第二章推理与证明章末质量评估(人教A版选修2-2)

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[精品]新人教A版选修2-2高中数学第二章推理与证明综合检测和答案

第二章推理与证明综合检测时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．锐角三角形的面积等于底乘高的一半；直角三角形的面积等于底乘高的一半；钝角三角形的面积等于底乘高的一半；所以，凡是三角形的面积都等于底乘高的一半．以上推理运用的推理规则是( ) A ．三段论推理 B ．假言推理 C ．关系推理 D ．完全归纳推理 [答案] D[解析] 所有三角形按角分，只有锐角三角形、Rt 三角形和钝角三角形三种情形，上述推理穷尽了所有的可能情形，故为完全归纳推理．2．数列1,3,6,10,15，…的递推公式可能是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋n (n ∈N *)B.⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a n ＝a n －1＋n (n ∈N *，n ≥2)C.⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋(n －1)(n ∈N *)D.⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a n ＝a n －1＋(n －1)(n ∈N *，n ≥2)[答案] B[解析] 记数列为{a n }，由已知观察规律：a 2比a 1多2，a 3比a 2多3，a 4比a 3多4，…，可知当n ≥2时，a n 比a n －1多n ，可得递推关系⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a n －a n －1＝n (n ≥2，n ∈N *)．3．有一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”，结论显然是错误的，因为( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．不是以上错误 [答案] C[解析] 大小前提都正确，其推理形式错误．故应选C. 4．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n ＋3)＝(n ＋3)(n ＋4)2(n ∈N *)时，验证n ＝1，左边应取的项是( )A ．1B ．1＋2C ．1＋2＋3D ．1＋2＋3＋4 [答案] D[解析] 当n ＝1时，左＝1＋2＋…＋(1＋3)＝1＋2＋…＋4，故应选D.5．在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )⊗(x ＋a )＜1对任意实数x 都成立，则( )A ．－1＜a ＜1B ．0＜a ＜2C ．－12＜a ＜32D ．－32＜a ＜12[答案] C[解析] 类比题目所给运算的形式，得到不等式(x －a )⊗(x ＋a )<1的简化形式，再求其恒成立时a 的取值范围．(x －a )⊗(x ＋a )<1⇔(x －a )(1－x －a )<1 即x 2－x －a 2＋a ＋1>0 不等式恒成立的充要条件是 Δ＝1－4(－a 2＋a ＋1)<0 即4a 2－4a －3<0 解得－12<a <32.故应选C.6．已知f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n 2，则( )A ．f (n )中共有n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13B ．f (n )中共有n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14C ．f (n )中共有n 2－n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13D ．f (n )中共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14[答案] D[解析] 项数为n 2－(n －1)＝n 2－n ＋1，故应选D. 7．已知a ＋b ＋c ＝0，则ab ＋bc ＋ca 的值( ) A ．大于0 B ．小于0 C ．不小于0 D ．不大于0 [答案] D[解析] 解法1：∵a ＋b ＋c ＝0， ∴a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ＝0， ∴ab ＋ac ＋bc ＝－a 2＋b 2＋c 22≤0.解法2：令c ＝0，若b ＝0，则ab ＋bc ＋ac ＝0，否则a 、b 异号，∴ab ＋bc ＋ac ＝ab ＜0，排除A 、B 、C ，选D.8．已知c ＞1，a ＝c ＋1－c ，b ＝c －c －1，则正确的结论是( )A ．a ＞bB ．a ＜bC ．a ＝bD ．a 、b 大小不定 [答案] B[解析] a ＝c ＋1－c ＝1c ＋1＋c ，b ＝c －c －1＝1c ＋c －1，因为c ＋1>c >0，c >c －1>0，所以c ＋1＋c >c ＋c －1>0，所以a <b .9．若凸k 边形的内角和为f (k )，则凸(k ＋1)边形的内角和f (k ＋1)(k ≥3且k ∈N *)等于( )A ．f (k )＋π2B ．f (k )＋πC ．f (k )＋32πD ．f (k )＋2π [答案] B[解析] 由凸k 边形到凸(k ＋1)边形，增加了一个三角形，故f (k ＋1)＝f (k )＋π.10．若sin A a ＝cos B b ＝cos C c，则△ABC 是( )A ．等边三角形B ．有一个内角是30°的直角三角形C ．等腰直角三角形D ．有一个内角是30°的等腰三角形 [答案] C[解析] ∵sin A a ＝cos B b ＝cos C c，由正弦定理得，sin A a ＝sin B b ＝sin C c ，∴sin B b ＝cos B b ＝cos C c ＝sin Cc，∴sin B ＝cos B ，sin C ＝cos C ，∴∠B ＝∠C ＝45°， ∴△ABC 是等腰直角三角形．11．若a ＞0，b ＞0，则p ＝(ab )a ＋b2与q ＝a b ·b a 的大小关系是( ) A ．p ≥q B ．p ≤q C ．p ＞q D ．p ＜q [答案] A若a ＞b ，则a b ＞1，a －b ＞0，∴pq ＞1；若0＜a ＜b ，则0＜a b ＜1，a －b ＜0，∴pq ＞1；若a ＝b ，则pq＝1，∴p ≥q .12．设函数f (x )定义如下表，数列{x n }满足x 0＝5，且对任意的自然数均有x n ＋1＝f (x n )，则x 2011＝( )A.1 B ．2 C ．4 D ．5 [答案] C[解析] x 1＝f (x 0)＝f (5)＝2，x 2＝f (2)＝1，x 3＝f (1)＝4，x 4＝f (4)＝5，x 5＝f (5)＝2，…，数列{x n }是周期为4的数列，所以x 2011＝x 3＝4，故应选C.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上)13．半径为r 的圆的面积S (r )＝πr 2，周长C (r )＝2πr ，若将r 看作(0，＋∞)上的变量，则(πr 2)′＝2πr .①①式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．对于半径为R 的球，若将R 看作(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于①式的式子：______________________________，你所写的式子可用语言叙述为__________________________．[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫43πR 3′＝4πR 2；球的体积函数的导数等于球的表面积函数．14．已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n(n ∈N *)，用数学归纳法证明f (2n)>n2时，f (2k ＋1)－f (2k )＝________.[答案] 12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1[解析] f (2k ＋1)＝1＋12＋13＋…＋12k ＋1f (2k)＝1＋12＋13＋…＋12kf (2k ＋1)－f (2k)＝12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1.15．观察①sin 210°＋cos 240°＋sin10°cos40°＝34；②si n 26°＋cos 236°＋sin6°cos36°＝34.两式的结构特点可提出一个猜想的等式为________________．[答案] sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin αcos(30°＋α)＝34[解析] 观察40°－10°＝30°，36°－6°＝30°，由此猜想：sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin αcos(30°＋α)＝34.可以证明此结论是正确的，证明如下：sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin α·cos(30°＋α)＝1－cos2α2＋1＋cos(60°＋2α)2＋12[sin(30°＋2α)－sin30°]＝1＋12[cos(60°＋2α)－cos2α]＋12sin(30°＋2α)－12＝1＋12[－2sin(30°＋2α)sin30°]＋12sin(30°＋2α)－12＝34－12si n(30°＋2α)＋12sin(30°＋2α)＝34. 16．设P 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a 、b ∈P ，都有a ＋b 、a －b 、ab 、ab∈P (除数b ≠0)，则称P 是一个数域．例如有理数集Q 是数域；数集F ＝{a ＋b 2|a ，b ∈Q }也是数域．有下列命题：①整数集是数域；②若有理数集Q ⊆M ，则数集M 必为数域； ③数域必为无限集； ④存在无穷多个数域．其中正确命题的序号是________．(把你认为正确命题的序号都填上)[答案] ③④[解析] 考查阅读理解、分析等学习能力．①整数a ＝2，b ＝4，ab不是整数；②如将有理数集Q ，添上元素2，得到数集M ，则取a ＝3，b ＝2，a ＋b ∉M ；③由数域P 的定义知，若a ∈P ，b ∈P (P 中至少含有两个元素)，则有a ＋b ∈P ，从而a ＋2b ，a ＋3b ，…，a ＋nb ∈P ，∴P 中必含有无穷多个元素，∴③对．④设x 是一个非完全平方正整数(x >1)，a ，b ∈Q ，则由数域定义知，F ＝{a ＋b x |a 、b ∈Q }必是数域，这样的数域F 有无穷多个．三、解答题(本大题共6个小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)已知：a 、b 、c ∈R ，且a ＋b ＋c ＝1. 求证：a 2＋b 2＋c 2≥13.[证明] 由a 2＋b 2≥2ab ，及b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca . 三式相加得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .∴3(a 2＋b 2＋c 2)≥(a 2＋b 2＋c 2)＋2(ab ＋bc ＋ca )＝(a ＋b ＋c )2. 由a ＋b ＋c ＝1，得3(a 2＋b 2＋c 2)≥1，即a 2＋b 2＋c 2≥13.18．(本题满分12分)证明下列等式，并从中归纳出一个一般性的结论．2cos π4＝2，2cos π8＝2＋2，2cos π16＝2＋2＋2，……[证明] 2cos π4＝2·22＝ 22cos π8＝21＋cosπ42＝2·1＋222＝2＋ 2 2cos π16＝21＋cosπ82＝21＋122＋22＝2＋2＋ 2…19．(本题满分12分)已知数列{a n }满足a 1＝3，a n ·a n －1＝2·a n －1－1.(1)求a 2、a 3、a 4；(2)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是等差数列，并写出数列{a n }的一个通项公式．[解析] (1)由a n ·a n －1＝2·a n －1－1得a n ＝2－1a n －1，代入a 1＝3，n 依次取值2,3,4，得 a 2＝2－13＝53，a 3＝2－35＝75，a 4＝2－57＝97.(2)证明：由a n ·a n －1＝2·a n －1－1变形，得 (a n －1)·(a n －1－1)＝－(a n －1)＋(a n －1－1)，即1a n －1－1a n －1－1＝1，所以{1a n －1}是等差数列．由1a 1－1＝12，所以1a n －1＝12＋n －1，变形得a n －1＝22n －1，所以a n ＝2n ＋12n －1为数列{a n }的一个通项公式．20．(本题满分12分)已知函数f (x )＝a x＋x －2x ＋1(a >1)．(1)证明：函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数； (2)用反证法证明方程f (x )＝0没有负根．[解析] (1)证法1：任取x 1，x 2∈(－1，＋∞)，不妨设x 1<x 2，则x 2－x 1>0，且a x 1>0，又∵x 1＋1>0，x 2＋1>0，∴f (x 2)－f (x 1)＝x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1＝(x 2－2)(x 1＋1)－(x 1－2)(x 2＋1)(x 1＋1)(x 2＋1)＝3(x 2－x 1)(x 1＋1)(x 2＋1)>0，于是f (x 2)－f (x 1)＝ax 2－ax 1＋x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1>0，故函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．证法2：f ′(x )＝a xln a ＋x ＋1－(x －2)(x ＋1)2＝a x ln a ＋3(x ＋1)2∵a >1，∴ln a >0，∴a xln a ＋3(x ＋1)2>0，f ′(x )>0在(－1，＋∞)上恒成立，即f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．(2)解法1：设存在x 0<0(x 0≠－1)满足f (x 0)＝0则a x 0＝－x 0－2x 0＋1，且0<ax 0<1.∴0<－x 0－2x 0＋1<1，即12<x 0<2，与假设x 0<0矛盾．故方程f (x )＝0没有负数根．解法2：设x 0<0(x 0≠－1)①若－1<x 0<0，则x 0－2x 0＋1<－2，a x 0<1，∴f (x 0)<－1.②若x 0<－1则x 0－2x 0＋1>0，a x 0>0， ∴f (x 0)>0.综上，x <0(x ≠－1)时，f (x )<－1或f (x )>0，即方程f (x )＝0无负根．21．(本题满分12分)我们知道，在△ABC 中，若c 2＝a 2＋b 2，则△ABC 是直角三角形．现在请你研究：若c n ＝a n ＋b n (n ＞2)，问△ABC 为何种三角形？为什么？[解析] 锐角三角形 ∵c n ＝a n ＋b n (n ＞2)，∴c ＞a, c ＞b ，由c 是△ABC 的最大边，所以要证△ABC 是锐角三角形，只需证角C 为锐角，即证cos C ＞0.∵cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab，∴要证cos C ＞0，只要证a 2＋b 2＞c 2，① 注意到条件：a n ＋b n ＝c n ，于是将①等价变形为：(a 2＋b 2)c n －2＞c n .② ∵c ＞a ，c ＞b ，n ＞2，∴c n －2＞a n －2，c n －2＞b n －2，即c n －2－a n －2＞0，c n －2－b n －2＞0，从而(a 2＋b 2)c n －2－c n ＝(a 2＋b 2)c n －2－a n －b n ＝a 2(c n －2－a n －2)＋b 2(c n －2－b n －2)＞0，这说明②式成立，从而①式也成立．故cos C ＞0，C 是锐角，△ABC 为锐角三角形．22．(本题满分14分)(2010·安徽理，20)设数列a 1，a 2，…a n ，…中的每一项都不为0.证明{a n }为等差数列的充分必要条件是：对任何n ∈N ＋，都有1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝n a 1a n ＋1. [分析] 本题考查等差数列、数学归纳法与充要条件等有关知识，考查推理论证、运算求解能力．解题思路是利用裂项求和法证必要性，再用数学归纳法或综合法证明充分性．[证明] 先证必要性．设数列{a n }的公差为d .若d ＝0，则所述等式显然成立．若d ≠0，则 1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 1a 1a 2＋a 3－a 2a 2a 3＋…＋a n ＋1－a n a n a n ＋1 ＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－1a 3＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n－1a n ＋1＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1a n ＋1＝1d a n ＋1－a 1a 1a n ＋1＝n a 1a n ＋1. 再证充分性．证法1：(数学归纳法)设所述的等式对一切n ∈N ＋都成立．首先，在等式1a 1a 2＋1a 2a 3＝2a 1a 3两端同乘a 1a 2a 3，即得a 1＋a 3＝2a 2，所以a 1，a 2，a 3成等差数列，记公差为d ，则a 2＝a 1＋d .假设a k ＝a 1＋(k －1)d ，当n ＝k ＋1时，观察如下两个等式1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a k －1a k ＝k －1a 1a k，① 1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a k －1a k ＋1a k a k ＋1＝k a 1a k ＋1② 将①代入②，得k －1a 1a k ＋1a k a k ＋1＝ka 1a k ＋1，在该式两端同乘a 1a k a k ＋1，得(k －1)a k ＋1＋a 1＝ka k . 将a k ＝a 1＋(k －1)d 代入其中，整理后，得a k ＋1＝a 1＋kd . 由数学归纳法原理知，对一切n ∈N ，都有a n ＝a 1＋(n －1)d ，所以{a n }是公差为d 的等差数列．证法2：(直接证法)依题意有1 a1a2＋1a2a3＋…＋1a n a n＋1＝na1a n＋1，①1 a1a2＋1a2a3＋…＋1a n a n＋1＋1a n＋1a n＋2＝n＋1a1a n＋1.②②－①得1a n＋1a n＋2＝n＋1a1a n＋2－na1a n＋1，在上式两端同乘a1a n＋1a n＋2，得a1＝(n＋1)a n＋1－na n＋2.③同理可得a1＝na n－(n－1)a n＋1(n≥2)④③－④得2na n＋1＝n(a n＋2＋a n)即a n＋2－a n＋1＝a n＋1－a n，由证法1知a3－a2＝a2－a1，故上式对任意n∈N*均成立．所以{a n}是等差数列．。

高二数学第二章推理与证明章末小结新人教A版选修2-2

1 1 a＋ b 只要证 a＋ b ＋ ab ≥ 8，
11 11 只要证 a＋ b ＋ b＋ a ≥ 8，
11 即证 a＋ b≥ 4.
也就是证
a＋ a
b＋a＋b
b ≥
4.
ba 即证 a＋ b≥ 2，
ba 由基本不等式可知，当 a>0， b>0 时， a＋ b≥ 2 成立，
所以原不等式成立．
知识点三反证法
反证法的理论基础是互为逆否命题的等价性，从逻辑角度看，命题“若
p，则 q”的否
定是“若 p，则？q”，由此进行推理，如果发生矛盾，那么就说明“若
p，则？q”为假，从
而可以导出“若 p，则 q”为真，从而达到证明的目的．反证法反映了“正难则反”的解题
思想．
一般以下题型用反证法： ①当“结论”的反面比“结论”本身更简单、更具体、更明确；
推得所求结果，则用综合法，若从条件出发，应用相关的公理、定理、公式、结论难以推得
所求结果，则可以考虑使用分析法． (3) 解题反思，回顾解题过程，对所得结果和解题步骤进行检查，确保解题的严谨性和
完备性．
11 1 设 a>0， b>0， a＋ b＝ 1，求证： a＋ b＋ ab≥ 8.
证明：方法一综合法因为 a>0， b>0， a＋ b＝ 1，
圆
球
(1) 圆心与弦 ( 非直径 ) 中点的连线垂直于弦
球心与截面圆 ( 非轴截面 ) 圆心的连线垂直于截面
(2) 与圆心距离相等的两条弦长相等 (3) 圆的周长 c＝π d
与球心距离相等的两个截面圆面积相等球的表面积 S＝π d2
(4) 圆的面积 S＝ πd2 4
球的体积 V＝ π d3 6

数学选修2-2人教新课标A版第二章推理与证明质量评估

答案：C
10．已知x＞0，不等式x＋ ≥2，x＋ ≥3，x＋ ≥4，…，可推广为x＋ ≥n＋1，则a的值为()
A．n2B．nn
C．2nD．22n－2
解析：由x＋ ≥2，x＋＝x＋ ≥3，x＋＝x＋ ≥4，…，可推广为x＋ ≥n＋1，故a＝nn.
答案：B
11．命题：在三角形中，顶点与对边中点连线所得三线段交于一点，且分线段长度比为2∶1，类比可得在四面体中，顶点与所对面的________连线所得四线段交于一点，且分线段比为________()
答案：C
6．将平面向量的数量积运算与实ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的乘法运算相类比，易得下列结论：
①a·b＝b·a；
②(a·b)·c＝a·(b·c)；
③a·(b＋c)＝a·b＋a·c；
④由a·b＝a·c(a≠0)可得b＝c，
则正确的结论有()
A．1个B．2个
C．3个D．4个
解析：平面向量的数量积的运算满足交换律和分配律，不满足结合律，故①③正确，②错误；由a·b＝a·c(a≠0)得a·(b－c)＝0，从而b－c＝0或a⊥(b－c)，故④错误．
第二章
一、选择题(本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．“π是无限不循环小数，所以π是无理数”．以上推理的大前提是()
A．实数分为有理数和无理数
B．π不是有理数
C．无理数都是无限不循环小数
D．有理数都是有限循环小数
解析：演绎推理的结论是蕴含于前提之中的特殊事实，本题中由小前提及结论知选C.
答案：C
4．下列表述正确的是()
①归纳推理是由特殊到一般的推理；②演绎推理是由一般到特殊的推理；③类比推理是由特殊到一般的推理；④分析法是一种间接证明法；⑤若z∈C，且|z＋2－2i|＝1，则|z－2－2i|的最小值是3.

高中数学第二章推理与证明学业质量标准检测新人教A版选修2-2(2021年整理)

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第二章学业质量标准检测时间120分钟，满分150分．一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．(2018·运城期中)下列表述正确的是( D ）①归纳推理是由特殊到一般的推理；②演绎推理是由一般到特殊的推理；③类比推理是由特殊到一般的推理;④分析法是一种间接证明法．A．①②③④B．②③④C．①②④D．①②［解析]根据题意，依次分析4个命题：对于①、归纳推理是由特殊到一般的推理，符合归纳推理的定义,正确；对于②、演绎推理是由一般到特殊的推理，符合演绎推理的定义，正确；对于③、类比推理是由特殊到特殊的推理，错误；对于④、分析法、综合法是常见的直接证明法，④错误；则正确的是①②．故选D．2．观察数列1，2，2，3，3，3，4，4,4,4，…的特点,按此规律,则第100项为( B ）A．10 B．14C．13 D．100[解析］设n∈N＊,则数字n共有n个，所以错误!≤100即n(n＋1)≤200，又因为n∈N*，所以n＝13，到第13个13时共有错误!＝91项，从第92项开始为14,故第100项为14．3．欲证错误!－错误!<错误!－错误!成立，只需证( C ）A．（错误!－错误!）2<(错误!－错误!)2B．(错误!－错误!）2<（错误!－错误!）2C．（错误!＋错误!)2〈（错误!＋错误!)2D．(错误!－错误!－错误!)2<(－错误!)2[解析］∵错误!－错误!〈0,错误!－错误!<0,∴原不等式只需证错误!＋错误!〈错误!＋错误!，∴只需证（错误!＋错误!)2〈（错误!＋错误!)2,故选C．4．（2017·蚌埠期末）用反证法证明命题“若a2＋b2＝0(a，b∈R)，则a，b全为0”,其反设正确的是（ B ）A．a，b至少有一个为0B．a,b至少有一个不为0C．a，b全部为0D．a，b中只有一个为0［解析]由于“a、b全为0(a、b∈R)”的否定为：“a、b至少有一个不为0”，故选B．5．(2017·全国Ⅱ卷）甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说:你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩．看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩．根据以上信息,则( D ) A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩［解析]由甲说：“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“1个优秀，1个良好”．乙看丙的成绩,结合甲的说法，丙为“优秀”时,乙为“良好”；丙为“良好”时，乙为“优秀”，可得乙可以知道自己的成绩．丁看甲的成绩，结合甲的说法，甲为“优秀"时，丁为“良好”;甲为“良好”时，丁为“优秀”，可得丁可以知道自己的成绩．故选D．6．（2016·枣庄一模)用数学归纳法证明“1＋错误!＋错误!＋…＋错误!<n(n∈N＊，n>1）"时,由n＝k（k>1）不等式成立,推证n＝k＋1时，左边应增加的项数是( C ）A．2k－1B．2k－1C．2k D．2k＋1[解析］左边的特点是分母逐渐增加1，末项为12n－1；由n＝k时,末项为错误!到n＝k＋1时末项为错误!＝错误!，∴应增加的项数为2k．故选C．7．观察下列式子：1＋错误!〈错误!,1＋错误!＋错误!<错误!,1＋错误!＋错误!＋错误!〈错误!，…，则可归纳出1＋错误!＋错误!＋…＋错误!小于( C ）A．nn＋1B．错误!C．错误!D．错误!［解析］所猜测的分式的分母为n＋1，而分子3，5,7…恰好是第n＋1个正奇数,即2n ＋1．故选C．8．（2018·广东二模）已知“正三角形的内切圆与三边相切,切点是各边的中点”，类比之可以猜想:正四面体的内切球与各面相切，切点是（ C )A．各面内某边的中点B．各面内某条中线的中点C．各面内某条高的三等分点D．各面内某条角平分线的四等分点［解析]由平面中关于正三角形的内切圆的性质：“正三角形的内切圆切于三边的中点”，根据平面上关于正三角形的内切圆的性质类比为空间中关于内切球的性质，可以推断在空间几何中有：“正四面体的内切球切于四面体各正三角形的位置是各正三角形的中心”，即各面内某条高的三等分点．故选C．9．已知a＋b＋c＝0，则ab＋bc＋ca的值（ D )A．大于0 B．小于0C．不小于0 D．不大于0［解析]解法1:∵a＋b＋c＝0，∴a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc＝0，∴ab＋ac＋bc＝－错误!≤0．解法2：令c＝0，若b＝0，则ab＋bc＋ac＝0，否则a、b异号，∴ab＋bc＋ac＝ab＜0，排除A、B、C,选D．10．已知a，b，c，d∈R，则P＝ac＋bd，Q＝错误!的大小关系为（ D ）A．P≥Q B．P>QC．Q〉P D．Q≥P［解析]Q2＝(a2＋b2)（c2＋d2)＝a2c2＋b2d2＋a2d2＋b2c2＝(ac＋bd)2＋（ad－bc）2≥(ac＋bd)2＝P2,又∵Q≥0，∴Q≥P．11．（2016·浙江文，5）已知a,b>0，且a≠1,b≠1，若log a b>1，则（ D )A．(a－1)（b－1）〈0 B．（a－1）(a－b)>0C．(b－1）（b－a)〈0 D．（b－1)（b－a)〉0［解析］根据题意，log a b>1⇔log a b－log a a>0⇔log a错误!〉0⇔错误!或错误!，即错误!或错误!．当错误!时，0<b〈a〈1，∴b－1〈0，b－a<0；当错误!时，b〉a〉1，∴b－1>0,b－a〉0．∴（b－1)(b－a）>0，故选D．12．已知函数f(x)满足f(0)＝0，导函数f′（x)的图象如图所示，则f （x)的图象与x轴围成的封闭图形的面积为（ B )A．错误!B．错误!C．2 D．错误![解析]由f′(x）的图象知，f′（x）＝2x＋2，设f（x）＝x2＋2x＋c，由f(0)＝0知,c＝0，∴f（x)＝x2＋2x,由x2＋2x＝0得x＝0或－2．－2(x2＋2x)d x＝错误!错误!＝错误!．故所求面积S＝－⎠⎛0二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）13．（2018·大武口区校级一模）甲、乙、丙、丁四人分别从一个装有编号为1，2,3，4的四个完全相同的小球的袋中依次取出一个小球．现知道：①甲取出的小球编号为偶数；②乙取出的小球编号比甲大；③乙、丙取出的小球编号差的绝对值比甲大．则丁取出的小球编号是3．［解析］由①②可知,甲取出的小球编号为2，乙取出的小球编号可能是3或4．又｜1－4｜＝3＞2，|1－3｜＝2,所以由③可知，乙取出的小球编号是4，丙取出的小球编号是1，故丁取出的小球编号是3．故答案为3．14．(2018·晋城二模)设a n＝n(n＋1)，利用n（n＋1）＝错误!求出数列｛a n}的前n项和S n＝错误!，设b n＝n（n＋1)(n＋2)，类比这种方法可以求得数列{b n｝的前n项和T n＝错误!．［解析]b n＝n（n＋1)（n＋2）＝错误!，可得数列｛b n}的前n项和T n＝错误![1·2·3·4－0＋2·3·4·5－1·2·3·4＋3·4·5·6－2·3·4·5＋n（n＋1）（n＋2)(n＋3)－(n－1)n（n＋1）(n＋2）]＝错误!，故答案为错误!．15．（2018·沈阳一模)在推导等差数列前n项和的过程中,我们使用了倒序相加的方法，类比可求得sin21°＋sin22°＋…＋sin289°＝44．5．[解析］设S＝sin21°＋sin22°＋…＋sin289°，则S＝sin289°＋sin288°＋…＋sin21°,两式倒序相加,得：2S＝(sin21°＋sin289°)＋(sin22°＋sin288°）＋…＋(sin289°＋sin21°）＝（sin21°＋cos21°)＋（sin22°＋cos22°）＋…＋(sin289°＋cos289°）＝89，∞S＝44．5．故答案为44．5．16．(2018·静安区一模）类似平面直角坐标系，我们把平面内两条相交但不垂直的数轴构成的坐标系（两条数轴的原点重合于O点且单位长度相同)称为斜坐标系，在斜坐标系xOy 中，若错误!＝x e1＋y e2(其中e1、e2分别为斜坐标系的x轴，y轴正方向上的单位向量，x，y∈R),则点P的坐标为(x，y)，若在斜坐标系xOy中,∠xOy＝60°，点M的坐标为(1,2）,则点M 到原点O的距离为错误!．［解析］由题意可得错误!＝e1＋2e2，平方可得错误!2＝e错误!＋4e错误!＋4e1·e2＝1＋4＋4×1×1×错误!＝7，可得｜错误!｜＝错误!，故答案为错误!．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．(本题满分10分）(2016·泉州高二检测)已知a>0，b〉0用分析法证明：错误!≥错误!．［证明］因为a〉0,b>0，要证错误!≥错误!,只要证,(a＋b)2≥4ab，只要证（a＋b）2－4ab≥0,即证a2－2ab＋b2≥0，而a2－2ab＋b2＝(a－b）2≥0恒成立，故错误!≥错误!成立．18．(本题满分12分）已知函数f（x)满足下列条件：（1)f（错误!)＝1，(2)f(xy）＝f（x)＋f（y)，)（3)f（x）的值域为[－1，1]．试证明:错误!不在f（x）的定义域内．［证明］假设14在f(x）的定义域内，因为f（xy)＝f(x)＋f（y），所以f(错误!)＝f(错误!×错误!）＝f（错误!）＋f(错误!)＝2．又f（x)的值域为［－1,1］，2∉［－1，1],所以错误!不在函数f（x）的定义域内．19．(本题满分12分）我们知道,在△ABC中，若c2＝a2＋b2，则△ABC是直角三角形．现在请你研究：若c n＝a n＋b n(n＞2）,问△ABC为何种三角形？为什么?[解析］锐角三角形∵c n＝a n＋b n（n＞2),∴c＞a， c＞b，由c是△ABC的最大边，所以要证△ABC是锐角三角形，只需证角C为锐角，即证cos C＞0．∵cos C＝错误!，∴要证cos C＞0，只要证a2＋b2＞c2,①注意到条件：a n＋b n＝c n，于是将①等价变形为：（a2＋b2)c n－2＞c n．②∵c＞a，c＞b，n＞2，∴c n－2＞a n－2，c n－2＞b n－2，即c n－2－a n－2＞0,c n－2－b n－2＞0，从而(a2＋b2）c n－2－c n＝(a2＋b2）c n－2－a n－b n＝a2（c n－2－a n－2)＋b2（c n－2－b n－2）＞0，这说明②式成立，从而①式也成立．故cos C＞0，C是锐角,△ABC为锐角三角形．20．(本题满分12分）某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数:①sin213°＋cos217°－sin13°cos17°;②sin215°＋cos215°－sin15°cos15°;③sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；④sin2（－18°）＋cos248°－sin(－18°）cos48°；⑤sin2（－25°）＋cos255°－sin（－25°)cos55°．（1）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2）根据(1）的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论．［解析］(1)选择②式，计算如下：sin215°＋cos215°－sin15°cos15°＝1－错误!sin30°＝1－错误!＝错误!．(2）推广后的三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α）＝错误!．证明如下：sin2α＋cos2（30°－α）－sinαcos（30°－α)＝sin2α＋（cos30°cosα＋sin30°s inα）2－sinα(cos30°cosα＋sin30°sinα）＝sin2α＋错误!cos2α＋错误!sinαcosα＋错误!sin2α－错误!sinαcosα－错误!sin2α＝34sin2α＋错误!cos2α＝错误!．21．（本题满分12分)椭圆与双曲线有许多优美的对称性质．对于椭圆x2a2＋错误!＝1（a＞b＞0）有如下命题：AB是椭圆错误!＋错误!＝1(a＞b＞0）的不平行于对称轴且不过原点的弦,M 为AB的中点，则k OM·k AB＝－错误!为定值．那么对于双曲线错误!－错误!＝1（a＞0，b＞0），则有命题：AB是双曲线错误!－错误!＝1（a＞0，b＞0）的不平行于对称轴且不过原点的弦，M为AB的中点，猜想k OM·k AB的值，并证明．［解析］设A（x1，y1)，B(x2，y2),M(x0，y0），则有错误!k OM＝错误!＝错误!,k AB＝错误!，即k OM·k AB＝错误!＝错误!．将A、B坐标代入双曲线方程错误!－错误!＝1中可得：错误!－错误!＝1①错误!－错误!＝1②①－②得：错误!＝错误!,∴错误!＝错误!，即k OM·k AB＝错误!．22．(本题满分14分）(2017·马鞍山高二检测）已知数列｛x n｝满足x1＝错误!，x n＋1＝错误!,n ∈N＊．猜想数列{x2n}的单调性，并证明你的结论．［解析］由x1＝错误!及x n＋1＝错误!，得x2＝错误!，x4＝错误!，x6＝错误!，由x2〉x4>x6猜想：数列{x2n｝是递减数列．下面用数学归纳法证明：(1)当n＝1时，已证命题成立．(2）假设当n＝k时命题成立，即x2k>x2k＋2，那么x2k＋2－x2k＋4＝错误!－错误!＝错误!＝错误!＝错误!〉0，即x2（k＋1）>x2（k＋1)＋2，也就是说，当n＝k＋1时命题也成立．结合(1)和（2)知命题成立．。

2014-2015学年人教a版数学选修2-2第2章《推理与证明》综合检测(含答案)

第二章综合检测时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．观察数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…的特点，按此规律，则第100项为( ) A ．10 B ．14 C ．13 D ．100[答案] B[解析] 设n ∈N *，则数字n 共有n 个，所以n (n ＋1)2≤100即n (n ＋1)≤200，又因为n ∈N *，所以n ＝13，到第13个13时共有13×142＝91项，从第92项开始为14，故第100项为14.2．有一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”，结论显然是错误的，因为( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．不是以上错误[答案] C[解析] 大小前提都正确，其推理形式错误．故应选C.3．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n ＋3)＝(n ＋3)(n ＋4)2(n ∈N *)时，验证n ＝1，左边应取的项是( )A ．1B ．1＋2C ．1＋2＋3D ．1＋2＋3＋4[答案] D[解析] 当n ＝1时，左＝1＋2＋…＋(1＋3)＝1＋2＋3＋4，故应选D. 4．(2012·福建南安高二期末)下列说法正确的是( ) A ．“a <b ”是“am 2<bm 2”的充要条件B ．命题“∀x ∈R ，x 3－x 2－1≤0”的否定是“∃x ∈R ，x 3－x 2－1≤0”C ．“若a 、b 都是奇数，则a ＋b 是偶数”的逆否命题是“若a ＋b 不是偶数，则a 、b 不都是奇数”D ．若p ∧q 为假命题，则p 、q 均为假命题 [答案] C[解析] A 中“a <b ”是“am 2<bm 2”的必要不充分条件，故A 错；B 中“∀x ∈R ，x 3－x 2－1≤0”的否定是“∃x ∈R ，x 3－x 2－1>0”，故B 错；C 正确；D 中p ∧q 为假命题，则p 、q 中至少有一个为假命题，故D 错． 5．(2014·东北三校模拟) 下列代数式(其中k ∈N *)能被9整除的是( ) A ．6＋6·7k B ．2＋7k －1C ．2(2＋7k ＋1)D ．3(2＋7k )[答案] D[解析] 特值法：当k ＝1时，显然只有3(2＋7k )能被9整除，故选D. 证明如下：当k ＝1时，已验证结论成立，假设当k ＝n (n ∈N *)时，命题成立，即3(2＋7n )能被9整除，那么3(2＋7n ＋1)＝21(2＋7n )－36.∵3(2＋7n )能被9整除，36能被9整除， ∴21(2＋7n )－36能被9整除，这就是说，k ＝n ＋1时命题也成立．故命题对任何k ∈N *都成立．6．已知f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n 2，则( )A ．f (n )中共有n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13B ．f (n )中共有n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14C ．f (n )中共有n 2－n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13D ．f (n )中共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14[答案] D[解析] 项数为n 2－(n －1)＝n 2－n ＋1，故应选D. 7．已知a ＋b ＋c ＝0，则ab ＋bc ＋ca 的值( ) A ．大于0 B ．小于0 C ．不小于0 D ．不大于0[答案] D[解析] 解法1：∵a ＋b ＋c ＝0， ∴a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ＝0，∴ab ＋ac ＋bc ＝－a 2＋b 2＋c 22≤0.解法2：令c ＝0，若b ＝0，则ab ＋bc ＋ac ＝0，否则a 、b 异号，∴ab ＋bc ＋ac ＝ab ＜0，排除A 、B 、C ，选D.8．已知c ＞1，a ＝c ＋1－c ，b ＝c －c －1，则正确的结论是( ) A ．a ＞b B ．a ＜bC ．a ＝bD ．a 、b 大小不定[答案] B[解析] a ＝c ＋1－c ＝1c ＋1＋c ，b ＝c －c －1＝1c ＋c －1，因为c ＋1>c >0，c >c －1>0，所以c ＋1＋c >c ＋c －1>0，所以a <b .9．定义一种运算“*”；对于自然数n 满足以下运算性质：( ) (i)1]B.n ＋1 C ．n －1 D ．n 2[答案] A[解析] 令a n ＝n *1，则由(ii)得，a n ＋1＝a n ＋1，由(i)得，a 1＝1，∴{a n }是首项a 1＝1，公差为1的等差数列，∴a n ＝n ，即n *1＝n ，故选A. 10．(2013·济宁梁山一中高二期中)已知函数f (x )满足f (0)＝0，导函数f ′(x )的图象如图所示，则f (x )的图象与x 轴围成的封闭图形的面积为( )A ．13B ．43C ．2D ．83[答案] B[解析] 由f ′(x )的图象知，f ′(x )＝2x ＋2，设f (x )＝x 2＋2x ＋c ，由f (0)＝0知，c ＝0，∴f (x )＝x 2＋2x ，由x 2＋2x ＝0得x ＝0或－2.故所求面积S ＝－⎠⎛0－2(x 2＋2x )dx ＝⎪⎪－(13x 3＋x 2)0－2＝43. 11．已知1＋2×3＋3×32＋4×32＋…＋n ×3n －1＝3n (na －b )＋c 对一切n ∈N *都成立，那么a 、b 、c 的值为( )A ．a ＝12，b ＝c ＝14B ．a ＝b ＝c ＝14C ．a ＝0，b ＝c ＝14D ．不存在这样的a 、b 、c[答案] A[解析] 令n ＝1、2、3，得⎩⎪⎨⎪⎧3(a －b )＋c ＝1，9(2a －b )＋c ＝7，27(3a －b )＋c ＝34.所以a ＝12，b ＝c ＝14.12．设函数f (x )定义如下表，数列{x n }满足x 0＝5，且对任意的自然数均有x n ＋1＝f (x n )，则x 2011＝( )A.1 C ．4 D ．5[答案] C[解析] x 1＝f (x 0)＝f (5)＝2，x 2＝f (2)＝1，x 3＝f (1)＝4，x 4＝f (4)＝5，x 5＝f (5)＝2，…，数列{x n }是周期为4的数列，所以x 2011＝x 3＝4，故应选C.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．在△ABC 中，D 为边BC 的中点，则AD →＝12(AB →＋AC →)．将上述命题类比到四面体中去，得到一个类比命题： _____________________________________________________.[答案] 在四面体A －BCD 中，G 为△BCD 的重心，则AG →＝13(AB →＋AC →＋AD →)14．(2013·安阳中学高二期末)设函数f (x )＝x x ＋2(x >0)，观察：f 1(x )＝f (x )＝xx ＋2，f 2(x )＝f (f 1(x ))＝x 3x ＋4，f 3(x )＝f (f 2(x ))＝x 7x ＋8，f 4(x )＝f (f 3(x ))＝x15x ＋16，……根据以上事实，由归纳推理可得：当n ∈N *且n ≥2时，f n (x )＝f (f n －1(x ))＝________.[答案]x(2n－1)x ＋2n[解析] 观察f 1(x )、f 2(x )、f 3(x )、f 4(x )的表达式可见，f n (x )的分子为x ，分母中x 的系数比常数项小1，常数项依次为2,4,8,16……2n .故f n (x )＝x(2n－1)x ＋2n.14．(2014·厦门六中高二期中)在平面上，我们用一直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按如图所标边长，由勾股定理有c 2＝a 2＋b 2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O －LMN ，如果用S 1、S 2、S 3表示三个侧面面积，S 表示截面面积，那么类比得到的结论是________．[答案] S 2＝S 21＋S 22＋S 23[解析] 类比如下：正方形↔正方体；截下直角三角形↔截下三侧面两两垂直的三棱锥；直角三角形斜边平方↔三棱锥底面面积的平方；直角三角形两直角边平方和↔三棱锥三个侧面面积的平方和，结论S 2＝S 21＋S 22＋S 23.证明如下：如图，作OE ⊥平面LMN ，垂足为E ，连接LE 并延长交MN 于F ，∵LO ⊥OM ，LO ⊥ON ，∴LO ⊥平面MON ， ∵MN ⊂平面MON ，∴LO ⊥MN ，∵OE ⊥MN ，∴MN ⊥平面OFL ，∴S △OMN ＝12MN ·OF ，S △MNE ＝12MN ·FE ，S △MNL ＝12MN ·LF ，OF 2＝FE ·FL ，∴S 2△OMN ＝(12MN ·OF )2＝(12MN ·FE )·(12MN ·FL )＝S △MNE ·S △MNL ，同理S 2△OML ＝S △MLE ·S △MNL ，S 2△ONL ＝S △NLE ·S △MNL ，∴S 2△OMN ＋S 2△OML ＋S 2△ONL ＝(S △MNE ＋S △MLE ＋S △NLE )·S △MNL ＝S 2△MNL ，即S 21＋S 22＋S 23＝S 2.16．(2014·洛阳部分重点中学教学检测)观察下列等式：31×2×12＝1－122，31×2×12＋42×3×122＝1－13×22，31×2×12＋42×3×122＋53×4×123＝1－14×23，……，由以上等式推测到一个一般的结论：对于n ∈N *，31×2×12＋42×3×122＋…＋n ＋2n (n ＋1)×12n ＝________. [答案] 1－1(n ＋1)·2n[解析] 由已知中的等式：31×2×12＝1－12231×2×12＋42×3×122＝1－13×22，31×2×12＋42×3×122＋53×4×123＝1－14×23，…，所以对于n ∈N *，31×2×12＋42×3×122＋…＋n ＋2n (n ＋1)×12n ＝1－1(n ＋1)2n.三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)已知：a 、b 、c ∈R ，且a ＋b ＋c ＝1. 求证：a 2＋b 2＋c 2≥13.[证明] 由a 2＋b 2≥2ab ，及b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca . 三式相加得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .∴3(a 2＋b 2＋c 2)≥(a 2＋b 2＋c 2)＋2(ab ＋bc ＋ca )＝(a ＋b ＋c )2. 由a ＋b ＋c ＝1，得3(a 2＋b 2＋c 2)≥1，即a 2＋b 2＋c 2≥13.18．(本题满分12分)设n ∈N ＋[解析] 记f (n ) 则f (1)＝11－2＝3，f (2)＝1111－22＝1089＝33，f (3)＝111111－222＝110889＝333.猜想f (n )＝333…3n个. [点评] f (n )＝333…3n个可证明如下： ∵111…12n 个＝19(102n －1)，222…2n 个2＝29(10n －1)，令10n ＝x >1，则f (n )＝19(x 2－1)－29(x －1)＝19(x 2－2x ＋1)＝13(x －1)＝13(10n －1)，即f (n )＝33…3n个. 19．(本题满分12分)(2013·华池一中高二期中)在圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)中，AB 为直径，C 为圆上异于A 、B 的任意一点，则有k AC ·k BC ＝－1.你能用类比的方法得出椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)中有什么样的结论？并加以证明．[解析] 类比得到的结论是：在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)中，A 、B 分别是椭圆长轴的左右端点，点C (x ，y )是椭圆上不同于A 、B 的任意一点，则k AC ·k BC ＝－b 2a2证明如下：设A (x 0，y 0)为椭圆上的任意一点，则A 关于中心的对称点B 的坐标为B (－x 0，－y 0)，点P (x ，y )为椭圆上异于A ，B 两点的任意一点，则k AP ·k BP ＝y －y 0x －x 0·y ＋y 0x ＋x 0＝y 2－y 20x 2－x 20.由于A 、B 、P 三点在椭圆上，∴⎩⎨⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，x 20a 2＋y20b 2＝1.两式相减得，x 2－x 20a 2＋y 2－y 20b 2＝0，∴y 2－y 20x 2－x 20＝－b 2a 2，即k AP ·k BP ＝－b 2a 2.故在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)中，长轴两个端点为A 、B 、P 为异于A 、B 的椭圆上的任意一点，则有k AB ·k BP ＝－b 2a2.20．(本题满分12分)已知函数f (x )＝a x ＋x －2x ＋1(a >1)．(1)证明：函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数； (2)用反证法证明方程f (x )＝0没有负数根．[解析] (1)证法1：任取x 1、x 2∈(－1，＋∞)，不妨设x 1<x 2，则x 2－x 1>0，ax 2－x 1>1且ax 1>0，∴ax 2－ax 1＝ax 1(ax 2－x 1－1)>0，又∵x 1＋1>0，x 2＋1>0， ∴x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1＝(x 2－2)(x 1＋1)－(x 1－2)(x 2＋1)(x 1＋1)(x 2＋1) ＝3(x 2－x 1)(x 1＋1)(x 2＋1)>0，于是f (x 2)－f (x 1)＝ax 2－ax 1＋x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1>0，故函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．证法2：f ′(x )＝a x ln a ＋x ＋1－(x －2)(x ＋1)2＝a x ln a ＋3(x ＋1)2 ∵a >1，∴ln a >0，∴a x ln a ＋3(x ＋1)2>0， f ′(x )>0在(－1，＋∞)上恒成立，即f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．(2)解法1：设存在x 0<0(x 0≠－1)满足f (x 0)＝0，则ax 0＝－x 0－2x 0＋1，且0<ax 0<1.∴0<－x 0－2x 0＋1<1，即12<x 0<2，与假设x 0<0矛盾．故方程f (x )＝0没有负数根．解法2：设x 0<0(x 0≠－1)，①若－1<x 0<0，则x 0－2x 0＋1<－2，ax 0<1，∴f (x 0)<－1.②若x 0<－1则x 0－2x 0＋1>0，ax 0>0，∴f (x 0)>0.综上，x <0(x ≠－1)时，f (x )<－1或f (x )>0，即方程f (x )＝0无负数根． 21．(本题满分12分)(2014·哈六中期中)已知函数f (x )＝(x －2)e x －12x 2＋x ＋2.(1)求函数f (x )的单调区间和极值； (2)证明：当x ≥1时，f (x )>16x 3－12x .[解析] (1)f ′(x )＝(x －1)(e x －1)，当x ＜0或x ＞1时，f ′(x )＞0，当0＜x ＜1时，f ′(x )＜0， ∴f (x )在(－∞，0)，(1，＋∞)上单调递增，在(0,1)上单调递减，当x ＝0时，f (x )有极大值f (0)＝0，当x ＝1时，f (x )有极小值f (1)＝52－e.(2)设g (x )＝f (x )－16x 3＋12x ，则g ′(x )＝(x －1)(e x －x 2－32)，令u (x )＝e x －x 2－32，则u ′(x )＝e x －12，当x ≥1时，u ′(x )＝e x －12>0，u (x )在[1，＋∞)上单调递增，u (x )≥u (1)＝e －2>0，所以g ′(x )＝(x －1)(e x －x 2－32)≥0，g (x )＝f (x )－16x 3＋12x 在[1，＋∞)上单调递增．g (x )＝f (x )－16x 3＋12x ≥g (1)＝176－e>0，所以f (x )>16x 3－12x .22．(本题满分14分)设数列a 1，a 2，…a n ，…中的每一项都不为0.证明{a n }为等差数列的充分必要条件是：对任何n ∈N ＋，都有1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝na 1a n ＋1. [分析] 本题考查等差数列、数学归纳法与充要条件等有关知识，考查推理论证、运算求解能力．解题思路是利用裂项求和法证必要性，再用数学归纳法或综合法证明充分性． [证明] 先证必要性．设数列{a n }的公差为d .若d ＝0，则所述等式显然成立．若d ≠0，则1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 1a 1a 2＋a 3－a 2a 2a 3＋…＋a n ＋1－a n a n a n ＋1 ＝1d ⎝⎛⎭⎫⎝⎛⎭⎫1a 1－1a 2＋⎝⎛⎭⎫1a 2－1a 3＋…＋⎝⎛⎭⎫1a n －1a n ＋1 ＝1d ⎝⎛⎭⎫1a 1－1a n ＋1＝1d a n ＋1－a 1a 1a n ＋1＝n a 1a n ＋1. 再证充分性．证法1：(数学归纳法)设所述的等式对一切n ∈N ＋都成立．首先，在等式1a 1a 2＋1a 2a 3＝2a 1a 3两端同乘a 1a 2a 3，即得a 1＋a 3＝2a 2，所以a 1，a 2，a 3成等差数列，记公差为d ，则a 2＝a 1＋d .假设a k ＝a 1＋(k －1)d ，当n ＝k ＋1时，观察如下两个等式 1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a k －1a k ＝k －1a 1a k， ① 1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a k －1a k ＋1a k a k ＋1＝ka 1a k ＋1②将①代入②，得k －1a 1a k ＋1a k a k ＋1＝k a 1a k ＋1，在该式两端同乘a 1a k a k ＋1，得(k －1)a k ＋1＋a 1＝ka k . 将a k ＝a 1＋(k －1)d 代入其中，整理后，得a k ＋1＝a 1＋kd .由数学归纳法原理知，对一切n ∈N ，都有a n ＝a 1＋(n －1)d ，所以{a n }是公差为d 的等差数列．证法2：(直接证法)依题意有 1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝n a 1a n ＋1，① 1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＋1a n ＋1a n ＋2＝n ＋1a 1a n ＋2. ②②－①得1a n ＋1a n ＋2＝n ＋1a 1a n ＋2－n a 1a n ＋1，在上式两端同乘a 1a n ＋1a n ＋2，得a 1＝(n ＋1)a n ＋1－na n ＋2. ③ 同理可得a 1＝na n －(n －1)a n ＋1(n ≥2)④③－④得2na n ＋1＝n (a n ＋2＋a n ) 即a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ，由证法1知a 3－a 2＝a 2－a 1，故上式对任意n ∈N *均成立．所以{a n }是等差数列．1．已知数列2，5，22，11，…，则25是这个数列的( ) A ．第6项 B ．第7项 C ．第19项 D ．第11项[答案] B [解析]2，5，8，11，…，而25＝20，可见各根号内被开方数构成首项为2，公差为3的等差数列，由20＝2＋(n －1)×3得n ＝7.2．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两名是对的，则获奖的歌手是__________________．[答案] 丙[解析] 若甲获奖，则甲、乙、丙、丁说的都是错的，同理可推知乙、丙、丁获奖的情况，最后可知获奖的歌手是丙．3．(1)由“若a 、b 、c ∈R ，则(ab )c ＝a (bc )”类比“若a 、b 、c 为三个向量，则(a ·b )c ＝a (b ·c )”；(2)在数列{a n }中，a 1＝0，a n ＋1＝2a n ＋2，猜想a n ＝2n －2；(3)“在平面内，三角形的两边之和大于第三边”类比“在空间中，四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积”；上述三个推理中结论正确的序号为________． [答案] ②③[解析] (a ·b )c ＝a (b ·c )不一定成立，其左边为平行于c 的向量，右边为平行于a 的向量，即命题(1)不正确；由a 1＝0，a n ＋1＝2a n ＋2可得a n ＋1＋2＝2(a n ＋2)，则数列{a n ＋2}是首项为2，公比为2的等比数列，a n ＋2＝2n ，即a n ＝2n －2，命题(2)正确；(3)正确，可结合三个侧面在底面上的射影去证明；综上可得正确的结论为(2)(3)．4．若x >0，y >0，用分析法证明：(x 2＋y 2)12>(x 3＋y 3)13.[证明] 要证(x 2＋y 2)12>(x 3＋y 3)13，只需证(x 2＋y 2)3>(x 3＋y 3)2，即证x 6＋3x 4y 2＋3x 2y 4＋y 6>x 6＋2x 3y 3＋y 6，即证3x 4y 2＋3y 4x 2>2x 3y 3. 又因为x >0，y >0，所以x 2y 2>0，故只需证3x 2＋3y 2>2xy .而3x 2＋3y 2>x 2＋y 2≥2xy 成立，所以(x 2＋y 2)12>(x 3＋y 3)13成立． 5．已知a 是正整数，且a 3是偶数，求证：a 也是偶数．[分析] 已知a 3的奇偶性研究a 的奇偶性，不易直接证明，但如果已知a 的奇偶性研究a 3的奇偶性则较容易证明，故可用反证法．[证明] 假设a 不是偶数，则a 必为奇数，设a ＝2k ＋1(k ∈N )，则a 3＝(2k ＋1)3＝8k 3＋12k 2＋6k ＋1＝2(4k 3＋6k 2＋3k )＋1，由于k ∈N ，所以4k 2＋6k 2＋3k ∈N ，故2(4k 3＋6k 2＋3k )是偶数，2(4k 3＋6k 2＋3k )＋1为奇数，即a 3为奇数，这与a 3是偶数相矛盾．故假设不正确，即a 也是偶数．6．我们知道，在△ABC 中，若c 2＝a 2＋b 2，则△ABC 是直角三角形．现在请你研究：若c n ＝a n ＋b n (n ＞2)，问△ABC 为何种三角形？为什么？[解析] 锐角三角形 ∵c n ＝a n ＋b n (n ＞2)，∴c ＞a, c ＞b ，由c 是△ABC 的最大边，所以要证△ABC 是锐角三角形，只需证角C 为锐角，即证cos C ＞0.∵cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab， ∴要证cos C ＞0，只要证a 2＋b 2＞c 2，① 注意到条件：a n ＋b n ＝c n ，于是将①等价变形为：(a 2＋b 2)c n －2＞c n . ② ∵c ＞a ，c ＞b ，n ＞2，∴c n －2＞a n －2，c n －2＞b n －2，即c n －2－a n －2＞0，c n －2－b n －2＞0，从而(a 2＋b 2)c n －2－c n ＝(a 2＋b 2)c n －2－a n －b n ＝a 2(c n －2－a n －2)＋b 2(c n －2－b n －2)＞0，这说明②式成立，从而①式也成立．故cos C ＞0，C 是锐角，△ABC 为锐角三角形．。

2019-2020学年数学人教A版选修2-2检测：第二章推理与证明测试卷 Word版含解析

第二章推理与证明测试卷本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．a ＋b >c ＋d 的一个必要不充分条件是( )A ．a >cB ．b >cC ．a >c 且b >dD ．a >c 或b >d解析：若a ＋b >c ＋d ，则a ，b 中必有一个数大于c ，d 中一个数；∴a >c 或b >d ；而a >c ，或b >d 得不到a ＋b >c ＋d ，比如取a ＝3，c ＝2，b ＝1，d ＝5，得到的是a ＋b <c ＋d ，所以a >c 或b >d 是a ＋b >c ＋d 的必要不充分条件，故选D.答案：D2．若S k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ，则S k ＋1为( ) A ．S k ＋12k ＋2B ．S k ＋12k ＋1＋12k ＋2C ．S k ＋12k ＋1－12k ＋2D ．S k ＋12k ＋2－12k ＋1解析：∵S k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ， ∴S k ＋1＝1k ＋2＋1k ＋3＋1k ＋4＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2 ＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1 ＝S k ＋12k ＋1－12k ＋2. 故选C.答案：C3．法国数学家费马观察到221＋1＝5,222＋1＝17,223＋1＝257,224＋1＝65537都是质数，于是他提出猜想：任何形如22n ＋1(n ∈N *)的数都是质数，这就是著名的费马猜想．半个世纪之后，善于发现的欧拉发现第5个费马数225＋1＝4294967297＝641×6700417不是质数，从而推翻了费马猜想，这一案例说明( )A ．归纳推理，结果一定不正确B ．归纳推理，结果不一定正确C ．类比推理，结果一定不正确D ．类比推理，结果不一定正确解析：由于费马猜想是由几个数值，根据这几个数值的特点得到的结论，是由特殊到一般的推理过程，所以属于归纳推理，由于得出结论的过程没有给出推理证明，所以归纳推理的结果不一定正确，故选B.答案：B4．用反证法证明“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”时，正确的反设为( )A ．a ，b ，c 都是偶数B ．a ，b ，c 都是奇数C ．a ，b ，c 中至少有两个偶数D ．a ，b ，c 中都是奇数或至少有两个偶数解析：自然数a ，b ，c 的奇偶性共有四种情形：3个都是奇数，1个偶数2个奇数，2个偶数1个奇数，3个都是偶数，所以否定“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”时，正确的反设为“a ，b ，c 中都是奇数或至少有两个偶数”，故选D.答案：D5．若数列{a n }是等差数列，b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n，则数列{b n }也为等差数列，类比这一性质可知，若正项数列{c n }是等比数列，且{d n }也是等比数列，则d n 的表达式应为( )A ．d n ＝c 1＋c 2＋…＋c n nB ．d n ＝c 1·c 2·…·c n nC ．d n ＝n c n 1·c n 2·…·c n n nD ．d n ＝n c 1·c 2·…·c n解析：由类比所给的性质知，若正项数列{c n }是等比数列，且{d n }也是等比数列，则d n的表达式应为d n ＝n c 1·c 2·…·c n ，故选D.答案：D6．有三个人，甲说：“我不是班长”，乙说：“甲是班长”，丙说：“我不是班长”．已知三个人中只有一个说的是真话，则班长是( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．无法确定解析：因为甲说：“我不是班长”，乙说：“甲是班长”，所以甲、乙两人的话一定一真一假，又因为三个人中只有一个说的是真话，所以丙说的话“我不是班长”为假话，由此可得班长是丙，故选C.答案：C7．若sin A a ＝cos B b ＝cos C c，则△ABC 是( ) A ．等边三角形B ．有一个内角为30°的直角三角形C ．等腰直角三角形D ．有一个角为30°的等腰三角形解析：∵sin A a ＝cos B b ＝cos C c ，由正弦定理，得sin A a ＝sin B b ＝sin C c，∴sin B ＝cos B ，sin C ＝cos C ，∴B ＝C ＝45°，∴△ABC 为等腰直角三角形，故选C.答案：C8．下列推理过程属于演绎推理的有( )①数列{a n }为等比数列，所以数列{a n }的各项不为0；②由1＝12,1＋3＝22,1＋3＋5＝32，…，得出1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2；③由三角形的三条中线交于一点联想到四面体四条中线(四面体每一个顶点与对面重心的连线)交于一点；④通项公式形如a n ＝cq n (cq ≠0)的数列{a n }为等比数列，则数列{－2n }为等比数列．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：由演绎推理的定义知，①、④两个推理为演绎推理，②为归纳推理，③为类比推理，故选C.答案：C9．设数列a 、b 、c 满足a ＋b ＋c ＝1，则a 、b 、c 中至少有一个数不小于( )A ．0 B.13 C.12D ．1 解析：假设a 、b 、c 都大于13，则a ＋b ＋c >1，这与已知a ＋b ＋c ＝1矛盾，假设a 、b 、c 都小于13，则a ＋b ＋c <1，这与已知a ＋b ＋c ＝1矛盾，故a 、b 、c 中至少有一个数不小于13，故选B.答案：B10．如图，第1个图形由正三角形扩展而成，共12个顶点．第n 个图形是由正n ＋2边形扩展而来n ∈N *，则第n 个图形的顶点个数是( )A ．(2n ＋1)(2n ＋2)B ．3(2n ＋2)C ．2n (5n ＋1)D ．(n ＋2)(n ＋3)解析：由已知中的图形我们可以得到当n ＝1时，顶点共有12＝3×4(个)，n ＝2时，顶点共有20＝4×5(个)，n ＝3时，顶点共有30＝5×6(个)，n ＝4时，顶点共有42＝6×7(个)，… 由此我们可以推断：第n 个图形共有顶点(n ＋2)(n ＋3)个，故选D.答案：D11．若P ＝a ＋a ＋5，Q ＝a ＋2＋a ＋3(a ≥0)，则P ，Q 的大小关系是( )A ．P >QB ．P ＝QC ．P <QD ．由a 的取值确定解析：∵P ＝a ＋a ＋5，Q ＝a ＋2＋a ＋3(a ≥0)， ∴P 2－Q 2＝(a ＋a ＋5)2－(a ＋2＋a ＋3)2＝(2a ＋5＋2a 2＋5a )－(2a ＋5＋2a 2＋5a ＋6)＝2a 2＋5a －2a 2＋5a ＋6<0，∴P 2<Q 2，∴P <Q ，故选C.答案：C12．在平面几何中有如下结论：设正三角形ABC 的内切圆面积为S 1，外接圆面积为S 2，则S 1S 2＝14，推广到空间中可以得到类似结论：已知正四面体P －ABC 的内切球体积为V 1，外接球体积为V 2，则V 1V 2＝( ) A.18 B.19C.164D.127解析：如图，连接AE ，设正四面体的棱长为a ，则AE ＝33a ，PE ＝63a ，设OA ＝R ，则OE ＝63a －R ，∵R 2＝⎝⎛⎭⎫63a －R 2＋⎝⎛⎭⎫33a 2，∴R ＝64a ，OE ＝612a ，则正四面体的内切球与外接球的半径之比是13，类比平面中的结论，可得V 1V 2＝127.故选D. 答案：D 第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”的过程归纳为以下三个步骤：①因为A ＋B ＋C >60°＋60°＋60°＝180°，这与三角形内角和为180°相矛盾；②所以三角形的内角中至少有一个不大于60°；③假设三角形的三个内角A ，B ，C 都大于60°.正确顺序的序号为________．解析：反证法的步骤是先假设结论不成立，然后推出矛盾，最后推出假设不成立，结论成立，所以正确步骤是③①②.答案：③①②14．对大于或等于2的自然数m 的n 次方幂有如下分解方式：22＝1＋3,32＝1＋3＋5,42＝1＋3＋5＋7；23＝3＋5，33＝7＋9＋11,43＝13＋15＋17＋19. 根据上述分解规律，若n 2＝1＋3＋5＋…＋19，m 3(m ∈N *)的分解中最小的数是21，则m ＋n 的值为________．解析：依题意，得n 2＝10×(1＋19)2＝100，∴n ＝10，又m 3＝21m ＋m (m －1)2×2，整理，得(m －5)(m ＋4)＝0，∵m ∈N *，∴m ＝5，∴m ＋n ＝5＋10＝15.答案：1515．在平面内，点P ，A ，B 三点共线的充要条件是：对于平面内任一点O ，有且只有一对实数x ，y ，满足向量关系式OP →＝xOA →＋ yOB →，且x ＋y ＝1.类比以上结论，可得到在空间中，P ，A ，B ，C 四点共面的充要条件是：对于平面内任一点O ，有且只有一组实数x ，y ，z 满足向量关系式________．解析：此类比仅是数量的变化，即在空间中，P ，A ，B ，C 四点共面的充要条件是：对于平面内任一点O ，有且只有一组实数x ，y ，z 满足向量关系式OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，且x ＋y＋z ＝1.答案：OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，且x ＋y ＋z ＝116．给出下列推理：(1)三角形的内角和为(3－2)·180°，四边形的内角和为(4－2)·180°，五边形的内角和为(5－2)·180°，…，所以凸n 边形的内角和为(n －2)·180°；(2)三角函数都是周期函数，y ＝tan x 是三角函数，所以y ＝tan x 是周期函数；(3)狗是有骨骼的；鸟是有骨骼的；鱼是有骨骼的；蛇是有骨骼的；青蛙是有骨骼的；狗、鸟、鱼、蛇和青蛙都是动物，所以，所有的动物都是有骨骼的；(4)在平面内如果两条直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行，那么在空间中如果两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面互相平行．其中属于合情推理的是________．(填序号)解析：根据合情推理的定义来判断，因为(1)(3)都是归纳推理，(4)是类比推理，而(2)是演绎推理，故属于合情推理的是(1)(3)(4)．答案：(1)(3)(4)三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明或演算步骤)17．(10分)已知实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＝c ＋d ＝1，ac ＋bd >1，求证：a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数．证明：假设a ，b ，c ，d 都是非负实数，因为a ＋b ＝c ＋d ＝1，所以a ，b ，c ，d ∈[0,1]，所以ac ≤ac ≤a ＋c 2，bd ≤bd ≤b ＋d 2，所以ac ＋bd ≤a ＋c 2＋b ＋d 2＝1，这与已知ac ＋bd >1相矛盾，所以假设不成立，故a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数．18．(12分)用数学归纳法证明1＋n 2≤1＋12＋13＋…＋12n ≤12＋n (n ∈N *)．证明：(1)当n ＝1时，32≤1＋12＝32，命题成立． (2)假设当n ＝k (k ∈N *)时命题成立，即1＋k 2≤1＋12＋13＋…＋12k ≤12＋k ，则当n ＝k ＋1时，1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k >1＋k 2＋2k ·12k ＋1＝1＋k ＋12. 又1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k <12＋k ＋2k ·12k ＝12＋(k ＋1)，即n ＝k ＋1时，命题成立．由(1)和(2)可知，命题对所有n ∈N *都成立．19．(12分)设函数f (x )＝x 3＋11＋x，x ∈[0,1]．证明： (1)f (x )≥1－x ＋x 2；(2)34<f (x )≤32. 解析：(1)因为1－x ＋x 2－x 3＝1－(－x )41－(－x )＝1－x 41＋x，由于x ∈[0,1]，有1－x 41＋x ≤11＋x，即1－x ＋x 2－x 3≤11＋x，所以f (x )≥1－x ＋x 2.(2)由0≤x ≤1得x 3≤x ，故f (x )＝x 3＋11＋x ≤x ＋11＋x ＝x ＋11＋x －32＋32＝(x －1)(2x ＋1)2(x ＋1)＋32≤32，所以f (x )≤32. 由(1)得f (x )≥1－x ＋x 2＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34≥34，又因为f ⎝⎛⎭⎫12＝1924>34，所以f (x )>34，综上，34<f (x )≤32. 20．(12分)设非等腰△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列．用分析法证明：1a －b ＋1c －b ＝3a －b ＋c. 证明：要证1a －b ＋1c －b ＝3a －b ＋c，只需证a ＋c －2b(a －b )(c －b )＝3a －b ＋c，只需证(a ＋c －2b )(a －b ＋c )＝3(a －b )(c －b )，只需证(a ＋c －b )2－b (a ＋c －b )＝3(ac ＋b 2－bc －ab )，只需证b 2＝a 2＋c 2－ac ，即ac ＝a 2＋c 2－b 2，只需证cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12，只需证B ＝60°.∵A ，B ，C 成等差数列，∴2B ＝A ＋C ，又A ＋B ＋C ＝180°，∴B ＝60°，故结论成立．21．(12分)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象与x 轴有两个不同的交点，若f (c )＝0且0<x <c 时，f (x )>0.(1)证明：1a是函数f (x )的一个零点； (2)用反证法证明1a>c . 证明：(1)∵f (x )的图象与x 轴有两个不同的交点，∴方程f (x )＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2，又f (c )＝0，∴x 1＝c 是方程的一个根．又x 1x 2＝c a ，∴x 2＝1a ⎝⎛⎭⎫1a ≠c . ∴1a 是f (x )＝0的一个根，即1a 是函数f (x )的一个零点．(2)假设1a <c ，又a >0，∴0<1a<c ， ∵当0<x <c 时，f (x )>0，∴f ⎝⎛⎭⎫1a >0.这与f ⎝⎛⎭⎫1a ＝0矛盾，∴1a ≥c ，又1a ≠c ，∴1a>c . 22．(12分)已知函数f (x )＝3－x 21＋x 2. (1)计算f (3)，f (4)，f ⎝⎛⎭⎫13及f ⎝⎛⎭⎫14的值； (2)由(1)的结果猜想一个普遍的结论，并加以证明；(3)求值f (1)＋f (2)＋…＋f (2 017)＋f ⎝⎛⎭⎫12＋f ⎝⎛⎭⎫13＋…＋f ⎝⎛⎭⎫12 017. 解析：(1)f (3)＝－35，f (4)＝－1317，f ⎝⎛⎭⎫13＝135， f ⎝⎛⎭⎫14＝4717.(2)由f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13＝2，f (4)＋f ⎝⎛⎭⎫14＝2，猜想：f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝2. 证明如下：因为f (x )＝3－x 21＋x 2，所以f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3－1x 21＋1x 2＝3x 2－1x 2＋1，所以f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3－x 21＋x 2＋3x 2－1x 2＋1＝3－x 2－1＋3x 21＋x 2＝2(1＋x 2)1＋x 2＝2. (3)因为f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝2，所以f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＝2，f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13＝2，…， f (2 017)＋f ⎝⎛⎭⎫12 017＝2，又f (1)＝3－121＋12＝1，故f (1)＋f (2)＋…＋f (2 017)＋f ⎝⎛⎭⎫12＋f ⎝⎛⎭⎫13＋…＋f ⎝⎛⎭⎫12 017＝1＋2 016×2＝4 033.。

2019-2020数学人教A版选修2-2课件：第二章推理与证明单元质量测评

答案
解析 “至少有一个”的反面为“一个也没有”，即“x，y 均不大于 1”，亦即“x≤1 且 y≤1”.
解析
14.四棱锥 P－ABCD 中，O 为 CD 上的动点，四边形 ABCD 满足条件 ________时，VP－AOB 恒为定值(写出一个你认为正确的一个条件即可).
答案四边形 ABCD 为平行四边形或矩形或正方形或 AB∥CD
解在四面体 V－BCD 中，任取一点 O，连接 VO，DO，BO，CO 并延长分别交四个面于 E，F，G，H 点，
则OVEE＋ODFF＋OBGG＋OCHH＝1.
答案
证明：在四面体 O－BCD 与 V－BCD 中，设底面 BCD 上的高分别为 h1，h，则
1 OVEE＝hh1＝313SS△△BBCCDD··hh1＝VVOV－－BBCCDD. 同理有：ODFF＝VVDO－－VVBBCC；OBGG＝VVOB－－VVCCDD；OCHH＝VVOC－－VVBBDD. 所以OVEE＋ODFF＋OBGG＋OCHH
第二章单元质量测评
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本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分 150 分，考试时间 120 分钟.
第Ⅰ卷 (选择题，共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分) 1.下列几种推理是演绎推理的是( ) A.在数列{an}中，a1＝1，an＝12an－1＋an1－1(n≥2)，由此归纳出{an}的通项公式
答案
解析
2.下面四个推理不是合情推理的是( ) A.由圆的性质类比推出球的有关性质 B.由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是 180°，归纳出所有三角形的内角和都是 180° C.某次考试张军的成绩是 100 分，由此推出全班同学的成绩都是 100 分 D.蛇、海龟、蜥蜴是用肺呼吸的，蛇、海龟、蜥蜴是爬行动物，所以所有的爬行动物都是用肺呼吸的

高中数学第二章推理与证明章末质量评估检测新人教A版选修22

A．把a(b＋c)与loga(x＋y)类比，则有loga(x＋y)＝logax＋logay
B．把a(b＋c)与sin(x＋y)类比，则有sin(x＋y)＝sinx＋siny
C．把a(b＋c)与ax＋y类比，则有ax＋y＝ax＋ay
D．把(a＋b)＋c与(xy)z类比，则有(xy)z＝x(yz)
解析：(xy)z＝x(yz)是乘法的结合律，正确．
答案：C
12．观察式子：1＋＜，1＋＋＜，1＋＋＋＜，…，则可归纳出一般式子为()
A．1＋＋＋…＋＜ (n≥2)
B．1＋＋＋…＋＜ (n≥2)
C．1＋＋＋…＋＜ (n≥2)
D．1＋＋＋…＋＜ (n≥2)
解析：由合情推理可得．
答案：C
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
答案：C
7．在平面直角坐标系内，方程＋＝1表示在x，y轴上的截距分别为a，b的直线，拓展到空间直角坐标系内，在x，y，z轴上的截距分别为a，b，c(abc≠0)的平面方程为()
A. ＋＋＝1 B. ＋＋＝1
C. ＋＋＝1 D．ax＋by＋cz＝1
解析：类比到空间应选A.另外也可将点(a,0,0)代入验证．
解析：三段论中的大前提、小前提及推理形式都是正确的．
答案：A
2．已知{bn}为等比数列，b5＝2，则b1b2b3…b9＝29.若{an}为等差数列，a5＝2，则{an}的类似结论为()
A．a1a2a3…a9＝29B．a1＋a2＋…＋a9＝29
C．a1a2…a9＝2×9 D．a1＋a2＋…＋a9＝2×9
答案：D
6．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝()

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章末质量评估(二)(时间：100分钟满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列说法中正确的是()．A．合情推理就是正确的推理B．合情推理就是归纳推理C．归纳推理是从一般到特殊的推理过程D．类比推理是从特殊到特殊的推理过程答案 D2．若f(n)＝1＋12＋13＋…＋12n＋1(n∈N*)，则当n＝2时，f(n)是()．A．1＋12 B.15C．1＋12＋13＋14＋15D．非以上答案解析∵f(n)＝1＋12＋13＋…＋12n＋1，分子是1，分母为1,2,3，…，2n＋1，故当n＝2时，f(2)＝1＋12＋…＋12×2＋1＝1＋12＋13＋14＋15.答案 C3．凡自然数是整数，4是自然数，所以4是整数．以上三段论推理()．A．正确B．推理形式不正确C．两个“自然数”概念不一致D．“两个整数”概念不一致解析三段论中的大前提，小前提及推理形式都是正确的．答案 A4．用反证法证明命题“如果a>b，那么3a>3b”时，假设的内容应是()．A.3a＝3b B.3a<3bC.3a＝3b，且3a<3b D.3a＝3b或3a<3b答案 D5．下面几种推理是合情推理的是( )． ①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180°归纳出所有三角形的内角和都是180°；③某次考试张军成绩是100分，由此推出全班同学成绩都是100分； ④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是(n －2)·180°. A ．①② B ．①③④ C ．①②④D ．②④解析 ①是类比，②④是归纳推理．答案 C6．已知命题1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1及其证明：(1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，所以等式成立；(2)假设n ＝k 时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k －1成立，则当n ＝k ＋1时，1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k ＝1－2k ＋11－2＝2k ＋1－1，所以n ＝k ＋1时等式也成立．由(1)(2)知，对任意的正整数n 等式都成立．判断以上评述( )． A ．命题、推理都正确 B ．命题正确、推理不正确 C ．命题不正确、推理正确D ．命题、推理都不正确解析推理不正确，错在证明n ＝k ＋1时，没用假设n ＝k 的结论，命题由等比数列求和公式知正确，故选B. 答案 B7．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第n 个图案中的白色地面砖有( )．A．4n－2块B．4n＋2块C．3n＋3块D．3n－3块解析法一第1个图案中有6块白色地面砖，第二个图案中有10块，第三个图案中有14块，归纳为：第n个图案中有4n＋2块．法二验n＝1时，A、D选项不为6，排除．验n＝2时，C选项不为10，排除．故选B.答案 B8．用数学归纳法证明“5n－2n能被3整除”的第二步中，n＝k＋1时，为了使用假设，应将5k＋1－2k＋1变形为()．A．(5k－2k)＋4×5k－2k B．5(5k－2k)＋3×2kC．(5－2)(5k－2k) D．2(5k－2k)－3×5k解析5k＋1－2k＋1＝5k·5－2k·2＝5k·5－2k·5＋2k·5－2k·2＝5(5k－2k)＋3·2k.答案 B9．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列性质，你认为比较恰当的是()．①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角相等；②各个面是全等的正三角形，相邻的两个面所成的二面角相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点的任两条棱的夹角相等；④各棱长相等，相邻两个面所成的二面角相等．A．①④B．①②C．①②③D．③解析类比推理原则是：类比前后保持类比规则的一致性，而③④违背了这一规则，①②符合．答案 B10．设P＝1log211＋1log311＋1log411＋1log511，则()．A．0<P<1 B．1<P<2C．2<P<3 D．3<P<4解析P＝log112＋log113＋log114＋log115＝log11120,1＝log1111<log11120<log11121＝2，即1<P<2.答案 B二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上) 11．观察下列式子：1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，…，则可以猜想：当n ≥2时，有________．解析左边为n 项和：1＋122＋132＋…＋1n 2，右边为分式，易知n ≥2时为2n －1n . 答案 1＋122＋132＋…＋1n 2<2n －1n12．若三角形内切圆半径为r ，三边长分别为a 、b 、c ，则三角形的面积S ＝12r (a ＋b ＋c )，根据类比思想，若四面体内切球半径为R ，其四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，则四面体的体积V ＝________.解析由类比推理，以球心为顶点，四个面分别为底，将四面体分割为4个棱锥，得证．答案 13R (S 1＋S 2＋S 3＋S 4)13．在△ABC 中，D 为BC 的中点，则AD →＝12( AB →＋AC →)，将命题类比到三棱锥中去得到一个类比的命题为___________________________．答案在三棱锥A -BCD 中，G 为△BCD 的重心，则AG →＝13·(AB →＋AC →＋AD →) 14．在数列{a n }中，a 1＝1，且S n 、S n ＋1、2S 1成等差数列(S n 表示数列{a n }的前n 项和)，则S 2、S 3、S 4分别为__________，由此猜想S n ＝________. 解析由S n ，S n ＋1,2S 1成等差数列，得2S n ＋1＝S n ＋2S 1，∵S 1＝a 1＝1，∴2S n ＋1＝S n ＋2.令n ＝1，则2S 2＝S 1＋2＝1＋2＝3⇒S 2＝32，同理分别令n ＝2，n ＝3，可求得S 3＝74，S 4＝158.由S 1＝1＝21－120，S 2＝32＝22－121，S 3＝74＝23－122，S 4＝158＝24－123，猜想S n ＝2n －12n －1.答案 32，74，158 2n－12n －1三、解答题(本大题共5小题，共54分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(10分)在不等边△ABC 中，A 是最小角，求证：A <60°.证明假设A ≥60°，∵A 是不等边三角形ABC 的最小角(不妨设C 为最大角)， ∵B >A ≥60°，C >A ≥60°，∴A ＋B ＋C >180°，与三角形内角和等于180°矛盾，∴假设错误，原结论成立，即A <60°. 16．(10分)设S n ＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋1n ×(n ＋1)，写出S 1，S 2，S 3，S 4的值，归纳并猜想出结果．解当n ＝1,2,3,4时，计算得原式的值分别为： S 1＝12，S 2＝23，S 3＝34，S 4＝45.观察这4个结果都是分数，每个分数的分子与项数对应，且分子比分母恰好小1.归纳猜想：S n ＝nn ＋1.证明 ∵11×2＝1－12，12×3＝12－13，…，1n ×(n ＋1)＝1n －1n ＋1.∴S n ＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1. 17．(10分)先解答(1)，再通过类比解答(2)．(1)求证：tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1＋tan x1－tan x ；(2)设x ∈R 且f (x ＋1)＝1＋f (x )1－f (x )，试问f (x )是周期函数吗？证明你的结论． (1)证明 tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝tan x ＋tan π41－tan x tan π4＝1＋tan x 1－tan x；(2)解 f (x )是以4为一个周期的周期函数．证明如下： ∵f (x ＋2)＝f ((x ＋1)＋1)＝1＋f (x ＋1)1－f (x ＋1)＝1＋1＋f (x )1－f (x )1－1＋f (x )1－f (x )＝－1f (x )，∴f (x ＋4)＝f ((x ＋2)＋2)＝－1f (x ＋2)＝f (x )， ∴f (x )是周期函数．18．(12分)若a 1>0、a 1≠1，a n ＋1＝2a n1＋a n(n ＝1,2，…，)(1)求证：a n ＋1≠a n ；(2)令a 1＝12，写出a 2、a 3、a 4、a 5的值，观察并归纳出这个数列的通项公式a n ；(3)证明：存在不等于零的常数p ，使⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n ＋p a n 是等比数列，并求出公比q 的值．(1)证明 (采用反证法)．假设a n ＋1＝a n ，即2a n1＋a n ＝a n ，解得a n ＝0,1.从而a n ＝a n －1＝……＝a 1＝0,1，与题设a 1>0，a 1≠1相矛盾， ∴假设错误．故a n ＋1≠a n 成立．(2)解 a 1＝12、a 2＝23、a 3＝45、a 4＝89、a 5＝1617，a n ＝2n －12n －1＋1.(3)证明因为a n ＋1＋p a n ＋1＝(2＋p )a n ＋p 2a n ，又a n ＋1＋p a n ＋1＝a n ＋pa n·q ，所以(2＋p －2q )a n＋p (1－2q )＝0，因为上式是关于变量a n 的恒等式，故可解得q ＝12、p ＝－1.19．(12分)已知点P n (a n ，b n )满足a n ＋1＝a n ·b n ＋1，b n ＋1＝b n 1－4a 2n(n ∈N *)且点P 1的坐标为(1，－1)．(1)求过点P 1，P 2的直线l 的方程；(2)试用数学归纳法证明：对于n ∈N *，点P n 都在(1)中的直线l 上． (1)解由P 1的坐标为(1，－1)知a 1＝1，b 1＝－1. ∴b 2＝b 11－4a 21＝13，a 2＝a 1·b 2＝13. ∴点P 2的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13.∴直线l 的方程为2x ＋y ＝1.(2)证明 ①当n ＝1时，2a 1＋b 1＝2×1＋(－1)＝1成立． ②假设n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时，2a k ＋b k ＝1成立．则2a k ＋1＋b k ＋1＝2a k b k ＋1＋b k ＋1＝b k 1－4a 2k (2a k ＋1)＝b k1－2a k ＝1－2a k 1－2a k ＝1. ∴n ＝k ＋1时，命题也成立．由①②知，对n ∈N *，都有2a n ＋b n ＝1，即点P n 在直线l 上．。