2019-2020学年四川省成都外国语学校高二12月月考数学(文)试卷缺答案
四川省成都市外国语学校2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题(含解析)
成都外国语学校2023-2024学年度下期期末考试高二数学试卷注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．2．本堂考试120分钟，满分150分．3．答题前，考生务必先将自己姓名、学号填写在答题卡上，并使用2B 铅笔填涂．4．考试结束后，将答题卡交回．第Ⅰ卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设复数z 满足，则（ ）A ．BCD2．函数的单调增区间是（ ）A ．B ．C ．D ．3．关于线性回归的描述，有下列命题：①回归直线一定经过样本点的中心；②相关系数r 越大，线性相关程度越强；③决定系数越接近1拟合效果越好；④随机误差平方和越小，拟合效果越好．其中正确的命题个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．设，，）A ．B ．C ．D ．5．在空间直角坐标系中，，，，，三角形ABC 重心为G ，则点P 到直线AG 的距离为（ ）A ．BCD6．已知点，抛物线上有一点，则的最小值是（ ）A ．10B ．8C ．5D ．47．有5名大学生到成都市的三所学校去应聘，若每名大学生至多被一个学校录用，每个学校至少录用其中一人，则不同的录用情况种数是（ ）A ．390B ．150C ．90D ．420(1i)3i z +=-z =()(3)e xf x x =-(,2)-∞(0,3)(1,4)(2,)+∞2R 1cos 662a =︒︒2sin13cos13b =︒︒c =a b c>>a b c<<a c b<<b c a<<(0,0,0)P (1,0,0)A (0,2,0)B (0,0,3)C 67(A 2:4C y x =()00,P x y 202||2y PA +8．双曲线的左、右焦点分别为，，，右支上一点P 满足，直线l 平分，过点，作直线l 的垂线，垂足分别为A ，B ．设O 为坐标原点，则的面积为（）A ．B ．C ．D ．10二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分．9．若“，”为假命题，则实数a 的取值可以为（ ）A ．8B ．7C ．6D ．510．我国5G 技术研发试验在2016~2018年进行，分为5G 关键技术试验、5G 技术方案验证和5G 系统验证三个阶段．2020年初以来，5G 技术在我国已经进入高速发展的阶段，5G 手机的销量也逐渐上升．某手机商城统计了2022年5个月5G 手机的实际销量，如下表所示：月份2022年1月2022年2月2022年3月2022年4月2022年5月月份编号x 12345销量y （部）5096a185227若y 与x 线性相关，且求得回归直线方程为，则下列说法正确的是（ ）A ．B ．y 与x 的相关系数为负数C ．y 与x 正相关D ．2022年7月该手机商城的5G 手机销量约为365部11．已知定义在R 上的函数满足为偶函数，为奇函数，当时，，则下列说法正确的是（ ）A ．B ．C ．函数为R 上的偶函数D ．函数为周期函数三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．若“”是“”的充分不必要条件，则实数m 的取值范围为__________．13．若，则的值为__________．14．若数列满足，（，d 为常数），则称数列为调和数列．已知数列为调和数列，且，则的最大值为__________．222:1(0)5x y C a a -=>1F 2F 12PF PF ⊥12F PF ∠1F 2F OAB △[4,6]x ∃∈210x ax -->ˆ455yx =+142a =()y f x =132f x ⎛⎫-⎪⎝⎭(21)f x +10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()0f x '>(0)0f =4133f f ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()y f x =()y f x =12x <<|2|1x m -<7270127(2)(1)(1)(1)x a a x a x a x -=+++++++ 0127a a a a ++++ {}n a 111n n d a a +-=*n ∈N {}n a 21n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭222212320222022x x x x ++++= 92014x x +四、解答题：共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）在中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设向量，，，．（1）求函数的最小值；（2）若，，求的面积．16．（本小题满分15分）如图，在四棱锥中，，，平面PAB ，，E 、F 分别是棱PB 、PC 的中点．（1）证明：平面ACE ；（2）求平面ACE 与平面PAD 的夹角的正弦值．17．（本小题满分15分）某校为了解本校学生课间进行体育活动的情况，随机抽取了50名男生和50名女生，通过调查得到如下数据：50名女生中有10人课间经常进行体育活动，50名男生中有20人课间经常进行体育活动．（1）请补全列联表，试根据小概率值的独立性检验，判断性别与课间经常进行体育活动是否有关联；体育活动合计性别课间不经常进行体育活动课间经常进行体育活动男女合计（2）以样本的频率作为概率的值，在全校的男生中任取4人，记其中课间经常进行体育活动的人数为X ﹐求X 的分布列、数学期望和方差．附表：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828附：，其中．ABC △4sin ,m A ⎛= ⎝ 1cos ,2cos 22n A A ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ()f A m n =⋅ π5π,46A ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f A ()0f A =a =b c +=ABC △P ABCD -//AD BC 224PA BC AD AB ====AD ⊥PA AB ⊥//DF 22⨯0.05α=αx α22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++n a b c d =+++18．（本小题满分17分）已知椭圆的左、右焦点别为，，过点的动直线l 交E 于A ，B两点，点A 在x 轴上方，且l 不与x 轴垂直，的周长为与E 交于另一点C ，直线与E 交于另一点D ，点P 为椭圆E 的下顶点，如图．（1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点．19．（本小题满分17分）定义运算：，已知函数，．（1）若函数的最大值为0，求实数a 的值；（2）若函数存在两个极值点，，证明：；（3）证明：．成都外国语学校2023-2024学年度下期期末考试高二数学试卷 参考答案：1．A【分析】利用复数的运算性质求出共辄复数，再求模即可．【详解】因为，所以，所以，，故C 正确．故选：A ．2．D【分析】对函数求导，根据导函数的正负，确定函数的单调递增递减区间即得．【详解】由求导得，，则当时，，即函数在上单调递增；2222:1(0)x y E a b a b +=>>1F 2F 1F 2ABF △2AF 2BF m n mq np p q =-ln 1()1x x f x a -=1()1g x x=-()f x ()()()h x f x g x =+1x 2x ()()121220h x h x a x x --+<-222211111111e 234n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋯+< ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭(1i)3i z +=-23i (3i)(1i)34i i 34i 112i,1i (1i)(1i)22z ----+--=====-++-12i z =+z ==()(3)e xf x x =-()(2)e xf x x '=-2x >()0f x '>()(3)e xf x x =-(2,)+∞当时，，即函数在上单调递减，故函数的单调递增区间为．故选：D ．3．C【分析】根据回归直线方程的性质，相关系数、决定系数及随机误差平方和的意义判断各项的正误即可．【详解】对于①，回归直线一定经过样本点的中心，故①正确；对于②，相关系数r 的绝对值越接近于1，线性相关性越强，故②错误；对于③，决定系数R 越接近1拟合效果越好，故③正确；对于④，随机误差平方和越小，拟合效果越好，故④正确．故选：C ．4．C【分析】利用二倍角公式及两角差的正弦公式化简，再根据正弦函数的性质判断即可．【详解】，，，因为在上单调递增，所以，故．故选：C ．5．B【详解】在空间直角坐标系中，，，，，三角形ABC 重心为G ，所以，，，所以在上的投影为：所以点P 到直线AG．故选：B ．6．B【分析】结合坐标运算和焦半径公式，转化，再利用数形结合求最值．【详解】已知抛物线上有一点，则，即．2x <()0f x '<()(3)e xf x x =-(,2)-∞()(3)e xf x x =-(2,)+∞()1cos 66sin 30cos 6cos30sin 6sin 306sin 242a =︒︒=︒︒-︒︒=︒-︒=︒sin26b =︒sin 25c ====︒sin y x =π0,2⎛⎫⎪⎝⎭sin 26sin 25sin 24︒>︒>︒a c b <<(0,0,0)P (1,0,0)A (0,2,0)B (0,0,3)C 12,,133G ⎛⎫ ⎪⎝⎭(1,0,0)PA =22,,133AG ⎛⎫=- ⎪⎝⎭PA AG PA AG AG⋅== =22||2(||||)22y PA PF PA +=+-2:4C y x =()00,P x y 2004y x =2004y x =又，故在抛物线的外部，则，因为抛物线的焦点为，准线方程为，则，故．由于，当A ，P ，F 三点共线（P 在A ，F 之间）时，取到最小值，则的最小值为．故选：B ．7．A【分析】根据录用的人数，结合组合和排列的定义分类讨论进行求解即可．【详解】若5人中有且仅有3人被录用，满足条件的录用情况有种，若5人中有且仅有4人被录用，满足条件的录用情况有种，若5人都被录用，满足条件的录用情况有种，由分类加法计数原理可得符合要求的不同的录用情况种数是390．故选：A ．8．D【分析】根据给定条件，求出，结合几何图形及双曲线定义可得的面积得解．【详解】由双曲线，解得，243>⨯(A 2:4C y x =()()220002||2||2||21|224y y PA PA x PA x PA ⎛⎫+=+=+=++- ⎪⎝⎭∣2:4C y x =(1,0)F 1x =-0||1PF x =+()2002||21||22(||||)22y PA x PA PF PA +=++-=+-||||||PF PA AF +≥||||PF PA +||5AF ==202||2(||||)22y PA PF PA +=+-2528⨯-=35A 60=1143435322C C C A 180A =1122335453332222C C C C A A 150A A +=2a OAB △212S a =222:1(0)5x y C a a -=>=220a =令直线交的延长线交于Q ，直线交于N ，则，，由PA 平分，且，得，则，，，显然A ，B 分别为线段，的中点，而O 是的中点，于是，，，即，，所以的面积．故选：D ．【点睛】关键点点睛：本题求出面积的关键是作出点Q ，借助几何图形的特征，结合双曲线定义求得．9．ABC【分析】根据条件，将问题转化成即在恒成立，令，利用其单调性，求出的最大值，即可求解．【详解】因为“，”为假命题，所以，恒成立，即在恒成立，所以且．令，易知在上是增函数，所以，所以．故选：ABC ．10．AC【分析】对A ，根据样本中心在回归直线上即可求解；对B ，从表格数据看，y 随x 的增大而增大，即可判1F A 2PF 2PF 2F B 1PF 1PA FQ ⊥2PB F N ⊥12F PF ∠1290F PF ∠=︒112245PFQ PQF PF N PNF ∠=∠=∠=∠=︒1||PA PF =2||PB PF =||||||2AB PA PB a =-==1FQ 2F N 12F F //OA PQ 1//OB PF 145OAB APQ APF OBA ∠=∠=︒=∠=∠90AOB ∠=︒||||||OA OB AB a ===OAB △2211||1022S OA a ===OAB △||AB =1x a x -≤[]4,61()f x x x=-()f x [4,6]x ∃∈210x ax -->[4,6]x ∀∈210x ax --≤1x a x -≤[]4,6max 1a x x ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭[4,6]x ∈1()f x x x =-1()f x x x=-[]4,6max 135()(6)666f x f ==-=356a ≥断；对C ，因为y 与x 正相关，所以y 与x 的相关系数为正数，故可判断；对D ，将月份编号代入到回归直线即可求解判断．【详解】对A ，，，因为点在回归直线上，所以，解得，所以选项A 正确；对C ，从表格数据看，y 随x 的增大而增大，所以y 与x 正相关，所以选项C 正确；对B ，因为y 与x 正相关，所以y 与x 的相关系数为正数，所以选项B 错误；对D ，2022年7月对应的月份编号，当时，，所以2022年7月该手机商城的5G 手机销量约为320部，所以选项D 错误．故选：AC ．11．AD【分析】首先利用函数的奇偶性得到函数的对称轴和对称中心，结合关系式的变换得到函数周期判断B ，利用特殊值代入判断A ，根据导函数判断函数单调性结合关系式和偶函数定义判断C ，根据函数的关系式和单调性判断D ．【详解】因为为偶函数，，故函数图象关于直线对称，为奇函数，，函数图象关于对称，对于D ，，，故2是函数的周期，函数为周期函数，故D 正确；对于A ，，令，，故，又，故A 正确；对于C ，，当时，，即函数在上递增，函数图象关于对称，故函数在上递减，故函数在上递增，所以，故函数不是偶函数，故C 错误；7x =1234535x ++++==509618522755855a ay +++++==(),x y 55845355a+=⨯+142a =7x =7x =ˆ4575320y=⨯+=132f x ⎛⎫-⎪⎝⎭111133()(1)2222f x f x f x f x f x f x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+⇔-=+⇔=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭12x =(21)f x +(21)(21)(1)(1)f x f x f x f x -+=-+⇔-+=-+(1,0)()(1)(1)f x f x f x =-=-+(2)(1)()f x f x f x +=-+=(21)(21)f x f x -+=-+0x =(1)(1)f f =-(1)0f =(0)(11)(1)0f f f =-==131222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f x '>10,2⎛⎫⎪⎝⎭(1,0)13,22⎛⎫ ⎪⎝⎭11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦1122f f ⎛⎫⎛⎫-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对于B ，，故B 错误，故选：AD ．【点睛】抽象函数的判断一般会从函数奇偶性、周期性和对称性的定义推得相关的函数性质；12．【详解】由，得，因为“”是“”的充分不必要条件，所以集合是集合的真子集，所以（不同时取等号），解得，所以实数m 的取值范围为．故答案为：．13．128【详解】令，得．14．2【分析】根据调和数列，可得为等差数列，即可根据等差数列求和公式得，进而利用不等式即可求解．【详解】数列为调和数列，故，所以为等差数列，由，所以，故，所以，故，故，由于．当且仅当时等号成立，故的最大值为2．故答案为：2．15．【详解】（1）．因为，所以，124333f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=> ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭|2|1x m -<2121m x m -<<+12x <<|2|1x m -<{12}x x <<∣{2121}x m x m -<<+∣211212m m -≤⎧⎨+≥⎩112m ≤≤112m ≤≤112m ≤≤0x =701272128a a a a ++++== {}2n x 22920142x x +=21n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭221n n x x d +-={}2n x 222212320222022x x x x++++= ()2212022202220222xx +⨯=22120222x x +=22920142x x +=22920149201422x x x x +=≥920141x x ≤()222920149201492014920142224x x x x x x x x +=++=+≤92014x x =92014x x +ππ()4sin cos cos sin 2cos 233f A m n A A A ⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅-+-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πsin 222sin 23A A A ⎛⎫==- ⎪⎝⎭π5π,46A ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ππ4π2,363A ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦所以当，即时，有最小值（2）因为，所以，所以，，因为，所以．由正弦定理，，所以，．又因为，所以，得，由余弦定理有：，所以．所以．16．【详解】（1）如图所示，连接EF ．因为E ，F分别是棱PB ，PC 的中点，所以，．因为，，所以，，所以四边形ADFE 是平行四边形，则．因为平面ACE ，平面ACE ，所以平面ACE ．（2）因为平面PAB ，PA 、平面PAB ，所以，，又因为，所以AB ，AP ，AD 两两垂直，以A 为坐标原点，，，的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．π4π233A -=5π6A =()f A ()0f A =π2sin 203A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭π2π3A k -=k ∈Z π5π,46A ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦2π3A =2sin sin sin b c a B C A====sin 2b B =sin 2c C =sin sin B C +=22b c +=b c +=2222cos a b c bc A =+-3bc =11sin 322ABC S bc A ==⨯=△//EF BC 2BC EF =//AD BC 2BC AD =//EF AD EF AD =//AE DF AE ⊂DF ⊂///DF AD ⊥AB ⊂AD PA ⊥AD AB ⊥PA AB ⊥AB AP AD由题中数据可得，，，，．设平面ACE 的法向量为，则令，得．因为，，，所以平面PAD ．平面PAD 的一个法向量为．设平面ACE 与平面PAD 的夹角为，则．故，即平面ACE 与平面PAD17．【详解】（1）依题意，列出列联表如下：课间不经常进行体育活动课间经常进行体育活动合计男302050女401050合计7030100零假设为：性别与课间经常进行体育活动相互独立，即性别与课间是否经常进行体育活动无关，因为，根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为性别与课间是否经常进行体育活动有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05．（2）由题意得，经常进行体育活动者的频率为，所以在本校中随机抽取1人为经常进行体育活动者的概率为，(0,0,0)A (2,0,4)C (1,2,0)E (2,0,4)AC = (1,2,0)AE =(,,)n x y z = 240,20,n AC x z n AE x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩2x =(2,1,1)n =--PA AB ⊥AB AD ⊥PA AD A = AB ⊥(1,0,0)AB m ==θcos cos ,n m n m n m θ⋅==== sin θ==22⨯0H 220.05100(30102040)1004.762 3.8415050703021x χ⨯⨯-⨯==≈>=⨯⨯⨯0.05α=0H 202505=25由题意得，则，，可得，，，，，X 的分布列为：X 01234PX 的数学期望为，X 的方差为．18．【分析】（1）利用椭圆的第一定义和离心率，求解椭圆方程；（2）设点，，，，的方程为，联立直线与椭圆的方程，根据韦达定理求出点的坐标，同理得到点的坐标，进而得到直线的方程，根据对称性，如果直线CD 过定点，则该定点在x 轴上，即可得到定点坐标；【详解】（1）由椭圆定义可知，，所以的周长为，所以，所以，所以，又，所以椭圆的方程：．（2）（ⅰ）设点，，，，则直线的方程为，则，2~4,5X B ⎛⎫⎪⎝⎭4422()C 155kkk P X k -⎛⎫⎛⎫==- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭0,1,2,3,4k =04042281(0)C 155625P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭131422216(1)C 155625P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222422216(2)C 155625P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭31342296(3)C 155625P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭40442216(4)C 155625P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭81625216625216625966251662528()455E X np ==⨯=2224()(1)415525D X np p ⎛⎫=-=⨯⨯-= ⎪⎝⎭()11,A x y ()22,B x y ()33,C x y ()44,D x y 2AF 11(1)1y y x x =--7,05⎛⎫⎪⎝⎭122AF AF a +=122BF BF a +=2ABF △4a =a =c a =1c =2221b a c =-=2212x y +=()11,A x y ()22,B x y ()33,C x y ()44,D x y 2AF 11(1)1y y x x =--1111x x y y -=+由得，，所以，因为，所以，所以，故，又，同理，，，由A ，，B 三点共线，得，所以，直线CD 的方程为，由对称性可知，如果直线CD 过定点，则该定点在x 轴上，令得，，故直线CD 过定点．19．【分析】（1）求导后，分类讨论单调性，进而得到最值，求出a 的值即可；（2）条件等价于有两个不等的正根，结合判别式非负，以及韦达定理求出a 的范围，要证，即证，令求导确定函数的单调性，证明结论．（3）利用（1）结论可得则当时，，进而利用裂项相消求11221112x x y y x y -⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩221111112210x x y y y y ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--⎢⎥++-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦211322211111121212y y y x x y x y --==-++⎛⎫-+ ⎪⎝⎭221112x y +=221122x y +=2113123y y y x =-13123y y x =-111133311111134112323x x y x x y y y y x x ---=+==+=--24223y y x =-2423423x x x -=-1F 121211y yx x =++211221x y x y y y -=-43111431342323y y y x y x x x x x ⎛⎫---=- ⎪---⎝⎭0y =()()()()()1431431433423y x x x y y x x y y --+--=--()()21211121212112134343423232323232323x x y y y x x x x x y y x x x ⎛⎫⎛⎫----+-- ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭=⎛⎫-- ⎪--⎝⎭()()()()()()()()1221121221211212122134344372323325y x y x y y x y x y y x y x y y x y x y --+--+-===----+-7,05⎛⎫ ⎪⎝⎭()0h x '=()()121220h x h x a x x --+<-22212ln 0x x x -+<1()2ln (1)x x x x x ϕ=-+>()x ϕ1n >22211111ln 1111n n n n n⎛⎫⎛⎫+<+-=<- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭和证明结论．【详解】（1）由题意知：，，①当时，，在单调递减，不存在最大值．②当时，由得，当，；，，函数的增区间为，减区间为．，．（2），，“函数存在两个极值点，”等价于“方程有两个不相等的正实数根”；故，解得．，要证，即证，，不妨令，故，由得，令，在恒成立，()ln 1f x a x x =-+()1(0)af x x x∴'=->0a ≤()0f x '<()f x (0,)+∞0a >()0f x '=x a =(0,)x a ∈()0f x '>(,)x a ∈+∞()0f x '<∴()y f x =(0,)a (,)a +∞max ()()ln 10f x f a a a a ∴==-+=1a ∴=1()()()ln h x f x g x a x x x=+=-+ 22211()1a x ax h x x x x -+-'∴=--=()h x 1x 2x 22211()10a x ax h x x x x -+-'=--==212124010a x x x x a ⎧∆=->⎪=⎨⎪+=>⎩2a >()()11221212121211ln ln a x x a x x h x h x x x x x x x -+-+--=--()()()21122112121212ln ln ln ln 2x x a x x x x a x x x x x x x x --+-+-==---()()121220h x h x a x x --+<-1212ln ln 1x x x x -<-121x x = 1201x x <<<1211x x =<1212ln ln 1x x x x -<-22212ln 0x x x -+<1()2ln (1)x x x x xϕ=-+>222222121(1)()10x x x x x x x x ϕ-+---'=--==<(1,)+∞所以函数在上单调递减，故．成立．（3）由（1）知，，即，当时，，，．【点睛】知识点点睛：本题以新定义为载体，考查了利用导数研究函数单调性和最值，考查了不等式的放缩，裂项相消求和知识，属于难题．()x ϕ(1,)+∞()(1)0x ϕϕ<=()()121220h x h x a x x -∴-+<-ln 10x x -+≤ln 1x x ≤-∴1n >22211111ln 1111n n n n n ⎛⎫⎛⎫+<+-=<- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭222111111111ln 1ln 1ln 1111232231n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴++++⋯++<-+-+⋯+-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭222211111111e 234n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+++⋯+< ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭。
2019-2020学年四川省成都外国语学校高三(上)12月月考数学试卷(文科)
2019-2020学年四川省成都外国语学校高三（上）12月月考数学试卷（文科）一、选择题（共12小题；共60分）1. 已知集合M={x|x<12,x∈R}，集合N＝{x|x≥−4, x∈R}，则M∩N＝（）A.{x|x≤12} B.{x|−4≤x<12}C.RD.⌀【答案】B【考点】交集及其运算【解析】利用交集定义直接求解．【解答】∵集合M={x∈R|x<12}，集合N＝{x∈R|x≥−4}，∴M∩N＝{x|−4≤x<12}．2. 在复平面内，复数z所对应的点A的坐标为(3, 4)，则|z|z=()A.4 5−35i B.45+35i C.35−45i D.35+45i【答案】C【考点】复数的运算【解析】首先根据复数z所对应的点为(3, 4)转化出：z＝3+4i，进一步利用复数的模求出结果．【解答】复数z所对应的点A的坐标为(3, 4)，则：z＝3+4i，∴|z|=√32+42=5，∴|z|z =53+4i=5(3−4i)(3+4i)(3−4i)=35−45i，3. 等比数列{a n}的前n项和为S n，若a1+a2+a3＝3，a4+a5+a6＝6，则S12＝（）A.15B.30C.45D.60【答案】C【考点】等比数列的前n项和【解析】等比数列{a n}中，S m，S2m−S m，S3m−S2m也成等比数列，由此利用已知条件能求出S12．【解答】等比数列{a n}中，∵a1+a2+a3＝3，a4+a5+a6＝6，∴a7+a8+a9＝2×6＝12，a10+a11+a12＝2×12＝24，∴S12＝3+6+12+24＝45．4. 有一批种子，对于一颗种子来说，它可能1天发芽，也可能2天发芽，……，如表是不同发芽天数的种子数的记录：A.2B.3C.3.5D.4【答案】B【考点】众数、中位数、平均数【解析】根据中位数的概念可求得．【解答】将这98颗种子发芽天数从左到右按照从小到大的顺序排成一列，=3，可知正中间两颗种子的发芽天数都是3，所以中位数为3+325. 秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入的x＝2，n＝2，则输出的S＝（）A.8B.10C.12D.22【答案】D【考点】程序框图【解析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】模拟程序的运行，可得x＝2，n＝2k＝0，S＝0，a＝2S＝2，k＝1不满足条件k>2，执行循环体，a＝4，S＝8，k＝2不满足条件k>2，执行循环体，a＝6，S＝22，k＝3此时，满足条件k>2，退出循环，输出S的值为22．6. 已知条件p:|x+1|>2，条件q:|x|>a，且q是p的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（）A.0≤a≤1B.1≤a≤3C.a≤1D.a≥3【答案】C【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】利用q是p的必要不充分条件求解即可．【解答】∵p:|x+1|>2，∴x>1或x<−3；∵ ①当a≥0时，q:|x|>a⇒x>a或x<−a，②当a<0时，q:|x|>a⇒x∈R，∵q是p的必要不充分条件；∴p⫋q．∴a<0或{a≥0,a≤1,−a≥−3⇒0≤a≤1，即a≤1．7. 将函数y=√2sin(2x+π4)的图象向右平移π12单位后，所得图象对应的函数解析式为（）A.y=√2sin(2x−512π)B.y=√2sin(2x+512π)C.y=√2sin(2x−π12)D.y=√2sin(2x+π12)【答案】D【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】由题意利用函数y＝Asin(ωx+φ)的图象变换规律，得出结论．【解答】将函数y=√2sin(2x+π4)的图象向右平移π12单位后，所得图象对应的函数解析式y=√2sin(2x−π6+π4)=√2sin(2x+π12)，8. 某几何体的三视图如图所示，其侧视图为等边三角形，则该几何体的体积为（）A.√3π6+2√3 B.π3+4C.√3π12+2√3 D.2π3+4【答案】A【考点】由三视图求体积【解析】由已知中的三视图，我们可以判断出该几何体的形状，及关键数据，代入棱锥体积公式，即可求出答案．【解答】由已知中的三视图可得，该几何体有一个半圆锥和一个三棱柱组合而成，其中半圆锥的底面半径为1，三棱柱的底面是一个边长为2为正方形，他们的高分别为：√3，2则V=13×12×π×√3+√34×22×2=√3π6+2√3．9. 已知实数a，b满足不等式a2+(b−1)2≤1，则点A(1, −1)与点B(−1, −1)在直线ax+by+1＝0的两侧的概率为（）A.3 4B.23C.12D.13【答案】C【考点】几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）【解析】由点A(1, −1)与点B(−1, −1)在直线ax+by+1＝0的两侧，可得(a−b+1)(a+b−1)>0，画出图形，数形结合得答案．【解答】若点A(1, −1)与点B(−1, −1)在直线ax+by+1＝0的两侧，则(a−b+1)(−a−b+1)<0，即(a−b+1)(a+b−1)>0，又实数a，b满足不等式a2+(b−1)2≤1，作出图象如图：由图可知，点A(1, −1)与点B(−1, −1)在直线ax +by +1＝0的两侧的概率为12．10. 正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n ＝a n 2+a n (n ∈N ∗)，设c n ＝(−1)n2a n +12S n ，则数列{c n }的前2020项的和为（ ） A.−20192020 B.−20202019C.−20202021D.−20212020【答案】C【考点】数列递推式 数列的求和 【解析】运用数列的递推式和等差数列的定义和通项公式以及求和公式可得a n ，S n ，再由数列的并项求和，可得所求和． 【解答】因为2S n =a n 2+a n (n ∈N ∗)，a n >0，所以当 n ＝1 时，2S 1=2a 1=a 12+a 1，解得 a 1＝1，当 n ≥2 时，2a n =2(S n −S n−1)=a n 2+a n −(a n−12+a n−1)，化为(a n +a n−1)(a n −a n−1−1)＝0，所以a n −a n−1＝1，所以数列{a n }是等差数列，公差为 1，首项为 1， 所以a n ＝1+(n −1)＝n ，S n =n(n+1)2，所以c n =(−1)n2a n +12S n=(−1)n ⋅2n+1n(n+1)=(−1)n (1n +1n+1)，则数列{c n }的前2020项的和为−(1+12)+(12+13)+...−(12019+12020)+(12020+12021)＝−1+12021=−20202021．11. 设函数f(x)满足xf ′(x)+2f(x)=e xx，f(2)=e 24，则x >0时f(x)( )A.有极大值，无极小值B.有极小值，无极大值C.既有极大值又有极小值D.既无极大值也无极小值 【答案】 B【考点】利用导数研究函数的极值 【解析】根据题意可知，（x 2f(x)）ʹ＝(e x )ʹ，再结合f(2)=e24，所以f(x)=e xx2，再利用导函数即可判断f(x)的极值情况．【解答】由 x 2f ʹ(x)+2xf(x)＝e x ，即（x 2f(x)）ʹ＝(e x )ʹ， 又∵ f(2)=e 24，∴ f(x)=e x x 2，∴ $f"(x) = \frac{e^{x}(x - 2)}{x^{3}}$， 令f ′(x)＝0得：x ＝2，当0<x <2时，f ′(x)<0，f(x)单调递减；当x >2时，f ′(x)>0，f(x)单调递增， ∴ 此函数仅有一个极值点，是极小值点．没有极大值．12. 已知定义在R 上的函数y ＝f(x)对任意的x 都满足f(x +2)＝f(x)，当−1≤x <1时，f(x)＝x 3，若函数g(x)＝f(x)−log a |x|(a >0，且a ≠1)至少有6个零点，则a 的取值范围是（ ） A.(0,15]∪(5,+∞) B.(0,15)∪(5,+∞) C.(17,15]∪(5,7] D.(17,15)∪[5,7)【答案】 A【考点】函数的零点与方程根的关系 【解析】函数g(x)＝f(x)−log a |x|的零点个数即为y ＝f(x)与y ＝log a |x|的图象的交点个数．在同一坐标系中作出函数y =log a |x|={log ax,x >0log a (−x),x <0 的图象，由图象得，要使y ＝f(x)与y ＝log a |x|的图象至少有6个交点，当a >1时log a 5<1；当0<a <1时，log a 5≥−1，求解即可． 【解答】当0<a <1时，log a 5≥−1，解得a >5或0<a ≤15． 故选：A ．二、填空题（共4小题；共20分）已知tan(π+α)＝2，则sin2α＝________． 【答案】45【考点】二倍角的三角函数 【解析】结合诱导公式及二倍角公式即可求解． 【解答】因为 tan(π+α)＝tanα＝2，所以 sin2α=2sinαcosαsin 2α+cos 2α=2tanα1+tan 2α=45，向量a →，b →满足|a →|=2，|b →|=1，且|a →−2b →|∈(2,2√3]，则a →，b →的夹角θ的取值范围是________． 【答案】 (π3,2π3] 【考点】平面向量数量积的性质及其运算根据条件可得出(a →−2b →)2∈(4,12]，然后进行数量积的运算可得出8−8cosθ∈(4, 12]，从而得出cosθ∈[−12,12)，然后根据0≤θ≤π即可得出θ的范围． 【解答】因为 |a →−2b →|∈(2,2√3]，所以 (a →−2b →)2∈(4,12]，且|a →|=2,|b →|=1， ∴ a →2+4b →2−4a →⋅b →=4+4−8cosθ∈(4,12]，∴ cosθ∈[−12,12)，且0≤θ≤π， ∴ θ∈(π3,2π3]．设实数x ，y 满足{2≤x ≤3,1≤y ≤2,x +y ≤4, 则yx−1的最大值为________．【答案】 2【考点】 简单线性规划 【解析】由约束条件作出可行域，再由目标函数yx−1的几何意义，即可行域内的点与定点D(1, 0)连线的斜率求解． 【解答】由实数x ，y 满足{2≤x ≤3,1≤y ≤2,x +y ≤4, 作出可行域如图，联立{x =2x +y =4 ，得A(2, 2)， 由z =yx−1，而k DA =22−1=2． ∴ 目标函数yx−1的最大值为2．在平面直角坐标系xOy 中，过点(0, 1)的直线l 与双曲线3x 2−y 2＝1交于两点A ，B ．若△OAB 是直角三角形，则直线l 的斜率为________． 【答案】 ±1【考点】双曲线的离心率 【解析】讨论若∠AOB ＝90∘，若∠OAB ＝90∘（A 在左支），∠OBA ＝90∘（B 在右支），设处直线l 的方程，联立双曲线方程，可得x 的二次方程，运用韦达定理和两直线垂直的条件，解方程即可得到所求值．（2）若∠OAB＝90∘（A在左支），设A点坐标(m, n)( m<0)，H(0, 1)，则∠OAB＝90∘⇔k OA⋅k AH＝−1⇔nm ⋅n−1m=−1⇔m2+n2−n＝0，联立双曲线方程3m2−n2＝1，可得4n2−3n+1＝0，该方程无解，故不可能出现∠OAB＝90∘(1)(3)若∠OBA＝90∘（B在右支），同理也不可能．综上可得k的取值为±1．故答案为：±1．三、解答题（共5小题；共70分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，bcosC＝acos2B+bcosAcosB．（1）求证：△ABC是等腰三角形；（2）若cosA=78，且△ABC的周长为5，求△ABC的面积．【答案】证明：根据正弦定理，由bcosC＝acos2B+bcosAcosB可得sinBcosC＝sinAcos2B+sinBcosAcosB＝cosB⋅(sinAcosB+sinBcosA)＝cosBsin(A+B)，即sinBcosC＝cosBsinC，故sin(B−C)＝0，由B，C∈(0, π)得B−C∈(−π, π)，故B＝C，所以△ABC是等腰三角形；由（1）知b＝c，cosA=b2+c2−a22bc =2b2−a22b2=78⇒b=2a．又因为△ABC的周长为a+b+c＝5a＝5，得a＝1，b＝2．故△ABC的面积S=12bcsinA=12×2×2×√1−(78)2=√154．【考点】余弦定理【解析】（1）根据题意，由正弦定理对bcosC＝acos2B+bcosAcosB变形可得sinBcosC＝sinAcos2B+sinBcosAcosB＝cosB⋅(sinAcosB+sinBcosA)＝cosBsin(A+B)，进而分析可得sinBcosC＝cosBsinC，即有sin(B−C)＝0，由正弦函数的性质分析可得B＝C，即可得结论；（2）由（1）的结论b＝c，将其代入cosA=b2+c2−a22bc中，分析可得b＝2a，又由△ABC的周长分析可得a、b的值，由三角形面积公式计算可得答案．【解答】证明：根据正弦定理，由bcosC＝acos2B+bcosAcosB可得sinBcosC＝sinAcos2B+sinBcosAcosB＝cosB⋅(sinAcosB+sinBcosA)＝cosBsin(A+B)，即sinBcosC＝cosBsinC，故sin(B−C)＝0，由B，C∈(0, π)得B−C∈(−π, π)，所以△ABC是等腰三角形；由（1）知b＝c，cosA=b2+c2−a22bc =2b2−a22b2=78⇒b=2a．又因为△ABC的周长为a+b+c＝5a＝5，得a＝1，b＝2．故△ABC的面积S=12bcsinA=12×2×2×√1−(78)2=√154．某中学利用周末组织教职员工进行了一次秋季登山健身的活动，有N个人参加，现将所有参加者按年龄情况分为[20, 25)，[25, 30)，[30, 35)，[35, 40)，[40, 45)，[45, 50)，[50, 55)等七组，其频率分布直方图如图所示，已知[25, 30)这组的参加者是6人．（1）根据此频率分布直方图求N；（2）已知[35, 40)和[40, 45)这两组各有2名数学教师，现从这两个组中各选取2人担任接待工作，设两组的选择互不影响，求两组选出的人中恰有1名数学老师的概率．【答案】根据题意，[25, 30)这组频率为0.03×5＝0.15，所以N=60.15=40；[35, 40)这组的参加者人数为0.04×5×40＝8，[40, 45)这组的参加者人数为0.03×5×40＝6，恰有1名数学老师的概率为C21C61⋅C42+C62⋅C21C41C82C62=1635．【考点】古典概型及其概率计算公式频率分布直方图【解析】第一问由题意[25, 30)这组的参加者是6人，可计算出总人数，第二问计算先求出所有情况，再求出满足题意得情况，可计算出概率．【解答】根据题意，[25, 30)这组频率为0.03×5＝0.15，所以N=60.15=40；[35, 40)这组的参加者人数为0.04×5×40＝8，[40, 45)这组的参加者人数为0.03×5×40＝6，恰有1名数学老师的概率为C21C61⋅C42+C62⋅C21C41C82C62=1635．在如图所示的几何体中，△ABC是边长为2的正三角形，AE>1，AE⊥平面ABC，平面BCD⊥平面ABC，BD＝CD，且BD⊥CD．（1）若AE＝2，求证：AC // 平面BDE；（2）若B到DE的距离是√72，求该几何体的体积．【答案】证明：如上左图，取BC、BE、BA的中点，分别为M，N，K．连接DM，DN，DK，MK，∵△ABC是边长为2的正三角形，AE>1，AE⊥平面ABC，平面BCD⊥平面ABC，BD＝CD，且BD⊥CD，AE＝2，∴NK和DM平行且相等，∴DNKM是平行四边形．∴DN // MK // AC，∵AC平面BDE，DN⊂平面BDE，∴AC // 平面BDE．如上中图，由题意得AB⊥面AMED，∴该几何体的体积V＝V锥B−AEDM+V锥C−AEDM=13S EAMD(MB+MA)，∴核心是求S−EAMD，如上右图，在EAMD平面内，过M点做直线ED的垂线，垂足是T，连接MT，则BT⊥ED，∴BT=√72，∵MB＝1，MD＝1，∴MT=√32，∠TDM＝60∘，∴AE＝2，∴SEAMD =3√32，∴该几何体的体积V＝V锥B−AEDM +V锥C−AEDM=13S EAMD(MB+MA)=13×3√32×2=√3．【考点】柱体、锥体、台体的体积计算直线与平面平行【解析】（1）取BC、BE、BA的中点，分别为M，N，K．连接DM，DN，DK，MK，推导出DNKM是平行四边形．从而DN // MK // AC，由此能证明AC // 平面BDE．（2）推导出AB⊥面AMED，该几何体的体积V＝V锥B−AEDM+V锥C−AEDM，由此能求出结果．【解答】证明：如上左图，取BC、BE、BA的中点，分别为M，N，K．连接DM，DN，DK，MK，∵△ABC是边长为2的正三角形，AE>1，AE⊥平面ABC，平面BCD⊥平面ABC，BD＝CD，且BD⊥CD，AE＝2，∴NK和DM平行且相等，∴DNKM是平行四边形．∴DN // MK // AC，∵AC平面BDE，DN⊂平面BDE，∴AC // 平面BDE．如上中图，由题意得AB⊥面AMED，∴该几何体的体积V＝V锥B−AEDM+V锥C−AEDM=13S EAMD(MB+MA)，∴核心是求S−EAMD，如上右图，在EAMD平面内，过M点做直线ED的垂线，垂足是T，连接MT，则BT⊥ED，∴BT=√72，∵MB＝1，MD＝1，∴MT=√32，∠TDM＝60∘，∴AE＝2，∴SEAMD =3√32，∴该几何体的体积V＝V锥B−AEDM +V锥C−AEDM=13S EAMD(MB+MA)=13×3√32×2=√3．已知椭圆C:x2a +y2b(a>b>0)的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，离心率为√22，△ABF的面积为√2+1．（1）求椭圆C的方程；（2）若M，N为y轴上的两个动点，且MF⊥NF，直线AM和AN分别与椭圆C交于E，D两点．若O是坐标原点，求证：E、O、D三点共线．【答案】依题意：e=ca =√22，a=√2c，b＝c，由S△ABF=12(a+c)b=12(√2+1)c2=√2+1，所以c2＝2＝b2，a2＝4，所以椭圆方程：x24+y22=1．证明：设直线AM的方程l AM:y=m2x+m与x2+2y2＝4交于A(−2, 0)，E(x1, y1)，联立{y=m2(x+2),x2+2y2=4⇒(1+m22)x2+2m2x+2m2−4=0，解得x1=4−2m2m2+2，y1=4mm2+2，设直线AN的方程l AN:y=n2x+n与x2+2y2＝4交于A(−2, 0)，D(x2, y2)，同理可得D(4−2n2n2+2,4nn2+2)，所以k OE=4mm2+24−2m2m2+2=4m4−2m2，所以k OD=4n4−2n2=4(−2m)4−2×4m2=−8m4−8m2=−8m4m2−8=4m4−2m2=k OE，所以E，O，D三点共线．从而ED恒过定点O．【考点】椭圆的应用直线与椭圆的位置关系【解析】（1）根据题椭圆的离心率即三角形的面积公式，即可求得a和b，求得椭圆方程；（2）强直线AM和AN的方程代入椭圆方程，求得E和D点坐标，求得直线k OD＝k OE，即可求得E、O、D三点共线．【解答】依题意：e=ca =√22，a=√2c，b＝c，由S△ABF=12(a+c)b=12(√2+1)c2=√2+1，所以c2＝2＝b2，a2＝4，所以椭圆方程：x24+y22=1．证明：设直线AM的方程l AM:y=m2x+m与x2+2y2＝4交于A(−2, 0)，E(x1, y1)，联立{y=m2(x+2),x2+2y2=4⇒(1+m22)x2+2m2x+2m2−4=0，解得x1=4−2m2m2+2，y1=4mm2+2，设直线AN的方程l AN:y=n2x+n与x2+2y2＝4交于A(−2, 0)，D(x2, y2)，同理可得D(4−2n2n2+2,4nn2+2)，所以k OE=4mm2+24−2m2m2+2=4m4−2m2，所以k OD=4n4−2n2=4(−2m)4−2×4m2=−8m4−8m2=−8m4m2−8=4m4−2m2=k OE，所以E，O，D三点共线．从而ED恒过定点O．已知称函数f(x)是“有趣的”，如果其满足f(x)＝f(1x)且x＝1是它的零点．例如g(x)＝lnx⋅ln1x就是“有趣的”．已知ℎ(x)＝ln(x2+c)−ln(bx)是“有趣的”．（1）求出b、c并求出函数ℎ(x)的单调区间；（2）若对于任意正数x，都有ℎ(x)+kg(x)≤0恒成立，求参数k的取值范围．【答案】由于ℎ(x)＝ln(x2+c)−ln(bx)是“有趣的”，∴ℎ(x)＝ℎ(1x)且x＝1是它的零点；∴ln(x2+c)−ln(bx)＝ln(1x2+c)−ln bx且ℎ(1)＝ln(1+c)−lnb＝0；∴ lnx 2+c bx=ln1+cx 2bx且1+c ＝b ；解得，b ＝2，c ＝1．∴ ℎ(x)＝ln(x 2+1)−ln2x ，故ℎ(x)的定义域为(0, +∞)， ℎ′(x)=2xx +1−1x =(x+1)(x−1)x(x +1)；∵ x >0，当0<x <1时，ℎ′(x)<0，∴ ℎ(x)在(0, 1)为单减区间， 当x >1时，ℎ′(x)>0，∴ ℎ(x)在(1, +∞)为单增区间．引理：y −1≥lny 对于任意正数y 都成立；证明：设f(y)＝y −1−lny ，y >0；则f ′(y)＝1−1y =y−1y，当<y <1时，f ′(y)<0，f(y)单调递减；当y >1时，f ′(y)>0，f(y)单调递增； ∴ 当y ＝1时，f(y)有极小值，也是最小值，且f(1)＝0；∴ f(y)≥0对于任意正数y 都成立；即y −1≥lny 对于任意正数y 都成立； 对于任意正数x ，都有ℎ(x)+kg(x)≤0恒成立，即k(lnx)2−ln x 2+12x≥0恒成立．我们构造函数F(x)＝k(lnx)2−ln x 2+12x．注意到F(1)＝0．F ′(x)＝2klnx x+1−x 2x(x 2+1)=1x(x 2+1)[k(x 2+1)lnx 2+1−x 2]；构造G(t)＝k(t +1)lnt −t +1，注意到G(1)＝0，且F ′(x)=1x(x 2+1)G(x 2)； G ′(t)＝klnt +k +k t −1＝k(1t −1−ln 1t )+2k −1； 我们以下分两部分进行说明：第一部分：k ≥12时，F(x)≥0恒成立．k ≥12，由y −1≥lny ，知道G ′(t)＝k(1t −1−ln 1t )+2k −1≥0， 从而当t ≥1时有G(t)≥G(1)＝0，t ≤1时，有G(t)≤G(1)＝0， 所以F ′(x)=1x(x 2+1)G(x 2)在(0, 1)上为负，在(1, +∞)上为正．从而F(x)在(0, 1)上单减，在(1, +∞)上单增，最小值为F(1)，从而k ≥12时，F(x)≥0恒成立．第二部分：k <12时，不满足条件．构造函数H(s)＝k(s −1−lns)+2k −1．(i)若k ≤0，则对于任意s ∈(0, 1)，都有H(s)<0． (ii)若k >0，则对于任意s ∈(0, 1)，H ′(s)=ks (s −1)<0， 而ℎ(e −1k )＝k(e −1k +1)>0，所以在(0, 1)上H(s)有唯一零点s ＝s 0， 同时在s ∈(s 0, 1)，时都有H(s)<0．于是只要k <12，无论是(i)还是(ii)，我们总能找到一个实数0<s 0<1，在s ∈(s 0, 1)时都有H(s)<0．这样在t ∈(1, 1s 0)时，都有G ′(t)＝H(1t )<0，结合G(1)＝0，所以t ∈(1, 1s 0)时G(t)<0，从而在x ∈√s )时有F ′(x)=1x(x 2+1)G(x 2)<0．F(1)＝0， 所以x ∈s )时F(x)<0，不满足要求． 【考点】函数恒成立问题 【解析】（1）根据给出的定义，ℎ(x)满足ℎ(x)＝ℎ(1x )且x ＝1是它的零点，列出方程，解出b ，c 的值，求导，得出ℎ(x)的单调区间即可；（2）对于任意正数x ，都有ℎ(x)+kg(x)≤0恒成立，等价于k(lnx)2−ln x 2+12x ≥0恒成立．我们构造函数F(x)＝k(lnx)2−lnx 2+12x．注意到F(1)＝0，F ′(x)＝2klnx x+1−x 2x(x 2+1)=1x(x 2+1)[k(x 2+1)lnx 2+1−x 2]；构造G(t)＝k(t +1)lnt −t +1，注意到G(1)＝0，且F ′(x)=1x(x 2+1)G(x 2)；G ′(t)＝klnt +k +kt −1＝k(1t −1−ln 1t )+2k −1；分k ≥12时和k <12时两部分进行说明：F(x)≥0恒成立即可． 【解答】由于ℎ(x)＝ln(x 2+c)−ln(bx)是“有趣的”， ∴ ℎ(x)＝ℎ(1x )且x ＝1是它的零点； ∴ ln(x 2+c)−ln(bx)＝ln(1x 2+c)−ln bx且ℎ(1)＝ln(1+c)−lnb ＝0； ∴ lnx 2+c bx=ln1+cx 2bx且1+c ＝b ；解得，b ＝2，c ＝1．∴ ℎ(x)＝ln(x 2+1)−ln2x ，故ℎ(x)的定义域为(0, +∞)， ℎ′(x)=2xx 2+1−1x =(x+1)(x−1)x(x 2+1)；∵ x >0，当0<x <1时，ℎ′(x)<0，∴ ℎ(x)在(0, 1)为单减区间， 当x >1时，ℎ′(x)>0，∴ ℎ(x)在(1, +∞)为单增区间．引理：y −1≥lny 对于任意正数y 都成立；证明：设f(y)＝y −1−lny ，y >0；则f ′(y)＝1−1y =y−1y，当<y <1时，f ′(y)<0，f(y)单调递减；当y >1时，f ′(y)>0，f(y)单调递增； ∴ 当y ＝1时，f(y)有极小值，也是最小值，且f(1)＝0；∴ f(y)≥0对于任意正数y 都成立；即y −1≥lny 对于任意正数y 都成立； 对于任意正数x ，都有ℎ(x)+kg(x)≤0恒成立，即k(lnx)2−ln x 2+12x≥0恒成立．我们构造函数F(x)＝k(lnx)2−lnx 2+12x．注意到F(1)＝0．F ′(x)＝2klnx x+1−x 2x(x 2+1)=1x(x 2+1)[k(x 2+1)lnx 2+1−x 2]；构造G(t)＝k(t +1)lnt −t +1，注意到G(1)＝0，且F ′(x)=1x(x 2+1)G(x 2)； G ′(t)＝klnt +k +k t −1＝k(1t −1−ln 1t )+2k −1； 我们以下分两部分进行说明：第一部分：k ≥12时，F(x)≥0恒成立．k ≥12，由y −1≥lny ，知道G ′(t)＝k(1t −1−ln 1t )+2k −1≥0，从而当t ≥1时有G(t)≥G(1)＝0，t ≤1时，有G(t)≤G(1)＝0， 所以F ′(x)=1x(x 2+1)G(x 2)在(0, 1)上为负，在(1, +∞)上为正．从而F(x)在(0, 1)上单减，在(1, +∞)上单增，最小值为F(1)，从而k ≥12时，F(x)≥0恒成立．第二部分：k <12时，不满足条件．构造函数H(s)＝k(s −1−lns)+2k −1．(i)若k ≤0，则对于任意s ∈(0, 1)，都有H(s)<0． (ii)若k >0，则对于任意s ∈(0, 1)，H ′(s)=ks (s −1)<0， 而ℎ(e −1k )＝k(e −1k +1)>0，所以在(0, 1)上H(s)有唯一零点s ＝s 0， 同时在s ∈(s 0, 1)，时都有H(s)<0．于是只要k <12，无论是(i)还是(ii)，我们总能找到一个实数0<s 0<1，在s ∈(s 0, 1)时都有H(s)<0．这样在t ∈(1, 1s 0)时，都有G ′(t)＝H(1t )<0，结合G(1)＝0，所以t ∈(1, 1s 0)时G(t)<0，从而在x ∈s )时有F ′(x)=1x(x 2+1)G(x 2)<0．F(1)＝0， 所以x ∈√s )时F(x)<0，不满足要求．请考生在22，23题中任选择一题作答，并在答题卡上把所选题目后的方框涂黑．在平面直角坐标系下，直线l:{x =1+√22t y =√22t（t 为参数），以原点O 为极点，以x 轴为非负半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ−4cosθ＝0．(Ⅰ)写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； (Ⅱ)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求|AB|的值． 【答案】（1）直线l 的普通方程为x −y −1＝0，由ρ−4cosθ＝0⇔ρ2−4ρcosθ＝0⇔x 2+y 2−4x ＝0⇔(x −2)2+y 2＝4， 即曲线C 的直角坐标方程为(x −2)2+y 2＝4，（2）把直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程得(√22t −1)2+(√22t)2=4，即t 2−√2t −3=0，设方程t 2−√2t −3=0的两根分别为t 1，t 2，则|AB|=|t 1−t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=√14． 【考点】圆的极坐标方程参数方程与普通方程的互化 【解析】(Ⅰ)消去参数得到直线l 的普通方程，利用ρ2−4ρcosθ＝0，得出曲线C 的直角坐标方程；(Ⅱ)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，利用参数的几何意义求|AB|的值． 【解答】（1）直线l 的普通方程为x −y −1＝0，由ρ−4cosθ＝0⇔ρ2−4ρcosθ＝0⇔x 2+y 2−4x ＝0⇔(x −2)2+y 2＝4， 即曲线C 的直角坐标方程为(x −2)2+y 2＝4，（2）把直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程得(√22t −1)2+(√22t)2=4，即t 2−√2t −3=0，设方程t 2−√2t −3=0的两根分别为t 1，t 2，则|AB|=|t 1−t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=√14．已知函数f(x)＝|x|(x ∈R)．(Ⅰ)求不等式f(x −1)+f(x +1)≤4的解集M ； (Ⅱ)若a ，b ∈M 证明：2f(a +b)≤f(ab)+4． 【答案】（1）由f(x −1)+f(x +1)≤4可得|x −1|+|x +1|≤4， 即{x −1+x +1≤4x ≥1 或{1−x −x −1≤4x ≤−1 或{1−x +x +1≤4−1<x <1， 解得：−2≤x ≤2．即不等式的解集M:{x|−2≤x ≤2}．（2）要证2f(a +b)≤f(ab)+4，即证2|a +b|≤|ab|+4， ∵ |a|+|b|≥|a +b|，只需证2|a|+2|b|≤|ab|+4，即证(|a|−2)(|b|−2)≥0， 由(Ⅰ)可知|a|≤2，|b|≤2，显然上式显然成立，故原命题得证． 【考点】绝对值不等式的解法与证明 不等式的证明 【解析】（I ）讨论x 的范围，去绝对值符号化简，再解不等式；(II)利用分析法和绝对值三解不等式寻求使结论成立的充分条件即可得出证明． 【解答】（1）由f(x −1)+f(x +1)≤4可得|x −1|+|x +1|≤4， 即{x −1+x +1≤4x ≥1 或{1−x −x −1≤4x ≤−1 或{1−x +x +1≤4−1<x <1 ， 解得：−2≤x ≤2．即不等式的解集M:{x|−2≤x≤2}．（2）要证2f(a+b)≤f(ab)+4，即证2|a+b|≤|ab|+4，∵|a|+|b|≥|a+b|，只需证2|a|+2|b|≤|ab|+4，即证(|a|−2)(|b|−2)≥0，由(Ⅰ)可知|a|≤2，|b|≤2，显然上式显然成立，故原命题得证．。
四川省成都外国语学校20212021学年高二英语12月月考试题
成都外国语学校2021-2021学年度上学期12月月考高二英语试卷注意事项:1.试题分第Ｉ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部份。
2.满分150分，考试时间120 分钟。
3.答题前，考生务必将自己的姓名、考号准确无误地填写，填涂在答题卡规定的位置上；利用2B铅笔填涂。
4.考试结束后将答题卡交回，不得折叠、损毁答题卡。
第Ｉ卷（选择题共70分）第一部份阅读理解（共两节，满分40分）第一节（共15小题；每小题2分，满分30分）阅读下列短文，从每题所给的四个选项（A、B、C和D）当选出最佳选项，并在答题卡上将该项涂黑。
AThere are many weird sports that are present from around the world. From each region of the world, along with the very popular common sports, there are also those really popular but very weird kinds of sports.The Ultimate Test between Man and Horse:This indeed a very strange kind of sport that tests your stamina. You will learn how to be agiler while competing against a horse. This game originated in Welsh town of Llanwrtyd Wells. This sport really has to do with strength. You will require great agility and strength in order to take part in this. Marathon human contestantsare put to test against those mounted on horses. This is how the marathon testing takes place.Love Locked RaceThis is a sports event that was first introduced in Finland. This is all about a male competitor racing with a female in a certain way. There would be many obstructions and blocks on the way which would definitely bring you challenges. The person to win would have to finish the race without losing his female partner in the course of overcoming the obstacles even for once. This race takes place really fast and the obstacles are set that way.Toe sportThis is yet another weird sport that welcomes you to use your toes. This is quite the same kind of sport that you used to play as a child which involved toe wrestling. This has now been turned into a major sport that even has a World Toe Wrestling Competition. It first originated in a pub of Derbyshire.The locals took this sport with great enjoyment and then made this so popular that it soon had its own championship. The individuals who participate have only got to use their feet in locks but then this is tougher than it may sound.The Mud Pit Belly FlopThis is a kind of game where even the spectators get splashed in mud but in fact that is quite the fun. The very annual Summer Redneck Games in East Dublin brings about this game and brings about some of the greatest hubcap discus throws with it. This is also a great sport to show the strength and dexterity of your feet.1. Which sport requires couples to participate?A. The Ultimate Test between Man and HorseB. Love Locked RaceC. Toe sportD. The Mud Pit Belly Flop2. Which statement shows the popularity of the Toe Sport?A. It first originated in a pub of Derbyshire.B. The locals took this sport with great enjoyment.C. It has a World Toe Wrestling Competition.D. Even kids are fond of the sport.3. What kind of people are likely to take part in the Ultimate Test between Man and Horse?A. People with agility and strengthB. People with companionsC. Marathon runnersD. Horse ridersBThe evidence for harmony may not be obvious in some families. But it seems that four out of five young people now get on with their parents, which is the opposite of the popularly held image of unhappy teenagers locked in their room after endless family quarrels.An important new study into teenage attitudes surprisingly shows that their family life is more harmonious than it has ever been in the past.” We were surprised by just how positive today’s young people seen to be about their families,” said one member of the research team. “They’re expected to be r ebellious(叛逆的) and selfish but actually they have other things on their minds; they want a car and material goods, and they worry about whether school is serving them well. There’s more negotiation and discussion between parents and children, and children expectto take part in the family decision-making process. They don’t want to rock the boat.”So it seems that this generation of parents is much more likely than parents of 30 years ago to treat their children as friends. “My parents are happy to discuss things with me and willing to listen to me,” says 17-years-old Daniel Lazall. “I always tell them when I’m going out clubbing. As long as they know what I’m doing, they’re fine with it.” Susan Crome, who is now 21,agrees.”Looking back on the last 10 years, there was a lot of what you could call negotiation. For example, as long as I’d done all my homework, I could go out on a Saturday night. But I think my grandparents were a lot stricter with my parents than that.”Maybe this positive view of family life should not be unexpected. It is possible that the idea of teenagers’ rebellion is not rooted in real facts. A researcher comments, “Our surprise that teenagers say they get along well with their parents comes because of a brief period in our social history when teenagers were regarded as different beings. But that idea of rebelling and breaking away from their parents really only happened during that one time in the 1960s when everyone rebelled. The normal situation throughout history has been a smooth change from helping out with the family business to taking it over.”4. The study shows that teenagers don’t want to ___A. share family responsibilityB. cause trouble in their familiesC. go boating with their familyD. make family decisions5. Compared with parents of 30 years ago, today’s parents___.A. go to clubs more often with their childrenB. are much stricter with their childrenC. care less about their children’s lifeD. give their children more freedom6. According to the author, teenage rebellion____.A. may be a false beliefB. is common nowadaysC. existed only in the 1960sD. resulted from changes in families7. Which title best gives the main idea of the passage?A. Discussion in family.B. Teenage education in family.C. Harmony in family.D. Teenage trouble in family.CThe days of the hunter are almost over in India. This is partly because there is practically nothing left to kill, and partly because some steps have been taken, mainly by banning tiger-shooting, to protect those animals which still survive.Some people say that Man is naturally a hunter. I disagree with this view. Surely our earliest forefathers, who at first possessed no weapons, spent their time digging for roots, and were no doubt themselves often hunted by meat-eating animals.I believe the main reason why the modern hunter kills is that he thinks people will admire his courage in overpowering dangerous animals. Of course, there are somewho truly believe that the killing is not really the important thing, and that the chief pleasure lies in the joy of the hunt and the beauties of the wild countryside. There are also those for whom hunting in fact offers a chance to prove themselves and risk death by design; these men go out after dangerous animals like tigers, even if they say they only do it to rid the countryside of a threat. I can respect reasons like these, but they are clearly different from the need to strengthen your high opinion of yourself.The greatest big-game hunters expressed in their writings something of these finer motives. One of them wrote.“You must properly respect what you are after and shoot it cleanly and on the animal’s own territory(领地)。
四川省成都外国语学校2020-2021学年高二12月月考数学(理)试题 Word版含答案
成都外国语学校2020——2021学年度上期第三次月考考试高二数学试卷（理科）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
2．本堂考试120分钟，满分150分。
3．答题前，考生务必将自己的姓名、学号填写在答题卡上，并用2B 铅笔填涂。
4．考试结束后，将答题卡交回。
第Ⅰ卷 选择题（共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案填在答题卡对应题号的位置上．） 1．命题“0x ∀>，11ln x x-≤”的否定是（ ） A ．0x ∀>，11ln x x-> B ．00x ∃>，0011ln x x -> C ．00x ∃>，0011ln x x -≤ D ．00x ∃≤，()0011ln x x -≤- 2．已知点(4,1,3)A ，(2,5,1)B -，若13AC AB =，则点C 的坐标为（ ） A ．715,,222⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．107,1,33⎛⎫-⎪⎝⎭C ．573,,222⎛⎫-⎪⎝⎭ D ．3,3,28⎛⎫- ⎪⎝⎭3．若双曲线2221x y a-=（a ＞0）的一条渐近线方程为12y x =-，则其离心率为（ ）A．2B ．2 CD4.直线l ：x ＋y －2＝0与圆O ：x 2＋y 2＝4交于A ，B 两点，O 是坐标原点，则∠AOB 等于（ ） A 、6π B 、4π C 、3π D 、2π 5．设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A ．若//m α，//n α，则 //m n B ．若 //αβ，m α⊂，n β⊂，则 //m n C ．若 m α⊥，m n ⊥，则 //n α D ．若 m α⊥，//m n ，βn//，则 αβ⊥6．过点(1,0) 与双曲线 x 24−y 2=1 仅有一个公共点的直线有 ( )A. 1 条B. 2 条C. 3 条D. 4 条7．在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，且AB BC CD ==，则异面直线AC 与BD 所成角的正弦值为（ ）A ．12B ．14-C ．3D ．38．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直，体积为94，底面是边长为3的正三角形，若P 为底面111A B C 的中心，则面PAC 与平面ABC 所成角正切值的大小为（ ） A ．√33B ．√32C ．√3D ． 2√39．已知双曲线2213y x -=的离心率为2m ，且抛物线2y mx =的焦点为F ，点()02,P y （00y >）在此抛物线上，M 为线段PF 的中点，则点M 到该抛物线的准线的距离为（ ） A ．52 B ．2 C ．32D ．1 10、已知⊙O ：225x y +=与⊙O 1：222()(0)x a y r a -+=>相交于A 、B 两点，若两圆在A 点处的切线互相垂直，且｜AB ｜=4，则⊙O 1的方程为（ ） A 、22(4)x y -+＝20 B 、22(4)x y -+＝50C 、22(5)x y -+＝20D 、22(5)x y -+＝5011、已知圆锥的顶点为S O ,为底面中心，A B C ,,为底面圆周上不重合的三点，AB 为底面的直径，SA AB =，M 为SA 的中点设直线MC 与平面SAB 所成角为α，则sin α的最大值为（ ）A. 31-B.43 C.55 D.1412．过抛物线24y x =焦点的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，与圆()2221x y r -+=交于C ，D 两点，若有三条直线满足AC BD =，则r 的取值范围为（ ）A ．3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．()2,+∞C ．31,2⎛⎫⎪⎝⎭D ．3,22⎛⎫⎪⎝⎭第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．）13．已知条件1:2p a >且12b >， :1q a b +>，则p 是q 的___________条件.（填：充分不必要、 必要不充分、 充要、既不充分又不必要）14．设1F ，2F 是椭圆C ：221123x y +=的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且3OP =，则12PF F △的面积为__________________15．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点E ，F ，G 分别为棱AB ，1AA ，11C D 的中点，下列结论中，其中正确的命题____________（填序号）①过E ，F ，G 三点作正方体的截面，所得截面为正六边形； ②11//B D 平面EFG ；③四面体11ACB D 的体积等于4316、已知椭圆C ：221(4)4x y m m m +=>-的右焦点为F ，点A （一2，2)为椭圆C 内一点。
四川省成都外国语学校2019-2020学年高二5月月考数学(文)试题 Word版含解析
成都外国语学校2019-2020下期高2018级5月月考卷高二数学（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数12312z bi z i =-=-，，若12z z 是实数，则实数b 的值为 ( ) A. 0 B. 32-C. 6D. 6-【答案】C 【解析】试题分析：()()()()1231232631255bi i b b i z bi R z i -+++--===∈-,所以606b b -=⇒=.故C 正确. 考点：复数的运算.2. 命题“[]1,3x ∀∈-，2320x x -+≤”的否定为（ ）A. []01,3x ∃∈-，200320x x -+>B. []1,3x ∀∉-，2320x x -+>C. []1,3x ∀∈-，2320x x -+>D. []01,3x ∃∉-，200320x x -+>【答案】A 【解析】 【分析】根据全称命题与特称命题之间的关系求解. 【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“[]1,3x ∀∈-，2320x x -+≤”的否定为“[]01,3x ∃∈-，200320x x -+>”．故选A ．【点睛】本题考查全称命题和特称命题的否定，属于基础题. 3. 曲线ln y x x = 在点(,)M e e 处的切线方程为 A. 2y x e =+ B. 2y x e =-C. y x e =+D. y x e =- 【答案】B 【解析】 【分析】先对曲线求导，再根据点斜式写出切线方程即可 【详解】由ln '1ln y x x y x =⇒=+，1ln 2x ey e ='=+=，所以过点(,)M e e 切线方程为()22y x e e x e =-+=-答案选B【点睛】本题考查在曲线上某一点()00,x y 切线方程的求法，相对比较简单，一般解题步骤为：先求曲线()f x 导数表达式()'f x ，求出()0'f x ，最终表示出切线方程()()000'y f x x x y =-+4. 已知双曲线22122:1x y C a b -=(0,0)a b >>以椭圆222:143x y C +=的焦点为顶点，左右顶点为焦点，则1C 的渐近线方程为( ) 30x y ±=B. 30x ±=C. 230x =D.320x y ±=【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件求出,a b 值，即可求解.【详解】由题意知1C 的焦点坐标为(20)，顶点为(1,0)±， 30x y ±=. 故选:A.【点睛】本题考查双曲线的标准方程，以及简单的几何性质，属于基础题. 5. 执行如图所示的程序框图，则输出的n 值是（ ）A. 5B. 7C. 9D. 11【答案】C 【解析】 【分析】根据程序框图列出算法循环的每一步，结合判断条件得出输出的n 的值. 【详解】执行如图所示的程序框图如下：409S =≥不成立，11S 133==⨯，123n =+=； 1439S =≥不成立，1123355S =+=⨯，325n =+=； 2459S =≥不成立，2135577S =+=⨯，527n =+=；3479S =≥不成立，3147799S =+=⨯，729n =+=.4499S =≥成立，跳出循环体，输出n 值为9，故选C.【点睛】本题考查利用程序框图计算输出结果，对于这类问题，通常利用框图列出算法的每一步，考查计算能力，属于中等题.6. 已知命题:p 若直线l 与抛物线C 有且仅有一个公共点，则直线l 与抛物线C 相切，命题:q 若5m >，则方程22131x y m m +=-+表示椭圆.下列命题是真命题的是（ ）A. ()p q ∨⌝B. ()p q ⌝∧C. p q ∧D.()()p q ⌝∧⌝【答案】B 【解析】 【分析】若直线与抛物线的对称轴平行，满足条件，此时直线与抛物线相交，可判断命题P 为假；当5m >时，130m m +>->，命题Q 为真，根据复合命题的真假关系，即可得出结论.【详解】若直线与抛物线的对称轴平行，直线与抛物线只有一个交点， 直线与抛物不相切，可得命题p 是假命题， 当5m >时，130m m +>->，方程22131x y m m +=-+表示椭圆命题q 是真命题， 则()p q ⌝∧是真命题. 故选:B.【点睛】本题考查复合命题真假的判断，属于基础题.7. 某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒，若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为（ ） A.710B.58C. 38D.310【答案】B 【解析】试题分析：因为红灯持续时间为40秒,所以这名行人至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为40155408-=，故选B. 【考点】几何概型【名师点睛】对于几何概型的概率公式中的“测度”要有正确的认识，它只与大小有关，而与形状和位置无关，在解题时，要掌握“测度”为长度、面积、体积、角度等常见的几何概型的求解方法．8. 阿基米德（公元前287年—公元前212年），伟大的古希腊哲学家、数学家和物理学家，他死后的墓碑上刻着一个“圆柱容球”的立体几何图形，为纪念他发现“圆柱内切球的体积是圆柱体积的23，且球的表面积也是圆柱表面积的23”这一完美的结论.已知某圆柱的轴截面为正方形，其表面积为24π，则该圆柱的内切球体积为( ) A.43π B. 16πC.163π D.323π 【答案】D 【解析】 【分析】设圆柱的底面半径为r ,则其母线长为2l r =,由圆柱的表面积求出r ,代入圆柱的体积公式求出其体积,结合题中的结论即可求出该圆柱的内切球体积. 【详解】设圆柱的底面半径为r ,则其母线长为2l r =, 因为圆柱的表面积公式为2=22S r rl ππ+圆柱表， 所以222224r r r πππ+⨯=,解得2r,因为圆柱的体积公式为2=2V Sh r r π=⋅圆柱, 所以3=22=16V ππ⨯⨯圆柱,由题知,圆柱内切球的体积是圆柱体积的23， 所以所求圆柱内切球的体积为2232=16=333V V ππ=⨯圆柱.故选:D【点睛】本题考查圆柱的轴截面及表面积和体积公式;考查运算求解能力;熟练掌握圆柱的表面积和体积公式是求解本题的关键;属于中档题.9. 直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2222x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是A. []26，B. []48，C. 232D.2232⎡⎤⎣⎦【答案】A【解析】分析：先求出A ，B 两点坐标得到AB ，再计算圆心到直线距离，得到点P 到直线距离范围，由面积公式计算即可详解： 直线x y 20++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点()()A 2,0,B 0,2∴--,则AB 22=点P 在圆22x 22y -+=（）上∴圆心为（2，0），则圆心到直线距离1202222d ++==故点P 到直线x y 20++=的距离2d 的范围为2,32⎤⎦则[]22122,62ABPSAB d d ==∈ 故答案选A.点睛：本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题．10. 函数()219ln 2f x x x =-，在区间[]1,1m m -+上单调递减，则实数m 的取值范围是（ ） A. 2m ≤B. 4m ≥C. 12m <≤D.03m <≤【答案】C 【解析】 【分析】先求得导函数，根据函数单调递减可知()0f x '≤在区间[]1,1m m -+上恒成立，即可由定义域及不等式求得m 的取值范围. 【详解】函数()219ln 2f x x x =-，()0x >. 则()299x f x x x x-'=-=，因为()f x 在区间[]1,1m m -+上单调递减，则()0f x '≤在区间[]1,1m m -+上恒成立，即290x -≤， 所以03x <≤在区间[]1,1m m -+上恒成立，所以1013m m ->⎧⎨+≤⎩，解得12m <≤，故选：C.【点睛】本题考查了函数单调性与导函数关系，由函数单调性确定参数的取值范围，属于基础题.11. 已知1F ，2F 分别为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，以12F F 为直径的圆与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为M ，N ，设四边形12F NF M 的周长为p ，面积为S ，且满足232S p =，则该双曲线的离心率为（ ）A.32363【答案】C 【解析】 【分析】由122MF MF a -=，122p MF MF +=可得14p MF a =+，24pMF a =-，然后22124p S MF MF a ⎛⎫=⋅=- ⎪⎝⎭，即2232p a =，又由2221212MF MF F F +=可得222248p a c +=，然后可得2232a c =，然后即可求出e .【详解】由题意可得，122MF MF a -=，122pMF MF +=， 联立两个方程可得，14p MF a =+，24pMF a =-， 又12F F 为直径，所以四边形12F NF M 为矩形，所以22124p S MF MF a ⎛⎫=⋅=- ⎪⎝⎭，即222324p p a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即2232p a =，高考资源网（ ） 您身边的高考专家由2221212MF MF F F +=，得222248p a c +=，即2232a c =，所以22232c e a ==，即62e =.故选：C .【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质、圆的性质的综合应用，考查的核心素养是数学运算、逻辑推理.12. 定义在R 上的函数()f x 满足'()()2(xf x f x e e -<为自然对数的底数），其中'()f x 为()f x 的导函数，若2(2)4f e =，则()2x f x xe >的解集为（ ） A. (),1-∞ B. ()1,+∞C. (),2-∞D. ()2,+∞【答案】C 【解析】 【分析】 由()2x f x xe ＞，以及()()2xf x f x e -'＜，联想到构造函数()()2x f x g x x e=-，所以()2x f x xe ＞等价为()(2)g x g >，通过导数求()g x 的单调性，由单调性定义即可得出结果．【详解】设()()2x f x g x x e =-，()2x f x xe ＞等价为()(2)g x g >， ()()()20xf x f xg x e'-'=-<，故()g x 在R 上单调递减，所以()(2)g x g >，解得2x <， 故选C ．【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性的问题，利用单调性定义解不等式，如何构造函数是解题关键，意在考查学生数学建模能力．非选择题部分（共90分）二、填空题本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 在复平面内，与复数11i+对应的点位于第_____象限. 【答案】四【解析】 【分析】()()111111122i i i i i -==-++-，然后即可得出答案. 【详解】因为()()111111122i i i i i -==-++-，所以其对应的点为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，位于第四象限 故答案为：四 【点睛】本题考查的是复数的计算及其几何意义，较简单.14. 已知函数()ln 1f x x x =--，则()f x 的单调递增区间为______．【答案】()0,1 【解析】 【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的递增区间即可． 【详解】解：()f x 的定义域是()0,+∞，()11'1x f x x x-=-=， 令()'0f x >，解得：1x <， 故()f x 在()0,1递增， 故答案为()0,1．【点睛】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道基础题．15. 已知11,1()4ln ,1x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，则方程()f x ax =恰有2个不同的实根，实数a 取值范围__________________. 【答案】11[,)4e【解析】 【分析】采用数形结合，先计算直线直线y ax =与曲线ln y x =相切时，a 的值，然后讨论114a e≤<，10,4<<a14a<<的情况，最后判断可得结果.【详解】作出函数()y f x=的图象如图所示：先考虑直线y ax=与曲线lny x=相切时，a的取值，设切点为(,ln)t t，对函数lny x=求导得1yx'=，切线方程为1ln()y t x tt-=-，即1ln1y x tt=+-，则有1ln10att⎧=⎪⎨⎪-=⎩，解得1t eae=⎧⎪⎨=⎪⎩，由图象可知，当1ae=时，直线y ax=与函数()y f x=在(,1]-∞上的图象没有公共点，在(1,)+∞有一个公共点，不合乎题意；当114ae≤<时，直线与函数()y f x=在(,1]-∞上的图象没有公共点，在(1,)+∞有两个公共点，合乎题意；当14a<<时，直线y ax=与函数()y f x=在(,1]-∞上的图象只有一个公共点，在(1,)+∞有两个公共点，不合乎题意；当0a ≤时，直线y ax =与函数()y f x =在(,1]-∞上的图象只有一个公共点，在(1,)+∞没有公共点，不合乎题意.综上所述，实数a 的取值范围是11,4e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，故答案为：11,4e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【点睛】本题考查方程根的个数求解参数，采用数形结合，形象直观，考查分析能力以及计算能力，属中档题.16. 已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F ，点00(,66)()2p M x x >是抛物线上一点，以M为圆心的圆与直线2p x =交于A 、B 两点(A 在B 的上方），若5sin 7MFA ∠=，则抛物线C的方程为 _____. 【答案】212y x = 【解析】 【分析】依题意作图，可以把5sin 7MFA ∠=放在直角三角形中，可得5sin 7MC MFA MF ∠==，由抛物线定义转化MF MD =，02pMC x =-，即可得到0x 与p 的关系，再代入方程中即可求出p ，则抛物线方程可求．【详解】解：如图所示，过M 点作CM ⊥抛物线的准线，垂足为C ，交准线于D ， 5sin 7MC MFA MF∴∠==， 由抛物线定义可得：MF MD =，∴005272px MC p MF x -==+，即00575722x p x p +=+， 03x p ∴=，点00(,66)()2pM x x >是抛物线上一点，∴20(66)2px =，即23666p ⨯=，6p ∴=，得212y x =．故答案为：212y x =．【点睛】本题考查抛物线的标准方程，利用抛物线的定义进行线段的转化是关键，是中档题． 三、解答题（本大题共6小题，共70分）.17. 已知函数()321f x x ax =+-在点()()1,1f --处的切线方程为320x y ++=．(1)求函数()f x 的解析式；(2)求函数()f x 在区间[]1,2-上的最大值与最小值． 【答案】（1）32()31f x x x =+-（2）见解析 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，计算f '（﹣1），得到关于a 的方程，求出a 的值，从而求出函数的解析式即可；（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最值即可．【详解】（1）()232f x x ax '=+函数()321f x x ax =+-在点()()1,1f --处的切线的斜率()132k f a =-=-'由题意可知323a -=-，得3a =∴函数()f x 的解析式为()3231f x x x =+-（2）由（1）知()236f x x x '=+，[]1,2x ∈-令()0f x '=，解得0x = 令()0f x '>，解得02x << 令()0f x '<，解得10x -<< 列表：x1-()1,0-()0,22()'f x-+()f x11-19从上表可知，()()12f f -<，在区间[]1,2-上， 当2x =时，()f x 取得最大值19， 当0x =时，()f x 取得最小值是1-.【点睛】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道常规题．18. 某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六组[90，100），[100，110），…，[140，150]后得到如下部分频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：（1）求分数在[120，130）内的频率； （2）估计本次考试的中位数；（3）用分层抽样的方法在分数段为[110，130）的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段[120，130）内的概率． 【答案】（1）0.3；（2）3703（3）35【解析】 【分析】(1)根据频率分布直方图的各小长方形的面积之和为1，求出分数在[)120130,内的概率；(2)由直方图左右两边面积相等处横坐标计算出中位数；(3)计算出[)110,120与[)120130,分数段的人数，用分层抽样的方法求出在各分数段内抽取的人数组成样本，利用古典概率公式求出“从样本中任取2人，至多有1人在分数段[)120130,内”的概率即可. 【详解】（1）分数在[120，130）内的频率为 1﹣（0.1+0.15+0.15+0.25+0.05）=1﹣0.7=0.3； （2）由于图中前3个小矩形面积之和为0.4 则设中位数()120,130x ∈，则()1200.030.50.4x -⨯=-，则3703x =（3）依题意，[110，120）分数段的人数为60×0.15=9（人）， [120，130）分数段的人数为60×0.3=18（人）；∵用分层抽样的方法在分数段为[110，130）的学生中抽取一个容量为6的样本， ∴需在[110，120）分数段内抽取2人，并分别记为m ，n ； 在[120，130）分数段内抽取4人，并分别记为a ，b ，c ，d ；设“从样本中任取2人，至多有1人在分数段[120，130）内”为事件A ，则基本事件有（m ，n ），（m ，a ），…，（m ，d ），（n ，a ），…，（n ，d ），（a ，b ），…，（c ，d ）共15种；则事件A 包含的基本事件有（m ，n ），（m ，a ），（m ，b ），（m ，c ），（m ，d ），（n ，a ），（n ，b ），（n ，c ），（n ，d ）共9种；∴P（A ）==【点睛】本题主要考查频率分布直方图的应用，属于中档题. 直方图的主要性质有：（1）直方图中各矩形的面积之和为1；（2）组距与直方图纵坐标的乘积为该组数据的频率；（3）每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标相乘后求和可得平均值；（4）直观图左右两边面积相等处横坐标表示中位数.19. 如图，在平行四边形ABCM 中，3AB AC ==，90ACM ∠=︒，以AC 为折痕将△ACM 折起，使点M 到达点D 的位置，且AB DA ⊥． （1）证明：平面ACD ⊥平面ABC ；（2）Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且23BP DQ DA ==，求三棱锥Q ABP -的体积．【答案】(1)见解析. (2)1. 【解析】分析：(1)首先根据题的条件，可以得到BAC ∠=90，即BA AC ⊥，再结合已知条件BA ⊥AD ，利用线面垂直的判定定理证得AB ⊥平面ACD ，又因为AB ⊂平面ABC ，根据面面垂直的判定定理，证得平面ACD ⊥平面ABC ；(2)根据已知条件，求得相关的线段的长度，根据第一问的相关垂直的条件，求得三棱锥的高，之后借助于三棱锥的体积公式求得三棱锥的体积. 详解：（1）由已知可得，BAC ∠=90°，BA AC ⊥． 又BA ⊥AD ，且AC AD A =，所以AB ⊥平面ACD ．又AB ⊂平面ABC ， 所以平面ACD ⊥平面ABC ．（2）由已知可得，DC =CM =AB =3，DA =32又23BP DQ DA ==，所以22BP = 作QE ⊥AC ，垂足为E ，则QE = 13DC ．由已知及（1）可得DC ⊥平面ABC ，所以QE ⊥平面ABC ，QE =1． 因此，三棱锥Q ABP -的体积为1111322sin451332Q ABP ABPV QE S-=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯︒=． 点睛：该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有面面垂直的判定以及三棱锥的体积的求解，在解题的过程中，需要清楚题中的有关垂直的直线的位置，结合线面垂直的判定定理证得线面垂直，之后应用面面垂直的判定定理证得面面垂直，需要明确线线垂直、线面垂直和面面垂直的关系，在求三棱锥的体积的时候，注意应用体积公式求解即可.20. 在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）.以坐标原点O 为极点，X 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=.（1）求1C ，2C 交点的直角坐标；（2）设点A 的极坐标为4,3π⎛⎫⎪⎝⎭，点B 是曲线2C 上的点，求AOB 面积的最大值.【答案】（1）132⎛ ⎝⎭，，13 2⎛ ⎝⎭， ；（2）23. 【解析】 【分析】（1）结合222,cos x y x ρρθ==+，得到曲线的普通方程，即可计算交点坐标.（2）结合三角高考资源网（ ） 您身边的高考专家形面积计算公式， 结合三角函数性质和辅助角公式，可计算最值.【详解】(1)221:1C x y +=，2:2cos C ρθ=，∴22cos ρρθ=，∴222x y x +=.联立方程组得222212x y x y x ⎧+=⎨+=⎩，解得11123x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩22123x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴所求交点的坐标为132⎛⎝⎭，13,2⎛ ⎝⎭. (2)设(,)B ρθ，则2cos ρθ=.∴AOB 的面积11||||sin 4sin 4cos sin 2233S OA OB AOB ππρθθθ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅∠=⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2cos 236πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∴当1112πθ=时，max 23S =【点睛】本题考查了参数方程化为普通方程，考查了极坐标方程化为普通方程，考查了三角函数的辅助角公式，属于中档题.21. 已知点()10F -，，直线4l x P =-：，为平面内的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为点M ，且11022PF PM PF PM ⎛⎫⎛⎫-⋅+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过点1F 作直线1l （与x 轴不重合）交C 轨迹于A ，B 两点，求三角形面积OAB 的取值范围.（O 为坐标原点）【答案】（1）22143x y +=；（2）3(0,]2 【解析】 【分析】（1）处理向量等式，代入向量坐标，计算方程，即可．（2）分直线斜率是否存在考虑，设出直线l 的方程，代入椭圆方程，用m 表示三角形面积，换元，结合函数性质，计算范围，即可．【详解】（1）设动点()P x y ，，则()4M y -， 由11022PF PM PF PM ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2214PF PM ∴=即2214PF PM =()2221144x y x ∴++=+化简得22143x y +=（2）由(1)知轨迹C 的方程为22143x y +=，当直线1l 斜率不存在时31,2A ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，31,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭1322DAB S AB OF ∆∴=⋅= 当直线1l 斜率存在时，设直线l 方程为1x my =- ()0m ≠，设()11,A x y ()22,B x y由221143x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2234690m y my +--=.则21441440m ∆=+>，122634m y y m +=+，122934y y m -=+， 11212OAB S OF y y ∆=⋅- ()212121142y y y y =⨯+-()22221363623434m m m =+++()2221634m m +=+令21(1)m t t +=>，则()2631OAB tS t ∆==+ 216196196t t t t t=++++令()196f t t t =++，则()21'9f t t =-，当1t >时，()'0f t >，()196f t t t∴=++在()1,+∞上单调递增，()()116f t f ∴>=，13162OAB S ∆∴<= 综上所述，三角形OAB 面积的取值范围是30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【点睛】本道题考查了曲线轨迹方程计算，考查了直线与椭圆位置关系，考查了函数的性质，属于综合性问题，难度偏难． 22. 设函数()2ln f x ax x =--(R)a ∈.（1）求()f x 的单调区间；（2）当1a =时，若对(1,)x ∀∈+∞，都有(41ln )()10k x x f x --+-<（Z k ∈）成立，求k的最大值.【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）0 【解析】 【分析】 （1）1()f x a x'=-，(0)x >．对a 分类讨论，可得其单调区间． （2）当1a =时，对(1,)x ∀∈+∞，都有(41)()10()k lnx x f x k Z --+-<∈恒成立，()13ln 41ln 2ln 10ln 4x k x x x x k x x x ⎛⎫⇔--+---<⇔<++ ⎪⎝⎭，令()()3ln ln 1x F x x x x x =++>，只需()()min 14k F x k Z <∈，利用导数研究其单调性即可得出．【详解】解：（1）()()2ln 0f x ax x x =-->，∴()11'ax f x a x x-=-=. 当0a ≤时，()'0f x <在()0,∞+恒成立，()f x ∴在()0,∞+是单减函数. 当0a >时，令()'0f x =，解之得1x a=. 从而，当x 变化时，()'f x ，()f x 随x变化情况如下表：x10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭1a1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()'f x- 0 +()f x单调递减 单调递增由上表中可知，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭是单减函数，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭是单增函数.综上，当0a ≤时，()f x 的单减区间为()0,∞+； 当0a >时，()f x 的单减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单增区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.（2）当1a =，k 为整数，且当1x >时，()()41ln 10k x x f x --+-<恒成立()13ln 41ln 2ln 10ln 4x k x x x x k x x x ⎛⎫⇔--+---<⇔<++ ⎪⎝⎭.令()()3ln ln 1x F x x x x x =++>，只需()()min 14k F x k Z <∈； 又()()2222131ln 2ln 'f x x x x F x x x x x x---=-+==， 由（1）得()f x 在()1,+∞单调递增，且(3)1ln30,(4)2ln 42(1ln 2)0f f =-<=-=->， 所以存在唯一的0(3,4)x ∈，使得0()0f x =，当()01,,()0x x f x ∈<，即()0,()F x F x '<单调递减， 当00(,),()x f x x ∈+∞>，即()0,()F x F x '<单调递增，所以0x x =时，()F x 取得极小值，也是最小值，当002ln 0x x --=时，()()000min 00ln 3ln x F x F x x x x ==++ ()000000023121,3,4x x x x x x x -=-++=+-∈而0011t x x =+-在()3,4为增函数，∴713,34t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 即()min 1713,41216F x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.而713,1216⎛⎫ ⎪⎝⎭ (0,1)， ∴()min 14F x ()0,1,k Z ∈，0,k ∴≤即所求k 的最大值为0. 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、函数的零点、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。
四川省成都外国语学校高二数学12月月考试题 文
成都外国语学校2018-2019学年上期12月月考高二数学（文科）一、选择题（共12小题;共60分)1. 设，则“"是“”的A。
必要但不充分条件 B. 充分但不必要条件C。
充要条件 D. 既不充分也不必要条件2. 过点且平行于直线的直线方程为A. B. C。
D.3。
命题：“若,则”的逆否命题是A. 若，则B. 若,则C. 若且，则D。
若或，则4。
某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为,,人，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为的样本，则应从高三年级抽取的学生人数为A. B. C。
D.5。
若直线与直线互相垂直，则实数的值等于A。
B. C。
D。
6. 阅读图中所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是A 。
B 。
C 。
D.7. 已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，则双曲线的离心率为A 。
B. C 。
D.8。
若一个样本容量为 的样本的平均数为 ，方差为 ．现样本中又加入一个新数据 ，此时样本容量为 ，平均数为 ，方差为 ,则A.，B.，C 。
,D 。
，9. 已知 与 之间的一组数据：x 0 1 2 3 ym35。
57已求得关于 与 的线性回归方程为ˆ 2.10.85y x =+，则 的值为 A.B.C.D 。
10. 已知一圆的圆心为点 ,一条直径的两个端点分别在 轴和 轴上，则此圆的方程是A. B.C 。
D 。
11。
已知抛物线 ，过其焦点且斜率为 的直线交抛物线与 , 两点,若线段的中点的纵坐标为 ，则该抛物线的准线方程为 A. B 。
C 。
D 。
12. 已知点是双曲线的右焦点，点是该双曲线的左顶点，过且垂直于轴的直线与双曲线交于,两点，若是钝角，则该双曲线的离心率的取值范围是A. B。
C. D.二、填空题（共4小题；共20分）13. 甲乙两台机床同时生产一种零件,10天中，两台机床每天出的次品数分别如下图所示。
甲010*******乙2311021101从数据上看，机床的性能较好（填“甲”或者“乙”）.14。
四川省成都外国语学校2019-2020学年高二数学12月月考试题文无答案
14．某同学同时掷两颗均匀正方体骰子，得到的点数分别为 ， ，则椭圆
的离心率
的概率是__________．
15．已知圆 O : x2 y2 1，圆 M : (x a)2 ( y a 3)2 1 ，若圆 M 上存在点 P ，过点
月份
9
10
11
12
1
历史( x 分)
79
81
83
85
87
政治( y 分)
77
79
79
82
83
求该生 5 次月考历史成绩的平均分和政治成绩的方差；
一般来说，学生的历史成绩与政治成绩有较强的线性相关，根据上表提供的数据，求两个变
量 x, y 的线性回归方程 $y $bx $a .
n
--
å xi yi - n x y
y2
1
和
x 122 y2 1
PM PN
上的点，则
的最小值、最大值分别为（ ）
A．18，24
B．16，22
C．24，28
D．20，26
10． O 为坐标原点， F 为抛物线 C : y2
4x 的焦点， P 为 C 上一点，若
PF
4
，则
POF 的面积为
A． 2
B． 3
C． 2
D． 3
x2
11．已知
（1）若采用分层抽样的方法从“朗读爱好者”和“非朗读爱好者”中随机抽取 5 名，再从这
5 名观众中任选 2 名，求至少选到1名“朗读爱好者”的概率；
（2）若从收视时间在 40 分钟以上（包括 40 分钟）的所有观众中选出男、女观众各 1 名， 求选出的这两名观众时间相差 5 分钟以上的概率. 19．下表是高二某位文科生连续 5 次月考的历史、政治的成绩：
2019-2020学年四川省成都外国语学校高二下学期5月月考数学试卷(文科) (解析版)
2019-2020学年四川省成都外国语学校高二第二学期5月月考数学试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．已知复数z1＝3﹣bi，z2＝1﹣2i，若是实数，则实数b的值为（）A．6B．﹣6C．0D．2．命题“∀x∈[﹣1，3]，x2﹣3x+2≤0”的否定为（）A．∃x0∈[﹣1，3]，x02﹣3x0+2＞0B．∀x∉[﹣1，3]，x2﹣3x+2＞0C．∀x∈[﹣1，3]，x2﹣3x+2＞0D．∃x0∉[﹣1，3]，x02﹣3x0+2＞03．曲线y＝xlnx在点（e，e）处的切线方程为（）A．y＝2x﹣e B．y＝﹣2e﹣e C．y＝2x+e D．y＝﹣x﹣1 4．已知双曲线C1：﹣＝1（a＞0，b＞0）以椭圆C2：＝1的焦点为顶点，左右顶点为焦点，则C1的渐近线方程为（）A．x±y＝0B．x±y＝0C．2x±y＝0D．x+2y＝0 5．执行如图所示的程序框图，则输出的n值是（）A．5B．7C．9D．116．已知命题p：若直线l与抛物线C有且仅有一个公共点，则直线l与抛物线C相切，命题q：若m＞5，则方程表示椭圆．下列命题是真命题的是（）A．p∨（￢q）B．（￢p）∧q C．p∧q D．（￢p）∧（￢q）7．某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为（）A．B．C．D．8．阿基米德（公元前287年﹣公元前212年），伟大的古希腊哲学家、数学家和物理学家，他死后的墓碑上刻着一个“圆柱容球”的立体几何图形，为纪念他发现“圆柱内切球的体积是圆柱体积的，并且球的表面积也是圆柱表面积的”这一完美的结论．已知某圆柱的轴截面为正方形，其表面积为24π，则该圆柱的内切球体积为（）A．B．16πC．D．9．直线x+y+2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆（x﹣2）2+y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是（）A．[2，6]B．[4，8]C．[，3]D．[2，3] 10．设函数f（x）＝x2﹣9lnx在区间[a﹣1，a+1]上单调递减，则实数a的取值范围是（）A．（1，2]B．[4，+∞）C．（﹣∞，2]D．（0，3]11．已知F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为M，N，设四边形F1NF2M的周长为p，面积为S，且满足32S＝p2，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．12．定义在R上的函数f（x）满足f'（x）﹣f（x）＜2e x（e为自然对数的底数），其中f'（x）为f（x）的导函数，若f（2）＝4e2，则的解集为（）A．（﹣∞，1）B．（1，+∞）C．（﹣∞，2）D．（2，+∞）二、填空题本题共4小题，每小题5分，共20分.13．在复平面内，与复数对应的点位于象限．14．已知函数f（x）＝lnx﹣x﹣1，则f（x）的单调递增区间为．15．已知函数f（x）＝则方程f（x）＝ax恰有两个不同实数根时，实数a的取值范围是．16．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F，点是抛物线上一点，以M为圆心的圆与直线x＝交于A、B两点（A在B的上方），若sin∠MFA＝，则抛物线C的方程为．三、解答题（本大题共6小题，共70分）．17．已知函数f（x）＝x3+ax2﹣1在点（﹣1，f（﹣1））处的切线方程为3x+y+2＝0．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）在区间[﹣1，2]上的最大值与最小值．18．北京大学从参加逐梦计划自主招生考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六组[90，100）[100，110），…，[140，150]后得到如下部分频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：（1）求分数在[120，130）内的频率；（2）估计本次考试成绩的中位数（结果四舍五入，保留整数）；（3）用分层抽样的方法在分数段为[110，130）的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段[120，130）内的概率．19．如图，在平行四边形ABCM中，AB＝AC＝3，∠ACM＝90°，以AC为折痕将△ACM 折起，使点M到达点D的位置，且AB⊥DA．（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；（2）Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BP＝DQ＝DA，求三棱锥Q﹣ABP 的体积．20．在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为（α为参数）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2cosθ．（Ⅰ）求C1、C2交点的直角坐标；（Ⅱ）设点A的极坐标为，点B是曲线C2上的点，求△AOB面积的最大值．21．已知点F（﹣1，0），直线l：x＝﹣4，P为平面内的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为点M，且（﹣）•（+）＝0．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）过点F1作直线l1（与x轴不重合）交C轨迹于A，B两点，求三角形面积OAB的取值范围．（O为坐标原点）22．设函数f（x）＝ax﹣2﹣lnx（a∈R）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）当a＝1时，试判断f（x）零点的个数；（Ⅲ）当a＝1时，若对∀x∈（1，+∞），都有（4k﹣1﹣lnx）x+f（x）﹣1＜0（k∈Z）成立，求k的最大值．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z1＝3﹣bi，z2＝1﹣2i，若是实数，则实数b的值为（）A．6B．﹣6C．0D．【分析】先利用两个复数相除的除法法则，化简的结果到最简形式，利用此复数的虚部等于0，解出实数b的值．解：∵＝＝＝是实数，则8﹣b＝0，∴实数b的值为6，故选：A．2．命题“∀x∈[﹣1，3]，x2﹣3x+2≤0”的否定为（）A．∃x0∈[﹣1，3]，x02﹣3x0+2＞0B．∀x∉[﹣1，3]，x2﹣3x+2＞0C．∀x∈[﹣1，3]，x2﹣3x+2＞0D．∃x0∉[﹣1，3]，x02﹣3x0+2＞0【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行求解即可．解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，∴命题“∀x∈[﹣1，3]，x2﹣3x+2≤0”的否定为∃x0∈[﹣1，2]，x02﹣3x0+2＞0．故选：A．3．曲线y＝xlnx在点（e，e）处的切线方程为（）A．y＝2x﹣e B．y＝﹣2e﹣e C．y＝2x+e D．y＝﹣x﹣1【分析】先求导函数，求曲线在点点（e，e）处的切线的斜率，进而可得曲线y＝xlnx 在点（e，e）处的切线方程解：求导函数，y′＝lnx+1∴当x＝e时，y′＝2即y＝2x﹣e故选：A．4．已知双曲线C1：﹣＝1（a＞0，b＞0）以椭圆C2：＝1的焦点为顶点，左右顶点为焦点，则C1的渐近线方程为（）A．x±y＝0B．x±y＝0C．2x±y＝0D．x+2y＝0【分析】求出双曲线的顶点坐标就是椭圆的焦点坐标，然后求解双曲线极限方程即可．解：由题意双曲线C1：﹣＝1（a＞0，b＞0）以椭圆C3：＝2的焦点为顶点，左右顶点为焦点，知双曲线C1：的焦点坐标为（±2，0），顶点为（±1，0），故选：A．5．执行如图所示的程序框图，则输出的n值是（）A．5B．7C．9D．11【分析】模拟执行程序的运行过程，即可得出循环终止时输出的n值．解：执行如图所示的程序框图如下，n＝1时，S＝＝，n＝5时，S＝++＝，满足循环终止条件，此时n＝9，故选：C．6．已知命题p：若直线l与抛物线C有且仅有一个公共点，则直线l与抛物线C相切，命题q：若m＞5，则方程表示椭圆．下列命题是真命题的是（）A．p∨（￢q）B．（￢p）∧q C．p∧q D．（￢p）∧（￢q）【分析】由题意可得命题p是假命题，命题q是真命题，即可判断出真假．解：由题意可得命题p是假命题，命题q是真命题，则（￢p）∧q是真命题．故选：B．7．某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为（）A．B．C．D．【分析】求出一名行人前25秒来到该路口遇到红灯，即可求出至少需要等待15秒才出现绿灯的概率．解：∵红灯持续时间为40秒，至少需要等待15秒才出现绿灯，∴一名行人前25秒来到该路口遇到红灯，故选：B．8．阿基米德（公元前287年﹣公元前212年），伟大的古希腊哲学家、数学家和物理学家，他死后的墓碑上刻着一个“圆柱容球”的立体几何图形，为纪念他发现“圆柱内切球的体积是圆柱体积的，并且球的表面积也是圆柱表面积的”这一完美的结论．已知某圆柱的轴截面为正方形，其表面积为24π，则该圆柱的内切球体积为（）A．B．16πC．D．【分析】由已知中圆柱的轴截面为正方形，根据圆柱的表面积公式，可得圆柱的底面半径R，进而求出圆柱的体积，即可求出结论．解：设该圆柱的底面半径为R则圆柱的高为2R解得R2＝4；即R＝2．∴该圆柱的内切球体积为：×16π＝π．故选：D．9．直线x+y+2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆（x﹣2）2+y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是（）A．[2，6]B．[4，8]C．[，3]D．[2，3]【分析】求出A（﹣2，0），B（0，﹣2），|AB|＝2，设P（2+，），点P到直线x+y+2＝0的距离：d＝＝∈[]，由此能求出△ABP面积的取值范围．解：∵直线x+y+2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，∴令x＝0，得y＝﹣2，令y＝7，得x＝﹣2，∵点P在圆（x﹣2）2+y2＝2上，∴设P（2+，），d＝＝，∴△ABP面积的取值范围是：故选：A．10．设函数f（x）＝x2﹣9lnx在区间[a﹣1，a+1]上单调递减，则实数a的取值范围是（）A．（1，2]B．[4，+∞）C．（﹣∞，2]D．（0，3]【分析】首先求出函数的单调递减区间，然后结合数轴分析求出m的范围即可．解：∵f（x）＝x2﹣5lnx，∴函数f（x）的定义域是（0，+∞），∵x＞0，∴由f′（x）＝x﹣＜8，得0＜x＜3．∴，解得1＜a≤2．故选：A．11．已知F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为M，N，设四边形F1NF2M的周长为p，面积为S，且满足32S＝p2，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【分析】由双曲线与圆的对称性可得四边形F1NF2M为矩形，进而可得其周长和面积，再由周长与面积的关系求出a，c的关系，进而求出离心率的值．解：由圆与双曲线的对称性可得四边形F1NF2M为矩形，由题意可得p＝2（|MF1|+|MF2|），所以p2＝4（|MF1|+|MF7|）2＝4[（MF1|﹣|MF2|）2+4|MF1||MF2|]＝8（4a2+4|MF1|•|MF2|），所以32|MF1|•|MF2|＝16a7+16|MF1|•|MF2|，所以4a2+2a2＝4c2，所以e＝＝＝，故选：C．12．定义在R上的函数f（x）满足f'（x）﹣f（x）＜2e x（e为自然对数的底数），其中f'（x）为f（x）的导函数，若f（2）＝4e2，则的解集为（）A．（﹣∞，1）B．（1，+∞）C．（﹣∞，2）D．（2，+∞）【分析】①由f'（x）﹣f（x）＜2e x联想到构造函数g（x）＝，容易得到g′（x）＜0，g（x）在R上为减函数②由⇔g（x）＞0以及g（2）＝与f（2）＝4e2易得：g（2）＝0，利用单调性即可得出结果．解：∵f'（x）﹣f（x）＜2e x∴构造函数g（x）＝，∴g′（x）＜0，g（x）在R上为减函数而g（2）＝且f（2）＝7e2，∴的解集为（﹣∞，2）故选：C．二、填空题本题共4小题，每小题5分，共20分.13．在复平面内，与复数对应的点位于第四象限象限．【分析】根据两个复数代数形式的除法法则，虚数单位i的幂运算性质，把复数化为﹣i，它在复平面内对应的点的坐标为（，﹣），由此得出结论解：∵复数＝＝﹣i，复数在复平面内对应的点的坐标为（，﹣），故答案为：第四象限．14．已知函数f（x）＝lnx﹣x﹣1，则f（x）的单调递增区间为（0，1）．【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的递增区间即可．解：f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）＝﹣1＝，故f（x）在（0，1）递增，故答案为：（4，1）．15．已知函数f（x）＝则方程f（x）＝ax恰有两个不同实数根时，实数a 的取值范围是[，）．【分析】由题意，方程f（x）＝ax恰有两个不同实数根，等价于y＝f（x）与y＝ax有2个交点，又a表示直线y＝ax的斜率，求出a的取值范围．解：∵方程f（x）＝ax恰有两个不同实数根，∴y＝f（x）与y＝ax有2个交点，∴y′＝，∴切线方程为y﹣y0＝（x﹣x0），∴直线l1的斜率为，∴直线l2的斜率为，故答案为：[，）．16．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F，点是抛物线上一点，以M为圆心的圆与直线x＝交于A、B两点（A在B的上方），若sin∠MFA＝，则抛物线C的方程为y2＝12x．【分析】依题意作图，可以把sin∠MFA＝放在直角三角形中，可得sin∠MFA＝＝，由抛物线定义转化MF＝MD，MC＝，即可得到x0与p的关系，再代入方程中即可求出p，则抛物线方程可求．解：如图所示，过M点作CM⊥抛物线的准线，垂足为C，交准线于D，∴sin∠MFA＝＝，∴＝＝，即＝，∵点M（）（x0＞）是抛物线上一点，∴p＝6，得y2＝12x．故答案为：y2＝12x．三、解答题（本大题共6小题，共70分）．17．已知函数f（x）＝x3+ax2﹣1在点（﹣1，f（﹣1））处的切线方程为3x+y+2＝0．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）在区间[﹣1，2]上的最大值与最小值．【分析】（1）求出函数的导数，计算f'（﹣1），得到关于a的方程，求出a的值，从而求出函数的解析式即可；（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最值即可．解：（1）f'（x）＝3x2+8ax﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）函数f（x）＝x3+ax2﹣1在点（﹣1，f（﹣1））处的切线的斜率k＝f'（﹣8）＝3﹣2a﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴函数f（x）的解析式为f（x）＝x3+2x2﹣1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣令f'（x）＝0，解得x＝8﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣令f'（x）＜0，解得﹣1＜x＜0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣而f（﹣6）＜f（2），在区间[﹣1，2]上，当x＝0时，f（x）取得最小值是﹣1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣18．北京大学从参加逐梦计划自主招生考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六组[90，100）[100，110），…，[140，150]后得到如下部分频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：（1）求分数在[120，130）内的频率；（2）估计本次考试成绩的中位数（结果四舍五入，保留整数）；（3）用分层抽样的方法在分数段为[110，130）的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段[120，130）内的概率．【分析】（1）利用频率分布直方图能求出分数在[120，130）内的频率．（2）利用频率分布直方图能估计本次考试成绩的中位数．（3）由题意，[110，120）分数段的人数为9人．在[120，130）分数段的人数为18人．用分层抽样的方法在分数段为[110，130）的学生中抽取一个容量为6的样本，需在[110，120）分数段内抽取2人，并分别记为m，n，在[120，130）分数段内抽取4人，并分别记为a，b，c，d，设“从样本中任取2人，至多有1人在分数段[120，130）内”为事件A，利用列举法能求出至多有1人在分数段[120，130）内的概率．【解答】（本小题满分12分）解：（1）分数在[120，130）内的频率为（2）估计本次考试成绩的中位数为（3）由题意，[110，120）分数段的人数为60×0.15＝9（人）．∵用分层抽样的方法在分数段为[110，130）的学生中抽取一个容量为6的样本，在[120，130）分数段内抽取4人，并分别记为a，b，c，d，则基本事件共有{m，n}，{m，a}，…，{m，d}，{n，a}，…，{n，d}，{a，b}，…，{c，d}，共15个．∴至多有1人在分数段[120，130）内的概率P（A）＝＝．19．如图，在平行四边形ABCM中，AB＝AC＝3，∠ACM＝90°，以AC为折痕将△ACM 折起，使点M到达点D的位置，且AB⊥DA．（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；（2）Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BP＝DQ＝DA，求三棱锥Q﹣ABP 的体积．【分析】（1）可得AB⊥AC，AB⊥DA．且AD∩AC＝A，即可得AB⊥面ADC，平面ACD⊥平面ABC；（2）首先证明DC⊥面ABC，再根据BP＝DQ＝DA，可得三棱锥Q﹣ABP的高，求出三角形ABP的面积即可求得三棱锥Q﹣ABP的体积．解：（1）证明：∵在平行四边形ABCM中，∠ACM＝90°，∴AB⊥AC，又AB⊥DA．且AD∩AC＝A，∴平面ACD⊥平面ABC；∴BP＝DQ＝DA＝2，∴三棱锥Q﹣ABP的体积V＝＝××＝＝1．20．在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为（α为参数）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2cosθ．（Ⅰ）求C1、C2交点的直角坐标；（Ⅱ）设点A的极坐标为，点B是曲线C2上的点，求△AOB面积的最大值．【分析】（Ⅰ）先求出曲线C1、C2的直角坐标方程，联立方程组，能求出C1、C2交点的直角坐标．（Ⅱ）设B（ρ，θ），则ρ＝2cosθ．则△AOB的面积＝，由此能求出△AOB面积的最大值．【解答】（本小题满分10分）解：（Ⅰ）∵曲线C1的方程为（α为参数）．∵曲线C2的极坐标方程为ρ＝5cosθ．∴ρ2＝2ρcosθ，联立方程组得，解得，，（Ⅱ）设B（ρ，θ），则ρ＝2cosθ．＝，∴当时，△AOB面积的最大值．………………………21．已知点F（﹣1，0），直线l：x＝﹣4，P为平面内的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为点M，且（﹣）•（+）＝0．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）过点F1作直线l1（与x轴不重合）交C轨迹于A，B两点，求三角形面积OAB的取值范围．（O为坐标原点）【分析】（1）设动点P（x，y），则M（﹣4，y），由（﹣）•（+）＝0⇒||2＝||2⇒，化简得动点P的轨迹方程．（2）分两种情况讨论：当直线l1斜率不存在时，可得A，B坐标，进而得|AB|，再计算S△AOB．当当直线l1斜率存在时，设直线l方程为x＝my﹣1（m≠0），设A（x1，y1）B （x2，y2），联立直线l1与椭圆的方程得关于y的一元二次方程，由韦达定理可得y1+y2，y1y2，在计算S△AOB＝|OF1|•|y1﹣y2|，结合换元法，导数求出S△AOB的取值范围．解：（1）设动点P（x，y），则M（﹣4，y）由（﹣）•（+）＝0．∴，化简得当直线l1斜率不存在时，，当直线l2斜率存在时，设直线l方程为x＝my﹣1（m≠0），设A（x1，y1）B（x2，y3）则△＝144m2+144＞0，＝＝＝，令，则，∴在（6，+∞）上单调递增，∴，综上所述，三角形OAB面积的取值范围是．22．设函数f（x）＝ax﹣2﹣lnx（a∈R）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）当a＝1时，试判断f（x）零点的个数；（Ⅲ）当a＝1时，若对∀x∈（1，+∞），都有（4k﹣1﹣lnx）x+f（x）﹣1＜0（k∈Z）成立，求k的最大值．【分析】（I）f′（x）＝a﹣，（x＞0）．对a分类讨论，可得其单调区间．（II）a＝1时，f（x）＝x﹣2﹣lnx（x＞0）．f′（x）＝，（x＞0）．根据单调性可得x＝1时，函数f（x）取得极小值即最小值，f（1）＝﹣1．进而得出零点的个数．（III）当a＝1时，对∀x∈（1，+∞），都有（4k﹣1﹣lnx）x+f（x）﹣1＜0（k∈Z）成立，化为：4k＜lnx+＝g（x），利用导数研究其单调性即可得出．解：（I）f′（x）＝a﹣，（x＞0）．a≤0时，f′（x）＜0，函数f（x）在（3，+∞）上单调递减．则f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增．f′（x）＝，（x＞0）．x＝1时，函数f（x）取得极小值即最小值，f（1）＝﹣1．∴函数f（x）存在两个零点．化为：4k＜lnx+＝g（x），令u（x）＝x﹣lnx﹣2，x∈（5，+∞），u（3）＝1﹣ln3，u（4）＝8﹣2ln2，函数g（x）在（1，x6）内单调递减，在（x0，+∞）内单调递增．∵4k＜，k∈一、选择题．∴k的最大值为0．。
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2019-2020学年四川省成都外国语学校高二12月月考
数学（文）试卷
★祝考试顺利★
第I 卷（选择题)
一、单选题
1．若:||2,:p x q x a 剟
，且p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是（ ） A ．{|2}a a …
B ．{|2}a a …
C ．{|2}a a -…
D ．{|2}a a -…
210=的化简结果为（ ）
A ．22
12516x y += B ．2212516y x += C ．221259x y += D ．221259
y x += 3．如图是某工厂对一批新产品长度(单位: mm )检测结果的频率分布直方图.估计这批产品的平均数与中位数分别为( )
A ．22.5 20
B ．22.5 22.75
C ．22.75 22.5
D ．22.75 25
（第3题） （第4题）
4．甲、乙两位同学在高二次月考的数学成绩统计如茎叶图所示，若甲、乙两人
的平均成绩分别是、，则下列正确的是（ ） A ．
，甲比乙成绩稳定 B ．，乙比甲成绩稳定 C ．，甲比乙成绩稳定 D ．
，乙比甲成绩稳定 5．某单位青年、中年、老年职员的人数之比为10∶8∶7，从中抽取200名职员作为样本，若每人被抽取的概率是0.2，则该单位青年职员的人数为( )
A ．280
B ．320
C ．400
D ．1000
6．如图，正方形ABCD 内的图形来自古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是
A ．14
B ．8π
C ．12
D ．4
π 7．从1至9这9个自然数中任取两个：
①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个是奇数和两个数都是奇数； ③至多有一个奇数和两个数都是奇数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数． 在上述事件中，是对立事件的是( )
A ．①
B ．②④
C ．③
D ．①③
8．已知命题:p “0x R ∃∈，使得20
0220x ax a +++≤”，若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是( )
A ．[]1,2-
B ．()1,2-
C ．()2,1-
D ．(]0,2
9．设P 是椭圆22
116925
x y +=上一点，M ，N 分别是两圆：()22121x y ++=和()22121x y -+=上的点，则PM PN +的最小值、最大值分别为（ ）
A ．18，24
B ．16，22
C ．24，28
D ．20，26
10．O 为坐标原点，F 为抛物线2:4C y x =的焦点，P 为C 上一点，若4PF =，则POF 的面积为
A B C ．2 D ．3
11．已知1F ，2F 是椭圆22
221(0)x y C a b a b
+=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点
P 在过A 12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为
A ．23
B ．12
C ．13
D ．14。