高考数学一轮复习讲练测(江苏版)：专题2.1 函数的概念及其表示方法(测)(含答案解析)
江苏专用2020版高考数学大一轮复习第二章函数2.1函数及其表示第1课时教案含解析
第二章 函数§2.1 函数及其表示考情考向分析 以基本初等函数为载体，考查函数的表示法、定义域；分段函数以及函数与其他知识的综合是高考热点，题型既有填空题，又有解答题，中档偏上难度．1．函数与映射2.函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，所有的输入值x 组成的集合A 叫做函数y ＝f (x )的定义域；对于A中的每一个x，都有一个输出值y与之对应．我们将所有输出值y组成的集合称为函数的值域．(2)函数的三要素：定义域、对应法则和值域．(3)函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．3．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应法则不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．概念方法微思考请你概括一下求函数定义域的类型．提示(1)分式型；(2)根式型；(3)对数式型；(4)指数函数、对数函数型；(5)三角函数型．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)对于函数f：A→B，其值域就是集合B.( ×)(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数表示同一函数．( ×)(3)函数f(x)的图象与直线x＝1最多有一个交点．( √)(4)若A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|，其对应是从A到B的映射．( ×)(5)分段函数是由两个或几个函数组成的．( ×)题组二教材改编2．[P26练习T6]函数f(x)＝4－xx－1的定义域是________．答案(－∞，1)∪(1,4]3．[P30练习T2]函数y＝f(x)的图象如图所示，那么，f(x)的定义域是________；值域是________；其中只有唯一的x值与之对应的y值的范围是________．答案[－3,0]∪[2,3][1,5] [1,2)∪(4,5]题组三易错自纠4．已知集合P ＝{x |0≤x ≤4}，Q ＝{y |0≤y ≤2}，下列各对应关系f 不能表示从P 到Q 的函数的是________．(填序号)①f ：x →y ＝12x ；②f ：x →y ＝13x ；③f ：x →y ＝23x ；④f ：x →y ＝x .答案 ③解析 对于③，因为当x ＝4时，y ＝23×4＝83∉Q ，所以③不是从P 到Q 的函数．5．已知f (x )＝x －1，则f (x )＝____________. 答案 x 2－1(x ≥0)解析 令t ＝x ，则t ≥0，x ＝t 2， 所以f (t )＝t 2－1(t ≥0)， 即f (x )＝x 2－1(x ≥0)．6．设函数f (x )＝⎩⎨⎧(x ＋1)2，x <1，4－x －1，x ≥1，则使得f (x )≥1的自变量x 的取值范围为____________．答案 (－∞，－2]∪[0,10] 解析 ∵f (x )是分段函数， ∴f (x )≥1应分段求解．当x <1时，f (x )≥1⇒(x ＋1)2≥1⇒x ≤－2或x ≥0， ∴x ≤－2或0≤x <1.当x ≥1时，f (x )≥1⇒4－x －1≥1， 即x －1≤3，∴1≤x ≤10. 综上所述，x ≤－2或0≤x ≤10， 即x ∈(－∞，－2]∪[0,10]．第1课时 函数的概念与解析式题型一 函数的概念1．已知A ＝{1,2,3，k }，B ＝{4,7，a 4，a 2＋3a }，a ∈N *，k ∈N *，x ∈A ，y ∈B ，f ：x →y ＝3x ＋1是从定义域A 到值域B 的一个函数，求a ，k 的值． 解 由对应法则知，1→4,2→7,3→10，k →3k ＋1. 由a 4≠10，故a 2＋3a ＝10，解得a ＝2或a ＝－5(舍去)， 所以a 4＝16.于是3k ＋1＝16，所以k ＝5. 2．有以下判断：①f (x )＝|x |x 与g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1，x <0表示同一函数；②f (x )＝x 2－2x ＋1与g (t )＝t 2－2t ＋1表示同一函数；③若f (x )＝|x －1|－|x |，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0.其中判断正确的序号是________． 答案 ②解析 对于①，由于函数f (x )＝|x |x的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}，而函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1，x <0的定义域是R ，所以二者不是同一函数，故①不正确；对于②，f (x )与g (t )的定义域、值域和对应法则均相同，所以f (x )和g (t )表示同一函数，故②正确；对于③，由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－1－⎪⎪⎪⎪⎪⎪12＝0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f (0)＝1，故③不正确． 综上可知，正确的判断是②.3．已知映射f ：A →B ，其中A ＝B ＝R ，对应法则f ：x →y ＝－x 2＋2x ，对于实数k ∈B ，在集合A 中不存在元素与之对应，则k 的取值范围是________． 答案 (1，＋∞)解析 由题意知，方程－x 2＋2x ＝k 无实数根，即x 2－2x ＋k ＝0无实数根． ∴Δ＝4(1－k )<0，∴k >1时满足题意．思维升华函数的值域可由定义域和对应法则唯一确定；当且仅当定义域和对应法则都相同的函数才是同一函数．值得注意的是，函数的对应法则是就结果而言的(判断两个函数的对应法则是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应法则算出的函数值是否相同)． 题型二 求函数的解析式例1 (1)设二次函数y ＝f (x )的最大值为13，且f (3)＝f (－1)＝5，求f (x )的解析式；(2)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝1－x 21＋x 2，求f (x )的解析式． 解 (1)方法一 由f (3)＝f (－1)，知抛物线y ＝f (x )的对称轴为x ＝1， 故设f (x )＝a (x －1)2＋13(a <0)，将点(3,5)的坐标代入，求得a ＝－2. 故f (x )＝－2(x －1)2＋13＝－2x 2＋4x ＋11. 方法二 由f (3)＝f (－1)＝5， 可设f (x )－5＝a (x －3)(x ＋1)(a <0)，即f (x )＝a (x 2－2x －3)＋5＝a (x －1)2－4a ＋5， 故－4a ＋5＝13，得a ＝－2，从而f (x )＝－2(x －1)2＋13＝－2x 2＋4x ＋11. (2)令1－x 1＋x ＝t ，因1－x 1＋x ＝－1＋2x ＋1≠－1，故t ≠－1，且x ＝1－t 1＋t.由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝1－x 21＋x 2， 得f (t )＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 1＋t 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 1＋t 2＝2t 1＋t 2(t ≠－1)．于是得f (x )＝2x1＋x2，其定义域是{x |x ≠－1}． 思维升华函数解析式的求法(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法；(2)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围； (3)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式．跟踪训练1(1)已知函数f (x )是二次函数，且满足f (2x ＋1)＋f (2x －1)＝16x 2－4x ＋6，则f (x )＝________. 答案 2x 2－x ＋1解析 设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则a (2x ＋1)2＋b (2x ＋1)＋c ＋a (2x －1)2＋b (2x －1)＋c ＝16x 2－4x ＋6， 可得⎩⎪⎨⎪⎧8a ＝16，4b ＝－4，2a ＋2c ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－1，c ＝1，则f (x )＝2x 2－x ＋1.(2)已知f (3x ＋1)＝2x 2－x ＋3，则f (1－x )＝________________. 答案 2x 29＋x3＋3解析 令3x ＋1＝t ，于是x ＝t －13，得f (t )＝2⎝⎛⎭⎪⎫t －132－t －13＋3＝2t 29－7t 9＋329， 所以f (x )＝2x 29－7x 9＋329，所以f (1－x )＝2(1－x )29－7(x －1)9＋329＝2x 29＋x3＋3.题型三 分段函数命题点1 求分段函数的函数值例2(1)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，a x＋b ，x ≤0，且f (0)＝2，f (－1)＝3，则f (f (－3))＝________.答案 2解析 由题意得f (0)＝a 0＋b ＝1＋b ＝2，解得b ＝1；f (－1)＝a －1＋b ＝a －1＋1＝3，解得a ＝12.故f (－3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3＋1＝9，从而f (f (－3))＝f (9)＝log 39＝2.(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，x ≥3，f (x ＋1)，x <3，则f (2＋log 32)的值为________．答案154解析 ∵2＋log 31<2＋log 32<2＋log 33，即2<2＋log 32<3，∴f (2＋log 32)＝f (2＋log 32＋1)＝f (3＋log 32)，又3<3＋log 32<4，∴f (3＋log 32)＝33log 213+⎛⎫⎪⎝⎭＝⎝ ⎛⎭⎪⎫133×3log 213⎛⎫ ⎪⎝⎭＝127×3log 21(3)－＝127×3log 23-＝127×31log 23＝127×12＝154，∴f (2＋log 32)＝154. 命题点2 分段函数与方程、不等式问题例3 已知函数f (x )＝21,0,21,1x c cx x c c x -+<<⎧⎪⎨⎪+<⎩≤满足f (c 2)＝98.(1)求常数c 的值； (2)解不等式f (x )>28＋1. 解 (1)因为0<c <1，所以c 2<c . 由f (c 2)＝98，得c 3＋1＝98，所以c ＝12.(2)由(1)得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋1，0<x <12，2－4x＋1，12≤x <1.当0<x <12时，由12x ＋1>28＋1，解得24<x <12； 当12≤x <1时，由2－4x＋1>28＋1， 解得12≤x <58.所以不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪24<x <58. 思维升华 (1)分段函数的求值问题的解题思路①求函数值：当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．②求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．(2)分段函数与方程、不等式问题的求解思路依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起来．跟踪训练2(1)已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x <1，－x －2a ，x ≥1.若f (1－a )＝f (1＋a )，则a的值为________． 答案 －34解析 当a >0时，1－a <1,1＋a >1， 由f (1－a )＝f (1＋a )，可得2(1－a )＋a ＝－(1＋a )－2a ， 解得a ＝－32，不合题意；当a <0时，1－a >1,1＋a <1， 由f (1－a )＝f (1＋a )，可得 －(1－a )－2a ＝2(1＋a )＋a ，解得a ＝－34，符合题意．综上，a ＝－34.(2)(2018·全国Ⅰ改编)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是________． 答案 (－∞，0)解析 方法一 ①当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤0，2x ≤0，即x ≤－1时，f (x ＋1)<f (2x )即为2－(x ＋1)<2－2x，即－(x ＋1)<－2x ，解得x <1.因此不等式的解集为(－∞，－1]．②当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤0，2x >0时，不等式组无解．③当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1>0，2x ≤0，即－1<x ≤0时，f (x ＋1)<f (2x )即1<2－2x，解得x <0.因此不等式的解集为(－1,0)．④当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，2x >0，即x >0时，f (x ＋1)＝1，f (2x )＝1，不合题意．综上，不等式f (x ＋1)<f (2x )的解集为(－∞，0)．方法二 ∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤0，1，x >0，∴函数f (x )的图象如图所示．由图可知，当x ＋1≤0且2x ≤0时，函数f (x )为减函数，故f (x ＋1)<f (2x )转化为x ＋1>2x . 此时x ≤－1.当2x <0且x ＋1>0时，f (2x )>1，f (x ＋1)＝1， 满足f (x ＋1)<f (2x )． 此时－1<x <0.综上，不等式f (x ＋1)<f (2x )的解集为(－∞，－1]∪(－1,0)＝(－∞，0)．1．已知集合A ＝{a ，b ，c }，B ＝{1,2}，那么可建立从A 到B 的映射个数是________，从B 到A 的映射个数是________． 答案 8 9解析 依题意，建立从A 到B 的映射，即集合A 中的每一个元素在集合B 中都能找到对应元素，从而从A 到B 的映射个数为23＝8，从B 到A 的映射个数是32＝9.2．已知一个函数的解析式为y ＝x 2，它的值域为{1,4}，这样的函数有________个． 答案 9解析 列举法：定义域可能是{1,2}、{－1,2}、{1，－2}、{－1，－2}、{1，－2,2}、{－1，－2,2}、{－1,1,2}、{－1,1，－2}、{－1,1，－2,2}． 3．(2019·江苏省扬州中学月考)已知函数f (x )＝xx 2＋1，x ∈R ，若f (a )＝14，则f (－a )＝________. 答案 －14解析 因为f (x )＝xx 2＋1，则f (－x )＝－xx 2＋1＝－f (x )，故函数为奇函数， 则f (－a )＝－f (a )＝－14.4．给出下列三个函数：①f (x )＝1－x 2；②f (x )＝log 2x ；③f (x )＝x 2＋1x 2＋x ＋2.其中以实数2为函数值的函数是________．(填序号) 答案 ②解析 逐一验证方程f (x )＝2在其定义域内是否有解． 5．已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，则f (x )＝________. 答案 x 2－1(x ≥1)解析 令x ＋1＝t ，则x ＝(t －1)2(t ≥1)，代入原式得f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1，所以f (x )＝x 2－1(x ≥1)．6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x＋1，x ≤0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14的值是________．答案109解析 因为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x＋1，x ≤0，14>0， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝log 214＝－2<0， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝f (－2)＝3－2＋1＝109.7．(2019·江苏省海安高级中学月考)已知函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎪⎫2－1x ＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1x ＝3x ，则f (－2)＝________. 答案 －34解析 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1x ＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1x ＝3x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1x ＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1x ＝－3x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1x ＝－3x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1x ＝3x ，令2＋1x ＝－2，可得x ＝－14，则f (－2)＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝－34. 8．已知f (x )是二次函数且f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝x －1，则f (x )＝________.答案 12x 2－32x ＋2 解析 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝2，得c ＝2， f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋2－ax 2－bx －2＝x －1，即2ax ＋a ＋b ＝x －1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝1，a ＋b ＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝12，b ＝－32.∴f (x )＝12x 2－32x ＋2. 9．设f (x )＝⎩⎨⎧ x ，0<x <1，2(x －1)，x ≥1，若f (a )＝f (a ＋1)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝________. 答案 6 解析 由当x ≥1时f (x )＝2(x －1)是增函数可知，若a ≥1，则f (a )≠f (a ＋1)，所以0<a <1，由f (a )＝f (a ＋1)得a ＝2(a ＋1－1)，解得a ＝14，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝f (4)＝2(4－1)＝6. 10．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ，则f (x )＝________. 答案 x 2－x ＋1(x ≠1) 解析 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2－x ＋1x ＋1， 令x ＋1x＝t (t ≠1)，则f (t )＝t 2－t ＋1， 即f (x )＝x 2－x ＋1(x ≠1)．11．已知f (x )＝6x ＋14x －2，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12011＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22011＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫20112011的值． 解 因为f (x )＝6x ＋14x －2， 则f (1－x )＝6－6x ＋14－4x －2＝7－6x 2－4x ，f (x )＋f (1－x )＝6x ＋14x －2＋7－6x 2－4x ＝12x －64x －2＝3， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12011＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22011＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫20112011＝3×1005＋72＝60372. 12.行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y (m)与汽车的车速x (km/h)满足下列关系：y ＝x 2200＋mx ＋n (m ，n 是常数)．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y (m)与汽车的车速x (km/h)的关系图．(1)求y 关于x 的函数表达式；(2)如果要求刹车距离不超过25.2m ，求行驶的最大速度．解 (1)由题意及函数图象，得⎩⎪⎨⎪⎧ 402200＋40m ＋n ＝8.4，602200＋60m ＋n ＝18.6，解得m ＝1100，n ＝0，所以y ＝x 2200＋x 100(x ≥0)． (2)令x 2200＋x 100≤25.2，得－72≤x ≤70. 因为x ≥0，所以0≤x ≤70.故行驶的最大速度是70km/h.13．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋2x ，x <0，－x 2，x ≥0，若f (f (a ))≤3，则实数a 的取值范围是________．答案 (－∞， 3 ]解析 令f (a )＝t ，则f (t )≤3等价于⎩⎪⎨⎪⎧ t <0，t 2＋2t ≤3或⎩⎪⎨⎪⎧ t ≥0，－t 2≤3，解得t ≥－3，则f (a )≥－3等价于⎩⎪⎨⎪⎧ a <0，a 2＋2a ≥－3或⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥0，－a 2≥－3，解得a ≤3，则实数a 的取值范围是(－∞， 3 ]．14．已知函数f (x )满足对任意的x ∈R 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ＝2成立，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫28＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫78＝________. 答案 7解析 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ＝2，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫78＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫28＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫68＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫38＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫58＝2，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫48＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫48＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫48＝12×2＝1， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫28＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫78＝2×3＋1＝7.15．已知具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称f (x )为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①f (x )＝x －1x ； ②f (x )＝2x； ③f (x )＝log 2x ； ④f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是____________．(填序号)答案 ①③④解析 对于①，f (x )＝x －1x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x －x ＝－f (x )，满足；对于②，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝12x ≠－2x ，不满足；对于③，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝log 21x＝－log 2x ＝－f (x )，满足； 对于④，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1x ，0<1x <1，0，1x ＝1，－x ，1x >1，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1x ，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )，满足． 综上，满足“倒负”变换的函数是①③④.16.如图，动点P 从矩形ABCD 的顶点A 开始，顺次经B ，C ，D 绕边界一周，已知AB ＝2，AD ＝1，设x 表示点P 的行程，y ＝PA ，求y 关于x 的解析式．解 当P 在AB 上运动时，y ＝x (0≤x ≤2)；当P 在线段BC 上运动时，y ＝4＋(x －2)2(2<x ≤3)； 当P 在线段CD 上运动时，y ＝1＋(5－x )2(3<x ≤5)； 当P 在线段DA 上运动时，y ＝6－x (5<x ≤6)，∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，0≤x ≤2，4＋(x －2)2，2<x ≤3，1＋(5－x )2，3<x ≤5，6－x ，5<x ≤6.。
2019年高考数学一轮复习讲练测(江苏版)：专题2.1 函数的概念及其表示方法(测)(解析版)
班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________(满分100分，测试时间50分钟)一、填空题：请把答案直接填写在答题卡相应的位置．．．．．．．．上(共10题，每小题6分，共计60分)．1. 设f (x )＝⎩⎨⎧1－x ，x ≥0，2x ，x ＜0，则f (f (－2))等于________.【答案】12【解析】∵f (－2)＝2－2＝14＞0，则f (f (－2))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1－14＝1－12＝12.2. 下列集合A 到集合B 的对应f 中：①A ＝{－1，0，1}，B ＝{－1，0，1}，f ：A 中的数平方； ②A ＝{0，1}，B ＝{－1，0，1}，f ：A 中的数开方； ③A ＝Z ，B ＝Q ，f ：A 中的数取倒数；④A ＝R ，B ＝{正实数}，f ：A 中的数取绝对值， 是从集合A 到集合B 的函数的为________(填序号). 【答案】①3.某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝ [x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为________(填序号).①y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 10；②y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋310；③y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋410；④y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋510. 【答案】②【解析】设x ＝10m ＋α(0≤α≤9，m ，α∈N )，当0≤α≤6时，⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋310＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m ＋α＋310＝m ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 10，当6<α≤9时，⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋310＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m ＋α＋310＝m ＋1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 10＋1.4. 【2019江西赣州市六校联考】若f(x)对于任意实数x 恒有2f(x)-f(-x)=3x+1,则f(x)= 【答案】x+1【解析】由题意知2f(x)-f(-x)=3x+1.① 将①中x 换为-x,则有2f(-x)-f(x)=-3x+1.② ①×2+②得3f(x)=3x+3,即f(x)=x+1..5. 设f (x )＝lg 2＋x 2－x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 的定义域为________. 【答案】(－4，－1)∪(1，4)【解析】∵2＋x 2－x ＞0，∴－2＜x ＜2，∴－2＜x 2＜2且－2＜2x ＜2，解得－4＜x ＜－1或1＜x ＜4，定义域为(－4，－1)∪(1，4).6. 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧31－x，x ≤1，1－log 3x ，x ＞1，则满足f (x )≤3的x 的取值范围是________.【答案】[0，＋∞)7. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤1，x ＋6x－6，x ＞1，则f (f (－2))＝________，f (x )的最小值是________.【答案】－12，26－6【解析】因为f (－2)＝4，所以f [f (－2)]＝f (4)＝－12.当x ≤1时，f (x )min ＝f (0)＝0；当x＞1时，f (x )＝x ＋6x－6≥26－6，当且仅当x ＝6时“＝”成立，又26－6＜0，所以f (x )的最小值为26－6.8.若函数y=f(x)的定义域是[0,2],则函数g(x)=的定义域是 ．【答案】[0,1)． 【解析】要使函数g(x) =有意义,需满足即0≤x<1．9.若一系列函数的解析式相同,值域相同,但定义域不同,则称这些函数为“同族函数”,则函数解析式为y=x 2+1,值域为{1,3}的同族函数有 个.【答案】3【解析】由x 2+1=1得x=0,由x 2+1=3得x=±,所以函数的定义域可以是{0,},{0,-},{0,,-},故值域为{1,3}的同族函数共有3个.10.具有性质：f =-f(x)的函数,我们称为满足“倒负”交换的函数,下列函数：①f(x)=x-;②f(x)=x+;③f(x)=满足 “倒负”交换的函数是（填上所有满足题意的代号）． 【答案】①③．二、解答题：解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区．．．域内．．。
高考数学(江苏版)一轮配套课件：§2.1 函数的概念
.
解析 因为函数f(x2-2x-3)的定义域为(0,2),所以f(x2-2x-3)中的自变量x的 取值范围是(0,2),令t=x2-2x-3,因为t=(x-1)2-4,x∈(0,2),所以t∈(-4,-3),从而f (t)的定义域为(-4,-3),即函数f(x)的定义域为(-4,-3). 答案 (-4,-3)
7 2
1 2
=f(3)=f
5 2
=f1
2
5 2
1 2
=f(2)=f
3 2
=f1
2
3 2
1 2
=f(1).
∵-1≤x≤1时,f(-x)=-f(x),
∴f(1)=f[-(-1)]=-f(-1), ∵x<0时,f(x)=x3-1,∴f(-1)=(-1)3-1=-2, ∴f(1)=2,从而f(6)=2. 答案 2
高考数学
第二章 函 数
§2.1 函数的概念
知识清单
一、函数与映射的相关概念 1.函数与映射的概念
函数
映射
两集合 设A、B是两个非空① 数集 A、B
设A、B是两个非空② 集合
如果按照某种确定的对应关系f,使对 如果按照某一个确定的对应关系f,使对
对应关 于集合A中的③ 任意 一个数
于集合A中的⑥ 任意 一个元素x,在
•
例2 求下列函数的定义域:
(1)f(x)= | x; 2 | 1
log 2 ( x 1)
(2)f(x)= l.n(x 1)
x2 3x 4
| x 2 | 1 0,
解析
(1)要使函数f(x)有意义,则
x
1解 得0 , x≥3,因此函数f(x)的
lo g 2 ( x 1) 0 ,
定义域为[3,+∞).
江苏专版高考数学一轮复习第二章函数2.1函数的概念讲义
画师时圳和式站构閒唏・件喷明踊一鳥知 兀对为奇歯数，.通过求导和堆本不静式嚇定 贰開性，为将已州不警述转化为一元—-It 车雪戌捉供了慄障.("0命題舰遂｝ -------------------囱曲軀对肃数的考叠丛*方位帕，它的难 度可以控制在齐种档抚一本題肚点芾杏r 函 數的奇偶性、单调性，同吋爭査r 导致、 垒木不穿式、一元二衣不等式弊问讥点. 综合炜强.厂❺解答过程｝1]-叮一 答案：L 日解析：易知函数f(x)的定义域为R,关于原点对称J__3x 口上3-x a'■' f(x)=x -2x+e, ••• f( -x)=(-x ) -2(-x)+e -_ 2 x “ 2 2又 f '(x)=3x -2+e + > 3x -2+2=3x > 0(当且仅当x=0 时，取“=”),所以f(x)在R 上单调递增， 所以 f(a-1)+f(2a ) <0 ? f(a- a 》a -1,解得-1< a < .=-X 3+2X +，-e x =-f(x), • f(x)为奇函数，考纲解读§ 2.1 函数的概念命题探究■^US?gj -----------------------------转化专化归思思一単核心考点〕=函JkWM 性.单沛性、挛导公式、 菇本术令朮、一元二出不爭止的解法一21) < f( -2a ) ?-(20C 江苏，11. 5分)已恸函坳刃其中 亡是自然对數的屁数.苟8- J)+ 川血库0,慟英數。
的堰值范刖 是,厂❸预备知溟〕 ------------1. M 的商愷性、削假性.2,求导益式.基集本不零式一4.斛一元—秋不等式的片眩一梓)思路分析)很晞珂的解析成胃斯嗣的奇個性和单卿件一 井制用这些性质将已知不等式转化为一元一 抚不紳式"从而求琳，内容解读五年咼考统计常考题型 预测热度考点要求2013201420152016 20171.函数的基本概 1. 求定义域或值域 B 5题 填空题念2. 函数关系判断 5分 2.函数的表一示方 1. 求函数值 B11题 填空题法2. 求函数解析式 5分解答题1. 求函数值填空题 3.分段函数2. 求参数. B★★★3. 解不等式解答题分析解读 函数的概念是学习函数的基础，重点考查函数定义域和值域的求法题•五年高考考点一函数的基本概念1. (2017山东理改编,1,5分)设函数y= 的定义域为A,函数y=ln(1-x)的定义域为B,则 A A B= ______ . 答案［-2,1)2. (2016 江苏,5,5 分)函数y= 的定义域是 ________ .答案［-3,1］3. (2016课标全国H 改编,10,5分)函数y=10lg x 的定义域和值域分别是 _____________ , _______ . 答案(0,+ g )；(0,+ 8)24. (2014江西改编,2,5分)函数f(x)=ln(x -x)的定义域为 ________________________ . 答案(-g ,0) U (1,+ g)］5. (2014山东改编,3,5分)函数f(x)= ：的定义域为 _________________ .6.(2013陕西理改编,1,5分)设全集为R,函数f(x)= •• 的定义域为M,则？R M 为答案(-g,-1) U (1,+ g) 考点二函数的表示方法1. (2016江苏,11,5分)设f(x)是定义在R 上且周期为2的函数，在区间［-1,1)上,f(x)=答案-'般和常见的初等函数综合命答案U (2,+ g)中a € R.若f=f ,则f(5a)的值是F 2jx i — 3. x l r llfftx 2 +1). x < 1.2.(2015 浙江,10,6 分)已知函数 f(x)= 贝U f(f(-3))=是.答案 0；2 -3答案b +鬥4. ________________________________________________________________________________ (2014 江西改编,3,5 分)已知函数 f(x)=5 |x| ,g(x)=ax 2-x(a € R).若 f[g(1)]=1, 贝U a= ___________________ 答案 1 考点三分段函数r JB 心1. (2017课标全国川文,16,5分)设函数f(x)=则满足f(x)+f >1的x 的取值范围(^.0 < x < 1.2.(2017 山东文改编,9,5 分)设 f(x)=' 若 f(a)=f(a+1).答案 6J + log 2(2 - x)F x < 1, 2工 ”M 13. (2015 课标 H 改编,5,5 分)设函数 f(x)= 贝U f(-2)+f(log 212)= ________ .答案 94. (2014四川,12,5分)设f(x)是定义在R 上的周期为2的函数，当x €[-1,1)时，J - 4宀密-1 x < 0,I.° 咗 k < i+ 戸「 b)f(x)=则 f = _______ .答案 1教师用书专用(5)2+ x B x < 0. (-Z,x 0.5. (2014浙江,15,5分)设函数f(x)= 若f(f(a))< 2,则实数a 的取值范围是 ___________答案 (-8,]三年模拟 _______ ,f(x)的最小值3.(2015山东改编,10,5分)设函数f(x)=x < 1,'1则满足 f(f(a))=2f(a)的a 的取值范围是答案1—+ CQ41A组2016—2018年模拟•基础题组考点一函数的基本概念1. (2017江苏徐州沛县中学第一次质检___________________ ，4)函数y=lg(3x+1)+ -'的定义域是Jxx > - -h I Lx 2I 答案I 31r3x. - 12. ___________________________________________________ (2017江苏泰州二中期初，6)函数y的值域为答案{y € R|y丰3}3. (苏教必1,二,3,8,变式)函数f(x)= + 的定义域为________ .答案(-3,0]4. (2017江苏扬州、泰州、南通、淮安、宿迁、徐州六市联考，8)函数f(x)=：的定义域是答案[-2,2]5. (2017江苏前黄高级中学上学期第二次学情调研，1)函数#：_ ■ 八三的定义域为A,值域为B,则A U B= _______ .答案[-4,3]考点二函数的表示方法6. (2018江苏淮安、宿迁高三期中)已知函数f(x)与g(x)的图象关于原点对称，且它们的图象拼成如图所示的“Z”形折线段ABOCD不含A(0,1),B(1,1),0(0,0),C(-1,-1),D(0,-1) 五个点.则满足题意的f(x)的一个解析式为_________ .为________ .答案-I I 一也上W Q.10. (2018江苏无锡高三期中)若函数f(x)= 则f(5)=答案2(0；艸或/3答案f(x)=Li e (一i h0)\出工匚(0, 1))7.(苏教必1,二,11,变式)已知函数f(x)的定义域为(0,+ a),且f(x)=2f ■- -1,贝U f(x)=答案+•8.(苏教必1,二,11,变式)已知函数f(x)满足f =log ,则f(x)的解析式是答案f(x)=-log 2X考点三分段函数9.(2018江苏天一中学调研)f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时,f(x)=3^,0 < x < 1,3| 十l t x9 1±的值/ - jf + 8,Jf 2.11. (2018江苏常熟期中)若函数f(x)二’(a>0,且1)的值域为[6,+ ),贝U实数a的取值范围是________ .答案(1,2]JlOgg (X + I) |, - I < X7T1 tan—x n0 < x < 1TI 212. (2016江苏扬州中学期初质检，6)设函数f(x)=答案1B组2016—2018年模拟•提升题组(满分：20分时间:10分钟)填空题(每小题5分,共20分)1. (2018江苏金陵中学月考)已知函数沪的图象与函数y=kx的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是________ .答案0<k<1 或1<k<2斗2. (苏教必1,二,1,13,变式)已知函数f(x)= --1的定义域是[a,B](a, B€ Z),值域是[0,1],则满足条件的整数数对(a,B)共有__________ 个.答案 53. (2016江苏南通海安期末,14)在平面直角坐标系xOy中，将函数y= (x € [0,2])的图象绕坐标原点O按逆时针方向旋转角0 ,若？[0, a ],旋转后所得曲线都是某个函数的图象，则a的最大值是________ .TT答案X + 14. 函数f(x)=亦’•叨* 1的值域为 __________ .晶1T答案CJC组2016—2018年模拟•方法题组方法1求函数的定义域ax + 121. 若函数y= 的定义域为R,则实数a的取值范围是___________ .答案[0,3)方法2求函数解析式的常用方法2. 设f(x)是R上的函数，且满足f(0)=1,并且对任意实数x,y,有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1), 求f(x)的表达式. 解析解法一：令x=y,则由f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1),得f(0)=f(x)-x(2x-x+1).•/f(0)=1, ••• f(x) -x(2x-x+1)=1,即f(x)=x +x+1.解法二:令x=0,得f(0-y)=f(0)-y(-y+1),即f(-y)=1-y(-y+1).再令-y=x,代入上式，得f(x)=1-(-x)(x+1)=1+x(x+1).则f(x)=x 2+x+1.方法3分段函数的相关问题(1 +出工E3. 已知f(x)= ' I其中i是虚数单位，则f(f(1-i))= 答案3。
高考数学一轮复习总教案：2.1函数的概念及表示法
第二章 函 数高考导航 考试要求重难点击 命题展望1.了解构成函数的三要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.2.在实际生活中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单运用.4.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.5.会运用函数的图象理解和研究函数的性质.6.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.7.理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数通过的特殊点.8.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.9.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数通过的特殊点.10.了解指数函数y ＝ax 与对数函数y ＝logax (a ＞0且a≠1)互为反函数.11.了解幂函数的概念，结合函数y ＝x ， y ＝x2， y ＝x3 ,y ＝x 1， y ＝21x 的图象，了解它们的变化情况.12.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程的根的联系，判断一元二次方程根的存在性和根的个数.13.根据具体函数图象，能够用二分法求相应方程的近似解. 14.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征；知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义. 15.了解指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型的广泛应用. 本章重点：1.函数的概念及其三要素； 2.函数的单调性、奇偶性及其几何意义；3.函数的最大(小)值；4.指数函数与对数函数的概念和性质；5.函数的图象及其变换；6.函数的零点与方程的根之间的关系；7.函数模型的建立及其应用. 本章难点：1.函数概念的理解；2.函数单调性的判断；3.函数图象的变换及其应用；4.指数函数与对数函数概念的理解及其性质运用；5.研究二次函数的零点与一元二次方程的根的关系；6.函数模型的建立及求解.高考对函数的考查，常以选择题和填空题来考查函数的概念和一些基本初等函数的图象和性质，解答题则往往不是简单地考查概念、公式和法则的应用，而是常与导数、不等式、数列、三角函数、解析几何等知识及实际问题结合起来进行综合考查，并渗透数学思想方法，突出考查函数与方程、数形结合、分类与整合、化归与转化等数学思想方法.知识网络2.1函数的概念及表示法典例精析题型一 求函数的解析式【例1】 (1)已知f(x ＋1)＝x2＋x ＋1，求f(x)的表达式； (2)已知f(x)＋2f(－x)＝3x2＋5x ＋3，求f(x)的表达式. 【解析】(1)设x ＋1＝t ，则x ＝t －1，代入得f(x)＝(t －1)2＋(t －1)＋1＝t2－t ＋1，所以f(x)＝x2－x ＋1. (2)由f(x)＋2f(－x)＝3x2＋5x ＋3，x 换成－x ，得f(－x)＋2 f(x)＝3x2－5x ＋3，解得f(x)＝x2－5x ＋1.【点拨】已知f(x)，g(x)，求复合函数f[g(x)]的解析式，直接把f(x)中的x 换成g(x)即可，已知f[g(x)]，求f(x)的解析式，常常是设g(x)＝t ，或者在f[g(x)]中凑出g(x)，再把g(x)换成x.【变式训练1】已知f(x x+-11)＝2211x x +-，求f(x)的解析式.【解析】设x x +-11＝t ，则x ＝t t +-11，所以f(t)＝22)11(1)11(1t t t t +-++--＝212t t +， 所以f(x)＝212x x+(x≠－1).题型二 求函数的定义域【例2】(1)求函数y ＝229)2lg(x x x --的定义域；(2)已知f(x)的定义域为[－2,4]，求f(x2－3x)的定义域. 【解析】(1)要使函数有意义，则只需要⎩⎨⎧>->-,09,0222x x x 即⎩⎨⎧<<-<>,33,02x x x 或解得－3＜x ＜0或2＜x ＜3，故所求的定义域为(－3,0)∪(2,3). (2)依题意，只需－2≤x2－3x≤4，解得－1≤x≤1或2≤x≤4，故f(x2－3x)的定义域为[－1,1]∪[2,4]. 【点拨】有解析式的函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围，往往列不等式组求解.对于抽象函数f[g(x)]的定义域要把g(x)当作f(x)中的x 来对待. 【变式训练2】已知函数f(2x)的定义域为[－1,1]，求f(log2x)的定义域.【解析】因为y ＝f(2x)的定义域为[－1,1]，即－1≤x≤1时2－1≤2x≤21，所以y ＝f(x)的定义域为[12，2].令12≤log2x≤2，所以2≤x≤22＝4，故所求y ＝f(log2x)的定义域为[2，4].题型三 由实际问题给出的函数【例3】 用长为l 的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架(如图)，若矩形底部长为2x ，求此框围成的面积y 与x 的函数关系式，并指出其定义域.【解析】由题意知，此框架围成的面积是由一个矩形和一个半圆组成的图形的面积，而矩形的长AB ＝2x ，设宽为a ，则有2x ＋2a ＋πx ＝l ，即a ＝2l －2πx －x ，半圆的半径为x ， 所以y ＝22πx ＋(2l －π2x －x)·2x ＝－(2＋π2)x2＋lx.由实际意义知2l －π2x －x ＞0，因x ＞0，解得0＜x ＜π+2l.即函数y ＝－(2＋π2)x2＋lx 的定义域是{x|0＜x ＜π+2l}.【点拨】求由实际问题确定的定义域时，除考虑函数的解析式有意义外，还要考虑使实际问题有意义.如本题使函数解析式有意义的x 的取值范围是x ∈R ，但实际问题的意义是矩形的边长为正数，而边长是用变量x 表示的，这就是实际问题对变量的制约.【变式训练3】一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”形图案，如图所示，设小矩形的长、宽分别为x 、y ，剪去部分的面积为20，若2≤x≤10，记y ＝f(x)，则y ＝f(x)的图象是( ) 【解析】由题意得y ＝10x(2≤x≤10)，选A. 题型四 分段函数【例4】 已知函数f(x)＝⎩⎨⎧≥+<+).0(1),0(32x x x x(1)求f(1)＋f(－1)的值； (2)若f(a)＝1，求a 的值；(3)若f(x)＞2，求x 的取值范围.【解析】(1)由题意，得f(1)＝2，f(－1)＝2，所以f(1)＋f(－1)＝4. (2)当a ＜0时，f(a)＝a ＋3＝1，解得a ＝－2；当a≥0时，f(a)＝a2＋1＝1，解得a ＝0.所以a ＝－2或a ＝0. (3)当x ＜0时，f(x)＝x ＋3＞2，解得－1＜x ＜0； 当x≥0时，f(x)＝x2＋1＞2，解得x ＞1. 所以x 的取值范围是－1＜x ＜0或x ＞1.【点拨】分段函数中，x 在不同的范围内取值时，其对应的函数关系式不同.因此，分段函数往往需要分段处理.【变式训练4】已知函数f(x)＝⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤<.10,621,100|,lg |x x x x 若a ，b ，c 互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则abc 的取值范围是( )A.(1,10)B.(5,6)C.(10,12)D.(20,24)【解析】不妨设a ＜b ＜c ，由f(a)＝f(b)＝f(c)及f(x)图象知110＜a ＜1＜b ＜10＜c ＜12，所以－lg a ＝lg b ＝－12c ＋6，所以ab ＝1，所以abc 的范围为(10,12)，故选C.总结提高1.在函数三要素中，定义域是灵魂，对应法则是核心，因为值域由定义域和对应法则确定，所以两个函数当且仅当定义域与对应法则均相同时才表示同一个函数，而值域相同是两函数为同一函数的必要非充分条件.2.若一个函数在其定义域不同的子集上，解析式不同，则可用分段函数的形式表示.3.函数的三种表示法各有利弊，一般情况下，研究函数要求出函数的解析式，通过解析式来解题.求函数解析式的方法有：配方法、观察法、换元法和待定系数法等.。
高考数学总复习专题函数的概念以及表示试题含解析
专题2.1 函数的概念及其表示【三年高考】1.12016江苏高考6】函数丫=43- 2x- x2的定义域是▲.【答案】3,1【解析】试题分析：要使函数式有意义，必有3 2x x2 0,即x2 2x 3 0,解得3 x 1.故答案应填：3,1【考点】函数定义域【名师点睛】函数定义域的考查，一般是多知识点综合考查，先“列”后“解”是常规思路.列式主要从分母不为零、偶次根式下被开方数非负、对数中真数大于零等出发，而解则与一元二次不等式、指（对）数不等式、三角不等式等联系在一起^2.12016江苏高考17】现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥P A1B1C1D1,下部分的形状是正四棱柱ABCD AB1G D1 （如图所示），并要求正四棱柱的高OO1是正四棱锥的高PO1的4倍.（1）若AB 6 m, PO1 2 m,则仓库的容积是多少？（2）若正四棱锥的侧棱长为6m ,则当PO1为多少时，仓库的容积最大？A B【答案】（1） 312 （2） PO1 273【解析】试题分析：（1）明确柱体与锥体积公式的区别，分别代入对应公式求解；（2）先根据体积关系建立函数解析式，VV 锥V 柱 ±6 36h h 30 h 6,然后利用导数求其最值.3试题解析：解：（1）由尸5=2知 因为月1产以8=&>所以正四棱锥尸一话1C 山1的体积/= ； ,，声:，尸&二g 乂 6, x 2 = 24（n?）;正四棱柱 ABCD-AiBiCiDi 的体积 %=加，001 =62xB = 2£S （m ） 所以仓库的各积片厂计歹广24+282=312 （m 曾.从而 V′2636 3h 226 12 h 2.3令V' 0,得h 26或h2褥（舍）.当0 h 2d 3时，V' 0 , V 是单调增函数； 当2百 h 6时，V' 0, V 是单调减函数. 故h 28时，V 取得极大值，也是最大值. 因此，当PO 1 2J 3 m 时，仓库的容积最大.【考点】函数的概念、导数的应用、棱柱和棱锥的体积 【名师点睛】对应用题的训练，一般从读题、审题、剖•析题目、寻找切入点等方面进行强化，注重培养将文字语言转化为数学语言的能力，强化构建数学模型的几种方法.而江苏高考的应用题往往需结合导数知识解决相应的最值问题，因此掌握利用导数求最值方法是一项基本要 求，需熟练掌握.(2)设 AB=a(m) , PO=h(m),则 0Vh<6,因为在 Rt^ PO 1B 1 中，OB2PO 12一 2即 a 2 36于是仓库的容积V V 柱一 2・V 锥 a 4h OO=4h.连ZO OB.PBi ；h 2 .-a 2 h —a 2h — 36h h 3 0 h 6 , 3 3 3则a 的值为。
江苏专版高考数学一轮复习第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ第一节函数及其表示学案理含解析050649.doc
第一节 函数及其表示1．函数的概念 (1)定义：设A ，B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有唯一的元素y 和它对应，那么这样的对应叫做从A 到B 的一个函数，记为y ＝f (x )，x ∈A .(2)函数的定义域、值域：在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域．显然，值域是集合B 的子集．(3)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(4)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．(5)函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法． 2．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．[小题体验]1．(2019·无锡一中期中测试)函数f (x )＝ln(x 2－x )的定义域为________． 解析：由题意知，x 2－x ＞0，即x ＜0或x ＞1. 则函数的定义域为(－∞，0)∪(1，＋∞)． 答案：(－∞，0)∪(1，＋∞)2．已知f (x )＝x －1，则f (2)＝________. 解析：令x ＝2，则x ＝4，所以f (2)＝3. 答案：33．(2019·海头高级中学高三期中)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2＋log 3x ，x ＞0，3－log 2－x ，x ＜0，则f (3)＋f (－2)＝________.答案：54．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x，x ≤1，－x ，x ＞1.若f (x )＝2，则x ＝________.解析：依题意得当x ≤1时，3x＝2，所以x ＝log 32； 当x ＞1时，－x ＝2，x ＝－2(舍去)．故x ＝log 32. 答案：log 321．求函数的解析式时要充分根据题目的类型选取相应的方法，同时要注意函数的定义域．2．分段函数无论分成几段，都是一个函数，不要误解为是“由几个函数组成”．求分段函数的函数值，如果自变量的范围不确定，要分类讨论．[小题纠偏]1．(2019·常州一中检测)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－2，x ≤1，log 2x －，x ＞1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝________.解析：因为52＞1，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝log 232， 又因为log 232＜1，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝223log 2－2＝－12.答案：－122．(2018·苏州中学测试)已知f (x )的定义域为{x |x ≠0}，满足3f (x )＋5f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x＋1，则函数f (x )的解析式为________．解析：用1x代替3f (x )＋5f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x＋1中的x ，得3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＋5f (x )＝3x ＋1， 所以⎩⎪⎨⎪⎧3f x ＋5f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ＋1， ①3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋5f x ＝3x ＋1， ②②×5－①×3得f (x )＝1516x －916x ＋18(x ≠0)．答案：f (x )＝1516x －916x ＋18(x ≠0)考点一 函数的定义域基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．(2018·常州期末)函数y ＝1－x ＋lg(x ＋2)的定义域为________．解析：由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥0，x ＋2＞0，解得－2＜x ≤1，故所求函数的定义域为(－2,1]．答案：(－2,1]2．(2018·南通中学高三测试)函数y ＝1－x22x 2－3x －2的定义域为________________．解析：由函数y ＝1－x22x 2－3x －2得⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2≥0，2x 2－3x －2≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1，x ≠2且x ≠－12，即－1≤x ≤1且x ≠－12，所以所求函数的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，13．若函数y ＝f (x )的定义域是[1,2 019]，则函数g (x )＝f x ＋x －1的定义域是________．解析：令t ＝x ＋1，由已知函数的定义域为[1,2 019]，可知1≤t ≤2 019.要使函数f (x ＋1)有意义，则有1≤x ＋1≤2 019，解得0≤x ≤2 018，故函数f (x ＋1)的定义域为[0，2018]．所以使函数g (x )有意义的条件是⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2 018，x －1≠0，解得0≤x ＜1或1＜x ≤2 018.故函数g (x )的定义域为[0,1)∪(1，2 018]．答案：[0,1)∪(1,2 018]4．(2018·南京师范大学附中模拟)函数f (x )＝log 12x －的定义域是________．解析：由题意得log 12(2x －3)≥0⇒0＜2x －3≤1⇒32＜x ≤2，即函数f (x )的定义域是⎝ ⎛⎦⎥⎤32，2. 答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤32，2[谨记通法]函数定义域的求解策略(1)已知函数解析式：构造使解析式有意义的不等式(组)求解． (2)实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解． (3)抽象函数：①若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，其复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出；②若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域．考点二 求函数的解析式重点保分型考点——师生共研[典例引领](1)已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )；(2)已知f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x2，求f (x )的解析式；(3)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x＋1＝lg x ，求f (x )的解析式；(4)已知函数f (x )满足f (－x )＋2f (x )＝2x，求f (x )的解析式；(5)已知f (0)＝1，对任意的实数x ，y 都有f (x －y )＝f (x )－y (2x －y ＋1)，求f (x )的解析式．解：(1)(待定系数法)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝0，知c ＝0，f (x )＝ax 2＋bx ， 又由f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，得a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1， 即ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得a ＝b ＝12.所以f (x )＝12x 2＋12x ，x ∈R.(2)(配凑法)由于f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2－2，所以f (x )＝x 2－2，x ≥2或x ≤－2，故f (x )的解析式是f (x )＝x 2－2，x ≥2或x ≤－2.(3)(换元法)令2x ＋1＝t 得x ＝2t －1，代入得f (t )＝lg 2t －1，又x ＞0，所以t ＞1，故f (x )的解析式是f (x )＝lg2x －1，x ＞1. (4)(解方程组法)由f (－x )＋2f (x )＝2x，① 得f (x )＋2f (－x )＝2－x，② ①×2－②，得，3f (x )＝2x ＋1－2－x.即f (x )＝2x ＋1－2－x3. 所以f (x )的解析式是f (x )＝2x ＋1－2－x3. (5)(赋值法)令x ＝0，得f (－y )＝f (0)－y (－y ＋1)＝1＋y 2－y ， 所以f (y )＝y 2＋y ＋1，即f (x )＝x 2＋x ＋1.[由题悟法]求函数解析式的5种方法1．(2019·如皋测试)已知f (x )是一次函数，且f (f (x ))＝x ＋2，则f (x )＝________. 解析：设f (x )＝kx ＋b ，由f (f (x ))＝x ＋2，可得k (kx ＋b )＋b ＝x ＋2，即k 2x ＋kb ＋b ＝x ＋2， 所以k 2＝1，kb ＋b ＝2，解得k ＝1，b ＝1，即f (x )＝x ＋1. 答案：x ＋12．已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )的解析式．解：法一：(换元法)设t ＝x ＋1，则x ＝(t －1)2，t ≥1，代入原式有f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－2t ＋1＋2t －2＝t 2－1.故f (x )＝x 2－1，x ≥1.法二：(配凑法)因为x ＋2x ＝(x )2＋2x ＋1－1＝(x ＋1)2－1， 所以f (x ＋1)＝(x ＋1)2－1，x ＋1≥1，即f (x )＝x 2－1，x ≥1. 考点三 分段函数 题点多变型考点——多角探明[锁定考向]分段函数作为考查函数知识的最佳载体，一直是高考命题的热点，解题过程中常渗透着分类讨论的数学思想，高考对分段函数的常见的命题角度有：(1)分段函数的求值问题； (2)求参数或自变量的值与范围； (3)分段函数与不等式问题．[题点全练]角度一：分段函数的求值问题1．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|log 3x ＋，－1＜x ≤0，tan π2x ，0＜x ＜1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝⎛⎭⎪⎫33－1＝________. 解析：因为－1＜33－1≤0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫33－1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪log 333＝12， 则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝⎛⎭⎪⎫33－1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝tan π4＝1.答案：1角度二：求参数或自变量的值与范围2．已知f (x )＝⎩⎨⎧x 12，x ∈[0，＋，|sin x |，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，若f (a )＝12，则a ＝________.解析：若a ≥0，由f (a )＝12得，a 12＝12，解得a ＝14；若a ＜0，则|sin a |＝12，a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0， 解得a ＝－π6.综上可知，a ＝14或－π6.答案：14或－π6角度三：分段函数与不等式问题3．(2018·如东期末)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2e x，x ≥0，x2ex ，x ＜0，则使得f (2x ＋1)＞f (x －1)成立的x 的取值范围是________．解析：当x ＞0时，f (－x )＝x 2e x＝f (x )，且为增函数，同理当x ＜0时，f (－x )＝x 2ex ＝f (x )，且为减函数，所以f (x )关于y 轴对称，且左减右增．要使f (2x ＋1)＞f (x －1)，则需|2x ＋1|＞|x －1|，两边平方化简得x 2＋2x ＞0，解得x ＜－2或x ＞0，故所求x 的取值范围是(－∞， －2)∪(0，＋∞)．答案：(－∞，－2)∪(0，＋∞)[通法在握]1．分段函数的求值问题的解题思路(1)求函数值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．2．分段函数与不等式问题的求解思路依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起来．[演练冲关]1．(2019·姜堰中学测试)已知函数f (x )的定义域为实数集R ，∀x ∈R ，f (x －90)＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ＞0，－x ，x ≤0，则f (10)－f (－100)的值为________．解析：因为f (10)＝f (100－90)＝lg 100＝2，f (－100)＝f (－10－90)＝－(－10)＝10， 所以f (10)－f (－100)＝2－10＝－8. 答案：－82．(2018·无锡高三第一学期期末)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －1x 2，x ≤－12，log 121＋x 2，x ＞－12，g (x )＝－x 2－2x －2.若存在a ∈R ，使得f (a )＋g (b )＝0，则实数b 的取值范围是________．解析：当x ≤－12时，f (x )＝1＋2x －1x2＜1，此时f (x )＝1＋2x －1x 2＝1＋2x －1x 2在⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12上单调递减，易求得f (x )∈[－7,1)；当x ＞－12时，f (x )＝log 121＋x2，此时f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞上单调递减，易求得f (x )∈(－∞，2)， ∴f (x )的值域为(－∞，2)．故存在a ∈R ，使得f (a )＋g (b )＝0⇒－g (b )＝f (a )∈(－∞，2)⇒b 2＋2b ＋2＜2⇒b ∈(－2,0)．答案：(－2,0)3．(2018·南通期末)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ＞0，0，x ＝0，2x －1，x ＜0，则不等式f (x 2－2)＋f (x )＜0的解集为__________．解析：函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ＞0，0，x ＝0，2x －1，x ＜0的图象如图所示，所以f (x )是定义域为R 的奇函数也是增函数，所以不等式f (x 2－2)＋f (x )＜0⇔ f (x 2－2)＜f (－x )⇔x 2－2＜－x ，解得－2＜x ＜1，所以原不等式的解集为(－2,1)． 答案：(－2,1)一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1．(2019·淮安调研)函数f (x )＝－x2的定义域是________．解析：由lg(5－x 2)≥0，得5－x 2≥1， 即x 2≤4，解得－2≤x ≤2. ∴函数f (x )＝－x2的定义域是[－2,2]．答案：[－2,2]2．(2018·苏州高三期中调研)函数y ＝1x －的定义域为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，x －，解得x ＞1，且x ≠2，所以函数的定义域为(1,2)∪(2，＋∞)．答案：(1,2)∪(2，＋∞)3．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＝2x －5，且f (a )＝6，则a ＝________. 解析：令t ＝12x －1，则x ＝2t ＋2，f (t )＝2(2t ＋2)－5＝4t －1，则4a －1＝6，解得a＝74. 答案：744．已知f (x )是一次函数，满足3f (x ＋1)＝6x ＋4，则f (x )＝________. 解析：设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)， 则f (x ＋1)＝a (x ＋1)＋b ＝ax ＋a ＋b ， 依题设，3ax ＋3a ＋3b ＝6x ＋4，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a ＝6，3a ＋3b ＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－23，则f (x )＝2x －23.答案：2x －235．(2019·盐城模考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x ＋1－2，x ≤1，2x －1，x ＞1，若f (0)＝3，则f (a )＝________.解析：因为f (0)＝3，所以a －2＝3，即a ＝5，所以f (a )＝f (5)＝9. 答案：96．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x， x ＞1，－x －2，x ≤1，则f (f (2))＝________，函数f (x )的值域是________．解析：因为f (2)＝12，所以f (f (2))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－52. 当x ＞1时，f (x )∈(0,1)，当x ≤1时，f (x )∈[－3，＋∞)， 所以f (x )∈[－3，＋∞)． 答案：－52[－3，＋∞)二保高考，全练题型做到高考达标1．(2019·如东高级中学高三学情调研)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 2－x ，x ＜1，2x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝________.解析：因为f (－2)＝1＋log 24＝3，f (log 212)＝2log 212－1＝6，所以f (－2)＋f (log 212)＝9.答案：92．(2018·苏州期末)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x， x ≤0，－x 2＋1，x ＞0的值域为________．解析：画出f (x )的图象如图所示，可看出函数的值域为(－∞，1]． 答案：(－∞，1]3．(2018·南京名校联考)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，x ≤0，log 3x ，x ＞0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝________.解析：因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝log 319＝－2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝f (－2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－2＝9.答案：94．(2019·南通调研)函数f (x )＝11－x＋lg(x ＋1)的定义域是________． 解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≠0，x ＋1＞0⇒x ＞－1且x ≠1，所以函数f (x )的定义域是(－1,1)∪(1，＋∞)．答案：(－1,1)∪(1，＋∞)5．(2018·启东中学检测)已知函数y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]，则函数y ＝f (x )的定义域为________．解析：因为y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]，所以x ∈[－3，3]，x 2－1∈[－1,2]，所以y ＝f (x )的定义域为[－1，2]．答案：[－1,2]6．已知具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①y ＝x －1x ；②y ＝x ＋1x ；③y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0＜x ＜1，0，x ＝1，－1x ，x ＞1.其中满足“倒负”变换的函数的序号是________．解析：对于①，f (x )＝x －1x，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x －x ＝－f (x )，满足；对于②，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x＋x ＝f (x )，不满足；对于③，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0＜1x ＜1，0，1x ＝1，－x ，1x ＞1，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ＞1，0，x ＝1，－x ，0＜x ＜1，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )，满足．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③. 答案：①③7．(2019·扬州一模)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x－2，x ＜0，g x ，x ＞0为奇函数，则f (g (2))＝________.解析：因为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x－2，x ＜0，g x ，x ＞0为奇函数，所以当x ＞0时，－x ＜0，则f (－x )＝2x －2＝－f (x )，所以f (x )＝－2x ＋2，即g (x )＝－2x ＋2.所以g (2)＝－22＋2＝－2，f (g (2))＝f (－2)＝22－2＝2.答案：28．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －x ＋1，x ≤1，a x －1，x ＞1，若f (1)＝12，则f (3)＝________.解析：由f (1)＝12，可得a ＝12，所以f (3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14.答案：149．(2019·泰州一调)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －3，x ≥2，x 2－3x －2，x ＜2，若f (x )＞2，则x 的取值范围是________．解析：不等式f (x )＞2可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，2x －3＞2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＜2，x 2－3x －2＞2，解得x ＞52或x ＜－1.答案：(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞10．(2019·无锡一中月考) 已知函数f (x )的图象如图所示，则函数g (x )＝log 2f (x )的定义域是________．解析：要使函数g (x )有意义，需f (x )＞0，由f (x )的图象可知，当x ∈(2,8]时，f (x )＞0.答案：(2,8]11．(2019·南京金陵中学月考)二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式；(2)若在区间[－1,1]上，函数y ＝f (x )的图象恒在直线y ＝2x ＋m 的上方，试确定实数m 的取值范围．解：(1)由f (0)＝1，可设f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ≠0)，故f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2ax ＋a ＋b ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，故f (x )＝x 2－x ＋1.(2)由题意，得x 2－x ＋1＞2x ＋m ，即x 2－3x ＋1＞m ，对x ∈[－1,1]恒成立．令g (x )＝x 2－3x ＋1，则问题可转化为g (x )min ＞m ，又因为g (x )在[－1,1]上递减，所以g (x )min ＝g (1)＝－1，故m ＜－1，即实数m 的取值范围为(－∞，－1)．12．(2018·南京期末)已知二次函数f (x )满足f (1)＝1，f (－1)＝5，且图象过原点． (1)求二次函数f (x )的解析式； (2)已知集合U ＝[1,4]，B ＝⎩⎨⎧y ⎪⎪⎪⎭⎬⎫y ＝f xx 2，x ∈U ，求∁U B .解：(1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 因为f (1)＝1，f (－1)＝5，且图象过原点，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝1，a －b ＋c ＝5，c ＝0，解得a ＝3，b ＝－2，所以f (x )＝3x 2－2x . (2)y ＝f x x 2＝3－2x， 当x ∈[1,4]时，函数y ＝3－2x是增函数，当x ＝1时，y 取得最小值1；当x ＝4时，y 取得最大值52，所以B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，52，又集合U ＝[1,4]，故∁U B ＝⎝ ⎛⎦⎥⎤52，4.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x ＜1，－x －2a ，x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a ＝________.解析：当a ＞0时，1－a ＜1,1＋a ＞1.由f (1－a )＝f (1＋a )得2－2a ＋a ＝－1－a －2a ，解得a ＝－32，不合题意；当a ＜0时，1－a ＞1,1＋a ＜1，由f (1－a )＝f (1＋a )得－1＋a －2a ＝2＋2a ＋a ， 解得a ＝－34，所以a 的值为－34.答案：－342．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝2f (x )，若当0≤x ≤2时，f (x )＝x (2－x )，则当 －4≤x ≤－2时，f (x )＝________.解析：由题意知f (x ＋4)＝2f (x ＋2)＝4f (x )，当－4≤x ≤－2时，0≤x ＋4≤2，所以f (x )＝14f (x ＋4)＝14(x ＋4)[2－(x ＋4)]＝－14(x ＋4)(x ＋2)，所以当－4≤x ≤－2时，f (x )＝－14(x ＋4)(x ＋2)．答案：－14(x ＋4)(x ＋2)3．行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)满足下列关系：y ＝x 2200＋mx ＋n (m ，n 是常数)．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)的关系图．(1)求出y 关于x 的函数表达式；(2)如果要求刹车距离不超过25.2米，求行驶的最大速度．解：(1)由题意及函数图象，得⎩⎪⎨⎪⎧402200＋40m ＋n ＝8.4，602200＋60m ＋n ＝18.6，解得m ＝1100，n ＝0，所以y ＝x 2200＋x100(x ≥0)．(2)令x 2200＋x100≤25.2， 得－72≤x ≤70.因为x ≥0，所以0≤x ≤70. 故行驶的最大速度是70千米/时．精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
高考讲坛高考数学一轮复习 第2章 第1节 函数及其表示课件 理 苏教
A
25
【 变 式 训 练 2 】 (1) 设 函 数 g(x) ＝ x2 － 2(x ∈ R) ， f(x) ＝
gx＋x＋4，x<gx， gx－x，x≥gx，
则 f(x)的值域是________．
(2)(2014·涟水中学月考)已知函数 f(x)＝x2－2x，x∈[a，b]的值
域为[－1,3]，则 b－a 的取值范围是________．
览
提
全
知
局
能
·
·
网
典
络
例
构
探
建
究
备
启
高 考
第二章 函数、导数及其应用
智 慧
·
·
策
高
略
考
指
研
导
析
固
基
课
础
后
·
限
自
时
主
自
落
测
实
A
1
A
2
1.函数、导数及其应用是历年高考命题 1.注重基础，对函数的概念、图象、性 的重点与热点，约占总分的 20%左右． 质(单调性、奇偶性、周期性)、导数的几 2．函数的概念、图象及其性质是高考考 何意义、导数在研究函数单调性、极值、 查的主要内容，函数的定义域、解析式、 最值及导数在实际中的应用要熟练掌握 图象是高考考查的重点，函数性质与其 并灵活应用． 他知识的综合是历年高考的热点．
，在 与
之对应
和它对应
名称
这样的对应叫做从 A 这样的单值对应叫做从 A
到 B 的一个函数
到 B 的映射
记法 y＝f(x)，x∈A
f：A→B
A
8
2.函数的定义域、值域与对应法则 在函数 y＝f(x)，x∈A 中，所有的输入值 x 组成的集合 A 叫做 函数 y＝f(x)的定义域，对于 A 中的每一个 x，都有一个输出值 y 与 之对应，所有输出值 y 组成的集合称为函数的值域．对应法则一般 用 f 表示． 3．如果两个函数的定义域和 对应法则 完全一样，那么这两个 函数相同．
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班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________
(满分100分，测试时间50分钟)
一、填空题：请把答案直接填写在答题卡相应的位置．．．．．．．．
上(共10题，每小题6分，共计60分)． 1. 设f (x )＝⎩
⎨⎧1－x ，x ≥0，2x ，x ＜0，则f (f (－2))等于________. 【答案】12
【解析】∵f (－2)＝2－2＝14＞0，则f (f (－2))＝f ⎝⎛⎭⎫14＝1－14＝1－12＝12.
2. 下列集合A 到集合B 的对应f 中：
①A ＝{－1，0，1}，B ＝{－1，0，1}，f ：A 中的数平方；
②A ＝{0，1}，B ＝{－1，0，1}，f ：A 中的数开方；
③A ＝Z ，B ＝Q ，f ：A 中的数取倒数；
④A ＝R ，B ＝{正实数}，f ：A 中的数取绝对值，
是从集合A 到集合B 的函数的为________(填序号). 【答案】①
3. 某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余
数大于6时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用
取整函数y ＝ [x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为________(填序号).
①y ＝⎣⎡⎦⎤x 10；②y ＝⎣⎡⎦⎤x ＋310；③y ＝⎣⎡⎦⎤x ＋410；④y ＝⎣⎡⎦
⎤x ＋510. 【答案】②
【解析】设x ＝10m ＋α(0≤α≤9，m ，α∈N)，当0≤α≤6时，⎣⎡
⎦⎤x ＋310＝⎣
⎡⎦⎤m ＋α＋310＝m ＝⎣⎡⎦⎤x 10，当6<α≤9时，⎣⎡⎦⎤x ＋310＝⎣⎡⎦⎤m ＋α＋310＝m ＋1＝⎣⎡⎦⎤x 10＋1. 4. 【2015江西赣州市六校联考】若f(x)对于任意实数x 恒有2f(x)-f(-x)=3x+1,则f(x)=
【答案】x+1
【解析】由题意知2f(x)-f(-x)=3x+1.①
将①中x 换为-x,则有2f(-x)-f(x)=-3x+1.②
①×2+②得3f(x)=3x+3,即f(x)=x+1..
5. 设f (x )＝lg 2＋x 2－x
，则f ⎝⎛⎭⎫x 2＋f ⎝⎛⎭⎫2x 的定义域为________. 【答案】(－4，－1)∪(1，4)
【解析】∵2＋x 2－x
＞0，∴－2＜x ＜2，∴－2＜x 2＜2且－2＜2x ＜2，解得－4＜x ＜－1或1＜x ＜4，
定义域为(－4，－1)∪(1，4).
6. 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧31－
x ，x ≤1，1－log 3x ，x ＞1，则满足f (x )≤3的x 的取值范围是________. 【答案】[0，＋∞)
7. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤1，x ＋6x
－6，x ＞1，则f (f (－2))＝________，f (x )的最小值是________. 【答案】－12
，26－6 【解析】因为f (－2)＝4，所以f [f (－2)]＝f (4)＝－12
.当x ≤1时，f (x )min ＝f (0)＝0；当x ＞1时，f (x )＝x ＋6x
－6≥26－6，当且仅当x ＝6时“＝”成立，又26－6＜0，所以f (x )的最小值为26－6.
8.若函数y=f(x)的定义域是[0,2],则函数g(x)=
的定义域是 ． 【答案】[0,1)．
【解析】要使函数g(x) =有意义,需满足即0≤x<1． 9.若一系列函数的解析式相同,值域相同,但定义域不同,则称这些函数为“同族函数”,则函数解析式为y=x 2+1,值域为{1,3}的同族函数有 个.
【答案】3
【解析】由x 2+1=1得x=0,由x 2+1=3得x=±,所以函数的定义域可以是
{0,},{0,-},{0,,-},故值域为{1,3}的同族函数共有3个.
10.具有性质:f =-f(x)的函数,我们称为满足“倒负”交换的函数,下列函数:
①f(x)=x-;②f(x)=x+;③f(x)=满足 “倒负”交换的函数是 （填上所有满足题意的代号）．
【答案】①③．
二、解答题：解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内．．．．．。
(共4题，每小题10分，共计40分)． 11. 根据如图所示的函数y ＝f (x )的图象，写出函数的解析式.
解 当－3≤x ＜－1时，函数y ＝f (x )的图象是一条线段(右端点除外)，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，
将点(－3，1)，(－1，－2)代入，可得f (x )＝－32x －72
； 当－1≤x ＜1时，同理可设f (x )＝cx ＋d (c ≠0)，
将点(－1，－2)，(1，1)代入，可得f (x )＝32x －12
； 当1≤x ＜2时，f (x )＝1.
所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－32x －72，－3≤x ＜－1，32x －12，－1≤x ＜1，1，1≤x ＜2.
12．若函数f(x)=
. (1)求的值. (2)求f(3)+f(4)+…+f(2015)+f +f +…+f 的值.
【答案】(1) -1，
(2,0
13. 已知函数f (x )(x ∈R)满足f (x )＝2bx ax －1
(a ≠0)，f (1)＝1，且使f (x )＝2x 成立的实数x 只有一个，求函数f (x )的解析式.
解 由f (x )＝2bx ax －1
(a ≠0)，f (1)＝1，得a ＝2b ＋1①. 又f (x )＝2x 只有一个解，即2bx ax －1
＝2x 只有一个解，也就是2ax 2－2(1＋b )x ＝0(a ≠0)只有一个解，所以b ＝－1，代入①中得a ＝－1，所以f (x )＝2x x ＋1
. 14.已知f (x )是二次函数，若f (0)＝0，且f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1.求函数f (x )的解析式．
【答案】f (x )＝12x 2＋12
x . 【解析】设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，又f (0)＝0，
∴c ＝0，即f (x )＝ax 2＋bx .
又∵f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1.。