变量代换在求解微分方程问题中的应用

摘要 变量代换的思想在解微分方程中有着广泛的应用.通过对原方程的变量( 自变量或因变量) 用新的变量代换，使原方程化为相对易解的方程类型，从而达到求解的目的.本文阐述了变量代换在求解一阶及高阶微分方程中的应用. 关键词：变量代换 微分方程 一阶 高阶 Abstract Variable substitution has a wide range of applications in solving differential equations. The original equation by the variable (the independent variable or dependent variable) with the new variable substitution, so that the original equation is reduced to a relatively easy solution of the equation type, so as to achieve solve the purpose. In this paper, the variable transformation in solving the first order and higher order differential equation. Key words: variable substitution differential equation the first order the higher order 目录 前言……………………………………………………………………………………1 第一章 变量代换在求解一阶微分方程中的应用 …………………………………2 第二章 变量代换方法在求解某些类型高阶微分方程中的应用 …………………8 致谢辞 ………………………………………………………………………………15 参考文献 ……………………………………………………………………………16 1

变量代换在求解微分方程问题中的应用 前言 常微分方程是本科数学专业的一门重要专业基础课, 熟悉各种类型的常微分方程的解法, 是本课程最基本的要求. 常微分方程的解法众多，技巧性很强. 对于一阶微分方程，利用初等积分法, 可把常微分方程的求解问题转化为积分问题, 它是一阶微分方程最基本的解法，而变量分离方程是一阶微分方程中一个最基本的类型, 可以利用分离变量的方法, 借助于积分法来求其通解. 我们用初等积分法求解常微分方程的一条重要路线就是寻找适当的变量变换, 将所给的方程化为变量分离方程. 很多类型的一阶微分方程都以通过适当的变量变换化为变量分离方程. 如何寻求恰当的变量变换将给定的方程化为变量分离方程, 没有一般的方法, 但是对于一些特殊类型的方程, 这种变量变换却有固定的形式.此外，变量代换在求解高阶微分方程中也有广泛的应用. 本文就变量变换进行讨论, 阐述其在求解一阶及高阶常微分方程中所起的重要重用. 2

第一章 变量代换在求解一阶微分方程中的应用 1.1 齐次方程 形如 

xyf

dx

dy

的方程通常称为齐次方程. 下面利用变量代换求解齐次方程. 作变量代换xyu，则dxduxydxdyuxy,. 代回原方程，整理后可得 uufdxdux

此时方程转化为分离变量方程，故可求其通解. 例1 解方程yxyxdxdy2332

解 令xyu可得uxy，代入方程得 32122uudxdu

x

分离变量，再积分，化简整理可得 114ucxu

再代回原变量，得原方程的通解 xycxy5

该类情形的方程可以推广到形如xyfxxydxdy的方程. 1.2 形如222111cybxacybxadxdy的方程（其中222111,,,,,cbacba都为常数） 当021cc时，方程就是齐次方程. 3

假设21,cc不同时为0，则会出现以下两种情况. 1.2.1 行列式0 2211baba

通常寻找常数,，使得作平移变换YyXx后，能将方程化为形如

XYbaXYbaYbXaYbXadXdY22112211



的齐次方程，再作变量代换XYu，从而将原方程化为分离变量方程，故可求其通解. 例2 解方程823732yxyxdxdy

解 作平移变换dYdydXdxYyXx,,,原方程化为 8232373232YXYXdx

dy

为了消去方程右边分子，分母的常数项，令 08230732



从而求得1,2.故令12YyXx后，原方程化为 YXYXdXdY2332

由例1可知通解为 XYCXY5

代回原变量得方程的通解 315xyCxy

1.2.2 行列式0 2211baba 4

不妨设1212bbaa，此时方程的形状为 211

111

cybxacybxadxdy





作变换ybxau11，则可得分离变量方程2111cucubadxdu，从而可求其通解.

例3 解方程564432yxyxdxdy 解 令yxu32，则方程可变形为 52432uudxdu

整理后可得分离变量方程 52227uudxdu

分离变量，再积分，整理后得 

Cxuu2714722ln9

再代回yxu32，可得原方程的通解 

Cxyyx2331472232ln9

1.3 形如 1aaxxyfdxdy的方程（其中a是已知实数） 作变量代换axyu，可将方程化为分离变量方程. 将axyu代入方程，整理后可得 1aaxauufdxdux

这已是分离变量方程. 由此可见，形如1aaxxyfdxdy的方程通常是指标为a的广义齐次方程的推 5

广. 例4 解方程022223dyxyxdxyxy 解 将dxxdyy,,,分别看作0,1,1,aa次变量时，要是方程左端是齐次式，则a

应该满足 1112231aaaaa 由此可解得21a.因此原方程是指标为21的广义齐次方程.

令21xyu，则duxudxxdy212321，代入原方程整理得 02232duuxudx

分离变量，再积分，整理得 342Cxeuu

代回原变量，得原方程的通解 Cxeyxy24

1.4 其它类型的一阶微分方程 1.4.1形如byaxfdxdy的方程（其中0,bba为常数） 作变量代换，byaxu可将方程化为分离变量方程，将byaxu和

dxdybadxdu代入方程，整理后可得

ufbadxdu

例5 解方程032412dyxydxxy 解 将方程整理后可得 32212xyxydx

du

故令xyu2，代入后可得 6

3254uudxdu 分离变量后，两边积分可得 Cxuu8454ln 再代回原变量，得方程通解为 Cxxxy84548ln

1.4.2 形如cbyaxfdxdy的方程（其中0,0,ccbba为常数） 作变量代换，cbyaxu，可将方程化为分离变量方程ufbadxdu，进而求解. 1.4.3 形如xyfxdxdy21的方程

作变量代换xyu，从而有2xuxdxdudxdy，可将方程化为分离变量方程uufdxdux)(，进而求解.

1.6 伯努利方程 一阶线性方程xQyxPdxdy的通解为cdxexQeydxxpdxxp，其中c为任意的常数. 形如 nyxQyxPdxdy

的方程，称为伯努利方程.这里xQxP,为x的连续函数，1,0n是常数.伯努利方程是一类非线性的一阶微分方程, 对于此类方程，经过适当的变量变换, 可以将其化为一阶线性方程. 作变量变换nyz1，将方程化为以z为未知函数的一阶线性方程 )()1()()1(xQnzxPndxdz 从而可对线性方程用初等积分法求解.