18线段的计算和证明
七年级上线段的综合计算(教师版)
1、如图，点C 、D 为线段AB 上两点，AC ＋BD ＝a ，且AD ＋BC ＝57AB ，则CD 等于 。
（用含a 的式子表示）。
（a 32）2、已知，如图，B 、C 两点把线段AD 分成2∶5∶3三部分，M 为AD 的中点，BM ＝6 cm ，求CM 和AD 的长。
知识点一 基础线段问题 【知识梳理】1、常考题型：线段基本概念、线段计数、线段中点问题、方程思想求线段长度、分类讨论线段上点的位置关系、线段与数轴、绝对值结合的动点压轴问题等；2、常用方法：设元法、方程思想、分类讨论等；3、线段的中点、等分点对应的线段关系（1）概念：把线段分为两条相等的线段的点，叫做这条线段的中点。
（2）画图并思考①若点C 为线段AB 上任意一点（点C 不与A 、B 重合），点M 为线段AC 的中点，点N 为线段BC 的中点，则线段MN 与AB 有什么数量关系？②若点C 为线段AB 上任意一点（点C 不与A 、B 重合），且2AC=5BC ，问AC 与AB 、BC 与AB 的数量关系？【例题精讲一】线段的基础计算1、已知线段AB ，在AB 的延长线上取一点C ，使AC ＝2BC ，在AB 的反向延长线上取一点D ，使DA ＝2AB ，则线段AC 是线段DB 的 倍。
（32）2、已知线段AB=10cm，点C是直线AB上一点，BC＝4cm，若M是AC的中点，N是BC的中点，求线段MN的长度。
3、（1）如图，已知点C在线段AB上，且AC＝6cm，BC＝4cm，点M、N分别是AC、BC的中点，求线段MN的的长度；（2）对于（1）题，如果将“点C在线段AB上”改写成“点C在线段AB延长线上”，其他条件不变，画出图形并求线段MN的长度。
【课堂练习】1、已知点A、B、C在直线l上，若BC＝53AC，则BCAB＝。
（2585或）2、如图，点E是线段AB的中点，C是EB上一点，AC=12cm。
（1）若EC:CB=1：4，求线段AB的长；（20cm）（2）若F为CB的中点，求线段EF的长。
初中数学几何基证明技巧
初中数学几何基证明技巧黄文杰一.总论：1.研究几何图形要把我们生活中的折叠，平移，旋转等操作运用到几何学习和探究中来，充分运用生活的观察视角去研究问题和解决问题；2.要熟练掌握几何图形够成的基本元素是边和角，运用分类思想对组成图形的各要素进行研究和探索，得出合理的结论；3.充分灵活运用“边清，角清，已知条件清，等量关系清，问题清”和“合情推理”。
4.图形计算问题一般运用公式，等量关系，勾股定理，相似比建立方程解决。
5.辅助线的添加要以基本公理，定理模型图为根据，完善模型；计算题一般是构造直角三角形和相似三角形；面积问题一般是根据面积的和与差建立等量关系。
二.几何证明的分析和书写：（一）几何证明是平面几何中的一个重要问题，它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。
几何证明有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系。
这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。
（二）掌握分析、证明几何问题的常用方法：（1）综合法（由因导果），从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题的解决；例：如图，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AD为腰CB上的中线，CE⊥AD交AB于E．求证∠CDA＝∠EDB．12AB CDE（2）分析法（执果索因）从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止；例、如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，EF 垂直平分AD ，交AC 于E ，交AC 于F.求证：四边形AEDF 是菱形.（3）两头凑法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后达到证明目的。
例;已知：如图，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝90°，CD ⊥AD ，AD 2＋CD 2＝2AB 2．（1）求证：AB ＝BC ；（2）当BE ⊥AD 于E 时，试证明：BE ＝AE ＋CD ．（4）分析法与综合法的特点：分析法的特点是从要证明的结论开始一步步地寻求其成立的条件，直至寻求到已知条件上。
第十八章平行四边形
平行四边形知识要求：1、掌握平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质和判定；2、结合图形性质进行相关的角度和线段的计算。
3、结合几何图形证明。
知识重点：四边形性质的运用和判定是本章的重点。
知识难点：四边形性质的运用和判定是本章的难点。
考点：结合图形性质进行相关的角度和线段的计算及判定是考试的重点对象。
知识点：一、平行四边形1、定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．符号：“”2、性质：对边相等、对角相等、对角线互相平分边：对边相等、平行角：对角相等、邻角互补对角线：平分周长：邻边之和*2面积：底*高平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心例题1．已知平行四边形ABCD中，∠B=5∠A，则∠D= ．例题2如图，在□ABCD中，已知AD＝8cm， AB＝6cm， DE平分∠ADC交BC边于点E，则BE等于（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm例题3如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，下列结论不正确的是（）A．DC∥AB B．OA=OC C．AD=BC D．DB平分∠ADCEBAFCD3、判定：边： 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 角： 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 对角线：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形例题4. 在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，给出下列四组条件：① AB ∥CD ，A D ∥BC ；②AB ＝CD ，AD ＝BC ；③AO ＝CO ，BO ＝DO ；④AB ∥CD ，AD ＝BC ．其中，一定能判定四边形ABCD 是平行四边形的条件共有 ( ) A ．1组 B ．2组 C ．3组 D ．4组例题5如图，在等边三角形ABC 中，BC=6cm,射线AG ∥BC ，点E 从点A 出发沿射线AG 以1cm/s 的速度运动，点F 从点B 出发沿射线BC 以2cm/s 的速度运动.如果点E 、F 同时出发，设运动时间为t(s)当t= s 时，以A 、C 、E 、F 为顶点四边形是平行四边形.例题6.如图，在四边形ABCD 中，E 是BC 边的中点，连结DE 并延长，交AB 的延长线于F 点，AB BF =．添加一个条件，使四边形ABCD 是平行四边形．你认为下面四个条件中可选择的是（ ）A ．AD BC =B ．CD BF =C ．A C ∠=∠D ．F CDE ∠=∠ 例题7如图，EF ，是四边形ABCD 的对角线AC 上两点， AF CE DF BE DF BE ==，，∥． 求证：（1）AFD CEB △≌△． （2）四边形ABCD 是平行四边形．4、三角形的中位线：三角形的中位线平行与第三边，且等于第三边的一半． （与中线区别）例题8如图，在△ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，∠A ＝50°，∠ADE ＝60°，则∠C 的度数为 ( )A B DE F CA．50°B．60°C．70°D．80°例题9一个周长为12cm的三角形，三条中位线围成的三角形周长是cm．二、菱形1、定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．2、性质：对边相等、对角相等、对角线互相垂直平分且平分对角边：四边相等、对边平行角：对角相等、邻角互补对角线：垂直平分、平分对角周长：边长*4面积：对角线乘积的一半(底*高)菱形是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心，也是轴对称图形。
初三数学经典总结题型
初三数学经典总结题型包括但不限于以下几种：
1. 线段、角的计算与证明：包括线段长度的计算、角的度数计算、线段与角的综合问题等。
2. 函数问题：包括一次函数、二次函数等，涉及到函数的性质、图像、最值等问题。
3. 方程与不等式问题：包括一元一次方程、一元二次方程、不等式的解法及实际应用等。
4. 三角形问题：包括三角形的性质、全等三角形、相似三角形等，涉及到三角形的边长、角度、面积等问题。
5. 四边形问题：包括平行四边形、矩形、菱形、正方形等，涉及到四边形的性质、判定条件及面积计算等。
6. 圆的问题：包括圆的性质、圆与直线的位置关系、圆与圆的位置关系等，涉及到圆的半径、直径、周长、面积等问题。
7. 统计与概率问题：包括数据的收集与整理、概率初步知识与事件的概率等，涉及到数据的分析、预测及概率的计算等。
8. 综合题：包括多个知识点的综合应用，如函数与三角形、四边形、圆的综合应用等，需要学生综合运用所学知识进行分析和解答。
八年级数学下册第十八章勾股定理18
专训1.巧用勾股定理求最短路径的长名师点金：求最短距离的问题，第一种是通过计算比较解最短问题；第二种是平面图形，将分散的条件通过几何变换(平移或轴对称)进行集中，然后借助勾股定理解决；第三种是立体图形，将立体图形展开为平面图形，在平面图形中将路程转化为两点间的距离，然后借助直角三角形利用勾股定理求出最短路程(距离)．用计算法求平面中最短问题1．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人从A走到B，为了避免拐角C走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了________步路(假设2步为1 m)，却踩伤了花草．(第1题)2．小明听说“武黄城际列车”已经开通，便设计了如下问题：如图，以往从黄石A坐客车到武昌客运站B，现在可以在黄石A坐“武黄城际列车”到武汉青山站C，再从青山站C坐市内公共汽车到武昌客运站B.设AB＝80 km，BC＝20 km，∠ABC＝120°.请你帮助小明解决以下问题：(1)求A，C之间的距离．(参考数据21≈4.6)(2)若客车的平均速度是60 km/h，市内的公共汽车的平均速度为40 km/h，“武黄城际列车”的平均速度为180 km/h，为了在最短时间内到达武昌客运站，小明应选择哪种乘车方案？请说明理由．(不计候车时间)(第2题)用平移法求平面中最短问题3．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别是50 cm，30 cm，10 cm，A 和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只壁虎，它想到B点去吃可口的食物，请你想一想，这只壁虎从A点出发，沿着台阶面爬到B点，至少需爬( )A．13 cm B．40 cm C．130 cm D．169 cm(第3题)(第4题)4．如图，已知∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝90°，且AB＝CD＝3，BC＝4，DE＝EF＝2，则AF 的长是________．用对称法求平面中最短问题5．如图，在正方形ABCD中，AB边上有一点E，AE＝3，EB＝1，在AC上有一点P，使EP＋BP最短，求EP＋BP的最短长度．(第5题)6．高速公路的同一侧有A、B两城镇，如图，它们到高速公路所在直线MN的距离分别为AA′＝2 km，BB′＝4 km，A′B′＝8 km.要在高速公路上A′、B′之间建一个出口P，使A、B两城镇到P的距离之和最小．求这个最短距离．(第6题)用展开法求立体图形中最短问题类型1圆柱中的最短问题(第7题)7．如图，已知圆柱体底面圆的半径为2π，高为2，AB，CD分别是两底面的直径．若一只小虫从A点出发，沿圆柱侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路线的长度是________(结果保留根号)．类型2圆锥中的最短问题8．已知：如图，观察图形回答下面的问题：(1)此图形的名称为________．(2)请你与同伴一起做一个这样的物体，并把它沿AS剪开，铺在桌面上，则它的侧面展开图是一个________．(3)如果点C是SA的中点，在A处有一只蜗牛，在C处恰好有蜗牛想吃的食品，但它又不能直接沿AC爬到C处，只能沿此立体图形的表面爬行，你能在侧面展开图中画出蜗牛爬行的最短路线吗？(4)SA的长为10，侧面展开图的圆心角为90°，请你求出蜗牛爬行的最短路程．(第8题)类型3正方体中的最短问题9．如图，一个正方体木柜放在墙角处(与墙面和地面均没有缝隙)，有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C1处．(1)请你在正方体木柜的表面展开图中画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；(2)当正方体木柜的棱长为4时，求蚂蚁爬过的最短路径的长．(第9题)类型4长方体中的最短问题10．如图，长方体盒子的长、宽、高分别是12 cm，8 cm，30 cm，在AB的中点C处有一滴蜜糖，一只小虫从E处沿盒子表面爬到C处去吃，求小虫爬行的最短路程．(第10题)专训2.巧用勾股定理解折叠问题名师点金：折叠图形的主要特征是折叠前后的两个图形绕着折线翻折能够完全重合，解答折叠问题就是巧用轴对称及全等的性质解答折叠中的变化规律．利用勾股定理解答折叠问题的一般步骤：(1)运用折叠图形的性质找出相等的线段或角；(2)在图形中找到一个直角三角形，然后设图形中某一线段的长为x，将此直角三角形的三边长用数或含有x的代数式表示出来；(3)利用勾股定理列方程求出x；(4)进行相关计算解决问题．巧用全等法求折叠中线段的长1．(中考·泰安)如图①是一直角三角形纸片，∠A＝30°，BC＝4 cm，将其折叠，使点C落在斜边上的点C′处，折痕为BD，如图②，再将图②沿DE折叠，使点A落在DC′的延长线上的点A′处，如图③，则折痕DE的长为( )(第1题)A.83cm B．2 3 cmC．2 2 cm D．3 cm巧用对称法求折叠中图形的面积2．如图所示，将长方形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在点C′处，BC′交AD于E，AD＝8，AB＝4，求△BED的面积．(第2题)巧用方程思想求折叠中线段的长3．(中考·东莞)如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交BC于点G，连接AG.(1)求证：△ABG≌△AFG；(2)求BG的长．(第3题)巧用折叠探究线段之间的数量关系4．如图，将长方形ABCD沿直线EF折叠，使点C与点A重合，折痕交AD于点E，交BC 于点F，连接CE.(1)求证：AE＝AF＝CE＝CF；(2)设AE＝a，ED＝b，DC＝c，请写出一个a，b，c三者之间的数量关系式．(第4题)专训3.利用勾股定理解题的6种常见题型名师点金：勾股定理建立起了“数”与“形”的完美结合，应用勾股定理可以解与直角三角形有关的计算问题，证明含有平方关系的几何问题，作长为n(n为正整数)的线段，解决实际应用问题及专训一、专训二中的最短问题、折叠问题等，在解决过程中往往利用勾股定理列方程(组)，有时需要通过作辅助线来构造直角三角形，化斜为直来解决问题．利用勾股定理求线段长1．如图所示，在等腰直角三角形ABC 中，∠ABC＝90°，点D 为AC 边的中点，过D 点作DE⊥DF，交AB 于E ，交BC 于F ，若AE ＝4，FC ＝3，求EF 的长．(第1题)利用勾股定理作长为n 的线段2．已知线段a ，作长为13a 的线段时，只要分别以长为和的线段为直角边作直角三角形，则这个直角三角形的斜边长就为13a.利用勾股定理证明线段相等3．如图，在四边形ABFC 中，∠ABC＝90°，CD⊥AD，AD 2＝2AB 2－CD 2.求证：AB ＝BC.(第3题)利用勾股定理解非直角三角形问题4．如图，在△ABC 中，∠C＝60°，AB ＝14，AC ＝10.求BC 的长．(第4题)利用勾股定理解实际生活中的应用5．在某段限速公路BC 上(公路视为直线)，交通管理部门规定汽车的最高行驶速度不能超过60 km /h ⎝ ⎛⎭⎪⎫即503 m /s ，并在离该公路100 m 处设置了一个监测点A.在如图的平面直角坐标系中，点A 位于y 轴上，测速路段BC 在x 轴上，点B 在点A 的北偏西60°方向上，点C 在点A 的北偏东45°方向上．另外一条公路在y 轴上，AO 为其中的一段．(1)求点B 和点C 的坐标；(2)一辆汽车从点B 匀速行驶到点C 所用的时间是15 s ，通过计算，判断该汽车在这段限速路上是否超速．(参考数据：3≈1.7)(第5题)利用勾股定理探究动点问题6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5 cm，AC＝3 cm，动点P从点B出发沿射线BC以1 cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒．(1)求BC边的长；(2)当△ABP为直角三角形时，借助图①求t的值；(3)当△ABP为等腰三角形时，借助图②求t的值．(第6题)答案专训11．4(第2题)2．解：(1)如图，过点C作AB的垂线，交AB的延长线于点E.∵∠ABC＝120°，∴∠BCE＝30°.在Rt△CBE中，∵BC＝20 km，∴BE＝10 km.由勾股定理可得CE＝10 3 km.在Rt△ACE中，∵AC2＝AE2＋CE2＝(AB＋BE)2＋CE2＝8 100＋300＝8 400，∴AC＝20 21≈20×4.6＝92(km )．(2)选择乘“武黄城际列车”．理由如下：乘客车需时间t 1＝8060＝113(h )，乘“武黄城际列车”需时间t 2≈92180＋2040＝1190(h )．∵113>1190，∴选择乘“武黄城际列车”． 3．C 点拨：将台阶面展开，连接AB ，如图，线段AB 即为壁虎所爬的最短路线．因为BC ＝30×3＋10×3＝120(cm )，AC ＝50 cm ，在Rt △ABC 中，根据勾股定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2＝16 900，所以AB ＝130 cm .所以壁虎至少爬行130 cm .(第3题)(第5题)4．105．解：如图，连接BD 交AC 于O ，连接ED 与AC 交于点P ，连接BP. 易知BD⊥AC，且BO ＝OD ，∴BP＝PD ，则BP ＋EP ＝ED ，此时最短． ∵AE＝3，AD ＝1＋3＝4，由勾股定理得 ED 2＝AE 2＋AD 2＝32＋42＝25＝52， ∴ED＝BP ＋EP ＝5.6．解：作点B 关于MN 的对称点C ，连接AC 交MN 于点P ，则点P 即为所建的出口．此时A 、B 两城镇到出口P 的距离之和最小，最短距离为AC 的长．作AD⊥BB′于点D ，在Rt △ADC 中，AD ＝A′B′＝8 km ，DC ＝6 km .∴AC＝AD 2＋DC 2＝10 km ，∴这个最短距离为10 km .(第6题)(第7题)7．2 2 点拨：将圆柱体的侧面沿AD 剪开并铺平得长方形AA′D′D，连接AC ，如图．线段AC 就是小虫爬行的最短路线．根据题意得AB ＝2π×2π×12＝2.在Rt △ABC 中，由勾股定理，得AC 2＝AB 2＋BC 2＝22＋22＝8，∴AC＝8＝2 2.8．解：(1)圆锥 (2)扇形(3)把此立体图形的侧面展开，如图所示，AC 为蜗牛爬行的最短路线． (4)在Rt △ASC 中，由勾股定理，得AC 2＝102＋52＝125， ∴AC＝125＝5 5.故蜗牛爬行的最短路程为5 5.(第8题)(第9题)9．解：(1)蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图的AC′1和AC 1. (2)如图，AC′1＝42＋（4＋4）2＝4 5.AC 1＝（4＋4）2＋42＝4 5.所以蚂蚁爬过的最短路径的长是4 5. 10．解：分为三种情况：(1)如图①，连接EC ，在Rt △EBC 中，EB ＝12＋8＝20(cm )，BC ＝12×30＝15(cm )．(第10题)由勾股定理，得EC ＝202＋152＝25(cm )． (2)如图②，连接EC.根据勾股定理同理可求CE ＝673 cm >25 cm . (3)如图③，连接EC.根据勾股定理同理可求CE ＝122＋（30＋8＋15）2＝ 2 953(cm )>25 cm .综上可知，小虫爬行的最短路程是25 cm . 专训2 1．A2．解：由题意易知AD∥BC，∴∠2＝∠3. ∵△BC′D 与△BCD 关于直线BD 对称， ∴∠1＝∠2.∴∠1＝∠3.∴EB＝ED. 设EB ＝x ，则ED ＝x ，AE ＝AD －ED ＝8－x. 在Rt △ABE 中，AB 2＋AE 2＝BE 2， ∴42＋(8－x)2＝x 2.∴x＝5.∴DE＝5.∴S △BED ＝12DE·AB＝12×5×4＝10.3．(1)证明：在正方形ABCD 中，AD ＝AB ，∠D＝∠B＝90°. ∵将△ADE 沿AE 对折至△AFE， ∴AD＝AF ，DE ＝EF ，∠D＝∠AFE＝90°. ∴AB＝AF ，∠B＝∠AFG＝90°.又∵AG＝AG ，∴Rt △ABG≌Rt △AFG(HL )． (2)解：∵△ABG≌△AFG，∴BG＝FG. 设BG ＝FG ＝x ，则GC ＝6－x ，∵E 为CD 的中点，∴CE＝DE ＝EF ＝3，∴EG＝3＋x. ∴在Rt △CEG 中，32＋(6－x)2＝(3＋x)2，解得x ＝2. ∴BG＝2.4．(1)证明：由题意知，AF ＝CF ，AE ＝CE ，∠AFE＝∠CFE，又四边形ABCD 是长方形，故AD∥BC，∴∠AEF＝∠CFE.∴∠AFE＝∠AEF. ∴AE＝AF ＝EC ＝CF.(2)解：由题意知，AE ＝EC ＝a ，ED ＝b ，DC ＝c ，由∠D＝90°知，ED 2＋DC 2＝CE 2，即b 2＋c 2＝a 2.专训3(第1题)1．解：如图，连接BD.∵等腰直角三角形ABC 中，点D 为AC 边的中点，∴BD⊥AC，BD 平分∠ABC(等腰三角形三线合一)，∴∠ABD＝∠CBD＝45°，又易知∠C ＝45°，∴∠ABD＝∠CBD＝∠C.∴BD＝CD.∵DE⊥DF，BD⊥AC，∴∠FDC＋∠BDF＝∠EDB＋∠BDF.∴∠FDC＝∠EDB.在△EDB 与△FDC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠EBD＝∠C，BD ＝CD ，∠EDB＝∠FDC，∴△EDB≌△FDC(ASA )， ∴BE＝FC ＝3.∴AB＝7，则BC ＝7.∴BF＝4.在Rt △EBF 中，EF 2＝BE 2＋BF 2＝32＋42＝25，∴EF＝5.2．2a ；3a3．证明：∵CD⊥AD，∴∠ADC＝90°，即△ADC 是直角三角形．由勾股定理，得AD 2＋CD 2＝AC 2.又∵AD 2＝2AB 2－CD 2，∴AD 2＋CD 2＝2AB 2.∴A C 2＝2AB 2.∵∠ABC＝90°，∴△ABC 是直角三角形．由勾股定理，得AB 2＋BC 2＝AC 2，∴AB 2＋BC 2＝2AB 2，故BC 2＝AB 2，即AB ＝BC.方法总结：当已知条件中有线段的平方关系时，应选择用勾股定理证明，应用勾股定理证明两条线段相等的一般步骤：①找出图中证明结论所要用到的直角三角形；②根据勾股定理写出三边长的平方关系；③联系已知，等量代换，求之即可．4．解：如图，过点A 作AD⊥BC 于点D.∴∠ADC＝90°.又∵∠C＝60°，∴∠CAD＝90°－∠C＝30°，(第4题)∴CD＝12AC ＝5. ∴在Rt △ACD 中，AD ＝AC 2－CD 2＝102－52＝5 3.∴在Rt △ABD 中，BD ＝AB 2－AD 2＝11.∴BC＝BD ＋CD ＝11＋5＝16.方法总结：利用勾股定理求非直角三角形中线段的长的方法：作三角形一边上的高，将其转化为两个直角三角形，然后利用勾股定理并结合条件，采用推理或列方程的方法解决问题．5．解：(1)在Rt △AOB 中，∵∠BAO＝60°，∴∠ABO＝30°，∴OA＝12AB. ∵OA＝100 m ，∴AB＝200 m .由勾股定理，得OB ＝AB 2－OA 2＝2002－1002＝100 3(m )．在Rt △AOC 中，∵∠CAO＝45°，∴∠OCA＝∠OAC＝45°.∴OC＝OA ＝100 m ．∴B(－100 3，0)，C(100，0)．(2)∵BC＝BO ＋CO ＝(100 3＋100)m ，100 3＋10015≈18>503，∴这辆汽车超速了．6．解：(1)在Rt △ABC 中，BC 2＝AB 2－AC 2＝52－32＝16，∴BC＝4 cm .(2)由题意知BP ＝t cm ，①如图①，当∠APB 为直角时，点P 与点C 重合，BP ＝BC ＝4 cm ，即t ＝4；[第6题(2)]②如图②，当∠BAP 为直角时，BP ＝t cm ，CP ＝(t －4)cm ，AC ＝3 cm ， 在Rt △ACP 中，AP 2＝32＋(t －4)2，在Rt △BAP 中，AB 2＋AP 2＝BP 2，即52＋[32＋(t －4)2]＝t 2，解得t ＝254.故当△ABP 为直角三角形时，t ＝4或t ＝254.(3)①如图①，当BP ＝AB 时，t ＝5；②如图②，当AB ＝AP 时，BP ＝2BC ＝8 cm ，t ＝8；[第6题(3)]③如图③，当BP ＝AP 时，AP ＝BP ＝t cm ，CP ＝|t －4|cm ，AC ＝3 cm ， 在Rt △ACP 中，AP 2＝AC 2＋CP 2，所以t 2＝32＋(t －4)2，解得t ＝258.综上所述：当△ABP 为等腰三角形时，t ＝5或t ＝8或t ＝258.。
七年级上册几何图形初步复习1
一.直线、射线、线段1、直线经过两点有一条直线，并且只有一条直线.简述为：两点确定一条直线. 直线有两种表示方法：①用一个小写字母表示；②用两个大写字母表示. 平面上一个点及一条直线的位置有什么关系？ ①点在直线上；②点在直线外. 一个点在一条直线上，也可以说这条直线经过这个点，一个点在直线外，也可以说这条直线不经过这个点.当两条直线有一个共公点时，我们就称这两条直线相交，这个公共点叫做它们的交点.2、射线和线段直尺给我们线段的形象，手电筒发出的光给我们射线的形象，射线和线段都是直线的一部分.图①中的线段记作线段AB 或线段a ；图②中的射线记作射线OA 或射线m.B A 直线AB· l直线点在直线· B · 点在直线A O b a· a · B A O A m · ②①注意：用两个大写字母表示射线时，表示端点的字母一定要写在前面.直线、射线和线段有什么联系和区别联系：线段、射线都是直线的一部分，将线段向一端延长得到射线，向两端延长得到直线，将射线向另一方向延长得到直线，它们都有“直”的特征，它们都可以用一个小写字母或两个大写字母来表示.区别：直线没有端点，射线有一个端点，线段有两个端点；直线可以向两个方向延伸，射线可以向一个方向延伸，线段不能再延伸；表示直线和线段的两个大写字母可以交换位置，而表示射线的两个大写字母不能交换位置.3、比较两条线段的长短⑴.度量法：用刻度尺分别量出两条线段的长度从而进行比较.⑵.叠合法：把一条线段移到另一条线段上，使一端重合，从而进行比较.如：线段AB 及线段CD 比较，且A 及C 点重合，则有以下几种情况：①B 及D 重合，两条线段相等，记作：AB ＝CD ．②B 在线段CD 内部，则线段CD 大于线段AB ，记作：CD>AB ．③B 在线段CD 外部，则线段CD 小于线段AB ，记作：CD<AB ．4、线段的中点及等分点如图（1），点M 把线段AB 分成相等的两条线段AM 及BM ，点M 叫做线段AB 的中点．记作AM=MB=1/2AB如图（2），点M 、N 把线段AB 分成相等的三段AM 、MN 、NB ，点M 、N 叫做线段AB 的三等分点．类似地，还有四等分点，等等． 5、线段的性质 两点的所有连线中，线段最短。
高中数学练习题平面几何的计算与证明练习
高中数学练习题平面几何的计算与证明练习高中数学练习题：平面几何的计算与证明练习一、平面几何计算题在平面几何中，计算是一项重要的技能。
下面是几个基本的计算题，以帮助你巩固理解和应用平面几何的知识。
1. 已知三角形ABC的边长分别为AB = 5cm，BC = 7cm，AC = 9cm，求三角形的周长。
解：三角形的周长等于三边长度之和，所以周长为5cm + 7cm +9cm = 21cm。
2. 已知矩形的长为10cm，宽为6cm，求矩形的面积。
解：矩形的面积等于长乘以宽，所以面积为10cm × 6cm = 60cm²。
3. 已知菱形的对角线分别为10cm和12cm，求菱形的面积。
解：菱形的面积等于两条对角线长度之积的一半，所以面积为(10cm × 12cm)/2 = 60cm²。
二、平面几何证明题在平面几何中，证明题需要运用定理和性质，以推导出新的结论。
下面是几个平面几何的证明题，供你练习。
1. 证明：三角形ABC的中线AD在点D处将底边BC平分。
证明过程：首先，根据三角形的定义，中线是连接一个顶点和对边中点的线段。
设M为线段BC的中点，则AM为线段AD的中线。
根据三角形中线定理，中线所对应的两个小三角形面积相等。
三角形ABM与三角形ACM的面积相等，即(1/2)AB × BM =(1/2)AC × CM。
由于BM = CM，所以AB = AC，即线段AD在点D处将底边BC平分。
2. 证明：矩形的对角线相等。
证明过程：设矩形的长为a，宽为b。
根据矩形的定义，矩形的对角线是连接两个对角顶点的线段。
设AC和BD为矩形的对角线，其中A为长边的一个顶点，C为短边的一个顶点。
根据勾股定理，三角形ABC和三角形ACD可以分别表示为：三角形ABC：AB² = a² + b²三角形ACD：AD² = a² + b²由于三角形ABC和三角形ACD的两条边相等（AB = AD），根据等腰三角形的性质可得AC = BD。
第40讲 与圆有关的计算与证明题 课件(共74张ppt) 2024年中考数学总复习专题突破.ppt
复习讲义
（2）若 = 5 ， cos ∠ =
4
，求 的长.
5
∘
解： ∵ ∠ = 90∘ ， ∴ ∠ + ∠ = 90 .
由（1）知， = 2 = 10 ， ∠ = 90∘ ，
∴ ∠ + ∠ = 90∘ .
图3
∴ ∠ = ∠.
4
.
5
∴ cos = cos ∠ =
复习讲义
（2）若 = 10 ， = 12 ， = 2 ，求 ⊙ 的半径．
思路点拨 由（1）知 ⊥ ，因此可在 Rt △
中利用勾股定理列方程求解.
解： ∵ = ， ⊥ ， ∴ = =
1
2
= 6.
图1
∴ = 2 − 2 = 102 − 62 = 8.
∴ = 6 .
目录导航
9
第40讲 与圆有关的计算与证明题
复习讲义
2.（2022·鄂尔多斯）如图3，以 为直径的
⊙ 与 △ 的边 相切于点 ，且与 边
交于点 ，点 为 的中点，连接 ， ，
.
（1）求证： 是 ⊙ 的切线.
1.（2022·衡阳）如图2， 为 ⊙ 的直径，过圆上一
点 作 ⊙ 的切线 交 的延长线于点 ，过点
作 // 交 于点 ，连接 ．
（1）直线 与 ⊙ 相切吗？请说明理由.
图2
目录导航
7
第40讲 与圆有关的计算与证明题
复习讲义
解：直线 与 ⊙ 相切.
， 的点，连接 ， ，点 在 的延长线
上，且 ∠ = ∠ ，点 在 的延长线上，
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
图形的认识（线段的计算和证明）
【课前热身】
1、过一点可以画______条直线，经过两点可以画______条直线.
2、将一个细木条固定在墙上，只需要两个钉子，这样的依据是____________________.
3、下列语句：
⑴点a在直线l上；⑵直线的一半就是射线；⑶延长直线AB到C；⑷射线OA与射线AO 是同一条射线.其中正确的语句有()
A．0句B．1句C．2句D．3句
4、平面上有三点A、B、C，①连结其中任意二点，共可得线段_______条；①经过任意二点画直线，共可得到直线________条.
5、过平面上A、B、C、D四点中任意两点画一条直线，共可画__________________条直线.【本讲说明】
在学习了直线、射线、线段的知识之后，我们来重点学习线段的计算与证明。
线段的计算与证明是初中几何的重要内容之一，同学们们在学习中会遇到证明线段相等、和差倍分关系以及计算线段的长度。
线段的证明可以培养同学们的逻辑推理能力与几何分析能力，在线段的计算中，我们将进入方程思想、分类讨论思想、数形结合思想等的应用。
【课程引入】
已知，如图，AB＝16㎝，C是BC的中点，且AC=10㎝，D是AC的中点，E是BC的中点，求线段DE的长。
【典例分析】
【知识点1】线段证明计算与方程思想
【例题1】如图，B、C是线段AD上两点，且AB：BC：CD＝3：2：5，E、F分别是AB、CD的中点，且EF＝24，求线段AB、BC、CD的长.
【举一反三】
1、如图,M、N为线段AB上两点，且AM:MB＝1:3，AN:NB＝5:7.若MN＝2，求AB的长.
A B
C
D E
···
2、.已知线段AB ＝CD ，且彼此重合各自的
3
1，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，若MN ＝14，求AB 的长.
3、已知A 、M 、N 、B 为一直线上顺次4个点，若AM ：MN ＝5:2，NB －AM ＝12，AB ＝24，
求BM 的长.
【拓展】
A 、
B 两点在数轴上的位置如图，现A 、B 两点分别以1个单位/秒、4个单位/秒的速度同时
向左运动.
⑴ 几秒后，原点恰好在两点正中间？
⑵ 几秒后，恰好有OA ：OB ＝1:2？
【知识点2】线段证明计算与分类讨论思想
【例题2】已知线段AB ＝8，在直线AB 上画线段BC ，使它等于3，求线段AC 的长.
【举一反三】
1、如图，点C 在数轴上，且AC ∶BC ＝1∶5，求点C 对应的数.
2、如图，
P是定长线段AB的三等分点，Q是直线AB上一点，且AQ－BQ＝PQ，求PQ AB
的值.
【拓展】已知：线段AB＝10,C、D为直线AB上的两点，且AC＝6,BD＝8,求线段CD的长.
【知识点3】线段的证明计算与动态问题
【例题3】如图，直线AB上有一点P，点M、N分别为线段P A、PB的中点，AB＝14.
⑴若点P在线段AB上，且AP＝8，求线段MN的长度；
⑵若点P在直线AB上运动，试说明线段MN的长度与点P在直线AB上的位置无关；
⑶如图，若点C为线段AB的中点，点P在线段AB的延长线上，下列结论：
①PA PB
PC
-
的值不变；②
PA PB
PC
+
的值不变.请选择一个正确的结论并求其值.
Q
P B P B
【举一反三】
1、如图，线段AB＝24，动点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿射线AB运动，M这AP的中点.
⑴出发多少秒后，PB＝2AM
⑵当P在线段AB上运动时，试说明2BM－BP为定值.
⑶当P在AB延长线上运动时，N为BP的中点，下列两个结论：
①MN长度不变；②MA＋PN的值不变，选择一个正确的结论，并求出其值.
【本讲总结】
本讲主要学习了线段计算和证明中三个方面的内容：方程思想、分内讨论思想和动态问题。
在学习过程中，不仅要让同学们掌握线段方面的几何知识，更重要的是把数学思想教给孩子们并运用到以后的学习中去。