D8_2无穷级数 正项级数及审敛法

∞ n =1 n =1
又已知 { S n } 有界, 故{ S n } 收敛 , 从而 ∑ u n 也收敛.
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定理2 (比较审敛法) 设
n =1
∑ un , ∑ vn 是两个正项级数,
n =1
∞
∞
∞
且存在 N ∈ Z + , 对一切 n > N , 有 u n ≤ k vn (常数 k > 0 ), 则有 (1) 若级数 (2) 若级数
1 1 p ≥ n n
∞ 1 1 而调和级数 ∑ 发散 , 由比较审敛法可知 p 级数∑ p n =1 n n =1 n
∞
发散 .
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1 1 2) 若 p > 1, 因为当 n −1 ≤ x ≤ n 时, p ≤ p , 故 n x n 1 n 1 1 =∫ dx ≤∫ dx p p p n −1 n n −1 x n 1 1 1 部分和 S n = 1 + p + p + L + p n 2 3 n 2 1 3 1 1 ≤ 1 + ∫ p dx + ∫ p dx + L + ∫ dx p n −1 x 1 x 2 x
1 特别取 vn = p , 对正项级数 ∑ u n , 可得如下结论 : n p ≤1, 0 < l ≤ ∞ ∑ un 发散 lim n p nn = l n →∞ p >1, 0 ≤ l < ∞ ∑ un 收敛
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1 例3. 判别级数 ∑ sin 的敛散性 . n n =1 1 1 解: Q lim n sin = lim n ⋅ = 1 n →∞ n n →∞ n
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∞
内容小结
1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性 2. 利用正项级数审敛法 必要条件 lim u n = 0
n →∞
不满足
发 散 比较审敛法
满足 u n +1 比值审敛法 lim u = ρ n →∞ n 根值审敛法 lim n u n = ρ
n →∞
⎧ ⎪ 部分和极限 ρ =1 ⎪ 不定 ⎨ 用它法判别 ⎪ 部分和是否 ⎪ ⎩
∞
∞
(1) 当 0 < l <∞ 时, 两个级数同时收敛或发散 ; (2) 当 l = 0 且 ∑ vn 收敛时, (3) 当 l =∞ 且 ∑ vn 发散时 ,
n =1 n =1 ∞ n =1 ∞
∑ un 也收敛 ; ∑ un 也发散 .
∞
n =1
证: 据极限定义, 对ε > 0, 存在 N ∈ Z + , 当n > N 时,
n =1
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∞
Sn ≤ k σ n
(1) 若级数
∑ vn
n =1
∞
收敛, 则有 σ = lim σ n
n →∞
+ 因此对一切 n ∈ Z , 有 S n ≤ k σ
由定理 1 可知, 级数 (2) 若级数
∑ un
n =1
∞
也收敛 .
∑ un
n =1
∞
发散, 则有 lim S n = ∞,
n− N
u N +1
( ρ + ε ) k 收敛 , 由比较审敛法可知 ∑
∑ un 收敛 .
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(2) 当 ρ > 1 或 ρ = ∞ 时,必存在 N ∈ Z + , u N ≠ 0, 当n ≥ N u n +1 > 1, 从而 时 un u n +1 > u n > u n −1 > L > u N 因此 lim u n ≥ u N ≠ 0 , 所以级数发散.
= 1+ ∫
n
1
1 1 1− p dx = 1 + x p x 1− p 1
n
1 1 1− p = 1+ (1 − n ) < 1 + 有界 , p 级数收敛 . p −1 p −1
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调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数. 若存在 N ∈ Z + , 对一切 n ≥ N ,
∑ vn
n =1 ∞
∞
收敛 , 则级数 发散 , 则级数
∑ un
n =1 ∞
也收敛 ; 也发散 .
∑ un
n =1
∑ vn
n =1
证: 因在级数前加、减有限项不改变其敛散性, 故不妨 设对一切 n ∈ Z + , 都有 u n ≤ k vn , ∞
n =1
令 S n 和σ n 分别表示 ∑ u n 级数和∑ vn 级数的部分和
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例5. 讨论级数 ∑ n x
n =1
∞
n −1
( x > 0 ) 的敛散性 .
u n +1 (n + 1) x n = lim =x 解: Q lim n −1 n →∞ u n n →∞ n x
根据定理4可知:
当0 < x < 1 时, 级数收敛 ;
当 x > 1时, 级数发散 ; 当 x = 1时, 级数 ∑ n 发散 .
n →∞
因此 lim σ n = ∞ , 这说明级数
n →∞
∑ vn
n =1
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∞
也发散 .
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1 1 1 例1. 讨论 p 级数 1 + p + p + L + p + L (常数 p > 0) 2 3 n 的敛散性.
解: 1) 若 p ≤ 1, 因为对一切 n ∈ Z + ,
∑ nn n .
n =1 n
不是 p–级数
1 1 解: (1) Q ln(n + 1) < n , ∴ > ln(n + 1) n ∞ 1 ∑ n 发散 , 故原级数发散 . n =1 1 1 (2) Q lim n 1 = lim n = 1 n →∞ n n →∞ n n n ∞ 1 ∑ n 发散 , 故原级数发散 . n =1
1 ≥ n (n + 1)
∞
∞ 1 1 发散 而级数 ∑ n + 1 = ∑ n =1 k =2 k
根据比较审敛法可知, 所给级数发散 .
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n =1
∑ un ,
∞
定理3. (比较审敛法的极限形式) 设两正项级数
vn 满足 lim u n = l , 则有 ∑ n →∞ vn n =1
∑ u n 与 ∑ vn
n =1
∞
(2) 当l = 0时, 利用 u n < ( l + ε ) vn (n > N ), 由定理2 知
n =1 n =1
un >1, 即 (3) 当l = ∞时, 存在 N ∈ Z , 当n > N 时, vn u n > vn
+
由定理2可知, 若 ∑ vn 发散 , 则 ∑ u n 也发散 .
第二节 正项级数的审敛法
第八章
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一、正项级数及其审敛法
若 u n ≥ 0 , 则称 ∑ u n 为正项级数 . 定理 1. 正项级数 ∑ u n 收敛
n =1 ∞ ∞
(n = 1, 2 ,L) 有界 .
∞
n =1
部分和序列 S n
证: “ “
” 若 ∑ u n 收敛 , 则{ S n }收敛 , 故有界. ” Q u ≥ 0 , ∴部分和数列 { S n }单调递增, n
∞
∞
sin 1 ～ n
∞
1 n
1 根据比较审敛法的极限形式知 ∑ sin 发散 . n n =1
例4. 判别级数 ∑ ln [1 + 2 ] 的敛散性. ln(1 + 12 ) ～ n12 n n n =1 1 2 1 2 解: Q lim n ln [1 + 2 ] = lim n ⋅ 2 = 1 n →∞ n n n →∞ ∞ 1 根据比较审敛法的极限形式知 ∑ ln [ 1 + 2 ]收敛 . n n =1
ρ <1
收 敛
ρ >1
发 散
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思考与练习
2 设正项级数 ∑ u n 收敛, 能否推出 ∑ u n 收敛 ?
∞
∞
提示: Q
n =1 2 un lim n →∞ u n
n =1
= lim u n = 0
n →∞
2 u n 收敛 . 由比较判敛法可知 ∑
∞
n =1
注意: 反之不成立. 例如,
n =1
n =1
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∞
∞
un ∑ un , ∑ vn 是两个正项级数, lim v = l , n →∞ n
(1) 当 0 < l < ∞ 时, 两个级数同时收敛或发散 ; (2) 当 l = 0 且 ∑ vn 收敛时,
∑ un 也收敛 ; (3) 当 l = ∞ 且 ∑ vn 发散时, ∑ u n 也发散 .
1 ∑ n 2 收敛 , n =1
∞
1 ∑ n 发散 . n =1
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