高二数学理科试题及答案

2014-2015学年高二期末考试理科数学试题

一、选择题（共12小题，满分60分，每题5分）

1．

在二项式(1-2x)n

的展开式中,偶数项的二项式系数之和为128,则展开式的中间项的系数为 A.-960 B.960 C .1 120 D.1 680

2．在(1+x)n (n ∈N *)的二项展开式中,若只有x 5的系数最大,则n=

A.8

B.9

C .10

D.11

3．不等式136x x -+-≥的解集是（ ）

A ．(][),15,-∞-+∞U

B ． ()(),15,-∞-+∞U

C ． []1,5-

D ．()1,5-

4．二项式6(ax 的展开式的第二项的系数为3-，则22a x dx -?的值为（ ）

A ．

73 B ．3 C ．3或73 D ．3或3

10

- 5．从6,5,4,3,2,1中任取2个不同的数，事件=A “取到的2个数之和为偶数”，事件=B “取

到的2个数均为偶数”，则=)(A B P ( ) A ．

81 B. 4

1 C.

52 D . 2

1

6．学校计划利用周五下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、理综4科的专题讲座，

7. 已知随机变量ξ服从二项分布ξ～()p n B ,，且,200,300==ξξD E 则p 等于（ ）

A ．

12 B ．13 C ． 25 D ． 14

8.曲线的参数方程为???-=+=1

2

32

2t y t x (t 是参数)，则曲线是（ ）

A.直线

B.双曲线的一支

C.圆 D .射线

9．已知某产品连续4个月的广告费用x i (千元)与销售额y i (万元),经过对这些数据的处理,得

到如下数据信息:①

x i =18,

y i =14;②广告费用x 和销售额y 之间具有较强的线性相关关

系;③回归直线方程

=x+中的=0.8(用最小二乘法求得).则当广告费用为6千元时,可预测销售额约为

A.3.5万元 B .4.7万元 C.4.9万元 D.6.5万元 10．函数（ ） A.6

B.2

C.5

D.2

11．已知过曲线()??

?≤≤==πθθθ

θ

0sin 4cos 3，y x 为参数上一点P ，原点为O ，直线PO 的倾斜角

为

4

π

，则P 点坐标是( ) A 、（3，4） B 、???

?

??22223， C 、??? ??512512， D 、(-3，-4) 12．设正实数z y x ,,满足04322=-+-z y xy x ,则当z xy

取得最大值时，z

y x 212-+的最大值为（ ）

A ．0

B ．1

C ．4

9

D ．3 二、填空题（每题5分，共20分） 13.在极坐标系中,过点A （4,2

π

-

）引圆4sin ρθ=的一条切线,则切线长 .

14．1000名考生的数学成绩近似服从正态分布(100,100)N ，则成绩在120分以上的考生人数约为 .

（注：正态总体2

(,)N μσ在区间(,)μσμσ-+，(2,2)μσμσ-+,(3,3)μσμσ-+，内取值的概率分别为0.683，0.954，0.997）．

15.在极坐标系中，点)6,2(π到直线1)6

sin(=-π

θρ的距离是______.

16．已知a ，b ，c 是正实数，且a ＋b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1

c 的最小值为________

三、解答题共（17题10分，18-22题，每题12分，共60分） 17．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选将 已知定义在R 上的函数()21-++=x x x f 的最小值为a . （I ）求a 的值；

（II ）若r q p ，，

为正实数，且a r q p =++，求证：3222≥++r q p .

18． 设函数f (x )＝|2x －1|－|x ＋2|.

(1)求不等式f (x )≥3的解集；

(2)若关于x 的不等式f (x )≥t 2－3t 在[0,1]上无解，求实数t 的取值范围．

19．在直角坐标系中，以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线

θθρcos 2sin :2a C =)0(>a ，已知过点)4,2(--P 的直线l 的参数方程为

???

???

?

+-=+-=t y t

x 2

2422

2 （t

为参数）

，直线l 与曲线C 分别交于N M ,两点。 （1）写出曲线C 和直线l 的普通方程；

（2）若|||,||,|PN MN PM 成等比数列,求a 的值．

20．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xoy 中，已知曲线C 1 12

2

=+y x ，以平面直角坐标系xoy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l ：6)sin cos 2(=-θθρ

（1）将曲线C 1上的所有点的横坐标，纵坐标分别伸长为原来的3、2倍后得到曲线C 2，试写出直线l 的直角坐标方程和曲线C 2的参数方程.

（2）在曲线C 2上求一点P ，使点P 到直线l 的距离最大，并求出此最大值.

21．（本小题满分12分）

一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示：

将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.

（Ⅰ）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个的概率；

（Ⅱ）用X 表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X 的分布列，期望()E X 及方差()D X .

22．某种产品的广告费支出x 与销售额y (单位：万元)之间有如下对应数据：

(1)(2)试预测广告费支出为10万元时，销售额多大？

(3)在已有的五组数据中任意抽取两组，求至少有一组数据其预测值与实际值之差的绝对值不超过5的概率.(

参考数据：∑

i ＝15

x 2i ＝145，∑i ＝15y 2

i ＝13 500，∑

i ＝1

5

x i y i ＝1 380

)

参考公式^

^

1

1

2

222

1

1

()()

,()n

n

i i

i

i

i i n

n

i

i

i i x y nx y x x y y b a y b x x

nx

x

x ====---=

=

=---∑∑∑∑

2014-2015学年高二期末考试理科数学试题答案

一、选择题：1-5 CCAAD 6-10 CDDBD 11-12 CB 二、填空题：13、

； 14、23 ； 15、1 16、9 三、解答题

17、试题解析：（I ）因为12(1)(2)3x x x x ++-≥+--=,当且仅当12x -≤≤时,等号成立,所以()f x 的最小值等于3,即3a =. 5分 （II ）由（I ）知

3p q r ++=,又因为,,p q r 是正数,所以

2222222

()(111)

(11

1)()9

p q r p q r p q r +++

+

≥?+?+?=++=,即222

3p q r ++≥. 10分

18、试题解析： (1)由题知f (x )＝????

?

x －3，x ≥

1

2

－3x －1，－2

，3－x ，x ≤－2

3分

所以原不等式转化为????? x ≥12x －3≥3或?????

－2

－3x －1≥3

或?

????

x ≤－2，

3－x ≥3，

所以原不等式的解集为{x |x ≥6或x ≤－4

3}． 6分

(2)由题知在[0,1]上，只要f (x )max 3＋52或t <3－5

2. 12分

19、：（Ⅰ）C: 02:,22

=--=y x l ax y 5分

（Ⅱ）将直线的参数表达式代入抛物线得a

t t a t t a t a t 832,22280

416)224(2121212

+=+=+∴=+++- 8分

因为|||||,||||,|||2121t t MN t PN t PM -=== 由题意知，

21221212215)(||||t t t t t t t t =+?=- 代入得 1=a 12分

20、解：（1）由题意知，直线l 的直角坐标方程为：

2x-y-6=0 -----------2分

∵曲线C 2的直角坐标方程为22

1

2y ??

+= ???

--------------4分

∴曲线C 2的参数方程为

（θ为参数）。--------------6分

（2）设点P 的坐标

则点P 到直线l 的距离为：

d ==

--------------10分

∴当sin （60θ?-）=-1时，点P 3,12??

-

???

--------------11分

此时

max d = = 。--------------12分

21、【解析】（Ⅰ）记1A 表示事件“日销售量不低于100个”，2A 表示事件“日销售量低于50个”，B 表示事件“未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个”，因此结合日销售量的频率分布直方图得

()()10.0060.0040.002500.6p A =++?=; ()20.003500.15p A =?=; ()0.60.60.1520.108p B =???=

（Ⅱ）X 的可能取值为0,1,2,3，相应的概率为

()()3

01310.60.064p X C =-=，()()2

1230.610.60.288p X C =?-= ()()1

22230.610.60.432p X C =?-=，()33

330.60.216p X C ==

所以X 的分布列为

因为()3,0.6X B ,所以随机变量X 的期望()30.6 1.8E X =?=， 方差()()30.610.60.72D X =??-=

22、 (1)回归直线方程为y ^

＝6.5x ＋17.5. (2) 82.5万元． (3) 910

.

详解：(1)x ＝2＋4＋5＋6＋85＝25

5＝5，

y ＝

30＋40＋60＋50＋705＝250

5

＝50，--------------2分

又已知∑

i ＝15

x 2

i ＝145，∑

i ＝1

5

x i y i ＝1 380，

于是可得：b ^＝

∑i ＝1

5

x i y i －5x y

∑i ＝1

5

x 2i －5x

2

＝

1380－5×5×50

145－5×5×5

＝6.5， --------------4分

a ^＝y －

b ^

x ＝50－6.5×5＝17.5，

因此，所求回归直线方程为y ^

＝6.5x ＋17.5. --------------5分

(2)根据上面求得的回归直线方程，当广告费支出为10万元时，y ^

＝6.5×10＋17.5＝82.5(万元)，

即这种产品的销售收入大约为82.5万元．--------------7分 (3)

基本事件：(30,40)，(30,60)，(30,50)，(30,70)，(40,60)，(40,50)，(40,70)，(60,50)，(60,70)，(50,70)共10个．

两组数据其预测值与实际值之差的绝对值都超过5有(60,50)，

所以至少有一组数据其预测值与实际值之差的绝对值不超过5的概率为1－110＝9

10

. -------12分