NO.9-10 静电场--泊松方程和拉普拉斯方程优秀PPT
静电场泊松方程
静电场泊松方程介绍静电场泊松方程是描述静电场分布的重要方程，它通过求解泊松方程来确定电势分布。
静电场泊松方程是物理学与工程学中的一项基础知识，它在电磁学、电子学、电容器设计等领域起着重要作用。
在本文中，我们将对静电场泊松方程进行全面、详细、完整且深入地探讨。
首先，我们将介绍静电场的基本概念，然后详细讨论泊松方程的定义和推导过程，最后讨论静电场泊松方程在实际应用中的重要性和应用案例。
静电场的基本概念静电场是指在没有电流流动的情况下，由电荷所产生的电场。
在静电场中，电荷的分布决定了电场的形状和强度。
根据电荷的正负性质，电场可以分为正电场和负电场。
在静电场中，电荷与电场之间存在以下关系：1.电荷受到电场力的作用，力的大小和方向由电场和电荷的性质决定。
正电荷受到正电场的斥力，负电荷受到正电场的引力。
2.电场的强度与电荷的比例成正比，与电荷与距离的平方成反比。
电场强度可表示为：E=kq，其中E为电场强度，k为库仑常数，q为电荷量，r为距离。
r23.电场是矢量量，具有方向和大小。
泊松方程的定义与推导泊松方程是描述电势分布的重要方程，它与电场之间存在以下关系：1.电场具有旋度为零的特点，也即电场是一个保守场。
电场可以表示为负梯度电位的形式：E=−∇V，其中E为电场，V为电势。
2.电场的散度等于电荷密度除以介电常数：∇⋅E=ρ，其中ρ为电荷密度，ε为ε介电常数。
基于以上两个关系，我们可以推导出泊松方程：∇⋅(−∇V)=−∇2V=ρε其中，∇2为拉普拉斯算子。
根据泊松方程，我们可以通过求解电荷分布和边界条件来确定静电场中的电势分布。
泊松方程的解与应用案例求解泊松方程是一个重要的数学问题，在实际应用中有广泛的应用。
以下是一些泊松方程的解与应用案例：1. 平行板电容器在平行板电容器中，两块平行金属板之间存在恒定电场。
通过求解泊松方程，可以确定电势分布和电场强度分布。
这对于电容器的设计和制造非常重要。
2. 圆柱电容器圆柱电容器是一种常见的电容器结构，它在电子设备中得到广泛应用。
静电场(5) 泊松方程和拉普拉斯方程
0
Dd S
S
q
微分形式：
E
0
或（E ）
7
介质方程：
D
D 0rE E
在各向同性、均匀、线性的媒质中， 由静电场的基本方程可以得出结论： 静电场是一个有通量源（静止电荷）
而没有旋涡源的矢量场。
8
根据矢量场理论，要确定一个矢量场， 必须同时给顶它的散度和旋度。 所以静电场的基本方程中包含了：
E ()
（在均匀、线性、各向同性的电介质中，为常数。）
2
（电位的泊松方程）
12
2、拉普拉斯方程
对于场中没有电荷分布（=0）的区域内：
2
（电位的泊松方程）
0 2
(电位的拉普拉斯方程)
拉普拉斯方程是泊松方程的特例。
13
2是拉普拉斯算符：二阶微分算符
直角坐标系：
r
1
r2 sin
sin
1
r 2 sin 2
2 2
15
两类问题 可以用泊松方程或拉普拉斯方程解决
1、已知：有限区域内的电荷分布， 求：电位和场强
（场域内电介质是均匀、线性和各向同性。）
求电位：
(x, y, z) 1 (x', y', z') dV '
4 V '
r
求场强：
E
1
r 2 sin
sin
1
r 2 sin 2
2 2
1 r2
r
r 2
r
0
r 2 0
18
r r
r 2 0
r r
一次积分
r2
r
C1
C1 r r 2
泊松方程和拉普拉斯方程
泊松方程和拉普拉斯方程势函数的一种二阶偏微分方程。
广泛应用于电学、磁学、力学、热学等多种热场的研究与计算。
简史1777年，拉格朗日研究万有引力作用下的物体运动时指出：在引力体系中，每一质点，并且把这些商加在一起，其总和即P点的质量m k除以它们到任意观察点P的距离rk的势函数，势函数对空间坐标的偏导数正比于在 P点的质点所受总引力的相应分力。
1782年，P.S.M.拉普拉斯证明：引力场的势函数满足偏微分方程：，叫做势方程，后来通称拉普拉斯方程。
1813年，S.-D.泊松撰文指出，如果观察点P在充满引力物质的区域内部，则拉普拉斯方程应修改为，叫做泊松方程，式中ρ为引力物质的密度。
文中要求重视势函数 V在电学理论中的应用，并指出导体表面为等热面。
静电场的泊松方程和拉普拉斯方程若空间分区充满各向同性、线性、均匀的媒质，则从静电场强与电势梯度的关系E=-墷V和高斯定理微分式，即可导出静电场的泊松方程：，式中ρ为自由电荷密度，纯数εr为各分区媒质的相对介电常数，真空介电常数ε=8.854o×10-12法／米。
在没有自由电荷的区域里，ρ＝0，泊松方程就简化为拉普拉斯方程。
在各分区的公共界面上，V满足边值关系，，式中i，j指分界面两边的不同分区，ζ为界面上的自由电荷密度，n表示边界面上的内法线方向。
边界条件和解的唯一性为了在给定区域内确定满足泊松方程以及边值关系的解，还需给定求解区域边界上的物理情况，此情况叫做边界条件。
有两类基本的边界条件：给定边界面上各点的电势，叫做狄利克雷边界条件；给定边界面上各点的自由电荷，叫做诺埃曼边界条件。
边界几何形状较简单区域的静电场可求得解析解，许多情形下它们是无穷级数，稍复杂的须用计算机求数值解，或用图解法作等势面或力线的场图。
静电场的Laplace方程和Poisson方程(精)
边界条件当然不限于以上三类,还可以有各式各样的边界 条件，甚至是非线性边界条件。
除了初始条件和边界条件，有一些物理问题还需要附加一 些其他才能确定其解。如教材中所介绍的衔接条件和自然边界 条件等。
（P159）
（定解问题所需边界条件的数目？）
三类定解问题
定解问题有微分方程(泛定方程)和定解条件组成. 定解条件主要是由初始条件和边界条件组成.根据定解 条件的情况,可以把定解问题分成三类:
二阶线性偏微分方程
把函数 u 的所有自变量（包含空间坐标和时间）依次记作
x1 , x2 ,
, xn ,二阶偏微分方程如果可以写成如下形式:
a u
i, j
n
ij xi x jFra bibliotek biuxi cu f 0
i
n
如果 aij , bi , c, 是线性的.如果 齐次的.
f
只是 1
x , x2 ,
, xn 的函数,则该方程
f 0 ,则称该方程是齐次的;否则称为非
(1)方程的阶 偏微分方程中未知函数偏导数的最高阶数称 为方程的阶． (2)方程的次数 偏微分方程中最高阶偏导数的幂次数称为偏 微分方程的次数． (3)线性方程 一个偏微分方程对未知函数和未知函数的所有 （组合）偏导数的幂次数都是一次的，就称为线性方程，高 于一次以上的方程称为非线性方程． (4)准线性方程 一个偏微分方程，如果仅对方程中所有最 高阶偏导数是线性的，则称方程为准线性方程． (5)自由项 在偏微分方程中，不含有未知函数及其偏导数的 项称为自由项．
t ,
u x x, t | x l t k
1
又如杆的纵振动问题,若一端受有外力,且单位面积上所受的力 为
大学物理静电场 ppt课件
讨论：
a. q0 e0
电量为q的正电荷有q/0条电场线 由它发出伸向无穷远
q0e0
电量为q的负电荷有q/0条 电场线终止于它
对于两个无限接近的球面，通过他们的电通量都相同。 说明电场线在无电荷处连续。
b、若q不位于球面中心， 积分值不变。
+q
c、若封闭面不是球面， 积分值不变。
q
E•dS
第四篇
电磁学
1
2
第九章
静电场----相对于观察者静止的电荷产生的电场 两个物理量：电场场强、电势；
一个实验规律：库仑定律； 两个定理： 高斯定理、环流定理
3
9-1 电荷 库仑定律
一、电荷
1、两种电荷：正电荷“ +”、负电荷“ –” 同号相斥、异号相吸
2、电荷守恒定律 在一个与外界没有电荷交换的系统内, 正负电荷的代数
x
2
dl
dxE dc E od syE dsE in
5. 选择积分变量
r、、l 是 变 量 ， 而 线 积一分个只变能量21
选θ作为积分变量 lac( t g)actg
dlacs2cd r2 a2 l2
y
dE
dEy
a 2 a 2 c tg 2 a 2 csc2
dE x410rd2 lcos
i
讨论（1）当 q0， E 的方向沿x轴正向
当 q0， E 的方向沿x轴负向 （2）当x=0,即在圆环中心处，E0
当
x
E0
dE 0时 dx
x
a 2
aq
E Emax
4
2
0(a2
a2 2
3
)2
28
xq
E
NO.9-10 第二章 静电场--泊松方程和拉普拉斯方程教学内容
静电场计算中的两类问题
——已知场空间分布，求源电荷分布
• 利用高斯定理的微分形式 D 0 D E
——已知源电荷分布，求空间场分布
•利用高斯定理的积分形式 （当电场分布具有某种空间对称性）
D
s
ds
q0
• 应用场强叠加原理
电荷分布在有限区域内，场区域为无限大，
且其中的介质是均匀线性和各向同性的。
E 0
本构关系: D E 线形、各向同性媒质
第二章 静 电 场
2.5.2 泊松方程和拉普拉斯方程 D
D E E E E 2
D E
E
当 场中无电荷分布
(即 0)的区域:
2
电位 满足的泊松方程
2 0
拉普拉斯方程
2 拉普拉斯算子
边界条件是: ;
①r=a, φ1=φ2; ;
②r=a,
0
1
r
0
2
r
;
③r→∞, φ2=0(以无限远处为参考点); ;
④r=0, Er=0)。
1
r
0
(因为电荷分布球对称,
球心处场强E1=0,
即
由上述条件, 确定通解中的常数:
A 0, D 0,C va3 , B va2
30
20
第二章 静 电 场 例 2 如图所示三个区域, 它们的介电常数均为ε0, 区域2中的 厚度为d(m), 其中充满体电荷密度为ρv(C/m3)的均匀体电荷, 分界 面为无限大。试分别求解①、②、③区域的位函数与电场强度。
dy
E1
vd 2 0
yˆ
(V / m)
d y 2
E2
v y 0
yˆ
泊松方程和拉普拉斯方程
直角坐标系：
柱坐标系：
1 1 (r ) 2 2 2 r r r r z 球坐标系：
2 2 2
1 2 1 1 2 2 (r ) 2 (sin ) 2 2 r r r r sin r sin 2
第二章
2.5
静电场的基本方程: 无旋：
c
2.5 泊松方程和拉普拉斯方程
E dl 0
s
线性、均匀、各向同性 电介质 积 分
有散
本构关系：
2018/11/16
D E 0 r E 0 E P
1
E 0 D
D ds q
第二章
2.5
间无电荷分布，则板间电场强度 均匀;
体电荷，由于体电荷只是 函数， 故电场强度也只是
0 x 而实际上板间充满密度为 d 的
0 x d
x
U0
x
的
d
0
x 的函数。
x
8
应用高斯通量定理求解。
作一柱形闭合面为S，底面积为 S ，下底在 左极板内，上底在 处，侧柱面与 ax 平行。 2018/11/16
q E dS 0 0 S
闭合面上、下底处 x 的电场强度为零， d 侧面的法向与电场 故 q0 d 强度的方向垂直。 0 d x s (0)S 0 Sdx s (d )S 0 0 d U 0 0 0 d 则 s (d ) d 3
0
q E dS 0 S
x x 1 0 a E ( x ) a dS ( 0 ) S Sdx S x x 0 s 0 d
泊松方程与电介质中的电场分布
泊松方程与电介质中的电场分布电场是物理学中一个重要的概念，它描述了电荷之间相互作用的力。
而电介质则是指那些在外加电场下能够发生极化现象的物质。
在电介质中，电场的分布受到泊松方程的影响。
首先，我们来了解一下泊松方程。
泊松方程是描述电势分布的方程，它是由拉普拉斯方程推导而来。
拉普拉斯方程是一个二阶偏微分方程，它描述了物理系统中的平衡状态。
在电场问题中，拉普拉斯方程可以写为：∇²Φ = -ρ/ε₀其中，∇²表示拉普拉斯算子，Φ表示电势，ρ表示电荷密度，ε₀表示真空介电常数。
而泊松方程则是在没有自由电荷的情况下，即ρ=0时的特殊情况：∇²Φ = 0泊松方程的解决了电势分布的问题，因为电场可以通过电势的梯度来计算。
而电介质中的电场分布受到电介质的极化现象的影响。
电介质的极化是指在外加电场的作用下，电介质中的正负电荷分离，形成极化电荷。
这些极化电荷会产生一个与外加电场方向相反的电场，即极化电场。
极化电场与外加电场叠加后，形成了电介质中的总电场。
在电介质中，电场的分布可以通过泊松方程来描述。
假设电介质的极化强度为P，那么电介质中的总电荷密度ρ=∇·P。
将这个关系代入泊松方程中，可以得到：∇²Φ = -∇·P/ε₀这个方程描述了电介质中的电场分布。
从这个方程可以看出，电介质中的电场分布不仅受到自由电荷的影响，还受到极化电荷的影响。
为了解决这个方程，需要给定边界条件。
边界条件可以是电势在边界上的给定值，也可以是电场在边界上的给定值。
通过求解这个方程，可以得到电介质中的电场分布。
电介质中的电场分布在实际应用中具有重要意义。
例如，在电容器中，电介质的存在可以增加电容的大小，从而提高电容器的存储能量。
在电介质材料的选择中，需要考虑电场分布的均匀性和稳定性。
此外，电介质中的电场分布还与电介质的性质密切相关。
不同的电介质具有不同的极化特性，从而会对电场分布产生不同的影响。
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边界条件是: ;
①r=a, φ1=φ2; ;
②r=a,
0
1
r
0
2
r
;
③r→∞, φ2=0(以无限远处为参考点); ;
④r=0, Er=0)。
1
r
0
(因为电荷分布球对称,
球心处场强E1=0,
即
由上述条件, 确定通解中的常数:
A 0, D 0,C va3 , B va2
30
20
8
第二章 静 电 场 例 2 如图所示三个区域, 它们的介电常数均为ε0, 区域2中的 厚度为d(m), 其中充满体电荷密度为ρv(C/m3)的均匀体电荷, 分界 面为无限大。试分别求解①、②、③区域的位函数与电场强度。
dy
E1
vd 2 0
yˆ
(V / m)
d y 2
E2
v y 0
yˆ
(V / m)
d yd
2
2
E3
vd 2 0
yˆ
(V / m)
yd 214
第二章 静 电 场
2.6 分界面上的边界条件
※ 场量在不同媒质分界面上各自满足的关系
将场量在分界面上分解成:
法向normal分量 (以下标n表示) ----- 垂直于分界面
3
第二章 静 电 场
拉普拉斯算子在不同坐标系中的计算公式
2
直角坐标系中:
2
aˆx
x
aˆ y
y
aˆz
z
aˆx
x
aˆ y
y
aˆ z
z
2
2x
2
2 y
2
2z
圆柱坐标系中:
球坐标系中:
4
第二章 静 电 场
四 . 一维泊松方程的求解
P.66 例2-9 例2-10
5
第二章 静 电 场
第二章 静 电 场
静电场计算中的两类问题
——已知场空间分布，求源电荷分布
• 利用高斯定理的微分形式 D 0 D E
——已知源电荷分布，求空间场分布
•利用高斯定理的积分形式 （当电场分布具有某种空间对称性）
D
s
ds
q0
• 应用场强叠加原理
电荷分布在有限区域内，场区域为无限大，
且其中的介质是均匀线性和各向同性的。
E 0
本构关系: D E
线形、各向同性媒质
2
第二章 静 电 场
2.5.2 泊松方程和拉普拉斯方程 D
D E E E E 2
D E
E
当 场中无电荷分布
(即 0)的区域:
2
电位 满足的泊松方程
2 0
拉普拉斯方程
2 拉普拉斯算子
平板形体电荷的几何关系
9
第二章 静 电 场
［解］设①、 ②、 ③区域的电位函数分别为φ1(y)、φ2(y)、 φ3(y)。
(1) 分别列出三个区域的电位方程。 在①、 ③两个区域内 电位满足拉普拉斯方程, 而第②区域的电位满足泊松方程:
21
d 21
dy2
0
d y 2
2 2
d 22
dy2
v 0
由条件②、 ③可得:
C4 0,C3 0
由条件①可得
C1
d 2
C2
v 2 0
d 2
2
C1
vd 2 0
C2Biblioteka vd 2 8 01
vd 2 0
y
vd 2 8 0
(V )
2
vd 2 0
y2
(V13)
第二章 静 电 场
3
vd 20
y
vd 2 80
(V )
根据公式 E d yˆ 可求得三个区域的电场分布:
法向边界条件
S D dS q
切向边界条件
l E dl 0
16
第二章 静 电 场
一. D满足的边界条件
法向边界条件
S D dS q
17
第二章 静 电 场
高斯通量定理
D dS q
S
D1 nˆS D2 nˆS q S S
n (D1 D2 ) S
或 D1n D2n S
11
第二章 静 电 场
(2) 由边界条件确定常数: 边界条件为:
①
yd 2
时, φ1=φ2;
0
d1
dy
0
d2
dy
(交界面上无自由面电荷);
②y=0, φ2=0 因体电荷板无限大, 不能选择无限远处为参考 点, 这里选择y=0处为参考点。
12
第二章 静 电 场
③由场分布的对称性, φ2(y)=φ2(-y) ;
例 1 设有一个半径为a的球体, 其中均匀充满体电荷密度为 ρv(C/m3)的电荷, 球内外的介电常数均为ε0,试用电位微分方程, 求解球内、外的电位和电场强度。
解：设球内、外的电位分别为φ1和φ2, φ1满足泊松方程, φ2满足拉普拉斯方程, 由于电荷均匀分布, 场球对称, 所以φ1、 φ2均是球坐标r的
切向tangency分量 (以下标t表示) ----- 平行于分界面
E
nˆEn
tˆEt
nˆ
n
tˆ
t
D nˆDn tˆDt (nˆEn tˆEt )
由静电场基本方程的积分形式: D dS q S
E dl 0
l
两种不同媒质分界面的边界条件 15
第二章 静 电 场
两种不同媒质分界面的边界条件
d yd
2
2
23
d 23
dy2
0
yd 2
10
第二章 静 电 场 将上面三个方程分别分两次可得
1 C1 y C2
2
v 2 0
y2
C3 y C4
3 C5 y C6
由场分布的y=0平面对称性，可知φ3(y)= φ1(-y)，所以我们 只需求解φ1和φ2，也就是只要根据边界条件确定常数C1、 C2 、 C3 、 C4。
直接法 间接法
E
(r) 2V4410vv0Rrrdrvr3ErdV
场区域有限
————边值问题 区域边界上场量要受到某种边界条件限1制
第二章 静 电 场
2.5 泊松方程和拉普拉斯方程
2.5.1 静电场的基本方程
积分形式:
S D dS q l E dl 0
微分形式： D
静电场:无旋有散场
(2) 两种介质都是电介质, 且分界面上没有自由电荷, 即ρs=0, 则
nˆ (D1 D2 ) 0或D1n D2n
函数。 ;
6
第二章 静 电 场 (1) 分别列出球内、外的电位方程:
当r≤a时, 当r≥a时,
21
1 r2
r
r2
1
r
v 0
22
1 r2
r
r2
2
r
0
将上述两个方程分别积分两次可得φ1、φ2的通解:
1
v 6 0
r2
A r
B
2
C r
D
7
第二章 静 电 场
(2) 根据边界条件, 求出积分常数A、B、C、D:
结论: 若两种媒质交界面上有自由电荷, 则D的法向分量不连续 若界面上无自由电荷分布，即在ρS=0时:
n (D2 D1) 0
或
D2n D1n 0
18
第二章 静 电 场 ☆ 两种特殊情况
(1)第一媒质是电介质,第二媒质是导体; 静电场中导体内部电场为零, 故
nˆ D1 s或D1n s