空间点、线、面之间的位置关系
空间几何,点线面之间的位置关系
公理2：过不在一条线上的三点，有且只有一个平面。
推论1：经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面。
推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面。
推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面。
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
线面平行
判定：平面外一条直线与此平面内一条直线平行，则该直线与此平面平行。
性质：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
面面平行
判定:一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。
性质:如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
线面垂直
定义:直线 与平面 内的任意一条直线都垂直，那么称直线 与平面 互相垂直。判定：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
性质：垂直于同一平面的两条直线平行。
面面垂直
定义：两平面相交，它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。
判定：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
性质：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
射影：垂足与斜足之间的连线。
线面角：斜线与射影所成的锐角。
二面角：两平面的夹角。(二面角的大小可以用它的平面角来度量)
二面角的平面角：在两个半平面内分别作垂直于棱的射线所成的夹角。
推论：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么这两个平面一定相交，且其交线一定过这个公共点。
公理4：空间中平行于同一条直线的两条直线相互平行。(平行的传递性)
空间点、线、面的位置关系
【证明】 (1)如图所示，连接B1D1.
因为EF是△D1B1C1的中位线，所以EF∥B1D1.在正方体AC1 中，B1D1∥BD，所以EF∥BD.所以EF，BD确定一个平面，即 D，B，F，E四点共面．
(2)在正方体AC1中，设A1，C，C1三点确定的平面为α，平 面BDEF为β.因为Q∈A1C1，所以Q∈α.
2．异面直线的判定方法 (1)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平 行或相交，由假设出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否 定假设，肯定两条直线异面．此法在异面直线的判定中经常用 到． (2)定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经 过点B的直线是异面直线．
思考题2 (1)【多选题】如图所示，是正方体的平面 展开图，
间直角坐标系，则A(a，0，0)，C1(0，a， 3 a)，C(0，a，0)，
D1(0，0， 3a)， A→C1＝(－a，a， 3a)，C→D1＝(0，－a， 3a)， 设异面直线AC1与CD1所成角为θ， 则cosθ＝|AA→→CC11|··C|C→→DD11|＝ 52a·a2 2a＝ 55.
∴异面直线AC1与CD1所成角的余弦值为
思考题1 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中， E，F分别是AB和AA1的中点，求证：
(1)E，C，D1，F四点共面； (2)CE，D1F，DA三线共点．
【证明】 (1)如图所示，连接EF，CD1，A1B.
∵E，F分别是AB，AA1的中点，∴EF∥A1B. 又A1B∥D1C，∴EF∥CD1. ∴E，C，D1，F四点共面．
在这个正方体中，有以下四个命题，正确的结论是( CD ) A．BM与ED平行 B．CN与BE是异面直线 C．CN与BM成60°角 D．DM与BN垂直
空间中点线面的位置关系
空间中点、线、面的位置关系一、平面的基本性质（1）点和直线的基本性质：连接两点的线中，最短；过两点一条直线，并且一条直线。
（2）平面的基本性质：1如果一条直线的点在一个平面内，那么这条直线上的所有点在这个平面内。
这时我们就说或。
作用：判断直线在平面内。
2经过不在同一直线的三点，有且只有个平面。
也可以简单地说成：的三点确定一个平面。
过不共线的三点A、B、C的平面，通常记作：。
3如果不重合的两个平面有个公共点，那么它们有且只有条过这个点的公共直线。
如果两个平面有一条公共直线，则称这两个平面。
这条公共直线叫做这两个平面的（3）平面的基本性质的推论：1经过一条直线和直线的一点，有且只有个平面。
2经过两条直线，有且只有个平面。
3经过两条直线，有且只有个平面。
（4）共面与异面直线：共面：空间中的几个点或几条直线，如果都在，我们就说它们共面。
共面的两条直线的位置关系有和两种。
异面直线：既又的直线叫异面直线。
判断两条直线为异面直线的方法：与一平面相交于一点的直线与这个平面内任一不过该点的直线是异面直线。
（5）符号语言：点A在平面α内，记作；点A不在平面α内，记作。
直线l在平面α内，记作；直线l不在平面α内，记作。
平面α与平面β相交于直线a, 记作 .直线l和直线m相交于点A，记作，简记作：。
基本性质01可以用集合语言描述为：如果点A α，点B α，那么直线AB α。
例1. 已知三条直线a、b、c两两相交但不共点，求证：a、b、c共面。
例2.已知三条平行线a 、b 、c 都与直线d 相交.求证:它们共面.例 3.正方体1111D C B A ABCD -中,对角线C A 1与平面1BDC 交于AC O ,、BD 交于点M . 求证:点1C 、O 、M 共线.例4.已知三个平面α、β、γ两两相交,且α⋂β=c ,β⋂γ=a ,γ⋂α=b , 且直线a 和b 不平行.求证: a 、b 、c 三条直线必相交于同一点._1_ B _二、空间中的平行关系1.空间平行直线的本性质（空间平行线的传递性）： 平行于同一直线的两条直线 。
2空间点、线、面的位置关系
空间点、线、面的位置关系1.空间线面关系：例1.已知正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别为1C C 、BC 的中点，M 、N 在1A A 、1B B 上，且12A M MA =，13B N NB =，1D M 与DA 交于点P ，1D N 与DB 交于点Q ，MN 与AB 交于点R（1）求证：P 、Q 、R 三点共线；（2）求证：1D E 、DC 、AF 三线共点演变1.已知四边形ABCD 是空间四边形，E 、H 分别是边AB ，AD 的中点，F 、G 分别是边CB ，CD 上的点，且23CF CG CB CD ==，求证： （1）四边形EFGH 是梯形；（2）FE 和GH 的交点在直线AC 上.演变2.在正方体1111ABCD A B C D -中，E F 、分别是11D C 、11C B 的中点，且A C B D P =，11AC EF Q =，求证：（1）D 、B 、F 、E 四点共面；（2）若1AC 交平面DBFE 于R 点，则P 、Q 、R 三点共线。
2.平行的证明：例1.在底面为平行四边形的四棱锥ABCD P -中，E 、F 分别为PD 、BC 的中点（1）求证：//PB 平面ACE（2）求证：//EF 平面PAB演变1.在正三棱柱111C B A ABC -中，D 为AC 中点，求证：//1AB 平面D BC 1演变2.在正方体1111D C B A ABCD -中，O 为正方形1111D C B A 的中心，求证：//1C B 平面1ODC演变3.在四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面ABCD 为正方形，E 、M 分别为BC 、1AA 的中点，求证：//BM 平面ED A 1演变4.在长方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别为11D C 、B A 1的中点，求证：//EF 平面C C BB 11演变 5.如图S 是平行四边形ABCD 平面外一点，M 、N 分别是SA 、BC 上的点，且AM BN SM NC=，求证：//MN 平面SCD例2.已知两条异面直线AB 与CD ，平面MNPQ 与AB 、CD 都平行，且M 、N 、P 、Q 依次在线段AC 、BC 、BD 、AD 上，求证：四边形MNPQ 是平行四边形演变 1.已知,,,E F G H 为空间四边形A B C D 的边,,,A B B C C D D A 上的点，且//EH FG ．求证：//EH BD .例3.已知某几何体的三视图如下图所示，其中左视图是边长为2的正三角形，主视图是矩形且31=AA ，俯视图中1,C C 分别是所在边的中点，设D 为1AA 的中点.（1）作出该几何体的直观图并求其体积；（2）BC 边上是否存在点P ，使1//BDC AP 平面？ 若不存在，说明理由；若存在，请证明你的结论.空间点、线、面的位置关系练习题一、选择题：1.下列命题中，正确的是（ ）A ．分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线B ．经过不同的三点有且只有一个平面C ．垂直于同一个平面的两条直线是平行直线D ．垂直于同一个平面的两个平面平行2.设a 、b 是两条互不垂直的异面直线，过a 、b 分别作平面α、β，对于下面四种情况：①b ∥α，②b ⊥α，③α∥β，④α⊥β．其中可能的情况有（ ）A ．1种B ．2种C ．3种D ．4种3.α、β是两个不重合的平面，a 、b 是两条不同直线，在下列条件下，可判定α∥β的是（ ） A ．α、β都平行于直线a 、bB ．α内有三个不共线点到β的距离相等C ．a 、b 是α内两条直线，且a ∥β，b ∥βD ．a 、b 是两条异面直线且a ∥α，b ∥α，a ∥β，b ∥β4.下列命题中，错误的是（ ）A ．三角形的两条边平行于一个平面，则第三边也平行于这个平面B ．平面α∥平面β，a ⊂α，过β内的一点B 有唯一的一条直线b ，使b ∥aC ．α∥β，γ∥δ，α、β、γ、δ的交线为a 、b 、c 、d ，则a ∥b ∥c ∥dD ．一条直线与两个平面成等角是这两个平面平行的充要条件5.在下列条件中，可判断平面α与β平行的是（ ）A ．α、β都垂直于平面γB ．α内存在不共线的三点到β的距离相等C ．a 、b 是α内两条直线，且a ∥β，b ∥βD ．a 、b 是两条异面直线，且a ∥α，b ∥α，a ∥β，b ∥β二、填空题：6.设平面α∥β，A 、C ∈α，B 、D ∈β，直线AB 与CD 交于S ，若18AS =，9BS =，34CD =，则CS =_____________.7.a 、b 、c 为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合的平面，直线均不在平面内，给出六个命题：①a c a b b c ⎫⇒⎬⎭∥∥∥；②a a b b γγ⎫⇒⎬⎭∥∥∥；③c c ααββ⎫⇒⎬⎭∥∥∥； ④c a a c αα⎫⇒⎬⎭∥∥∥；⑤αγαββγ⎫⇒⎬⎭∥∥∥；⑥a a αγαγ⎫⇒⎬⎭∥∥∥ 其中正确的命题是________________.（将正确的序号都填上）8.设D 是线段BC 上的点，BC ∥平面α，从平面α外一定点A （A 与BC 分居平面两侧）作AB 、AD 、AC 分别交平面α于E 、F 、G 三点，BC a =，AD b =，DF c =，则EG =_____________.9.已知a 、b 为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a 、b 在α上的射影有可能是：①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点. 在上面结论中，正确结论的编号是__________.（写出所有正确结论的编号）10.如图，在透明塑料制成的长方体1111D C B A ABCD -容器内灌进一些水，固定容器底面一边BC 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个命题：①水的部分始终呈棱柱状； ②水面四边形EFGH 的面积不改变； ③棱11A D 始终与水面EFGH 平行； ④当容器倾斜如图乙时，EF BF ⋅是定值. 其中正确命题的序号是_____________.三、解答：11.如下图，两条线段AB 、CD 所在的直线是异面直线，CD ⊂平面α，AB ∥α，M 、N 分别是AC 、BD 的中点，且AC 是AB 、CD 的公垂线段.（1）求证：MN ∥α；（2）若AB CD a ==，AC b =，BD c =，求线段MN 的长.12.如下图，在正方体1111D C B A ABCD -中，M 、N 、E 、F 分别是棱11A B 、11A D 、11B C 、11C D 的中点，AB a =.（1）求证：平面AMN ∥平面EFDB ；（2）求异面直线BE 与MN 之间的距离.答案：C 、C 、D 、D 、D6.答案：68或368；7.答案：①④⑤⑥；8.答案：b ac ab -；9.答案：①②④；10.答案：①③④。
点线面的位置关系总结
点线面的位置关系总结1. 引言在几何学中，点、线和面是最基本的几何图形。
它们之间的位置关系对于我们理解和描述物体的形状、空间关系以及解决几何问题非常重要。
本文将总结点、线和面之间的常见位置关系，帮助读者在几何学的学习和解题过程中更加清晰地理解这些关系。
2. 点与点之间的位置关系在二维空间中，两个点之间有三种基本的位置关系：•重合（Coincident）：两个点的位置完全重合，表示它们的坐标值完全相同。
•相邻（Adjacent）：两个点的位置非常接近，但它们的坐标值不完全相同。
•不重合（Non-coincident）：两个点的位置完全不同，它们的坐标值没有任何相似之处。
在三维空间中，点与点之间的位置关系也有类似的定义。
3. 点与线之间的位置关系点与线之间的位置关系可以描述为：•在线上（On the line）：一个点位于一条直线上。
•在线的延长线上（On the extension of the line）：一个点位于一条直线的延长线上，但不在直线上。
•在线的两侧（On one side of the line）：一个点与一条直线相交，但不在直线上。
4. 点与面之间的位置关系点与面之间的位置关系可以描述为：•在平面上（On the plane）：一个点位于一个平面上。
•在平面的延伸方向上（On the extension of the plane）：一个点位于一个平面的延伸方向上，但不在平面上。
•在平面的两侧（On one side of the plane）：一个点与一个平面相交，但不在平面上。
5. 线与线之间的位置关系线与线之间的位置关系可以描述为：•相交（Intersecting）：两条线在二维空间或三维空间中相交，即它们有一个或多个共同的点。
•平行（Parallel）：两条线在二维空间或三维空间中永不相交，即它们没有共同的点。
•重合（Coincident）：两条线在二维空间或三维空间中完全重合，表示它们是同一条线。
空间向量点线面的位置关系
空间向量点线面的位置关系在三维空间中，点、线和面是基本的几何要素。
它们的位置关系在数学和几何学中扮演着重要的角色。
本文将探讨空间向量中点、线和面之间的不同位置关系及其特点。
一、点和线的位置关系在三维空间中，点和线的位置关系主要有以下几种情况。
1. 点在线上：如果一个点位于一条直线上，那么这个点与直线上的任意两点构成的向量都是共线的。
换句话说，点和线的向量共线。
2. 点在线的延长线上：点也可以位于一条线的延长线上，这时点与线上的任意两点构成的向量也是共线的。
3. 点与线相交：在三维空间中，点还可以与一条直线相交。
这时，点与线上的任意两点构成的向量不再共线。
4. 点与线平行：若一点与直线平行，则该点与直线上的任意两点构成的向量平行。
但是，点与线平行并不意味着点在线的延长线上。
二、点和面的位置关系点和面的位置关系也有几种情况，如下所示。
1. 点在面上：如果一个点位于一个平面上，那么这个点与平面上的任意三个点构成的向量都在同一个平面内。
2. 点在面的延长线上：点也可以位于一个平面的延长线上，这时点与平面上的任意三个点构成的向量仍在同一个平面内。
3. 点在平面内但不在平面上：有时，一个点位于一个平面内部但不在平面上。
这时，点与平面上的任意三个点构成的向量不在同一个平面内。
4. 点与平面相交：在三维空间中，点还可以与一个平面相交。
这时，点与平面上的任意三个点构成的向量不在同一个平面内。
三、线和面的位置关系线和面的位置关系主要有以下几种情况。
1. 线在平面上：如果一条直线位于一个平面上，那么直线上的任意两点构成的向量都在同一个平面内。
2. 线与平面相交于一点：一个直线也可以与一个平面相交于一点。
这时，直线上的任意两点构成的向量不在同一个平面内。
3. 线与平面平行：若一条直线与一个平面平行，则直线上的任意两点构成的向量与平面内的向量平行。
但是，直线与平面平行并不意味着直线在平面上。
4. 线在平面的延长线上：一条直线还可以位于一个平面的延长线上，这时直线上的任意两点构成的向量仍在同一个平面内。
空间点线面之间的位置关系
空间点线面之间的位置关系一、平面1.平面的概念：平面是一个不加定义，只需理解的原始概念．立体几何里所说的的平面是从现实生活中常见的平面抽象出来的．常见的桌面、平静的水面等都给我们以平面的局部形象．平面是理想的、绝对的平且无大小，无厚度，不可度量． 2.平面的表示方法：(1)一个平面： 当平面是水平放置的时候，通常把平行四边形的锐角 画成45，横边画成邻边的2倍长，如右图． (2)两个相交平面：画两个相交平面时，通常要化出它们的交线，当一个平面的一部分被另一个平面遮住，应把被遮住部分的线段画成虚线或不画（如下图）3. 运用集合观点准确使用图形语言、符号语言和文字语言空间图形的基本元素是点、直线、平面从运动的观点看，点动成线，线动成面，从而可以把直线、平面看成是点的集合，因此还可借用集合中的符号语言来表示点、线、面的基本位置关系如下表所示：b A =a α⊂α=∅ αBAβαABαβαβBAAβαBAα=l β= 二、平面的基本性质1. 公理1 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内推理模式：A AB B ααα∈⎫⇒⊂⎬∈⎭． 如图示： 或者：∵,A B αα∈∈，∴AB α⊂ 公理1的作用：①判定直线是否在平面内；②判定点是否在平面内； ③检验面是否是平面．2. 公理2 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面推理模式：,, ,,,,A B C A B C A B C ααβ⎫⎪∈⇒⎬⎪∈⎭不共线与β重合或者：∵,,A B C 不共线，∴存在唯一的平面α，使得,,A B C α∈. 推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面； 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面； 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．(1)以上是确定平面的四个不同的条件，是判断两个平面重合的依据，是证明点线共面的依据，也是作截面、辅助面的依据．(2)“有且只有一个”的含义要准确理解．这里的“有”是说图形的存在，“只有一个”是说图形唯一．因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证． 2. 公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点,有且只有一条过该点的公共直线推理模式：A A l A ααββ∈⎫⇒∈=⎬∈⎭如图示：或者：∵,A A αβ∈∈，∴,l A l αβ=∈公理3的作用：(1)判断两个平面是否相交及交线位置； (2)判断点是否在线上 1、证明空间三点共线问题通常证明这些点都在两个平面的交线上，即先确定出某两点在两个平面的交线上，再证明第三点既在第一个平面内，又在第二个平面内。
高三数学 空间点线面之间的位置关系
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【名师点评】 题中是先说明D1、 E、F确定一平面，再说明B在所确定 的平面内，也可证明D1E∥BF，从而 说明四点共面．
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考点四 异面直线的判定
证明两直线为异面直线的方法： 1．定义法(不易操作)． 2．反证法：先假设两条直线不 是异面直线，即两直线平行或相交， 由假设的条件出发，经过严密的推理， 导出矛盾，从而否定假设肯定两条直 线异面．此法在异面直线的判定中经 常用到．
A．A∈l，A∈α，B∈l， B∈α⇒l⊂α
B．A∈α，A∈β，B∈α， B∈β⇒a∩β＝AB
C．l⊄α，A∈l⇒A∉α D．A∈α，A∈l，l⊄α⇒l∩α＝A 答案：C
三基能力强化
4.如图所示，在正方体ABCD-
A1B1C1D1中，异面直线AC与B1C1
所成的角为
.
答案：45°
5．三条直线两两相交，可以确 定3进一步反映了平面的延展 性．其作用是：(1)判定两平面相交；(2) 作两平面相交的交线(当知道两个平面 的两个公共点时，这两点的连线就是交 线)；(3)证明多点共线(如果几个点都是 某两个平面的公共点，则这几个点都在 这两个平面的交线上)．
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PQ、CB的延长线交于M，RQ、DB的延
长线交于N，RP、DC的延长线交于K.求
证：M、N、K三点共线．
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【思路点拨】 要证明M、N、K 三点共线，由公理3可知，只要证明M、 N、K都在平面BCD与平面PQR的交 线上即可．
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【证明】
PQ∩CB＝M
RQ∩DB＝N⇒
RP∩DC＝K
课堂互动讲练
解：选取平面BCF，该 平面有以下两个特点：①该 平面包含直线CF；②该平面 与DE相交于点E.在平面BCF 中，过点E作CF的平行线交 BF于点N，连结ND，可以看 出：EN与ED所成的角即为 异面直线FC与ED所成的角. 10分
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空间点、线、面之间的位置关系
1.线与线的位置关系：
平行、相交、异面(特别注意一下：垂直只是相交与异面当中的特殊情况，我们说相交有相交垂直，异面有异面垂直)
2.线与面的位置关系：线在面内(选择题时一定要考虑)、线面平行、线面相交
3.如何确定一个平面？
方法(1)三个不共线的点可以确定一个平面
方法(2)两条相交线可以确定一个平面
方法(3)两条平行线可以确定一个平面
4.如何证明三点共线？
具体的做法：就是把其中两点确定的直线作为两个面的交线，证明剩下这一点是这两个面的交点，那么交点必在交线上，则三点共线。
5.如何证明线线平行？
方法(1)利用三角形或梯形的中位线
方法(2)利用平行四边形
方法(3)利用线段对应成比例(通常题目中会出现三等份点或四等份点)
方法(4)垂直于同一个面的两条直线互相平行
方法(5)借助一个性质：两个面相交，其中一个面内的一条直线平行于另一个面，则这条线平行于两个面的交线
(利用这个性质来证明在以往的高考中出现过若干次，同学们需要注意一下)
6.如何证明线面平行？
方法(1)只需证明这条直线与平面内的一条直线平行即可，简称线线平行推出线面平行。
方法(2)只需把这条直线放入一个合适的平面内，然后证明这个平面与已知平面平行即可，简称面面平行推出线面平行。
特别注意：直线平行于平面，可以得出直线与平面内无数条直线
平行，但得不出与平面内任意一条直线平行。
7.如何证明面面平行？
只需证明其中一个面内的两条相交线分别平行于另一个面即可。
8.如何证明线面垂直？
只需证明这条直线分别与平面内的两条相交线互相垂直即可。
特别注意：直线垂直于平面，可以得出直线与平面内任意一条直线都垂直。
9.如何证明面面垂直？
只需证明其中一个面内的一条直线垂直与另一个面即可。
特别注意：面面垂直，既得不出两个面内的任意两条直线互相垂直，也得不出其中一个面内的任意一条直线都垂直于另一个面。
10.异面直线的夹角范围是多少？如何求出异面直线的夹角？
夹角范围是：0°~ 90°
在求异面直线的夹角时，要把两条异面直线平移使它们出现交点，有时只需平移一条，有时两条都需要平移，这个过程中用得比较多的是中位线，当平移后两条直线出现交点时，复杂些的在三角形中利用余弦定理来求。
11.线面夹角范围是多少？如何作出线面夹角？如何来求出线面夹角？
夹角范围是：0°~ 90°
如何作出线面夹角呢？设线段为AB，首先找到线段AB与面的交点假设是A点，从线段在面外的那个端点B作面的垂线，垂足设为O，连接AO，则在直角△AOB中∠AOB就是线面夹角。
如何来求出线面夹角？一般题目中都会给出线段AB的长度，最主要的是AO，AO也就是A点到面的距离，通常我们选择等体积法来求这条高AO ，在直角△AOB中知道了AB，AO的长，线面夹角∠AOB 也就可以求出来了。
12. 二面角的范围是多少？如何作出二面角？如何求出二面角？
二面角的范围：0°~ 180°
如何作出二面角？分别从两个面中做交线的垂线，要保证垂足重
合，此时，两条直线的夹角就是二面角。
一般求二面角都是借助法向量。