空间几何量的计算.板块一.点到平面的距离问题.学生版
中学数学空间几何量的计算.板块一.点到平面的距离问题.学生版
【例1】 已知线段AB 在平面α外，A 、B 两点到平面α的距离分别为1和3，则线段AB 的中点到平面α的距离为（ ） A ．1 B ．2C ．1或2D ．0或1【例2】 ABC ∆的三个顶点A B C ，，到平面α的距离分别为234，，，且它们在平面α的同一侧， 则ABC ∆的重心到平面α的距离为___________．【例3】 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 是11A B 的中点．求E 到平面11ABC D 的距离．A 1D 1CBA【例4】 如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，90DAB ∠=，AD a =，PD ⊥面ABCD ，PD a =，求点D 到平面PAB 的距离．HACBDP典例分析板块一.点到平面的距离问题【例5】 如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，1AB =，若二面角1C AB C --的大小为60，求点C 到面1ABC 的距离.EDC 1B 1A 1CBA【例6】 （2007湖北文5）在棱长为1的正方体12PD AB =中，E 、F 分别为棱1AA 、1BB 的中点，G 为棱11A B 上的一点，且()101AG λλ=≤≤，则点G 到平面1D EF 的距离为（ ） ABCDAA 1【例7】 （2007湖北文5）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为棱1AA 、1BB 的中点，G 为棱11A B 上的一点，且()101AG λλ=≤≤，则点G 到平面1DEF 的距离为（ ） ABCD ABCDE【例8】 （2007江苏14）正三棱锥P ABC -高为2，侧棱与底面所成角为45︒，则点A 到侧面PBC 的距离是 ．【例9】 四棱锥P ABCD -的底面是边长为a 的菱形，且60BCD ∠=，PD ⊥平面ABCD ，PD a =，E 是PA 中点．求点E 到平面PCD 的距离．A【例10】 如图，已知P 为ABC ∆外一点，PO ⊥平面ABC ，垂足为O ，⑴若PA 、PB 、PC 两两垂直，求证：O 为ABC ∆的垂心； ⑵若PA PB PC ==，求证：O 为ABC ∆的外心．⑶若PA 、PB 、PC 两两垂直，且PA PB PC a ===，求P 点到平面ABC 的距离．OCBAP【例11】 如右图，是一个边长为a 的正方体1111ABCD A B C D -，⑴求证：1AC ⊥平面1A BD ； ⑵求A 点到平面1A BD 的距离．AA 1【例12】 已知长方体1111ABCD A B C D -中，棱1AB AD ==，棱12AA =．⑴求点1A 到平面11AB D 的距离．⑵连结1A B ，过点A 作1A B 的垂线交1BB 于E ，交1A B 于F ．HOABCDA 1B 1C 1D 1①求证：1BD ⊥平面EAC ； ②求点D 到平面11A BD 的距离．古今中外有学问的人，有成就的人，总是十分注意积累的。
用等体积法解点到平面的距离和体积立体几何题
用等体积法解点到平面的距离和体积立体几何题体积立体几何问题是许多数学和工程领域经常遇到的问题之一。
解决这类问题的一种方法是使用等体积法，它可以帮助我们计算点到平面的距离和体积等相关参数。
1. 问题描述假设有一个点和一个平面，我们想要计算点到该平面的距离和体积。
下面是一个简单的解题步骤：- 第一步，我们首先需要确定平面的方程。
平面的方程通常可以通过已知的点或者法向量来确定。
- 第二步，通过点到平面的距离公式，我们可以计算出点到平面的距离。
距离公式为：$$d = \left| \frac{{ax + by + cz + d}}{{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}}\right|$$其中，$(x, y, z)$ 是点的坐标，$ax + by + cz + d$ 是平面的方程，$(a, b, c)$ 是平面的法向量，$d$ 是平面的常数项。
- 第三步，如果我们需要计算点在平面上的投影点的坐标，我们可以使用点到平面的距离公式的推导过程。
对于平面的方程 $ax+ by + cz + d = 0$，我们可以将点到平面的距离公式推导为：$$P = \left( x-\frac{{a(ax+by+cz+d)}}{{a^2+b^2+c^2}}, y-\frac{{b(ax+by+cz+d)}}{{a^2+b^2+c^2}}, z-\frac{{c(ax+by+cz+d)}}{{a^2+b^2+c^2}} \right)$$- 第四步，如果我们需要计算体积，我们可以将问题转化为计算封闭图形的体积。
具体的方法会根据所涉及的几何形状而有所不同。
2. 示例问题以下是一个例子，展示了如何使用等体积法解决点到平面的距离和体积问题：问题：已知平面的方程为 $2x - 3y + 4z - 5 = 0$，点的坐标为$(1, 2, 3)$，求点到该平面的距离。
解答：- 根据距离公式，代入点的坐标和平面的方程，可以计算出点到平面的距离：$$d = \left| \frac{{2 \cdot 1 - 3 \cdot 2 + 4 \cdot 3 -5}}{{\sqrt{{2^2 + (-3)^2 + 4^2}}}} \right| = \left| \frac{1}{\sqrt{29}} \right|$$因此，点到平面的距离为 $d = \frac{1}{\sqrt{29}}$。
空间几何量的计算.板块五.证明与计算(距离).学生版
【例1】 已知三棱锥P ABC -中，PC ⊥底面ABC ，AB BC =，D F ，分别为AC PC ，的中点，DE AP ⊥于E ．⑴求证：AP ⊥平面BDE ；⑵求证：平面BDE ⊥平面BDF ；⑶若:1:2AE EP =，求截面BEF 分三棱锥P ABC -所成两部分的体积比．FEBDCAP【例2】 如图，已知111A B C ABC -是正三棱柱，D 是AC 的中点，121AB AA ==，⑴证明：BD ⊥平面11ACC A ，1//AB 平面1BDC ； ⑵求点D 到平面11BCC B 的距离． ⑶证明：11AB BC ⊥．D CBA A 1B 1C 1【例3】 （2010年二模·崇文·文·题16）正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，O 是AC 与BD 的交点，E 为1BB 的中点． ⑴求证：直线1B D ∥平面AEC ；典例分析板块五.证明与计算（距离）【例4】 如图，ACD ∆和ABC ∆都是直角三角形，AB BC =，30CAD ∠=，把三角形ABC沿AC 边折起，使ABC ∆所在的平面与ACD ∆所在的平面垂直，若AB ⑴求证：面ABD ⊥面BCD ；⑵求C 点到平面ABD 的距离．H ABDCDCBA【例5】 （2010年二模·东城·文·题17）如图，四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，4PD DC ==，2AD =，E 为PC 的中点． ⑴求证：AD PC ⊥；⑵求三棱锥A PDE -的体积；⑶AC 边上是否存在一点M ，使得PA ∥平面EDM ，若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由．【例6】 已知长方体1111ABCD A B C D -中，棱1AB AD ==，棱12AA =．⑴求点1A 到平面11AB D 的距离．⑵连结1A B ，过点A 作1A B 的垂线交1BB 于E ，交1A B 于F ．HOABCDA 1B 1C 1D 1①求证：1BD ⊥平面EAC ； ②求点D 到平面11A BD 的距离．90，AB【例8】 已知直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=︒，1CB =，1CA AA ==M 是侧棱1CC 的中点．⑴求证：1AM BA ⊥；⑵求点C 到平面ABM 的距离．MC 1B 1A 1CBA【例10】 如图所示，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面边长为侧棱长为4．E F ，分别为棱AB BC ，的中点，EFBD G =．⑴求证：平面1B EF ⊥平面11BDD B ； ⑵求点1D 到平面1B EF 的距离d ； ⑶求三棱锥11B EFD -的体积V ．D 1C 1B 1A 1GFEDCB A【例11】 （2008新课标山东）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB DC ∥，PAD △是等边三角形，已知28BD AD ==，2AB DC ==⑴设M 是PC 上的一点，证明：平面MBD ⊥平面PAD ； ⑵求四棱锥P ABCD -的体积．M DCB AP【例12】 如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，PA ⊥底面ABCD ，2PA =，45PDA ∠=︒，点E 、F 分别为棱AB 、PD 的中点．FE DCBAP【例13】 (2010年一模·文科·题17）如图：在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，60ABC ∠=︒，PA ⊥平面ABCD ， 点M 、N 分别为BC 、PA 的中点，且2PA AB ==．NM ACBP⑴证明：BC ⊥平面AMN ； ⑵求三棱锥N AMC -的体积；⑶在线段PD 上是否存在一点E ，使得NM ∥平面ACE ；若存在，求出PE 的长；若不存在，说明理由．【例14】 已知直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=︒，1CB =，136CA AA ==M 是侧棱1CC 的中点．⑴求证：1AM BA ⊥；⑵求点C 到平面ABM 的距离．MC 1B 1A 1CBA。
高中数学浅谈空间距离的几种计算方法-北师大版选修2-1
浅谈空间距离的几种计算方法【摘要】空间的距离是从数量角度进一步刻划空间中点、线、面、体之间相对位置关系的重要的量，是平面几何与立体几何中研究的重要数量．空间距离的求解是高中数学的重要内容，也是历年高考考查的重点和热点，其中以点与点、点到线、点到面的距离为基础，一般是将问题最终转化为求线段的长度。
在解题过程中，要充分利用图形的特点和概念的内在联系，做好各种距离间的相互转化，从而使问题得到解决。
【关键词】空间距离点线距离点面距离异面直线距离公垂线段等体积法【正文】空间距离是衡量空间中点、线、面、体之间相对位置关系的重要的量。
空间距离的求解是高中数学的重要内容，也是历年高考考查的重点。
空间距离主要包括：（1）两点之间的距离；（2）点到直线的距离；（3）点到平面的距离；（4）两条异面直线的距离；（5）与平面平行的直线到平面的距离；（6）两平行平面间的距离。
这六种距离的计算一般常采用“一作、二证、三计算”的方法求解。
对学生来说是较难掌握的一种方法，难就难在“一作”上。
所谓的“一作”就是作出点线或点面距中的垂线段，异面直线的公垂线段。
除非有相当的基本功，否则这种方法很难运用自如，因此就需要进行转化来求解这些空间距离。
下面就介绍几种常见的空间距离的计算方法，使得有些距离的计算可以避开作(或找)公垂线段、垂线段的麻烦，使空间距离的计算变得比较简单。
一、两点之间的距离两点间的距离的计算通常有两种方法：1、可以计算线段的长度。
把要求的线段放入某个三角形中，用勾股定理或余弦定理求解。
2、可以用空间两点间距离公式。
如果图形比较特殊，便于建立空间直角坐标系，可写出两点的坐标，然后代入两点间距离公式计算即可。
二、点到直线的距离在求解点到直线的距离时，通常是寻找或构造一个三角形。
其中点是三角形的一个顶点，直线是此顶点所对的一条边，利用等面积法计算点线距离。
所寻找或构造的三角形有等腰三角形（或等边三角形）、直角三角形、一般三角形三类，最关键的步骤是算出三角形的面积，然后用等面积法计算即可。
空间几何的计算与证明
空间几何的计算与证明空间几何是研究三维空间中的物体形状、大小、位置等性质的数学学科。
在解决实际问题中，我们常常需要进行空间几何的计算与证明。
本文将介绍一些常见的空间几何计算方法和证明技巧。
一、空间几何计算1. 点到平面的距离计算对于三维空间中的一点P(x,y,z)，以及平面Ax+By+Cz+D=0，我们可以利用点P到平面的距离公式来计算二者的距离。
该公式为：d = |Ax+By+Cz+D| / √(A^2+B^2+C^2)例如，给定一个平面2x+y+3z-4=0，点P(1,2,3)到该平面的距离可以计算如下：d = |2*1+1*2+3*3-4| / √(2^2+1^2+3^2)= |2+2+9-4| / √14= 9 / √142. 直线和平面的交点计算对于直线和平面的交点计算，我们需要先求出直线的参数方程和平面的方程，然后解联立方程组即可得到交点的坐标。
例如，假设有一条直线L，其参数方程为：x = x_0 + lty = y_0 + mtz = z_0 + nt另外有一个平面P，其方程为：Ax + By + Cz + D = 0我们可以将直线的参数方程代入平面方程，得到一个关于t的一元二次方程，解该方程即可求得直线和平面的交点的坐标。
3. 多面体的表面积和体积计算对于多面体的表面积和体积计算，常用的方法是利用相应的公式进行计算。
例如，对于一个六面体，其表面积和体积的计算公式如下：六面体的表面积 S = 2(ab+ac+bc)六面体的体积 V = abc其中，a、b、c分别表示六面体的三个相邻棱长。
二、空间几何证明1. 平行线之间的角度在空间几何中，证明两条平行线之间的角度是一个重要问题。
一种常见的证明方法是利用平行线与平行线之间的交线来构造三角形，然后应用三角形的性质进行角度证明。
例如，我们希望证明两条平行直线L1和L2之间的夹角为90度。
我们可以构造一条与L1和L2都垂直的直线L3，然后证明L3与L1、L2之间的夹角都是90度，从而推出L1和L2之间的夹角也是90度。
空间几何量的计算.板块六.证明与计算(角度).学生版
【例1】 如图，已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，AD BC ∥，90BCD ∠=，PA PB =，PC PD =．⑴证明：CD 与平面PAD 不垂直； ⑵证明：平面PAB ⊥平面ABCD ；⑶如果CD AD BC =+，二面角P BC A --等于60，求二面角P CD A --的大小．GFEDCB A P【例2】 （2008山东） 如图，已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，60ABC ∠=︒，E F ，分别是BC PC ，的中点． ⑴证明：AE PD ⊥；⑵若H 为PD 上的动点，EH 与平面PAD，求二面角E AF C --的余弦值．PFEDCBA典例分析板块六.证明与计算（角度）【例3】 如图，正ABC ∆的边长为3，过其中心G 作BC 的平行线，分别交AB 、AC 于1B 、1C ，将11AB C ∆沿11B C 折起到111A B C ∆的位置，使点1A 在平面11BB C C 上的射影恰是线段BC 的中点M ．求：⑴二面角111A B C M --的大小；⑵异面直线11A B 与1CC 所成角的余弦值的大小．【例4】 （2009福建）如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，MD ⊥平面ABCD ，NB ⊥平面ABCD ，且1MD NB ==，E 为BC 的中点．⑴求异面直线NE 与AM 所成角的余弦值；⑵在线段AN 上是否存在点S ，使得ES ⊥平面AMN ？若存在，求线段AS 的长；若不存在，请说明理由．ENMDC BA【例5】 （2009浙江文）如图，DC ⊥平面ABC ，EB DC ∥，22AC BC EB DC ====，120ACB ∠=，P ，Q 分别为AE ，AB 的中点． ⑴ 证明：PQ ∥平面ACD ；⑵ 求AD 与平面ABE 所成角的正弦值．QPEDCBA【例6】 如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，AD CD ⊥，ACBD H =，且H 为AC 的中点，又E 为PC 的中点，1AD CD ==，DB =．HE DCBA P⑴证明：PA ∥平面BDE ； ⑵证明：AC ⊥平面PBD ；⑶求直线BC 与平面PBD 所成的角的正切值．【例7】 如图所示，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，2PD AB ==，E ，F ，G 分别为PC 、PD 、BC 的中点． ⑴ 求证：PA ∥平面EFG ；⑵ 求GA 与平面PEF 所成角的正切值．PGFE DCBA【例8】 （2009朝阳一模）如图，在直三棱柱ABC A B C '''-中，4290AA AC BC ACB '===∠=︒，，，D 是AB 的中点．⑴求证：CD AB '⊥；⑵求二面角A AB C ''--的大小；⑶求直线B D '与平面AB C '所成角的正弦值．DC 'B 'A 'CBA【例9】 （2007东城期末理）如图，在长方体ABCD —1111A B C D 中，棱3AD DC ==，14DD =，过点D 作1D C 的垂线交1CC 于点E ，交1D C 于点F ． ⑴求证：1AC BE ⊥； ⑵求二面角E BD C --的大小； ⑶求BE 与平面11A D C 所成角的正弦值．D 1C 1B 1A 1F EDCBA【例10】 如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，AD CD ⊥，AC BD H =，且H 为AC 的中点，又E 为PC 的中点，1AD CD ==，DB =．HE DCBA P⑴证明：PA ∥平面BDE ；⑵证明：AC ⊥平面PBD ；⑶求直线BC 与平面PBD 所成的角的正切值．【例11】 如图所示，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，2PD AB ==，E ，F ，G 分别为PC 、PD 、BC 的中点．⑴ 求证：PA ∥平面EFG ；⑵ 求GA 与平面PEF 所成角的正切值．PGFE DCBA【例12】 （2006江苏-19）在正ABC ∆中， E F P 、、分别是AB AC BC 、、边上的点，满足:AE EB ::CF FA CP ==1:2PB =，将AEF ∆沿EF 折起到1A EF ∆的位置，使二面角1A EF B --成直二面角，连结11A B A P 、 ⑴求证：1A E ⊥平面BEP⑵求直线1A E 与平面1A BP 所成角的大小 ⑶求二面角1B A P F --的余弦值大小．FECPA 1BPF ED CBA【例13】 （07湖南理18）如图1，E ，F 分别是矩形ABCD 的边AB CD ，的中点，G 是EF 上的一点，将GAB ∆，GCD ∆分别沿AB CD ，翻折成1G AB ∆，2G CD ∆，并连结12G G ，使得平面1G AB ⊥平面ABCD ，12G G AD ∥，且12G G AD <．连结2BG ，如图2．A BCDE F G图1AE BCFD G 1G 2图2⑴ 证明：平面1G AB ⊥平面12G ADG ；⑵ 当12AB =，25BC =，8EG =时，求直线2BG 和平面12G ADG 所成的角；【例14】 （2007东城期末理）如图，在长方体ABCD —1111A B C D 中，棱3AD DC ==，14DD =，过点D 作1D C 的垂线交1CC 于点E ，交1D C 于点F ． ⑴求证：1AC BE ⊥； ⑵求二面角E BD C --的大小； ⑶求BE 与平面11A D C 所成角的正弦值．D 1C 1B 1A 1F EDCBA【例15】 （2009朝阳一模）如图，在直三棱柱ABC A B C '''-中，4290AA AC BC ACB '===∠=︒，，，D 是AB 的中点．⑴求证：CD AB '⊥；⑵求二面角A AB C ''--的大小；⑶求直线B D '与平面AB C '所成角的正弦值．DC 'B 'A 'CBA【例16】 如图，四棱锥P ABCD -的底面是2AB =，BC =的矩形，侧面PAB 是等边三角形，且侧面PAB ⊥底面ABCD ．⑴证明：BC ⊥侧面PAB ；⑵证明：侧面PAD ⊥侧面PAB ；⑶求侧棱PC 与底面ABCD 所成角的大小．DCBAP【例17】 （05-湖南-17）如图，已知ABCD 是上，下底边长分别为2和6腰梯形，将它沿对称轴1OO 折成直二面角．⑴证明：AC ⊥1BO ；⑵求二面角1O AC O --的正弦值．O 1ODCBAABCDOO 1【例18】 （08浙江卷18）如图，矩形ABCD 和梯形BEFC 所在平面互相垂直，BE CF ∥，90BCF CEF ∠=∠=︒，AD =2EF =．⑴ 求证：AE ∥平面DCF ；⑵ 当AB 的长为何值时，二面角A EF C --的大小为60︒？EHDFCB A【例19】 球O 的截面BCD 到球心的距离等于球的半径的一半，BC 是截面圆的直径，D是圆周上的一点，CA 是球的直径．⑴求证：平面ABD ⊥平面ADC⑵如果:2BD DC ，求二面角B AC D --的大小．【例20】 如图所示，正三棱柱111ABC A B C -的底边长为2，高为4，过AB 作一截面交侧棱1CC 于P ，截面与底面成60角，求截面PAB ∆的面积．PBC 1B 1A 1CA【例21】 （06 重庆-理-19）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，DAB ∠为直角，AB ∥CD ，2AD CD AB ==，E 、F 分别为PC 、CD 中点．⑴试证：CD ⊥平面BEF ；⑵高PA k AB =⋅，且二面角E BD C --的平面角大于30，求k 的取值范围．FEACBDP【例22】 如图，已知边长为a 的正ABC ∆，以它的高AD 为折痕，把它折成一个二面角B ADC '--．⑴求AB '和面B CD '所成的角；⑵若二面角B AD C '--的平面角为120，求出二面角A B C D '--的余弦值．MABC DB '【例23】 三棱锥被平行于底面ABC 的平面所截得的几何体如图所示，截面为111A B C ，90BAC ∠=，1A A ⊥平面ABC，1A A =AB 2AC =，111A C =，12BD DC =．⑴证明：平面1A AD ⊥平面11BCC B ； ⑵求二面角1A CC B --的大小．DC 1B 1A 1BA【例24】 已知四棱锥P ABCD -的底面是直角梯形，//90，°AB DC ABC BCD ∠=∠=，2AB BC PB PC CD ====，侧面PBC ⊥底面ABCD ．⑴求证：PA BD ⊥⑵求二面角P BD C --的正切值．PDCBA【例25】 （2009北京）如图，三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，PA AB =，60ABC ∠=︒，90BCA ∠=︒．点，D E 分别在棱PB ，PC 上，且∥DE BC ．⑴求证：BC ⊥平面PAC ；⑵当D 为PB 的中点时，求AD 与平面PAC 所成的角的大小；⑶是否存在点E 使得二面角A DE P --为直二面角？并说明理由．【例26】 （2009天津）如图，在五面体ABCDEF 中，FA ⊥平面ABCD ，∥∥AD BC FE ，AB AD ⊥，M为EC 的中点，12AF AB BC FE AD ====．⑴求异面直线BF 与DE 所成的角的大小； ⑵证明平面AMD ⊥平面CDE ； ⑶求二面角A CD E --的余弦值．MFEDCBA【例27】 （东城一模）如图，三棱锥P ABC -中，PC ⊥平面ABC ，2PC AC ==，AB BC =，D 是PB【例28【例29】 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形．已知3AB =，2AD =，2PA =，PD =60PAB ∠=．⑴ 证明AD ⊥平面PAB ；⑵ 求异面直线PC 与AD 所成的角的大小； ⑶ 求二面角P BD A --的大小．PDCBA【例30】 如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AB AD ⊥，AC CD ⊥，60ABC ∠=°，PA AB BC ==，E 是PC 的中点．⑴ 证明CD AE ⊥；⑵ 证明PD ⊥平面ABE ；⑶ 求二面角A PD C --的大小．AB C DEP【例31】 已知平面αβ⊥平面，交线为AB ，C α∈，D β∈，AB AC BC ===，E 为BC 的中点，AC BD ⊥，8BD =．⑴求证：BD α⊥平面；⑵求证：平面AED BCD ⊥平面；⑶求二面角B AC D --的正切值．αβED CBA【例32】 （2008山东）如图，已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，60ABC ∠=︒，E F ，分别是BC PC ，的中点． ⑴证明：AE PD ⊥；⑵若H 为PD 上的动点，EH 与平面PAD，求二面角E AF C --的余弦值．PFE DC B A【例33】 四棱锥A BCDE -中，底面BCDE 为矩形，侧面ABC ⊥底面BCDE ，2BC =，CD =AB AC =．⑴证明：AD CE ⊥； ⑵设CE 与平面ABE 所成的角为45︒，求二面角C AD E --的余弦值．E D C BA【例34】 四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，边长为a ，F 为对角线AC 与BD 的交点，E 为PC 中点，PD a =，PA PC =， ⑴求证：EF ∥平面PAD ； ⑵求证：PD ⊥平面ABCD ，PB ⊥AC ； ⑶求二面角P AC D --的正切值．FB EA C DP。
空间几何点到平面的距离公式
空间几何点到平面的距离公式
空间几何中，点到平面的距离公式是指计算一个点到一个平面的最短距离的公式。
这个公式在许多应用中非常有用，比如在计算机图形学中用于确定点到三维物体表面的距离，或者在物理学中用于计算点到平面的力和电场。
要计算点到平面的距离，我们可以使用向量和点法式，具体公式如下：
设平面方程为Ax + By + Cz + D = 0，点P的坐标为(x0, y0, z0)。
点P到平面的距离d可以通过以下公式计算：
d = |Ax0 + By0 + Cz0 + D|/√(A^2 + B^2 + C^2)
其中|Ax0 + By0 + Cz0 + D|表示点P到平面的有向距离，即如果点P在平面的上方，则距离值为正，如果点P在平面的下方，则距离值为负。
√(A^2 + B^2 + C^2)是平面法线的模长，用于归一化距离。
这个公式可以通过以下步骤推导得到：
1. 首先，我们可以通过平面方程将平面上任意一点(x, y, z)代入，得到该点到平面的有向距离：
d = |Ax + By + Cz + D|/√(A^2 + B^2 + C^2)
2. 然后，我们将该公式中的点(x, y, z)替换为点P的坐标(x0, y0, z0)，得到点P到平面的有向距离公式：
d = |Ax0 + By0 + Cz0 + D|/√(A^2 + B^2 + C^2)
这个公式适用于任意的平面和点的组合。
它可以方便地用于计算点到平面的距离，并且可以根据需要进行扩展和修改，以满足特定的应用需求。
点到平面的距离的几种求法 高中数学 高考 立体几何
点到平面的距离的几种求法求‘点到平面的距离’是立体几何学习中不可忽视的一个基本问题，是近几年高考的一个热点．本文试通过对一道典型例题的多种解法的探讨，结合《立体几何》(必修本)中的概念、习题，概括出求‘点到平面的距离'的几种基本方法．例:已知ＡＢＣＤ是边长为4的正方形，Ｅ、Ｆ分别是ＡＢ、ＡＤ的中点,ＧＣ垂直于ＡＢＣＤ所在平面,且ＧＣ＝２,求点B到平面ＥＦＧ的距离．一、直接通过该点求点到平面的距离１．直接作出所求之距离，求其长．解法1．如图1,为了作出点B到平面EFG的距离，延长FE交ＣＢ的延长线于Ｍ，连结GM，作BN⊥BC，交GM于N,则有BN∥CG,BN⊥平面ABCD．作BP⊥EM，交EM于P,易证平面BPN⊥平面EFG．作BQ⊥PN，垂足为Q，则BQ⊥平面EFG．于是BQ是点B到平面EFG的距离．易知BN＝，BP＝，PZ＝,由BQ·PN＝PB·BN,得BQ＝．图1 图2２．不直接作出所求之距离,间接求之．（１）利用二面角的平面角．课本Ｐ．４２第4题,Ｐ．４６第2题、第4题给出了“二面角一个面内的一个点,它到棱的距离、到另一个面的距离与二面角的大小之间所满足的关系”．如图2，二面角Ｍ-ＣＤ—Ｎ的大小为α，Ａ∈Ｍ,ＡＢ⊥ＣＤ，ＡＢ＝ａ，点Ａ到平面Ｎ的距离ＡＯ＝ｄ, 则有ｄ＝ａｓｉｎα．①①中的α也就是二面角的大小，而并不强求要作出经过ＡＢ的二面角的平面角．解法2．如图3,过Ｂ作ＢＰ⊥ＥＦ，交ＦＥ的延长线于Ｐ，易知ＢＰ＝，这就是点Ｂ到二面角Ｃ—ＥＦ—Ｇ的棱ＥＦ的距离．连结ＡＣ交ＥＦ于Ｈ，连结ＧＨ，易证∠ＧＨＣ就是二面角Ｃ-ＥＦ-Ｇ的平面角．∵ ＧＣ＝２，ＡＣ＝４,ＡＨ＝，∴ＣＨ＝３,ＧＨ＝,ｓｉｎ∠ＧＨＣ＝２/，于是由①得所求之距离ｄ＝ＢＰ·ｓｉｎ∠ＧＨＣ＝·＝．解略．（２)利用斜线和平面所成的角．如图4，ＯＰ为平面α的一条斜线,Ａ∈ＯＰ，ＯＡ＝ｌ,ＯＰ与α所成的角为θ，Ａ到平面α的距离为ｄ，则由斜线和平面所成的角的定义可知，有ｄ＝ｌｓｉｎθ．②经过ＯＰ与α垂直的平面与α相交,交线与ＯＰ所成的锐角就是②中的θ，这里并不强求要作出点Ａ在α上的射影Ｂ,连结ＯＢ得θ．解法3．如图5,设Ｍ为ＦＥ与ＣＢ的延长线的交点，作ＢＲ⊥ＧＭ,Ｒ为垂足．又ＧＭ⊥ＥＢ，易得平面ＢＥＲ⊥平面ＥＦＧ，ＥＲ为它们的交线，所以∠ＲＥＢ就是ＥＢ与平面ＥＦＧ所成的角θ．由△ＭＲＢ∽△ＭＣＧ，可得ＢＲ＝，在Ｒｔ△ＲＥＢ中，∠Ｂ＝９０°，ＢＲ＝，ＥＢ＝２，所以ｓｉｎθ＝ＢＲ/ＥＲ＝，于是由②得所求之距离ｄ＝．图5 图6（３)利用三棱锥的体积公式．解法4．如图6，设点Ｂ到平面ＥＦＧ的距离为ｄ,则三棱锥Ｂ—ＥＦＧ的体积Ｖ＝(１/３）Ｓ△ＥＦＧ·ｄ．另一方面又可得这个三棱锥的体积Ｖ＝（１/３）Ｓ△ＦＥＢ·ＣＧ,可求得Ｓ△ＦＥＢ＝(１/４)Ｓ△ＤＡＢ＝２,Ｓ△ＥＦＧ＝，所以有１/３··ｄ＝１/３·２·２，得ｄ＝．二、不经过该点间接确定点到平面的距离１．利用直线到平面的距离确定解法5．如图7，易证ＢＤ∥平面ＥＦＧ,所以ＢＤ上任意一点到平面ＥＦＧ的距离就是点Ｂ到平面ＥＦＧ的距离．由对称思想可知,取ＢＤ中点Ｏ，求点Ｏ到平面ＥＦＧ的距离较简单．ＡＣ交ＥＦ于Ｈ，交ＢＤ于Ｏ．易证平面ＧＨＣ⊥平面ＥＦＧ,作ＯＫ⊥ＨＧ，Ｋ为垂足,ＯＫ＝为所求之距离．图7 图8２．利用平行平面间的距离确定如图8，把平面ＥＦＧ补成一个正四棱柱的截面所在的平面,可使题设中的点、线、面之间的位置关系更加明朗．面ＧＭＴ是正四棱柱ＡＢＣＤ—Ａ１Ｂ１ＧＤ１经过Ｆ、Ｅ、Ｇ的截面所在的平面．ＭＧ交ＢＢ１于Ｎ，ＴＧ交ＤＤ１于Ｑ，作ＢＰ∥ＭＧ，交ＣＧ于Ｐ，连结ＤＰ，则有平面ＧＴＭ∥平面ＰＤＢ．它们之间的距离就是所求之距离．于是可以把点Ｂ平移到平面ＰＤＢ上任何一个位置,哪里方便就在哪里求．这两个平行平面的距离ｄ又同三棱柱ＧＱＮ—ＰＤＢ的体积有关，所以也可以利用三棱柱的体积确定所求之距离．据此可得解法６．解法6．三棱柱ＧＱＮ-ＰＤＢ的体积Ｖ＝Ｓ△ＰＤＢ·ｄ，另一方面又有Ｖ＝Ｓ△ＣＤＢ·ＢＮ，可求得ＢＮ＝２/３,ＣＰ＝４/３，ＰＢ＝ＰＤ＝,ＢＤ＝,Ｓ△ＰＤＢ＝，Ｓ△ＣＤＢ＝８，所以·ｄ＝８·２/３，得ｄ＝为所求之距离．。
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【例1】 已知线段AB 在平面α外，A 、B 两点到平面α的距离分别为1和3，则线段AB 的
中点到平面α的距离为（ ） A ．1 B ．2
C ．1或2
D ．0或1
【例2】 ABC ∆的三个顶点A B C ，
，到平面α的距离分别为234，，，且它们在平面α的同一侧， 则ABC ∆的重心到平面α的距离为___________．
【例3】 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 是11A B 的中点．求E 到平面11
ABC D 的距离．
A 1
D 1
C
B
A
【例4】 如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，90DAB ∠=，AD a =，PD ⊥面ABCD ，
PD a =，求点D 到平面PAB 的距离．
H
A
C
B
D
P
典例分析
板块一.点到平面的距离问题
【例5】 如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，1AB =，若二面角1C AB C --的大小为60，
求点C 到面1ABC 的距离.
E
D
C 1
B 1A 1
C
B
A
【例6】 （2007湖北文5）在棱长为1的正方体1
2
PD AB =
中，E 、F 分别为棱1AA 、1BB 的中点，G 为棱11A B 上的一点，且()101A G λλ=≤≤，则点G 到平面1D EF 的距离为（ ） A
B
C
D
A
A 1
【例7】 （2007湖北文5）
在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为棱1AA 、1BB 的中点，G 为棱11A B 上的一点，且()101A G λλ=≤≤，则点G 到平面1D
EF 的距离为（ ） A
B
C
D A
B
C
D
E
【例8】 （2007江苏14）正三棱锥P ABC -高为2，侧棱与底面所成角为45︒，则点A 到
侧面PBC 的距离是 ．
【例9】 四棱锥P ABCD -的底面是边长为a 的菱形，且60BCD ∠=，PD ⊥平面ABCD ，
PD a =，E 是PA 中点．求点E 到平面PCD 的距离．
A
【例10】 如图，已知P 为ABC ∆外一点，PO ⊥平面ABC ，垂足为O ，
⑴若PA 、PB 、PC 两两垂直，求证：O 为ABC ∆的垂心； ⑵若PA PB PC ==，求证：O 为ABC ∆的外心．
⑶若PA 、PB 、PC 两两垂直，且PA PB PC a ===，求P 点到平面ABC 的距离．
O
C
B
A
P
【例11】 如右图，是一个边长为a 的正方体1111ABCD A B C D -，
⑴求证：1AC ⊥平面1A BD ； ⑵求A 点到平面1A BD 的距离．
A
A 1
【例12】 已知长方体1111ABCD A B C D -中，棱1AB AD ==，棱12AA =．
⑴求点1A 到平面11AB D 的距离．
⑵连结1A B ，过点A 作1A B 的垂线交1BB 于E ，交1A B 于F ．
H
O
A
B
C
D
A 1
B 1
C 1
D 1
①求证：1BD ⊥平面EAC ； ②求点D 到平面11A BD 的距离．。