高三数学强化训练8

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理科数学培优强化训练8

主视图左视图2222012届上砂中学高三理科数学培优强化训练8一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知,A B 是非空集合，命题甲：A B B = ，命题乙：A B ⊂≠，那么（） A.甲是乙的充分不必要条件 B. 甲是乙的必要不充分条件C.甲是乙的充要条件D. 甲是乙的既不充分也不必要条件 2.复数21ii =- （） A . 1i - B. 1i -+ C. 1i + D. 1i --3.已知点(,)N x y 在由不等式组002x y x y x +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩确定的平面区域内，则(,)N x y 所在平面区域的面积是（）A ．1B ．2C ．4D ．84.等差数列{a n }中，已知35a =，2512a a +=，29n a =，则n 为（） A. 13 B. 14 C. 15 D. 165. 函数21log 1xy x+=-的图像（） A ．关于原点对称 B. 关于主线y x =-对称 C. 关于y 轴对称 D. 关于直线y x =对称6.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A.B.7.已知平面,,αβγ，直线,m l ，点A ，有下面四个命题： A . 若l α⊂，m A α= 则l 与m 必为异面直线； B. 若,l l m α 则m α ；ONC. 若 , , ,l m l m αββα⊂⊂ 则 αβ ；D. 若 ,,,m l l m αγγαγβ⊥==⊥ ，则l α⊥.其中正确的命题是（）8.某种游戏中，黑、黄两个“电子狗”从棱和为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A 出发沿棱向前爬行，每爬完一条棱称为“爬完一段”，黑“电子狗”爬行的路线是AA 1→A 1D 1→…，黄“电子狗”爬行的路线是AB →BB 1→…，它们都遵循如下规则：所爬行的第i +2段与第i 段所在直线必须异面直线(其中i 是正整数).设黑“电子狗”爬完2012段、黄“电子狗”爬完2011段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、黄“电子狗”间的距离是（） A. 0B. 1C. 2D. 3第 Ⅱ 卷二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题：第9、10、11、12、13题是必做题，每道试题考生都必须做答． 9. 0-=⎰.10.函数2()sin cos2f x x x =+,x R ∈的最小正周期为11.在直角ABC ∆中， 90=∠C ，30=∠A ， 1=BC ，D 为斜边AB 的中点，则 ⋅= .12.若双曲线22219x y a -=(0)a >的一条渐近线方程为320x y -=，则以双曲线的顶点和焦点分别为焦点和顶点的椭圆的离心率为__________.13.将“杨辉三角”中的数从左到右、从上到下排成一数列：1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，…，右图所示程序框图用来输出此数列的前若干项并求其和，若输入m=4则相应最后的输出S 的值是__________.（二）选做题：第14、15题是选做题，考生只能从中选做一题．14．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线1C 、2C 的极坐标方程分别为2cos()2πρθ=-+，cos()104πθ-+=，则曲线1C 上的点与曲线2C 上的点的最远距离为________.15．（几何证明选讲选做题）如图，点M 为O 的弦AB 上的一点，连接MO .MN OM ⊥，MN 交圆于N ，若2MA =，4MB =，则MN = .三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，S 是该三角形的面积，（1）若(2si n c o s ,s i n c o s )2Ba B B B=- ，(sin cos ,2sin )2Bb B B =+ ，//a b ，求角B 的度数；（2）若8a =，23B π=，S =b 的值.17（本小题满分12分）甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是32和43假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；每人各次射击是否击中目标，相互之间也没有影响⑴求甲射击3次，至少1次未击中．．．目标的概率； ⑵假设某人连续2次未击中．．．目标，则停止射击，问：乙恰好射击4次后，被中止射击的概率是多少？⑶设甲连续射击3次，用ξ表示甲击中目标时射击的次数，求ξ的数学期望E ξ.（结果可以用分数表示）18. （本小题满分14分）如图，四边形ABCD 中（图1），E 是BC 的中点，2DB =，1,DC =BC =，AB AD ==将（图1）沿直线BD 折起，使二面角A BD C --为060（如图2）（1）求证：AE ⊥平面BDC ；（2）求异面直线AB 与CD 所成角的余弦值；（3）求点B 到平面ACD 的距离.19（本小题满分14分）已知函数()241(12)ln(21)22x a f x a x x +=-+++ .（1）设1a =时，求函数()f x 极大值和极小值; （2）a R ∈时讨论函数()f x 的单调区间.20.（本小题满分l4分）如图，P 是抛物线C ：212y x =上横坐标大于零的一点，直线l 过点P 并与抛物线C 在点P 处的切线垂直，直线l 与抛物线C 相交于另一点Q .（1）当点P 的横坐标为2时，求直线l 的方程；（2）若0OP OQ ⋅=，求过点,,P Q O 的圆的方程.21. （本小题满分l4分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，正数数列{}n b 中 ,2e b =(e 为自然对数的底718.2≈)且*N n ∈∀总有12-n 是n S 与n a 的等差中项，1 1++n n n b b b 与是的等比中项.(1) 求证: *N n ∈∀有n n n a a 21<<+； (2) 求证：*N n ∈∀有13ln ln ln )1(2321-<+++<-n n n a b b b a .高三数学（理科）试题答案一．选择题：二、填空题：三、解答题：17.解：（1）记“甲连续射击3次，至少1次未击中目标”为事件A 1，由题意，射击3次，相当于3次独立重复试验，故P （A 1）=1- P （1A ）=1-32()3=1927答：甲射击3次，至少1次未击中目标的概率为1927；……………………4分 (2) 记“乙恰好射击4次后，被中止射击”为事件A 2，由于各事件相互独立，故P （A 2）=41×41×43×41+41×41×43×43 =364，答：乙恰好射击4次后，被中止射击的概率是364……………………8分（3）根据题意ξ服从二项分布，2323E ξ=⨯=……………………12分（3）方法二：03311(0)()327p C ξ==⋅= 123216(1)()()3327p C ξ==⋅⋅=22132112(2)()()3327p C ξ==⋅⋅=3303218(1)()()3327p C ξ==⋅⋅=161280123227272727E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=……………………12分说明：（1），（2）两问没有文字说明分别扣1分，没有答，分别扣1分。

数学强化训练(2011。03.21。学生版)

2011届高三强化训练文科数学(问卷）时量：120分钟总分：150分（2011．03．26）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设映射x x x f 2:2+-→是实数集M 到实数集P 的映射，若对于实数t P t ,∈在M 中不存在原象，则t 的取值范围是（）A [)+∞,1B ()+∞,1C ()1,∞-D (]1,∞- 2．在区间()1,0上任取两个数，则两个数之和小于56的概率为( )A2512 B 2518 C 2516 D25173．以141222=-xy的顶点为焦点,长半轴长为4的椭圆方程为（）A1526422=+yxB1121622=+yxC141622=+yxD116422=+yx4．若直线)0,0(022>>=+-b a by ax 被圆014222=+-++y x y x 截得的弦长为4，则ba 11+的最小值是 ( )A 4B 2C 21 D415．曲线()12ln -=x y 上的点到直线032=+-y x 的最短距离为（）A5 B 52 C 53D 0 6．等差数列{}{}n n b a , 的前n 项和分别是n n T S ,，若132+=n n T S nn ，则=nn b a （）A32 B1312--n n C1312++n n D4312+-n n7．在ABC ∆中,2,2,3π=∠==A BC AB ，如果不等式ACtBCBA →→→≥-恒成立，则实数t 的取值范围是( )A [)∞+，1 B⎥⎦⎤⎢⎣⎡121， C [)∞+⋃⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-，，121 D (][)∞+⋃∞-，，10 8．已知函数6(3)3(7)()(7)x a x x f x ax ---≤⎧=⎨>⎩ 数列{}n a 满足()(*)n a f n n N =∈ 且{}n a 是递增数列，则实数a 的取值范围( ) A (1,3)B (2,3)C 9(,3)4 D 9[,3)4二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在题中的横线上． 9．在9,7,5,3,1,0,2,4,6,8----这十个数中，任取两个作为虚数a b i +的实部和虚部（,,a b R ∈且a b ≠），则能组成模大于5的不同虚数的个数有个； 10．函数x x x f cos 2)(+=在⎥⎦⎤⎢⎣⎡π2,0上的最大值为；11．甲、乙两人玩数字游戏，先由甲心中任想一个数字为a ，再由乙猜甲刚好想的数字，把乙想的数字记为b ，且,{1,2,3,4,5,6}a b ∈，若||1a b -≤，则称“甲乙心有灵犀”，现任意找出两个人玩这个游戏，得出他们“心有灵犀”的概率为；12．已知直线2(0)y x a a =-+>与圆229x y +=交于A 、B 两点，且92O A O B ⋅= ，则实数a 的值等于；13．当实数x y 、满足约束条件0(20x y xk x y k ≥⎧⎪≤⎨⎪++≤⎩为常数）时，3Z x y =+有最大值12，则实数k 的值为；14．一个总体中的80个个体编号为,79,,3,2,1,0 并依次将其分为8个组，组号为7,,2,1,0 ，要用（错位）系统抽样的方法抽取一个容量为8的样本．即规定先在第0组随机抽取一个号码，记为i ，依次错位地得到后面各组的号码，即第k 组中抽取个位数为ki +（当10<+k i ）或10-+k i （当10≥+k i ）的号码．在6=i 时，所抽到的8个号码是 15．如图，有一圆柱形开口容器(底面密封)，其轴截面ACBD 是边长为2的正方形，P 是BC 的中点，现有一只蚂蚁位于外壁A 处，内壁P 处有一粒米粒，则这只蚂蚁取得米粒需要经过的最短路程为．三、解答题：本大题共六小题，共计75分．解答时应写出文字说明、证明或演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数()()()πϕωϕω≤≤>+=0,0cos x x f 为奇函数,且图象上相邻的一个最高点和最低点之间的距离为24π+．⑴求()x f 的最小正周期T ； ⑵求()x f 的解析式；⑶若⎪⎭⎫ ⎝⎛<<--=⎪⎭⎫⎝⎛+03323αππαf ，求⎪⎭⎫ ⎝⎛-6sin πα．ＰＡＢＣＤ某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x (百台)，其总成本为()x G （万元），其中固定成本为2万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入()x R (万元)满足：⎩⎨⎧>≤≤-+-=)5(2.10)50(8.02.44.0)(2x x x x x R假定该产品产销平衡，那么根据上述统计规律. （Ⅰ）要使工厂有赢利，产量x 应控制在什么范围？（Ⅱ）工厂生产多少台产品时，可使赢利最多？（Ⅲ）求赢利最多时每台产品的售价.18．(本小题满分12分)如图，四棱锥G —ABCD 中，ABCD 是正方形，且边长为2a ，面ABCD ⊥面ABG ，AG=BG ．（1）画出四棱锥G —ABCD 的三视图；（2）在四棱锥G —ABCD 中，过点B 作平面AGC 的垂线，若垂足H 在CG 上，求证：面AGD ⊥面BGC（3）在（2）的条件下，求三棱锥D —ACG 的体积及其外接球的表面积．已知数列3021,,,a a a ，其中1021,,,a a a 是首项为1，公差为1的等差数列；201110,,,a a a 是公差为d 的等差数列；302120,,,a a a 是公差为2d 的等差数列（0≠d ）．（1）若4020=a ，求d ；（2）试写出30a 关于d 的关系式，并求30a 的取值范围；（3）续写已知数列，使得403130,,,a a a 是公差为3d 的等差数列，……，依次类推，把已知数列推广为无穷数列．提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？20．（本小题满分13分）已知曲线C 上任一点P 到直线1x =与点(1,0)F -的距离相等．（1）求曲线C 的方程；（2）设直线y x b =+与曲线C 交于点,A B ，问在直线:2l y =上是否存在与b 无关的定点M ，使得A M B ∠被直线l 平分，若存在，求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由．21．(本小题满分13分）设函数ax x x x f +-=2331)(，b x x g +=2)(，当21+=x 时，)(x f 取得极值。

高三数学：2024届新结构“8+3+3”选填限时训练1_10(解析版)

2024届高三二轮复习“8+3+3”小题强化训练(1)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1对两个具有线性相关关系的变量x 和y 进行统计时，得到一组数据1,0.3 ,2,4.7 ,3,m ,4,8 ，通过这组数据求得回归直线方程为y=2.4x -2，则m 的值为()A.3B.5C.5.2D.6【答案】A【解析】易知x =1+2+3+44=52,y =13+m4，代入y =2.4x -2得13+m 4=2.4×52-2⇒m =3.故选：A2已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是()A.若m ⎳α,n ⎳α,则m ⎳nB.若m ⊥α，n ⊂α，则m ⊥nC.若m ⊥α，m ⊥n ，则n ⎳αD.若m ⎳α，m ⊥n ，则n ⊥α【答案】B【解析】线面垂直，则有该直线和平面内所有的直线都垂直，故B 正确.故选：B3已知向量a ，b 满足a =3，b =23，且a ⊥a +b，则b 在a 方向上的投影向量为()A.3B.-3C.-3aD.-a【答案】D【解析】a ⊥a +b ，则a ⋅a +b =a 2+a ⋅b =9+a ⋅b =0，故a ⋅b=-9，b 在a 方向上的投影向量a ⋅b a 2⋅a =-99⋅a =-a.故选：D .4若n 为一组从小到大排列的数1，2，4，8，9，10的第六十百分位数，则二项式3x +12xn的展开式的常数项是()A.7B.8C.9D.10【答案】A【解析】因为n 为一组从小到大排列的数1，2，4，8，9，10的第六十百分位数，6×60%=3.6，所以n =8，二项式3x +12x8的通项公式为T r +1=C r 8⋅3x 8-r ⋅12x r =C r 8⋅12 r⋅x8-r 3-r，令8-r 3-r =0⇒r =2，所以常数项为C 28×12 2=8×72×14=7，故选：A5折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征(如图1).图2是一个圆台的侧面展开图(扇形的一部分)，若两个圆弧DE ，AC 所在圆的半径分别是3和6，且∠ABC =120°，则该圆台的体积为()A.5023π B.9π C.7π D.1423π【答案】D【解析】设圆台上下底面的半径分别为r 1,r 2，由题意可知13×2π×3=2πr 1，解得r 1=1，13×2π×6=2πr 2，解得：r 2=2，作出圆台的轴截面，如图所示：图中OD =r 1=1,O A =r 2=2，AD =6-3=3，过点D 向AP 作垂线，垂足为T ，则AT =r 2-r 1=1，所以圆台的高h =AD 2-AT 2=32-1=22，则上底面面积S 1=π×12=π，S 2=π×22=4π，由圆台的体积计算公式可得：V =13×(S 1+S 2+S 1⋅S 2)×h =13×7π×22=142π3，故选：D .6已知函数f x =x 2-bx +c (b >0,c >0)的两个零点分别为x 1,x 2，若x 1,x 2,-1三个数适当调整顺序后可为等差数列，也可为等比数列，则不等式x -bx -c≤0的解集为()A.1,52B.1,52C.-∞,1 ∪52,+∞D.-∞,1 ∪52,+∞ 【答案】A【解析】由函数f x =x 2-bx +c (b >0,c >0)的两个零点分别为x 1,x 2，即x 1,x 2是x 2-bx +c =0的两个实数根据，则x 1+x 2=b ,x 1x 2=c 因为b >0,c >0，可得x 1>0,x 2>0，又因为x 1,x 2,-1适当调整可以是等差数列和等比数列，不妨设x 1<x 2，可得x 1x 2=-1 2=1-1+x 2=2x 1 ，解得x 1=12,x 2=2，所以x 1+x 2=52,x 1x 2=1，所以b =52,c =1，则不等式x -b x -c ≤0，即为x -52x -1≤0，解得1<x ≤52，所以不等式的解集为1,52.故选：A .7已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点分别为F 1，F 2，M ，N 为双曲线一条渐近线上的两点，A 为双曲线的右顶点，若四边形MF 1NF 2为矩形，且∠MAN =2π3，则双曲线C 的离心率为()A.3B.7C.213D.13【答案】C【解析】如图，因为四边形MF 1NF 2为矩形，所以MN =F 1F 2 =2c (矩形的对角线相等)，所以以MN 为直径的圆的方程为x 2+y 2=c 2.直线MN 为双曲线的一条渐近线，不妨设其方程为y =bax ，由y =b a x ,x 2+y 2=c 2,解得x =a y =b ，或x =-a ,y =-b , 所以N a ,b ，M -a ,-b 或N -a ,-b ，M a ,b .不妨设N a ,b ，M -a , -b ，又A a ,0 ，所以AM =a +a 2+b 2=4a 2+b 2，AN =a -a 2+b 2=b .在△AMN 中，∠MAN =2π3，由余弦定理得MN 2=AM 2+AN 2-2AM AN ⋅cos 2π3，即4c 2=4a 2+b 2+b 2+4a 2+b 2×b ，则2b =4a 2+b 2，所以4b 2=4a 2+b 2，则b 2=43a 2，所以e =1+b 2a2=213.故选:C .8已知a =ln 1.2e ,b =e 0.2,c =1.2e 0.2，则有()A.a 0，则f x =e x -1x +1.当x >0时，有e x >1,1x +1<1，所以1x +1<1，所以，f (x )>0在0,+∞ 上恒成立，所以，f (x )在0,+∞ 上单调递增，所以，f (x )>f (0)=1-1=0，所以，f (0.2)>0，即e 0.2-ln1.2-1>0，所以a <b令g x =e x -x +1 ,x >0，则g x =e x -1在x >0时恒大于零，故g x 为增函数，所以x +1ex <1,x >0，而a =ln 1.2e =1+ln1.2>1，所以c <a ，所以c <a <b ，故选：C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9已知函数f x =sin 2x +3π4 +cos 2x +3π4，则()A.函数f x -π4 为偶函数 B.曲线y =f x 对称轴为x =k π,k ∈ZC.f x 在区间π3,π2单调递增D.f x 的最小值为-2【答案】AC【解析】f x =sin 2x +3π4 +cos 2x +3π4=sin2x cos 3π4+sin 3π4cos2x +cos2x cos 3π4-sin2x sin3π4=-22sin2x +22cos2x -22cos2x -22sin2x =-2sin2x ，即f x =-2sin2x ，对于A ，f x -π4 =-2sin 2x -π2=2cos2x ，易知为偶函数，所以A 正确；对于B ，f x =-2sin2x 对称轴为2x =π2+k π,k ∈Z ⇒x =π4+k π2,k ∈Z ，故B 错误；对于C ，x ∈π3,π2 ,2x ∈2π3,π ，y =sin2x 单调递减，则f x =-2sin2x 单调递增，故C 正确；对于D ，f x =-2sin2x ，则sin2x ∈-1,1 ，所以f x ∈-2,2 ，故D 错误；故选：AC10设z 为复数，则下列命题中正确的是()A.z 2=zz B.若z =(1-2i )2，则复平面内z对应的点位于第二象限C.z 2=z 2D.若z =1，则z +i 的最大值为2【答案】ABD【解析】对于A ，设z =a +bi ，故z =a -bi ，则z 2=a 2+b 2，zz =(a +bi )(a -bi )=a 2+b 2，故z 2=zz成立，故A 正确，对于B ，z =(1-2i )2=-4i -3，z =4i -3，显然复平面内z对应的点位于第二象限，故B 正确，对于C ，易知z 2=a 2+b 2，z 2=a 2+b 2+2abi ，当ab ≠0时，z 2≠z 2，故C 错误，对于D ，若z =1，则a 2+b 2=1，而z +i =a 2+(b +1)2=2b +2，易得当b =1时，z +i 最大，此时z +i =2，故D 正确.故选：ABD11已知菱形ABCD 的边长为2，∠ABC =π3．将△DAC 沿着对角线AC 折起至△D AC ，连结BD ．设二面角D -AC -B 的大小为θ，则下列说法正确的是()A.若四面体D ABC 为正四面体，则θ=π3B.四面体D ABC 的体积最大值为1C.四面体D ABC 的表面积最大值为23+2D.当θ=2π3时，四面体D ABC 的外接球的半径为213【答案】BCD【解析】如图，取AC 中点O ，连接OB ,OD ，则OB =OD ，OB ⊥AC ,OD ⊥AC ，∠BOC 为二面角D AC -B 的平面角，即∠BOC =θ．若D ABC 是正四面体，则BD =BC ≠BO ，△OBD 不是正三角形，θ≠π3，A 错；四面体D ABC 的体积最大时，BO ⊥平面ACD ，此时B 到平面ACD 的距离最大为BO =3，而S △ACD=34×22=3，所以V =13×3×3=1，B 正确；S △ABC =S △DAC =3，易得△BAD ≅△BCD ，S △BAD=S △BCD=12×22sin ∠BCD =2sin ∠BCD ，未折叠时BD =BD =23，折叠到B ,D 重合时，BD =0，中间存在一个位置，使得BD =22，则BC 2+D C 2=BD 2，∠BCD =π2，此时S △BAD=S △BCD=2sin ∠BCD 取得最大值2，所以四面体D ABC 的表面积最大值为23+2 ，C 正确；当θ=2π3时，如图，设M ,N 分别是△ACD 和△BAC 的外心，在平面AOD 内作PM ⊥OD ，作PN ⊥OB ，PM ∩PN =P ，则P 是三棱锥外接球的球心，由上面证明过程知平面OBD 与平面ABC 、平面D AC 垂直，即P ,N ,O ,M 四点共面，θ=2π3，则∠PON =π3，ON =13×32×2=33，PN =ON tan π3=33×3=1，PB =PN 2+BN 2=12+233 2=213为球半径，D 正确．故选：BCD ．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12设集合M =x log 2x <1 ，N =x 2x -1<0 ，则M ∩N =．【答案】x 0<x <12【解析】因为log 2x <1=log 22，所以0<x <2，即M =x log 2x <1 =x 0<x <2 ，因为2x -1<0，解得x <12，所以N =x 2x -1<0 =x x <12，所以，M ∩N =x 0<x <12 .故答案为：x 0<x <12 13已知正项等比数列a n 的前n 项和为S n ，且S 8-2S 4=6，则a 9+a 10+a 11+a 12的最小值为.【答案】24【解析】设正项等比数列a n 的公比为q ，则q >0，所以，S 8=a 1+a 2+a 3+a 4+a 5+a 6+a 7+a 8=a 1+a 2+a 3+a 4+q 4a 1+a 2+a 3+a 4 =S 41+q 4 ，则S 8-2S 4=S 4q 4-1 =6，则q 4>1，可得q >1，则S 4=6q 4-1，所以，a 9+a 10+a 11+a 12=q 8a 1+a 2+a 3+a 4 =S 4q 8=6q 8q 4-1=6q 4-1+1 2q 4-1=6q 4-1 2+1+2q 4-1 q 4+1=6q 4-1 +1q 4-1+2 ≥62q 4-1 ⋅1q 4-1+2 =24，当且仅当q 4-1=1q 4-1q >1 时，即当q =42时，等号成立，故a 9+a 10+a 11+a 12的最小值为24.故答案为：2414已知F 为拋物线C :y =14x 2的焦点，过点F 的直线l 与拋物线C 交于不同的两点A ，B ，拋物线在点A ,B 处的切线分别为l 1和l 2，若l 1和l 2交于点P ，则|PF |2+25AB的最小值为.【答案】10【解析】C :x 2=4y 的焦点为0,1 ，设直线AB 方程为y =kx +1，A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 .联立直线与抛物线方程有x 2-4kx -4=0，则AB =y 1+y 2+2=k x 1+x 2 +4=4k 2+4.又y =14x 2求导可得y =12x ，故直线AP 方程为y -y 1=12x 1x -x 1 .又y 1=14x 21，故AP :y =12x 1x -14x 21，同理BP :y =12x 2x -14x 22.联立y =12x 1x -14x 21y =12x 2x -14x 22可得12x 1-x 2 x =14x 21-x 22 ，解得x =x 1+x 22，代入可得P x 1+x 22,x 1x 24 ，代入韦达定理可得P 2k ,-1 ，故PF =4k 2+4.故|PF |2+25AB=4k 2+4+254k 2+4≥24k 2+4 ×254k 2+4=10，当且仅当4k 2+4=254k 2+4，即k =±12时取等号.故答案为：102024届高三二轮复习“8+3+3”小题强化训练(2)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1抛物线y =12x 2的焦点坐标为()A.18,0B.12,0 C.0,18D.0,12【答案】D 【解析】由y =12x 2可得抛物线标准方程为：x 2=2y ，∴其焦点坐标为0,12 .故选：D .2二项式3x 2-1x 47的展开式中常数项为()A.-7B.-21C.7D.21【答案】A 【解析】二项式3x 2-1x47的通项公式为Tr +1=C r 7⋅3x 27-r⋅-1x4r=Cr 7⋅-1 r⋅x14-14r 3，令14-14r 3=0⇒r =1，所以常数项为C 17⋅-1 =-7，故选：A3已知集合A =x log 2x ≤1 ，B =y y =2x ,x ≤2 ，则()A.A ∪B =BB.A ∪B =AC.A ∩B =BD.A ∪(C R B )=R【答案】A【解析】由log 2x ≤1，则log 2x ≤log 22，所以0<x ≤2，所以A =x log 2x ≤1 =x 0<x ≤2 ，又B =y y =2x ,x ≤2 =y 0<y ≤4 ，所以A ⊆B ，则A ∪B =B ，A ∩B =A .故选：A ．4若古典概型的样本空间Ω=1,2,3,4 ，事件A =1,2 ，甲：事件B =Ω，乙：事件A ,B 相互独立，则甲是乙的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若B =Ω，A ∩B =1,2 ，则P A ∩B =24=12，而P A =24=12，P B =1，所以P A P B =P A ∩B ，所以事件A ,B 相互独立，反过来，当B =1,3 ，A ∩B =1 ，此时P A ∩B =14，P A =P B =12，满足P A P B =P A ∩B ，事件A ,B 相互独立，所以不一定B =Ω，所以甲是乙的充分不必要条件.故选：A5若函数f x =ln e x -1 -mx 为偶函数，则实数m =()A.1B.-1C.12D.-12【答案】C【解析】由函数f x =ln e x -1 -mx 为偶函数，可得f -1 =f 1 ，即ln e -1-1 +m =ln e -1 -m ，解之得m =12，则f x =ln e x -1 -12x (x ≠0)，f -x =ln e -x -1 +12x =ln e x -1 -x +12x =ln e x -1 -12x =f x故f x =ln e x -1 -12x 为偶函数，符合题意.故选：C6已知函数y =f (x )的图象恰为椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)x 轴上方的部分，若f (s -t )，f (s )，f (s +t )成等比数列，则平面上点(s ，t )的轨迹是()A.线段(不包含端点) B.椭圆一部分C.双曲线一部分D.线段(不包含端点)和双曲线一部分【答案】A【解析】因为函数y =f (x )的图象恰为椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)x 轴上方的部分，所以y =f (x )=b ⋅1-x 2a2(-a <x <a )，因为f (s -t )，f (s )，f (s +t )成等比数列，所以有f 2(s )=f (s -t )⋅f (s +t )，且有-a <s <a ,-a <s -t <a ,-a <s +t <a 成立，即-a <s <a ,-a <t <a 成立，由f 2(s )=f (s -t )⋅f (s +t )⇒b ⋅1-s 2a 22=b ⋅1-(s -t )2a 2⋅b ⋅1-(s +t )2a 2，化简得：t 4=2a 2t 2+2s 2t 2⇒t 2(t 2-2a 2-2s 2)=0⇒t 2=0，或t 2-2a 2-2s 2=0，当t 2=0时，即t =0，因为-a <s <a ，所以平面上点(s ，t )的轨迹是线段(不包含端点)；当t 2-2a 2-2s 2=0时，即t 2=2a 2+2s 2，因为-a <t <a ，所以t 2<a 2，而2a 2+2s 2>a 2，所以t 2=2a 2+2s 2不成立，故选：A7若tan α+π4=-2，则sin α1-sin2α cos α-sin α=()A.65B.35C.-35D.-65【答案】C【解析】因为tan α+π4 =tan α+tan π41-tan αtan π4=tan α+11-tan α=-2，解得tan α=3，所以，sin α1-sin2αcos α-sin α=sin αsin 2α+cos 2α-2sin αcos α cos α-sin α=sin αcos α-sin α 2cos α-sin α=sin αcos α-sin 2α=sin αcos α-sin 2αcos 2α+sin 2α=tan α-tan 2α1+tan 2α=3-91+9=-35.故选：C .8函数f x =2ln xx,x >0sin ωx +π6,-π≤x ≤0，若2f 2(x )-3f (x )+1=0恰有6个不同实数解，正实数ω的范围为()A.103,4B.103,4 C.2,103D.2,103【答案】D【解析】由题知，2f 2x -3f x +1=0的实数解可转化为f (x )=12或f (x )=1的实数解，即y =f (x )与y =1或y =12的交点，当x >0时，f x =2ln xx ⇒f (x )=21-ln x x 2所以x ∈0,e 时，f (x )>0，f x 单调递增，x ∈e ,+∞ 时，f (x )<0，f x 单调递减，如图所示：所以x =e 时f x 有最大值：12<f (x )max =2e<1所以x >0时，由图可知y =f (x )与y =1无交点，即方程f (x )=1无解，y =f (x )与y =12有两个不同交点，即方程f (x )=12有2解当x <0时，因为ω>0，-π≤x ≤0，所以-ωπ+π6≤ωx +π6≤π6，令t =ωx +π6，则t ∈-ωπ+π6,π6则有y =sin t 且t ∈-ωπ+π6,π6，如图所示：因为x >0时，已有两个交点，所以只需保证y =sin t 与y =12及与y =1有四个交点即可，所以只需-19π6<-ωπ+π6≤-11π6，解得2≤ω<103．故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9已知复数z 1,z 2是关于x 的方程x 2+bx +1=0(-2<b <2,b ∈R )的两根，则下列说法中正确的是()A.z 1=z 2B.z 1z 2∈R C.z 1 =z 2 =1D.若b =1，则z 31=z 32=1【答案】ACD【解析】Δ=b 2-4<0，∴x =-b ±4-b 2i 2，不妨设z 1=-b 2+4-b 22i ，z 2=-b2-4-b 22i ，z 1=z 2，A 正确；z 1 =z 2 =-b 22+4-b 222=1，C 正确；z 1z 2=1，∴z 1z 2=z 21z 1z 2=z 21=b 2-22-b 4-b 22i ，b ≠0时，z 1z 2∉R ，B 错；b =1时，z 1=-12+32i ，z 2=-12-32i ，计算得z 21=-12-32i =z 2=z 1 ，z 22=z 1=z 2 ，z 31=z 1z 2=1，同理z 32=1，D 正确．故选：ACD ．10四棱锥P -ABCD 的底面为正方形，P A 与底面垂直，P A =2，AB =1，动点M 在线段PC 上，则()A.不存在点M ，使得AC ⊥BMB.MB +MD 的最小值为303C.四棱锥P -ABCD 的外接球表面积为5πD.点M 到直线AB 的距离的最小值为255【答案】BD【解析】对于A ：连接BD ，且AC ∩BD =O ，如图所示，当M 在PC 中点时，因为点O 为AC 的中点，所以OM ⎳P A ，因为P A ⊥平面ABCD ，所以OM ⊥平面ABCD ，又因为AC ⊂平面ABCD ，所以OM ⊥AC ，因为ABCD 为正方形，所以AC ⊥BD .又因为BD ∩OM =O ，且BD ，OM ⊂平面BDM ，所以AC ⊥平面BDM ，因为BM ⊂平面BDM ，所以AC ⊥BM ，所以A 错误；对于B ：将△PBC 和△PCD 所在的平面沿着PC 展开在一个平面上，如图所示，则MB +MD 的最小值为BD ，直角△PBC 斜边PC 上高为1×56，即306，直角△PCD 斜边PC 上高也为1×56，所以MB +MD 的最小值为303，所以B 正确；对于C ：易知四棱锥P -ABCD 的外接球直径为PC ，半径R =12PC =1222+12+12=62，表面积S =4πR 2=6π，所以C 错误；对于D ：点M 到直线AB 距离的最小值即为异面直线PC 与AB 的距离，因为AB ⎳CD ，且AB ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，所以AB ⎳平面PCD ，所以直线AB 到平面PCD 的距离等于点A 到平面PCD 的距离，过点A 作AF ⊥PD ，因为P A ⊥平面ABCD ，所以P A ⊥CD ,又AD ⊥CD ,且P A ∩AD =A ,故CD ⊥平面P AD ，AF ⊂平面P AD ，所以AF ⊥CD ，因为PD ∩CD =D ，且PD ，CD ⊂平面PCD ，所以AF ⊥平面PCD ，所以点A 到平面PCD 的距离，即为AF 的长，如图所示，在Rt △P AD 中，P A =2，AD =1，可得PD =5，所以由等面积得AF =255，即直线AB 到平面PCD 的距离等于255，所以D 正确，故选：BCD .11今年是共建“一带一路”倡议提出十周年.某校进行“一带一路”知识了解情况的问卷调查，为调动学生参与的积极性，凡参与者均有机会获得奖品.设置3个不同颜色的抽奖箱，每个箱子中的小球大小相同质地均匀，其中红色箱子中放有红球3个，黄球2个，绿球2个；黄色箱子中放有红球4个，绿球2个；绿色箱子中放有红球3个，黄球2个，要求参与者先从红色箱子中随机抽取一个小球，将其放入与小球颜色相同的箱子中，再从放入小球的箱子中随机抽取一个小球，抽奖结束.若第二次抽取的是红色小球，则获得奖品，否则不能获得奖品，已知甲同学参与了问卷调查，则()A.在甲先抽取的是黄球的条件下，甲获得奖品的概率为47B.在甲先抽取的不是红球的条件下，甲没有获得奖品的概率为1314C.甲获得奖品的概率为2449D.若甲获得奖品，则甲先抽取绿球的机会最小【答案】ACD【解析】设A 红，A 黄，A 绿，分别表示先抽到的小球的颜色分别是红、黄、绿的事件，设B 红表示再抽到的小球的颜色是红的事件，在甲先抽取的是黄球的条件下，甲获得奖品的概率为：P B 红∣A 黄 =P B 红A 黄 P A 黄=27×4727=47，故A 正确；在甲先抽取的不是红球的条件下，甲没有获得奖品的概率为：P B 红 ∣A 红 =P A 红 B 红 P A 红 =P A 黄B 红 +P A 绿B 红 P A 红 =27×37+27×1247=1328，故B 错误；由题意可知，P A 红 =37,P A 黄 =27,P A 绿 =27,P B 红∣A 红 =37,P B 红∣A 黄 =47，P B 红∣A 绿 =12，由全概率公式可知，甲获得奖品的概率为：P =P A 红 P B 红∣A 红 +P A 黄 ⋅P B 红∣A 黄 +P A 绿 ⋅P B 红∣A 绿 =37×37+27×47+27×12=2449，故C 正确；因为甲获奖时红球取自哪个箱子的颜色与先抽取小球的颜色相同，则P A 红∣B 红 =P A 红 ⋅P B 红∣A 红 P B 红=37×37×4924=38，P A 黄∣B 红 =P A 黄 ⋅P B 红∣A 黄P B 红=27×47×4924=13，P A 绿∣B 红 =P A 绿 ⋅P B 红∣A 绿 P B 红 =27×12×4924=724，所以甲获得奖品时，甲先抽取绿球机会最小，故D 正确.故选：ACD .三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12已知△ABC 的边BC 的中点为D ，点E 在△ABC 所在平面内，且CD =3CE -2CA ，若AC =xAB +yBE，则x +y =．【答案】11【解析】因为CD =3CE -2CA ，边BC 的中点为D ，所以12CB=3BE -BC +2AC ，因为12CB =3BE -3BC +2AC ，所以52BC =3BE +2AC ，所以52BC =52AC -AB =3BE +2AC ，所以5AC -5AB =6BE +4AC ，即5AB +6BE =AC ，因为AC =xAB +yBE ，所以x =5，y =6，故x +y =11.故答案为：1113已知圆锥母线长为2，则当圆锥的母线与底面所成的角的余弦值为时，圆锥的体积最大，最大值为．【答案】①.63②.16327π【解析】设圆锥的底面半径为r ，圆锥的母线与底面所成的角为θ,θ∈0,π2 ，易知cos θ=r 2.圆锥的体积为V =13πr 2⋅4-r 2=43πcos 2θ⋅2sin θ=8π3cos 2θ⋅sin θ=8π31-sin 2θ sin θ令x =sin θ,x ∈0,1 ，则y =1-sin 2θ sin θ=-x 3+x ，y =-3x 2+1当y >0时，x ∈0,33，当y<0时，x ∈33,1 ，即函数y =-x 3+x 在0,33 上单调递增，在33,1上单调递减，即V max =8π333-33 3 =163π27，此时cos θ=1-323 =62.故答案为：62；163π2714已知双曲线C ：x 2-y 23=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，右顶点为E ，过F 2的直线交双曲线C 的右支于A ，B 两点(其中点A 在第一象限内)，设M ，N 分别为△AF 1F 2，△BF 1F 2的内心，则当F 1A ⊥AB 时，AF 1=；△ABF 1内切圆的半径为．【答案】①.7+1##1+7②.7-1##-1+7【解析】由双曲线方程知a =1,b =3,c =2，如下图所示：由F 1A ⊥AB ，则AF 1 2+AF 2 2=F 1F 2 2=16，故AF 1 -AF 2 2+2AF 1 AF 2 =16，而AF 1 -AF 2 =2a =2，所以AF 1 AF 2 =6，故AF 2 2+2AF 2 -6=0，解得AF 2 =7-1，所以AF 1 =7+1，若G 为△ABF 1内切圆圆心且F 1A ⊥AB 可知，以直角边切点和G ,A 为顶点的四边形为正方形，结合双曲线定义内切圆半径r =12AF 1 +AB -BF 1 =12AF 1 +AF 2 +BF 2 -BF 1所以r =1227+BF 2 -BF 1 =1227-2 =7-1；故答案为：7+1，7-1；2024届高三二轮复习“8+3+3”小题强化训练(3)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1有一组按从小到大顺序排列数据：3，5，x ，8，9，10，若其极差与平均数相等，则这组数据的中位数为()A.7B.7.5C.8D.6.5【答案】B【解析】依题意可得极差为10-3=7，平均数为163+5+x +8+9+10 =1635+x ，所以1635+x =7，解得x =7，所以中位线为7+82=7.5.故选：B .2已知集合A =x x -1 >2 ，B =x log 4x <1 ，则A ∩B =()A.3,4B.-∞,-1 ∪3,4C.1,4D.-∞,4【答案】A【解析】由x -1 >2，得x <-1或x >3，所以A =x x <-1或x >3 ，由log 4x <1，得0<x <4，所以B =x 0<x <4 ，所以A ∩B =x 3<x <4 .故选：A .3已知向量a =(2,0)，b =sin α,32，若向量b 在向量a 上的投影向量c =12,0 ，则|a +b |=()A.3B.7C.3D.7【答案】B【解析】由已知可得，b 在a 上的投影向量为a ⋅b |a |⋅a |a |=2sin α2×2(2,0)=(sin α,0)，又b 在a 上的投影向量c =12,0 ，所以sin α=12，所以b =12,32，所以a +b =52,32 ，所以|a +b |=52 2+322=7.故选：B .4如图是两个底面半径都为1的圆锥底面重合在一起构成的几何体，上面圆锥的侧面积是下面圆锥侧面积的2倍，AP ⊥AQ ，则PQ =()A.74B.262C.52D.3【答案】C【解析】设两圆锥的高OP =x ，OQ =y ，则AP =x 2+1，AQ =y 2+1，由AP ⊥AQ ，有AP 2+AQ 2=PQ 2，可得x 2+1+y 2+1=x +y 2，可得xy =1，又由上下圆锥侧面积之比为2:1，即π×1×P A =2×π×1×QA ，可得P A =2QA ，则有x 2+1=2y 2+1，即x 2=4y 2+3，代入y =1x整理为x 4-3x 2-4=0，解得x =2(负值舍)，可得y =12，OP =x +y =2+12=52．故选：C ．5已知Q 为直线l :x +2y +1=0上的动点，点P 满足QP=1,-3 ，记P 的轨迹为E ，则()A.E 是一个半径为5的圆B.E 是一条与l 相交的直线C.E 上的点到l 的距离均为5D.E 是两条平行直线【答案】C【解析】设P x ,y ，由QP=1,-3 ，则Q x -1,y +3 ，由Q 在直线l :x +2y +1=0上，故x -1+2y +3 +1=0，化简得x +2y +6=0，即P 轨迹为E 为直线且与直线l 平行，E 上的点到l 的距离d =6-112+22=5，故A 、B 、D 错误，C 正确.故选：C .6已知x +1 x -1 5=a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4+a 5x 5+a 6x 6，则a 1+a 3的值为()A.-1B.1C.4D.-2【答案】C【解析】在x +1 x -1 5=a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4+a 5x 5+a 6x 6中，而x +1 x -1 5=x x -1 5+x -1 5，由二项式定理知x -1 5展开式的通项为T r +1=C r 5x 5-r (-1)r ，令5-r =2，解得r =3，令5-r =3，r =2，故a 3=C 35(-1)3+C 25(-1)2=0，同理令5-r =1，解得r =4，令5-r =0，解得r =5，故a 1=C 45(-1)4+C 55(-1)5=4，故a 1+a 3=4.故选：C7已知P 为抛物线x 2=4y 上一点，过P 作圆x 2+(y -3)2=1的两条切线，切点分别为A ，B ，则cos ∠APB 的最小值为()A.12B.23C.34D.78【答案】C【解析】如图所示：因为∠APB =2∠APC ，sin ∠APC =AC PC=1PC，设P t ,t 24，则PC 2=t 2+t 24-3 2=t 416-t 22+9=116t 2-4 2+8，当t 2=4时，PC 取得最小值22，此时∠APB 最大，cos ∠APB 最小，且cos ∠APB min =1-2sin 2∠APC =1-21222=34，故C 正确.故选：C8已知函数f x ,g x 的定义域为R ,g x 为g x 的导函数且f x +g x =3,f x -g 4-x =3，若g x 为偶函数，则下列结论一定成立的是()A.f -1 =f -3B.f 1 +f 3 =65C.g 2 =3D.f 4 =3【答案】D【解析】对于D ，∵g x 为偶函数，则g x =g -x ，两边求导可得g x =-g -x ，则g x 为奇函数，则g 0 =0，令x =4，则f 4 -g 0 =3，f 4 =3，D 对；对于C ，令x =2，可得f 2 +g 2 =3f 2 -g 2 =3 ，则f 2 =3g 2 =0 ，C 错；对于B ，∵f x +g x =3，可得f 2+x +g 2+x =3，f x -g 4-x =3可得f 2-x -g 2+x =3，两式相加可得f 2+x +f 2-x =6，令x =1，即可得f 1 +f 3 =6，B 错；又∵f x +g x =3，则f x -4 +g x -4 =f x -4 -g 4-x =3，f x -g 4-x =3，可得f x =f x -4 ，所以f x 是以4为周期的函数，所以根据以上性质不能推出f -1 =f -3 ，A 不一定成立.故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9下列结论正确的是()A.若a ab >b 2B.若x ∈R ，则x 2+2+1x 2+2的最小值为2C.若a +b =2，则a 2+b 2的最大值为2D.若x ∈(0,2)，则1x +12-x ≥2【答案】AD【解析】因为a 2-ab =a (a -b )>0，所以a 2>ab ，因为ab -b 2=b (a -b )>0，所以ab >b 2，所以a 2>ab >b 2，故A 正确；因为x 2+2+1x 2+2≥2的等号成立条件x 2+2=1x 2+2不成立，所以B 错误；因为a 2+b 22≥a +b 2 2=1，所以a 2+b 2≥2，故C 错误；因为1x +12-x =12(x +2-x )1x +12-x =122+2-x x +x 2-x ≥12(2+2)=2，当且仅当1x =12-x，即x =1时，等号成立，所以D 正确.故选：AD10若函数f x =2sin 2x ⋅log 2sin x +2cos 2x ⋅log 2cos x ，则()A.f x 的最小正周期为πB.f x 的图像关于直线x =π4对称C.f x 的最小值为-1D.f x 的单调递减区间为2k π,π4+2k π ,k ∈Z【答案】BCD【解析】由sin x >0,cos x >0得f x 的定义域为2k π,π2+2k π ,k ∈Z .对于A ：当x ∈0,π2时，x +π∈π,32π 不在定义域内，故f x +π =f x 不成立，易知f x 的最小正周期为2π，故选项A 错误；对于B ：又f π2-x =2cos 2x ⋅log 2cos x +2sin 2x ⋅log 2sin x =f x ，所以f x 的图像关于直线x =π4对称，所以选项B 正确；对于C ：因为f x =sin 2x ⋅log 2sin 2x +cos 2x ⋅log 2cos 2x ，设t =sin 2x ，所以函数转化为g t =t ⋅log 2t +1-t ⋅log 21-t ,t ∈0,1 ,g t =log 2t -log 21-t ，由g t >0得，12<t <1.g t <0得0<t <12.所以g t 在0,12 上单调递减，在12,1 上单调递增，故g (t )min =g 12=-1，即f (x )min =-1，故选项C 正确；对于D ：因为g t 在0,12 上单调递减，在12,1 上单调递增，由t =sin 2x ，令0<sin 2x <12得0<sin x <22，又f x 的定义域为2k π,π2+2k π ,k ∈Z ，解得2k π<x <π4+2k π,k ∈Z ，因为t =sin 2x 在2k π,π4+2k π 上单调递增，所以f x 的单调递减区间为2k π,π4+2k π ,k ∈Z ，同理函数的递增区间为π4+2k π,π2+2k π ,k ∈Z ，所以选项D 正确.故选：BCD .11已知数列a n 的前n 项和为S n ，且2S n S n +1+S n +1=3，a 1=α0<α<1 ，则()A.当0<α<13-14时，a 2>a 1B.a 3>a 2C.数列S 2n -1 单调递增，S 2n 单调递减D.当α=34时，恒有nk =1S k -1 <54【答案】ACD【解析】由题意可得：S n +1=32S n +1，a 1=α，由S n +1=32S n +1可知：S n +1=1⇔S n =1，但S 1=α∈0,1 ，可知对任意的n ∈N *，都有S n ≠1，对于选项A ：若0<α<13-14，则a 2-a 1=S 2-2a 1=32α+1-2α=3-2α-4α22α+1=4α+1+13 13-14-α2α+1>0，即a 2>a 1，故A 正确；对于选项B ：a 3-a 2=S 3-2S 2+S 1=6α+32α+7-62α+1+α=α-1 4α2+32α+39 2α+1 2α+7<0，即a 3<a 2，故B 错误.对于选项C ：因为S n +1-1=-2S n -1 2S n +1，S n +1+32=3S n +32 2S n +1，则S n +1-1S n +1+32=-23⋅S n -1S n +32，且S 1-1S 1+32=α-1α+32<0，可知S n -1S n+32是等比数列，则S n -1S n +32=α-1α+32⋅-23n -1，设A =α-1α+32<0，t =232n -2，可得S 2n =3-3At 3+2At =3253+2At -1 ，S 2n -1=1+32At 1-At =521-At-32，因为At =A 232n -2，可知A 23 2n -2 为递增数列，所以数列S 2n -1 单调递增，S 2n 单调递减，故C 正确；对于选项D ：因为S n +1=32S n +1，S n +1-34=32S n +1-34=33-2S n 42S n +1，由S 1=α=34，可得S 2-34>0，即S 2>34，则S 2≤65，即34<S 2≤65；由34<S 2≤65，可得S 3-34>0，即S 3>34，则S 3<65，即34<S 3<65；以此类推，可得对任意的n ∈N *，都有S n ≥S 1=α=34，又因为S n +1-1S n -1=22S n +1，则S n +1-1 ≤22α+1S n -1 =45S n -1 ，所以∑nk =1S k -1 ≤541-45 n <54，故D 正确.故选：ACD .三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12在(1+ax )n (其中n ∈N *,a ≠0)的展开式中，x 的系数为-10，各项系数之和为-1，则n =.【答案】5【解析】由题意得(1+ax )n 的展开式中x 的系数为aC 1n =-10，即an =-10，令x =1，得各项系数之和为(1+a )n =-1，则n 为奇数，且1+a =-1，即得a =-2,n =5，故答案为：513已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右焦点分别F 1，F 2，椭圆的长轴长为22，短轴长为2，P 为直线x =2b 上的任意一点，则∠F 1PF 2的最大值为.【答案】π6【解析】由题意有a =2，b =1，c =1，设直线x =2与x 轴的交点为Q ，设PQ =t ，有tan ∠PF 1Q =PQ F 1Q=t3，tan ∠PF 2Q =PQ F 2Q=t ，可得tan ∠F 1PF 2=tan ∠PF 2Q -∠PF 1Q =t -t31+t23=2t t 2+3=2t +3t ≤2t 23t =33，当且仅当t =3时取等号，可得∠F 1PF 2的最大值为π6.故答案为：π614已知四棱锥P -ABCD 的底面为矩形，AB =23，BC =4，侧面P AB 为正三角形且垂直于底面ABCD ，M 为四棱锥P -ABCD 内切球表面上一点，则点M 到直线CD 距离的最小值为.【答案】10-1【解析】如图，设四棱锥的内切球的半径为r ，取AB 的中点为H ，CD 的中点为N ，连接PH ，PN ，HN ，球O为四棱锥P-ABCD的内切球，底面ABCD为矩形，侧面P AB为正三角形且垂直于底面ABCD，则平面PHN截四棱锥P-ABCD的内切球O所得的截面为大圆，此圆为△PHN的内切圆，半径为r，与HN，PH分别相切于点E，F，平面P AB⊥平面ABCD，交线为AB，PH⊂平面P AB，△P AB为正三角形，有PH⊥AB，∴PH⊥平面ABCD，HN⊂平面ABCD，∴PH⊥HN，AB=23，BC=4，则有PH=3，HN=4，PN=5，则△PHN中，S△PHN=12×3×4=12r3+4+5，解得r=1.所以，四棱锥P-ABCD内切球半径为1，连接ON.∵PH⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴CD⊥PH，又CD⊥HN，PH,HN⊂平面PHN，PH∩HN=H，∴CD⊥平面PHN，∵ON⊂平面PHN，可得ON⊥CD，所以内切球表面上一点M到直线CD的距离的最小值即为线段ON的长减去球的半径，又ON=OE2+EN2=10.所以四棱锥P-ABCD内切球表面上的一点M到直线CD的距离的最小值为10-1.故答案为：10-12024届高三二轮复习“8+3+3”小题强化训练(4)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1已知双曲线的标准方程为x 2k -4+y 2k -5=1，则该双曲线的焦距是()A.1B.3C.2D.4【答案】C【解析】由双曲线方程可知a 2=k -4,b 2=5-k ，所以c 2=k -4+5-k =1，c =1，2c =2．故选：C2在等比数列a n 中，a 1+a x =82，a 3a x -2=81，前x 项和S x =121，则此数列的项数x 等于()A.4B.5C.6D.7【答案】B【解析】由已知条件可得a 1+a x =82a 3a x -2=a 1a x =81，解得a 1=1a x =81 或a 1=81a x =1 .设等比数列a n 的公比为q .①当a 1=1，a x =81时，由S x =a 1-a x q 1-q =1-81q1-q=121，解得q =3，∵a x =a 1q x -1=3x -1=81，解得x =5；②当a 1=81，a x =1时，由S x =a 1-a x q 1-q =81-q 1-q =121，解得q =13，∵a x =a 1q x -1=81×13x -1=35-x =1，解得x =5.综上所述，x =5.故选：B .3对任意实数a ，b ，c ，在下列命题中，真命题是()A.“ac 2>bc 2”是“a >b ”的必要条件B.“ac 2=bc 2”是“a =b ”的必要条件C.“ac 2=bc 2”是“a =b ”的充分条件D.“ac 2≥bc 2”是“a ≥b ”的充分条件【答案】B【解析】对于A ，若c =0，则由a >b ⇏ac 2>bc 2，∴“ac 2>bc 2”不是“a >b ”的必要条件，A 错．对于B ，a =b ⇒ac 2=bc 2，∴“ac 2=bc 2”是“a =b ”的必要条件，B 对，对于C ，若c =0，则由ac 2=bc 2，推不出a =b ，“ac 2=bc 2”不是“a =b ”的充分条件对于D ，当c =0时，ac 2=bc 2，即ac 2≥bc 2成立，此时不一定有a ≥b 成立，故“ac 2≥bc 2”不是“a ≥b ”的充分条件，D 错误，故选：B ．4已知m 、n 是两条不同直线，α、β、γ是三个不同平面，则下列命题中正确的是()A.若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB.若α⊥β，β⊥γ，则α∥βC.若m ∥α，m ∥β，则α∥βD.若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n【答案】D【解析】A选项：令平面ABCD为平面α，A1B1为直线m，B1C1为直线n，有：m∥α，n∥α，但m∩n=B1，A错误；B选项：令平面ABCD为平面β，令平面B1BCC1为平面α，令平面A1ABB1为平面γ，有：α⊥β，β⊥γ，而α⊥β，B错误；C选项：令平面ABCD为平面α，令平面A1ABB1为平面β，C1D1为直线m，有：m∥α，m∥β，则α∥β，而α⊥β，C错误；D选项：垂直与同一平面的两直线一定平行，D正确.故选：D5将甲、乙等8名同学分配到3个体育场馆进行冬奥会志愿服务，每个场馆不能少于2人，则不同的安排方法有()A.2720B.3160C.3000D.2940【答案】D【解析】共有两种分配方式，一种是4:2:2，一种是3:3:2，故不同的安排方法有C48C24C222!+C38C35C222!A33=2940.故选：D6若抛物线y2=4x与椭圆E:x2a2+y2a2-1=1的交点在x轴上的射影恰好是E的焦点，则E的离心率为()A.2-12 B.3-12 C.2-1 D.3-1【答案】C【解析】不妨设椭圆与抛物线在第一象限的交点为A，椭圆E右焦点为F，则根据题意得AF⊥x轴，c2=a2-a2-1=1，则c=1，则F1,0，当x=1时，y2=4×1，则y A=2，则A1,2，代入椭圆方程得12a2+22a2-1=1，结合a2-1>0，不妨令a>0；解得a=2+1，则其离心率e=ca=12+1=2-1，故选：C.7已知等边△ABC 的边长为3，P 为△ABC 所在平面内的动点，且|P A |=1，则PB ⋅PC 的取值范围是()A.-32,92B.-12,112C.[1,4]D.[1,7]【答案】B【解析】如下图构建平面直角坐标系，且A -32,0 ，B 32,0 ，C 0,32，所以P (x ,y )在以A 为圆心，1为半径的圆上，即轨迹方程为x +322+y 2=1，而PB =32-x ,-y ,PC =-x ,32-y ，故PB ⋅PC =x 2-32x +y 2-32y =x -34 2+y -34 2-34，综上，只需求出定点34,34 与圆x +322+y 2=1上点距离平方范围即可，而圆心A 与34,34 的距离d =34+32 2+34 2=32，故定点34,34与圆上点的距离范围为12,52，所以PB ⋅PC ∈-12,112.故选：B 8设a 、b 、c ∈0,1 满足a =sin b ，b =cos c ，c =tan a ，则()A.a +c <2b ，ac b 2C.a +c >2b ，ac 2b ，ac >b 2【答案】A【解析】∵a 、b 、c ∈0,1 且a =sin b ，b =cos c ，c =tan a ，则c =tan a =tan sin b ，先比较a +c =sin b +tan sin b 与2b 的大小关系，构造函数f x =sin x +tan sin x -2x ，其中0<x <1，则0<sin x <1，所以，cos1<cos sin x <1，则f x =cos x +cos xcos 2sin x -2=cos x -2 cos 2sin x +cos x cos 2sin x，令g x =cos x -1-12x 2 ，其中x ∈0,1 ，则g x =x -sin x ，令p x =x -sin x ，其中0<x <1，所以，p x =1-cos x >0，所以，函数g x 在0,1 上单调递增，故g x >g 0 =0，所以，函数g x 在0,1 上单调递增，则g x =cos x -1-12x 2 >0，即cos x >1-12x 2，因为x ∈0,1 ，则0<sin x <sin1，所以，cos sin x >1-12sin 2x =1-121-cos 2x =121+cos 2x ，所以，cos 2sin x >141+cos 2x 2，因为cos x -2<0，所以，cos x -2 cos 2sin x +cos x <14cos x -2 1+cos 2x 2+cos x=14cos 5x -2cos 4x +2cos 3x -4cos 2x +5cos x -2 =14cos x -1 3cos 2x +cos x +2 <0，所以，对任意的x ∈0,1 ，f x =cos x -2 cos 2sin x +cos xcos 2sin x <0，故函数f x 在0,1 上单调递减，因为b ∈0,1 ，则f b =sin b +tan sin b -2b <f 0 =0，故a +c <2b ，由基本不等式可得0<2ac ≤a +c <2b (a ≠c ，故取不了等号)，所以，ac <b 2，故选：A .二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9某大学生做社会实践调查，随机抽取6名市民对生活满意度进行评分，得到一组样本数据如下：88、89、90、90、91、92，则下列关于该样本数据的说法中正确的是()A.均值为90B.中位数为90C.方差为2D.第80百分位数为91【答案】ABD【解析】由题意可知，该组数据的均值为x =88+89+90+90+91+926=90，故A 正确；中位数为90+902=90，故B 正确；方差为s 2=1688-90 2+89-90 2+90-90 2×2+91-90 2+92-90 2 =53，故C 错误；因为6×80%=4.8，第80百分位数为91，故D 正确.故选：ABD .10设M ，N ，P 为函数f x =A sin ωx +φ 图象上三点，其中A >0，ω>0，ϕ <π2，已知M ，N 是函数f x 的图象与x 轴相邻的两个交点，P 是图象在M ，N 之间的最高点，若MP 2+2MN ⋅NP=0，△MNP 的面积是3，M 点的坐标是-12,0 ，则()A.A =2B.ω=π2C.φ=π4D.函数f x 在M ，N 间的图象上存在点Q ，使得QM ⋅QN <0【答案】BCD【解析】MP 2+2MN ⋅NP =MP 2-2NM ⋅NP =MP 2-2NM ⋅12NM =T 4 2+A 2 -T 22=A 2-3T 216=0，而S △MNP =AT 4=3，故A =3，T =4=2πω，ω=π2，A 错误、B 正确；-12⋅π2+φ=k π，φ=k π+π4(k ∈Z )，而ϕ <π2，故φ=π4，C 正确；显然，函数f x 的图象有一部分位于以MN 为直径的圆内，当Q 位于以MN 为直径的圆内时，QM⋅QN<0，D 正确，故选:BCD .11设a 为常数，f (0)=12,f (x +y )=f (x )f (a -y )+f (y )f (a -x )，则()．A .f (a )=12B .f (x )=12成立C f (x +y )=2f (x )f (y )D .满足条件的f (x )不止一个【答案】ABC 【解析】f (0)=12,f (x +y )=f (x )f (a -y )+f (y )f (a -x )对A ：对原式令x =y =0，则12=12f a +12f a =f a ，即f a =12，故A 正确；对B ：对原式令y =0，则f x =f x f a +f 0 f a -x =12f x +12f a -x ，故f x =f a -x ，对原式令x =y ，则f 2x =f x f y +f y f x =2f x f y =2f 2x ≥0，故f x 非负；对原式令y =a -x ，则f a =f 2x +f 2a -x =2f 2x =12，解得f x =±12，又f x 非负，故可得f x =12，故B 正确；对C ：由B 分析可得：f x +y =2f x f y ，故C 正确；对D ：由B 分析可得：满足条件的f x 只有一个，故D 错误.故选：ABC .三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12在复平面内，复数z =-12+32i 对应的向量为OA ，复数z +1对应的向量为OB ，那么向量AB 对应的复数是．。

【高中数学竞赛专题大全】竞赛专题8 立体几何(50题竞赛真题强化训练)解析版+原卷版

【高中数学竞赛专题大全】竞赛专题8 立体几何（50题竞赛真题强化训练）一、填空题1．（2018·四川·高三竞赛）在三棱锥P ABC -中，三条棱PA PB PC 、、两两垂直，且122PA PB PC ===、、.若点Q 为三棱锥P ABC -的外接球球面上任意一点，则Q 到面ABC距离的最大值为______.【答案】32 【解析】【详解】三棱锥P ABC -的外接球就是以PA PB PC 、、为长、宽、高的长方体的外接球，其直径为2 3.R ==又1cos 5BAC ∠=，从而sin BAC ∠=于是，ABC ∆的外接圆半径为2sin BC r BAC ==∠故球心O 到ABC =从而，点Q 到面ABC 距离的最大值是32+故答案为322．（2018·辽宁·高三竞赛）四面体ABCD 中，已知2AB =，1119,8,22AD BC CD ===，则异面直线AC 与BD 所成角的正弦值是_____. 【答案】1 【解析】【详解】因为2222222219118210622BC AB CD AD ⎛⎫⎛⎫-=-=⨯=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故AC BD ⊥，因此异面直线AC 与BD 所成角的正弦值是1. 故答案为13．（2018·湖南·高三竞赛）四个半径都为1的球放在水平桌面上，且相邻的球都相切（球心的连线构成正方形）.有一个正方体，其下底与桌面重合，上底的四个顶点都分别与四个球刚好接触，则该正方体的棱长为__________. 【答案】23a = 【解析】【详解】设正方体的棱长为a ，上底为正方形ABCD ，中心为O ，则OA =.由对称性知，球心1O 在面ABCD 上的射影M 应在直线AC 或BD 上，且球1O 与邻球的切点P 在面ABCD 上的射影N 在过点O 且平行AB 的直线上.于是.OM OA AM ==+又11O M a =-，则AM =，从而整理得23840a a -+=，解得23a =，或2a =（舍去）.故23a =. 故答案为23a =4．（2018·湖南·高三竞赛）在半径为R 的球内作内接圆柱，则内接圆柱全面积的最大值是_____.【答案】2(1R π 【解析】【详解】设内接圆柱底面半径为sin R α，则高位2cos R α，那么全面积为()22sin 2sin 2cos R R R παπαα+⨯ ()222sin sin2R παα=+()2122sin2R cos παα=-+()(22121R R παϕπ⎡⎤=-≤⎣⎦. 其中1tan 2ϕ=，等号成立的条件是22παϕ=+.故最大值为(21R π.故答案为(21R π5．（2018·湖南·高三竞赛）正方体1111ABCD A B C D -中，E 为AB 的中点，F 为1CC 的中点.异面直线EF 与1AC 所成角的余弦值是_____. 【答案】223【解析】【详解】设正方体棱长为1，以DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴建立空间直角坐标系，则 ()()1111,,0,0,1,,1,0,1,0,1,122E F A C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故有()1111,,,1,1,122EF AC ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭.所以11·223·EF AC cos EF AC θ==. 故答案为2236．（2020·江苏·高三竞赛）在长方体1111ABCD A B C D -中，4AB =，122BC CC ==，M 是1BC 的中点，N 是1MC 的中点．若异面直线AN 与CM 所成的角为θ，距离为d ，则2020sin d θ=__________．【答案】1616 【解析】【详解】因为1CM BC ⊥，故90θ=︒．过点M 作ME AN ⊥于点E ，则ME CM ⊥，故d ME =．因为4AB =，3BN =，所以5AN =，则4sin 5d ME MN ANB ==∠=，从而可得2020sin1616dθ=．故答案为：1616.7．（2021·全国·高三竞赛）已知一个正四面体和一个正八面体的棱长相等，把它们拼接起来，使一个表面重合，所得多面体的有__________面数．【答案】7个【解析】【详解】计算可得正四面体的两个相邻的半平面的二面角的余弦值为13，正八面体的两个相邻的半平面（两个四棱锥共底面的边的两个半平面）的二面角的余弦值为13-，故所得多面体的有7个面，故答案为：7.8．（2018·全国·高三竞赛）在三棱锥P-ABC中，PA＝PB＝4，PC＝3，∠APB＝∠APC＝60°，∠BPC＝90°.则三棱锥P-ABC的体积为_______.【答案】42【解析】【详解】如图，过点A 作AH ⊥面PBC 于点H ，过H 作HD ⊥PB 于点D 、HE ⊥PC 于点E 由∠APB ＝∠APC ＝60°及PA ＝4，知 PD ＝PE ＝2.从而，PH 为∠BPC 的平分线，即 ∠DPH ＝45°则，222PH PD == 2222AH PA PH =-=故三棱锥P-ABC 的体积为 1423BPC AH S ∆⋅=9．（2018·全国·高三竞赛）已知长方体1111ABCD A B C D -的长、宽、高分别为1、2、3，P 为平面1A BD 内的一点，则AP 长的最小值为_________. 【答案】67【解析】【详解】注意到，AP 长最小当且仅当1AP A BD ⊥面. 此时，由1111ABDA A BD A ABD A BDA A S V V AP S 三棱锥三棱锥∆--∆⋅=⇒=.由勾股定理得15A D 110A B =13BD =则11272cos sin BA D BA D ∠=∠=从而，172A BDS ∆=故min 67AP =. 10．（2021·全国·高三竞赛）已知三棱锥A BCD -的三个侧面及底面的面积分别为5、12、13、15，且侧面的斜高相等，则三棱锥的体积为___________．【答案】56 【解析】【分析】【详解】设斜高为h ，则102426,,BC CD DB h h h===．从而BCD △为直角三角形，故11024152BCDS h h==⋅⋅，得22h =．设三棱锥的高为AH ，由斜高相等知H 为BCD △的内心．由于内切圆半径22BCDS r BC CD BD==++，故高226AH h r =-=，体积为1615563⋅⋅=．故答案为：56.11．（2020·浙江·高三竞赛）如图所示，在单位正方体上有甲、乙两个动点，甲从P 点匀速朝P '移动；乙从Q 点匀速出发朝Q '移动，到达Q '后速度保持不变并折返.现甲、乙同时出发，当甲到达P '时，乙恰好在到达Q '后折返到Q ，则在此过程中，甲、乙两点的最近距离为__________.66【解析】【详解】设甲、乙的速度分别为1v 、2v ，在此过程中，1232v v =，即1223v v =. 不妨设13v =、22v =，则总的时间为1.设在时间为0t 末，甲、乙之间的距离最短，即此时P 、Q 分别达到M 、N 点. 分两种情况讨论：路程前半程与路程后半程.（1）路程前半程：010,2t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则02QN t =，03PM t =，0MH t =，02PH t =，220122QH t t =+-，进而有2220001223213333MN t t t ⎛⎫=-+=-+≥ ⎪⎝⎭，故63MN ≥（当且仅当013t =时取等号）. （2）路程后半程：01,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()021QN t =-，03PM t =，0MH t =，02PH t =，220122QH t t =+-，进而有2220007661114511111111MN t t t ⎛⎫=-+=-+≥ ⎪⎝⎭，故6611MN ≥（当且仅当0711t =时取等号）. 因为666311>，所以在此过程中，甲、乙两点的最近距离为6611.6612．（2021·全国·高三竞赛）在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -上，点P 为AB 中点，从点P 发出的光线经侧面11BCC B 内部（不含边界）一点Q 反射后投射到侧面11DCC D 内部（不含边界），则满足条件的点Q 所组成区域的面积为___________. 【答案】4【解析】【详解】设点P 关于B 的对称点为1P ，以1P 为顶点，以11DCC D 为底面，作四棱锥111P DCC D -，该四棱锥与侧面11BCC B 的截面即为满足条件的区域. 该梯形的面积为4. 故答案为：4.13．（2021·全国·高三竞赛）已知正三棱锥P ABC -高为2，底面边长为3，现在将三棱锥切去一部分，得到一个顶点为P ，底面在ABC 内的正四棱锥，则该四棱锥的体积最大为___________.【答案】8-【解析】【详解】作图可知该四棱锥底边边长最大为3从而可得相应的体积为8-故答案为：8-14．（2021·全国·高三竞赛）正四面体ABCD 中，点G 为面ABC 的中心，点M 在线段DG 上，且tan AMB ∠=DM DG =___________. 【答案】78【解析】【详解】解析；设,1AM BM x AB ===，由余弦定理得22x =，且3AG GB ==，则226GM AM AG =-=而6DG =66732486DM DG ==. 故答案为：78.15．（2021·全国·高三竞赛）A B C D 、、、是半径为1的球面上的4个点，若1AB CD ==，则四面体ABCD 体积的最大值是__． 3【解析】【详解】设AB 与CD 间的距离为d ，夹角为θ．取AB 中点M 和CD 中点N ，则3d MN OM ON ≤≤+=故四面体体积13sin 6V AB CD d θ=⋅⋅⋅⋅≤AB CD ⊥且其中点连线过球心时等号成立．316．（2021·全国·高三竞赛）已知三棱锥S ABC -的底面ABC 为正三角形，点A 在侧面SBC 上的射影H 是SBC △的垂心，二面角H AB C --的大小为30，且2SA =，则此三棱锥的体积为_________．【答案】34【解析】【分析】【详解】由点A 在侧面SBC 上的射影H 是SBC △的垂心，知三棱锥S ABC -的三组对棱互相垂直，从而点S 在底面ABC 上的射影也是ABC 的垂心Q ．又ABC 为正三角形，所以垂心Q 为ABC 的中心，则三棱锥S ABC -是正三棱锥．延长BH 交SC 于点E ，则二面角E AB C --的大小为30．又SAC SBC ≌，得AE BE =，取AB 的中点D ，则易证EDC ∠为二面角E AB C --的平面角，EC ED ⊥（SC ⊥平面AHB ）．设BC a =，则2212CD CE BC BE ==-，2344a a =，3a =，从而三棱锥S ABC -的体积为34．故答案为：34.17．（2021·全国·高三竞赛）如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，P 为空间一点，且满足1111,A P AB APB ADB ⊥∠=∠，则1D P 的最小值为_______．316【解析】【分析】【详解】先不看条件11A P AB ⊥，只关注11APB ADB ∠=∠，即1APB ∠为定角．若Р点在平面11AB C D 上，则如图2所示，此时有11APB ADB ∠=∠可知，P 在以1AC 为直径的圆弧1ADB 上．那么在任意一个过直线1AB 的平面上，P 点均为类似地一段圆弧．故P 点的轨迹即圆弧1ADB 绕1AB 旋转形成的一个曲面Γ（苹果曲面）．再由11A P AB ⊥知，P 在过1A 且垂直于1AB 的垂面，即平面11A BCD 上．故P 为平面11A BCD 截曲面Γ所得的曲线，即图3所示的圆O ，故易知1D P 的最小值为1OP OD -316 316.18．（2021·全国·高三竞赛）四面体ABCD 中，,,,1CD BC AB BC CD AC AB BC ⊥⊥===，平面BCD 与平面ABC 成45︒的二面角，则点B 到平面ACD 的距离为___________． 3【解析】【分析】【详解】2DC AC ==DE ⊥平面ABC ，垂足为E ，连结CE 、AE ，由三垂线逆定理，EC BC ⊥，所以45DCE ∠=︒，故2111,36ABCD ABCCE DE V DE S ====⋅=．又因ABCE 为正方形，1AE =，则2AD = 因此正三角形ACD 3 设B 到平面ACD 的距离为h ，由1136ACDh S⋅=，得33h ．19．（2021·全国·高三竞赛）已知正三棱锥P ABC -，M 是侧棱PC 的中点，PB AM ⊥．若N 是AM 的中点，则异面直线BN 与PA 所成角的余弦值为________．【解析】【分析】【详解】易证PA 、PB 、PC 互相垂直．以P 为坐标原点，分别以PB 、PC 、PA 所在的直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系．设1PA PB PC ===，则111(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0),0,,0,0,,242A C B M N ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以111,,,(0,0,1)42BN PA ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，故1||||1BNPA BN PA ⋅==⋅⨯20．（2021·全国·高三竞赛）正方体1111ABCD A B C D -中，P 是线段11A C 上一点，平面PAB 与底面ABCD 的夹角为α，平面PBC 与底面ABCD 的夹角为β，则tan()αβ+的最小值为________．【答案】43-【解析】【分析】【详解】过P 作1PP ⊥平面ABCD ，垂足为1P ；过1P 作1PM AB ⊥，垂足为M ，作1P N BC ⊥，垂足为N ．易知11,PMP PNP αβ=∠=∠，设正方体的棱长为1，11,PM x PN y ==，则111,tan ,tan x y x yαβ+===， 2tan tan 4tan()1tan tan 1312x y x y xy x y αβαβαβ++++==≥=---+⎛⎫- ⎪⎝⎭，当且仅当x y =时等号成立，所以tan()αβ+的最小值为43-．故答案为：43-.21．（2021·全国·高三竞赛）在三棱锥P ABC -中，7,8,9AP BC BP CA CP AB ======，则这个三棱锥的体积为________. 【答案】1611【解析】【分析】【详解】可以把这个三棱锥嵌人到一个长宽高分别为33,43使其六条棱分别为长方体六个面的面对角线，于是三棱锥的体积恰为长方体的13，即14334316113⨯故答案为：161122．（2021·全国·高三竞赛）在三棱锥P ABC -中，6,8,10BC CA AB ===．若三侧面与顶面所成二面角均为45︒，则三棱锥P ABC -的体积为__________．【答案】16 【解析】【分析】作PO ⊥平面ABC ，垂足为O ，作,,OD BC OE CA OF AB ⊥⊥⊥，垂足分别为D E F 、、．设OP h =，则45,cot 45PDO PEO PFO OD OE OF h h ∠=∠=∠=︒===︒=．在ABC 中，有6810248ABCOD OE OF S++==，解得2h =．故112241633ABCV hS==⨯⨯=．故答案为：16.23．（2021·全国·高三竞赛）已知正方形,ABCD E 是边AB 的中点．将DAE △和CBE △分别沿DE 和CE 折起，使得AE 与BE 重合．记A 与B 重合后的点为P ，则平面PCD 与平面ECD 所成的二面角的大小为__________．【答案】30 【解析】【分析】【详解】PCD 中，PC PD CD ==，故60PCD ∠=︒．PCE中，cos PCE ∠=CDE △中，cos DCE ∠=设二面角P CD E --大小为θ．对三面角C PDE -应用三面角余弦定理，得：cos cos cos cos sin sin PCE PCD ECD PCD ECD θ∠-∠∠===∠∠即30θ=︒．故答案为：30.24．（2021·全国·高三竞赛）在菱形ABCD中，60,A AB ∠=︒=ABD △折起到PBD △的位置，若三棱锥–P BCD，则二面角P BD C --的正弦值为__________.【解析】【分析】由外接球的体积为776π，则该球的半径72R =，设球心O 在平面PBD 和平面BCD 上的射影分别为12O O 、，则12O O 、为正PBD △和正BCD △的中心，取BD 的中点E ，连结12O E O E 、，则12,O E BD O E BD ⊥⊥，则12O EO ∠是二面角P BD C --的平面角，在2Rt OO C 中，273,123OC R O C AB ====，则232OO =，又在直角2OO E 中，23162O E AB ==，则21260,120O EO O EO ∠=∠=︒︒，则二面角P BD C --的正弦值为32. 故答案为：32. 25．（2021·全国·高三竞赛）如图，棱长为1的正四面体S ABC -的底面在平面α上，现将正四面体绕棱BC 逆时针旋转，当直线SA 与平面α第一次成30角时，点A 到平面α的距离为_______．61- 【解析】【分析】【详解】取BC 的中点D ，折叠后A 在平面α内的射影为E ，则 30ADE SAD ∠=∠-︒，()sin sin 30ADE SAD ∠=∠-︒ 323sin cos30cos sin 30SAD SAD -=∠︒-∠︒=所以332361sin 264AE AD ADE --=⨯∠=⨯=．故答案为：614-. 26．（2019·江西·高三竞赛）P 是正四棱锥V －ABCD 的高VH 的中点若点P 到侧面的距离为3，到底面的距离为5，则该正四棱锥的体积为____________ . 【答案】750 【解析】【详解】如图所示，PF ⊥面VBC ，5,10VP VH ==，2222534VF VP PF =-=-=.而PHMF 共圆，VP •VH =VF •VM ，所以252VM =，22152HM VM VH =-=，则AB =15.所以正四棱锥的体积217503V VH AB =⋅⋅=.故答案为：750．27．（2019·吉林·高三竞赛）已知三棱锥P -ABC 的四个顶点在球O 的球面上，P A =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ､F 分别是AC ､BC 的中点，60EPF ︒∠=，则球O 的表面积为____________ . 【答案】6π 【解析】【详解】由于P -ABC 为正三棱锥，故EP FP =，从而△EPF 为等边三角形，且边长EF =1.由此可知侧面P AC 的高PE =1，故棱长2PA =. 还原成棱长为2的正方体可知，P -ABC 的外接球的直径长恰为正方体的体对角线长6，从而表面积为6π. 故答案为：6π．28．（2019·上海·高三竞赛）边长为2的正方形，经如图所示的方式裁剪后，可以围成一个正四棱锥，则此正四棱锥的体积最大值为________.165【解析】【详解】设围成的正四棱锥为P ABCD -，PO 为四棱锥的高作OE ⊥BC ，垂足为E ，连结PE .令OE =x ，则p =1－x ，12PO x =-于是正四棱锥P －ABCD 的体积为21(2)123V x x =⋅-所以2416(12)9V x x =-44162(12)92x x ⎛⎫=⋅⋅⋅- ⎪⎝⎭512256222295x x x x x ⎛⎫++++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭525695=⨯，故165375V，当25x =165165 29．（2018·甘肃·高三竞赛）已知空间四点,,,A B C D 满足,,AB AC AB AD AC AD ⊥⊥⊥，且1,AB AC AD Q ===是三棱锥A BCD -的外接球上的一个动点，则点Q 到平面BCD 的最大距离是______．【解析】【详解】将三棱锥A BCD -补全为正方体，则两者的外接球相同．球心就是正方体的中心，记为O ，在正方体里，可求得点O 到平面BCD Q 到平面BCD 的最大距离是=30．（2018·天津·高三竞赛）半径分别为6、6、6、7的四个球两两外切.它们都内切于一个大球，则大球的半径是________ 【答案】14 【解析】【详解】设四个球的球心分别为A 、B 、C 、D ，则AB=BC=CA=12，DA=DB=DC=13，即A 、B 、C 、D 两两连结可构成正三棱锥.设待求的球心为X ，半径为r.，则由对称性可知DX ⊥平面ABC. 也就是说，X 在平面ABC 上的射影是正三角形ABC 的中心O.易知OA =11OD =.设OX=x ，则AX =由于球A 内切于球X ，所以AX=r-66r =- ①又DX=OD-OX=11-x ，且由球D 内切于球X 可知DX=r-7 于是 117x r -=- ② 从①②两式可解得4x =，14r = 即大球的半径为14. 故答案为1431．（2018·河南·高三竞赛）一个棱长为6的正四面体纸盒内放一个小正四面体，若小正四面体可以在纸盒内任意转动，则小正四面体棱长的最大值为______．【答案】2 【解析】【详解】因为小正四面体可以在纸盒内任意转动，所以小正四面体的棱长最大时，为大正四面体内切球的内接正四面体．记大正四面体的外接球半径为R ，小正四面体的外接球（大正四面体的内切球）半径为r ，易知13r R =，故小正四面体棱长的最大值为1623⨯=． 32．（2018·河北·高三竞赛）1111ABCD A B C D -内部有一圆柱，此圆柱恰好以直线1AC 为轴，则该圆柱体积的最大值为_____. 【答案】2π 【解析】【详解】由题意知只需考虑圆柱的底面与正方体的表面相切的情况.由图形的对称性可知，圆柱的上底面必与过A 点的三个面相切，且切点分别在1AB 、AC 、1AD 上.设线段1AB 上的切点为E ，圆柱上底面中心为1O ，半径1O E r =.由1111B AO E A C ∽得1AO =，则圆柱的高为1323AO -=-，()23V r π=-，由导数法或均值不等式得max 2V π=.33．（2018·河北·高二竞赛）若123A A A △的三边长分别为8、10、12，三条边的中点分别是B 、C 、D ，将三个中点两两连结得到三条中位线，此时所得图形是三棱锥A-BCD 的平面展开图，则此三棱锥的外接球的表面积是________. 【答案】772π【解析】【详解】由已知，四面体A-BCD 的三组对棱的长分别是4、5、6.构造长方体使其面对角线长分别为4、5、6，设长方体的长、宽、高分别为x 、y 、z ，外接球半径为R ，则222222222456x y x z y z ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩，得()22227722R x y z =++=,故2778R =，所以772S π=. 34．（2018·江西·高三竞赛）四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是一个顶角为60︒的菱形，每个侧面与底面的夹角都是60︒，棱锥内有一点M 到底面及各侧面的距离皆为1，则棱锥的体积为______．【答案】83 【解析】【详解】设菱形两对角线AC 、BD 的交点为H ，则PH 既是线段AC 的中垂线，又是BD 的中垂线，故是四棱锥的高，且点M 在PH 上，于是平面PBD 与底面ABCD 垂直，同理平面PAC 与与底面ABCD 垂直，平面PBD 将四棱锥分成两个等积的四面体．只需考虑四面体P ABD -．如图，设点M 在面PAD 上的投影为E ，平面MEH 过点P ，且交AD 于F ，因90MHF MEF ∠=︒=∠，则M 、E 、F 、H 四点共圆．由于ME ⊥面PAD ，得ME AD ⊥，由MH ⊥面ABD ，得MH AD ⊥，所以AD ⊥面MEH ，故AD PF ⊥．FH 是PF 在面ABD 内的射影，则AD FH ⊥，即二面角的平面角60EFH ∠=︒，于是120EMH ∠=︒．据1ME MH ==，得3EH =MEF 与MHF 中，EF HF =．因60EFH ∠=︒，所以EFH 是正三角形，即3FH EF EH === 在直角AFH 中，30HAF ∠=︒，则223AH FH == 故正ABD 的边长为4，于是43ABDS=．在直线PFH 中，tan603PH FH =︒=，1433P ABD ABDV PH S-=⋅=从而283P ABCD P ABD V V --==．故答案为8335．（2018·福建·高三竞赛）如图，在三棱锥P ABC -中，PAC △、ABC 都是边长为6的等边三角形．若二面角P AC B --的大小为120︒，则三棱锥P ABC -的外接球的面积为______．【答案】84π 【解析】【详解】如图，取AC 的中点D ，连结DP 、DB ，则由PAC 、ABC 都是边长为6的等边三角形，得PD AC ⊥，BD AC ⊥，PDB ∠为二面角P AC B --的平面角，120PDB ∠=︒．设O 为三棱锥P ABC -的外接球的球心，1O 、2O 分别为ABC 、PAC 的中心．则1OO ⊥面ABC ，2OO ⊥面PAC ，且2113633O D O D ⎫===⎪⎪⎝⎭21OO OO =．易知O 、2O 、D 、1O 四点共面，连结OD ，则160ODO ∠=︒，1133OO DO =．所以三棱锥P ABC -的外接球半径()22221132321R OB OO O B ==++所以三棱锥P ABC -的外接球的面积为24π84πR =．36．（2018·全国·高三竞赛）在正方体1111ABCD A B C D -中，已知棱长为1，点E 在11A D 上，点F 在CD 上，112A E ED =，2DF FC =.则三棱锥1B FEC -的体积为__________．【答案】527【解析】【详解】如图，过点F 作111FF C D ⊥，联结11B F ，与1EC 交于点K.易知，111B F EC ⊥，1EC BFK ⊥面.因为BF 与1EC 异面垂直，且距离为1，BF=1EC 10, 所以，1113BFK B FEC V EC S ∆-=⋅三棱锥 2110153227=⨯=⎝⎭. 37．（2019·全国·高三竞赛）已知四面体ABCD 的四个面DBC DCA DAB ABC ∆∆∆∆、、、的面积分别为12、21、28、37，顶点D 到面ABC ∆的距离为h.则h=__________． 5042【解析】【详解】注意到，222212212837++=. 因此，四面体ABCD 为直角四面体. 故332442565042ABC DA DB DC h S ∆⋅⋅⨯⨯===38．（2018·全国·高三竞赛）在四面体ABCD 中，已知3ADB BDC CDA π∠=∠=∠=，△ADB 、△BDC 、△CDA2、1．则此四面体体积为________．【解析】【详解】设DA 、DB 、DC 分别为x 、y 、z.则333=21222xysinyzsin xzsin，，πππ==.三式相乘得xyz =设DC 与面ABD 所成角为a ，点C 到面ABD 的距离为h.则h=zsina.由图形的对称性知coscos ?cos cos sin 36a a a ππ=⇒⇒.故所求四面体体积为113·sin 332ABD xysinS h z a π∆⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭. 39．（2018·全国·高三竞赛）在金属丝制作的3×4×7的长方体框架中放置一个球，则该球的半径的最大值为________．【答案】52【解析】【详解】显然，球的直径不能超过3×45=，故该球半径的最大值为52.40．（2018·安徽·高三竞赛）在边长为1的长方体1111ABCD A B C D -内部有一小球，该小球与正方体的对角线段1AC 相切，则小球半径的最大值=___________.【解析】【详解】当半径最大时，小球与正方体的三个面相切.不妨设小球与过点1D 的三个面相切.以1D 为原点，11DC 、11D A 、1D D 分别为x 、y 、z 轴正方向，建立空间直角坐标系.设A （0，1，1），1C （1，0，0），小球圆心P （r ，r ，r ），则P 到1AC 的距离112123AP AC r r AC ⨯=-=. 再由12r <，得465r -=. 故答案为465- 41．（2021·全国·高三竞赛）把半径为1的4个小球装入一个大球内，则此大球的半径的最小值为___________．【答案】612+ 【解析】【详解】4个小球在大球内两两相切，4个小球的球心连线构成1个正四面体，正四面体的中心与大球的球心重合，大球的半径等于正四面体的外接球半径加上小球的半径，所以大球半径为336661121144342h a +=⨯⋅+=⨯+=+．（其中h 表示正四面体的高，a 表示正四面体的棱长．）故答案为：612+. 42．（2019·浙江·高三竞赛）如图，在△ABC 中，∠ABC =120°，AB =BC =2.在AC 边上取一点D (不含A 、C )，将△ABD 沿线段BD 折起，得到△PBD .当平面PBD 垂直平面ABC 时，则P 到平面ABC 距离的最大值为____________.【答案】2 【解析】【详解】在△ABC 中，因为AB =BC =2，∠ABC =120°，所以30BAD BCA ︒∠=∠=. 由余弦定理可得23AC =设AD =x ，则03,3x DC x <<=.在△ABD中，由余弦定理可得BD =在△PBD 中，PD =AD =x ，PB =BA =2，∠BPD =30°. 设P 到平面ABC 的距离为d ，则11sin 22PBDSBD d PD PB BPD =⨯=⋅∠，解得d由0x <<max 2d =. 故答案为：2．43．（2019·贵州·高三竞赛）若半径2R =的空心球内部装有四个半径为r 的实心球，则r 所能取得的最大值为____________cm . 【答案】2 【解析】【详解】当半径为r 的四个实心球“最紧凑”时，即此四个球两两相切且内切于空心球时，r 取得最大值.此时，小球的四个球心连线构成棱长为2r 的正四面体，显然，此四面体外接球的球心即为实心球球心.在棱长为2r 的正四面体中，求得外接球半径.r +，2r +=r =2. 故答案为：2．44．（2019·四川·高三竞赛）已知正四棱锥Γ的高为3，侧面与底面所成角为3π，先在Γ内放入一个内切球O 1，然后依次放入球234,,,O O O ，使得后放入的各球均与前一个球及Γ的四个侧面均相切，则放入所有球的体积之和为_____ . 【答案】1813π 【解析】【详解】设侧面与底面所成角为θ.记球Oi 的半径为ri ，体积为Vi ，i =1，2，3，…. 因为1cos 2θ=，故1113cos r h r r θ=+=，即1113r h ==. 定义12n n s r r r =+++，由于132(2)n n r h s n -=-，所以()132n n n r r r +-=，即113n n r r +=，所以113n n r -⎛⎫= ⎪⎝⎭.故333111441333i nnni i i i i V r ππ-===⎛⎫==⋅ ⎪⎝⎭∑∑∑，所以118lim 13ni n i V π→∞==∑. 故答案为：1813π． 45．（2019·山东·高三竞赛）空间有4个点A 、B 、C 、D ，满足AB BC CD ==.若∠ABC =∠BCD =∠CDA =36°，那么直线AC 与直线BD 所成角的大小是______ . 【答案】90°或36° 【解析】【详解】如果△ABC 与△CDA 全等，那么AC ⊥BD ，此时直线AC 与直线BD 所成的角为90°；如果△ABC 与△CDA 不全等，则易知A 、B 、C 、D 四点共面，且点D 在∠ACB 的内部，由于△ABC ≌△DCB ，且他们均是等腰三角形，故直线AC 与直线BD 所成的角是36°. 故答案为：90°或36°．46．（2019·重庆·高三竞赛）已知正四面体可容纳10个半径为1的小球则正四面体棱长的最小值为_______ .【答案】4+ 【解析】【详解】当正四面体棱长最小时，设棱长为a ，此时，一、二、三层分别有1、3、6个小球，且相邻小球两两相切，注意到重心分四面体的高为1：3，所以正四面体的高3221h ==+，得4a =+故答案为：426+．二、解答题47．（2019·甘肃·高三竞赛）已知三棱锥P －ABC 的平面展开图中，四边形ABCD 为边长等于22的正方形，△ABE 和△BCF 均为正三角形，在三棱锥P －ABC 中：（1）证明：平面P AC ⊥平面ABC ；（2）若点M 为棱P A 上一点且12PM MA =，求二面角P －BC －M 的余弦值. 【答案】（1）见解析（2）223【解析】【详解】（1）如图①，设AC 的中点为O ，连结,BO PO .由题意，得22PA PB PC ===PO =2，2AO BO CO ===. 因为在△P AC 中，P A =PC ，O 为AC 的中点，所以PO ⊥AC.又因为在△POB 中，PO =2，OB =2，PB =22222PO OB PB +=，所以PO ⊥OB. 因为AC ∩OB =O ，AC ，OB ⊆平面ABC ，所以PO ⊥平面ABC. 又因为PO ⊆平面P AC ，所以平面P AC ⊥平面ABC .（2）由PO ⊥平面ABC ，OB ⊥AC ，所以,PO OB PO OC ⊥⊥.于是以OC 、OB 、OP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图②所示的空间直角坐标系，则(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0)O C B ，24(2,0,0),(0,0,2),,0,33A P M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，(2,2,0),(2,0,2)BC PC =-=-，84,0,33MC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.设平面MBC 的法向量为()111,,m x y z =，则由00m BC m MC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得1111020x y x z -=⎧⎨-=⎩，令11x =，则111,2y z ==，即(1,1,2)m =. 设平面PBC 的法向量为()222,,n x y z =，由00n BC n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得22220x y x z -=⎧⎨-=⎩，令x 2=1，则221,1y z ==，即(1,1,1)n =.422cos ,||||318m n n m m n ⋅〈〉===⋅. 由图可知，二面角P －BC －M 的余弦值为223. 48．（2018·广东·高三竞赛）如图①，已知矩形ABCD 满足AB=5，34AC =，沿平行于AD 的线段EF 向上翻折（点E 在线段AB 上运动，点F 在线段CD 上运动），得到如图②所示的三棱柱ABE DCF -.⑴若图②中△ABG 是直角三角形，这里G 是线段EF 上的点，试求线段EG 的长度x 的取值范围；⑵若⑴中EG 的长度为取值范围内的最大整数，且线段AB 的长度取得最小值，求二面角C EF D --的值；⑶在⑴与⑵的条件都满足的情况下，求三棱锥A-BFG 的体积.【答案】（1）[)0,2.5（2）8arccos 25AEB π∠=-（3【解析】【详解】⑴由题设条件可知△AEG 、△BEG 均为直角三角形，因此222AG AE x =+，222BG BE x =+.由余弦定理2222cos AB AE BE AE BE AEB =+-⋅∠.于是22222222cos x AE BE AB AE BE AE BE AEB ++==+-⋅∠.()222cos 55 2.5x AE BE AEB AE BE t t t t =-⋅∠<⋅=-=-+≤.所以，[)0,2.5x ∈.又对任意[)0,2.5k ∈， 2.5AE EB ==，22arccos 2.5k AEB π∠=-.则x k =，故x 的取值范围为[)0,2.5.⑵因为AE ⊥EF ，BE ⊥EF ，所以∠AEB 就是二面角C-EF-D 的平面角又由⑴知EG 的长度x 为[)0,2.5的最大整数，因此x=2. 于是()22225421029AB t t t t =+-+=-+，t ∈（0,5）. 因此t=2.5时，线段AB 的长度取得最小值. 由此得252cos 4AEB =-∠，8arccos 25AEB π∠=-.⑶由⑴、⑵知8arccos25AEB π∠=-，52AE EB ==，AG BG ==2EG =且3EF ===. 因为AE ⊥EF ，BE ⊥EF ，AE BE E ⋂=. 所以EF ⊥平面EAB ，故()13A BFG A BEF A BEG AEB AGB V V V S EF S EG ---∆∆=-=⋅-⋅ 22111sin 322AE AEB EF BG EG ⎡⎤⎛⎫=∠- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1413264⎫=-⨯=⎪⎪⎭. 49．（2021·全国·高三竞赛）空间中的n 个点，其中任何三点不共线，把它们分成点数互不相同的m 组()3n m >≥，且,2m n m ，在任何三个不同的组中各取一点为顶点作三角形，要使这种三角形的总数最大，各组的点数应是多少【答案】答案见解析【解析】【分析】【详解】把这n 个点分成m 组，设当每组点数分别为12,,,m a a a ，这里120m a a a <<<<，顶点分别在三个组的三角形的总数为：1i j k i j k mS a a a ≤<<≤=∑①取得最大值．（1）先证明：12,1,2,,1i i a a i m +-=-．若不然，设有0i 使0013i i a a +-≥，不妨设01i =，我们将①式改写为()1212333mi j k i j k i j k mi j k mS a a a a a a a a a a =≤<≤≤<<≤=+++∑∑∑． ②令11221,1a a a a ''=+=-，则1212a a a a ''+=+，()1212211212131a a a a a a a a a a ''=+--≥+->，当用12a a ''、代替12、a a ，其余值保持不变时S 值变大，矛盾．（2）证明使12i i a a +-=的i 值不多于1个，若有0011i j m ≤<≤-，使0000112,2i i j j a a a a ++-=-=，则当用0000111,1i i j j a a a a ''++=+=-代替001,i j a a +而其余k a 不变时，000011i j i j a a a a ''++>，但000011i j i j a a a a ''+++=+，类似②式可知S 也变大，这是不可能的．（3）证明：使12i i a a +-=的值恰有一个．若对所有11i m ≤≤-，均有11i i a a +-=，则m 组的点数分别为,1,,(1)s s s m ++-，于是有：(1)(1)((1))2m m s s s m ms n -+++++-=+=． ③ 由题设2m 及③式，得mn ∣，而题设m n ，故矛盾．（4）设第0i 个差0012i i a a +-=，而其余的差均为1，于是可令01,1,2,,j a s j j i =+-=；0,1,,j a s j j i m =+=+，所以0011(1)()i m j j i s j s j n ==++-++=∑∑，得0(1)2m m ms i n ++-=． ④ 又011i m ≤≤-，由④式得222222 22n m m n m m s m m--+-+-≤≤． ⑤ 故符合题意的对应各组的点数由④、⑤两式确定正整数s 与0i ．50．（2021·全国·高三竞赛）证明：如下构造的空间曲线Γ的任意五等分点组都不在同一球面上，曲线Γ的构造：作周长为l 的圆O ，在圆O 上取AmB 使15l AmB <的长度25l <，并以AB 为轴将AmB 旋转180︒得弧Am B '，在圆O 上取BnC ，使AmB 的长度BnC +的长度25l <，并以BC 为轴将BnC 旋转θ度()0180θ︒<<︒得弧Bn C '，这样，由弧Am B BnC CrA ''、、组成的曲线便是空间曲线．（如图所示）【答案】证明见解析【解析】【分析】【详解】设12345A A A A A 、、、、是曲线Γ的任一五等分点组．由曲线Γ的构造知，曲线Γ的长度为,l AmB 的长度1,5CrA >的长度35l >，那么至少有一个分点不妨设为1A ，落在弧Am B '内（不包括端点），同时至少有三个分点，不妨设为234A A A 、、，落在CrA 内（不包括端点）.又由曲线Γ的构造知Am B '与弧CrA 在同一平面内，从而1234A A A A 、、、四点在同一平面内．由平面几何知识知，234A A A 、、三点只能确定唯一的圆O ，而1A 不在圆O 上，所以1234A A A A 、、、四点不共圆．于是1234A A A A 、、、四点必不共球面，否则过1234A A A A 、、、的平面与1234A A A A 、、、所在的球的截面是圆，即1234A A A A 、、、四点共圆，矛盾．故12345A A A A A 、、、、不可能共球面，即曲线Γ的任意五等分点组都不在同一球面上．【高中数学竞赛专题大全】竞赛专题8 立体几何（50题竞赛真题强化训练）一、填空题1．（2018·四川·高三竞赛）在三棱锥P ABC -中，三条棱PA PB PC 、、两两垂直，且122PA PB PC ===、、.若点Q 为三棱锥P ABC -的外接球球面上任意一点，则Q 到面ABC 距离的最大值为______.2．（2018·辽宁·高三竞赛）四面体ABCD 中，已知2AB =，1119,8,22AD BC CD ===，则异面直线AC 与BD 所成角的正弦值是_____.3．（2018·湖南·高三竞赛）四个半径都为1的球放在水平桌面上，且相邻的球都相切（球心的连线构成正方形）.有一个正方体，其下底与桌面重合，上底的四个顶点都分别与四个球刚好接触，则该正方体的棱长为__________.4．（2018·湖南·高三竞赛）在半径为R 的球内作内接圆柱，则内接圆柱全面积的最大值是_____.5．（2018·湖南·高三竞赛）正方体1111ABCD A B C D -中，E 为AB 的中点，F 为1CC 的中点.异面直线EF 与1AC 所成角的余弦值是_____.6．（2020·江苏·高三竞赛）在长方体1111ABCD A B C D -中，4AB =，122BC CC ==，M 是1BC 的中点，N 是1MC 的中点．若异面直线AN 与CM 所成的角为θ，距离为d ，则2020sin d θ=__________．7．（2021·全国·高三竞赛）已知一个正四面体和一个正八面体的棱长相等，把它们拼接起来，使一个表面重合，所得多面体的有__________面数．8．（2018·全国·高三竞赛）在三棱锥P-ABC 中，PA ＝PB ＝4，PC ＝3，∠APB ＝∠APC ＝60°，∠BPC ＝90°.则三棱锥P-ABC 的体积为_______.9．（2018·全国·高三竞赛）已知长方体1111ABCD A B C D -的长、宽、高分别为1、2、3，P 为平面1A BD 内的一点，则AP 长的最小值为_________.10．（2021·全国·高三竞赛）已知三棱锥A BCD -的三个侧面及底面的面积分别为5、12、13、15，且侧面的斜高相等，则三棱锥的体积为___________．11．（2020·浙江·高三竞赛）如图所示，在单位正方体上有甲、乙两个动点，甲从P 点匀速朝P '移动；乙从Q 点匀速出发朝Q '移动，到达Q '后速度保持不变并折返.现甲、乙同时出发，当甲到达P '时，乙恰好在到达Q '后折返到Q ，则在此过程中，甲、乙两点的最近距离为__________.12．（2021·全国·高三竞赛）在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -上，点P 为AB 中点，从点P 发出的光线经侧面11BCC B 内部（不含边界）一点Q 反射后投射到侧面11DCC D 内部（不含边界），则满足条件的点Q 所组成区域的面积为___________.13．（2021·全国·高三竞赛）已知正三棱锥P ABC -高为2，底面边长为3，现在将三棱锥切去一部分，得到一个顶点为P ，底面在ABC 内的正四棱锥，则该四棱锥的体积最大为___________.14．（2021·全国·高三竞赛）正四面体ABCD 中，点G 为面ABC 的中心，点M 在线段DG 上，且351tan AMB ∠=DM DG =___________. 15．（2021·全国·高三竞赛）A B C D 、、、是半径为1的球面上的4个点，若1AB CD ==，则四面体ABCD 体积的最大值是__．16．（2021·全国·高三竞赛）已知三棱锥S ABC -的底面ABC 为正三角形，点A 在侧面SBC 上的射影H 是SBC △的垂心，二面角H AB C --的大小为30，且2SA =，则此三棱锥的体积为_________．17．（2021·全国·高三竞赛）如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，P 为空间一点，且满足1111,A P AB APB ADB ⊥∠=∠，则1D P 的最小值为_______．。

高考数学强化复习训练精选题及答案

高三数学强化训练（1）1. 若集合M=｛y | y =x -3｝，P=｛y | y =33-x ｝，则M∩P=A ｛y | y >1｝B ｛y | y ≥1｝C ｛y | y >0｝D ｛y | y ≥0｝2210,(0)ax x a ++=≠有一个正根和一个负根的充分不必要条件是：A ．0a C ．1a <-D ．1a > 3. 设命题甲:0122>++ax ax 的解集是实数集R;命题乙:10<<a ,则命题甲是命题乙成立的A . 充分非必要条件 B.必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件4. 函数f(x)=⎩⎨⎧∈-∈,,,,M x x P x x 其中P ，M 为实数集R 的两个非空子集，又规定f(P)={y|y=f(x),x ∈P}，f(M)={y|y=f(x),x ∈M}.给出下列四个判断：①若P∩M=∅，则f(P)∩f(M)=∅； ②若P∩M≠∅，则f(P)∩f(M) ≠∅；③若P ∪M=R ，则f(P)∪f(M)=R ； ④若P ∪M≠R ，则f(P) ∪f(M)≠R.其中正确判断有A 0个B 1个C 2个D 4个5. 已知全集U {}5,4,3,2,1=，A {}3,1=，B {}4,3,2=，那么=⋃)(B C A U ___. 6. 设二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f ，若)()(21x f x f =（其中21x x ≠），则)2(21x x f +等于 _____. 022>++bx ax 的解集为)31,21(-，求b a +的值8. 已知集合A {}0652=+-=x x x ，B {}01=+mx x ，且A B A =⋃，求实数m 的值组成的集合。

参考答案(一)CBBB. {}5,3,1, ab ac 442- 7. 由题意知方程022=++bx ax 的两根为31,2121=-=x x ，又⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+a x x a b x x 22121，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⨯--=+-aa b 231213121，解得⎩⎨⎧-=-=212b a ， 14-=+∴b a 8.{}{}A B A B A x x x A ⊆∴=⋃==+-=,,3,20652 ① A B B m ⊆Φ==,,0时；② 0≠m 时，由mx mx 1,01-==+得。

高三数学：应用题

高三数学强化训练应用题（一）函数模型【例1】甲厂以x 千克/小时的速度运输生产某种产品（生产条件要求110x ≤≤），每小时可获得利润是3100(51)x x+-元.（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x 的取值范围；（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.【例2】在数学探究活动中，某兴趣小组合作制作一个工艺品，设计了如图所示的一个窗户，其中矩形ABCD 的三边AB ，BC ，CD 由长为8厘米的材料弯折而成，BC 边的长为2t 厘米(04t <<)；曲线AOD 是一段抛物线，在如图所示的平面直角坐标系中，其解析式为23x y =-，记窗户的高(点O 到BC 边的距离)为()f t .（1）求函数()f t 的解析式，并求要使得窗户的高最小，BC 边应设计成多少厘米？（2）要使得窗户的高与BC 长的比值达到最小，BC 边应设计成多少厘米？【例3】为减少人员聚集，某地上班族S 中的成员仅以自驾或公交方式上班.分析显示，当S 中有()%0100x x <<的成员自驾时，自驾群体的人均上班路上时间为：()30,0301800290,30100x f x x x x <≤⎧⎪=⎨+-<<⎪⎩，(单位：分钟)而公交群体中的人均上班路上时间不受x 的影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回家下列问题：（1）当x 取何值时，自驾群体的人均上班路上时间等于公交群体的人均上班路上时间？（2）已知上班族S 的人均上班时间计算公式为：()()()%50100%g x f x x x =⋅+-，讨论()g x 的单调性，并说明实际意义.(注：人均上班路上时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时.)1、为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念，聊城市环保部门近年来利用水生植物（例如浮萍、蒲草、芦苇等），对国家级湿地公园—东昌湖进行进一步净化和绿化．为了保持水生植物面积和开阔水面面积的合理比例，对水生植物的生长进行了科学管控，并于2020年对东昌湖内某一水域浮萍的生长情况作了调查，测得该水域二月底浮萍覆盖面积为245m ，四月底浮萍覆盖面积为280m ，八月底浮萍覆盖面积为2115m ．若浮萍覆盖面积y （单位：2m ）与月份x （2020年1月底记1x =，2021年1月底记13x =）的关系有两个函数模型(0,1)=>>x y ka k a 与2log (0)y m x n m =+>可供选择．（1）你认为选择哪个模型更符合实际？并解释理由；（2）利用你选择的函数模型，试估算从2020年1月初起至少经过多少个月该水域的浮萍覆盖面积能达到2148m ？（可能用到的数据：2log 15 3.9≈1.37≈66.72≈）2、2011年六月康菲公司由于机器故障，引起严重的石油泄漏，造成了海洋的巨大污染，某沿海渔场也受到污染.为降低污染，渔场迅速切断与海水联系，并决定在渔场中投放一种可与石油发生化学反应的药剂.已知每投放a (14a ≤≤，且a R ∈)个单位的药剂，它在水中释放的浓度y (毫克/升)随着时间x (天)变化的函数关系式近似为()y a f x =⋅，其中()()()161,04815,4102x x f x x x ⎧-≤≤⎪⎪-=⎨⎪-<≤⎪⎩，若多次投放，则某一时刻水中的药剂浓度为每次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和.根据实验，当水中药剂的浓度不低于4(毫克/升)时，它才能起到有效治污的作用.称为有效净化；当药剂在水中释放的浓度不低于6(毫克/升)且不高于18(毫克/升)时称为最佳净化.（1）若一次投放4个单位的药剂，则有效治污时间可达几天？（2）若第一次投放2个单位的药剂，6天后再投放a 个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效治污，试问a 的最小值(精确到0.1取近似值1.4).3、在研究某市交通情况时发现，道路密度是指该路段上一定时间内用过的车辆数除以时间，车辆密度是该路段一定时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量xq v =，x 为道路密度，q 车辆密度，(0,80]x ∈，且801100135(040,3(040)854080x x v k x x k ⎧-<<⎪=⎨⎪--+≤≤>⎩.（1）当交通流量95v>时，求道路密度x 的取值范围；（2）若道路密度80x =时，测得交通流量50v =，求出车辆密度q 的最大值.（二）三角模型【例4】某高档小区有一个池塘，其形状为直角ABC ，90C ∠=︒，2AB =百米，1BC =百米，现准备养一批观赏鱼供小区居民观赏．（1）若在ABC 内部取一点P ，建造APC 连廊供居民观赏，如图①，使得点P 是等腰三角形PBC 的顶点，且2π3CPB ∠=，求连廊AP PC +的长；（2）若分别在AB ，BC ，CA 上取点D ，E ，F ，建造DEF 连廊供居民观赏，如图②，使得DEF 为正三角形，求DEF 连廊长的最小值．r r rr l 【例5】如图，已知某市穿城公路MON 自西向东到达市中心O 后转向东北方向，34MON π∠=，现准备修建一条直线型高架公路AB ，在MO 上设一出入口A ，在ON 上设一出入口B ，且要求市中心O 到AB 所在的直线距离为10km.（1）求A ，B 两出入口间距离的最小值；（2）在公路MO 段上距离市中心O 点30km 处有一古建筑C （视为一点），现设立一个以C 为圆心，5km 为半径的圆形保护区，问如何在古建筑C 和市中心O 之间设计出入口A ，才能使高架公路及其延长线不经过保护区？【例6】某加油站拟造如图所示的铁皮储油罐（不计厚度，长度单位：米），其中储油罐的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，32-=r l （l 为圆柱的高，r 为球的半径，2l ≥）.假设该储油罐的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为c 千元，半球形部分每平方米建造费用为3千元.设该储油罐的建造费用为y 千元.（1）写出y 关于r 的函数表达式，并求该函数的定义域；（2）求该储油罐的建造费用最小时的r 的值.1、重庆、武汉、南京并称为三大“火炉”城市，而重庆比武汉、南京更厉害，堪称三大“火炉”之首.某人在歌乐山修建了一座避暑山庄O （如图）.为吸引游客，准备在门前两条夹角为6π（即AOB ∠）的小路之间修建一处弓形花园，使之有着类似“冰淇淋”般的凉爽感，已知弓形花园的弦长3AB =且点A ，B 落在小路上，记弓形花园的顶点为M ，且6MAB MBA π∠=∠=，设OBA θ∠=.（1）将OA ，OB 用含有θ的关系式表示出来；（2）该山庄准备在M 点处修建喷泉，为获取更好的观景视野，如何规划花园（即OA ，OB 长度），才使得喷泉M 与山庄O 距离即值OM 最大？2、某城市为发展城市旅游经济，拟在景观河道的两侧，沿河岸直线1l 与2l 修建景观路（桥），如图所示，河道为东西方向，现要在矩形区域ABCD 内沿直线将1l 与2l 接通，已知60m AB =，80m BC =，河道两侧的景观道路修建费用为每米1万元，架设在河道上方的景观桥EF 部分的修建费用为每米2万元.（1）若景观桥长90m 时，求桥与河道所成角的大小；（2）如何设计景观桥EF 的位置，使矩形区域ABCD 内的总修建费用最低？最低总造价是多少？3、如图是一段半圆柱形水渠的直观图，其横断面是所示的半圆弧ACB ，其中C 为半圆弧中点，渠宽AB 为2米.（1）当渠中水深CD 为0.4米时（D 为水面中点），求水面的宽;（2）若把这条水渠改挖（不准填上）成横断面为等腰梯形的水渠，使渠的底面与水平地面平行，则改挖后的水渠底宽为多少米时（精确到0.01米），所挖的土最少?（三）数列模型【例7】某公司自2020年起，每年投入的设备升级资金为500万元，预计自2020年起(2020年为第1年)，因为设备升级，第n年可新增的盈利()()5801,5100010.6,6n nn nan-⎧-≤⎪=⎨-≥⎪⎩(单位：万元)，求：（1）第几年起，当年新增盈利超过当年设备升级资金；（2）第几年起，累计新增盈利总额超过累计设备升级资金总额.【例8】某卫材公司年初投资300万元，购置口罩生产设备，立即投入生产，预计第一年该生产设备的使用费用为36万元，以后每年增加6万元，该生产设备每年可给公司带来121万元的收入.假设第n年该设备产生的利润（利润=该年该设备给公司带来的收入-该年的使用费用）为n a.（1）写出n a的表达式；（2）在该设备运行若干整年后，该卫材公司需要升级产品生产线，决定处置该生产设备，现有以下两种处置方案：①当总利润（总利润=各年的收入之和-各年的使用费用-购置口罩生产设备的成本）最大时，以7万元变卖该生产设备；②当年平均总利润最大时，以72万元变卖该生产设备.请你为该公司选择一个合理的处置方案，并说明理由.1、诺贝尔奖每年发放一次，把奖金总金额平均分成6份，奖励在6项(物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平)为人类做出最有贡献人．每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息用于增加基金总额，以便保证奖金数逐年递增．资料显示：1998年诺贝尔奖发奖后的基金总额(即1999年的初始基金总额)已达19516万美元，基金平均年利率为 6.24%r =．（1）求1999年每项诺贝尔奖发放奖金为多少万美元(精确到0.01)；（2）设n a 表示()1998n +年诺贝尔奖发奖后的基金总额，其中*n N ∈，求数列{}n a 的通项公式，并因此判断“2020年每项诺贝尔奖发放奖金将高达193.46万美元”的推测是否具有可信度．2、2019年9月1日，小刘从各个渠道融资30万元，在某大学投资一个咖啡店，2020年1月1日正式开业，已知开业第一年运营成本为6万元，由于工人工资不断增加及设备维修等，以后每年成本增加2万元，若每年的销售额为30万元，用数列{}n a 表示前n 年的纯收入．（注：纯收入=前n 年的总收入-前n 年的总支出-投资额）（1）试求年平均利润最大时的年份（年份取正整数）并求出最大值．（2）若前n 年的收入达到最大值时，小刘计划用前n 年总收入的13对咖啡店进行重新装修，请问：小刘最早从哪一年对咖啡店进行重新装修（年份取整数）？并求小刘计划装修的费用．。

2013届理科数学第一次强化训练教师版

湖南省衡阳县六中2013届高三第一次强化训练理科数学(问卷）时量：120分钟总分：150分命题制卷：高三数学备课组时间： 2013年3月2日一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知点A ()1,1-，点B ()y ，2，向量()2,1=a ，若//AB a，则实数y 的值为（） A 5B 6C 7D 8【解题思路】AB →＝（3，y －1），∵AB →∥a ，∴31＝y －12，∴y ＝7．故选C2．已知等比数列123456{},40,20,n a a a a a a a ++=++=中则前9项之和等于( ) A 50 B 70 C 80 D 90【解题思路】 3321654)(q a a a a a a ++=++，∴213=q ，3654987)(q a a a a a a ++=++=10，即9s =70．故选B3．如图是函数sin()y x ωϕ=+的图象的一部分，A ,B 是图象上的一个最高点和一个最低点，O 为坐标原点，则OA OB ⋅的值为（）A 12π B2119π+C2119π-D 2113π-【解题思路】由图知T 4＝5π12－π6＝π4，∴T ＝π， ∴ω＝2，∴y ＝sin （2x ＋φ），将点⎝⎛⎭⎫－π12，0的坐标代入得sin ⎝⎛⎭⎫－π6＋φ＝0， ∴φ＝π6，∴A ⎝⎛⎭⎫π6，1，B ⎝⎛⎭⎫2π3，－1，∴OA →·OB →＝π29－1，故选C4．某程序框图如图所示，该程序运行后，输出的x 值为31，则a 等于（） A 0 B 1 C 2 D 3【解题思路】故选D5．已知数列{}n a ，若点()()*,n n a n N ∈在经过点()8,4的定直线l 上，则数列{}n a 的前15项和15S =（） A 12B 32C 60D 120【解题思路】可设定直线为4(8)y k x -=-,知4(8),(8)4n n a k n a k n -=-=-+得,则{}n a 是等差数列且84a =，所以11515815()15154602a a S a ⋅+==⋅=⨯=，故选C6．若x 2sin 、x sin 分别是θsin 与θcos 的等差中项和等比中项，则x 2cos 的值为（） A1338+B1338-C1338±D124-【解题思路】依题意有θθcos sin 2sin 2+=x ，①2sin sin cos x θθ= ②。

河北省普通示范高中2014届高三考前强化模拟训练数学文8

河北省普通示范高中2014届高三考前强化模拟训练数学文8第Ⅰ卷（选择题共60分）一. 选择题（每小题5分，共60分。

下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1．已知全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,3,4A =，集合{}2,4B =，则()U C A B 为( )A ．{}2,4,5B ．{}1,3,4C ．{}1,2,4D ．{}2,3,4,52．下面四个条件中，使a >b 成立的充分而不必要的条件是( )A.a >b +1B.a >b -1C.2a >2b D 3a >3b 3．设复数且z 在复平面所对应的的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D. 第四象限4. 平面向量a 与b 的夹角为060，(2,0)a =，1b = 则2a b +=( )A C 4 D12 5．给出以下四个说法：①绘制频率分布直方图时，各小长方形的面积等于相应各组的组距；②在刻画回归模型的拟合效果时，相关指数2R 的值越大，说明拟合的效果越好；③设某大学的女生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i ，y i ）（i=1，2，…，n ），用最小二乘法建立的回归方程为y =0.85x-85.71说明若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kg ；④对分类变量X 与Y ，若它们的随机变量2K 的观测值k 越小，则判断“X 与Y 有关系”的把握程度越大．其中正确的说法是 ( )),(R b a bi a z ∈-=A．①④ B．②④ C．①③ D．②③6.）A B．C． D．单位7．如图是一几何体的三视图，正视图是一等腰直角三角形，且斜边长为2；侧视图一直角三角形；俯视图为一直角梯形，且,则此几何体的体积是（）8.已知数列}{na，若点)(nan，)N(*∈n在经过点)48(，的定直线l上，则数列}{na的前15项和=15S（）A.12B.32C.60 D .1209.设实数x、y满足约束条件1024x yx yx+≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则23z x y=+的最小值为（）A．26 B．24 C．16 D．1410. 椭圆1312622222=-=+byxyx与双曲线有公共的焦点F1，F2，P是两曲线的一个交点，则21cos PFF∠= （）A．43B．41C．31D．32 11．下图的程序框图中),(yxf是产生随机数的函数,它能随机产生区间),(yx内的任何一个数,如果输入N值为4000,输出的m值为1840,则利用随机模拟方法BD1==BCAB.A1.CA ．2.17B ．2.16C ．0.46D ．0.54 12设点P 在曲线1+=x ey 上，点Q 在曲线x y ln 1+-=上，则PQ 最小值为（）A. 2B. 22C. )2ln 1(2+ D )2ln 1(2-第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

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高三理科数学强化训练（8）命题人：丁霄 2012-12-28一．选择题：（5×12=60分）1．若复数(5sin 3)(5cos 4)z i θθ=-+-是纯虚数，则tan θ的值为( )A ．43B ．34-C ．34D ．3344-或2．已知函数xx f -=12)(的定义域为M ，)1ln(2)(x x g ++=的定义域为N ，则M N = （）{}1.>x x A{}11.<<-x x B {}1.<x x C φ.D3."1"-=m 是”直线()0212=+-+y m mx 和直线033=++my x 垂直”的( )A.必要而不充分条件B.充分而不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4．函数()sin(2))f x x x θθ=++为奇函数，且在[0,]4π上为减函数的θ值可以是( )A ．3π-B ．6π-C ．56π D ．23π5．在等差数列{}n a 中，0>n a ，且301021=+++a a a ，则65a a ⋅的最大值是( )A ．3B ．6C ．9D ．366.已知平面区域如右图所示，)0(>+=m y mx z 多个，则m 的值为（） A.21B.1C.207D.不存在7.设11cos ,sin ,a xdx b xdx ==⎰⎰下列关系式成立的是( A a b > B 1a b +< C a b < D 1a b +=8．新学期开始，学校接受6名师大学生生到校实习，学校要把他们分配到三个年级，每个年级2人，其中甲必须在高一年级，乙和丙均不能在高三年级，则不同的安排种数为( ) A ．18 B ．15 C ．12 D ．99. 已知某8个数的平均数为5,方差为2,现又加入一个新数据5，此时这9个数的平均数为，方差为S 2，则( )A. B. C. D.10•设命题p:，命题,若P是q的充分不必要条件,则K的取值范围是( ) A（0,3] B. (0,6] C. (0,5] D. [1,6]11．已知21,FF分别为双曲线12222=-byax的左、右焦点，P为双曲线左支上的一点,若||||122PFPF的值为a8，则双曲线离心率的取值范围是( )()+∞,1.A[]3,2.B(]2,1.C(]3,1D12．数列{}n a满足61=a，)](24345[21++∈-+=Nnaaannn，其中[]x表示不超过x的最大整数。

则12320112012a a a a a+++⋅⋅⋅++的个位数字为（）4.A5.B6.C7.D二、填空题（5×4=20分）13. 某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图所示.从抽样的100根棉花纤维中任意抽取一根，则其棉花纤维的长度小于20mm的概率为.14．设(nx的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M+N=16，则展开式中的常数项为.15. 已知函数的图象关于直线对称,点是函数图象的一个对称中心则的最小值是16. 若函数y=f(x)对定义域的每一个值x1，都存在唯一的x2，使成立,①是“滨湖函数”；②.I是“滨湖函数”；③是“滨湖函数”； ④是“滨湖函数”；⑤都是“滨湖函数”，且定义域相同，则是“滨湖函数”三、解答题：(本大题共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

) 17．（12分）已知B A ,是直线0y =与函数2()2coscos()1(0)23xf x x ωπωω=++->图像的两个相邻交点，且.2||π=AB（1）求ω的值；（2）在锐角ABC ∆中，c b a ,,分别是角,,A B C 的对边，若3(),3,2f A c ABC =-=∆的面积为33，求a 的值．18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n n S n +=2,数列}{b n 满足+++322133b b b n n n a b =+-13，*N n ∈．（1）求数列{},{}n n a b 的通项公式；（2）求数列}{b n 的前n 项和n T .19．（本小题满分12分）甲、乙两个盒子里各放有标号为1，2，3，4的四个大小形状完全相同的小球，从甲盒中任取一小球，记下号码x 后放入乙盒，再从乙盒中任取一小球，记下号码y .（Ⅰ）求2y =的概率；（Ⅱ）设随机变量y x X -=，求随机变量X 的分布列及数学期望.20．（本小题满分12分）已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b +=>>点构成的三角形的面积为3（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知动直线(1)y k x =+与椭圆C 相交于A 、B 两点. ①若线段AB 中点的横坐标为12-，求斜率k 的值；②若点7(,0)3M -，求证：MA MB ⋅ 为定值21. （本小题满分12分）已知函数22()(24)ln f x x ax x x =-+（0a >）.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）对[1,)x ∀∈+∞,不等式(24)ln x a x x ->-恒成立，求a 的取值范围．22,23两题只选做一题，若两题都做按第一题计分22．在直角坐标系xoy 中，直线l的参数方程为32x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），在极坐标系（与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为ρθ=。

（Ⅰ）求圆C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C 与直线l 交于点,A B 。

若点P 的坐标为（3，求||||PA PB +。

23．选修4－5：不等式选讲已知函数.|,32|12)(R x x x x f ∈-+-=．（Ⅰ）解不等式5)(≤x f ；（Ⅱ）若mx f x g +=)(1)(的定义域为R ，求实数m 的取值范围．高三理科数学强化训练（8）参考答案一．选择题1-5 BBBDC 6-10 CADAB 11-12 DD 二、填空题13. 310 14. 4- 15. 13+ 16三、解答题17.解：（1）13()cos cos cos )223f x wx wx wx wx wx wx π=+==-由函数的图象及2AB π=，得到函数的周期222T w ππ==⨯，解得2w = ……5分（2）3()),sin(2)323f A A A ππ=-=-∴-=又ABC 是锐角三角形， 222333333A A ππππππ-<-<∴-=，，即A= ……………8分由13sin 22ABC b S bc A === b=4由余弦定理得2222212cos 4324313a b c bc A a =+-=+-⨯⨯⨯==，即分 19．解：（Ⅰ）(2)(2,2)(2,2)P y P x y P x y ====+≠=1231145454=⨯+⨯=（Ⅱ）随机变量X 可取的值为0，1，2，3 当X =0时，(,)(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)x y =121212122(0)454545455P X ∴==⨯+⨯+⨯+⨯= 当X =1时，(,)(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3)x y =1111111111113(1)45454545454510P X ∴==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=同理可得11(2);(3)510P X P X ====01231510510EX ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=20．解：（Ⅰ）因为22221(0)x y a b a b +=>>满足222a b c =+， c a =，…………2分1223b c ⨯⨯=。

解得2255,3a b ==，则椭圆方程为221553x y += ……………4分（Ⅱ）（1）将(1)y k x =+代入221553x y +=中得 2222(13)6350k x k x k +++-=……………………………………………………6分 4222364(31)(35)48200k k k k ∆=-+-=+>2122631k x x k +=-+……………………………………………………………7分因为AB 中点的横坐标为12-，所以2261312k k -=-+，解得3k =±…………9分（2）由（1）知2122631k x x k +=-+，21223531k x x k -=+ 所以112212127777(,)(,)()()3333MA MB x y x y x x y y ⋅=++=+++ ……………11分2121277()()(1)(1)33x x k x x =+++++2221212749(1)()()39k x x k x x k =++++++………………………………………12分2222222357649(1)()()313319k k k k k k k -=+++-++++（Ⅱ）将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得240t -+=由24420∆=-⨯=>，故可设12,t t 是上述方程的两根所以12124t t t t ⎧+=⎪⎨⋅=⎪⎩，又直线l 过点，故结合t 的几何意义得||||PA PB +=1212||||t t t t +=+=23.(1)原不等式等价于⎪⎩⎪⎨⎧≤-<54421x x 或⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤522321x 或⎪⎩⎪⎨⎧≤->54423x x 因此不等式的解集为]49,41[-∈x（2）由于mx f x g +=)(1)(的定义域为R ,则0)(=+m x f 在R 上无解.又2|3212||32||12|)(=+--≥-+-=x x x x x f ,即)(x f 的最小值为2,所以0<-m ,即2->m。