集合问题分类讨论方法
分类讨论的思想方法
b 1 时， f (x) x2 ln(x 1) ，令 h(x) x3 f (x) ，则
例
8：已知函数
f
(x)
2ax x2
a2 1
1
(
x
R)
，其中
a
R
．
（Ⅰ）当 a 1 时，求曲线 y f (x) 在点 (2，f (2)) 处的切线方程；
（Ⅱ）当 a 0 时，求函数 f (x) 的单调区间与极值．
内为减函数．
函数 f (x) 在 x1 a 处取得极大值 f (a) ，且 f (a) 1 ．
函数
f
(x)
在
x2
1 a
处取得极小值
f
1 a
，且
f
1 a
a2 ．
例 9：设函数 f (x) x(x a)2 （x∈R），其中 a∈R，
（1）当 a=1 时，求曲线 y= f(x) 在点（2，f (2)）处的切线方程； （2）当 a≠0 时，求函数 f(x)的极大值和极小值；。
g(x) 在 (0, ) 上为增函数， x 0 时， g(x) g(0) 0 ，即
f (x) ax 。
2）若 a 2 ，方程 g '(x) 0 的正根为 x1 ln a
a2 2
4
，此时若
x
(0,
x1 )
，则
g
'( x)
0
，故
g(x)
在该区
间为减函数，因此 g(x) g(0) 0 ，即 f (x) ax
解：（1）设 r 为方程的一个根，即 f (r) 0 ，则由题设得 g( f (r)) 0 ．于是，
g(0) g( f (r)) 0 ，即 g(0) d 0 ． 所以， d 0 ． （2）由题意及（1）知 f (x) bx2 cx ， g(x) ax3 bx2 cx ．
专题01 集合、集合间的关系、集合的运算(重难点突破)解析版
专题01 集合、集合间的关系、集合的运算一、知识结构思维导图二、学法指导与考点梳理1.集合的概念及其表示⑴.集合中元素的三个特征：①．确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．②．互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的.③．无序性：即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。
⑵.元素与集合的关系有且只有两种：属于（用符号“∈”表示）和不属于（用符号“∉”表示）．⑶.集合常用的表示方法有三种：列举法、Venn图、描述法．(4).常见的数集及其表示符号2. 集合间的基本关系A B (或B A )【名师提醒】子集与真子集的区别与联系：一个集合的真子集一定是其子集，而其子集不一定是其真子集. 3. 集合之间的基本运算如果一个集合包含了我们所要研究的各个集合的全部元素，这样的集合就称为 全集 ，全集通常用字母 U 表示；【名师提醒】1．若有限集A 中有n 个元素,则集合A 的子集个数为2n ,真子集的个数为2n －1，非空真子集n2-2个. 2．A ⊆B ⇔A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B ()()UUAB A B U ⇔=∅⇔= .3．奇数集：{}{}{}21,21,4 1.x x n n x x n n x x n n =+∈==-∈==±∈Z Z Z . 4. 德▪摩根定律：①并集的补集等于补集的交集，即()=()()UUU A B A B ； ②交集的补集等于补集的并集，即()=()()U UU A B A B ．【名师点睛】1.判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合.同时还要注意集合中元素的互异性、无序性.2. 集合中的元素具有三个特性，求解与集合有关的字母参数值(范围)时，需借助集合中元素的互异性来检验所求参数是否符合要求．3．解答含有字母的元素与集合之间关系的问题时，要有分类讨论的意识．4.利用集合的关系求参数的范围问题，常涉及两个集合，其中一个为动集合(含参数)，另一个为静集合(具体的)，解答时常借助数轴来建立变量间的关系，需特别注意端点问题．5.求集合并集的两种基本方法：（1）定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解；（2）数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴求解.6.求集合交集的方法为：（1）定义法，（2）数形结合法．（3）若A，B是无限连续的数集，多利用数轴来求解．但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实点表示，不含有端点的值用空心点表示．三、重难点题型突破考点1 集合的概念及其表示归纳总结：与集合中的元素有关问题的求解策略(1)确定集合的元素是什么，即集合是（数轴）数集、（平面直角坐标系）点集还是其他类型的集合．(2)看这些元素满足什么限制条件．(3)根据限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数，要注意检验集合是否满足元素的互异性．例1.（1）（集合的确定性）下面给出的四类对象中，能组成集合的是()A．高一某班个子较高的同学B．比较著名的科学家C．无限接近于4的实数D．到一个定点的距离等于定长的点的全体【答案】D【解析】选项A，B，C所描述的对象没有一个明确的标准，故不能构成一个集合，选项D的标准唯一，故能组成集合．故选：D．（2）．（集合的确定性）（多选题）考察下列每组对象，能构成集合的是( )A.中国各地最美的乡村；B.直角坐标系中横、纵坐标相等的点；C.不小于3的自然数；D.2018年第23届冬季奥运会金牌获得者． 【答案】BCD【解析】A 中“最美”标准不明确，不符合确定性，BCD 中的元素标准明确，均可构成集合，故选BCD 【变式训练1】（集合的互异性）在集合{1A =，21a a --，222}a a -+中，a 的值可以是 ( )A ．0B ．1C ．2D ．1或2【答案】A【解析】当a ＝0时，a 2﹣a ﹣1＝﹣1，a 2﹣2a +2＝2，当a ＝1时，a 2﹣a ﹣1＝﹣1，a 2﹣2a +2＝1，当a ＝2时，a 2﹣a ﹣1＝1，a 2﹣2a +2＝2， 由集合中元素的互异性知：选A ．【变式训练2】（集合的互异性）若1{2-∈，21a a --，21}a +，则(a = ) A ．1- B ．0C ．1D ．0 或1【答案】B【答案】解：①若a 2﹣a ﹣1＝﹣1，则a 2﹣a ＝0，解得a ＝0或a ＝1， a ＝1时，{2，a 2﹣a ﹣1，a 2+1}＝{2，﹣1，2}，舍去，∴a ＝0； ②若a 2+1＝﹣1，则a 2＝﹣2，a 无实数解；由①②知：a ＝0．故选：B ． 考点2 元素与集合的关系(1)属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ，记作a ∈A . (2)不属于：如果a 不是集合A 中的元素，就说a 不属于集合A ，记作a ∉A . (3)常见的数集及表示符号归纳总结：(1)判断集合间的关系，要注意先对集合进行化简，再进行判断，并且在描述关系时，要尽量精确． (2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系(要注意区间端点的取舍)，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、V enn 图等来直观解决这类问题． 例2．（1）（元素与集合的关系）（多选题）下列关系中，正确的有（ ） A ．∅∪{0} B ．13Q ∈C ．Q Z ⊆D ．{}0∅∈【答案】AB【解析】选项A:由空集是任何非空集合的真子集可知，本选项是正确的； 选项B:13是有理数，故13Q ∈是正确的； 选项C:所有的整数都是有理数，故有Z Q ⊆，所以本选项是不正确的；选项D; 由空集是任何集合的子集可知，本选项是不正确的，故本题选AB. （2）（元素个数问题）集合12{|3A x Z y x =∈=+，}y Z ∈的元素个数为( ) A ．4B ．5C ．10D ．12【思路分析】根据题意，集合中的元素满足x 是整数，且12x+3是整数．由此列出x 与y 对应值，即可得到题中集合元素的个数．【解析】由题意，集合{x ∈Z |y =12x+3∈Z }中的元素满足x 是整数，且y 是整数，由此可得 x ＝﹣15，﹣9，﹣7，﹣6，﹣5，﹣4，﹣2，﹣1，0，1，3，9；此时y 的值分别为：﹣1，﹣2，﹣3，﹣4，﹣6，﹣12，12，6，4，3，3，1， 符合条件的x 共有12个，故选：D ．例3.（单元素集合）若集合A ＝{x |x 2+ax +b ＝x }中，仅有一个元素a ，求a 、b 的值． 【答案】解：∵集合A ＝{x |x 2+ax +b ＝x }中，仅有一个元素a ， ∴a 2+a 2+b ＝a 且△＝（a ﹣1）2﹣4b ＝0解得a ＝31，b ＝91． 故a 、b 的值分别为31，91.【变式训练1】（1）（元素与集合的关系）下列关系中，正确的个数为( )R ；②13Q ∈；③0{0}=；④0N ∉；⑤Q π∈；⑥3Z -∈．A ．6B ．5C ．4D ．3【思路分析】利用元素与集合的关系及实数集、有理数集、自然数集的性质直接求解． 【答案】解：由元素与集合的关系，得：在①中，√5∈R ，故①正确；在②中，13∈Q ，故②正确；在③中，0∈{0}，故③错误；在④中，0∈N ，故④错误；在⑤中，π∉Q ，故⑤错误；在⑥中，﹣3∈Z ，故⑥正确．故选：D ．（2）（元素个数问题）已知集合{1A =，2，3，4，5}，{(,)|B x y x A =∈，y A ∈，x y <，}x y A +∈，则集合B 中的元素个数为( ) A ．2B ．3C ．4D ．5【思路分析】通过集合B ，利用x ∈A ，y ∈A ，x ＜y ，x +y ∈A ，求出x 的不同值，对应y 的值的个数，求出集合B 中元素的个数．【解析】因为集合A ＝{1，2，3，4，5}，B ＝{（x ，y ）|x ∈A ，y ∈A ，x ＜y ，x +y ∈A }， 当x ＝1时，y ＝2或y ＝3或y ＝4；当x ＝2时y ＝3； 所以集合B 中的元素个数为4．故选：C ．【点睛】本题考查集合的元素与集合的关系，考查基本知识的应用． 【变式训练2】（二次函数与集合）设集合A ＝{x |ax 2+2x +1＝0，a ∈R } （1）当A 中元素个数为1时，求：a 和A ；（2）当A 中元素个数至少为1时，求：a 的取值范围； （3）求：A 中各元素之和． 【思路分析】（1）推导出a ＝0或⎩⎨⎧=-=∆≠0440a a ，由此能求出a 和A ．（2）当A 中元素个数至少为1时，a ＝0或⎩⎨⎧≥-=∆≠0440a a ，由此能求出a 的取值范围．（3）当a ＝0时，A 中元素之和为21-；当a ＜1且a ≠0时，A 中元素之和为a2-；当a ＝1时，A 中元素之和为﹣1；当a ＞1时，A 中无元素．【答案】解：（1）∵集合A ＝{x |ax 2+2x +1＝0，a ∈R }，A 中元素个数为1， ∴a ＝0或⎩⎨⎧=-=∆≠0440a a ，解得a ＝0，A ＝{21-}或a ＝1，A ＝{﹣1}．（2）当A 中元素个数至少为1时，a ＝0或⎩⎨⎧≥-=∆≠0440a a ，解得a ≤1，∴a 的取值范围是（﹣∞，1]． （3）当a ＝0时，A 中元素之和为21-；当a ＜1且a ≠0时，A 中元素之和为a2-； 当a ＝1时，A 中元素之和为﹣1；当a ＞1时，A 中无元素． 考点3 集合间的基本关系 1.集合A 中含有n 个元素，则有(1)A 的子集的个数有2n 个．(2)A 的非空子集的个数有2n －1个．(3)A 的真子集的个数有2n －1个．(4)A 的非空真子集的个数有2n －2个．2.空集是任何集合的子集，因此在解A ⊆B (B ≠∅)的含参数的问题时，要注意讨论A ＝∅和A ≠∅两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面．例4．（1）.（2020·全国高一）（空集是任何非空集合的子集）已知集合{}25A x x =-≤≤,{}121B x m x m =+≤≤-,若B A ⊆,则实数m 的取值范围是______.【答案】(],3-∞【解析】由B A ⊆可得：当B =∅,则121m m +>-，∴2m <，当B ≠∅,则m 应满足:12112215m m m m +≤-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩,解得23m ≤≤，综上得3m ≤; ∴实数m 的取值范围是(],3-∞.故答案为:(],3-∞.（2）.（空集）如果2{|10}A x ax ax =-+<=∅，则实数a 的取值范围为( ) A ．04a <<B ．40<≤aC ．40≤<aD ．40≤≤a【思路分析】由A ＝∅得不等式ax 2﹣ax +1＜0的解集是空集，然后利用不等式进行求解． 【答案】解：因为A ＝{x |ax 2﹣ax +1＜0}＝∅，所以不等式ax 2﹣ax +1＜0的解集是空集， 当a ＝0，不等式等价为1＜0，无解，所以a ＝0成立．当a ≠0时，要使ax 2﹣ax +1＜0的解集是空集，则{a ＞0△=a 2−4a ≤0，解得0＜a ≤4．综上实数a 的取值范围0≤a ≤4．（3）（子集与真子集）已知集合1{|42k M x x ==+，}k Z ∈，1{|24k N x x ==+，}k Z ∈，则( ) A ．M N =B ．M ⊊NC ．N ⊊MD ．M∩N=∅【思路分析】将集合M ，N 中的表达式形式改为一致，由N 的元素都是M 的元素，即可得出结论． 【答案】M ＝{x |x =k4+12，k ∈Z }＝{x |x =k+24，k ∈Z }，N ＝{x |x =k2+14，k ∈Z }＝{x |x =2k+14，k ∈Z }，∵k +2（k ∈Z ）为整数，而2k +1（k ∈Z ）为奇数，∴集合M 、N 的关系为N ⊊M ．故选：C ．【变式训练1】．（1）（2019·浙江省温州中学高一月考）（子集与真子集个数问题）已知集合21,,{1}A a a =-，若0A ∈，则a =______；A 的子集有______个.【答案】0或1- 8【解析】∵集合21,,{1}A a a =-，0A ∈，∴0a =或2101a a ⎧-=⎨≠⎩，解得0a =或1a =-.A 的子集有328=个.故答案为：0或1-，8.（2）若集合2{|20}A x x x m =-+==∅，则实数m 的取值范围是( ) A ．(,1)-∞-B ．(,1)-∞C ．(1,)+∞D ．[1，)+∞【解析】∵A ＝{x |x 2﹣2x +m ＝0}＝∅，∴方程x 2﹣2x +m ＝0无解，即△＝4﹣4m ＜0， 解得：m ＞1，则实数m 的范围为（1，+∞），故选：C ．【点睛】此题考查了空集的定义，性质及运算，熟练掌握空集的意义是解本题的关键． 考点4 集合的基本运算1.由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合叫A 与B 的并集，记作A ∪B ；符号表示为A ∪B ＝{x |x ∈A 或x ∈B } 2．并集的性质A ∪B ＝B ∪A ，A ∪A ＝A ，A ∪∅＝A ，A ⊆A ∪B .3.对于两个给定的集合A 、B ，由所有属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合叫A 与B 的交集，记作A ∩B 。
分类讨论思想在高中数学解题中的应用
分类讨论思想在高中数学解题中的应用摘要分类讨论思想是数学中的一个重要思想，其在高中数学解题中得到了广泛的应用。
本文将详细阐述分类讨论思想的定义、重要性、应用及具体案例，以便更好地展示其在高中数学解题中的应用价值。
分类讨论思想；高中数学；解题应用；具体案例一、分类讨论思想是一种数学思想，在高中数学中得到了广泛的应用。
它可以有效地降低解题难度，提高解题效率。
本文将重点研究其在高中数学解题中的应用。
二、分类讨论思想的定义分类讨论思想指的是将问题分为若干小问题，根据不同的情况分别进行讨论，最终得到问题的解决方法的一种数学思想。
使用这种方法，问题就可以逐步分解，降低难度，提高解题效率。
三、分类讨论思想的重要性分类讨论思想的重要性主要体现在以下几个方面：1.降低问题难度采用分类讨论思想，将问题分为若干小问题进行处理，可以使问题难度逐步降低，最终简化问题难度，得到问题的解决方法。
2.提高解题效率分类讨论思想可以使问题分解成若干小问题，这样可以使解决问题的速度更快，提高解题效率。
3.避免遗漏采用分类讨论思想，将问题分为若干小问题进行处理，可以避免因为考虑不全面而遗漏某些情况，从而得到更为全面的解决方法。
四、分类讨论思想在高中数学解题中的应用分类讨论思想在高中数学中的应用非常广泛，下面将以具体案例来说明其应用方法。
1.解决数列问题在解决数列问题时，可以采用分类讨论思想，将数列分成等差数列和等比数列两种情况进行讨论。
例如，如下：已知数列{a_n}满足a_1=-3，a_n+1=2a_n+7，求数列的前n项和。
解：由题意得，a_n+1=2a_n+7化简可得：a_n=2^(n-2)a_1+7(2^(n-2)-1)/(2-1)若数列为等差数列，则d=a_n-a_1=(2^(n-2)-1)*2若数列为等比数列，则q=a_n/a_(n-1)代入公式得：q=2综上所述，当数列为等差数列时，前n项和为n/2(2a_1+(n-1)d)。
小学数学思想方法的梳理(七)分类讨论思想
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 小学数学思想方法的梳理(七)分类讨论思想小学数学思想方法的梳理（七）分类讨论思想七、分类讨论思想 1. 分类讨论思想的概念。
人们面对比较复杂的问题，有时无法通过统一研究或者整体研究解决，需要把研究的对象按照一定的标准进行分类并逐类进行讨论，再把每一类的结论综合，使问题得到解决，这种解决问题的思想方法就是分类讨论的思想方法。
其实质是把问题分而治之、各个击破、综合归纳。
其分类规则和解题步骤是：（1）根据研究的需要确定同一分类标准；（2）恰当地对研究对象进行分类，分类后的所有子项之间既不能交叉也不能从属，而且所有子项的外延之和必须与被分类的对象的外延相等，通俗地说就是要做到既不重复又不遗漏；（3）逐类逐级进行讨论；（4）综合概括、归纳得出最后结论。
分类讨论既是解决问题的一般的思想方法，适应于各种科学的研究；同时也是数学领域解决问题较常用的思想方法。
2. 分类讨论思想的重要意义。
课程标准在总目标中要求学生能够有条理地思考，这种有条理性的思考就是一种有顺序的、有层次的、全面的、有逻辑性的思考，分类讨论就是具有这些特性的思考方法。
因此，分类讨论思想是培养学生有条理地思考和良好数学思维1/ 6品质的一种重要而有效的方法。
无论是解决纯数学问题，还是解决联系实际的问题，都要注意数学原理、公式和方法在一般条件下的适用性和特殊情况下的不适用性，注意分类讨论，从而做到全面地思考和解决问题。
从知识的角度而言，把知识从宏观到微观不断地分类学习，既可以把握全局、又能够由表及里、细致入微，有利于形成比较系统的数学知识结构和构建良好的认知结构。
分类讨论思想与集合思想也有比较密切的联系，知识的分类无时不渗透着集合的思想。
2024年高考数学一轮总复习讲义 第一章 集合、常用逻辑用语、不等式
第一章集合、常用逻辑用语、不等式考情探究本章内容分为两部分．第一部分为集合与简易逻辑、第二部分为不等式．第一部分内容是高考必考内容，难度小，分值为5分，重点考查集合的基本运算，充分、必要条件的判断和含有一个量词命题的否定，集合的基本运算常与不等式结合，考查集合的交、并、补集运算，充分、必要条件的判断常与向量、数列、立体几何、不等式、函数等结合，考查基本概念、定理等，复习时以基础知识为主．第二部分不等式内容在高考题中多作为载体考查其他知识，例如，结合不等式的解法考查集合间的关系与运算、函数的定义域与值域的求解、函数零点的应用等；或考查用基本不等式解决最值问题或恒成立问题．此部分考题以中低档题为主，主要以选择题或填空题的形式出现，分值为5分．对于不等式及其性质内容的复习，需要结合函数的图象与性质、三角函数、数列等知识综合掌握．第一讲集合知识梳理·双基自测知识梳理知识点一集合的基本概念一组对象的总体构成一个集合．1．集合元素的三个特征：确定性、无序性、互异性．2．集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法.3．元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为∉.4.五个特定的集合及其关系图：N*或N＋表示正整数集，N表示非负整数集(或自然数集)，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集．知识点二集合之间的基本关系关系定义表示相等集合A与集合B中的所有元素都相同A＝B子集A中的任意一个元素都是B中的元素A⊆B真子集A是B的子集，且B中至少有一个元素不属于A A B 注意：(1)空集用∅表示．(2)若集合A中含有n个元素，则其子集的个数为2n，真子集的个数为2n －1，非空真子集的个数为2n－2.(3)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．(4)若A⊆B，B⊆C，则A⊆C．知识点三集合的基本运算1．A∩A＝A，A∩∅＝∅.2．A∪A＝A，A∪∅＝A.3．A∩(∁U A)＝∅，A∪(∁U A)＝U，∁U(∁U A)＝A.4．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁U A⊇∁U B⇔A∩(∁U B)＝∅.5．∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)，∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)．双基自测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)任何一个集合都至少有两个子集．(×)(2)集合{x∈N|x3＝x}用列举法表示为{1，－1,0}．(×)(3){x|y＝x2}＝{y|y＝x2}＝{(x，y)|y＝x2}．(×)(4)若5∈{1，m＋2，m2＋4}，则m的取值集合为{1，－1,3}．(×)(5)若A∩B＝A∩C，则B＝C.(×)(6)设U＝R，A＝{x|lg x<1}，则∁U A＝{x|lg x≥1}＝{x|x≥10}．(×)[解析](4)当m＝－1时，m＋2＝1，与集合中元素的互异性矛盾，故(4)错．(6)中A＝{x|0<x<10}，∁U A＝{x|x≤0或x≥10}，故(6)错．题组二走进教材2．(多选题)(必修1P9T1改编)已知集合A＝{x|x2－2x＝0}，则有(ACD)A．∅⊆A B．－2∈AC．{0,2}⊆A D．A⊆{y|y<3}[解析]易知A＝{0,2}，A，C，D均正确．3．(必修1P35T9改编)已知集合U＝{x|－4<x<3}，A＝{x|－2≤x<1}，则∁U A ＝(A)A．(－4，－2)∪[1,3)B．[－2,1)C．(－4，－2]∪(1,3)D．(－2,1][解析]根据集合补集的运算解答即可．由题知，集合U＝{x|－4<x<3}，A ＝{x|－2≤x<1}，所以∁U A＝{x|－4<x<－2，或1≤x<3}，即∁U A＝(－4，－2)∪[1,3)，故选A.4．(必修1P13T1改编)已知全集U＝R，集合A＝{x|－1≤x<3}，B＝{x|2x－4≥x－2}，则A∪B＝{x|x≥－1}，∁U(A∩B)＝{x|x<2或x≥3}.题组三走向高考5．(2023·全国甲文，1,5分)设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合M＝{1,4}，N＝{2,5}，则N∪∁U M＝(A)A．{2,3,5}B．{1,3,4}C．{1,2,4,5}D．{2,3,4,5}[解析]因为U＝{1,2,3,4,5}，M＝{1,4}，所以∁U M＝{2,3,5}，所以N∪∁U M＝{2,3,5}．故选A.6．(2023·新课标Ⅰ，1,5分)已知集合M＝{－2，－1,0,1,2}，N＝{x|x2－x－6≥0}，则M∩N＝(C)A．{－2，－1,0,1}B．{0,1,2}C．{－2}D．{2}[解析]由x2－x－6≥0得x≥3或x≤－2，∴N＝{x|x≥3或x≤－2}，因此M∩N＝{－2}，故选C.7．(2023·新课标Ⅱ，2,5分)设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2,2a－2}，若A⊆B，则a＝(B)A．2B．1D．－1C.23[解析]若a－2＝0，则a＝2，此时A＝{0，－2}，B＝{1,0,2}，不满足A ⊆B；若2a－2＝0，则a＝1，此时A＝{0，－1}，B＝{1，－1,0}，满足A⊆B.故选B.考点突破·互动探究集合的基本概念——自主练透1.已知集合A＝{x|x2≤4}，集合B＝{x|x∈N*，且x－1∈A}，则B等于(C)A．{0,1}B．{0,1,2}C．{1,2,3}D．{1,2,3,4}[解析]因为A＝{x|x2≤4}＝[－2,2]，B＝{x|x∈N*，且x－1∈A}，所以B＝{1,2,3}．2．已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝8，x，y∈N*}，B＝{(x，y)|y>x＋1}，则A∩B 中元素的个数为(B)A.2B．3C．4D．5[解析]求得集合A的元素，由此求得A∩B的元素，从而确定正确选项．依题意A＝{(1,7)，(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，(7,1)}，其中满足y>x＋1的有(1,7)，(2,6)，(3,5)，所以A∩B＝{(1,7)，(2,6)，(3,5)}，有3个元素．故选B.3．设集合A＝{x|3x－1<m}，若1∈A且2∉A，则实数m的取值范围是(C) A．2<m<5B．2≤m<5C．2<m≤5D．2≤m≤5[解析]∵1∈A，∴m>2，又∵2∉A，∴m≤5，因此2<m≤5.故选C.4．设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}0，ba，b a2025＋b2024＝0.[解析]由题意知a≠0，所以a＋b＝0，则ba＝－1，所以a＝－1，b＝1，故a2025＋b2024＝－1＋1＝0.名师点拨：1．用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合．2．集合中元素的互异性常常容易忽略，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中元素是否满足互异性．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题.集合之间的基本关系——师生共研[解析]方法一(列举法)：A …，－12，12，32，52，72，…B …，－12，0，12，1，32，2，52，3，72，…显然AB .方法二(描述法)：集合A x |x ＝k ＋12，k ∈Zx|x ＝2k ＋12，k ∈Z B x|x ＝k2，k ∈Z 2k ＋1可以表示任意奇数，k 可以表示任意整数，故A B .2．(多选题)已知集合A ＝{－3,2}，B ＝{x |ax ＋1＝0}，且B ⊆A ，则实数a 的可能取值为(BD )A ．－13B ．0C ．12D ．13[解析]由题知B ⊆A ，B ＝{x |ax ＋1＝0}，所以B ＝{－3}，{2}，∅.当B ＝{－3}时，－3a ＋1＝0，解得a ＝13；当B ＝{2}时，2a ＋1＝0，解得a ＝－12；当B ＝∅时，a ＝0.综上可得实数a 的可能取值为13，0，－12，故选BD.名师点拨：判断集合间关系的3种方法列举法根据题中限定条件把集合元素表示出来，然后比较集合元素的异同，从而找出集合之间的关系．描述法从元素的结构特点入手，结合通分、化简、变形等技巧，从元素结构上找差异进行判断．数轴法在同一个数轴上表示出两个集合，比较端点之间的大小关系，从而确定集合与集合之间的关系.【变式训练】1．设集合M |x ＝k 2＋14，k ∈ZN |x ＝k4＋12，k ∈(A )A ．M NB ．M ＝NC ．N MD ．M ∩N ＝∅[解析]分别将集合M ，N 中的x 通分，分母相同，只需比较分子即可．对于集合M ：x ＝k 2＋14＝2k ＋14，k ∈Z ，当k ∈Z 时，2k ＋1为奇数，对于集合N ：x＝k 4＋12＝k ＋24，k ∈Z ，当k ∈Z 时，k ＋2为整数，故M N ，故选A.2．已知集合A ＝{x |－1≤x ≤3}，集合B ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若B ⊆A ，则m 的取值范围是(A )A ．(－∞，2]B ．[－1,3]C ．[－3,1]D ．[0,2][解析]当B ≠∅时，要满足B⊆A ，－m ≥－1，＋m ≤3，－m ≤1＋m ，解得0≤m ≤2；当B ＝∅时，1－m >1＋m ，此时m <0.综上，m 的取值范围为m ≤2.集合的基本运算——多维探究角度1集合的运算1.(2024·江苏盐城模拟)已知集合U ＝{x |1<x <6，x ∈N }，A ＝{2,3}，B ＝{2,4,5}，则(∁U A )∩B 等于(A )A ．{4,5}B ．{2,3,4,5}C ．{2}D ．{2,4,5}[解析]由题意得，U ＝{2,3,4,5}，又A ＝{2,3}，则∁U A ＝{4,5}，因为B ＝{2,4,5}，所以(∁U A)∩B＝{4,5}．故选A.[解析]集合M中的元素是被3除余1的数，集合N中的元素是被3除余2的数，所以集合∁U(M∪N)中的元素是被3整除的数，即∁U(M∪N)＝{x|x＝3k，k∈Z}，故选A.3．(多选题)(2022·潍坊质检)已知集合A＝{x|－1<x≤3}，集合B＝{x||x|≤2}，则下列关系式正确的是(BD)A．A∩B＝∅B．A∪B＝{x|－2≤x≤3}C．A∪∁R B＝{x|x≤－1或x>2}D．A∩∁R B＝{x|2<x≤3}[解析]∵A＝{x|－1<x≤3}，B＝{x||x|≤2}＝{x|－2≤x≤2}，∴A∩B＝{x|－1<x≤3}∩{x|－2≤x≤2}＝{x|－1<x≤2}，A不正确；A∪B＝{x|－1<x≤3}∪{x|－2≤x≤2}＝{x|－2≤x≤3}，B正确；∵∁R B＝{x|x<－2或x>2}，∴A∪∁R B＝{x|－1<x≤3}∪{x|x<－2或x>2}＝{x|x<－2或x>－1}，C不正确；A∩∁R B＝{x|－1<x≤3}∩{x|x<－2或x>2}＝{x|2<x≤3}，D正确．角度2利用集合的运算求参数1.已知集合A＝{x|x2－3x<0}，B＝{1，a}，且A∩B有4个子集，则实数a的取值范围是(B)A．(0,3)B．(0,1)∪(1,3)C．(0,1)D．(－∞，1)∪(3，＋∞)[解析]因为A∩B有4个子集，所以A∩B中有2个不同的元素，所以a∈A ，所以a 2－3a <0，解得0<a <3.又a ≠1，所以实数a 的取值范围是(0,1)∪(1,3)，故选B.2．已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}≠∅，若A ∩B ＝B ，则实数m 的取值范围为_[2,3]__.[解析]由A ∩B ＝B 知，B ⊆A.又B ≠∅m －1≥m ＋1，＋1≥－2，m －1≤5，解得2≤m ≤3，则实数m 的取值范围为[2,3]．[引申1]本例2中若B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}情况又如何？[解析]应对B ＝∅和B ≠∅进行分类．①若B ＝∅，则2m －1<m ＋1，此时m <2.②若B ≠∅，由例得2≤m ≤3.由①②可得，符合题意的实数m 的取值范围为(－∞，3]．[引申2]本例2中是否存在实数m ，使A ∪B ＝B ？若存在，求实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由．[解析]由A ∪B ＝B ，即A ⊆B＋1≤－2，m －1≥5，≤－3，≥3，不等式组无解，故不存在实数m ，使A ∪B ＝B .[引申3]本例2中，若B ＝{x |m ＋1≤x ≤1－2m }，A B ，则m 的取值范围为(－∞，－3].[解析]＋1≤－2，－2m ≥5，解得m ≤－3.名师点拨：集合的基本运算的关注点1．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．2．有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．3．注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn 图．4．根据集合运算结果求参数，先把符号语言译成文字语言，然后应用数形结合求解．【变式训练】1．(角度1)(2023·全国乙文，2,5分)设全集U＝{0,1,2,4,6,8}，集合M＝{0,4,6}，N＝{0,1,6}，则M∪∁U N＝(A)A．{0,2,4,6,8}B．{0,1,4,6,8}C．{1,2,4,6,8}D．U[解析]易得∁U N＝{2,4,8}，又M＝{0,4,6}，∴M∪∁U N＝{0,2,4,6,8}．故选A.2．(角度1)(2024·上海控江中学月考)设集合A＝{x∈Z|x2<4}，B＝{x|y＝x－1}，则A∩(∁R B)＝(C)A．{x|－2<x<1}B．{x|－2<x≤1}C．{－1,0}D．{－1}[解析]A＝{x∈Z|x2<4}＝{－1,0,1}，B＝{x|y＝x－1}＝[1，＋∞)，则∁R B ＝(－∞，1)，所以A∩(∁R B)＝{－1,0}，故选C.3．(多选题)(角度2)若集合A＝{x|x<a}，B＝{x|lg x≥0}，且满足A∪B＝R，则实数a的值可以为(AC)A．2B．－1C．1D．－2[解析]集合A＝{x|x<a}，B＝{x|lg x≥0}，由题意得B＝{x|x≥1}，因为A∪B＝R，所以a≥1.所以实数a的取值范围是[1，＋∞)．故选AC.4．(角度2)已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1≤x≤m＋1}，且B⊆A，则实数m的取值范围是[－1，＋∞).[解析]∵B⊆A，①当B＝∅时，2m－1>m＋1，解得m>2，②当B ≠∅m －1≤m ＋1，m －1≥－3，＋1≤4，解得－1≤m ≤2.综上，实数m 的取值范围是[－1，＋∞)．名师讲坛·素养提升集合中的新定义问题非空数集A 如果满足：①0∉A ；②若∀x ∈A ，有1x∈A ，则称A 是“互倒集”．给出以下数集：①{x ∈R |x 2＋ax ＋1＝0}；②{x |x 2－6x ＋1≤0}|y ＝2x ，x ∈[1，4]其中是“互倒集”的序号是②③.[解析]①中，{x ∈R |x 2＋ax ＋1＝0}，二次方程判别式Δ＝a 2－4，故－2<a <2时，方程无根，该数集是空集，不符合题意；②中，{x |x 2－6x ＋1≤0}，即{x |3－22≤x ≤3＋22}，显然0∉A ，又13＋22≤1x ≤13－22，即3－22≤1x ≤3＋22，故1x也在集合中，符合题意；|y ＝2x ，x ∈[1，，|12≤y≤，0∉A ，又12≤1y ≤2，故1y也在集合A 中，符合题意．名师点拨：集合新定义问题的“3定\”1．定元素：确定已知集合中所含的元素，利用列举法写出所有元素．2．定运算：根据要求及新定义运算，将所求解集合的运算问题转化为集合的交集、并集与补集的基本运算问题，或转化为数的有关运算问题．3．定结果：根据定义的运算进行求解，利用列举法或描述法写出所求集合中的所有元素．【变式训练】(多选题)(2024·重庆市长寿中学月考)若一个集合是另一个集合的子集，则这两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方子集，则称两个集合为“蚕食”，对于集合A＝{－1,0,2}，B＝{x|ax2＝2，x∈R}，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则a的值可以为(ACD)A．0B．1C．12D．－1[解析]若B⊆A，则B＝∅，解得a≤0，故选AD；若两个集合有公共元素，则－1∈B，解得a＝2，若2∈B，解得a＝12，经检验符合题意，故选C.因此选ACD.提能训练练案[1]A组基础巩固一、单选题1．已知集合A＝{－1,0,1}，B＝{m|m2－1∈A，m－1∉A}，则集合B中所有元素之和为(C)A.0B．1C．－1D．2[解析]根据题意列式求得m的值，即可得出答案．根据条件分别令m2－1＝－1,0,1，解得m＝0，±1，±2，又m－1∉A，所以m＝－1，±2，B＝{－1，2，－2}，所以集合B中所有元素之和是－1，故选C.2．(2023·山西河津中学模拟)下列四个选项中正确的是(D)A．{1}∈{0,1}B．1⊆{0,1}C．∅∈{0,1}D．1∈{0,1}[解析]对于A：{1}⊆{0,1}，故A错误；对于B：1∈{0,1}，故B错误；对于C：∅⊆{0,1}，故C错误；对于D：1∈{0,1}，故D正确．故选D.3．下列各组集合中表示同一集合的是(B)A．M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)}B．M＝{2,3}，N＝{3,2}C．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}D．M＝{2,3}，N＝{(2,3)}[解析]由集合元素的无序性，易知{2,3}＝{3,2}．故选B.4．(2023·天津，1,5分)设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,3}，B＝{1,2,4}，则A∪(∁U B)＝(A)A．{1,3,5}B．{1,3}C．{1,2,4}D．{1,2,4,5}[解析]由题意知∁U B＝{3,5}，∴A∪(∁U B)＝{1,3,5}，故选A.5．(2022·新高考Ⅱ卷)已知集合A＝{－1,1,2,4}，B＝{x||x－1|≤1}，则A∩B ＝(B)A．{－1,2}B．{1,2}C．{1,4}D．{－1,4}[解析]B＝{x|0≤x≤2}，故A∩B＝{1,2}．故选B.6．设集合A，3，a2－3a，a＋2a＋B＝{|a－2|,0}．已知4∈A且4∉B，则实数a的取值集合为(D)A．{－1，－2}B．{－1,2}C．{－2,4}D．{4}[解析]由题意可得，①当a2－3a＝4且|a－2|≠4时，解得a＝－1或4.当a ＝－1时，集合A＝{2,3,4,4}，不满足集合中元素的互异性，故a≠－1；当a＝4时，集合A，3，4B＝{2,0}，符合题意．②当a＋2a＋7＝4且|a－2|≠4时，解得a＝－1，由①可得不符合题意．综上，实数a的取值集合为{4}．故选D.7．设集合M |x＝k3＋16，k∈ZN|x＝k6＋13，k∈结论正确的是(B)A．M＝N B．M NC．N M D．M∩N＝∅[解析]解法一：由题意知M，－12，－16，16，12，56，76，N，－16，0，16，13，12，23，56，M N .故选B.解法二：M|x ＝2k ＋16，k ∈Z N|x ＝k ＋26，k ∈2k ＋1表示所有奇数，而k ＋2表示所有整数(k ∈Z )，∴M N .故选B.8．(2023·全国乙理，2,5分)设全集U ＝R ，集合M ＝{x |x <1}，N ＝{x |－1<x <2}，则{x |x ≥2}＝(A )A ．∁U (M ∪N )B ．N ∪∁U MC ．∁U (M ∩N )D ．M ∪∁U N[解析]集合M ，N在数轴上的表示如图．由图可知∁U (M ∪N )＝{x |x ≥2}．二、多选题9．(2022·全国模拟预测)设集合A ＝{2，a 2－a ＋2,1－a }，若4∈A ，则a 的值为(BC )A ．－1,2B ．－3C ．2D ．3[解析]由集合中元素的确定性知a 2－a ＋2＝4或1－a ＝4.当a 2－a ＋2＝4时，a ＝－1或a ＝2；当1－a ＝4时，a ＝－3.当a ＝－1时，A ＝{2,4,2}不满足集合中元素的互异性，故a ＝－1舍去；当a ＝2时，A ＝{2,4，－1}满足集合中元素的互异性，故a ＝2满足要求；当a ＝－3时，A ＝{2,14,4}满足集合中元素的互异性，故a ＝－3满足要求．综上，a ＝2或a ＝－3.故选BC.10．已知集合A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |2a －3<x <a －2}，下列说法正确的是(AD )A ．不存在实数a 使得A ＝BB ．当a ＝4时，A ⊆BC ．当0≤a ≤4时，B ⊆AD ．存在实数a 使得A ⊆(∁R B )[解析]由集合相等列方程组验算；选项B 由a ＝4得B ＝∅，故不满足A⊆B；选项C通过假设B⊆A求出实数a的取值范围可判定，通过举例判断D.若集合A＝B，a－3＝1，－2＝2，因为此方程组无解，所以不存在实数a使得集合A＝B，故选项A正确；当a＝4时，B＝{x|5<x<2}＝∅，不满足A⊆B，故选项B 错误，若B⊆A，则①当B＝∅时，有2a－3≥a－2，a≥1；②当B≠∅时，有<1，a－3≥1，－2≤2，此方程组无实数解；所以若B⊆A，则有a≥1，故选项C错误；当a＝1时，B＝∅，∁R B＝R，A⊆∁R B，故D正确，故选AD.11．已知全集U的两个非空真子集A，B满足(∁U A)∪B＝B，则下列关系一定正确的是(CD)A．A∩B＝∅B．A∩B＝BC．A∪B＝U D．(∁U B)∪A＝A[解析]令U＝{1,2,3,4}，A＝{2,3,4}，B＝{1,2}，满足(∁U A)∪B＝B，但A∩B≠∅，A∩B≠B，故A，B均不正确；由(∁U A)∪B＝B，知∁U A⊆B，∴U＝A∪(∁U A)⊆(A∪B)，∴A∪B＝U，由∁U A⊆B，知∁U B⊆A，∴(∁U B)∪A＝A，故C，D均正确．12．已知集合A＝{x|x2－3x＋2≤0}，B＝{x|2<2x≤8}，则下列判断正确的是(CD)A．A∪B＝BB．(∁R B)∪A＝RC．A∩B＝{x|1<x≤2}D．(∁R B)∪(∁R A)＝{x|x≤1或x>2}[解析]因为x2－3x＋2≤0，所以1≤x≤2，所以A＝{x|1≤x≤2}；因为2<2x≤8，所以1<x≤3，所以B＝{x|1<x≤3}．所以A∪B＝{x|1≤x≤3}，A∩B＝{x|1<x≤2}．(∁R B )∪A ＝{x |x ≤2或x >3}，(∁R B )∪(∁R A )＝{x |x ≤1或x >2}．三、填空题136a －1∈N |a ∈_{1,2,3,6}__.[解析]根据已知条件，先求出a 的值，即可求解．∵6a －1∈N 且a ∈N ，∴a －1＝1或a －1＝2或a －1＝3或a －1＝6，解得a ＝2或a ＝3或a ＝4或a ＝7，∴6a －1对应的值为6,3,2,16a －1∈N |a ∈{1,2,3,6}．14．(2024·九省联考试题)已知集合A ＝{－2,0,2,4}，B ＝{x ||x －3|≤m }，若A ∩B ＝A ，则m 的最小值为_5__.[解析]∵A ∩B ＝A ，∴m >0，∴B ＝[3－m,3＋m ]，－m ≤－2，＋m ≥4，∴m ≥5，故填5.15．(2022·天津模拟)已知集合A ＝{x |x 2＝x }，集合B ＝{x |1<2x <4}，则集合A 的子集个数为_4__；A ∩B ＝_{1}__.[解析]A ＝{x |x 2＝x }＝{0,1}，B ＝{x |1<2x <4}＝{x |0<x <2}，故集合A 的子集个数为N ＝22＝4，A ∩B ＝{1}．16．已知集合A ＝{x |(x －1)(x －3)<0}，B ＝{x |2<x <4}，则A ∩B ＝_(2,3)__，A ∪B ＝_(1,4)__，(∁R A )∪B ＝_(－∞，1]∪(2，＋∞)__.[解析]由已知得A ＝{x |1<x <3}，B ＝{x |2<x <4}，所以A ∩B ＝{x |2<x <3}，A ∪B ＝{x |1<x <4}，(∁R A )∪B ＝{x |x ≤1或x >2}．17．(2024·衡水模拟)已知集合A ＝{x |0<x <1}，集合B ＝{x |－1<x <1}，集合C ＝{x |x ＋m >0}，若(A ∪B )⊆C ，则实数m 的取值范围是_[1，＋∞)__.[解析]∵集合A ＝{x |0<x <1}，集合B ＝{x |－1<x <1}，∴A ∪B ＝{x |－1<x <1}，集合C ＝{x |x ＋m >0}＝{x |x >－m }，又(A ∪B )⊆C ，∴－m ≤－1，解得m ≥1.∴实数m 的取值范围是[1，＋∞)．B 组能力提升1．已知集合A ＝{x |－3≤x ≤0}，B ＝{x |x 2≤4}，C ＝{x |x ∈B ，且x ∉A }，则集合C ＝(B )A．∅B．(0,2]C．[－3,2]D．[－3,4][解析]先根据一元二次不等式的性质求出集合B＝{x|－2≤x≤2}，然后再根据集合C中元素的特征即可求解．由题意可知：B＝{x|x2≤4}＝{x|－2≤x≤2}，因为集合A＝{x|－3≤x≤0}，集合C＝{x|x∈B，且x∉A}，所以C＝(0,2]，故选B.2．已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{y|y＝2x－3，x∈A}，则集合A∩B的子集个数为(C)A．1B．2C．4D．8[解析]B＝{－1,1,3,5}，A∩B＝{1,3}，所以集合A∩B的子集个数为22＝4.3．(多选题)(2023·重庆北碚区模拟)已知全集U＝{x∈N|log2x<3}，A＝{1,2,3}，∁U(A∩B)＝{1,2,4,5,6,7}，则集合B可能为(BD)A．{2,3,4}B．{3,4,5}C．{4,5,6}D．{3,5,6}[解析]由log2x<3得0<x<23，即0<x<8，于是得全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，因为∁U(A∩B)＝{1,2,4,5,6,7}，则有A∩B＝{3},3∈B，C不正确；若B＝{2,3,4}，则A∩B＝{2,3}，∁U(A∩B)＝{1,4,5,6,7}，矛盾，A不正确；若B＝{3,4,5}，则A∩B＝{3}，∁U(A∩B)＝{1,2,4,5,6,7}，B正确；若B＝{3,5,6}，则A∩B＝{3}，∁U(A∩B)＝{1,2,4,5,6,7}，D正确．4．已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，集合B＝{x|log2x≤1}，则A∩(∁U B)＝(D)A．(2,3]B．∅C ．[－1,0)∪(2,3]D ．[－1,0]∪(2,3][解析]集合U ＝R ，A ＝{x |x 2－2x －3≤0}＝{x |－1≤x ≤3}，集合B ＝{x |log 2x ≤1}＝{x |0<x ≤2}，所以∁U B ＝{x |x ≤0或x >2}，所以A ∩(∁U B )＝{x |－1≤x ≤0或2<x ≤3}＝[－1,0]∪(2,3]，故选D.5．(2023·湖北孝感模拟)已知集合A ＝{x |y ＝ln(1－2x )}，B ＝{x |x 2≤x }，则∁A ∪B (A ∩B )＝(C )A ．(－∞，0)B －12，1C ．(－∞，0)∪12，1D －12，0[解析]根据题意可知A ∞B ＝[0,1]，所以A ∪B ＝(－∞，1]，A ∩B＝0∁A ∪B (A ∩B )＝(－∞，0)∪12，1，故选C.6．(多选题)设集合A ＝{x |x ＝m ＋3n ，m ，n ∈N *)，若对于任意x 1∈A ，x 2∈A ，均有x 1⊕x 2∈A ，则运算⊕可能是(AC )A ．加法B ．减法C ．乘法D ．除法[解析]由题意可设x 1＝m 1＋3n 1，x 2＝m 2＋3n 2，其中m 1，m 2，n 1，n 2∈N *，则x 1＋x 2＝(m 1＋m 2)＋3(n 1＋n 2)，x 1＋x 2∈A ，所以加法满足条件，A 正确；x 1－x 2＝(m 1－m 2)＋3(n 1－n 2)，当n 1＝n 2时，x 1－x 2∉A ，所以减法不满足条件，B 错误；x 1x 2＝m 1m 2＋3n 1n 2＋3(m 1n 2＋m 2n 1)，x 1x 2∈A ，所以乘法满足条件，C正确；x 1x 2＝m 1＋3n 1m 2＋3n 2，当m 1m 2＝n 1n 2＝λ(λ>0)时，x 1x 2∉A ，所以除法不满足条件，D 错误．7．已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}，集合B ＝{x ∈R |(x －m )(x －2)<0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝_－1__，n ＝_1__.[解析]A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}＝{x ∈R |－5<x <1}，由A ∩B ＝(－1，n )，可知m <1，则B ＝{x |m <x <2}，画出数轴，可得m ＝－1，n ＝1.8．已知集合A x|y ＝log x －12B ＝{x |x <2m －1}，且A ⊆∁R B ，则m 的最大值是34.[解析]依题意，A x |y ＝log x －12x |x >12∁R B ＝{x |x ≥2m －1}，又A ⊆∁R B ，所以2m －1≤12，解得m ≤34.故m 的最大值为34.。
集合相关知识专题
1.1元素与集合1．集合：一些能够确定的不同的对象所构成的整体叫做集合．构成集合的每个对象叫做这个集合的元素．集合一般用英文大写字母,,,A B C 表示．元素一般用英文小写字母,,,a b c 表示；不含任何元素的集合叫做空集，记作∅． 2．元素与集合的关系：∈、∉； 34．元素的性质：确定性、互异性、无序性． 5．集合的表示法 ⑴ 列举法．⑵ 描述法（又称特征性质描述法）：形如{|()}x A p x ∈，()p x 称为集合的特征性质，x 称为集合的代表元素．A 为x 的范围，有时也写为{|()}x p x x A ∈，．⑶ 图示法，又叫韦恩（Venn ）图． ⑷ 区间表示法：用来表示连续的数集．<教师备案> ⑴ 元素的性质：元素的性质中最本质的属性是确定性，集合是有边界的，边界确定了，才能判断一个元素在还是不在集合中．正是因为有确定性，所以可以定义空集，因为所有元素都不在这个集合中，所以这也能构成一个集合，就是空集． ⑵ 集合的表示法：① 列举法一定要会用，当遇到陌生集合时，要会写出其中的元素．比如要想了解集合{|24}A x x k k ==+∈Z ，，{|42}B x x k k ==+∈Z ，的关系，可以用列举法把一个个元素写出来：{42024}A =--，，，，，，，{22610}B =-，，，，，，就知道B 是A 的真子集； ② 描述法是集合的一个重点与难点：{|()}x A p x ∈，x A ∈表达x 的外延，即x 的最大讨论范围，以及集合中元素的形式，到底是数还是点，x 并不一定能取到A 中的所有，只是x 一定是A 中的元素，()p x 表示x 的内涵，是对x 的精确描述．如：集合3123{()|{012}123}i S x x x x i =∈=，，，，，，，，则3(212)S ∈，，，3(234)S ∉，，． ③ Venn 图是表达集合中的各种关系与运算的；④ 区间表示法课本上是在函数的三要素那一节出现的，我们为了方便与统一把它放到集合中，当一个连续数集写成区间时，默认左端点是小于等于右端点的，如区间(213)a a -，，就表示213a a -<，即1a >-．这与{|213}x a x a -<<是有区别的，这个集合可以出现213a a -≥的情况，此时这个集合是空集．暑期知识回顾1．由实数a ，a -，a 所组成的集合里，所含元素个数最多．．有（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【解析】C2．下列集合中恰有2个元素的集合是（）A. 2{0}x x-= B. 2{|0}y y y-= C. 2{|}x y x x=- D. 2{|}y y x x=-【解析】B．3．若{}2123A=-，，，，{}2|B x x t t A==∈，，则集合B中的元素共有（）A．3个B．4个C．7个D．8个【解析】A经典考点考点1：元素与集合的关系例1.⑴已知{}222(1)33A a a a a=++++，，，若1A∈，求实数a的值．⑵已知a∈Z，集合{}(,)3A x y ax y=-≤，且(2,1)A∈，(1,4)A-∉，求满足条件的a的值．⑶已知a∈Z，b∈Z，集合2{()|()36}E x y x a b y=-+，≤，点(21)E∈，，但点(10)E∉，，(32)E∉，，求a b，的值．⑷已知A是数集，且满足：若x A∈，则23Ax-∈，则当x=时，A中仅有1个元素．若集合A 中有且仅有两个元素，集合A=_______．【解析】⑴0a=；⑵012，，；⑶11a b=-=-，．⑷1或2；{12}，．例2.设A是非空数集，0A∉，1A∉，且满足条件：若a A∈，则11A a∈-．证明：⑴若2A∈，则A中必还有另外两个元素；⑵集合A不可能是单元素集；⑶集合A中至少有三个不同的元素．【解析】⑴若2A∈，则1112A=-∈-，于是()11112A=∈--，故集合A中还含有1-，12两个元素．⑵若A为单元素集，则11aa=-，即210a a-+=，此方程无实数解，∴11aa≠-，∴a与11a-都为集合A的元素，则A不可能是单元素集．⑶由A是非空集合知存在1111111aa A A Aa aa-∈⇒∈⇒=∈----．现只需证明a 、11a -、1a a--三个数互不相等． ①若21101a a a a =⇒-+=-，方程无解，∴11a a ≠-； ②若2110a a a a a -=⇒-+=-，方程无解；∴1aa a -≠-； ③若211101a a a a a -=⇒-+=--，方程无解，∴111a a a -≠--， 故集合A 中至少有三个不同的元素．【备注】集合离不开元素，元素是集合的核心，所以解决有关集合中的探索性问题，可以先从元素入手，作为解题的切入点．解此题关键在于由已知a A ∈，1a ≠，得到11A a ∈-，1111A a∈--，然后逐步探索，再根据集合中元素的互异性，从而将问题加以解决．⑵中用到反证法的解题思想．下面的例3中会进一步提到正难则反的思想．考点2：两个集合相等<教师备案> 两个集合相等是集合的关系中出现的概念，但对于由列举法表示的集合来说，两个集合相等就是指两个集合中的元素完全相同，所以放在元素与集合这一板块中讲解更顺一些．下一板块的集合相等的定义主要针对更复杂更抽象的集合，通过互相包含得到相等关系．例1.⑴若a ，b ∈R ，集合{}10b a b a b a ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭，，，，，则b a -=_____． ⑵由三个实数构成的集合，既可以表示为1b a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，，，也可表示为{}20a a b +，，，则20132013a b +=____． ⑶已知集合2{2}{}A m m d m d B m mq mq =++=，，，，，，0m ≠其中，且A B =，则q =___．【解析】 ⑴ 2；⑵ 1-；点评：根据两集合的元素是相同的，可以列方程组分类讨论，但显然复杂又繁琐，这时从特殊元素出发，如发现0这个特殊元素和ba中的a 不为0的隐含信息，就能得到简便解法．⑶ 12-；考点3：集合中涉及到的数学思想<教师备案> 本讲的例题很多都涉及到数学思想，如例1与例2都涉及到了分类讨论的思想，例5与例6会涉及到数形结合的思想．例3是对集合的思想的集中体现，可以在这里对集合中常用的数学思想作一个介绍与说明．例3不同的方法对应不同的思考方式，直接解决需要分类讨论，间接解决就是考虑问题的反面．遇到至少有、至多有的问题，需要注意问题的反面的形式．例1.已知集合{}2|320A x ax x =++=中至多有一个元素，则实数a 的取值范围是 ．【解析】 0a =或98a ≥．解法一（按照A 的元素个数分类讨论）： 解法二（按照方程的次数分类讨论）：解法三（先考虑问题的反面）例2.已知{}2|0A x x x a =++≤，{}2|210B x x x a =-+-<，{}|49C x a x a =-≤≤，且A ，B ，C 中至少有一个不是空集，求实数a 的取值范围．【解析】 5|38a a a ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭≥或．至少有1个不是空集，考虑方法有两种：第1种：A ≠∅或B ≠∅或C ≠∅也就是14a ≤，58a <和3a ≥取并集．第2种，至少有1个不是空集的反面是什么？如我们班至少有1个男生反面是不到1个男生，也就是没有男生，∴“至少有1个不是空集”的反面是“全都是空集”． “全都是空集”⇒取A =∅，B =∅，C =∅的公共部分也就是交集，再取个补集就行．当遇到正面分类讨论比较多时，不妨考虑问题反面．若改成“至少有两个是空集”，那么反面是什么？最多有1个空集．比如某富二代说“我家至少有10栋房”，那么反面是他家至多有9栋房．例3.已知集合2{|4430}A x x ax a =+-+=，22{|(1)0}B x x a x a =+-+=，2{|220}C x x ax a =+-=.若A B C ，，中至少有一个不是空集，求实数a 的取值范围．【解析】 32a -≤或1a -≥．1.2集合之间的关系与运算1．子集：如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 的元素，则A 是B 的子集，记作A B ⊆或B A ⊇； 规定：∅是任意集合的子集．如果集合A 中存在着不是集合B 中的元素，那么集合A 不包含于B ，记作B A ⊄． 2．真子集：如果集合A B ⊆，且存在x B ∈，但x A ∉，我们称集合A 是集合B 的真子集，记作AB （或BA ），读作A 真包含于B （B 真包含A ）．规定：∅是任意非空集合的真子集．3．集合相等：如果A B ⊆，且B A ⊆，我们说集合A 与集合B 相等，记作A =B ． 4．交集：{}|A B x x A x B =∈∈且； 5．并集：{}|A B x x A x B =∈∈或； 6．补集：①全集：如果所研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集，常用U 表示．②补集：A 在U 中的补集的数学表达式是{}A x U x x A C U ∉∈=且,．7．A B A B A A B B ⊆⇔=⇔=．<教师备案> 集合的关系与运算在同步时放在同一个板块中讲解，如果班上学生进度太慢，且没有预习，老师可以对后面的顺序进行调整，知识回顾1与例4是集合的关系，知识回顾2是集合的运算．暑期知识回顾1．⑴ 下列各个关系式中，正确的是（ ）A ．{}0∅=B QC ．{}{}3553≠，，D ．{}{}21|x x x ⊆=⑵ 若集合{}1M x x =>-，则下列关系成立的是（ ）A ．0M ⊆B ．{}0M ⊆C ．M ∅∈D ．{}0M ∈⑶ 已知两个集合1M x y x ⎧⎫=∈=⎨⎬⎩⎭R ，1N y y x ⎧⎫=∈=⎨⎬⎩⎭R ，这两个集合的关系是（ ）A ．M N =B ．M N ∈C ．N M ⊆ D.N M ⊇⑷ 设{}2S x x n n ==∈Z ，，{}42P x x n n ==+∈Z ，，则下列关系正确的是（ ）A ．S P ⊆B ．S P =C ．P S ⊇D ．P S ∈【解析】 ⑴ D ⑵ B ⑶ A ⑷ C2．⑴ 设集合{}|32M m m =∈-<<Z ，{}|13N n n =∈-Z ≤≤，则M N =___________． ⑵ 设集合{}|||2M x x x =<∈Z ，，{210}N =--，，，则MN =_________．⑶ 已知全集{12345}U =，，，，，集合2{|320}A x x x =-+=，{|2}B x x a a A ==∈，，则集合()B A C U 中元素的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 ⑴ {}101-，，；⑵ {}2101--，，， ⑶ B经典考点考点4：集合的关系例1.设集合{}|61M x x k k ==+∈Z ，，{}|64N x x k k ==+∈Z ，，{|32}P x x k k ==-∈Z ，，则下列说法正确的有________． ①P N M =②P N M =③M N =∅④N M C P =例2.设集合1|24kM x x k ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭Z ，，1|42k N x x k ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭Z ，，则（ ）A ．M N =B ．N M ⊆C ．N M ⊇D ．M N =∅例3.已知集合1|6M x x m m ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭Z ，，1|23n N x x n ⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭Z ，，1|26p P x x p ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭Z ，，则M 、N 、P 满足的关系是（ ）A ．P N M =B ．()P N M =C ． P N M =D ．M P N =【解析】 ⑴ ③④；⑵ B ； ⑶ B ；考点5：集合的关系与运算<教师备案> 例5是具体的集合的关系与运算，其中⑴涉及一元二次方程的解集，是有限集问题；从⑵－⑸是连续数集问题，借助韦恩图会更容易解决．对于一般的集合问题，这里有个易错点，即空集是任何集合的子集，考虑子集问题先想空集！为了避免有部分学生没有上过暑期班，所以这一节我们尽量避开了集合的区间表示法．例1.⑴已知{}{}22240,2(1)10A x x x B x x a x a =+==+++-=，其中a ∈R ，如果A B B =，则实数a 的取值范围是_______．⑵已知集合{}|25A x x =-<<，{}|121B x a x a =+-≤≤，若A B B =，则实数a 的取值范围是 ．⑶已知集合{}|40A x x x =><或，{}|10B x ax =->，若A B A =，则实数a 的取值范围是 ．⑷设集合{}1A x x a x =-<∈R ，，{}15B x x x =<<∈R ，，若A B =∅，则实数a 的取值范围是___________．⑸设集合{}|21A x a x a =+≤≤，{}|2151B x a x a =-+≤≤，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是__________.【解析】 ⑴ {|1a a -≤或1}a =；⑵ {|3}a a <；⑶ 1|4a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭≤；⑷ {|0a a ≤或6}a ≥；⑸ ① {|1a a <-或01}a ≤≤；<教师备案> 对于具体集合的子集问题例5已经讲得很明白，对于抽象的集合，要理解A B ⊆，需要从元素角度出发：即对任意的x A ∈，有x B ∈；这在证明抽象的集合的关系时很有用，见下面的德摩根律的证明．考点6：韦恩图例1.⑴设A 、B 、I 均为非空集合，且A B I ⊆⊆，则下列各式中错误的是( )A ． ()IB AC I =B ．()()I BC A C I I = C ． ()φ=B C A ID ．()()B C B C A C I I I =⑵若全集{}123456789U =，，，，，，，，，A 、B 为U 的子集，且(){}9,1=B A C U ，{}2A B =，()(){}8,6,4=B C A C U U ，求A 、B 和B C U ．⑶某班学生期中考试成绩表明：①36人数学成绩不低于80分；②20人物理成绩不低于80分；③15人的数学、物理成绩都不低于80分. 则这两科成绩至少有一科不低于80分的人数为_______．【解析】 ⑴ B ；⑵ {}2357A =，，，，{}129B =，，，{}345678UB =，，，，，．⑶ 41；【点评】对于任意两个集合A 、B ，记有限集合A 的元素个数为card()A ，有限集合B 的元素个数为card()B ，上面的结论card()card()card()card()A B A B A B =+-就是容斥原理，而且可以推广到三个或更多的集合： card()card()card()card()card()card()card()card()A B C A B C A B A C B C A B C =++---+备注：【练习】学生版也出现，一般在介绍一种新的方法或题型时，会配上练习让学生巩固一下．例2.已知全集I 中有15个元素，集合MN 中有3个元素，()()N C M C I I 中有5个元素，()N M C I 有4个元素，则集合M 中的元素个数是_____．【解析】6；考点7：子集个数问题若集合A 中有n 个元素，则集合A 的子集有2n 个，真子集有21n -个，非空真子集有22n -个．<教师备案> 这个结论可以归纳得到：当A 中有两个元素时，记为212{}A a a =，，2A 的子集有4个；当A 中有三个元素时，记为3A ，323{}A A a =，2A 的四个子集仍然为3A的子集，且这些子集中加入元素3a 后会得到四个新的互不相同的子集，且3A 的每个子集都可以归在这两类中，从而3A 的子集个数是2A 的两倍，从而3A 有8个子集，可以归纳得到n A (含有n 个元素的集合)有2n 个子集．如果利用乘法原理（奥数学介绍过，在高二会进行系统学习），会很容易得到这个结论，要得到n A 的子集，只需考虑n A 的每个元素在或不在这个子集中，对n 个元素，可以通过n 步得到，每步有两种不同的方法，故共对应2n 个子集．例1.已知A B ⊆，A C ⊆，{01234}B =，，，，，{0248}C =，，，，则满足上述条件的集合A 的个数是（ ）A ．8B ．32C ．16D ．4【解析】 A例2.⑴已知{12310}A =，，，，，{12345}B =，，，，，若C 是A 的子集，且B C ≠∅，则子集C 共有_____个．⑵若集合A 满足：对任意x A ∈，都有1A x∈，就称A 是“和谐”集合．则在集合111012345632M ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，，，，，，，，，的所有非空子集中，“和谐”集合有_______个．⑶已知集合{123456}A =，，，，，，12k S S S ，，，是A 的若干个不同的二元子集，对任意的1i j k <≤≤，设{}i i i S a b =，，{}j j j S a b =，满足min min j j i i i i j j a b a b b a b a ⎧⎫⎧⎫⎪⎪≠⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩⎭，，，则k 的最大值为______．【解析】 ⑴ 992；⑵ 15 ⑶11；例3.求集合{123100}M =，，，，的所有子集的元素之和的和（规定空集的元素和为零） 【解析】 先分析特殊情形，发现元素出现的规律之后再研究集合M ．99992(12100)50502⨯+++=⋅．一般地：如果{123}M n =，，，，（*n ∈N ），则M 的子集共有2n 个，所有子集的元素和之和为221(1)2(12)22(1)22n n n n n n n n -+⨯⨯+++=⋅=⋅+．考点8：集合的新定义问题例1.⑴定义集合运算：{|}A B z z xy x A y B *==∈∈，，，设{12}A =，，{02}B =，，则集合 A B *的所有元素之和为（ ） A ．0 B ．2 C ．3 D ．6 ⑵对任意两个集合M 、N ，定义：{|M N x x M -=∈，且}x N ∉，()()M N M N N M ∆=--．设{}2,M y y x x ==∈R ，{}|||3N x x =≤，则M N ∆= ．⑶集合{123456}S =，，，，，，A 是S 的一个子集，当x A ∈时，若1x A -∉，且1x A +∉，则称x 为A 的一个“孤立元素”，那么S 无“孤立元素”的4元子集的个数是______．S 的所有的有“孤立元素”的子集个数是__________．⑷设符号“”是数集A 中的一种运算(如：减法运算、乘法运算)，如果对于任意的,x y A ∈，都有x y A ∈，则称集合A 对于运算“”是封闭的(除法运算时，要求0y ≠)．下列说法正确的是_______． ① 整数集Z 对于实数的加法与乘法都是封闭的； ② 有理数集Q 关于实数的四则运算都是封闭的；③ {2}Q 对于实数的乘法运算是封闭的；④ 集合{}|,,A x x m m n ==∈Z 对实数的乘法是封闭的； ⑤ 集合{}22|,,B x x m n m n ==+∈Q 对实数的乘法是封闭的．⑸已知P 为数集，且至少含有两个数，若此数集关于四则运算封闭，那么称P 为数域，如有理数集Q 就是一个数域，数集{}|F x x a a b ==+∈Q ，也为数域，下列说法正确的是 ．①整数集为数域．②若M ⊆Q ，则M 为数域． ③数域一定是无限集．④存在无穷多个数域．【解析】 ⑴ D ；⑵ {}|303M N x x x ∆=-<>≤或．⑶ 6，43； ⑷ ①②④⑤； ⑸ ③；<教师备案> 关于集合对运算的封闭性，在N 上定义“+”，N 关于加法封闭：即任意两个自然数相加仍为自然数．自然数对于减法是否封闭？不封闭，∴从N 拓展到Z ．数域的拓展都是由于对运算的不封闭所造成的．Z 对于乘法运算是封闭的，但对于除法运算却是不封闭的，于是从Z 拓展到Q ；而从→Q R 是由于Q 对于乘方的逆运算不封闭，包括后面的→R C 也是由于一些运算的不封闭．例2.设A 是整数集的一个非空子集，对于k A ∈，如果1k A -∉，且1k A +∉，那么称k 是A 的一个“孤立元”．给定{}12345678S =，，，，，，，，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有 个． 【解析】 6例3.对于集合{}12n A a a a =，，，，将12n a a a ，，，按由大到小的顺序排好，并在它们中间填入-+-+ 符号，计算得到的数称为集合A 的特征，记为()T A ；例如：{}13458A =，，，，，则()854315T A =-+-+=；若{}1A =，则()1T A =；定义∅的特征为0.⑴ 计算集合{}124679A =，，，，，与{123}S =，，的特征；⑵ 证明：对于{}123n A a a a a =，，，，，*i a ∈N ，12i n =，，，，12n a a a <<<，则()0n T A a ≤≤．⑶ 若{}1232012S =，，，，，请计算S 的所有子集的特征和． 【解析】 ⑴A 的特征是9764215-+-+-=；S 的特征是3212-+=； ⑵ 分析：可以找个具体的集合先研究一下，如{}1358A =，，，，()()()85315T A =-+-=，由于前一个总比后一个大，∴分类考虑当有偶数个元素和奇数个元素时，()0T A ≥；再如{}123581115A =，，，，，，，()151185321T A =-+-+-+，把n a 让出来，后面两两组对，每对都是小于0的数，∴()n T A a ≤，此题说明，当想证明某式大于0时，可以采用分组的方法说明每个部分都大于0，当想证明小于某数时，可以先将这个数踢出去，证明剩余部分小于0，这种思想在以后学数列和不等式时会用的上． 证明：对n 分奇偶讨论： ① 若n 为偶数，12321()()()()0n n n n T A a a a a a a ---=-+-++-≥，（A =∅时取等号）． 1234321()()()()n n n n n n T A a a a a a a a a a ----=--------<； ② 当n 为奇数，123321()()()()0n n n n T A a a a a a a a ---=-+-++-+>，123421()()()()n n n n n n T A a a a a a a a a ----=-------≤；综上知，()0n T A a ≤≤．⑶ 先用一个简单的考虑：{}12S =，，有4个子集，特征和为4； 再考虑{}123S =，，可以偷懒，凡是{}12，的子集都是{}123，，的子集，∴只需写与{}12，不同的子集，怎样写不同子集？只需在{}12，子集上加一个元素3，每增加1个元素，子集个数一定会扩大一倍。
高中数学命题热点名师解密专题：集合的解题技巧(有答案)
专题01 集合的解题技巧一、集合的解题技巧及注意事项 1.元素与集合,集合与集合关系混淆问题； 2.造成集合中元素重复问题； 3.隐含条件问题；4.代表元变化问题；5.分类讨论问题； 6．子集中忽视空集问题； 7.新定义问题；8.任意、存在问题中的最值问题； 9.集合的运算问题； 10.集合的综合问题。
二．知识点 【学习目标】1．了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系,能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)来描述不同的具体问题,理解集合中元素的互异性；2．理解集合之间包含和相等的含义,能识别给定集合的子集,了解在具体情境中全集与空集的含义； 3．理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集,理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集；4．能使用韦恩(Venn )图表达集合间的关系与运算． 【知识要点】 1．集合的含义与表示(1)一般地,我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫集合,简称集． (2)集合中的元素的三个特征：确定性、互异性、无序性 (3)集合的表示方法有：描述法、列举法、区间法、图示法(4)集合中元素与集合的关系分为属于与不属于两种,分别用“∈”或“∉”来表示． (5)常用的数集：自然数集N ；正整数集N *(或N ＋)；整数集Z ；有理数集Q ；实数集R. 2．集合之间的关系(1)一般地,对于两个集合A ,B .如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素,我们就说这两个集合有包含关系,称集合A 为集合B 的子集,记作A B ⊆；若A ⊆B ,且A ≠B ,则A B ⊂,我们就说A 是B 的真子集． (2)不含任何元素的集合叫做空集,记作Φ,它是任何集合的子集,即∅⊆A ． 3．集合的基本运算(1)并集：A ∪B ＝{x |x ∈A 或x ∈B }； (2)交集：A ∩B ＝{x |x ∈A 且x ∈B }； (3)补集：∁U A ＝．4．集合的运算性质(1)A∩B＝A⇔A⊆B,A∩A＝A,A∩∅＝∅；(2)A∪B＝A⇔A⊇B,A∪A＝A,A∪∅＝A；(3)A⊆B,B⊆C,则A⊆C；【点评】：注意两个集合代表元的条件,容易忽视集合中元素属于整数的条件.练习2．【江西省九江市2019届高三第一次联考】已知集合,集合,则图中的阴影部分表示的集合是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】图中阴影部分表示的集合为,所以先求出集合A,B后可得结论．【解析】由题意得,所以,即图中阴影部分表示的集合为．故选C．【点评】本题考查集合的元素、韦恩图和集合的补集运算,解题的关键是认清图中阴影部分表示的集合以及所给集合中元素的特征,属于基础题．（四）代表元变化问题例4．【内蒙古鄂尔多斯市一中2018-2019模拟】已知A＝{y|y＝log2x,x>1},B=,则（) A．B．C．D．【答案】C【分析】利用对数性质和交集定义求解．【解析】∵A={y|y=log2x,x>1}={y|y>0},B=,∴A∩B={x|0x≤1}= ．故选C．【点评】本题考查交集的求法,是基础题,解题时要注意对数函数的性质的灵活运用．练习1.【华东师范大学附中2018-2019学年试题】集合,的元素只有1个,则的取值范围是__________.【答案】【分析】由中有且仅有一个元素,可知两个方程联立得到方程是一次方程或二次方程有两个相等的根；利用分类讨论思想,可求出的范围.【解析】联立即,是单元素集,分两种情况考虑:,方程有两个相等的实数根,即,可得,解得,方程只有一个根,符合题意,综上,的范围为故答案为.【点评】本题主要考查集合交集的定义与性质以及一元二次方程根与系数的关系,意在考查综合应用所学知识解答问题的能力,属于中档题.练习2.同时满足：①M ⊆{1,2,3,4,5}；②a∈M且6－a∈M的非空集合M有()A．9个B．8个C．7个D．6个【答案】C共有7个集合满足条件,故选C.【点评】本题主要考查了元素与集合的关系,以及集合与集合的关系的判定与应用,其中熟记元素与集合的关系,以及集合与集合的包含关系是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.（五）分类讨论问题例5. 【九江市2019届高三第一次十校联考】（1）求解高次不等式的解集A；（2）若的值域为B,A B=B求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用讨论的方法求得不等式的解集A；（2）根据函数的单调性求出值域B,由得,转化为不式等组求解,可得所求范围．【解析】（1）①当时,原不等式成立．②当时,原不等式等价于,解得.,综上可得原不等式的解集为,∴．（2）由题意得函数在区间上单调递减,∴,∴,∴．∵,∴,∴,解得,∴实数的取值范围是．【点评】解答本题时注意转化思想方法的运用,已知集合的包含关系求参数的取值范围时,可根据数轴将问题转化为不等式（组）求解,转化时要注意不等式中的等号能否成立,解题的关键是深刻理解集合包含关系的含义．练习1.设集合,,若,求实数a的取值范围；若,求实数a的取值范围．【答案】（1）（2）【分析】（1）由题意得,,根据可得,从而可解出的取值范围；（2）先求出,根据可得到,解出的取值范围即可．【解析】由题意得,；（1）∵,∴,解得,又,∴,∴实数的取值范围为．（2）由题意得,∵,∴,解得．∴实数的取值范围为．【点评】本题考查集合表示中描述法的定义,一元二次不等式的解法,子集的概念,以及交集的运算．根据集合间的包含关系求参数的取值范围时,注意转化方法的运用,特别要注意不等式中的等号能否成立．（六）子集中忽视空集问题例6【云南省2018-2019学年期中考试】已知集合,若,则的取值集合是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】本题考查集合间的包含关系,先将集合,化简,然后再根据分类讨论．【解析】∵集合∴若,即时,满足条件；若,则.∵∴或∴或综上,或或.故选C.【点评】本题主要考查利用集合子集关系确定参数问题,易错点是化简集合时没有注意时的特殊情况．练习1.已知集合,．（1）若,求;（2）若,求实数的取值范围．【答案】(1) (2) 或【点评】由集合间的关系求参数时,常借助数轴来建立不等关系求解,此时应注意端点处是实点还是虚点（七）新定义问题例7．【清华附属中2018-2019学年试题】集合A,B的并集A∪B＝｛1,2｝,当且仅当A≠B时,（A,B）与（B,A）视为不同的对,则这样的（A,B）对的个数有__________.【答案】8【分析】根据条件列举,即得结果.【解析】由题意得满足题意的（A,B）为：A=,B＝｛1,2｝；A=｛1｝,B＝｛2｝；A=｛1｝,B＝｛1,2｝；A=｛2｝,B ＝｛1｝；A=｛2｝,B＝｛1,2｝；A=｛1,2｝,B＝；A=｛1,2｝,B＝｛1｝；A=｛1,2｝,B＝｛2｝；共8个.【点评】本题考查集合子集与并集,考查基本分析求解能力.练习1．【华东师范大学附中2019届高三数学试卷】已知集合M=,集合M的所有非空子集依次记为：M1,M2,...,M15,设m1,m2,...,m15分别是上述每一个子集内元素的乘积,规定：如果子集中只有一个元素,乘积即为该元素本身,则m1+m2+...+m15=_____【答案】【分析】根据二项式定理的推导过程构造出函数,当时,函数的值就是所有子集的乘积。
分类讨论思想方法
1 1 < a < 4 f ( 1 )＝ 2 − 1 > 0 ∴ a 或 a
1 1 【解】当a>0时，f(x)＝a（x－ ）＋ － a 时 ＝ （ － ）＋2－ a
1 ≤1 a f (1)＝a − 2 + 2≥ 0 或
1 ≥4 a f ( 4)＝16a − 8 + 2≥ 0
1 1 ∴a≥1或 或 <a<1或φ即a > 或 即 ； 2 2 ＝a f (1)＝a − 2 + 2 ≥ 0 解得φ； 当a<0时， 时 ，解得 ； f (4)＝16a − 8 + 2 ≥ 0
＝－2x＋ ＝－6， 当a＝0时，f(x)＝－ ＋2 , f(1)＝0，f(4)＝－ ，∴不合题意 ＝ 时 ＝－ ＝ ， ＝－
2
1 当－ <a<0时，(x＋4a)(x－6a)>0，解得 时 ＋ － ，解得:x<6a或x>－4a； 或 － ； 2
1 当a>－ 时，(x＋4a)(x－6a)<0，解得：6a<x<－4a。 － ＋ － ，解得： － 。 2 综上所述， 综上所述，……
【注】含参问题，结合参数的意义及对结果的影响 含参问题， 而分类讨论。（含参型） 而分类讨论。（含参型） 。（含参型
二、分类讨论的步骤、原则和方法 分类讨论的步骤、
1．分类评论的一般步骤是： ．分类评论的一般步骤是：
→明确讨论对象，确定对象的全体→确定分类标准，正确进行分类 明确讨论对象，确定对象的全体 确定分类标准 确定分类标准， 明确讨论对象 →逐步进行讨论，获取阶段性结果 归纳小结，综合得出结论。 逐步进行讨论， 归纳小结， 逐步进行讨论 获取阶段性结果→归纳小结 综合得出结论。