高中数学选修4-2矩阵与变换教案 二阶矩阵、二阶矩阵与平面向量的乘法、二阶矩阵与线性变换
最新-人教版高中数学高中数学选修4-2《矩阵与变换》教学思考与备考建议 精品
/ x0 2 0 x0 / y 0 1 y0 ，即 0
' x0 2 x0 ' ，所以 y 0 y0
' x0 x0 2 y y' 0 0
4、教学建议
（1）重视展现基本概念、重要结论
的发生发展过程
（2）强调把矩阵看作线性变换的本质，
强调几何直观
（3）强调数学思想方法的渗透和运用
（4）处理好五大关系 基础与拓展
局部与整体
具体与抽象 操作与理解
总结与提高
三、备考建议
1．准确把握教学要求，落实基础 2．加强相关知识的联系性，强 调数学思想方法 3．严格控制本专题内容的教学 难度
《矩阵与变换》
教学思考与备考建议
一、背景分析
1、浙江省 2、其他省份
（1）广东省 （2）海南、宁夏 （3）山东省
2007、2008年考试内容分析：
省区 文理 理 选修系列4
广东
填空题
山东 文
1． 几何证明选讲 2． 不等式选讲 3． 坐标系与参数方程
1． 坐标系与参数方程 2． 几何证明选讲
理 文
与参数方程》、4-5《不等式选讲》这4个专题的
内容（考生只需选考其中两个专题）。
2008年高考江苏数学试题 在平面直角坐标系中，设椭圆 4 x 2
y 1
2
2 0 在矩阵 A 0 1 对应的变换下得到曲线 F， 求 F 的方程.
解：设 P( x0 , y 0 ) 是椭圆上任意一点，点 P( x0 , y 0 )
2019-2020年高中数学 二阶矩阵教案 苏教版选修4-2
2019-2020年高中数学 二阶矩阵教案 苏教版选修4-2
教学目标：了解二阶行列式的定义，会用二阶行列式求逆矩阵和解方程组；能用变换与
映射的观点认识解线性方程组的意义；会用系数矩阵的逆矩阵求解方程组；会通过具体的系数矩阵，从几何上说明线性方程组解的存在性、唯一性。
教学重点、难点：会用二阶行列式求逆矩阵和解方程组；会用系数矩阵的逆矩阵求解方
程组
教学过程：
一、问题情境：
1、用消元法求解二元一次方程组 ，当ad －bc ≠0时，方程组的解为什么？
二、学生活动：
1、二阶行列式：
说明：
三、知识建构：
四、知识运用：
231014560x y x y +-=⎧⎨+-=⎩
例：利用行列式解方程组
51273A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
例：利用行列式的方法求解矩阵的逆矩阵。
例3、利用行列式求解二元一次方程组
13422
y y x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩例：试从几何变换的角度说明解的存在性和唯一性。
22AX B A B ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎣⎦10例5：已知二元一次方程组=，=，，10试从几何变换角度研究方程组解的情况。
五、回顾反思：
知识： 思想方法：
六、作业布置：书P
七、教后反思：了解二阶行列式的定义，会用二阶行列式求逆矩阵和解方程组；能用变换
与映射的观点认识解线性方程组的意义；会用系数矩阵的逆矩阵求解方程组；会通过具体的系数矩阵，从几何上说明线性方程组解的存在性、唯一性。
教学重点、难点：会用二阶行列式求逆矩阵和解方程组；会用系数矩阵的逆矩阵求解方
程组
教学过程：。
一轮复习配套讲义：选修4-2 矩阵与变换.pdf
选修4－2 矩阵与变换A[最新考纲]1．了解二阶矩阵的概念，了解线性变换与二阶矩阵之间的关系．2．了解旋转变换、反射变换、伸缩变换、投影变换、切变变换这五种变换的概念与矩阵表示．3．理解变换的复合与矩阵的乘法；理解二阶矩阵的乘法和简单性质． 4．理解逆矩阵的意义，会求出简单二阶逆矩阵．5．理解矩阵的特征值与特征向量，会求二阶矩阵的特征值与特征向量.知 识 梳 理1．矩阵的乘法规则(1)行矩阵[a 11 a 12]与列矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤b 11b 21的乘法规则： [a 11 a 12]⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤b 11b 21＝[a 11×b 11＋a 12×b 21]． (2)二阶矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 11a 21 a 12a 22与列向量⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x 0y 0的乘法规则： ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 11a 21 a 12a 22⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 11×x 0＋a 12×y 0a 21×x 0＋a 22×y 0. 设A 是一个二阶矩阵，α、β是平面上的任意两个向量，λ、λ1、λ2是任意三个实数，则①A (λα)＝λAα；②A (α＋β)＝Aα＋Aβ； ③A (λ1α＋λ2β)＝λ1Aα＋λ2Aβ.(3)两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个矩阵，其乘法法则如下： ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 11a 21 a 12a 22⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤b 11b 21 b 12b 22＝ ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 11×b 11＋a 12×b 21a 21×b 11＋a 22×b 21 a 11×b 12＋a 12×b 22a 21×b 12＋a 22×b 22 性质：①一般情况下，AB ≠BA ，即矩阵的乘法不满足交换律；②矩阵的乘法满足结合律，即(AB )C ＝A (BC )；③矩阵的乘法不满足消去律． 2．矩阵的逆矩阵(1)逆矩阵的有关概念：对于二阶矩阵A ，B ，若有AB ＝BA ＝E ，则称A 是可逆的，B 称为A 的逆矩阵．若二阶矩阵A 存在逆矩阵B ，则逆矩阵是唯一的，通常记A 的逆矩阵为A －1，A －1＝B .(2)逆矩阵的求法：一般地，对于二阶可逆矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d (det A ＝ad －bc ≠0)，它的逆矩阵为A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤dad －bc－b ad －bc －c ad －bc a ad －bc . (3)逆矩阵与二元一次方程组：如果关于变量x ，y 的二元一次方程组⎩⎨⎧ax ＋by ＝m ，cx ＋dy ＝n的系数矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d 可逆，那么该方程组有唯一解⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤m n ， 其中A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤dad －bc－b ad －bc－c ad －bca ad －bc . 3．二阶矩阵的特征值和特征向量 (1)特征值与特征向量的概念设A 是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使得Aα＝λα，那么λ称为A 的一个特征值，而α称为A 的一个属于特征值λ的一个特征向量．(2)特征多项式与特征方程 设λ是二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d 的一个特征值，它的一个特征向量为ξ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，则A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ， 即⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 满足二元一次方程组⎩⎨⎧ax ＋by ＝λx ，cx ＋dy ＝λy ， 故⎩⎨⎧(λ－a )x －by ＝0－cx ＋(λ－d )y ＝0⇔⎣⎢⎡⎦⎥⎤λ－a －b －c λ－d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00(*)则(*)式有非零解的充要条件是它的系数矩阵的行列式 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝0.记f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d 为矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d 的特征多项式；方程⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝0，即f (λ)＝0称为矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d 的特征方程． (3)特征值与特征向量的计算如果λ是二阶矩阵A 的特征值，则λ是特征方程f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝λ2－(a ＋d )λ＋ad －bc ＝0的一个根．解这个关于λ的二元一次方程，得λ＝λ1、λ2，将λ＝λ1、λ2分别代入方程组(*)，分别求出它们的一个非零解⎩⎨⎧ x ＝x 1，y ＝y 1，⎩⎨⎧x ＝x 2，y ＝y 2，记ξ1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 1，ξ2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2y 2.则Aξ1＝λ1ξ1、Aξ2＝λ2ξ2，因此λ1、λ2是矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd 的特征值，ξ1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 1，ξ2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2y 2为矩阵A 的分别属于特征值λ1、λ2的一个特征向量． 诊 断 自 测1. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤57＝________.解析 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤57＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1×5＋0×7 0×5＋(－1)×7＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5－7.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤5－72．若A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 121212，B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 －12－1212，则AB ＝________. 解析AB ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 1212 12⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 12 －12－12 12 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12×12＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋12×1212×12＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋12×12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 00 0.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 00 0 3．设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 1，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0，则AB 的逆矩阵为________． 解析 ∵A－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 1，B －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 1－1 0 ∴(AB )－1＝B －1A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0 1－1 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0 4．函数y ＝x 2在矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10014变换作用下的结果为________． 解析 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 14 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ x 14y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′⇒x ＝x ′，y ＝4y ′， 代入y ＝x 2，得y ′＝14x ′2，即y ＝14x 2. 答案 y ＝14x 25．若A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 56 2，则A 的特征值为________． 解析 A 的特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －5 －6 λ－2 ＝(λ－1)(λ－2)－30＝λ2－3λ－28＝(λ－7)(λ＋4)， ∴A 的特征值为λ1＝7，λ2＝－4. 答案 7和－4考点一 矩阵与变换【例1】 (2014·苏州市自主学习调查)已知a ，b 是实数，如果矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a b 1所对应的变换将直线x －y ＝1变换成x ＋2y ＝1，求a ，b 的值．解 设点(x ，y )是直线x －y ＝1上任意一点，在矩阵M 的作用下变成点(x ′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 a b1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′， 所以⎩⎨⎧x ′＝2x ＋ay ，y ′＝bx ＋y .因为点(x ′，y ′)，在直线x ＋2y ＝1上，所以 (2＋2b )x ＋(a ＋2)y ＝1，即⎩⎨⎧2＋2b ＝1，a ＋2＝－1，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－12.规律方法 理解变换的意义，掌握矩阵的乘法运算法则是求解的关键，利用待定系数法，构建方程是解决此类题的关键．【训练1】 已知变换S 把平面上的点A (3,0)，B (2,1)分别变换为点A ′(0,3)，B ′(1，－1)，试求变换S 对应的矩阵T . 解 设T ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a c bd ，则T ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤30→⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a c b d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤30＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3a 3b ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤03，解得⎩⎨⎧a ＝0，b ＝1；T ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤21→⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a c b d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a ＋c 2b ＋d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1， 解得⎩⎨⎧c ＝1，d ＝－3，综上可知T ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 －3. 考点二 二阶逆矩阵与二元一次方程组【例2】 已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －31 －1所对应的线性变换把点A (x ，y )变成点A ′(13,5)，试求M 的逆矩阵及点A 的坐标．解 依题意得由M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －31 －1，得|M |＝1， 故M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13－12. 从而由⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －31 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤135得⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1－1 32⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤135＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1×13＋3×5－1×13＋2×5＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－3，故⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－3，∴A (2，－3)为所求． 规律方法 求逆矩阵时，可用定义法解方程处理，也可以用公式法直接代入求解．在求逆矩阵时要重视(AB )－1＝B －1A －1性质的应用． 【训练2】 已知矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤21 32， (1)求矩阵A 的逆矩阵；(2)利用逆矩阵知识解方程组⎩⎨⎧2x ＋3y －1＝0，x ＋2y －3＝0.解 (1)法一 设逆矩阵为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a c b d ， 则由⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2132⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a cb d ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1001，得⎩⎨⎧2a ＋3c ＝1，2b ＋3d ＝0，a ＋2c ＝0，b ＋2d ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－3，c ＝－1，d ＝2，A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2－1－32. 法二 由公式知若A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a c b d ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2132，(2)已知方程组⎩⎨⎧2x ＋3y －1＝0，x ＋2y －3＝0，可转化为⎩⎨⎧2x ＋3y ＝1，x ＋2y ＝3，即AX ＝B ，其中A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤21 32，X ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ，B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13，且由(1)， 得A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2－1 －32. 因此，由AX ＝B ，同时左乘A －1，有 A －1AX ＝A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2－1 －32⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－75. 即原方程组的解为⎩⎨⎧x ＝－7，y ＝5.考点三 求矩阵的特征值与特征向量【例3】 已知a ∈R ，矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1a21对应的线性变换把点P (1,1)变成点P ′(3,3)，求矩阵A 的特征值以及每个特征值的一个特征向量． 解 由题意⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1a21 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3a ＋1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤33， 得a ＋1＝3，即a ＝2，矩阵A 的特征多项式为 f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1－2 －2λ－1＝(λ－1)2－4＝(λ＋1)(λ－3)， 令f (λ)＝0，所以矩阵A 的特征值为λ1＝－1，λ2＝3. ①对于特征值λ1＝－1，解相应的线性方程组⎩⎨⎧ x ＋y ＝0，2x ＋2y ＝0得一个非零解⎩⎨⎧x ＝1，y ＝－1.因此，α＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－1是矩阵A 的属于特征值λ1＝－1的一个特征向量； ②对于特征值λ2＝3，解相应的线性方程组⎩⎨⎧2x －2y ＝0，－2x ＋2y ＝0得一个非零解⎩⎨⎧x ＝1，y ＝1.因此，β＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11是矩阵A 的属于特征值λ2＝3的一个特征向量． 规律方法 已知A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a cb d ，求特征值和特征向量，其步骤为： (1)令f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪(λ－a )－c －b(λ－d )＝(λ－a )(λ－d )－bc ＝0，求出特征值λ； (2)列方程组⎩⎪⎨⎪⎧(λ－a )x －by ＝0，－cx ＋(λ－d )y ＝0；(3)赋值法求特征向量，一般取x ＝1或者y ＝1，写出相应的向量．【训练3】 (2014·扬州质检)已知矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3－1－13，求M 的特征值及属于各特征值的一个特征向量．解 由矩阵M 的特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－311λ－3＝ (λ－3)2－1＝0，解得λ1＝2，λ2＝4，即为矩阵M 的特征值． 设矩阵M 的特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，当λ1＝2时，由M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，可得⎩⎨⎧－x ＋y ＝0，x －y ＝0.可令x ＝1，得y ＝1，∴α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11是M 的属于λ1＝2的特征向量．当λ2＝4时，由M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，可得⎩⎨⎧x ＋y ＝0，x ＋y ＝0，取x ＝1，得y ＝－1，∴α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1是M 的属于λ2＝4的特征向量．用坐标转移的思想求曲线在变换作用下的新方程【典例】 二阶矩阵M 对应的变换T 将点(1，－1)与(－2，1)分别变换成点(－1，－1)与(0，－2)． (1)求矩阵M ；(2)设直线l 在变换T 作用下得到了直线m ：x －y ＝4，求l 的方程．[审题视点] (1)变换前后的坐标均已知，因此可以设出矩阵，用待定系数法求解． (2)知道直线l 在变换T 作用下的直线m ，求原直线，可用坐标转移法． 解 (1)设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1－1， ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－2， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＝－1，c －d ＝－1，且⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋b ＝0，－2c ＋d ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，c ＝3，d ＝4，所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4. (2)因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ＋2y 3x ＋4y 且m ：x ′－y ′＝4， 所以(x ＋2y )－(3x ＋4y )＝4，即x ＋y ＋2＝0，∴直线l 的方程是x ＋y ＋2＝0.[反思感悟] (1)本题考查了求变换矩阵和在变换矩阵作用下的曲线方程问题，题目难度属中档题．(2)本题突出体现了待定系数法的思想方法和坐标转移的思想方法 .(3)本题的易错点是计算错误和第(2)问中坐标转移的方向错误． 【自主体验】(2014·南京金陵中学月考)求曲线2x 2－2xy ＋1＝0在矩阵MN 对应的变换作用下得到的曲线方程，其中M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10 02，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1－101. 解 MN ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1002⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1－101＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1－202. 设P (x ′，y ′)是曲线2x 2－2xy ＋1＝0上任意一点，点P 在矩阵MN 对应的变换下变为点P ′(x ，y )， 则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1－202⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ x ′－2x ′＋2y ′， 于是x ′＝x ，y ′＝x ＋y2，代入2x ′2－2x ′y ′＋1＝0，得xy ＝1.所以曲线2x 2－2xy ＋1＝0在MN 对应的变换作用下得到的曲线方程为xy ＝1.一、填空题1．已知变换T ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x ＋4y 5x ＋6y ，则该变换矩阵为________． 解析 ⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ＋4y ，y ′＝5x ＋6y ，可写成⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 45 6⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 45 6 2．计算⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 75 8⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－1等于________． 解析 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 75 8⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3×2－75×2－8＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 23．矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤5 00 1的逆矩阵为________． 解析 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤5 00 1＝5，∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤5 00 1的逆矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤15 0 0 1. 答案 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤15 0 0 1 4．若矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 a b 13把直线l ：2x ＋y －7＝0变换成另一直线l ′：9x ＋y －91＝0，则a ＝________，b ＝________. 解析 取l 上两点(0,7)和(3.5,0)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 a b 13⎣⎢⎡⎦⎥⎤07＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤7a 91，⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 a b 13⎣⎢⎡⎦⎥⎤3.5 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10.53.5b . 由已知(7a,91)，(10.5,3.5b )在l ′上，代入得a ＝0，b ＝－1. 答案 0 －15．矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤6 －36 －3的特征值为________． 解析 f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－6 3－6 λ＋3＝(λ－6)(λ＋3)＋18＝0. ∴λ＝0或λ＝3. 答案 0或3 6．已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234，α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－3，则M (2α＋4β)＝________.解析 2α＋4β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤24＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－8，M (2α＋4β)＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－8＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－14－26.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14－26 7．曲线C 1：x 2＋2y 2＝1在矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤121的作用下变换为曲线C 2，则C 2的方程为________．解析 设P (x ，y )为曲线C 2上任意一点，P ′(x ′，y ′)为曲线x 2＋2y 2＝1上与P 对应的点，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10 21⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ′ y ′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x ′＋2y ′，y ＝y ′⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x －2y ，y ′＝y . 因为P ′是曲线C 1上的点， 所以C 2的方程为(x －2y )2＋y 2＝1. 答案 (x －2y )2＋y 2＝18．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －1－4 3，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 －1－3 1，则满足AX ＝B 的二阶矩阵X 为________．解析 由题意，得A －1＝ AX ＝B ， ∴X ＝A －1B ＝. 答案 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤92 －1 5 －1 9．已知矩阵A 将点(1,0)变换为(2,3)，且属于特征值3的一个特征向量是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11，则矩阵A 为________．解析 设A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a c b d ，由⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a c b d ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤23，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝3. 由⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a cb d ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11＝3⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤33，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝3，c ＋d ＝3.所以⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，d ＝0.所以A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤23 10.答案 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤23 10 二、解答题10．(2012·江苏卷)已知矩阵A 的逆矩阵A －1＝错误!，求矩阵A 的特征值． 解 因为AA －1＝E ，所以A ＝(A －1)－1.因为A －1＝错误!，所以A ＝(A －1)－1＝错误!， 于是矩阵A 的特征多项式为 f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2－2 －3λ－1＝λ2－3λ－4. 令f (λ)＝0，解得A 的特征值λ1＝－1，λ2＝4. 11．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1a －1b ，A 的一个特征值λ＝2，其对应的特征向量是α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21.(1)求矩阵A ；(2)若向量β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤74，计算A 5β的值．解 (1)A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 2－1 4. (2)矩阵A 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －2 1 λ－4＝λ2－5λ＋6＝0，得λ1＝2，λ2＝3，当λ1＝2时，α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21，当λ2＝3时，得α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11.由β＝m α1＋n α2，得⎩⎨⎧2m ＋n ＝7，m ＋n ＝4，解得m ＝3，n ＝1.∴A 5β＝A 5(3α1＋α2)＝3(A 5α1)＋A5α2＝3(λ51α1)＋λ52α2＝3×25⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＋35⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤435339.12．(2012·福建卷)设曲线2x 2＋2xy ＋y 2＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a0b1(a ＞0)对应的变换作用下得到的曲线为x 2＋y 2＝1. (1)求实数a ，b 的值； (2)求A 2的逆矩阵．解 (1)设曲线2x 2＋2xy ＋y 2＝1上任意点P (x ，y )在矩阵A 对应的变换作用下的像是P ′(x ′，y ′)． 由⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 0b1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ ax bx ＋y ，得⎩⎨⎧x ′＝ax ，y ′＝bx ＋y .又点P ′(x ′，y ′)在x 2＋y 2＝1上，所以x ′2＋y ′2＝1， 即a 2x 2＋(bx ＋y )2＝1，整理得(a 2＋b 2)x 2＋2bxy ＋y 2＝1，依题意得⎩⎨⎧ a 2＋b 2＝2，2b ＝2，解得⎩⎨⎧ a ＝1，b ＝1或⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝1.因为a ＞0，所以⎩⎨⎧a ＝1，b ＝1.(2)由(1)知，A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1011，A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 01 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 01 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 02 1. 所以|A 2|＝1，(A 2)－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10－21.。
苏教版高中数学选修4-2 2.1.2二阶矩阵和平面列向量的乘法_学案1
二阶矩阵与平面列向量的乘法【学习目标】1. 掌握二阶矩阵与列向量的乘法规则, 并了解其现实背景。
2. 理解变换的含义了解矩阵与变换的联系。
【学习过程】一、课前预习:1.在某次歌唱比赛中, 甲的初赛和复赛的成绩用A=[80 90]表示, 乙的初赛和复赛成绩用B=[60 85]表示, C=0.40.6⎡⎤⎢⎥⎣⎦表示初赛和复赛成绩在比赛总分中所占的比重, 那么如何用矩阵的形式表示甲、乙的最后成绩呢?2.行矩阵和列矩阵的乘法规则3．二阶矩阵与列向量的乘法规则几何意义4．变换二、数学运用例1、计算: (1)2-⎡⎢⎣21⎤⎥⎦32⎡⎤⎢⎥-⎣⎦(2)1⎡⎢⎣1⎤⎥⎦1020⎡⎤⎢⎥⎣⎦(3)2⎡⎢⎣1⎤⎥⎦xy⎡⎤⎢⎥⎣⎦例2、求在矩阵30-⎡⎢⎣ 25⎤⎥⎦对应的变换作用下得到点(3 , 2)的平面上的点P 的坐标.例3、(1)已知变换13x x y y '⎡⎤⎡⎤⎡→=⎢⎥⎢⎥⎢'⎣⎦⎣⎦⎣ 42⎤⎥⎦x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦, 试将它写成坐标变换的形式; (2)已知变换x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦→x y '⎡⎤⎢⎥'⎣⎦3x y y -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦, 试将它写成矩阵乘法的形式.三、课堂练习：1、⎥⎦⎤⎢⎣⎡4321 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-14=2、设A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡4321，B =⎥⎦⎤⎢⎣⎡724k ，若AB =BA ，则k = .3、在矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡1201对应的变换下，点A （2，1）将会转换成 .4、已知矩阵M 221a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其中R a ∈，若点(1,2)P -在矩阵M 的变换下得到点(4,0)P '-，则实数a 的值是四、课堂小结1. 行矩阵和列矩阵的乘法规则2. 二阶矩阵与列向量的乘法规则。
苏教版高中数学高二选修4-2二阶矩阵与平面列向量的乘法
选修4－2矩阵与变换 2.1.2 二阶矩阵与平面列向量的乘法编写人： 编号：002学习目标1、 掌握二阶矩阵与平面列向量的乘法规则。
2、 理解矩阵对应着向量集合到向量集合的映射。
学习过程：一、预习：（一）阅读教材，解决下列问题：规定比赛的最后成绩由初赛和复赛综合裁定,其中初赛占40%,复赛占60%.则甲和乙的综合成绩分别是多少?（二）一般地，我们规定行矩阵[a 11 a 12]与列矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡2111b b 的乘法规则为：二阶矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡22211211a a a a 与列向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡00y x 的乘法规则为：（三）一般地，对于 则称T 为一个变换。
简记为：或练习1、计算：（1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡121011 （2）⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡1201102、已知平面上一个正方形ABCD （顺时针）的四个顶点用矩阵表示为⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a 4000，求a ，b ，c ，d 的值及正方形ABCD 的面积.3、已知变换⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡''→⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x y x y x y x 252，试将它写成矩阵的乘法形式.二、课堂训练：例1．计算⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x 1002思考：二阶矩阵M 与列向量的乘法⎥⎦⎤⎢⎣⎡→⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x M y x 和函数)(x f x →的定义有什么异同？例2．（1）已知变换⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡→⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x y x y x 2341''，试将它写成坐标变换的形式； （2）已知变换⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡→⎥⎦⎤⎢⎣⎡y y x y x y x 3''，试将它写成矩阵乘法的形式；例3．已知变换⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡''→⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x y x y x y x 252，试将它写成矩阵的乘法形式.例4. 已知矩阵[])(x f A =，[]x x B -=1，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=a 2x C ，若A=BC ，求函数)x (f 在[1,2] 上的最小值.三、课后巩固：1、用矩阵与向量的乘法的形式表示方程组⎩⎨⎧-=-=+1y 2x 2y 3x 2其中正确的是（ ）A 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-122132y xB 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-122312y x C 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-122132y x D 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-121223y x 2、计算:⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡321110=__________ 3、点A （1，2）在矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1022对应的变换作用下得到的点的坐标是___________ 4、设矩阵A 为二阶矩阵，且规定其元素，0=+ji ij a a i=1，2，j=1，2，且2a a 2112=-，试求A.5. 若点A 在矩阵1222-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦对应的变换作用下下得到的点为（2，4），求点A 的坐标.6、已知△ABO 的顶点坐标分别是A （4，2），B （2，4），O （0，0）,计算在变换T M =1111⎡⎤⎢⎥-⎣⎦之下三个顶点ABO 的对应点的坐标.。
人教版高中选修4-2二二阶矩阵与平面向量的乘法课程设计
人教版高中选修4-2二二阶矩阵与平面向量的乘法课程设计一、教学目标通过该课程的学习，学生应该能够：1.了解矩阵与向量的基本概念，掌握矩阵和向量之间的基本运算法则；2.明白矩阵乘法的定义和运算法则，能够运用矩阵乘法解决实际问题；3.熟悉平面向量与矩阵的乘法，能够举一反三地运用到类似的计算中。
二、教学重点1.矩阵乘法；2.平面向量与矩阵的乘法。
三、教学难点1.矩阵与向量的基本运算法则；2.矩阵乘法的计算方法；3.平面向量与矩阵的乘法，特别是理解矩阵乘法运算的几何意义。
四、教学内容及时间安排本课程主要包括以下内容：1. 矩阵与向量的基本概念通过实际生活中的例子，引出矩阵和向量的基本概念，探究矩阵和向量之间的内在联系。
时间安排：1课时。
2. 矩阵和向量的基本运算法则介绍矩阵和向量之间的基本运算法则，包括加减乘除、数乘、转置等。
注重通过实际计算加深学生对这些运算法则的理解，为后续的矩阵乘法打好基础。
时间安排：2课时。
3. 矩阵乘法介绍矩阵乘法的定义和运算法则，包括矩阵乘法的代数意义和几何意义。
通过实例进行讲解，帮助学生理解矩阵乘法的本质，做到心中有数。
时间安排：2课时。
4. 平面向量与矩阵的乘法介绍平面向量与矩阵的乘法，通过实例进行讲解，让学生理解平面向量与矩阵的乘法的几何意义，加深学生对矩阵乘法运算几何意义的理解。
时间安排：2课时。
五、教学方法1.通过大量例题和实例进行讲解，注重理论与实践相结合，帮助学生加深对知识点的理解；2.给予学生一定的自主探究空间，引导学生根据所学知识独立思考和解决问题；3.使用多媒体手段辅助教学，如视频、PPT、动画等，使教学内容更加生动直观。
六、教学评估1.课堂练习：在课堂上布置一定数量的习题，力求贴近学生的实际情况，检验学生对所学知识的理解情况；2.课后作业：布置一定数量的练习题，督促学生复习和巩固所学知识；3.小组讨论：在特定的时间，对于某一个难度较高的题目，学生可结合自己的思考成果，结合小组内的思路互相讨论，探讨解决方法，既增加了思维的碰撞，同时又有效激发学生的创造能力和团队合作精神，提升学生的参与积极性。
高二数学选修4-2~2.3 变换的复合与矩阵的乘法
分析：
3 4 后天的天气可用 1 4 即后天晴的概率为 1 13 161 3 24 288 来刻画， 2 11 127 3 24 288 ，阴的概率为 127 288 。
（1）求MN,NM (2)求 M (3)求 M
2 n
建构数学
3、三种运算律对比
例题与练习：
• 例2、已知梯形 ABCD, A(0,0),B(3,0),C(2,2),D(1,2),先将梯形作关于 x轴的反射变换，再将所得图形绕原点逆时 针旋转90度， • 求连续两次变换所对应的变换矩阵M;
• 例2、已知梯形 ABCD, A(0,0),B(3,0),C(2,2),D(1,2),先将梯形作关于 x轴的反射变换，再将所得图形绕原点逆时 针旋转90度， • 求连续两次变换所对应的变换矩阵M;
x x 2 x : y y y
集中记忆几种常见的平面变换:
1 0 单位矩阵E 1、恒等变换： 0 1 1 0 M 2、伸压变换： 1 沿y轴方向伸压，x轴上的点不动。 0 k
练一练 如图示：在变换T作用下，正方形ABCD变成了矩形 A′B′C′D′，其中A,B,C,D的象点分别为A′，B′，C′，D′，则 变换T对应的矩阵M为________;
161 288
注意：转移矩阵每列的元素的和应该为1,否则
做乘法时,容易出问题.
分析：
今天 明天 晴 M= 阴 晴 3 4 1 4 阴 1 3 2 3
分析：
清晨的天气预报今天阴的概率为 1 2 ，则今天晴的概率为 1 2 ， 1 2 于是今天的天气可用N 来刻画，因此明天的天气可用 1 2 3 4 1 4 率为 1 1 13 13 3 2 24 ，阴的概 来刻画，即明天晴的概率为 2 1 24 11 24 3 2 11 24 。
4-2矩阵教案
§2.1.1矩阵的概念教学目标：知识与技能：1.掌握矩阵的概念以及基本组成的含义(行、列、元素)2.掌握零矩阵、行矩阵、列矩阵、矩阵相等的概念.3.尝试将矩阵与生活中的问题联系起来, 用矩阵表示丰富的问题,体会矩阵的现实意义.过程与方法：从具体的实例开始，通过具体的实例让学生认识到，某些几何变换可以用矩阵来表示，丰富学生对矩阵几何意义的理解，并引导学生用映射的观点来认识矩阵、解线性方程组情感、态度与价值观： 体会代数与几何的有机结合，突出数形结合的重要思想 教学重点：矩阵的概念以及基本组成的含义 教学难点：矩阵的概念以及基本组成的含义 教学过程： 一、问题情境:设O (0, 0)，P (2, 3)，则向量OP → = (2, 3)，将OP →的坐标排成一列，并简记为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 32（1）某电视台举办歌唱比赛，甲、乙两名选手初、复赛成绩如下：（2）某牛仔裤商店经销A 、B 、C 、D 、E 五种不同牌子的牛仔裤，其腰围大小分别有28英寸、30英寸、32英寸、34英寸四种，在一个星期内，该商店的销售情况可用下列矩阵形式表示：A B C D E28英寸 1 3 0 1 2 30英寸 5 8 6 1 2 32英寸 2 3 5 6 0 34英寸 0 1 1 0 3 3．图——矩阵2 32 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤80 90 86 88二、建构数学 矩阵：记号：A ，B ，C ，…或（a ij ）(其中i,j 分别元素a ij所在的行和列) 要素：行——列——元素矩阵相等 行列数目相等并且对应元素相等。
特别：（1）2×1矩阵，2×2矩阵（二阶矩阵），2×3矩阵 （2）零矩阵（3）行矩阵：[a 11,a 12]列矩阵：⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a 21 ，一般用 ， 等表示。
（4）行向量与列向量三、教学运用例1、用矩阵表示图中的△ABC , 其中A(-1 , 0) , B(0 , 2) , C(2 , 0) .思考: 如果用矩阵M=00⎡⎢⎣ 12 32 40⎤⎥⎦表示平面中的图形, 那么该图形有什么几何特征?例2、某种水果的产地为A 1 , A 2 , 销地为B 1 , B 2 , 请用矩阵表示产地A i 运到销地B j 的水果数量(a ij ), 其中i=1 , 2 , j=1 , 2 .0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0A B C 0 3 1 3 0 0 1 0 2例3、用矩阵表示下列方程组中的未知量的系数.(1)4736x y x y +=⎧⎨-+=-⎩ (2)3212376x y z x y z ++=-⎧⎨-+=⎩例4、已知A=4x⎡⎢⎣32⎤⎥-⎦, B=1z⎡⎢⎣2y ⎤⎥-⎦, 若A=B , 试求x , y , z .四、课堂小结 五、课堂练习：1.书P 10 1 , 2 , 42.设A=2y ⎡⎢⎣ 3x ⎤⎥⎦, B=2m n x y +⎡⎢-⎣ x y m n +⎤⎥-⎦, 若A=B , 试求x , y , m , n 的值.六、回顾反思： 七、课外作业：1.用矩阵表示图中的△ABC, 其中A(2 , 3) , B(-4, 6), C(5 , -3).2.在学校组织的数学智力竞赛中, 甲、乙、丙三位同学获得的成绩分别为: 甲95分, 乙99分, 丙89分, 如果分别用1 , 2 , 3表示甲、乙、丙三位同学, 试用矩阵表示各位同学的得分情况.3.设A=1y⎡⎢⎣3x⎤⎥⎦, B=2m nx y-⎡⎢-⎣x ym n+⎤⎥+⎦, 若A=B , 试求x , y , m , n .如果分别用1 , 2 , 3 , 4表示太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋, 试用矩阵表示各大洋的面积.5.请设计一个可用矩阵12⎡⎢⎢⎢⎣102030⎤⎥⎥⎥⎦来表示的实际问题.§2.1.2二阶矩阵与平面列向量的乘法-教学目标：知识与技能：1.掌握二阶矩阵与列向量的乘法规则, 并了解其现实背景.2.理解变换的含义, 了解变换与矩阵之间的联系.3.能够熟练进行由矩阵确定的变换过程与方法：从具体的实例开始，通过具体的实例让学生认识到，某些几何变换可以用矩阵来表示，丰富学生对矩阵几何意义的理解，并引导学生用映射的观点来认识矩阵、解线性方程组情感、态度与价值观：体会代数与几何的有机结合，突出数形结合的重要思想教学重点：二阶矩阵与列向量的乘法规则教学难点：二阶矩阵与列向量的乘法规则教学过程：一、问题情境:在某次歌唱比赛中, 甲的初赛和复赛的成绩用A=[80 90]表示, 乙的初赛和复赛成绩用B=[60 85]表示, C=0.40.6⎡⎤⎢⎥⎣⎦表示初赛和复赛成绩在比赛总分中所占的比重, 那么如何用矩阵的形式表示甲、乙的最后成绩呢?二、建构数学1.行矩阵和列矩阵的乘法规则2.二阶矩阵与列向量的乘法规则3.变换三、教学运用例1、计算: (1)2-⎡⎢⎣21⎤⎥⎦32⎡⎤⎢⎥-⎣⎦(2)1⎡⎢⎣1⎤⎥⎦1020⎡⎤⎢⎥⎣⎦(3)2⎡⎢⎣1⎤⎥⎦xy⎡⎤⎢⎥⎣⎦例2、求在矩阵3-⎡⎢⎣25⎤⎥⎦对应的变换作用下得到点(3 , 2)的平面上的点P的坐标.例3、(1)已知变换13x xy y'⎡⎤⎡⎤⎡→=⎢⎥⎢⎥⎢'⎣⎦⎣⎦⎣42⎤⎥⎦xy⎡⎤⎢⎥⎣⎦, 试将它写成坐标变换的形式;(2)已知变换xy⎡⎤⎢⎥⎣⎦→xy'⎡⎤⎢⎥'⎣⎦3x yy-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦, 试将它写成矩阵乘法的形式.例4、求△ABC在矩阵1⎡⎢⎣21⎤⎥-⎦对应的变换作用下得到的几何图形, 其中A(1 ,2) , B(0 , 3) , C(2 , 4).例5、求直线y=2x在矩阵21⎡⎢⎣13-⎤⎥⎦作用下变换得到的图形.四、课堂小结五、课堂练习：六、回顾反思：七、课外作业：1.计算(1)57⎡⎢⎣98-⎤⎥⎦32⎡⎤⎢⎥⎣⎦(2)1⎡⎢⎣1-⎤⎥⎦41⎡⎤⎢⎥⎣⎦2. (1)已知xy⎡⎤⎢⎥⎣⎦→1xy'⎡⎤⎡=⎢⎥⎢'⎣⎦⎣32xy⎤⎡⎤⎥⎢⎥⎦⎣⎦, 试将它写成坐标变换形式;(2)已知xy⎡⎤⎢⎥⎣⎦→2345x x yy x y'+⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥'+⎣⎦⎣⎦, 试将它写成矩阵的乘法形式.3. (1)点A(5 , 7)在矩阵13⎡⎢⎣24⎤⎥⎦对应的变换作用下得到的点为________ ;(2)在矩阵34⎡⎢⎣15⎤⎥-⎦对应的变换作用下得到点(19 , -19)的平面上点P的坐标为.4.已知矩阵P=11203⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦, Q=230-⎡⎤⎢⎥⎣⎦且Px=Q , 求矩阵x .5.线段AB , A(-2 , 3) , B(1 , -4)在矩阵1⎡⎢⎣1⎤⎥⎦作用下变换成何种图形? 与原线段有何区别?6.求直线x+y=1在矩阵12⎡⎢⎣1⎤⎥-⎦作用下变换所得图形.§2.2几种常见的平面变换（1）-恒等变换、伸压变换教学目标：知识与技能：1.掌握恒等变换矩阵和伸压变换矩阵的特点.2.熟练运用恒等变换和伸压变换进行平面图形的变换过程与方法：借助立体几何图形的三视图来研究平面图形的几何变换，让学生感受具体到抽象的过程情感、态度与价值观：提供自主探索的空间，通过研究实例，学会从实际出发探究问题，总结过程，得出结论。
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第一讲二阶矩阵、二阶矩阵与平面向量的乘法、二阶矩阵与线性变换。
一、二阶矩阵 1.矩阵的概念
①OP → = (2, 3)，将OP →的坐标排成一列，并简记为⎣⎢⎡⎦⎥⎤
2 3
⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 3
③
概念一：
象⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 3 80908688⎡⎤⎢⎥⎣⎦
23324m ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦的矩形数字（或字母）阵列称为矩阵.通常用大写的拉丁字
母
A
、
B
、
C…
表
示
，
横排叫做矩阵的行,竖排叫做矩阵的列. 名称介绍：
①上述三个矩阵分别是2×1矩阵，2×2矩阵（二阶矩阵），2×3矩阵，注意行的个数在前。
②矩阵相等：行数、列数相等，对应的元素也相等的两个矩阵，称为A ＝B 。
③行矩阵：[a 11,a 12]（仅有一行）
④列矩阵：⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
a 11 a 21 （仅有一列）
⑤向量a →
＝（x,y ），平面上的点P （x,y ）都可以看成行矩阵[,]x y 或列矩阵x y ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，在本书中
规定所有的平面向量均写成列向量x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
的形式。
练习1： 1.已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=243x A ,⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡-=21z y B ，若A=B ，试求z y x ,,
2.设23x A y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，2m n x y B x y m n ++⎡⎤
=⎢⎥--⎣⎦
，若A=B ，求x,y,m,n 的值。
— 2
—
3
—
⎣⎢⎡⎦
⎥⎤80 90 86 88
23324x y x y ++⎧⎨-+⎩简记为23324m ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦
概念二：
由4个数a,b,c,d 排成的正方形数表a b c d ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
称为二阶矩阵。
a,b,c,d 称为矩阵的元素。
①零矩阵：所有元素均为0，即0000⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，记为0。
②二阶单位矩阵：1001⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
，记为E 2. 二、二阶矩阵与平面向量的乘法
定义：规定二阶矩阵A=a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，与向量x y α→⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
的乘积为ax by A cx dy α→+⎡⎤
=⎢⎥
+⎣⎦，即A α→＝a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝ax by cx dy +⎡⎤
⎢⎥+⎣
⎦
练习2： 1.（1）⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢
⎣⎡-131021＝ （2） ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢
⎣⎡-311021＝ 2.⎥⎦⎤⎢⎣⎡2101⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11，求⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡y x
三、二阶矩阵与线性变换 1.旋转变换
问题1:P （x,y ）绕原点逆时针旋转180o 得到P ’(x ’,y ’),称P ’为P 在此旋转变换作用下的象。
其结果为''x x y y ⎧=-⎨=-⎩，也可以表示为''00x x y y x y ⎧=-+⋅⎨=⋅-⎩
，即''x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝1001-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x ＝x y -⎡⎤⎢⎥-⎣⎦怎么算出来的？
问题2. P （x,y ）绕原点逆时针旋转30o 得到P ’(x ’,y ’),试完成以下任务①写出象P ’； ②写出这个旋转变换的方程组形式；③写出矩阵形式.
问题3.把问题2中的旋转30o 改为旋转 角，其结果又如何？
2.反射变换
定义：把平面上任意一点P 对应到它关于直线l 的对称点P ’
的线性变换叫做关于直线l 的反射。
研究：P （x,y ）关于x 轴的反射变换下的象P ’(x ’,y ’)的坐标公式与二阶矩阵。
3.伸缩变换
定义：将每个点的横坐标变为原来的1k 倍，纵坐标变为原来的2k 倍，（1k 、2k 均不为0），这样的几何变换为伸缩变换。
试分别研究以下问题：
①.将平面内每一点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变的伸缩变换的坐标公式与二阶矩阵.
②. 将每个点的横坐标变为原来的1k 倍，纵坐标变为原来的2k 倍的伸缩变换的坐标公式与二阶矩阵.
4.投影变换
定义：将平面上每个点P 对应到它在直线l 上的投影P ’（即垂足），这个变换称为关于直线l 的投影变换。
研究：P （x,y ）在x 轴上的（正）投影变换的的坐标公式与二阶矩阵。
5.切变变换
定义：将每一点P （x,y ）沿着与x 轴平行的方向平移ky 个单位，称为平行于x 轴的切变变换。
将每一点P （x,y ）沿着与y 轴平行的方向平移kx 个单位，称为平行于y 轴的切变变换。
研究：这两个变换的坐标公式和二阶矩阵。
练习：P 10 1.2.3.4
四、简单应用
1.设矩阵A=1001-⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，求点P(2,2)在A 所对应的线性变换下的象。
【第一讲.作业】
1.关于x 轴的反射变换对应的二阶矩阵是
2.在直角坐标系下，将每个点绕原点逆时针旋转120o 的旋转变换对应的二阶矩阵是
3.如果一种旋转变换对应的矩阵为二阶单位矩阵，则该旋转变换是
4.平面内的一种线性变换使抛物线2
y x =的焦点变为直线y=x 上的点，则该线性变换对应的二阶矩阵可以是
5.平面上一点A 先作关于x 轴的反射变换，得到点A 1,在把A 1绕原点逆时针旋转180o
，得到
点A 2，若存在一种反射变换同样可以使A 变为A 2，则该反射变换对应的二阶矩阵是
6.P （1，2）经过平行于y 轴的切变变换后变为点P 1(1,-5)，则该切变变换对应的坐标公式为
7. 设1
21x A x y ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦
，2242z x B x ⎡⎤-=⎢⎥-⎣⎦，且A=B.则x ＝
8.在平面直角坐标系中，关于直线y=-x 的正投影变换对应的矩阵为
9.在矩阵1221A -⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
对应的线性变换作用下，点P(2,1)的像的坐标为
10.已知点A （2，－1），B （－2，3），则向量AB →
在矩阵11202⎡⎤
⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
对应的线性变换下得到的向量坐标为
11.向量a →
在矩阵1201A -⎡⎤=⎢⎥
⎣⎦
的作用下变为与向量11⎡⎤
⎢⎥-⎣⎦平行的单位向量，则a →＝ 12.已知15234A ⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥-⎣
⎦，a →＝12-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，b →＝34⎡⎤⎢⎥⎣⎦，
设a b α→→→=+，a b β→→→=-，①求A α→，A β→；
13.已知1012A ⎡⎤=⎢⎥
-⎣⎦，a →＝11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，b →＝1x ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，若A a →与A b →的夹角为135o ，求x.
14.一种线性变换对应的矩阵为1010⎡⎤
⎢
⎥
-⎣⎦。
①若点A 在该线性变换作用下的像为（5，－5）,求电A 的坐标；②解释该线性变换的几何意义。
15.在平面直角坐标系中，一种线性变换对应的二阶矩阵为01
102⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦。
求①点A （1/5,3）在
该变换作用下的像；②圆2
2
1x y +=上任意一点00(,)P x y 在该变换作用下的像。
答案：1.1001⎛⎫ ⎪-⎝⎭
2. 1212⎛- ⎪⎪-⎪
⎭ 3. 360o
R 4.00a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 5.1001-⎛⎫ ⎪⎝⎭6.''2x x y x y ⎧=⎨=-+⎩ 7.－1 8. 1
1221122⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪
- ⎪⎝⎭ 9.（0，5） 10.（2，8）
11.
，⎛ ⎝
12.718-⎛⎫ ⎪-⎝⎭、
194⎛⎫ ⎪-⎝⎭
13.ｘ＝2/3 14.(5,y) 15. 1532⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
,2o o
x y ⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭。