互补问题中几类特殊矩阵之间的关系
互补关系数学
互补关系数学互补关系在数学中是一个重要的概念。
在代数学和线性代数中，互补关系指的是两个向量或两个子空间的关系，具有一定的数学特性和性质。
本文将从互补关系的定义、性质和应用等方面进行探讨。
一、互补关系的定义在代数学中，互补关系是指两个向量的和等于另一个向量。
设V是一个向量空间，u和v是V中的两个向量，如果满足u+v=w，其中w是V中的一个向量，则称向量u和v互补。
互补关系可以用符号表示为u⊥v。
在线性代数中，互补关系指的是两个子空间的交集为零空间。
设V 是一个向量空间，U和W是V的两个子空间，如果满足U∩W={0}，则称子空间U和W互补。
互补关系可以用符号表示为U⊥W。
二、互补关系的性质1. 互补关系是对称的。
即如果向量u和v互补，那么向量v和u也互补。
同样地，如果子空间U和W互补，那么子空间W和U也互补。
2. 如果向量u和v互补，那么它们的线性组合也互补。
即对于任意的实数a和b，有au+bv⊥v。
同样地，如果子空间U和W互补，那么它们的直和也互补。
3. 如果向量u和v互补，那么它们的线性无关性质也相互关联。
具体来说，如果一个向量组线性无关，那么它和另一个向量组的互补关系可以保证它们的并集也是线性无关的。
同样地，如果子空间U 和W互补，那么它们的维数之和等于整个向量空间的维数。
三、互补关系的应用互补关系在数学中有广泛的应用。
以下是一些典型的应用场景：1. 线性方程组的求解：通过构造互补关系，可以将一个复杂的线性方程组分解为多个简单的方程组，从而更容易求解。
2. 矩阵的分解：通过将一个矩阵分解为两个互补的子空间，可以简化矩阵的计算和运算过程，提高计算效率。
3. 信号处理：在信号处理中，互补关系可以用来描述信号的相互作用和合成过程，从而实现信号的分析和处理。
4. 图像处理：在图像处理中，互补关系可以用来描述图像的亮度和色彩之间的关系，从而实现图像的增强和修复。
5. 数据压缩：通过构造互补关系，可以将数据进行压缩和编码，减少数据存储和传输的成本。
特殊矩阵对称矩阵三角矩阵稀疏矩阵的特点
特殊矩阵对称矩阵三角矩阵稀疏矩阵的特点特殊矩阵是指具有特殊性质或特定结构的矩阵。
下面将分别介绍对称矩阵、三角矩阵和稀疏矩阵的特点。
1.对称矩阵：对称矩阵是指满足a_ij = a_ji（其中a_ij表示矩阵的第i行第j列元素，a_ji表示矩阵的第j行第i列元素）的矩阵。
对称矩阵的特点有：(1) 对角线元素对称：对称矩阵的主对角线上的元素不变，即a_ii=a_ii。
(2)上下三角元素对称：对称矩阵的上半三角元素与下半三角元素互为转置关系。
(3)对角线元素可以重复：对称矩阵的对角线元素可以相等，也可以是不同的值。
(4)对称矩阵的特征值为实数：对称矩阵的特征值都是实数。
(5)对称矩阵是正定矩阵的充分必要条件：如果对称矩阵的所有特征值都大于0，则该对称矩阵是正定矩阵。
2.三角矩阵：三角矩阵是指矩阵中除去一些对角线以下或以上的元素均为0的矩阵。
根据对角线的位置，三角矩阵分为上三角矩阵和下三角矩阵。
三角矩阵的特点有：(1)上(下)三角矩阵的主对角线元素均不为0。
(2)上(下)三角矩阵的主对角线以下(以上)的元素为0。
(3)三角矩阵的乘法可以简化：对于两个n阶三角矩阵A和B，它们的乘积AB也是一个n阶三角矩阵。
(4)三角矩阵的特征值可直接求得：三角矩阵的特征值等于其主对角线上的元素。
3.稀疏矩阵：稀疏矩阵指的是矩阵中大部分元素为0的矩阵。
稀疏矩阵的特点有：(1)矩阵中非零元素的数量远小于矩阵的总元素数量。
因此，稀疏矩阵在存储和计算上具有较高的效率。
(3)稀疏矩阵通常出现在大规模问题中，例如网络图、推荐系统、自然语言处理等领域。
(4)稀疏矩阵的运算需要特殊算法来处理，例如稀疏矩阵的乘法可以使用CSR和CSC格式的矩阵相乘算法。
综上所述，特殊矩阵包括对称矩阵、三角矩阵和稀疏矩阵，它们具有不同的特点和应用场景。
了解这些特殊矩阵的特点有助于我们在处理各种问题时选择适合的矩阵表示和算法，并提高计算效率。
线性互补问题均衡解的存在形式与识别方法
的性 质和 求解 方法 具有 重要 的理论 和 实践意 义． 线 性互 补 问题 的研究 主要 集 中在理 论 和算法 两 个 方 面．理论 方 面主要 是从 二次 规 划理 论 和 系数 矩 阵 的性 质 出发 ， 研 究 解 的存 在 性［ ３ ］ 、 唯一性、 稳 定 性 等 ］ ．算法 方 面主要 有 直接法 和 迭代 法 ， 迭代 法 的 求 解往 往依 赖 于初值 的选 取 ［ ６ ］ ．直 接法 有混 合 整数 规 划法 ＿ ７ ］ ， Ｌ ｅ ｍｋ ｅ 算法＿ ８ ］ ， 求 解 线 性 互 补 问题 全部 解 的整标 集法 等 ． 在 系数矩 阵为 Ｓ矩 阵条 件下 ， 文
第 ３ Ｏ卷
第 １ 期
经
济
数
学
Ｖｏ １ ． ３ Ｏ ， ＮＯ ． １
Ｍａ ｒ ．２ Ｏ １ ３
２ ０ １ ３ 年 ３ 月
Ｊ ＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＱＵＡＮＴＩ ＴＡＴＩ ＶＥ ＥＣＯＮＯＭ Ｉ ＣＳ
线 性 互 补 问题 均衡 解 的存 在 形 式 与 识 别 方 法
万 中 ，李欢 欢 ， 朱 赛花
（ 中 南 大 学 数 学 与 统 计 学 院 ，湖 南 长 沙 摘 ４ １ ０ ０ ８ ３ ）
要 研 究 了线 性 互 补 问题 均 衡 解 的存 在 形 式 与 判 定 方 法 ， 给 出了 线性 互补 问题 有 解 的 充要 条 件 ，
线性互补问题解的存在性
补 问题 Ｌ ｐ （ ，ｑ ：求 Ｅ Ｒ ，使 ： ｃ Ｍ ）
≥Ｏ Ｍｘ＋ｑ Ｏ ≥ （ Ｍｘ＋ｑ 一 ０ ）
ｆ ｌ志 一 ｑ ｍ ｌｌ ｌ
【 ２志 一 是 一 一 ｑ Ｉ１ ２ ２
取 ｌ １ ２ Ｏ 贝 ： 一是 ， 一 ， ４
≥。
２ Ｍ ｘ＋ ｑ — ｍ ｌｘｌ ｍ ｌ ｌ ＋
［
－
／ｌ Ｔ ２１～ ～
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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２ ２～ ～
ｘｑ ｍ ［≥ ２ ｕ ｑ １ 。 ＋］ ｋ １ ７ １ ｌ ］￣ 一 ＋ ２ ］
・ １ １９ ・
线 性 互 补 问题 解 的 存 在 性
到＼ 波 （ 艳 南京航空航天大学金城学院， 苏 南京 ２１５） 江 １１６
［ 要 ］ 线 性 互 补 问题 在 经 济 学 、 对 策 论 和 数 学规 划 领 域 中有 广 泛 的 应 用 ，线 性 互 补 问 题 解 的 存 在 性 与 特 摘
证 明 必 要 性 。设 一 （ ，Ｏ 是 Ｉ ｐ （ ，ｑ 的解 ， 则 Ｉ Ｏ且 Ｉ 一 一 ｑ ， ２ ＋ ｑ ≥ ０ Ｉ ） ｃ Ｍ ） ≥ Ｉ Ｉ Ｉ １ １ ２ ，
令 志 ： ，志 一 ２ Ｉ ２ ｌ ｌ ２ Ｉ ＋ｑ ，则 是 ≥Ｏ ２ ，且 ： 志 Ｉ ，志 ≥Ｏ
设 Ｍ ∈Ｒ ， ＥＲ ， ｑ 线性互 补 问题Ⅲ 是指 ： ｚ ｚ ， … ， ＥＲ ， ： 求 一（ 。 ｚ ， ｚ ） 使
ｆ —ｑ Ｗ ＋
≥Ｏ ｚ Ｏ ，≥
特殊矩阵知识点总结归纳
特殊矩阵知识点总结归纳一、特殊矩阵的定义在线性代数中，矩阵是一个非常重要的概念，它是一个按照矩形排列的数的集合。
特殊矩阵是指具有特殊性质的矩阵，这些特性可以是对角矩阵、上三角矩阵、下三角矩阵、对称矩阵、正交矩阵等。
1. 对角矩阵对角矩阵是一种形式特殊的矩阵，它的非对角元素都是零。
具体来说，一个n×n的矩阵A 是对角矩阵，当且仅当a_ij=0，i≠j。
对角矩阵的特点是计算简单，特殊类型的特殊矩阵可以大大简化计算过程。
2. 上三角矩阵和下三角矩阵上三角矩阵和下三角矩阵也是特殊矩阵的一种。
上三角矩阵是指所有主对角线以下的元素都为零的矩阵，而下三角矩阵是指所有主对角线以上的元素都为零的矩阵。
这两种矩阵的特点是对称性很强，可以简化矩阵的运算过程。
3. 对称矩阵对称矩阵是一种特殊的矩阵，它满足a_ij=a_ji。
也就是说，对称矩阵的元素关于主对角线对称。
对称矩阵具有许多特殊的性质，比如它的特征值都是实数，对应不同的特征值的特征向量是正交的等。
4. 正交矩阵正交矩阵是指满足Q^T·Q=I的方阵Q，其中Q^T表示Q的转置矩阵，I表示单位矩阵。
正交矩阵的特点是它的列向量是正交的，也就是说，Q^T·Q=I意味着Q的列向量正交。
正交矩阵在旋转、变换等领域有着广泛的应用。
二、特殊矩阵的性质特殊矩阵具有许多特殊的性质，这些性质使得它们在科学计算、工程学和物理学等领域中有着广泛的应用。
1. 对角矩阵的性质对角矩阵的特点是它的非对角元素都是零，这使得它的计算非常简单。
对角矩阵的特征值就是它的对角线上的元素，而特征向量就是标准基的元素。
此外，对角矩阵具有可逆性，只要对角线上的元素不全为零，对角矩阵就是可逆的。
2. 上三角矩阵和下三角矩阵的性质上三角矩阵和下三角矩阵都具有可逆性，只有主对角线上的元素不为零，它们就是可逆的。
此外，上三角矩阵和下三角矩阵的特征值就是它们的对角线上的元素，而特征向量就是标准基的元素。
矩阵schur补定理
矩阵schur补定理矩阵Schur补定理是线性代数中的重要定理，它为研究大型矩阵的特征和特性提供了有力的工具。
本文将简要介绍矩阵Schur补定理的概念、证明和应用。
一、矩阵Schur补定理的概念矩阵Schur补定理是指，若有一个矩阵A，它可以被分解成如下形式：$A=\begin{bmatrix}B &C \\D & E\end{bmatrix}$其中，B和E都是方阵。
则A的Schur补定义为：$S=A/D-B^{-1}CD$也就是说，A的Schur补是D在A中的余子式与B的逆矩阵、C 和D之间的特定运算得到的结果。
二、矩阵Schur补定理的证明矩阵Schur补定理有多种证明方法，其中一种比较简单的方法是使用基本的矩阵运算和行列式的性质。
具体步骤如下：1.用代数余子式求出矩阵A的逆矩阵，并将其代入S的定义式中。
2.利用矩阵的分块结构，将S的定义式展开，并运用矩阵运算的规则将其化简。
3.证明S是一个方阵，即它的行数和列数相等。
这可以从S的定义式出发，利用矩阵性质和余子式的性质推导得到。
4.证明S是一个对称阵，即S的转置等于它本身。
这可以通过Schur补的定义式和矩阵运算的性质推导得到。
三、矩阵Schur补定理的应用矩阵Schur补定理在数学和工程领域均有广泛的应用。
以下是其中的一些例子：1. 矩阵分块问题的求解。
很多大型矩阵可以被分块表示，而矩阵Schur补可以用来计算分块矩阵的运算，如矩阵乘法、求逆等。
2. 控制论和自动控制中的应用。
矩阵Schur补可以用来计算大型系统的响应矩阵、传递函数等，从而帮助研究系统的稳定性和可控性等问题。
3. 图像处理和计算机视觉中的应用。
矩阵Schur补可以用来计算图像的纹理特征、形状描述符等，从而帮助识别和分类图像。
总之，矩阵Schur补定理是线性代数中一个非常有用的定理，它不仅有深刻的理论意义，而且在实际应用中也具有广泛的应用前景。
特殊矩阵的等价条件分析
特殊矩阵的等价条件分析作者：张哲来源：《知识文库》2017年第13期作为数学学科的一个重要理论分支，矩阵论在国防科技、金融经济、工业制造、计算机工程应用等方面有着巨大的应用潜力和应用前景，而特殊矩阵是矩阵论的一个非常重要的组成部分。
本文通过对一些特殊矩阵的等价性质进行分析，探讨等价条件成立的矩阵结构，最后通过理论分析得出各类特殊矩阵之间的联系，以及等价条件成立的应用范畴。
1 绪论特殊矩阵在数学理论领域有着重要的地位，同时在理论应用方面也有巨大的应用前景，数学学科发展到今天与许多学科都产生了密切的联系，包括计算机、工程科学、物理学、经济学、生物学等学科的进步和理论进步都离不开数学模型和数学理论的发展，尤其是计算机科学的进步对于矩阵理论的需求十分迫切，特殊矩阵科学的发展在许多领域的应用都有非常重要的地位。
正规矩阵及共轭正规矩阵、非负正规矩阵是特殊矩阵的典型代表，对于特殊矩阵理论的研究目前还主要集中在这三种矩阵类型上，研究和利用好特殊矩阵对于应用科学的发展有很好的促进作用，数学理论是工具和动力。
本文通过长时间的研究和分析，针对集中特殊矩阵做了相关等价条件方面的分析，对特殊矩阵理论的发展做了阐述，希望能够对以后的工作有指导意义。
2 正规矩阵的等价条件关于正规矩阵的有关定义，如果矩阵A是正规矩阵，同时满足矩阵A的伴随矩阵与矩阵A的相乘和矩阵A与矩阵A的伴随矩阵相乘的结果相同。
称矩阵A，B是酉相合的，如果存在酉矩阵，可以使得矩阵A等于矩阵UBU矩阵的转置矩阵。
如果矩阵U是酉矩阵，并且U满足矩阵U的伴随矩阵与矩阵U的乘积等于矩阵I。
如果矩阵A满足酉矩阵对角化，并且矩阵A又等价于另一个对角矩阵D，与酉相似有密切关系的矩阵分解及矩阵极分解的形式。
当讨论到正规矩阵的等价条件，对任意正规矩阵A的结构，如果该矩阵有任意多项式，则P（A）都是正规的；如果正规矩阵是一种可以矩阵，那么矩阵A的逆矩阵一定是正规的；如果有可逆矩阵A，那么矩阵A的逆矩阵与矩阵A的伴随矩阵的乘积一定是一个酉矩阵；如果有可逆矩阵A，则矩阵A的伴随矩阵乘矩阵A再与矩阵A的伴随矩阵的逆矩阵相乘一定等于矩阵A，这是一定成立的；如果有可逆矩阵A，那么矩阵A与矩阵A伴随矩阵和矩阵A的逆矩阵的乘积是可以等价交换的；如果矩阵A和矩阵B交换相乘的结果相同，那么矩阵A的伴随矩阵与矩阵B也可以交换相乘；如果有酉矩阵U，那么矩阵U乘矩阵A再和矩阵U的伴随矩阵相乘的结果矩阵一定也是正规矩阵；如果存在酉矩阵U和对角矩阵D，则矩阵U乘矩阵A再和矩阵U的伴随矩阵的乘积等于对角矩阵D。
《几类线性互补对偶码及对应的纠缠辅助量子码的构造》
《几类线性互补对偶码及对应的纠缠辅助量子码的构造》一、引言在量子信息科学中，互补对偶码和纠缠辅助量子码是两个重要的概念。
它们在量子纠错、量子通信以及量子计算等领域有着广泛的应用。
本文将详细介绍几类线性互补对偶码的构造及其对应的纠缠辅助量子码的构造方法。
二、线性互补对偶码概述线性互补对偶码（Linear Complementary Dual Codes）是一类特殊的线性码，具有独特的编码和译码性质。
它可以在接收端提供额外的校验信息，从而降低错误率。
这种码可以有效地在多个不同的通信信道中传输信息，具有很高的实用价值。
三、几类线性互补对偶码的构造1. 经典线性互补对偶码：这类码基于经典编码理论，通过特定的编码算法生成。
其优点是构造简单，但缺点是抗干扰能力较弱。
2. 量子线性互补对偶码：与经典线性互补对偶码相比，量子线性互补对偶码利用了量子态的叠加和纠缠特性，具有更高的纠错能力和更强的抗干扰能力。
这类码的构造需要结合量子力学原理和编码理论。
3. 对称型线性互补对偶码：这类码具有较好的对称性，能够在不同信道间提供平衡的传输性能。
其构造方法主要是通过对经典或量子编码算法进行改进和优化。
四、纠缠辅助量子码的构造纠缠辅助量子码（Entanglement-Assisted Quantum Codes）是一种利用纠缠态辅助的量子纠错码。
它通过引入纠缠态来提高量子态的抗干扰能力和纠错能力。
这类码的构造需要结合量子纠缠理论和编码理论。
具体构造方法如下：首先，根据信道特性和纠错需求，设计合适的纠缠态；然后，将待传输的量子态与纠缠态进行一定的操作，生成新的纠缠态辅助的量子态；最后，利用特定的编码算法，将这个新的纠缠态辅助的量子态进行编码，得到纠缠辅助量子码。
五、结论本文介绍了几类线性互补对偶码及对应的纠缠辅助量子码的构造方法。
这些码在量子信息科学中具有重要的应用价值，可以提高量子通信和计算的可靠性和效率。
然而，目前这些码的构造方法和性能仍有许多待研究和改进的地方。
线性互补问题相关的矩阵研究
第一 作 者 简 介 ： 艳 波 （ ９９ ） 女 ， 京 航 空 航 天 大 学 硕 士 研 究 孙 １７一 ， 南 生 ， 究 方 向 ： 筹 学 与 控 制论 。Ｅ ｍ ｉ： ｎ ａｂ ＿０ ４ １６ ｅｍ。 研 运 ・ ａ ｓ ｙｎｏ ２０ ＠ ２ ．ｏ ｌｕ
矩 阵 Ｍ 的结 构 有 密切 关 系 ， 引入 一种 新 的 矩 阵 类并 且 研 究 特 殊 矩 阵之 间 的关 系。
关键词 线性互补 问题 中图法分类号 ０ １．； ２ １ １
解的存在 性
特殊矩阵 Ａ
特 殊矩阵之 间的关系
文献 标志码
设 Ｍ ∈Ｒ ， ∈Ｒ 线 性 互 补 问 题 是指 ： ｑ ， 求 ｚ＝（１ｚ ， ， ∈Ｒ 使 ｚ， … ） ２ ，
献 。等 。
Ｃ ｔｅ于 １６ ｏｔ ｌ ９ ３年 首先 提 出 ， 之后 引起 了许 多学 者 的 关 注 ， 中 Ｋ ｈ ， ｕ ｋｒ Ｍｕｔ 在 理论 与算 法 方 其 ｕ ｎ Ｔ ｃ ｅ， ｒ ｙ等 面 做 出了很 大 贡 献 。线 性 互 补 问题 无 论 是解 的存 在性 ， 唯一性 还是算 法的收 敛性都 与 矩阵 的结构 有 着密切 关 系 。Ｃ ｔｅ等 ｕ 定 义 了 两 类 矩 阵 ： ｏｌ ｔ 设 ∈Ｒ ， 如果对 于任 意 的 ｑ∈ Ｒ Ｌｐ Ｍ，）都 有 ， ｃ （ ｑ 解 ， 称 则 为 Ｑ一 阵 ； 果 对 于 给 定 的 使 得 矩 如
∈ ：和常数 ｒ ｌ ， ＞『 ｕ 使
． ｘ｛ — ｕ） Ｍｘ ＋ｑ ＞ ０ ∈ ： ｍ （ （ ）｝ ，Ｖ ：
Ｌｐ Ｍ ，）非退 化 的 ｑ， （ ｑ ｃ（ ｑ 却 Ｍ， ）有 唯 一 解 ；（ Ｄ）
，
相似变换,相合变换与酋矩阵之间的关系
相似变换,相合变换与酋矩阵之间的关系相似变换、相合变换和矩阵之间存在着紧密的关系。
在线性代数中，矩阵是一种非常重要的数学工具，它可以用来描述线性变换和向量空间之间的关系。
而相似变换和相合变换则是描述矩阵在不同向量空间下的变换关系的两个重要概念。
下面我们将分别对相似变换、相合变换和矩阵进行介绍，并探讨它们之间的关系。
首先我们来介绍一下相似变换。
在线性代数中，如果存在一个非奇异矩阵P，使得矩阵A可以表示为A=P^-1BP，那么我们称矩阵A和B是相似的，而这种关系称为相似变换。
在相似变换中，矩阵A和B代表的是同一个线性变换在不同基的表示，也就是说，相似矩阵所表示的线性变换本质上是相同的，只是在不同的基下有不同的表示形式。
接着我们来介绍相合变换。
在线性代数中，如果存在一个非奇异矩阵C，使得A=C^-1BC，那么我们称矩阵A和B是相合的，而这种关系称为相合变换。
在相合变换中，矩阵A和B同样代表的是同一个线性变换在不同基的表示，只是相合变换与相似变换的区别在于相合变换中的矩阵C并不一定是可逆矩阵，而相似变换中的矩阵P必须是可逆矩阵。
矩阵是描述线性变换和向量空间之间关系的重要工具。
在线性代数中，矩阵可以被用来表示线性变换，矩阵的乘法可以表示线性变换的复合，矩阵的行空间和列空间可以表示线性变换的像空间和核空间等等。
因此，矩阵在描述线性变换和向量空间之间的关系时扮演着非常重要的角色。
相似变换、相合变换和矩阵之间其实存在着一种内在的联系。
从定义上来看，相似变换和相合变换其实都可以用矩阵来表示。
对于相似变换，当矩阵A和B相似时，存在一个非奇异矩阵P，使得A=P^-1BP。
而对于相合变换，当矩阵A 和B相合时，存在一个非奇异矩阵C，使得A=C^-1BC。
可以看出，相似变换和相合变换都可以通过矩阵的相似关系来表示。
此外，相似变换和相合变换还有一些共同的特点。
比如，它们都满足等价关系，即自反性、对称性和传递性。
而这些等价关系在矩阵的表示中也是成立的。
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１ Ｃ ，矩 阵与 半 正 定 矩 阵
定义 ｌ
定义 ２ ｔ 。
矩阵 ．
如 果对 所有 非负 向量 Ｘ≥ ０ ，有 Ｘ Ｔ Ｍｘ≥ ０ ，则称 Ｍ 为 Ｃ 。 矩 阵．
２
西 南 师 范 大 学 学报 （ 自然 科 学 版 ）
第４ ０卷
设 Ｍ Ｅ同 ” ， Ｍ 是 Ｍ 相 应于下 标集 ａ的主子 矩 阵 ， 若
ｆ Ａ。 。 Ａ ］
非 奇异 ， 那 么矩 阵 Ａ 定义 为
Ａ 二 ： ：Ｉ
ｌ
ｌ Ａ Ａ ｌ
其中Ａ 。一 （ 。 ） ～， Ａ 一一 （ Ａ ） － １ Ｍ ， Ａ 一 Ｍ （ Ａ ） ～， Ａ 一 Ｍ 一 Ａ Ｍ ， 一 （ ＞ ＼ ａ ，（ ＞一 ｛ １ ，
பைடு நூலகம்
定矩 阵．为此 ，文献 ［ ２ ］推广 了正 定矩 阵 和半 正定矩 阵 的概念 ，提 出了 Ｐ 矩阵 、 Ｐ 。 矩 阵 、ｓ矩阵等 概念 ．文 献Ｅ ｌ ｉ证 明 了正定 矩 阵是 Ｐ矩 阵 ，且 （ Ｐ） （ Ｑ） ．Ｐ矩 阵有很 好 的性 质 ， 对 称 的 Ｐ矩 阵就是 正定矩 阵．在线 性互 补 问题 中 ， Ｍ ∈（ Ｐ） 是Ｌ ｃ ｐ（ Ｍ， 口 ）有 唯一解 的充 分必 要条 件．文献 ［ ３ ］提 出 了 Ｃ矩 阵 、 Ｃ 。 矩 阵 、ｃ ｉ 矩 阵 等概念 ，研究 发 现 ，Ｃ ｎ Ｑ ｎ 矩 阵与 半正 定矩 阵有 许多类 似 的性 质．其后 ，文献 ［ ４ ］证 明 了半 正定 矩阵 是
中 图 分 类 号 ：Ｏ１ ５ １ ． ２ １ 文 献标 志 码 ：Ａ 文 章 编 号 ：１ ０ ０ ０～５ ４ ： ７ １ （ ２ ０ １ ５ ） ２—０ ０ ０ １—０ ４
互补 问题 是一 类新 的数 学模 型 ， 此模 型 的应 用非 常广 泛 ，比如 经 济学 中 的均衡 问题 ， 力 学 中的接 触 问 题 ，燃料 油 的加工 提炼 问题 等 ． 互补 问题 作为 线性 规划 与二 次规 划 的推广 ，当今 已经 发展 成 为数 学规 划 理论 中的 一个 独立 分 支 ， 所以 它 的解 的存 在 性研究 及 算法 的可 行性研 究 受 到了研 究者 的重 视． 考 虑线 性互 补 问题 ： 求 ｚ∈ ， 使得
２ ０ １ ５年 ２月
Ｆｅ ｂ． ２ ０１ ５
互 补 问 题 中几 类 特 殊 矩 阵 之 间 的 关 系①
孙 艳 波
南 京 航 空 航 天 大 学 金 城 学 院 基 础 部 ，南 京 ２ １ １ １ ５ ６
摘 要 ：线 性 互 补 问题 中特 殊 矩 阵 Ｍ 的性 质 是 线 性 互 补 问 题研 究 中 的 一 个 重 要 部 分 ．研 究 了
矩 阵 与 半 正 定 矩 阵
的 关 系 ，Ｐ Ｓ ＢＤ 矩 阵 与 半 正 定 矩 阵 的关 系 ，以 及 Ｐ矩 阵 与 Ｓ矩 阵 的 关 系 ， 得 到 了一 些 新 的结 论 ．
关 键 词 ：半 正 定 矩 阵 ； ｃ ｏ矩 阵 ；Ｐ ｓ Ｓ Ｂ Ｄ 矩阵 ； Ｐ矩阵 ； Ｓ矩 阵
第４ Ｏ卷 第 ２期
Ｖｏ １ ．４ ０ Ｎｏ ．２
西 南 师 范 大 学 学报 （ 自然科 学版 ）
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｓ ｏ ｕ ｔ ｈ ｗｅ ｓ ｔ Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ Ｎｏ ｒ ｍａ ｌ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ（ Ｎａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ Ｅ ｄ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ ）
国家自然科学基金项目11101211是m相应于下标集的主子矩阵非奇异那么矩阵a定义为a为m关于的基主元变换如果m的每个基主元变换都是c0矩阵m的对角元中至少有一个不为0对角元全为0的情况不可能a1a2b1b2使得ai和bi同时不为0不妨设为这时m11a1b1a1b1b2b1bnb1a2a1bib1aia1a1b1a是半正定矩阵从而m是半正定矩阵psbd矩阵与半正定矩阵定义4psbd矩阵psbd矩阵且rankpsbd且下列条件至少有一个成立psbd矩阵当且仅当下列条件之一成立是psbd矩阵其中因为m是psbd矩阵rank西南师范大学学报自然科学版http
如果 Ｍ ∈ （ Ｃ 。 ） ， 且对 Ｖ ≥ ０ ，由 ≥ ０和 Ｘ Ｔ 一 ０可 推 出 ＭＴ ｘ≤ ０ ， 则称 Ｍ 为 Ｃ
①
收稿 日期 ：２ Ｏ １ ４一Ｏ ７—１ Ｏ
基 金 项 目 ：江 苏 省 自然 科 学 基 金 项 目（ Ｂ Ｋ２ ０ １ １ ７ １ ９ ） ；国 家 自然 科学 基 金项 目（ １ １ １ ０ １ ２ １ １ ） ． 作 者简 介 ：孙 艳 波 （ １ ９ ７ ９ 一 ） ，女 ， 内蒙 古 通 辽 人 ，讲 师 ，主 要 从 事 变 分 不 等 式 和 互 补 问 题研 究
（ Ｑ） ， （ Ｑ。 ） 矩 阵类 的某 些子矩 阵 类 已经得 到 了研究 ．广 义 的半 正定 矩 阵和 正定 矩 阵 （ 即不要 求 为 对称 矩 阵） 分别为Ｑ 。 矩 阵 和 Ｑ矩 阵口 ］ ．但 在 一些 由实 际 问题构 造 的 Ｌ ｃ ｐ（ Ｍ， ｇ ） 模型中， Ｍ 往往都 不是 正定 矩 阵和半 正
口＋ Ｍｒ ．≥ ０ ｚ≥ ０ （ ｑ＋ Ｍｚ ） ｚ一 ０
其 中Ｍ ∈
，口∈ ，记此 线性 互补 问题 为 Ｌ ｃ ｐ（ Ｍ， 口 ） ．
对 于线 性互 补 问题 ， 矩 阵 Ｍ 的特性 与 互补 问题解 的存 在 性及算 法 的收敛 性 密切相 关．所 以要针 对不 同
的矩 阵类 来研 究线 性 互补 问题 ．首 先定 义两 类矩 阵 ： 设Ｍ ∈同 ” ， 如果 对 于任 意 的 ｑ∈ ， ｋ （ Ｍ， ｑ ） 都
有解 ， 则 称 Ｍ 为 Ｑ 矩阵 ； 如果 对 于给 定 的使得 Ｌ ｃ ｐ（ Ｍ， ｑ ） 可行 的 ｑ ， Ｌ ｃ ｐ（ Ｍ， ｑ ） 有解， 则 称 Ｍ 为 Ｑ。 矩 阵．
Ｃ ｎ Ｑ 。 矩阵 ， 反之 ，当 一 ２时 ， 若Ｍ ∈（ ｃ ） Ｎ（ Ｑ 。 ） ， 则 Ｍ 是 半 正定矩 阵．文献 ［ ５ ］ 提出了 Ｐ Ｓ ＢＤ矩 阵 ，
它在 二次 规划 的研 究 中起着 重 要作 用．之后 ，文献 Ｅ Ｓ ］证 明 了满足 ｒ ａ ｎ ｋ Ｍ ≥ ２的 Ｐ Ｓ Ｂ Ｄ 矩 阵是 Ｑ。 矩 阵．