互斥事件

典型例题一例1 今有标号为1、2、3、4、5的五封信，另有同样标号的五个信封，现将五封信任意地装入五个信封中，每个信封一封信，试求至少有两封信与信封标号一致的概率．分析：至少有两封信与信封的标号配对，包含了下面两种类型：两封信与信封标号配对；3封信与信封标号配对；4封信与信封标号配对，注意：4封信配对与5封信配对是同一类型．现在我们把上述三种类型依次记为事件321A A A 、、，可以看出321A A A 、、两两互斥，记“至少有两封信与信封标号配对”为事件A ，事件A 发生相当于321A A A 、、有一个发生，所以用公式)()()()(321A P A P A P A P ++=可以计算)(A P . 解：设至少有两封信配对为事件A ，恰好有两封信配对为事件1A ，恰有3封信配对为事件2A ，恰有4封信（也就是5封信）配对为事件3A ，则事件A 等于事件321A A A ++，且321A A A 、、事件为两两互斥事件，所以)()()()(321A P A P A P A P ++=．5封信放入5个不同信封的所有放法种数为55A ，其中正好有2封信配对的不同结果总数为.225⨯C正好有3封信配对的不同结果总数为.35C正好有4封信（5封信）全配对的不同结果总数为1， 而且出现各种结果的可能性相同，.12031)()()()( ,1201)(,121)(,61)2()( 32135535255251=++=∴==÷==÷⨯=∴A p A P A P A P A P A C A P A C A P 说明：至少有两封信与信封配对的反面是全不配对和恰好有1封信配对，但是配对越少，计算该结果的所有方法总数越困难，即计算该事件的概率越不方便．现在把问题改为计算“至多两封信与信封标号配对”的概率是多少？我们转化为求其对立事件的概率就简单得多，它的对立事件为“3封信配对或4封信（即5封）配对”，得到其结果的概率为120109)1(1555535=÷+÷A A C ，在计算事件的概率时有时采用“正难则反”的逆向思维方法，直接计算事件的概率比较难，而计算其对立事件的概率比较容易时可采用这种方法．典型例题七例7 射手张强在一次射击中射中10环、9环、8环、7环、7环以下的概率分别为24.0，28.0，19.0，16.0，13.0．计算这个射手在一次射击中：(1)射中10环或9环的概率；(2)至少射中7环的概率；(3)射中环数不足8环的概率．分析：“射中10环”，“射中9环”，…“射中7环以下”是彼此互斥事件，可运用“事件的和”的概率公式求解．解：设“射中10环”、“射中9环”、“射中8环”、“射中7环”、“射中7环以下”的事件分别为A、B、C、D、E，则(1)52P+BA+=AP，=BP+.0.028.0)24)((=)(所以射中10环或9环的概率为52.0．(2) )+P++(DACBPBA+=+CP+P)P)(())(D(.0=24+=，+.0+.08716.0.01928所以至少射中7环的概率为87.0．(3) 29+EP+==P，+DEPD(16.013.0(=.0))()所以射中环数不足8环的概率为29.0．说明：公式)AB=+只有在A、B两事件互斥时才使用，(PP+)()(BPA如果A、B两事件不互斥，就不能应用这一公式，一定要注意BPAA=P++这一公式应用的前提是A、B两个事件互斥．(()))(BP典型例题三例3有4个红球，3个黄球，3个白球装在袋中，小球的形状、大小相同，从中任取两个小球，求取出两个同色球的概率是多少？分析：与倒2中取球方式不同的是，从中取出两球是不放回的取出．处理上，例2是分步取球，先取哪个后取哪个是有区别地对待，而本例中，只要搞清是取的什么球，直接用组合数列式．取出两个同色球可以分成下面几个类型：两个红球；两个黄球；两个白球．解：从10个小球中取出两个小球的不同取法数为,210C “从中取出两个红球”的不同取法数为，其概率为,21024C C ÷ “从中取出两个黄球”的不同取法数为，其概率为,21023C C ÷ “从中取出两个白球”的不同取法数为，其概率为,21023C C ÷ 所以取出两个同色球的概率为：.154210232102321024=÷+÷+÷C C C C C C 说明：本题求取出两个同色球的概率，对结果比较容易分类，如果换上“取出3个球，至少两个同颜色”，这样的问题分类相对就比较复杂，在此我们不一一列出，但考虑其反面，对立事件为“取出3个球，颜色全不相同”，对立事件的概率比较容易算出．取出3个球，颜色全不相同的所有不同取法数为36334=⨯⨯（种），对立事件的概率为453636210=÷C ，所以“取出3个球，至少两个同颜色”的概率为：.2.045361=- 典型例题九例9 小明的袋中放有3个伍分硬币、3个贰分硬币和4个壹分硬币，从中任取3个，求总数超过8分的概率．分析1：视其为互斥事件，进而求概率．解法1：(1)记“总数超过8分”为事件A ，它包括下列四种情况：①“取到3个伍分硬币”记为事件1B ；②“取到2个伍分硬币和1个贰分硬币”为事件2B ；③“取到2个伍分硬币和1个壹分硬币”为事件3B ；④“取到１个伍分硬币和2个贰分硬币”为事件4B ．1201)(310331==C C B P ，1209)(31013232==C C C B P ， 12012)(31014233==C C C B P ，1209)(31023134==C C C B P ． 根据题意，1B 、2B 、3B 、4B 彼此互斥，故所求概率)()(4321B B B B P A P +++=)()()()(4321B P B P B P B P +++=12031=． 分析2：视其为等可能事件，进而求概率．解法2：从10个硬币中取3个，共有310C 种不同方法．“总数超过8分”的共有以下四种情况：①取3个伍分硬币，共有33C 种方法；②取2个伍分硬币和1个贰分硬币，共有1323C C 种方法；③取2个伍分硬币和1个壹分硬币，共有1423C C 种方法；④取１个伍分硬币和2个贰分硬币，共有2313C C 种不同方法，所以“总数超过8分”共有3123131423132333=+++C C C C C C C 种方法．∴总数超过8分的概率为12031． 说明：复杂的等可能事件的概率可化为彼此互斥的简单事件来求，要注意分类的不重、不漏．典型例题二例2 袋中装有红、黄、白3种颜色的球各1只，从中每次任取1只，有放回地抽取3次，求：（1） 3只全是红球的概率，（2） 3只颜色全相同的概率，（3） 3只颜色不全相同的概率，（4） 3只颜色全不相同的概率．分析：有放回地抽3次的所有不同结果总数为33，3只全是红球是其中的1种结果，同样3只颜色全相同是其中3种结果，全红、全黄、全白，用求等可能事件的概率方式可以求它们的概率．“3种颜色不全相同”包含的类型较多，而其对立事件为“三种颜色全相同”却比较简单，所以用对立事件的概率方式求解．3只颜色全不相同，由于是一只一只地按步取出，相当于三种颜色的一个全排列，其所有不同结果的总数为33A ，用等可能事件的概率公式求解．解：有放回地抽取3次，所有不同的抽取结果总数为：3只全是红球的概率为,271 3只颜色全相同的概率为.91273= “3只颜色不全相同”的对立事件为“三只颜色全相同”．故“3只颜色不全相同”的概率为,98911=- “3只颜色全不相同”的概率为.2763333=÷A 说明：如果3种小球的数目不是各1个，而是红球3个，黄球和白球各两个，其结果又分别如何？首先抽3次的所有不同结果总数为37，全是红球的结果总数为33，所以全是红球的概率为343277333=÷，同样全是黄球的概率为3438，全是白球的概率也是3438，所以3只球颜色全相同的概率为上述三个事件的概率之和，243432438243824327=++，“三种颜色不全相同”为“三种颜色全相同”的对立事件，其概率为.243200243431=- “3只小球颜色全不相同”可以理解为三种颜色的小球各取一只，然后再将它们排成一列，得到抽取的一种结果，其所有不同结果总数为7222333=⨯⨯A （种），所以“3只小球颜色全不相同”的72概率为.243典型例题五例5 判断下列各对事件是否是互斥事件，并说明道理．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，其中(1)恰有1名男生和恰有2名男生；(2)至少有一名男生和至少有一名女生；(3)至少有一名男生和全是男生；(4)至少有1名男生和全是女生．分析：判断两个事物是否为互斥事件，就是考察它们能否同时发生，如果不能同时发生，则是五斥事件，不然就不是互斥事件．解：(1)是互斥事件道理是：在所选的2名同学中，“恰有1名男生”实质是选出的是“一名男生和一名女生”，它与“恰有两名男生”，不可能同时发生，所以是一对互斥事件．(2)不可能是互斥事件道理是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“两名都是男生”两种结果．“至少有1名女生”包括“1名女生、1名男性”和“两名都是女生”两种结果，它们可同时发生．(3)不可能是互斥事件道理是：“至少有一名男生”包括“一名男生、一名女生”和“两名都是男性”，这与“全是男生”，可同时发生．(4)是互斥事件道理是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“两名都是男生”两种结果，它和“全是女生”不可能同时发生． 小结：互斥事件是概率知识中重要概念，必须正确理解．(1)互斥事件是对两个事件而言的．若有A 、B 两个事件，当事件A 发生时，事件B 就不发生；当事件B 发生时，事件A 就不发生（即事件A 、B 不可能同时发生），我们就把这种不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件．否则就不是互斥事件．(2)对互斥事件的理解，也可以从集合的角度去加以认识． 如果A 、B 是两个互斥事件，反映在集合上，是表示A 、B 这两个事件所含结果组成的集合彼此互不相交．如果事件n A A A ,,,21 中的任何两个都是互斥事件，那么称事件n A A A ,,,21 彼此互斥，反映在集合上，表现为由各个事件所含的结果组成的集合彼此互不相交．典型例题八例8 玻璃球盒中装有各色球12只，其中5红、4黑、2白、1绿，求从中取1球：(1)红或黑的概率；(2)红或黑或白的概率． 分析1：视其为等可能事件，进而求概率．解法1：(1)从12只球中任取1球得红球有5种取法，得黑球有4种取法，得红球或黑球共有945=+种不同取法，任取一球有12种取法， ∴任取1球得红球或黑球的概率得431291==P ． (2)从12只球中任取1球得红球有5种取法，得黑球有4种方法，得白球有2种取法，从而得红或黑或白球的概率为1211122452=++=P ． 分析2：视其为互斥事件，进而求概率．解法2：记事件1A ：从12只球中任取1球得红球；2A ：从中任取1球得黑球；3A ：从中任取1球得白球；4A ：从中任取1球得绿球，则125)(1=A P ，124)(2=A P ，122)(3=A P ，121)(4=A P ． 根据题意，1A 、2A 、3A 、4A 彼此互斥，由互斥事件概率得．(1)取出红球或黑球的概率为43124125)()()(2121=+=+=+A P A P A A P ； (2)取出红或黑或白球的概率为1211122124125)()()()(321321=++=++=++A P A P A P A A A P ． 分析3：应用对立事件求概率．解法3：(1)由思路2，取出红球或黑球的对立事件为取出白球或绿球，即21A A +的对立事件为43A A +，∴取出红球或黑球的概率为)()(1)(1)(434321A P A P A A P A A P --=+-=+431291211221==--=． (2)321A A A ++的对立事件为4A ．12111211)(1)(4321=-=-=++A P A A A P 即为所求． 说明：(1)“互斥”和“对立”事件容易搞混．互斥事件是指指事件不能同时发生，对立事件是指互斥的两事件中必有一个发生．(2)求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先去求对立事件的概率，进而再求所求事件的概率．典型例题六例 6 判断下列给出的每对事件，(1)是否为互斥事件，(2)是否为对立事件，并说明道理．从扑克40张(红桃、黑桃、方块、梅花点数从1—10各10张)中，任取一张．(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色色牌”；(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”．解：(1)是互斥事件，不是对立事件．道理是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件，同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件．(2)既是互斥事件，又是对立事件．道理是：从40张扑克牌中，任意抽取1张．“抽出红色牌”与“抽出黑色色牌”，两个事件不可能同时发生，但其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件．(3)不是互斥事件，当然不可能是对立事件道理是：从40张扑克牌中任意抽取1张．“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件．说明：“互斥事件”和“对立事件”都是就两个事件而言的，互斥事件是不可同时发生的两个事件，而对立事件是其中必有一个发生的互斥事件．因此，对立事件必须是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，也就是说“互斥事件”是“对立事件”的必要但不充分的条件．“对立事件”是“互斥事件”的充分不必要条件．典型例题十例10 同时抛掷两枚骰子，求至少有一个5点或6点的概率． 分析1：视其为等可能事件，进而求概率．解法1：同时投掷两枚骰子，可能结果如下表：共有36个不同的结果，其中至少有一个5点或6点的结果有20个，所以至少有一个5点或6点的概率为953620==P ． 分析2：利用对立事件求概率．解法2：至少有一个5点或6点的对立事件是没有5点或6点．如上表，没有5点或6点的结果共有16个，没有5点或6点的概率为943616==P ． 至少有一个5点或6点的概率为95941=-．下面再给出一种解法（此解法可在下一节学完后，再学习） 分析3：利用公式)()()()(B A P B P A P B A P ⋅-+=+．解法3：记事件A ：含有点数为5的．事件B ：含有点数为6的．显然A 、B 不是互斥事件3611)(=A P ，3611)(=B P ，362)(=⋅B A P ∴至少有一个5点或6点的概率为)()()()(B A P B P A P B A P ⋅-+=+953620362362236236113611==-=-+=． 说明：(1)本题常出现的错误有两类：一类是不符合题意的臆想，含5的有6个，含6的有6个，∴至少有一个5或6的有12个，从而所求概率为3136123666==+；另一类是没有搞清楚A 、B 是否为互斥事件，直接利用公式3622)()()(=+=+B P A P B A P ． (2)解题时，将所有基本事件全部列出是避免重复和遗漏的有效方法；对于用直接法难于解决的问题，可求其对立事件的概率，进而求得概率，以降低难度．典型例题十一例11 一批产品共100件，其中5件是废品，任抽10件进行检查，求下列事件的概率．。