2020版高考文科数学(北师大版)一轮复习课件：第二章+函数+2.5
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北师版高考总复习一轮文科数学精品课件 第2章 函数的概念与性质 第9节 函数模型及其应用
480 元.
规律方法 求解所给函数模型解决实际问题的关注点
(1)认清所给函数模型,弄清哪些量为待定系数.
(2)根据已知条件利用待定系数法,确定模型中的待定系数.
(3)利用该模型求解实际问题.
对点训练1(1) 南方某镇盛产杨梅,杨梅果味酸甜适中,有开胃健脾、生津止
渴、消暑除烦、抑菌止泻、降血脂血压等功效.杨梅的保鲜时间很短,当地
②当 x>0 时,x= 时取最小值 2 ;当 x<0 时,x=- 时取最大值-2 .
2.函数
f(x)=
上是递增的.
+ (a>0,b>0,x>0)在区间(0,
]上是递减的,在区间( ,+∞)
2.三种函数模型的性质
性质
y=ax(a>1)
y=logax(a>1)
y=xn(n>0)
(3)反比例函数模型:f(x)= (k为常数,k≠0);
(4)指数型函数模型:f(x)=abx+c(a,b,c为常数,a≠0,b>0,且b≠1);
(5)对数型函数模型:f(x)=mlogax+n(m,n,a为常数,m≠0,a>0,且a≠1);
(6)幂型函数模型:f(x)=axn+b(a,b,n为常数,a≠0);
于神农时代.现代研究结果显示,饮茶时,茶的温度最好不要超过60 ℃.一杯
茶泡好后置于室内,1分钟,2分钟后测得这杯茶的温度分别为80 ℃,68 ℃.给
出三个茶的温度T(单位:℃)关于茶泡好后置于室内时间t(单位:分钟)的函
数模型:①T=at+b(a<0);②T=logat+b(0<a<1);③T=20+b·at(b>0,0<a<1).根
规律方法 求解所给函数模型解决实际问题的关注点
(1)认清所给函数模型,弄清哪些量为待定系数.
(2)根据已知条件利用待定系数法,确定模型中的待定系数.
(3)利用该模型求解实际问题.
对点训练1(1) 南方某镇盛产杨梅,杨梅果味酸甜适中,有开胃健脾、生津止
渴、消暑除烦、抑菌止泻、降血脂血压等功效.杨梅的保鲜时间很短,当地
②当 x>0 时,x= 时取最小值 2 ;当 x<0 时,x=- 时取最大值-2 .
2.函数
f(x)=
上是递增的.
+ (a>0,b>0,x>0)在区间(0,
]上是递减的,在区间( ,+∞)
2.三种函数模型的性质
性质
y=ax(a>1)
y=logax(a>1)
y=xn(n>0)
(3)反比例函数模型:f(x)= (k为常数,k≠0);
(4)指数型函数模型:f(x)=abx+c(a,b,c为常数,a≠0,b>0,且b≠1);
(5)对数型函数模型:f(x)=mlogax+n(m,n,a为常数,m≠0,a>0,且a≠1);
(6)幂型函数模型:f(x)=axn+b(a,b,n为常数,a≠0);
于神农时代.现代研究结果显示,饮茶时,茶的温度最好不要超过60 ℃.一杯
茶泡好后置于室内,1分钟,2分钟后测得这杯茶的温度分别为80 ℃,68 ℃.给
出三个茶的温度T(单位:℃)关于茶泡好后置于室内时间t(单位:分钟)的函
数模型:①T=at+b(a<0);②T=logat+b(0<a<1);③T=20+b·at(b>0,0<a<1).根
2020高考文数(北师大版)总复习 第2章 第1节 函数及其表示
解析答案
栏目导航
25
(1)12x2－32x＋2 (2)x2－5x＋9 (3)32x－x3 [(1)设 f(x)＝ax2＋bx ＋c(a≠0)，由 f(0)＝2，得 c＝2，f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1) －ax2－bx＝x－1，即 2ax＋a＋b＝x－1，
2a＝1， ∴a＋b＝－1，
是________．
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18
(3)已知函数 y＝f(x2－1)的定义域为[－ 3， 3]，则函数 y＝f(x) 的定义域为________．
解析答案
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19
－x2－x＋2≥0来自(1)C (2)[0,1) (3)[－1,2] [(1)由题意得ln x≠0
，解
x＞0
得 0＜x＜1，故选 C．
系 f： 在集合 B 中都存在唯一确定 每 一个元素 x，B 中总有
A→B
的数 f(x)与之对应
唯一 一个元素 y 与之对应
答案 栏目导航
6
名称 记法
称 f：A→B 为从集合 A 到 称 f：A→B 为从集合 A
集合 B 的一个函数
到集合 B 的一个映射
函数 y＝f(x)，x∈A
映射：f：A→B
答案 栏目导航
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[常用结论] 求函数定义域的依据 (1)整式函数的定义域为 R； (2)分式的分母不为零； (3)偶次根式的被开方数不小于零； (4)对数函数的真数必须大于零；
9
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10
(5)正切函数 y＝tan x 的定义域为xx≠kπ＋π2，k∈Z
；
(6)x0 中 x≠0；
栏目导航
(2)∵f(x)是一次函数， ∴设 f(x)＝kx＋b(k≠0)， 由 2f(x－1)＋f(x＋1)＝6x，得 2[k(x－1)＋b]＋k(x＋1)＋b＝6x，即 3kx－k＋3b＝6x，
推荐-高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用课件文北师大版
第二章 函数、国卷高考试题来看，函数、导数及其应用是每年高考命题的 重点与热点，既有客观题，又有解答题，中高档难度． 2．函数的概念、图像及其性质是高考考查的主要内容，函数的定义域、解 析式、图像是高考考查的重点，函数性质与其他知识的综合是历年高考的热点．
3．导数的几何意义，导数在研究函数单调性、极值、最值、函数的零点等 方面的应用是高考的重点与热点．
4．本章内容集中体现了四大数学思想：函数与方程、数形结合、分类讨 论、转化与化归的思想，且常与方程、不等式、导数等知识交汇命题，体现了综 合与创新．
[导学心语] 1．注重基础：对函数的概念、图像、性质(单调性、奇偶性、周期性)、导数 的几何意义、导数在研究函数单调性、极值、最值、函数的零点等方面的应用， 要熟练掌握并灵活应用. 2．加强交汇，强化综合应用意识：在知识的交汇点处命制试题，已成为高 考的一大亮点，函数的观点和方法贯穿于高中数学的全过程，因此，应加强函数 与三角函数、数列、不等式、解析几何、导数等各章节之间的联系． 3．把握思想：数形结合思想、函数与方程思想、分类讨论思想和等价转化 思想在解决各种与函数有关的问题中均有应用，复习时应引起足够重视．
再见
3．导数的几何意义，导数在研究函数单调性、极值、最值、函数的零点等 方面的应用是高考的重点与热点．
4．本章内容集中体现了四大数学思想：函数与方程、数形结合、分类讨 论、转化与化归的思想，且常与方程、不等式、导数等知识交汇命题，体现了综 合与创新．
[导学心语] 1．注重基础：对函数的概念、图像、性质(单调性、奇偶性、周期性)、导数 的几何意义、导数在研究函数单调性、极值、最值、函数的零点等方面的应用， 要熟练掌握并灵活应用. 2．加强交汇，强化综合应用意识：在知识的交汇点处命制试题，已成为高 考的一大亮点，函数的观点和方法贯穿于高中数学的全过程，因此，应加强函数 与三角函数、数列、不等式、解析几何、导数等各章节之间的联系． 3．把握思想：数形结合思想、函数与方程思想、分类讨论思想和等价转化 思想在解决各种与函数有关的问题中均有应用，复习时应引起足够重视．
再见
北师版高考总复习一轮文科数学精品课件 第2章 函数的概念与性质 第7节 函数的图像
的图像,再把所得图像在x轴下方的部分翻折到x轴上方,即得所求函数
y=|lg(x-1)|的图像,如图①所示(实线部分).
(2)将y=2x的图像向左平移1个单位长度,得到y=2x+1的图像,再将所得图像
向下平移1个单位长度,得到y=2x+1-1的图像,如图②所示.
2
--2, ≥ 0,
2
(3)y=x -|x|-2= 2
(2)函数y=f(x)的图像关于(a,0)对称⇔f(a+x)=-f(a-x)⇔f(x)=-f(2a-x)⇔f(-x)=
-f(2a+x);
(3)函数y=f(x)的图像关于点(a,b)成中心对称⇔f(a+x)=2b-f(a-x)⇔f(x)=2bf(2a-x);
(4)若函数y=f(x)的定义域为R,且满足条件f(a+x)+f(b-x)=c(a,b,c为常数),则
A.y= 2 +1
3 -
B.y= 2 +1
2cos
C.y= 2 +1
2sin
D.y= 2 +1
答案:A
解析:对于选项 B,由
选项 C,当
3 -
y= 2 =0,得
+1
2cos
x>0 时,y= 2 +1
=
2cos
x=0 或 x=±1,与图像不符合,故排除 B;对于
不等式2x>x+1的解为x<0或x>1.
所以不等式f(x)>0的解集为(-∞,0)∪(1,+∞).
规律方法 利用函数图像求解不等式的思路
当不等式问题不能用代数法求解,但其对应函数的图像可作出时,常将不等
2020版高考数学一轮复习第二章函数2.5指数与指数函数课件文北师大版
(2)原式=
-
27 8
-23 +
1 -12 −
500
150-2+1
=
-
8 27
23+50012-10(
在 R 上单调递增
当 x<0 时, 0<y<1 ; 当 x>0 时, y>1
-6-
知识梳理 考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“ ”,错误的画“×”.
4
(1)
(������-4)4=π-4. ( ×
)
(2)������ ������������ 与(������ ������)n 都等于 a(n∈N*).
B. 3∉B
C.A∩(∁RB)=A D.A∪B=A
解析:∵A={y|y=2x-1,x∈R}={y|y>-1}=(-1,+∞),
B={x|x2-x-2<0}={x|-1<x<2}=(-1,2),∴A∪B=A,故选D.
-7-
知识梳理 考点自诊
3.“
1 3
������ <1”是“1������>1”的(
(2)
1 4
-12 ·(0.1()-14·���(���������������3-1·)������3-3)12=
8
5 (a>0,b>0).
解析: (1)4
1
16x8y4=(16x8y4)4
=[24·(-x)8·(-y)4]14=24×14·(-x)8×14·(-y)4×14
=2(-x)2(-y)=-2x2y.
A.a<b<c
B.a<c<b
C.b<a<c D.b<c<a
一轮复习北师大版第2章第2节 函数的单调性与最值课件(59张)
考点二 函数单调性的判断与证明 1．定义法证明函数单调性的步骤
2．判断函数单调性的四种方法 (1)图像法；(2)性质法；(3)导数法；(4)定义法． 3．证明函数单调性的两种方法 (1)定义法；(2)导数法．
[典例 2] 试讨论函数 f (x)＝x－ax1(a≠0)在(－1，1)上的单调性． 【四字解题】
3．若函数 y＝(2k＋1)x＋b 在 R 上是减函数，则 k 的取值范围是 ________．
－∞，－12 [因为函数 y＝(2k＋1)x＋b 在 R 上是减函数，所以 2k＋1＜0，即 k＜－12．]
4．已知函数 f (x)＝x－2 1，x∈[2，6]，则 f (x)的最大值为________， 最小值为________．
前提 设函数 y＝f (x)的定义域为 D，如果存在实数 M 满 足
①对于任意的 x∈D，都 ①对于任意的 x∈D，都
条件 结论
有__f _(x_)_≤_M____；
②存在 x0∈D，使得 _f_(_x_0_)＝__M___
M 为 y＝f (x)的最大值
有_f_(_x_)≥__M____；
②存在 x0∈D，使得 __f _(x_0_)_＝__M__
A [函数 y＝e－x 定义域为 R 且为减函数．y＝x3 定义域为 R 且为 增函数．函数 y＝ln x 定义域为(0，＋∞)．函数 y＝|x|定义域为 R， 但在(－∞，0]上是减函数，在[0，＋∞)上是增函数，故选 A．]
2．函数 f (x)＝x2－2x 的单调递增区间是________． [1，＋∞) [f (x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，因此函数 f (x)的单调递 增区间为[1，＋∞)．]
2．函数 f (x)＝x－x 1的单调递减区间为________． (－∞，1)和(1，＋∞) [由 x－1≠0 得 x≠1， 即函数 f (x)的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)， 又 f (x)＝x－x 1＝x－x－11＋1＝1＋x－1 1，其图像 如图所示，由图像知，函数 f (x)的单调递减区间为(－∞，1)和(1，＋ ∞)．]
高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第4节二次函数与幂函数课件理北师大版
►考法 3 二次函数中的恒成立问题
【例 4】 (1)已知函数 f(x)＝ax2－2x＋2，若对一切 x∈12，2，f(x)＞0 都成立，则实数 a 的取值范围为( )
A.12，＋∞ C．[－4，＋∞)
B.12，＋∞ D．(－4，＋∞)
(2)已知函数 f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意 x∈[m，m＋1]，都有 f(x)＜0
幂函数的图像及性质
1．幂函数 y＝f(x)的图像经过点(3， 3)，则 f(x)是( ) A．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 B．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数 C．奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数 D．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
D
[设幂函数 f(x)＝xα，则 f(3)＝3α＝
二次函数的图像与性质
►考法 1 二次函数的单调性
【例 2】 函数 f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1 在区间[－1，＋∞)上是递减的，
则实数 a 的取值范围是( )
A．[－3,0)
B．(－∞，－3]
C．[－2,0]
D．[－3,0]
D [当 a＝0 时，f(x)＝－3x＋1 在[－1，＋∞)上递减，满足题意． 当 a≠0 时，f(x)的对称轴为 x＝3－ 2aa， 由 f(x)在[－1，＋∞)上递减知 a＜0， 3－ 2aa≤－1， 解得－3≤a＜0. 综上，a 的取值范围为[－3,0]．]
1
1
3．若(a＋1)2＜(3－2a)2，则实数 a 的取值范围是________．
－1，23
1
[易知函数 y＝x2的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数，
a＋1≥0， 所以3－2a≥0，
a＋1＜3－2a，
解之得－1≤a＜23.]
北师版高考总复习一轮文科数学精品课件 第2章 函数的概念与性质 第3节 函数的奇偶性与周期性
当x=1时,f(1)+g(1)=5,g(1)-f(-3)=7,又f(-3)=f(1),∴g(1)-f(1)=7,∴f(1)=-1,
∴f(-1)=f(1)=-1,∴f(3)=f(-1)=-1.
22
∴ ∑ f(k)=5(f(1)+f(2)+f(3)+f(4))+f(1)+f(2)=5×(-1-3-1+1)-1-3=-24.
数,故选B.
(方法 2)A
1-(-1)
2
项,f(x-1)-1=1+(-1)-1= -2,故
A 项不符合题意;
B
1-(-1)
2
项,f(x-1)+1=1+(-1)+1= ,故
C
1-(+1)
2
项,f(x+1)-1=1+(+1)-1=+2-2,故
C 项不符合题意;
D
1-(+1)
2
项,f(x+1)+1=
是否成立
图像法
设f(x),g(x)的定义域分别是D1,D2,那么在它们的公共定义域上:奇+
性质法
奇=奇,奇×奇=偶,偶+偶=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇
[注意]分段函数奇偶性的判断,要分别从x>0或x<0来寻找等式f(-x)=f(x)或
f(-x)=-f(x)成立,只有当对称的两个区间上满足相同关系时,分段函数才具有
成为奇、偶函数的必要条件.
微思考2如果一个奇函数f(x)在原点处有定义,f(0)有什么特点?
提示:f(0)有意义,由奇函数定义,知f(-0)=-f(0),所以一定有f(0)=0.
2.函数的周期性
∴f(-1)=f(1)=-1,∴f(3)=f(-1)=-1.
22
∴ ∑ f(k)=5(f(1)+f(2)+f(3)+f(4))+f(1)+f(2)=5×(-1-3-1+1)-1-3=-24.
数,故选B.
(方法 2)A
1-(-1)
2
项,f(x-1)-1=1+(-1)-1= -2,故
A 项不符合题意;
B
1-(-1)
2
项,f(x-1)+1=1+(-1)+1= ,故
C
1-(+1)
2
项,f(x+1)-1=1+(+1)-1=+2-2,故
C 项不符合题意;
D
1-(+1)
2
项,f(x+1)+1=
是否成立
图像法
设f(x),g(x)的定义域分别是D1,D2,那么在它们的公共定义域上:奇+
性质法
奇=奇,奇×奇=偶,偶+偶=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇
[注意]分段函数奇偶性的判断,要分别从x>0或x<0来寻找等式f(-x)=f(x)或
f(-x)=-f(x)成立,只有当对称的两个区间上满足相同关系时,分段函数才具有
成为奇、偶函数的必要条件.
微思考2如果一个奇函数f(x)在原点处有定义,f(0)有什么特点?
提示:f(0)有意义,由奇函数定义,知f(-0)=-f(0),所以一定有f(0)=0.
2.函数的周期性
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且 n>1).
-
������ ������
������ ������ ������
=
1 ������ ������ (a>0,m,n∈N+, ������
0 ,0的负分数指数幂无意义. (2)有理数指数幂的运算性质 ①aras= ar+s (a>0,r,s∈Q). ②(ar)s= ars (a>0,r,s∈Q). ③(ab)r= arbr (a>0,b>0,r∈Q).
必备知识·预案自诊
关键能力·学案突破 关键能力·学案突破
-9-
考点一
考点二
考点三
指数幂的化简与求值 例1求值与化简: 4 (1) 16x8 y4 (x<0,y<0)的化简结果为( D ) A.2x2y B.2xy C.4x2y D.-2x2y
(2) 4
1 -2
1
·
1= -1 -3 (0.1) · (������3 · ������ )2
必备知识·预案自诊
关键能力·学案突破 关键能力·学案突破
-13-
考点一
考点二
考点三
解析: (1)画出函数f(x)的图像如图所示,由图可知: ①当x+1≥0且2x≥0,即x≥0时,f(2x)=f(x+1),不满足题意; ②当x+1>0且2x<0,即-1<x<0时,f(x+1)<f(2x)显然成立; ③当x+1≤0时,x≤-1,此时2x<0,若f(x+1)<f(2x),则x+1>2x,解得 x<1.故x≤-1. 综上所述,x的取值范围为(-∞,0). (2)指数函数y=ax的图像恒过点(0,1), 要得到函数y=4+ax-1(a>0,a≠1)的图像, 可将指数函数y=ax(a>0,a≠1)的图像向右平移1个单位长度,再向 上平移4个单位长度. 则点(0,1)平移后得到点(1,5). 故点P的坐标为(1,5).
必备知识·预案自诊
关键能力·学案突破 关键能力·学案突破
-16-
考点一
考点二
考点三
对点训练 2(1)(2018 四川宜宾模拟)已知函数 f(x)=x-4+
(0,4),当 x=a 时,f(x)取得最小值 b,则函数 g(x)=a|x+b|的图像为( A )
9 ,x∈ ������+1
e������ -1 ,������ < 1, (2)设函数 f(x)= 1 则使得 f(x)≤2 成立的 x 的取值范围 ������ 3 ,������ ≥ 1, 是 (-∞,8] .
1 ������ 2
1 ������ 2
-7,������ < 0, 若 f(a)<1,则实数 a 的取值范 ������ ,������ ≥ 0,
B.(1,+∞) D.(-∞,-3)∪(1,+∞)
1 -3 . 2
解析:当 a<0 时,不等式 f(a)<1 即为 即 <
1 2
1 ������ 1 ������ -7<1,所以 2 <8, 2
必备知识·预案自诊 必备知识·预案自诊
关键能力·学案突破
-8-
知识梳理
考点自诊
5.若函数y=(a2-1)x在(-∞,+∞)内为减函数,则实数a的取值范围 是 (- 2,-1)∪(1, 2) . 解析:由 y=(a2-1)x 在(-∞,+∞)内为减函数,得 0<a2-1<1, 即 1<a2<2,即 1<a< 2或- 2<a<-1.
x-1
必备知识·预案自诊
关键能力·学案突破 关键能力·学案突破
-18-
考点一
考点二
考点三
指数函数的性质及其应用(多考向) 考向1 比较指数式的大小
例 3 已知
4 2 1 a=33 ,b=95 ,c=1213 ,则(
A )
A.b<a<c C.b<c<a
B.a<b<c D.c<a<b
4 3 2 3 2 5 1 3 2 3 2 3
-������ 2 ,������ ≤ 0,则满足 例 2(1)(2018 全国 1,文 12)设函数 f(x)= 1,������ > 0, f(x+1)<f(2x)的 x 的取值范围是 ( D )
A.(-∞,-1] C.(-1,0)
B.(0,+∞) D.(-∞,0)
(2)(2017河南郑州模拟)已知函数f(x)=4+ax-1的图像恒过定点P,则 点P的坐标是( A ) A.(1,5) B.(1,4) C.(0,4) D.(4,0) (3)若曲线|y|=2x+1与直线y=b没有公共点,则b的取值范围 是 [-1,1] .
B ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
A.充分不必要条件 C.充要条件
1 ������ 1 解析:由 <1,解得 x>0.由 >1,解得 0<x<1. 3 ������ ������ 1 1 故“ <1”是“ >1”的必要不充分条件,故选 B. 3 ������
4.设a=0.60.6,b=0.61.5,c=1.50.6,则a,b,c的大小关系是( C ) A.a<b<c B.a<c<b C.b<a<c D.b<c<a 解析:由y=0.6x在区间(0,+∞)是减少的可知,0<0.61.5<0.60.6<1, 又1.50.6>1,故选C.
1 1
( 4������������ )
-1 3
8 5
1 1 1
(a>0,b>0).
解析: (1)
4
16x8 y4 =(16x8y4)4
=[24· (-x)8· (-y)4]4 =24× 4 · (-x)8× 4 · (-y)4× 4 =2(-x)2(-y)=-2x2y.
3 3 -3 2×42 ������2 ������ 2 (2)原式= 3 -3 10������2 ������ 2
2 1 (3)(-1)4 =(-1)2
������ ������ 4
( × )
=
-1. ( × ) )
(4)函数 y=3· 2x 与 y=2x+1 都不是指数函数.( (5)若 am>an,则 m>n. ( × )
2.(2018衡水金卷十模,1)已知集合A={y|y=2x-1,x∈R}, B={x|x2-x2<0},则( ) A.-1∈A B. 3∉B C.A∩(∁RB)=A D.A∪B=A
③0的正分数指数幂是
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(3)无理数指数幂 一般地,无理数指数幂aα(a>0,α是无理数)是一个 确定 有理数指数幂的运算性质 同样适用 于无理数指数幂.
的实数,
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3.指数函数的图像和性质 y=ax(a>0,且 a≠1) 函 数 0<a<1
a>1
图
象 在 x 轴 上方 ,过定点 (0,1) 当 x 逐渐增大时,图像逐 当 x 逐渐增大时,图像逐渐上 渐下降 升 R (0,+∞) 在 R 上单调递减 在 R 上单调递增 当 x=0 时, y=1 当 x<0 时, y>1 ; 当 x<0 时, 0<y<1 ; 当 x>0 时, 0<y<1 当 x>0 时, y>1
解析:∵A={y|y=2x-1,x∈R}={y|y>-1}=(-1,+∞), B={x|x2-x-2<0}={x|-1<x<2}=(-1,2),∴A∪B=A,故选D.
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3.“
1 ������ 1 <1”是“ >1”的( 3 ������
考点一
考点二
考点三
思考画指数函数的图像及应用指数函数的图像解决问题时应注 意什么? 解题心得1.画指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图像,应抓住三个关键 1 1 , 点:(1,a),(0,1), ������ . 2.与指数函数有关的函数图像的研究,往往利用相应指数函数的 图像,通过平移、对称变换得到其图像. 3.一些指数方程、不等式问题的求解,往往利用相应的指数型函 数图像数形结合求解.
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解析: (1)∵x∈(0,4),∴x+1>1,∴f(x)=x+1+������+1-5≥2 9-5=1, 当且仅当 x+1=������+1,即 x=2 时,取等号.∴a=2,b=1.
1 3
9
9
因此 g(x)=2|x+1|,该函数图像由 y=2|x|向左平移一个单位得到, 结合图像知 A 正确. (2)当 x<1 时,由 e ≤2,得 x<1;当 x≥1 时,由������ ≤2, 解得 1≤x≤8,综合可知 x 的取值范围为 x≤8.
解析:因为 a=3 = 9 > 9 =b,c=121 =11 > 9 =a,所以 c>a>b.
思考如何进行指数幂的大小比较?
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-
������ ������
������ ������ ������
=
1 ������ ������ (a>0,m,n∈N+, ������
0 ,0的负分数指数幂无意义. (2)有理数指数幂的运算性质 ①aras= ar+s (a>0,r,s∈Q). ②(ar)s= ars (a>0,r,s∈Q). ③(ab)r= arbr (a>0,b>0,r∈Q).
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指数幂的化简与求值 例1求值与化简: 4 (1) 16x8 y4 (x<0,y<0)的化简结果为( D ) A.2x2y B.2xy C.4x2y D.-2x2y
(2) 4
1 -2
1
·
1= -1 -3 (0.1) · (������3 · ������ )2
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解析: (1)画出函数f(x)的图像如图所示,由图可知: ①当x+1≥0且2x≥0,即x≥0时,f(2x)=f(x+1),不满足题意; ②当x+1>0且2x<0,即-1<x<0时,f(x+1)<f(2x)显然成立; ③当x+1≤0时,x≤-1,此时2x<0,若f(x+1)<f(2x),则x+1>2x,解得 x<1.故x≤-1. 综上所述,x的取值范围为(-∞,0). (2)指数函数y=ax的图像恒过点(0,1), 要得到函数y=4+ax-1(a>0,a≠1)的图像, 可将指数函数y=ax(a>0,a≠1)的图像向右平移1个单位长度,再向 上平移4个单位长度. 则点(0,1)平移后得到点(1,5). 故点P的坐标为(1,5).
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对点训练 2(1)(2018 四川宜宾模拟)已知函数 f(x)=x-4+
(0,4),当 x=a 时,f(x)取得最小值 b,则函数 g(x)=a|x+b|的图像为( A )
9 ,x∈ ������+1
e������ -1 ,������ < 1, (2)设函数 f(x)= 1 则使得 f(x)≤2 成立的 x 的取值范围 ������ 3 ,������ ≥ 1, 是 (-∞,8] .
1 ������ 2
1 ������ 2
-7,������ < 0, 若 f(a)<1,则实数 a 的取值范 ������ ,������ ≥ 0,
B.(1,+∞) D.(-∞,-3)∪(1,+∞)
1 -3 . 2
解析:当 a<0 时,不等式 f(a)<1 即为 即 <
1 2
1 ������ 1 ������ -7<1,所以 2 <8, 2
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5.若函数y=(a2-1)x在(-∞,+∞)内为减函数,则实数a的取值范围 是 (- 2,-1)∪(1, 2) . 解析:由 y=(a2-1)x 在(-∞,+∞)内为减函数,得 0<a2-1<1, 即 1<a2<2,即 1<a< 2或- 2<a<-1.
x-1
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指数函数的性质及其应用(多考向) 考向1 比较指数式的大小
例 3 已知
4 2 1 a=33 ,b=95 ,c=1213 ,则(
A )
A.b<a<c C.b<c<a
B.a<b<c D.c<a<b
4 3 2 3 2 5 1 3 2 3 2 3
-������ 2 ,������ ≤ 0,则满足 例 2(1)(2018 全国 1,文 12)设函数 f(x)= 1,������ > 0, f(x+1)<f(2x)的 x 的取值范围是 ( D )
A.(-∞,-1] C.(-1,0)
B.(0,+∞) D.(-∞,0)
(2)(2017河南郑州模拟)已知函数f(x)=4+ax-1的图像恒过定点P,则 点P的坐标是( A ) A.(1,5) B.(1,4) C.(0,4) D.(4,0) (3)若曲线|y|=2x+1与直线y=b没有公共点,则b的取值范围 是 [-1,1] .
B ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
A.充分不必要条件 C.充要条件
1 ������ 1 解析:由 <1,解得 x>0.由 >1,解得 0<x<1. 3 ������ ������ 1 1 故“ <1”是“ >1”的必要不充分条件,故选 B. 3 ������
4.设a=0.60.6,b=0.61.5,c=1.50.6,则a,b,c的大小关系是( C ) A.a<b<c B.a<c<b C.b<a<c D.b<c<a 解析:由y=0.6x在区间(0,+∞)是减少的可知,0<0.61.5<0.60.6<1, 又1.50.6>1,故选C.
1 1
( 4������������ )
-1 3
8 5
1 1 1
(a>0,b>0).
解析: (1)
4
16x8 y4 =(16x8y4)4
=[24· (-x)8· (-y)4]4 =24× 4 · (-x)8× 4 · (-y)4× 4 =2(-x)2(-y)=-2x2y.
3 3 -3 2×42 ������2 ������ 2 (2)原式= 3 -3 10������2 ������ 2
2 1 (3)(-1)4 =(-1)2
������ ������ 4
( × )
=
-1. ( × ) )
(4)函数 y=3· 2x 与 y=2x+1 都不是指数函数.( (5)若 am>an,则 m>n. ( × )
2.(2018衡水金卷十模,1)已知集合A={y|y=2x-1,x∈R}, B={x|x2-x2<0},则( ) A.-1∈A B. 3∉B C.A∩(∁RB)=A D.A∪B=A
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(3)无理数指数幂 一般地,无理数指数幂aα(a>0,α是无理数)是一个 确定 有理数指数幂的运算性质 同样适用 于无理数指数幂.
的实数,
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3.指数函数的图像和性质 y=ax(a>0,且 a≠1) 函 数 0<a<1
a>1
图
象 在 x 轴 上方 ,过定点 (0,1) 当 x 逐渐增大时,图像逐 当 x 逐渐增大时,图像逐渐上 渐下降 升 R (0,+∞) 在 R 上单调递减 在 R 上单调递增 当 x=0 时, y=1 当 x<0 时, y>1 ; 当 x<0 时, 0<y<1 ; 当 x>0 时, 0<y<1 当 x>0 时, y>1
解析:∵A={y|y=2x-1,x∈R}={y|y>-1}=(-1,+∞), B={x|x2-x-2<0}={x|-1<x<2}=(-1,2),∴A∪B=A,故选D.
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解析: (1)∵x∈(0,4),∴x+1>1,∴f(x)=x+1+������+1-5≥2 9-5=1, 当且仅当 x+1=������+1,即 x=2 时,取等号.∴a=2,b=1.
1 3
9
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因此 g(x)=2|x+1|,该函数图像由 y=2|x|向左平移一个单位得到, 结合图像知 A 正确. (2)当 x<1 时,由 e ≤2,得 x<1;当 x≥1 时,由������ ≤2, 解得 1≤x≤8,综合可知 x 的取值范围为 x≤8.
解析:因为 a=3 = 9 > 9 =b,c=121 =11 > 9 =a,所以 c>a>b.
思考如何进行指数幂的大小比较?
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