集合---排列组合
排列组合公式排列组合公式
推论
• 方程x1+x2+…+xn=r 的非负整数解的个数。 • n≤r时，此方程的正整数解的个数 • n元集合的r-可重组合数，要求每个元素至少
出现一次。 • 正整数r的n-长有序分拆的个数 • 求x1+x2+x3+x4=20的整数解的数目，其中x1 ≥
3, x2 ≥ 1,x3 ≥ 0,x4 ≥ 5。
排列组合公式排列组合公式
有约束条件的排列：引例
• 用两面红旗、三面黄旗依次悬挂在一根旗杆 上，问可以组成多少种不同的标志？
排列组合公式排列组合公式
5、有约束条件的排列
• 设有k个元素a1，a2，…，ak，由它们组成一 个n-长的排列，其中对1≤i≤k，ai出现的次数 为ni，n1+n2 +… +nk=n，求排列的总数。
。
(2x13x25x3)6
x13x2 x32
(x1x2 xr)n
项，其中
n n1 1, nn 22, ,n r为 nrn非负 n1整 n2n 数 nrx1n1x2n2 xrnr
排列组合公式排列组合公式
例题
• 数1400有多少个正因数？ • 1400=23 × 52 × 7 • (3+1)(2+1)(1+1)=24
排列组合公式排列组合公式
多边形
排列组合公式排列组合公式
例题
• 对角线的条数为C(10,2)-10=45-10=35 • 任选两条对角线，可能相交在多边形内部，可能
交点为多边形的顶点，可能无交点（交点在多边 形外） • 任选四个顶点，对应一个交点，每个对角线分成 两段 • 每个对角线是一段 • 35+C(10,4) × 2=455
高中数学集合运算应用场景说明
高中数学集合运算应用场景说明在高中数学的学习中，集合运算是一个重要的概念和技巧。
通过集合运算，我们可以对不同的集合进行操作，从而得到新的集合，进一步解决实际问题。
本文将通过几个具体的应用场景，来说明集合运算在高中数学中的应用。
一、排列组合问题在高中数学中，排列组合问题是一个常见的应用场景。
通过集合运算，我们可以轻松地解决这类问题。
例如，有5个人参加一场比赛，要选出3个人作为代表。
我们可以用集合A表示所有参赛者，集合B表示代表队员，那么我们可以用B⊆A来表示选出的代表队员是从参赛者中选出的。
通过集合的交、并、差等运算，我们可以得到不同的组合方式，进而解决排列组合问题。
二、概率问题概率问题也是高中数学中常见的应用场景之一。
通过集合运算，我们可以计算事件的概率，从而解决概率问题。
例如，某班级有30名学生，其中15名男生和15名女生。
我们可以用集合A表示男生，集合B表示女生，那么我们可以用A∩B=∅来表示男生和女生互斥。
通过集合的交、并、差等运算，我们可以得到不同事件的概率，进而解决概率问题。
三、逻辑问题逻辑问题在高中数学中也是常见的应用场景。
通过集合运算，我们可以分析和解决逻辑问题。
例如，某班级有60名学生，其中40名学生喜欢数学，30名学生喜欢英语。
我们可以用集合A表示喜欢数学的学生，集合B表示喜欢英语的学生，那么我们可以用A∪B来表示喜欢数学或者英语的学生。
通过集合的交、并、差等运算，我们可以得到不同情况下的逻辑关系，进而解决逻辑问题。
四、函数问题函数问题也是高中数学中需要运用集合运算的应用场景之一。
通过集合运算，我们可以分析和解决函数问题。
例如，有两个函数f(x)和g(x)，我们可以用集合A 表示f(x)的定义域，集合B表示g(x)的定义域，那么我们可以用A∩B来表示f(x)和g(x)公共的定义域。
通过集合的交、并、差等运算，我们可以得到函数的定义域和值域，进而解决函数问题。
通过以上几个具体的应用场景，我们可以看到集合运算在高中数学中的重要性和实用性。
排列组合与集合的关系
排列组合与集合的关系一、集合元素的个数以最常见的全排列为例，用1、2、3、4、5、6、7、8、9组成数字不重复的九位数，则每一个九位数都是集合A的一个元素，集合A中共有9！个元素。
以下我们用S（A）表示集合A的元素个数。
二、集合的对应关系两个集合之间存在对应关系（以前学的函数的概念就是集合的对应关系）。
如果集合A与集合B存在一一对应的关系，则S（A）=S（B）如果集合A中每个元素对应集合B中N个元素，则集合B的元素个数是A的N倍（严格的定义是把集合B分为若干个子集，各子集没有共同元素，且每个子集元素个数为N，这时子集成为集合B的元素，而A 的元素与B的子集有一一对应的关系，则S（B）=S（A）*N例1：用1、2、3、4、5、6、7、8、9组成数字不重复的六位数集合A为数字不重复的九位数的集合，S（A）=9！集合B为数字不重复的六位数的集合。
把集合A分为子集的集合，规则为前6位数相同的元素构成一个子集。
显然各子集没有共同元素。
每个子集元素的个数，等于剩余的3个数的全排列，即3！这时集合B的元素与A的子集存在一一对应关系，则 S （A）=S（B）*3！ S（B）=9！/3！这就是我们用以前的方法求出的P（9，6）例2：从编号为1-9的队员中选6人组成一个队，问有多少种选法？设不同选法构成的集合为C，集合B为数字不重复的六位数的集合。
把集合B分为子集的集合，规则为全部由相同数字组成的数组成一个子集，则每个子集都是某6个数的全排列，即每个子集有6！个元素。
这时集合C的元素与B的子集存在一一对应关系，则 S（B）=S（C）*6！ S（C）=9！/3！/6！这就是我们用以前的方法求出的C（9，6）以上都是简单的例子，似乎不用弄得这么复杂。
但是集合的观念才是排列组合公式的来源，也是对公式更深刻的认识。
大家可能没有意识到，在我们平时数物品的数量时，说1，2，3，4，5，一共有5个，这时我们就是在把物品的集合与集合（1，2，3，4，5）建立一一对应的关系，正是因为物品数量与集合（1，2，3，4，5）的元素个数相等，所以我们才说物品共有5个。
排列组合的基本原理
排列组合的基本原理尊敬的读者：在数学中，排列组合是一种重要的概念，它用于计算可能性和确定事件发生的方式。
本文将介绍排列组合的基本原理，包括排列和组合的定义、计算方法以及应用。
希望通过本文的阐述，您能够更好地理解和运用排列组合的基本原理。
1. 排列的定义和计算方法在数学中，排列指的是从一个集合中选取若干个元素，按照一定顺序排列的方式。
排列通常用P(n,m)表示，其中n为集合的元素个数，m 为选取的元素个数。
排列的计算方法可分为两种情况：1.1 当选取的元素个数m小于或等于集合的元素个数n时，排列的计算公式为：P(n,m) = n! / (n-m)!1.2 当选取的元素个数m大于集合的元素个数n时，排列的计算公式为0，即不存在这种情况。
2. 组合的定义和计算方法组合指的是从一个集合中选取若干个元素，不考虑顺序的方式。
组合通常用C(n,m)表示，其计算方法可分为两种情况：2.1 当选取的元素个数m小于或等于集合的元素个数n时，组合的计算公式为：C(n,m) = n! / (m! * (n-m)!)2.2 当选取的元素个数m大于集合的元素个数n时，组合的计算公式为0，即不存在这种情况。
3. 排列组合的应用排列组合在实际问题中的应用非常广泛，下面举几个例子来说明：3.1 生日排列问题：假设有5个人，每个人的生日在一年中任意选择。
我们可以用排列来计算不考虑年份的情况下，5个人生日的所有可能排列数量。
根据排列的计算公式，可知P(365,5)即为所求。
3.2 钥匙排列问题：某人有5把钥匙，但只有其中一把能打开家门。
每次进门都尝试一把钥匙，直到能够打开为止。
这个过程中，我们可以用排列来计算需要尝试的所有可能方式的数量。
根据排列的计算公式，可知P(5,5)即为所求。
3.3 选课组合问题：某学校的学生需要选择4门选修课，而学校提供了8门选修课供选择。
我们可以用组合来计算学生选择的所有可能组合的数量。
根据组合的计算公式，可知C(8,4)即为所求。
排列组合公式(全)
排列组合公式排列定义从n个分歧的元素中，取r个不重复的元素，顺次序排列，称为从n个中取r个的无重排列。
排列的全体组成的集合用 P(n,r)暗示。
排列的个数用P(n,r)暗示。
当r=n时称为全排列。
一般不说可重即无重。
可重排列的相应记号为 P(n,r),P(n,r)。
组合定义从n个分歧元素中取r个不重复的元素组成一个子集，而不考虑其元素的顺序，称为从n个中取r个的无重组合。
组合的全体组成的集合用C(n,r)暗示，组合的个数用C(n,r)暗示，对应于可重组合有记号C(n,r),C(n,r)。
一、排列组合部分是中学数学中的难点之一，原因在于(1)从千差万此外实际问题中抽象出几种特定的数学模型，需要较强的抽象思维能力；(2)限制条件有时比较隐晦，需要我们对问题中的关键性词(特别是逻辑关联词和量词)准确理解；(3)计算手段简单，与旧知识联系少，但选择正确合理的计算方案时需要的思维量较大；(4)计算方案是否正确，往往不成用直观方法来检验，要求我们搞清概念、原理，并具有较强的分析能力。
二、两个基本计数原理及应用(1)加法原理和分类计数法1．加法原理2．加法原理的集合形式3．分类的要求每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类分歧法子中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏)(2)乘法原理和分步计数法1．乘法原理2．合理分步的要求任何一步的一种方法都不克不及完成此任务，必须且只须连续完成这n步才干完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采纳的方法分歧，则对应的完成此事的方法也分歧例1：用1、2、3、4、5、6、7、8、9组成数字不重复的六位数集合A为数字不重复的九位数的集合，S（A）=9！集合B为数字不重复的六位数的集合。
把集合A分为子集的集合，规则为前6位数相同的元素构成一个子集。
显然各子集没有共同元素。
每个子集元素的个数，等于剩余的3个数的全排列，即3！这时集合B的元素与A的子集存在一一对应关系，则S（A）=S（B）*3！S（B）=9！/3！这就是我们用以前的方法求出的P（9，6）例2：从编号为1-9的队员中选6人组成一个队，问有多少种选法？设分歧选法构成的集合为C，集合B为数字不重复的六位数的集合。
排列组合20种常用方法
排列组合20种常用方法
1. 列出所有可能的组合
2. 使用递归排列组合
3. 使用循环排列组合
4. 使用动态规划排列组合
5. 使用回溯法排列组合
6. 使用数学公式计算排列组合
7. 使用位运算排列组合
8. 使用逆序排列组合
9. 使用有序集合排列组合
10. 使用栈数据结构排列组合
11. 使用队列数据结构排列组合
12. 使用重复排列组合
13. 使用有限制条件的排列组合
14. 使用自定义函数进行排列组合计算
15. 使用字符串拆分和拼接进行排列组合
16. 使用二叉树进行排列组合
17. 使用堆进行排列组合
18. 使用图进行排列组合
19. 使用集合进行排列组合计算
20. 使用贪心算法进行排列组合。
排列组合知识点
排列组合知识点排列组合的相关知识点什么是排列组合•排列组合是数学中的一个重要概念，用于描述从指定元素集合中选择和排列元素的方法和规律。
排列•排列是指从n个不同元素中，按照一定的顺序取出m个元素，且每个元素只能取一次，所能得到的不同的有序数列的个数。
•使用排列的公式可以计算出排列的数量：–全排列：P(n) = n!，表示将n个元素全部进行排列的情况。
–部分排列：P(n,m) = n! / (n-m)!，表示从n个元素中取出m个元素进行排列的情况。
组合•组合是指从n个不同元素中，选择出m个元素，且不考虑元素之间的顺序，所能得到的不同的无序数列的个数。
•使用组合的公式可以计算出组合的数量：–C(n,m) = n! / (m! * (n-m)!)，表示从n个元素中取出m 个元素进行组合的情况。
排列与组合的区别•在排列中，元素的顺序是重要的，而在组合中，元素的顺序是不重要的。
•例如从字母A、B、C中取出两个字母进行排列，可以得到AB、AC、BA、BC、CA、CB等6种情况。
而从A、B、C中取出两个字母进行组合，则只有AB、AC、BC三种情况。
应用场景•排列组合在许多领域都具有广泛的应用，如数学、计算机科学、概率与统计等。
•在数学中，排列组合是组合数学的分支之一，常用于解决计数问题。
•在计算机科学中，排列组合常被用于算法设计、数据压缩和密码学等领域。
•在概率与统计中，排列组合用于计算事件的可能性和统计分析。
总结•排列组合是数学中的重要概念，用于描述选择和排列元素的方法和规律。
•排列是有序的选择和排列元素的方式，而组合是无序的选择和排列元素的方式。
•排列组合在许多领域都有广泛的应用，如数学、计算机科学、概率与统计等。
高中排列组合最短路径问题
高中排列组合最短路径问题摘要：一、排列组合简介1.排列组合概念2.排列组合公式3.排列组合在高中数学中的地位二、最短路径问题1.最短路径问题的定义2.最短路径问题的分类3.最短路径问题的解决方法三、排列组合与最短路径问题的结合1.排列组合在解决最短路径问题中的应用2.最短路径问题中排列组合的优化方法3.排列组合与最短路径问题相结合的经典例题四、高中排列组合最短路径问题的学习方法1.理解排列组合与最短路径问题的基本概念2.掌握排列组合与最短路径问题的解题技巧3.通过大量练习提高排列组合与最短路径问题的解题能力正文：排列组合是高中数学中的一个重要知识点，涉及到各种组合与排列的问题。
最短路径问题则是图论中的一个经典问题，主要研究在给定图中从起点到终点的最短路径。
排列组合与最短路径问题的结合，不仅可以帮助我们更好地理解这两个知识点，还能提高解决实际问题的能力。
排列组合是指从给定的有限元素中按照一定的顺序选取若干个元素组成集合的过程。
排列组合主要包括排列和组合两个方面。
排列是指从n 个元素中取出m 个元素（m≤n），并按照一定的顺序进行排列的方法。
组合则是指从n 个元素中取出m 个元素（m≤n），不考虑元素的顺序。
排列组合的公式主要包括排列数公式和组合数公式，这些公式可以帮助我们快速计算排列组合问题。
最短路径问题是指在给定图中，寻找从起点到终点的最短路径。
最短路径问题可以分为四类：无向图最短路径问题、有向图最短路径问题、单源最短路径问题和多源最短路径问题。
解决最短路径问题的方法有很多，如Dijkstra 算法、Floyd-Warshall 算法等。
排列组合在最短路径问题中的应用非常广泛。
例如，在解决最短路径问题时，我们需要计算从起点到终点的路径数，这就涉及到了排列组合的计算。
同时，排列组合还可以帮助我们优化最短路径问题中的解题方法，提高解题效率。
在高中阶段，排列组合与最短路径问题的结合主要体现在经典例题中。
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职 高 数 学 单 元 测 试
集合---排列组合
(时间:100分钟,满分100分)
姓名________成绩__________
一．填空：(每空2分,共38分)
1.从1,2,3,4,5中任选两数组成加法式子,共可组成______个不同的加法式子, 若组成无重复数字的二位数,则可组成_______个不同的二位数.
2.计算：0!+5!- C 62+P 62=____
3.四人排成一列,甲只能站右边第一个位置,则有 种不同站法.
4.1,2,3,4,5中任取2数,可以组成______个两位偶数,如果数字可以重复, 则可组成________个两位偶数.
5.-8和-2的等比中项为________，等差中项为_______
6.等比数列{a n }中S n =2n+1-2，则此数列的公比q=_________
7.数列{a n }为等差数列，a n =2-3n 则S 10=__________
8.集合A={0,1,2,3}的所有真子集有_______个.
9.已知a<b<0,c<0则
a c 和b
c
的大小关系是_________ 10.函数)34(log 22
1x x y --=的定义域为__________
11.函数24x x y -=的值域为 ，在区间 上为增函数 12.当________时13
1<-a
,当________时15
7
log >a
13. 6名护士，3名医生分派到三所不同的学校为学生体检，每校两名护士和一名
医生，则有 种不同的分派方法。
14.已知函数
x
a
y log 3=的图象过点)9
1
3(，，则a=
二．选择填空题：（每小题3分，共30分）
15．从甲地到乙地，一天中有两班火车，五班汽车开出，则在一天中不同的乘车方
法有 种
A 25
B 52
C 10
D 7
16．某地有4个不同的邮筒，现将三封信投放到邮筒中，则不同的投法有 种
A 34
B 43
C P 43
D C 43 17．4×5×6×……×(n-1)×n ×(n+1)=
A C n+1n-3
B (n+1)!-3!
C P n+1n-2
D P n+1n-3 18．已知C 202x-7=C 20x ，则x=
A 9
B 7
C 9或7
D 5或9 19．三数m-1，2m ，4成等差，则m= A 0 B 1 C 2 D 3 20．等差数列｛a n ｝中，a 3+a 7=20，则S 9= A 9 B 20 C 90 D 180
21．等比数列：-1，2.......的第8项为 A 256 B -256 C -128 D 128 22．已知等差数列-1，1……则此数列的S 10= A 70 B 80 C 90 D 100
23．函数13sin()25
y x π
=--周期和最大值分别为
A 2,3π
B ,3π
C 4,3π
D 3
2,2
π
24.已知平面上有八个点，其中有四点在同一直线上，此外再无三点共线情形，则 此八点可组成 个三角形。
A 50
B 52
C 54
D 56
三．解答题(25、26、27小题每小题6分，28、29小题，每小题7分，共32分) 25.计算：C 63
+C 62
-P 52
+2-1
+lg2-lg20+cos600
26.等差数列}{n a 中，26149
5==，a a ，求20S
27. 已知等比数列｛a n ｝中，S 7=43，公比q=-2，写出此数列的通项公式，并求a 9.
28．有5名男生,4名女生和1名老师（1）从中选4名组成一个技能大赛小组，去
参加市技能大赛，且老师必须在其中，则有多少种不同的选法。
(2)从中选4名排成一排照像，且老师必须在其中，则共有多少种不同的排法.(3)若选出男、女生各2名，和一名老师排成一列照像，且老师必须站正中间，则共有多少种不同的排法？
29．由0,1,2,3,4,5可以组成多少个无重复数字且比3000小的四位数.。