运筹学考试重点(精简后的)
运筹学复习重点
运筹学复习重点第1章线性规划与单纯形法（1）化线形规划标准形的手法（2）线性规划解的概念、解的情形、解的判定（3）单纯形法的计算过程、迭代逻辑。
（4）熟练运用单纯形表求解问题；若给出单纯形表，要会解读，会基于单纯形法基本原理反推出表中一些参数。
（5）两阶段法、大M法第2章对偶理论和灵敏度分析（1）会写对偶问题，掌握对偶性质，原问题与对偶问题之间的关系。
（2）互补松弛定理的应用：知道一个问题的最优解，求另一个问题的最优解。
（3）对偶单纯形法（4）当目标函数系数和右端项变化时灵敏度分析的简便方法第4章整数规划（1）分支定界法：如何构造分支子问题，如何更新目标函数最优值上下界，何时终止。
（2）割平面法：如何写对源约束方程；如何拆分、组装割平面方程；如何利用对偶单纯形法继续求解。
第5章无约束优化（1）凸函数与凸规划的定义与判别（2）一维搜索的0.618法基本原理和迭代过程（3）无约束优化的最速下降法的基本原理、迭代过程第6章约束极值优化（1）可行下降方向的含义、满足什么代数条件、几何意义（2）正确写出Kuhn-Tucker条件，理解K-T条件与最优解的关系（3）利用Kuhn-Tucker条件，求出K-T点和最优解。
（4）外点法和内点法的基本原理、无约束优化目标函数的一般构造手法第7章动态规划（1）动态规划的基本原理和基本方程（2）动态规划的逆推解法（3）动态规划求静态规划问题的套路第8章图与网络优化（1）图的基本概念、树的基本性质、最小支撑树的求法（2）求最短路的Dijkstra算法（3）增广链的概念、用途，求网络最大流的标号法第10章排队论（1）排队系统基本性能指标的含义、关系（2）泊松流与负指数分布的关系，排队系统中基本参数λ和μ含义的多维解读。
（3）系统状态概率Pn的含义、它在推导系统基本性能指标中的基础地位，推导它自身所依据的状态转移图。
（4）M/M/1模型、M/M/c模型的状态转移图，概率平衡方程，以及了解系统状态概率、基本性能指标的计算过程。
运筹学重点
第一章线性规划与单纯形法一、本章考情分析：常考题型：选择填空判断计算分值：必考知识点，30分以上,非常重要！二、本章基本内容：１）掌握线性规划的数学模型的标准型；２）掌握线性规划的图解法及几何意义；３）了解单纯形法原理；４）熟练掌握单纯形法的求解步骤；５）能运用大Ｍ法与两阶段法求解线性规划问题；６）熟练掌握线性规划几种解的性质及判定定理．三、本章重难点：重点：１）单纯形法求解线性规划问题；２）解的性质；３）线性规划问题建模．难点：１）单纯形法原理的理解；２）线性规划问题建模．四、本章要点精讲：·要点１化标准型·要点２图解法·要点３单纯形法的原理·要点４单纯形法的计算步骤·要点５单纯形法的进一步讨论1）要点１化标准型线性规划的数学模型：Z=CX （C：价值系数） Ax=b （a：工艺或技术系数 b：资源限制）复习思路提示：化标准型按“目标函数—资源限量—约束条件—决策变量”的顺序进行。
2）要点２图解法线性规划解的情况有：唯一最优解、无穷多最优解、无界解、无可行解；3）要点３单纯形法原理解的概念与关系:基：设A是约束方程组的m*n阶系数矩阵（设n>m），其秩为m，B是A 中的一个m*m阶的满秩子矩阵（B≠0的非奇异子矩阵），称 B是线性规划问题的一个基．设除基变量以外的变量称为非基变量。
基解：在约束方程组中，令所有的非基变量=0，可以求出唯一解X。
基可行解：变量非负约束条件的基解．可行基：基可行解的基．几个定理：１线性规划问题的可行解为基可行解的充要条件是Ｘ的正分量所对应的系数列向量是线性独立的．２线性规划问题的基可行解Ｘ对应线性规划问题可行域（凸集）的顶点．３若线性规划问题有最优解，一定存在一个基可行解是最优解．最优解唯一时，最优解也是基最优解；当最优解不唯一时，最优解不一定是基最优解．基最优解基可行解集解最优解可行解线性规划解的判别：①最优解：全部σｊ≤ 0，则X(0)为最优解．②唯一最优解：全部σｊ＜0，则X(0)为唯一最优解．③无穷多最优解：全部σｊ≤0，存在一个非基变量的σ＝0，则存在无穷多最优解．④无界解：若有一个非基变量的σ＞0，而其对应非基变量的所有系数ａ′≤0，则具有无界解。
运筹学必考知识点总结
运筹学必考知识点总结在运筹学中，有一些必考的知识点是非常重要的。
这些知识点涵盖了运筹学的基本概念、方法和模型，对于考生来说，掌握这些知识点是至关重要的。
本文将对运筹学的一些必考知识点进行总结，帮助考生更好地备考。
1. 线性规划线性规划是运筹学中的重要方法之一，它通过建立数学模型来解决各种决策问题。
在线性规划中，目标是最大化或最小化一个线性函数，同时满足一系列线性约束条件。
考生需要掌握线性规划的基本理论，包括线性规划模型的建立、单纯形法和对偶理论等内容。
2. 整数规划整数规划是线性规划的扩展，它要求决策变量取整数值。
整数规划在实际应用中有着广泛的用途，因此对于考生来说，掌握整数规划的基本理论和解题方法是必不可少的。
3. 动态规划动态规划是一种用于求解多阶段决策问题的优化方法。
在动态规划中，问题被分解为多个子问题，并且这些子问题之间存在重叠。
考生需要了解动态规划的基本原理、状态转移方程的建立以及动态规划算法的实现。
4. 网络流问题网络流问题是运筹学中的一个重要领域，它涉及到图论和优化算法等多个方面的知识。
在网络流问题中，主要考察最大流、最小割、最短路等问题的求解方法。
5. 效用理论效用理论是运筹学中的一个重要分支，它研究人们在做出决策时的偏好和选择。
效用函数、期望效用、风险偏好等概念是考试中的热点内容。
6. 排队论排队论是研究排队系统的运作规律和性能指标的数学理论。
在排队论中，考生需要了解排队系统的稳定性条件、平衡方程、性能指标的计算方法等。
7. 多目标决策多目标决策是指在考虑多个目标时的决策问题。
在多目标决策中，往往需要考虑到多个目标之间的矛盾和权衡，因此考生需要掌握多目标规划的基本原理和解题方法。
8. 随机规划随机规划是考虑到不确定因素的决策问题。
在随机规划中，目标函数、约束条件等参数都是随机变量，因此需要考虑到风险和概率的因素。
以上是一些运筹学中的必考知识点，考生在备考过程中需要重点关注这些知识点。
运筹学复习考点
整理课件
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• （4）动态规划的基本方程是将一个多阶段的决策问题转化为一系列具 有递推关系的单阶段决策问题。
• 正确。 • （5）建立动态规划模型时，阶段的划分是最关键和最重要的一步。 • 错误。 • （6）动态规划是用于求解多阶段优化决策的模型和方法，这里多阶段
• 错误。
• 唯一最优解时，最优解是可行域顶点，对应基本可行解；无穷多最优 解时，除了其中的可行域顶点对应基本可行解外，其余最优解不是可 行域的顶点。
• （12）若线性规划问题具有可行解，且其可行域有界，则该线性规划 问题最多具有有限个数的最优解。
• 错误。
• 如果在不止一个可行解上达到最优，它们的凸组合仍然是最优解，
结束时间不允许有任何延迟。 • 正确。 • （10）网络关键路线上的所有作业，其总时差和自由时差均为零。 • 正确。 • （11）任何非关键路线上的作业，其总时差和自由时差均不为零。 • 错误。
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• （12）若一项作业的总时差为零，则其自由时差一定为零。 • 正确。 • （13）若一项作业的自由时差为零，则其总时差比为零。 • 错误。 • （14）当作业时间用a,m,b三点估计时，m等于完成该项作业的期
既可以是时间顺序的自然分段，也可以是根据问题性质人为地将决策 过程划分成先后顺序的阶段。
• 正确。
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•
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5 3 6 -6 0
0
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5
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4 0 1 -1 1 0
运筹学重点内容
1.科学决策科学决策是指决策者凭借科学思维，利用科学手段和科学技术所进行的决策。
程序性：在正确的理论指导下，按照一定的程序，正确运用决策技术和方法来选择行为方案。
创造性：决策总是针对需要解决的问题和需要完成的新任务，运用多种思维方法进行的创造性劳动。
择优性：在多个方案的对比中寻求能获取较大效益的行动方案，择优是决策的核心。
指导性：决策结果必须指导实践。
2. 运筹学运筹学是一种科学决策方法。
是依据给定目标和条件从众多方案中选择最优方案的最优化技术。
是一门寻求在给定资源条件下，如何设计和运行一个系统的科学决策方法。
与管理科学关系:管理科学涵盖的领域比运筹学更宽一些。
可以说，运筹学是管理科学最重要的组成部分。
与系统科学、系统分析、工业工程的关系:系统科学、系统分析、工业工程等学科的研究内容比运筹学的研究内容窄一些。
3.运筹学研究的特点科学性：运筹学是在科学方法论的指导下通过一系列规范化步骤进行的；运筹学是广泛利用多种学科的科学技术知识进行的研究。
运筹学研究不仅仅涉及数学，还要涉及经济科学、系统科学、工程物理科学等其它学科。
实践性：运筹学以实际问题为分析对象，通过鉴别问题的性质、系统的目标以及系统内主要变量之间的关系，利用数学方法达到对系统进行最优化的目的。
分析获得的结果要能被实践检验，并被用来指导实际系统的运行。
系统性：运筹学用系统的观点来分析一个组织（或系统），它着眼于整个系统而不是一个局部，通过协调各组成部分之间的关系和利害冲突，使整个系统达到最优状态。
综合性：运筹学研究是一种综合性的研究，它涉及问题的方方面面，应用多学科的知识，因此，要由一个各方面的专家组成的小组来完成。
4.运筹学模型运筹学研究的模型主要是抽象模型:数学模型。
数学模型的基本特点是用一些数学关系（数学方程、逻辑关系等）来描述被研究对象的实际关系（技术关系、物理定律、外部环境等）。
4.1模型特点它们大部分为最优化模型。
一般来说，运筹学模型都有一个目标函数和一系列的约束条件，模型的目标是在满足约束条件的前提下使目标函数最大化或最小化。
(新)运筹学复习要点
运筹学复习要点1．线性规划部分（1）会求一般线性规划问题的标准形式。
要求见38页表格。
（2）了解线性规划的可行解、基解、基可行解、最优解、基变量、非基变量等概念。
（3）知道单纯形法的几个基本定理。
（4）掌握大M法与两阶段法求解线性规划问题的方法步骤。
（5）知道线性规划问题唯一最优解，有无界解，无穷多最优解，无可行解的判别方法。
（6）了解单纯形法的矩阵表示方法，会找出B-1 。
2．对偶理论（1）会求原规划问题的对偶问题。
（2）了解对偶原理。
（3）知道对偶单纯形法的迭代步骤。
（4）灵敏度分析部分：会对增加变量与增加约束条件情况进行分析。
3．运输问题（1）知道运输问题的数学模型。
（2）掌握运输问题的表上作业法（初始方案的确定，最优性检验，调运方案的调整）。
（3）会处理产大于销的运输问题。
4．指派问题（1）知道匈牙利法解决分配问题的理论依据，掌握匈牙利法求解指派问题的方法。
（2）知道人多任务少时的处理方法及人比任务少时的处理方法。
5．整数规划（1）会用割平面法求解整数规划问题6．目标规划（1）会建立目标规划数学模型，会解释目标约束的意义。
（2）会用图解法求解目标规划。
7．图论部分（1）了解图的基本概念：简单图、完全图、偶图、子图、部分图等，次（度）、链、路、圈、回路等。
（2）知道树的概念和基本性质。
知道求图的最小部分树的理论依据和方法。
（3）会求最短路。
（4）会求网络的最大流与最小割。
（5）会求最小费用流。
8.动态规划（1）了解动态规划的基本概念及最优化原理.（2）知道动态规划的基本方程与求解方法.9．决策分析（1）掌握不确定型决策分析条件收益矩阵与机会损失矩阵建立方法及相关决策准则。
（2）会运用决策树方法解决简单的序贯决策问题。
（3）掌握AHP法的分析问题步骤，会用和法求判断矩阵的特征向量。
运筹学复习题一、填空题1．在线性规划标准形式中，要求约束条件右侧常数),,2,1(m i b i =为_____ 数。
运筹学期末考试知识点(16级)
运筹学期末考试知识点绪论1.运筹学的研究对象，研究内容（运筹学的分支）；线性规划2.可行解、基解、基可行解的基本含义、性质及区别；3.单纯形法求解LP问题的基本思路，单纯形法求解；4.解的判断（唯一最优解、多重最优解、无界解、无可行解）；对偶及灵敏度分析5.求某一LP问题的对偶问题，对偶问题和原问题之间的关系；6.强弱对偶理论等相关定理与推论；7.对偶单纯形法的求解思路；8.根据单纯形表得出原问题和对偶问题的最优解；9.灵敏度分析包含的内容，掌握目标函数价值系数c、右端向量b的灵敏度分析的计算；运输问题10.运输问题模型的特点；11.运输问题检验数的实际含义；12.产销不平衡、道路不通的运输问题的处理；存储论13.描述存储策略的指标；评价存储策略优劣的指标；14.掌握4种确定性存储模型的存储状态图；15.4种确定性存储模型的T0、Q0、C0的求解；16.有批发折扣价存储模型的求解；17.K、R、P、c1、c2、c3等参数的改变对T0、Q0、C0的影响；18.报童问题的特点；动态规划；19.动态规划的研究对象、基本思路及包含的几类典型问题；20.理解阶段变量、状态变量、决策变量、状态转移方程、阶段指标函数、过程指标函数、边界条件等的含义以及根据具体问题定义上述变量；21.两类动态规划问题（资金分配问题和资源动态分配问题）的求解；排队论22.熟练掌握排队系统的分类（X/Y/Z/A/B/C），了解其中每个符号的含义；23.理解λ和μ的含义，掌握λ和μ的确定方法；24.理解ρ的含义；25.求解M/M/1 排队系统的各运行指标ρ、p0、L、L q、W、W q等。
考试时间：120分钟；考试形式：闭卷（允许带计算器）；考试题型及分值：是非题（每题1分×10题=10分）单选题（每题2分×10题=20分）线性规划综合题（15分）动态规划（20分）存储论（20分）排队论（15分）练习题1、求解以下线性规划问题Max z＝2x1＋3x2＋x3x1＋x2＋x3≤3s.t. x1＋4x2＋7x3≤9x j≥02、已知某LP问题单纯形法求解过程如下表，求：（1）本问题的最优解；其对偶问题的最优解；（2）对c1进行灵敏度分析；（3）当资源系数b1由6变为8时，最优解是否变化？最优基是否变化？3、某公司有资金4万元，可向A、B、C三个项目投资，已知各项目的投资回报如下，求最大回报。
运筹学复习要点
运筹学复习要点运筹学复习要点第二章线性规划与单纯形法一、标准型：规定具有下述条件的线性规划问题为标准型式的线性规划问题：1、目标函数为求最大；2、约束条件为等式约束；3、决策变量为非负。
二、线性规划问题具有的特征：1、每一问题都用一组决策变量（x1, x2, . . . ,xn）表示某一方案；2这组决策变量的值就代表一个具体方案，一般这些变量值是非负的；3、存在一定的约束条件，它们可用线性等式或不等式表示；4、都有一个要求达到的目标，它们可用决策变量的线性函数表示，称目标函数。
根据问题不同，要求目标函数实现最大化或最小化。
三、图解法的结论：1、可行域一定是凸集，即该区域内任意两点间连线上的点仍在该区域内；2、线性规划最优解不可能在凸集内的点上实现；3、线性规划问题有可能存在无穷多最优解；4、如果可行域无界，则最优解可能是无界解；5、如果不存在可行域，则没有可行解，也一定不存在最优解；6图解法只适用于两个决策变量的情况。
四、单纯形法：其基本思路是首先确定一个初始基可行解，然后判断该基可行解是否为最优解。
如果是最优解，则求解过程结束；如果不是最优解，则在此基础上变换找出另一个基可行解，该基可行解的目标函数值应该优于原基可行解。
再判断新的基可行解是否为最优解，如果是最优解，则求解过程结束；如果不是最优解，则在此基础上变换再找出另一个新基可行解，如此进行下去，直到找到最优解为止。
五、最优性检验与解的形式：最优解的判别定理，若X(0) = (b′1, b′2, ……… ,b′m, 0, …… , 0)T为对应于基B的一个基可行解，且对于一切j = m + 1, …… , n，有σj6 0，则X(0)为最优解，称σj为检验数。
无穷最多解判别定理，若X(0) = (b′1, b′2, …… , b′m, 0, …… , 0)T为对应于基B的一个基可行解，且对于一切j = m + 1, …… , n，有σj6 0，又存在某个非基变量的检验数σm+k= 0，则线性规划问题有无穷多最优解。
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运筹学考试重点 考试题型：1、填空题30分2、判断题10分3、原问题转化为对偶问题10分/15分4、M 法单纯线性规划计算20分/15分5、图解法、单纯性法计算30分 绪论运筹学的工作步骤——P3（1）提出和形成问题；（2）建立模型；（3）求解；（4）解的检验；（5）解的控制；（6）解的实施。
运筹学模型的三种基本形式——P3(1)形象模型；(2)模拟模型；(3)符号或数学模型,目前用得最多的是符号或数学模型。
线性规划的三个特征——P9（ 必考）（1）每一个问题都用一组决策变量（x 1，x 2，x 3，……x n ）表示某一方案，这组决策变量的值就代表一个具体方案。
一般这些变量取值是非负且连续的。
（2）存在有关的数据，同决策变量构成互不矛盾的约束条件，这些约束条件可以用一组线性等式或线性不等式来表示。
（3）都有一个要求达到的目标，它可用决策变量及其有关的价值系数构成的线性函数（称为目标函数）来表示。
按问题的不同，要求目标函数实现最大化或最小化。
线性规划的数学模型（一般式形式），以及c j 、a ij 、b i 含义、——P10 m ax (min)Z=c 1x 1＋c 2x n +……c n x n ——目标函数，c j 为价值系数； a11x 1＋a 12x 2＋……a 1n x n ≤（=,≥）b 1 ——约束条件 a 21x 1＋a 22x 2＋……a 2n x n ≤（=,≥）b 2 ——约束条件 ………………………a m1x 1＋a m2x 2＋……a mn x n ≤（=,≥）b m ——约束条件x 1 , x 2 …… x n ≥0 ——变量的非负约束条件a ij 技术系数，b i 限额系数勃兰特规则：1）选取Cj-Zj ＞0中下标最小的非基变量X k 为换入变量。
即()0min ＞j j z c j k -=。
2）当按θ规则计算存在两个和两个以上最小比值时，选择下标最小的基变量为换出变量。
线性规划问题的所有可行解构成的集合为 凸集 集合，也可能为 无界域 集合，它有有限个顶点，每个顶点对应于线性规划问题的 基可行解 ，若它有最优解，则必在集合的某个顶点上达到。
如果把约束方程x1＋3x2≤4 标准化为x1＋3x2＋x3= 42x1 ＋5x2≥5 2x1＋5x2－x4＋x5=5则：x1为决策变量，x2为决策变量，x3为非负松弛变量，x4为非负剩余变量，x5为人工变量。
线性规划问题的基可行解与基解的区别：基解是基可行解的分量≥0。
已知原线性规划数学模型m ax Z=CX，AX= b，X≥0，则其对偶问题数学模型为m in =Yb，YA≥C，Y为无约束。
在单纯形法中，初始基可能由决策变量、松弛变量、人工变量三种类型组成。
P78 运输问题的数学模型，它包含m×n个变量，（m＋n）个约束方程，（m＋n－1）个基变量。
对产销平衡的运输问题，其数学模型，最多只有（m＋n－1）个独立约束方程，即系数矩阵的秩≤（m＋n－1）。
5个产地，5个销地的平衡运输问题，基变量有9个。
设运输问题，求最大值，当所有的检验数≤0 时，求得最优解。
非基变量的系数 CN1－CBB-1N1就是第一章中用符合cj-zj表示的检验数。
判断题：1、线性规划的基可行解,与可行域D的顶点一一对应(√)2、若X_是原问题的可行解，Y_是对偶问题的可行解，则存在CX_≤Y_b (√)3、对偶的两个数学模型，其中一个有最优解，那么另一个问题也有最优解。
√4、凡是基解一定是可行解。
×5、基解对应的基是可行基。
×6、线性规划的最优解一定是基最优解。
×7、互为对偶问题或者同时有最优解或无最优解。
√8、对偶问题有可行解，原问题也有可行解。
×9、（m＋n－1）个变量构成基本变量组的充要条件是它们不包闭回路。
√10、原问题有无界解，对偶问题有不可行解或不可行。
√P57 弱对偶性若X_是原问题的可行解，Y_是对偶问题的可行解，则存在CX_≤Y_b。
P58 对偶理论原问题有最优解，那么对偶问题也有最优解；且目标函数值相等。
例：用图解法和单纯形法求解下题。
m ax Z=2x1＋5x2x1≤42x2≤123x1＋2x2≤18x1，x2≥0图解法步骤：画图；求坐标；找交集；交点的坐标代入原函数。
解：图解法建立坐标系，横轴为x1，纵轴为x2,。
分别画出x1=4，x2=6，3x1＋2x2=18的图形。
其交点为A1(0,6)、A2(2,6)、A3(4,3)、A4(4,0)。
A2点：由3x1＋2x2=18、x2=6解得x1=2A3点：由3x1＋2x2=18、x1=4解得x2=3x1x1=4将A1(0,6)、A2(2,6)、A3(4,3)、A4(4,0)代入m ax Z=2x1＋5x2中，Z 1=2×0＋5×6=30；Z2=2×2＋5×6=34；Z3=2×4＋5×3=23；Z4=2×4＋5×0=8。
最大值为Z﹡=34为最优解。
∴由图可知，A2x1=2，x2=6， Z﹡=34。
单纯形法：此问题的标准型：m ax Z =2x1＋5x2＋0x3＋0x4＋0x5x1＋x3 = 42x2＋x4 =12 3x1＋2x2＋x5 =18 x1，x2，x3，x4，x5≥0σ1=2-（0×1+0×0+0×3）=2；σ2=5-（0×0+0×2+0×2）=5；σ3=0-（0×1+0×0+0×0）=0；σ4=0-（0×0+0×1+0×0）=0；σ5=0-（0×0+0×0+0×1）=0；或：x3，x4，x5的系数列组成的是单位矩阵，其σj均为0。
选σj最大的数值所对应的列为换入变量，故x2为换入变量。
θ3= b÷换入变量系数=4÷0=-（无意义）；θ4= 12÷2=6；θ5= 18÷2=9。
选θi最小的数值所对应的行为换出变量，故x4为换出变量。
换入变量的列与换出变量的行相交的数值作为主元素。
下一步，使主元素变成1，本列中的其他系数变成0。
当σj＜0时，终止计算。
∴x1=2，x2=6，x3=3，x4=0，x5=0。
将其带入目标函数中可得：m ax Z =2x1＋5x2＋0x3＋0x4＋0x5=2×2＋5×6＋0×3＋0×0＋0×0=34 ∴Z﹡=34对偶问题：m ax Z =4x1＋8x2＋2x3x1＋x2≤ 1－x1＋x2＋x3≤ 2x1＋2x2－x3≤ 3x1≥0，x2≤0，x3≥0解：对偶问题y1x1＋x2≤ 1y 2－x1＋x2＋x3≤ 2y 3x1＋2x2－x3≤ 3x1≥0，x2≤0，x3≥0min W = y1＋2y2＋3y3y1－y2＋y3≥4y1＋y2＋2y3≤80y1＋y2－y3≥2Y1≥0，y2≥0，y3≥0 化为标准型：y1－y2＋y3－y4=4y1＋y2＋2y3＋y5=80y1＋y2－y3－y6=2Y1，y2，y3，Y4，y5，y3≥0用图解法和单纯形法解线性规划问题，并指出单纯形法迭代的每一步，相应于图形上的哪一个顶点。
m ax Z =2x1＋x23x1＋5x2≤156x1＋2x≤242x1，x2≥0解：化为标准型m ax Z =2x1＋x2＋0x3＋0x43x1＋5x2＋x3 =156x1＋2x＋x4=242x1，x2，x3，x4≥0图解法：x263/4）3x1＋5x2≤15∴X﹡=（15/4，3/4，0，0）T。
将其带入目标函数中可得：m ax Z =2x1＋x2＋0x3＋0x4=2×15/4＋1×3/4＋0×0＋0×0=33/4。
∴Z﹡=33/4。
单纯形法：σ1=2-（0×3+0×6）=2；σ2=1-（0×5+0×2）=1；σ3=0-（0×1+0×0）=0；σ4=0-（0×0+0×1）=0。
θ3=15÷3=5；θ4= 24÷6=4。
∴X﹡=（0，0，15，24）T，它对应图解法中的原点。
选σj最大的数值所对应的列为换入变量，故x1为换入变量。
选θi最小的数值所对应的行为换出变量，故x4为换出变量。
换入变量的列与换出变量的行相交的数值作为主元素。
下一步，使主元素变成1，本列中的其他系数变成0。
σ1=2-（0×0+2×1）=0；σ2=1-（0×4+2×1/3）=1/3；σ3=0-（0×1+2×0）=0；σ4=0-（0×-1/2+2×1/6）=-1/3。
θ3=3÷4=3/4；θ1= 4÷1/3=12。
∴X﹡=（4，0，3，0）T，它对应图解法中的A1（4，0）点。
选σj最大的数值所对应的列为换入变量，故x2为换入变量。
选θi最小的数值所对应的行为换出变量，故x3为换出变量。
换入变量的列与换出变量的行相交的数值作为主元素。
下一步，使主元素变成1，本列中的其他系数变成0。
σ1=2-（1×0+2×1）=0；σ2=1-（1×1+2×0）=0；σ3=0-（1×1/4+2×-1/12）=-1/12；σ4=0-（1×-1/8+2×5/24）=-7/24。
当σj＜0时，终止计算。
∴X﹡=（15/4，3/4，0，0）T，它对应图解法中的A2（15/4，3/4）点。
m ax Z =2x1＋x2＋0x3＋0x4=2×15/4＋1×3/4＋0×0＋0×0=33/4。
∴Z﹡=33/4。
用大M法，求解：minZ =-3x1＋4x24x1＋2x2≥5x1－x2=1x1，x2≥0解：化为标准型 m in Z =-3x1＋4x2＋0x3＋M x4＋M x54x1＋2x2－x3＋x4 =5x1－x2＋x5=1x1，x2，x3，x4，x5≥0Mσ1=-3-（M×4+M×1）=-3－5M；σ2=4-（M×2+M×-1）=4－M；σ3=0-（M×-1+M×0）=M；σ4=M-（M×1+M×0）=0；σ5=M-（M×0+M×1）=0；σ5=0-（0×0+0×0+0×1）=0；或：x4，x5的系数列组成的是单位矩阵，其σj均为0。