中考数学专题提升(一)

二轮专题提升

专题提升(一) 综合型问题

1．[2012·荆门]如图Z－1－5，△ABC是等边三角形，P是∠ABC的平分线BD 上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q.若BF＝2，则PE的长为(C)

图Z－1－5

A．2B．2 3

C. 3 D．3

【解析】∵△ABC是等边三角形，P是∠ABC的平分线，

∴∠EBP＝∠QBF＝30°.∵BF＝2，FQ⊥BP，

∴BQ＝BF·cos30°＝2×

3

2＝ 3.

∵FQ是BP的垂直平分线，∴BP＝2BQ＝2 3.在Rt△BEP中，∵∠EBP＝30°，

∴PE＝1

2BP＝ 3.故选C.

2．[2010·黄冈]已知四条直线y＝kx－3，y＝－1，y＝3和x＝1所围成的四边形的面积是12，则k的值为

(A)

A．1或－2 B．2或－1

C ．3

D ．4

【解析】 依题意过(0，－3)的直线y ＝kx －3与y ＝－1，y ＝3，x ＝1所围的四边形有两种情况．分别求出各顶点的坐标(含k )，利用面积等于12分别求出k ＝1或－2.选A.

3．[2012·嘉兴]如图Z －1－6，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，BA ＝BC .点D 是

AB 的中点，连结CD ，过点B 作BG ⊥CD ，分别交CD ，CA 于点E ，F ，与过点A 且垂直于AB 的直线相交于点G ，连结DF .给出以下四个结论：①

AG

AB

＝FG FB ；②点F 是GE 的中点；③AF ＝2

3AB ；④S △ABC ＝5S △BDF ，其中正确结论的序号是 ①③ ．

图Z －1－6

【解析】 ∵在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°， ∴AB ⊥BC .∵AG ⊥AB ，∴AG ∥BC ， ∴△AFG ∽△CFB ， ∴AG CB ＝FG FB .

∵BA ＝BC ，∴ AG AB ＝FG

FB ， 故①正确；

∵∠ABC ＝90°，BG ⊥CD ，

∴∠DBE ＋∠BDE ＝∠BDE ＋∠BCD ＝90°，

∴∠DBE＝∠BCD.

∵AB＝CB，点D是AB的中点，

∴BD＝1

2AB＝

1

2CB，

∴tan∠BCD＝BD

BC＝

1

2，

∴在Rt△ABG中，tan∠ABG＝AG

AB＝

1

2.

∵AG

AB＝

FG

FB，∴FG＝

1

2FB，故②错误；

∵△AFG∽△CFB，∴AF∶CF＝AG∶BC＝1∶2，

∴AF＝1

3AC.

∵AC＝2AB，∴AF＝

2

3AB，故③正确；

∵BD＝1

2AB，AF＝

1

3AC，∴S△ABC＝6S△BDF，

故④错误．

故答案为①③.

4．[2011·芜湖]如图Z－1－7，在平面直角坐标系中有一正方形AOBC，反比例

函数y＝k

x经过正方形AOBC对角线的交点，半径为(4－22)的圆内切于

△ABC，则k的值为__4__．

图Z－1－7

【解析】设圆心为I，正方形对角线交点为P，则PC＝PI＋IC＝4－22＋2 (4－22)＝22，

∴BC＝4＝OB，

∴P点坐标为(2，2)．∵点P在y＝k

x上，

∴k＝22＝4.

5．[2011·南通]如图Z－1－8，三个半圆依次相外切，它们的圆心都在x轴的正

半轴上并与直线y＝

3

3x相切，设半圆C1，半圆C2，半圆C3的半径分别是

r1，r2，r3，则当r1＝1时，r3＝__9__．

图Z－1－8

【解析】依题意直线y＝

3

3x与x轴的夹角为30°，分别过C1，C2，C3作过

切点的半径，交直线y＝

3

3x于P1，P2，P3.

又过C1作C1B⊥C2P2于B，则C1C2＝1＋r2，C2B＝r2－1，则1＋r2＝2(r2－1)，r2＝3，

同理得3＋r3＝2(r3－3)，r3＝9.

6．[2011·金华]如图Z－1－9，射线PG平分∠EPF，O为射线PG上一点，以O 为圆心，10为半径作⊙O，分别与∠EPF两边相交于A，B和C，D，连结OA，此时有OA∥PE.

(1)求证：AP＝AO；

(2)若AB＝12，求tan∠OPB的值；

(3)若以图中已标明的点(即P，A，B，C，D，O)构造四边形，则能构成菱形

的四个点为________，能构成等腰梯形的四个点为________或________或________．

图Z－1－9

【解析】(1)证∠APO＝∠POA；

(2)作OH⊥AB于H，由垂径定理求OH，又∵P A＝AO，

∴PH＝AO＋AH，计算tan∠OPB＝OH

PH就容易了；

(3)由OA∥PE知OC∥PF，从而寻找菱形和等腰梯形．解：(1) 证明：∵PG平分∠EPF，

第6题答图

∴∠DPO＝∠BPO.

∵OA∥PE，∴∠DPO＝∠POA，

∴∠BPO＝∠POA，∴AP＝AO.

(2) 过点O作OH⊥AB于点H，

则AH＝HB＝1

2AB＝6.

又∵OA＝10，∴OH＝OA2－AH2＝8. 又∵PH＝P A＋AH＝AO＋AH＝16，

∴tan ∠OPB＝OH

PH＝

8

16＝

1

2.

(3)P，A，O，C A，B，D，C P，A，O，D P，C，O，B 7．[2012·荆门]荆门市是著名的“鱼米之乡”．某水产经销商在荆门市长湖养殖