概论论--几种重要的分布
考研数学概率与统计备考掌握常见概率分布和统计方法
考研数学概率与统计备考掌握常见概率分布和统计方法概率与统计是考研数学中的一个重要内容，备考期间，掌握常见的概率分布和统计方法是非常关键的。
本文将介绍几种常见的概率分布和统计方法，以助于考生备考时的复习。
一、离散型随机变量及其概率分布离散型随机变量是指在一次试验中，可能取一些特定值的变量。
在概率论中，常见的离散型随机变量有二项分布、泊松分布和几何分布。
1. 二项分布二项分布是指在n次试验中，成功次数为X的概率分布。
它的概率质量函数为：P(X=k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，n为试验次数，k为成功次数，p为一次试验成功的概率，C(n, k)为组合数。
2. 泊松分布泊松分布是一种在独立时间段内总体事件发生次数的离散概率分布。
它的概率质量函数为：P(X=k) = (λ^k * e^(-λ)) / k!其中，X为事件发生的次数，λ为单位时间或空间内事件的平均发生率。
3. 几何分布几何分布是指在一系列独立重复的伯努利试验中，首次成功所需的试验次数的概率分布。
它的概率质量函数为：P(X=k) = p * (1-p)^(k-1)其中，X为首次成功所需的试验次数，p为一次试验成功的概率。
二、连续型随机变量及其概率分布连续型随机变量是指在某一区间内可能取任意值的变量。
在概率论中，常见的连续型随机变量有均匀分布、正态分布和指数分布。
1. 均匀分布均匀分布是指在一个区间内，随机变量取任意值的概率相等的分布。
它的概率密度函数为：f(x) = 1 / (b-a) (a <= x <= b)其中，a为区间下界，b为区间上界。
2. 正态分布正态分布也称为高斯分布，是自然界和社会现象中最常见的分布。
它的概率密度函数为：f(x) = 1 / (σ* √(2π)) * e^(-(x-μ)^2 / (2σ^2))其中，μ为均值，σ为标准差。
3. 指数分布指数分布是一种用于描述事件发生时间间隔的分布。
概率论-随机变量的几种重要分布及数字特征
2. 若X 是随机变量，若C是常数，则 E(CX ) CE( X );
3. 若 ( X ,Y )是二维随机向量，则
E( X Y ) E( X ) E(Y );
注： 推广到 n 维随机向量，有
n
n
E( Xi ) E(Xi )
i 1
ห้องสมุดไป่ตู้
i 1
数学期望的性质
4. 若 ( X ,Y ) 是二维随机向量，且 X ,Y相互独立,
E( X )E(Y ) E( XY ) E( X )E(Y ).
特别地，当X与Y 独立时，有 cov( X ,Y ) 0.
协方差的性质 1. 协方差的基本性质
(1) cov( X , X ) D( X ); (2) cov( X ,Y ) cov(Y , X ); (3) cov(aX ,bY ) abcov( X ,Y ), 其中 a,b 是
定理1 设 X 是一个随机变量，Y g( X ), 且E(X ) 存
在, 于是
(1) 若X 为离散型随机变量，其概率分布为
P{ X xi } pi , i 1,2,
若 g(xi ) pi 绝对收敛，则Y的数学期望为
i 1
E(Y ) E[g( X )] g(xi ) pi;
cov( X ,Y )
[x E( X )][ y E(Y )] f ( x, y)dxdy.
协方差的定义
利用数学期望的性质，易将协方差的计算化简.
cov( X ,Y ) E{[ X E( X )][Y E(Y )]} E( XY ) E( X )E(Y ) E(Y )E( X )
x0
概率论常用分布的概念及应用
一、前言随着医学模式的转变，护理工作不再仅仅局限于疾病的治疗，更注重于患者的身心健康和人文关怀。
为提高护理服务质量，我院于近日开展了人文护理查房活动。
本次查房旨在强化护理人员人文素养，提升患者满意度，现将查房总结如下。
二、查房内容1. 患者需求评估查房过程中，护理人员深入病房，对患者的需求进行评估。
通过观察、询问、沟通等方式，了解患者的基本情况、心理状态、生活习惯等，为制定个性化的护理方案提供依据。
2. 人文关怀措施针对患者的需求，护理人员采取了一系列人文关怀措施，如：（1）耐心倾听：与患者进行有效沟通，了解患者的痛苦和需求，给予心理支持。
（2）尊重患者：尊重患者的隐私和信仰，关心患者的日常生活，营造温馨的病房氛围。
（3）健康教育：普及疾病知识，提高患者对疾病的认识，增强患者战胜疾病的信心。
（4）心理疏导：关注患者的心理状态，进行心理疏导，缓解患者的焦虑、恐惧等负面情绪。
3. 护理团队协作查房过程中，护理人员相互配合，共同为患者提供优质的护理服务。
通过团队合作，提高护理质量，降低护理风险。
三、查房成果1. 提升患者满意度通过人文护理查房，患者感受到我院护理人员的关爱，满意度得到显著提升。
2. 增强护理人员人文素养查房过程中，护理人员不断学习、交流，提高自身人文素养，为患者提供更加优质的护理服务。
3. 促进护理团队建设人文护理查房有助于加强护理团队之间的沟通与协作，提高护理团队的整体素质。
四、总结与展望本次人文护理查房活动取得圆满成功，为我院护理工作注入了新的活力。
在今后的工作中，我们将继续深化人文护理理念，不断提高护理服务质量，为患者提供更加优质的护理服务。
具体措施如下：1. 加强护理人员人文教育，提高护理人员人文素养。
2. 完善人文护理制度，将人文关怀融入护理工作全过程。
3. 定期开展人文护理查房，持续改进护理服务质量。
4. 加强与患者的沟通与交流，关注患者需求，提高患者满意度。
总之，人文护理查房活动是我院护理工作的一次有益尝试，我们将以此为契机，不断提升护理服务质量，为患者提供更加优质的护理服务。
概率论常见的几种分布
概率论常见的几种分布常见的几种概率分布概率论是研究随机现象的数学理论，其中涉及到许多常见的概率分布。
概率分布描述了随机变量在不同取值上的概率分布情况。
本文将介绍几种常见的概率分布，包括均匀分布、正态分布、泊松分布和指数分布。
一、均匀分布均匀分布是最简单的概率分布之一，也被称为矩形分布。
在均匀分布中，随机变量在一定的取值范围内的概率是相等的。
例如，抛一枚公正的硬币，正面朝上和反面朝上的概率都是1/2。
均匀分布通常用于模拟随机数发生器的输出，或者在一定范围内随机选择一个数值。
二、正态分布正态分布是最重要的概率分布之一，也被称为高斯分布。
在正态分布中，随机变量在取值范围内的概率密度函数呈钟形曲线状。
正态分布具有许多重要的性质，例如均值、标准差等。
正态分布在自然界和社会科学中广泛应用，例如身高、体重、考试成绩等都符合正态分布。
三、泊松分布泊松分布描述了单位时间或空间内事件发生的次数的概率分布情况。
泊松分布的特点是，事件之间相互独立且平均发生率恒定。
泊松分布通常用于描述稀有事件的发生情况，例如单位时间内的电话呼叫次数、单位面积内的交通事故次数等。
四、指数分布指数分布描述了连续随机变量首次达到某一值的时间间隔的概率分布情况。
指数分布的特点是，事件之间相互独立且事件发生的概率与时间间隔成反比。
指数分布通常用于模拟随机事件的发生时间间隔，例如单位时间内的电话呼叫间隔、单位距离内的交通事故间隔等。
除了上述几种常见的概率分布外，还有许多其他概率分布，例如二项分布、伽玛分布、贝塔分布等。
每种概率分布都有其特定的应用场景和数学性质，对于不同的问题可以选择适合的概率分布进行建模和分析。
总结起来，概率论中常见的几种分布包括均匀分布、正态分布、泊松分布和指数分布。
这些分布在各自的领域有着广泛的应用，可以帮助我们理解和解决许多随机现象和问题。
对于研究概率论和统计学的人来说，熟悉这些常见的概率分布是非常重要的。
几种重要的分布
第四章 几种重要的分布在这一章，我们要介绍几种重要的分布 首先介绍离散型随机变量的分布§4.1 常用的离散型随机变量的分布一、退化分布在所有分布中，最简单的分布是退化分布，即一个随机变量X 以概率1取一常数，即 ()1P X a == 则称X 服从a 处的退化分布。
,0E X E a a D X D a ====二、0-1分布前面我们学习了贝努力试验。
对于贝努力试验，只有两个结果：成功或失败（A 和A ），如抛一枚银币（正、反）；检查一件产品（合格、不合格）；一次射击（命中、不命中），都可看做一个贝努力试验。
在一次试验中，设成功的概率为p ，()PA p =，()1P A p q =-=，不同的p 表示不同的贝努力试验。
如检查一批产品中，)P （合格品=0.9，()P 不合格品=0.1。
用来描述贝努力试验的随机变量分布为0-1分布，0，1代表将试验的两个结果定义为0，1.即随机变量X 只可能取0，1两个值，它的分布律为1()(1)(0,1)i iP X i p p i -==-= (0)(1)P X p ==- (1)P X p == 称XE X p = (1)D X p p =-三、二项分布由n 个相同的独立的贝努力试验组成的随机试验称为n 重贝努力试验。
如抛硬币3次，检查7个产品，打100次靶等都属于多重贝努力试验。
1.定义：在n 重贝努力试验中，每次试验事件A 发生的概率都为(01)p p ≤≤，设X 为n 次试验中事件A 发生的次数，则X 的可能取值为0，1，2，,n()(1),0,1,,k k n k nP X k C p p k n -==-=不难验证（1）()0P X k =≥ （2）0()1nk P X k ===∑称随机变量X 服从参数为n 和p 的二项分布，记作~(,)X B np()PX k =的值恰好是二项式n （p x +q ）展开式中第1k +项kx 的系数。
16种常见概率分布概率密度函数意义及其应用
16种常见概率分布概率密度函数意义及其应用概率分布是统计学中一个重要的概念，用于描述随机变量在各个取值上的概率分布情况。
常见的概率分布有16种，它们分别是均匀分布、伯努利分布、二项分布、几何分布、泊松分布、正态分布、指数分布、负二项分布、超几何分布、Gumbel分布、Weibull分布、伽马分布、Beta分布、对数正态分布、卡方分布和三角分布。
以下将逐一介绍这些概率分布的概率密度函数、意义及其应用。
1. 均匀分布（Uniform Distribution）：概率密度函数为f(x)=1/(b-a)，意义是在一个区间内所有的取值具有相同的概率，应用有随机数生成、模拟实验等。
2. 伯努利分布（Bernoulli Distribution）：概率密度函数为P(x)=p^x*(1-p)^(1-x)，意义是在两种可能结果中，成功或失败的概率分布，应用有二分类问题的建模。
3. 二项分布（Binomial Distribution）：概率密度函数为P(x)=C(n,x)*p^x*(1-p)^(n-x)，意义是在n次独立重复试验中，成功次数为x的概率分布，应用有二分类问题中的n次重复试验。
4. 几何分布（Geometric Distribution）：概率密度函数为P(x)=p*(1-p)^(x-1)，意义是独立重复试验中，第x次成功所需的试验次数的概率分布，应用有描述一连串同样试验中第一次获得成功之前所需的试验次数。
5. 泊松分布（Poisson Distribution）：概率密度函数为P(x)=(e^(-λ)*λ^x)/x!，意义是在给定时间或空间内事件发生的次数的概率分布，应用有描述单位时间或单位空间内的事件计数问题。
6. 正态分布（Normal Distribution）：概率密度函数为P(x) = (1 / sqrt(2πσ^2)) * e^(-(x-μ)^2 / (2σ^2))，意义是描述连续变量的概率分布，应用广泛，例如测量误差、人口身高等。
概率论里的分布
概率论里的分布概率论是研究随机事件发生的规律性和概率的一门学科。
在概率论中，分布是指随机变量在不同取值下对应的概率值。
分布可以分为离散型分布和连续型分布两种。
一、离散型分布离散型分布是指随机变量只能取有限个或者无限个离散值的情况下对应的概率分布。
常见的离散型分布包括：1. 伯努利分布：伯努利试验是指只有两种结果的试验，例如抛硬币正反面。
如果事件A发生，则记为1，否则记为0。
伯努利分布就是在这样的试验中，事件A发生的概率为p，不发生的概率为1-p。
2. 二项式分布：二项式试验是指进行n次独立重复实验，每次实验只有两种结果，成功和失败。
每次试验成功的概率为p，失败的概率为1-p。
在这样的试验中，在n次实验中恰好出现k次成功的概率就是二项式分布。
3. 泊松分布：泊松过程是指单位时间内某一事件发生次数服从泊松分布。
例如，在某个城市每小时发生的交通事故次数就可以用泊松分布来描述。
二、连续型分布连续型分布是指随机变量在某一区间内取值的情况下对应的概率分布。
常见的连续型分布包括：1. 均匀分布：均匀分布是指在一个区间内，每个点的概率密度相等。
例如，在[0,1]区间内随机选择一个实数的概率密度就是均匀分布。
2. 正态分布：正态分布也叫高斯分布，它是一种非常重要的概率分布。
正态分布具有钟形曲线，对称轴为均值。
很多自然现象都可以用正态分布来描述，例如人类身高、智商等。
3. 指数分布：指数过程是指在一段时间内某个事件发生的时间间隔服从指数分布。
例如，在某个工厂中设备损坏的时间间隔就可以用指数分布来描述。
以上仅列举了部分常见的离散型和连续型概率分布，还有很多其他类型的概率分布，例如负二项式、卡方、t、F等。
不同类型的概率分布有着不同的特点和应用场景，掌握它们对于理解概率论和统计学都是非常重要的。
概率论与数理统计中的三种重要分布
概率论与数理统计中的三种重要分布摘要：在概率论与数理统计课程中，我们研究了随机变量的分布，具体地研究了离散型随机变量的分布和连续型随机变量的分布，并简单的介绍了常见的离散型分布和连续型分布，其中二项分布、Poisson 分布、正态分布是概率论中三大重要的分布。
因此，在这篇文章中重点介绍二项分布、Poisson 分布和正态分布以及它们的性质、数学期望与方差，以此来进行一次比较完整的概率论分布的学习。
关键词：二项分布；Poisson 分布；正态分布；定义；性质一、二项分布二项分布是重要的离散型分布之一，它在理论上和应用上都占有很重要的地位，产生这种分布的重要现实源泉是所谓的伯努利试验。
（一）泊努利分布[Bernoulli distribution ] (两点分布、0-1分布)1．泊努利试验在许多实际问题中，我们感兴趣的是某事件A 是否发生。
例如在产品抽样检验中，关心的是抽到正品还是废品；掷硬币时，关心的是出现正面还是反面，等。
在这一类随机试验中，只有两个基本事件A 与A ，这种只有两种可能结果的随机试验称为伯努利试验。
为方便起见，在一次试验中，把出现A 称为“成功”，出现A 称为“失败” 通常记(),p A P = ()q p A P =-=1。
2．泊努利分布定义：在一次试验中，设p A P =)(，p q A P -==1)(，若以ξ记事件A 发生的次数，则⎪⎪⎭⎫⎝⎛ξp q 10~，称ξ服从参数为)10(<<p p 的Bernoulli 分布或两点分布，记为：),1(~p B ξ。
（二）二项分布[Binomial distribution]把一重Bernoulli 试验E 独立地重复地进行n 次得到n 重Bernoulli 试验。
定义：在n 重Bernoulli 试验中，设(),()1P A p P A q p ===-若以ξ记事件A 发生的次数，则ξ为一随机变量，且其可能取值为n ,,2,1,0 ，其对应的概率由二项分布给出：{}k n kk n p p C k P --==)1(ξ，n k ,,3,2,1,0 =，则称ξ服从参数为)10(,<<p p n 的二项分布，记为),(~p n B ξ。
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(2)P( 8) C180 0.980.12 C190 0.990.1 0.910 0.9298
k0 !(n k0 )!
(k0 1)!(n k0 1)!
化简得 (n k0 1)p k0q k0 (n 1)p
由(2)式
n!
p q k0 nk0
n!
p q k0＋1 nk0 1
k0 !(n k0 )!
(k0 1)!(n k0 1)!
化简得 (k0 1)q (n k0)p k0 (n 1)p 1
=0.0988
直接计算二项分布的期望与方差较麻烦。 若服从二项分布 则 ＝1 2 ... n 其中1，...,n相互独立，且服从同一0-1分布 即 i 0 1
P 1p p 因Ei p Di pq q 1 p
E E1 ... En np D D1 ... Dn npq
n
n
n
1 n(n 1)(2n 1) 1
6
n
(n 1)(2n 1) 6
D
(n
1)(2n 6
1)
n
2
1
2
n2 1 12
(三)几何分布
在一个贝努里试验中， 每次事件A发生的概率为 p,试验 进行到k次A才发生（即前 k 1次 A发生），设X为A发生时 试验的次数，则：
... 1
n 1 N
Ckn
N1 N
k
N2 N
nk
1
1 N1
...1
k 1 N1
1
1 N2
...1
n
k 1 N2
1
1 N
... 1
n 1 N
当N 时，若记p= N1 ,则1－p q N2
N
N
P( k) Cknpkqnk
测试题目
1.有三个箱子,分别编号为1,2,3.1号箱装有1 个红球4个白球,2号箱装有2红3白球 , 3号箱 装有3 红球. (1)某人从三箱中任取一箱,从中任意摸出一球, 求取得红球的概率? (2)若任取一箱,从中任意摸出一球，发现是红 球,求该球是取自1号箱的概率 ?
12 3
2.盒内装有外形与功率均相同的15个灯泡， 其中10个螺口，5个卡口，灯口向下放着。 现在需要1个螺口灯泡，从盒中任取一个，如 果取到卡口灯泡就不再放回去。求在取到螺 口灯泡之前已取出的卡口灯泡数的ξ分布?
若取到卡口再放回去,求在取到螺口灯泡之前 已取出的卡口灯泡数的ξ分布?
3.一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设有红 绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其它信 号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号灯显示 的时间比为2:1, 以X表示该汽车首次遇到红灯前已 通过的路口的个数，求X的分布律?
(N 1)! (n 1)!(N n)!
n N1 N
也可求出 D n N1 N2 N n N N N 1
当N 时，超几何分布以二项分布为极限。
CnN
N(N
1)...(N n!
n
1)
Nn N N 1... N n 1
n! N N
N
Nn n!
1
第四章 几种重要的分布
§1 重要的离散型分布
(一)0-1分布 01 P 1p p
E p D pq 其中q 1 p
(二)离散型均匀分布
1 2 ... n
P 1 1 ... 1
nn
n
E 1 1 2 1 ... n 1 n 1
nn
n2
E2 12 1 22 1 ... n2 1
例3 一批产品的废品率p=0.03，进行20次重复抽样， 求出现废品的频率为0.1的概率。
解：表示20次重复抽样中废品出现的次数，
服从二项分布
n=20
p=0.03
P( k) Ck20(0.03)k 0.9720k
P
20
0.1
P(
2)
C220(0.03)2 0.9718
k C C N1 N2
k0
CnN
n k 1
k
N1 ! k!(N1
k)!CnN2k
N! n!(N n)!
nN1 N
n k 1
(k
(N1 1)! 1)!(N1
k
)
C !
nk N2
nN1 N
n
C C k1 nk N1 1 N2 k 1
Cn 1 N 1
...1
n
k 1
N2
P(
k)
C C k nk N1 N2 CnN
N1k k!
1
1 N1
...1
k 1
N1
Nnk 2
(n k
)!
1
1 N2
...1
Nn n!
1
1 N
D npq
二项分布中使概率P(=k)取最大值的k，
称为二项分布的最可能值，记为k0
若P(=k0 )为最大，则
P( k0) P( k0 1) (1)
P( k0) P( k0 1) (2) 由(1)式
n!
p q k0 nk0
n!
p q k0 1 nk0 1
x
f (t)dt ，其中
f (t)dt 1
例8 10件产品有4件是废品，任取3件，分别 用超几何分布与二项分布求取到2件废品的 概率。
解：用表示取到的废品数。
不放回抽取时，服从超几何分布
P(
2)
C24C16 C130
=0.3
有放回抽取时，服从二项分布
P(
2)
C32
4 10
2
6 10
=0.288
两者相差很多，是因为产品总数不大。
例9 一大批种子的发芽率为90％，从中任取10粒， 求播种后，(1)恰有8粒发芽的概率(2)不少于8粒发 芽的概率 解：表示10粒种子中发芽的种子数目。
服从超几何分布
N很大，n很小，可用二项分布近似计算。 n＝10 p=0.9 q=0.1
1 N
1
2 N
... 1
n 1 N
同样地
Ck N1
N1k k!
1
1 N1
1
2 N1
...1
k 1
N1
Cnk N2
N
n 2
(n
k
k)!
1
1 N2
1
2 N2
...1
n 1 N
n k 1
N2
n!
N1k
N
n 2
k
k!(n k)! Nn
1
1 N1
... 1
k 1 N1
1
1 N2
... 1
n
k 1
N2
1
1 N
又设飞机机翼受到的正压力W是V的函数 :W kV 2
(k 0,常数),求W的数学期望.
二、 选择题：
1）设 X 的密度函数为 f (x),分布函数为F(x),
且 f (x) f ( x),那么对任意给定的 a 都有
A)
f
(a)
1
a
0
f
( x)dx;
B)F (a)
1 2
a
路口1
路口2
路口3
4.已知100个产品中有5个次品，现从中有放回地 取3次，每次任取1个，求在所取的3个中恰有2个 次品的概率?
5.掷一颗均匀的骰子600次,那么出现”一点”次数 的均值为多少?
6. 设风速V在(0,a)上服从均匀分布,即具有概率
密度
f
(v
)
1 a
0va
0 其它
所以 (n 1)p 1 k0 (n 1)p 即
(n 1)p或(n 1)p-1 当(n 1)p是整数时
k0
[(n 1)p]
其它
其中[(n+1)p]表示(n+1)p的整数部分。
例4 某批产品80％的一等品，对它们进行重复 抽样检验，共取出4个样品，求其中一等品数 的最可能值k0 ,并用贝努里公式验证。
解：服从二项分布，n=4,p=0.8 (n 1)p (4 1)0.8 ＝4
k0=4或3
用贝努里公式算出的分布表
0
1
2
3
4
P 0.0016 0.0256 0.1536 0.4096 0.4096
＝3或＝4时，概率最大。
将不等式 (n 1)p 1 k0 (n 1)p
改写为
概率函数 P( X x) pqx1 , x 1, 2
其中 0 p 1, p q 1,
(四)二项分布 做n重贝努里试验，以表示某事件A发生的 次数，则
P( k) Cknpkqnk 其中0<p<1,q=1-p
k 0,1,...,n
称服从参数为n,p的二项分布。