高三数学期末模拟试题(9)

高三数学期末模拟试题（9）命题：王道顺一、选择题：本大题共10小题；每小题5分，共50分．1．设全集R U =，}0)3(|{<+=x x x M ，}1|{-<=x x N ，则图中阴影部分表示的集合为A ．}03|{<<-x xB ．}1|{-≥x xC ．}3|{-≤x xD ．}01|{<≤-x x2．在递减等差数列}{n a 中，若051=+a a ，则n S 取最大值时n 等于 A ．2 B ．3 C ．4 D ．2或33．右图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是一个两底长分别为2和4，腰长为4的等腰梯形，则该几何体的侧面积是A ．π6B ．π12C ．π18D ．π24 4．设10<<<b a ，则下列不等式成立的是 A ．33b a > B ．ba 11< C ．1>b a D ．0)lg(<-a b 5．设m 、n 是不同的直线，γβα、、是不同的平面，有以下四个命题： ①．γβγαγβ//////⇒⎭⎬⎫ ②．βαβα⊥⇒⎭⎬⎫⊥m m //③．βαβα⊥⇒⎭⎬⎫⊥//m m ④．αα////m n n m ⇒⎭⎬⎫⊂，其中正确的命题是A ．①④B ．②③C ．①③D ．②④6．在∆ABC 中，若B ∠、C ∠的对边长分别为b 、c ，︒=∠.45B ，,22=c 334=b ，则=∠CA ．︒30B ．︒60C ．︒120D ．︒60或︒120 7．函数||||ln x x x y =的图像可能是8．若点P (1,1)为圆0622=-+x y x 的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线方程为 A ．032=-+y x B ．012=+-y x C ．032=-+y x D ．012=--y x9．若点P 是函数)2121(3≤≤---=-x x ee y xx图象上任意一点，且在点P 处切线的倾斜角为α，则α的最小值是A ．65π B ．43π C ．4π D ．6π10．已知直线l 过抛物线x y 42=的焦点F ，交抛物线于A 、B 两点，且点A 、B 到y 轴的距离分别为m 、n ，则m+n +2的最小值为A ．24B ．26C ．4D ．6 二、填空题：本大题共有5个小题，每小题5分，共25分．11.定义在R 上的函数)(x f ，如果存在函数b kx x g +=)((k ,b 为常数），使得)()(x g x f ≥对一切实数x 都成立，则称)(x g 为函数)(x f 的一个承托函数．现有如下命题：①对给定的函数)(x f ，其承托函数可能不存在，也可能有无数个．②函数x x g 2)(=为函数xx f 2)(=的一个承托函数． ③定义域和值域都是R 的函数)(x f 不存在承托函数． 其中正确命题的序号是：_____________ 12．已知)0,2(π-∈α，且54cos =α，则=α2tan _____________13.若x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤-≥+3021y y x y x ，则目标函数x y z 2+=的最大值是_________14.列R x ∈∀，不等式|1||3|)4(log 2-++≤-x x a 成立，则实数a 的取值范围是______15．已知函数∈++-=b a bx x x x f ,()(23αR ）的图象如图所示，它与x 轴在原点处相切，且x 轴与函数图象所围成的区域（如图阴影部分）的面积为121，则a=_____________三、解答题．本大题共6个小题，共75分． 16．已知函数)2sin()4cos()4sin(32)(πππ+-++=x x x x f ．(1)求)(x f 的最小正周期； (2)若将)(x f 的图象向右平移3π个单位，得到函数)(x g 的图象，求函数)(x g 在区间)2,0[π上的最大值和最小值，并求出相应的x 的值．17.如图，菱形ABCD 中，60=∠ABC ，⊥AE 平面ABCD ，⊥CF 平面ABCD ，.3,2===CF AE AB(1)求证：⊥EF 平面BDE ； (2)求锐二面角F BD E --的大小．18.已知数列}{n a 的前n 项和为S n ，对一切正整数n ，点),(n n S n P 在函数x x x f 2)(2+=的图像上，且过点),(n n S n P 的切线的斜率为k n ．(1)求数列}{n a 的通项公式；(2)若n kn a b n 2=，求数列}{n b 的前n 项和T n ．19.近日，国家经贸委发出了关于深入开展增产节约运动，大力增产市场适销对路产品的通知，并发布了当前国内市场185种适销工业品和42种滞销产品的参考目录．为此，一公司举行某产品的促销活动，经测算该产品的销售量P 万件（生产量与销售量相等）与促销费用x 万元满足123+-=x P (其中a x ≤≤0，a 为正常数)．已知生产该产品还需投入成本10+2P 万元(不含促销费用)，产品的销售价格定为)204(P+元／件． (1)将该产品的利润y 万元表示为促销费用x 万元的函数； (2)促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大． 20.已知函数)(ln 2)12(21)(2R ∈++-=x x x a ax x f ． (1)若曲线)(x f y =在x =l 和x =3处的切线互相平行，求a 的值及函数)(x f y =的单调区间；(2)设x e x x x g )2()(2-=，若对任意)2,0(1∈x ，均存在)2,0(2∈x ，使得)()(21x g x f <，求实数a 的取值范围．21．椭圆)0(12222>>=+b a by a x E ：与双曲线)30(1322222<<=--m m y m x 有公共的焦点，过椭圆E 的右顶点作任意直线l ，设直线l 交抛物线x y 22=于M 、N 两点，且ON OM ⊥．(1)求椭圆E 的方程；(2)设P 是椭圆E 上第一象限内的点，点P 关于原点O 的对称点为A 、关于x 轴的对称点为Q ，线段PQ 与x 轴相交于点C ，点D 为CQ 的中点，若直线AD 与椭圆E 的另一个交点为B ，试判断直线PA ，PB 是否相互垂直？并证明你的结论．高三数学期末模拟试题（9）答案一、选择题：DDBDC DBDBC 二、填空题：11、①12. 724- 13. 13 14. [)4,12- 15. 1- 三、解答题：16. 解：（1）())sin 22f x x x π=++sin 2x x =+ 2sin(2)3x π=+．所以)(x f 的最小正周期为π．……………… 6分（2） 将)(x f 的图象向右平移3π个单位，得到函数)(x g 的图象， ∴()()2sin 2()333g x f x x πππ⎡⎤=-=-+⎢⎥⎣⎦2sin(2)3x π=-． 0 2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，时，22,333x πππ⎡⎫-∈-⎪⎢⎣⎭， ∴当232x ππ-=，即512x π=时， )(x g 取得最大值2；………… 9分当233x ππ-=-，即0x =时， )(x g 取得最小值12分17. （1）证明：连接AC 、BD ，设O BD AC = ，∵ABCD 为菱形，∴BD AC ⊥，以O 为原点，OA ，OB 为x 、y 轴正向，z 轴过O 且平行于CF ，建立空间直角坐标系（图1），………… 2分 则)301()201()030()030(，，，，，，，，，，，--F E D B ，），，（，，，231)231(-==BE DE ，)102(，，-=EF ，………4分 ∴ 0=⋅，0=⋅，∴DE EF ⊥，BE EF ⊥， 又E BE DE = ，∴EF ⊥平面BDE .………6分（2）由知（1）)102(，，-=EF 是平面BDE 的一个法向量， 设m ),,(z y x =是平面BDF 的一个法向量，），，（，，，331)331(--=-=BF DF ,由m 0=⋅ , m 0=⋅得：⎪⎩⎪⎨⎧=+--=++-033033z y x z y x ，……… 8分取,3=x ，得0,1==y z ，于是m )1,0,3(=cos <m ,>=225105-=⋅-………10分 但二面角B —BD —F 为锐二面角， 故其大小为45. …………12分18.解：（1） 点),(n n S n P 都在函数x x x f 2)(2+=的图像上，∴2*2()n S n n n N =+∈．……………… 2分当n 2≥时，12 1.n n n a S S n -=-=+ 当1=n 时，113a S ==满足上式，所以数列}{n a 的通项公式为2 1.n a n =+ ……………… 6分 （2）由x x x f 2)(2+=求导可得()22f x x '=+， 因为过点),(n n S n P 的切线的斜率为n k ，22n k n ∴=+，24(21)4n k n n n b a n ∴=⋅+⋅＝，12343445447421)4n n ∴=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⋅⋅⋅⨯+⨯n T +4（ 2341443445447421)4n n +=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⋅⋅⋅⨯+⨯n T +4（两式相减得()231343424421)4n n n +⎡⎤-=⨯+⨯++⋅⋅⋅+⨯⎣⎦n T +4-（ ………9分21141434221)414n n n -+⎡⎤-=⨯+⨯+⨯⎢⎥-⎣⎦（4）-（26116499n n ++∴=⋅-n T ．……………………… 12分 19.解：（1）由题意知， )210()204(p x p py +--+=，将123+-=x P 代入化简得：x x y -+-=1416 （0x a ≤≤）. …………… 6分（2）13)1(14217)114(17=+⨯+-≤+++-=x x x x y ，当且仅当1,114=+=+x x x 即时，上式取等号. …………… 9分 当1a ≥时, 促销费用投入1万元时，厂家的利润最大; 当1a <时, )114(17+++-=x x y 在[]0,a 上单调递增, 所以x a =时,函数有最大值．即促销费用投入a 万元时，厂家的利润最大 . 综上,当1a ≥时, 促销费用投入1万元，厂家的利润最大;当1a <时, 促销费用投入a 万元，厂家的利润最大 .…… 12分20.解：（1）21()(21),(1)1,(3)3f x ax a f a f a x '''=-++=-+=-， 由(1)(3)f f ''=得23a =，272(23)(2)()333x x f x x x x--'=-+=…… 3分所以()y f x =：单调递增区间为30 2⎛⎫⎪⎝⎭，，()2 +∞，，单调递减区间为3 22⎛⎫⎪⎝⎭，. …………… 6分（2）若要命题成立，只须当[]0,2x ∈时，max max ()()f x g x <.由()()22e xg x x '=-可知， 当(]0,2x ∈时max ()(0)(2)0g x g g ===,所以只须max ()0f x <.…………… 8分对()f x 来说，2(1)(2)()(21)ax x f x ax a x x--'=-++=， ①当12a >时，max 11()()2ln 22f x f a a a==--- 当1a ≥时，显然max ()0f x <，满足题意，当112a <<时，令()112ln 2122h x x x x ⎛⎫=---<< ⎪⎝⎭， ()22102h x x x '=-+<，所以()h x 递减，所以()0h x <，满足题意，所以12a >满足题意；…………… 10分②当12a ≤时，()f x 在(]0,2x ∈上单调递增，所以max ()(2)2ln222f x f a ==--0<得1ln 212a -<≤ ，…… 12分综上所述， ln 21a >-.…………… 13分21.解：(1)设点),(11y x M ,),(22y x N设直线:l a x ty -= ,代入x y 22=并整理得0222=--a ty y 所以⎩⎨⎧-=⋅=+ay y ty y 222121 ………………… 2分故有21212121))((y y a ty a ty y y x x ⋅+++=⋅+⋅=⋅221212)()1(a y y at y y t ++++= 222)2)(1(a at a t ++-+=a a 22-= 解得2=a ………………… 5分又椭圆与双曲线有公共的焦点，故有3=c所以椭圆的方程为1422=+y x . ……………………… 7分 (2) PB PA ⊥证明：设),(00y x P ,则),(00y x A --,)21,(00y x D -且442020=+y x 将直线AD 的方程000)(4y x x x y y -+=代入椭圆的方程并整理得 01696)4(2020*******020=-+-+x y x y x x y x ……………… 9分由题意可知此方程必有一根0x -020*******x y x y x x B ++= , =-++=00202020000)246(4y x y x y x x y y B 2200203042y x y x y +- 所以002002020202000202002030664642y x y x y x y x y x y y x y x y k PB-=-=+-+-=………… 13分 故有1-=⋅PB PA k k , 即PB PA ⊥……………………… 14分。