为(4.2)的解及以上变换知,
x ' z ( ) 或x xk zdt xk
因此z1 , z2 ,, zk 1是(4.67)的解, 若 1z1 2 z2 k 1zk 1 0 x1 x2 xk-1 1 2 k 1 k 则 xk xk xk
即
1x1 2 x2 k 1xk 1 k xk 0
'
解之得 即
1 p (t ) dt x x1[c1 c2 2 e dt ], x1
c p (t ) dt z 2e , x1
(4.70)
第三步: 令c1 0, c2 =1得与x1线性无关一个解:
1 p (t ) dt x2 x1 2 e dt , x1
'
''
' 1
'
dz ' x [2 x 方程变为 1 1 p (t ) x1 ] z 0 dt
是一阶线性方程,解之得 则 因而
c p (t ) dt z 2e , x1
1 p (t ) dt y c2 2 e dt c1 , x1 1 p (t ) dt x x1[c1 c2 2 e dt ], x1 (4.70)
由x1 , x2 ,, xk 线性无关知, 1 ,2 k 1 ,k 全为0 故z1 , z2 ,, zk 1线性无关,
因此,对(4.67)仿以上做法, 令z zk 1 udt ,
则可把方程化为关于u的n - 2阶线性方程
u(n2) c1 (t )u(n3) cn2 (t )u 0,
且可知道(4.68)的k -2个线性无关的解,
zi ' ui ( ) , i 1, 2,, k 2 zk 1
以上做法一直下去,可降低n - k阶.
(4.68)
二、二阶线性方程的幂级数解法
对二阶变系数齐线性方程
d2y dy p( x) q ( x) y 0 2 dx dx
2
3 已知齐线性方程的非零特解,进行降阶
(1) 设x x1 0是二阶齐线性方程 d 2x dx p(t ) q(t ) x 0, 2 dt dt
的非零解 令
(4.69)
x x1 y
则
x' x1 y' x1' y x x1 y 2x y x y
'' '' ' ' 1 '' 1